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Liacutemites y Continuidad

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El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo

infinitesimal (diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el

valor al que tiende una funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero

determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a

observar queacute sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se

aproxima) a un valor determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el

entorno de 2 y calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la

derecha tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se

aproxima tiende cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x

de 2 o lo que es lo mismo cuando la diferencia en valor

absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea asimismo la diferencia en

valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada vez maacutes pequentildea

(Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha)

Osea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la

variable independiente se aproxima tambieacuten a un valor

constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x - 2| | f (x) - 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2

es 3

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Liacutemites y Continuidad

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Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x)

cuando x tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten epsiloacuten-delta)

En los ejercicios 1 a 7 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la

definicioacuten Epsiloacuten-delta

S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten

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Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x)

cuando x tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten epsiloacuten-delta)

En los ejercicios 1 a 7 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la

definicioacuten Epsiloacuten-delta

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Liacutemites y Continuidad

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2 Solucioacuten

3 Solucioacuten

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Liacutemites y Continuidad

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4 Solucioacuten

Teoremas de liacutemites

Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la

definicioacuten Epsiloacuten-Delta se establecen los siguientes teoremas

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia Nota los teoremas se presentan sin demostracioacuten pero quien quiera verla puede hacer clic en el viacutenculo

correspondiente

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Liacutemites y Continuidad

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Teoremas de liacutemites

Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la

definicioacuten Epsiloacuten-Delta se establecen los siguientes teoremas

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia Nota los teoremas se presentan sin demostracioacuten pero quien quiera verla puede hacer clic en el viacutenculo

correspondiente

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Liacutemites y Continuidad

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Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces

Teorema de liacutemite 2 Para cualquier nuacutemero dado a

Teorema de liacutemite 3 Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces

Teorema de liacutemite 4

Teorema de liacutemite 5

Teorema de liacutemite 6 Si f es un polinomio y a es un nuacutemero real entonces

Teorema de liacutemite 7 Si q es una funcioacuten racional y a pertenece al dominio de q entonces

Teorema de liacutemite 8

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Liacutemites y Continuidad

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Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula

directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier

polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que

nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando

calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se aplica a una

funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten

Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es posible

calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la funcioacuten de tal

modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de

procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada etc

Ejercicios resueltos Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en

cada paso

S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten

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Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula

directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier

polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que

nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando

calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se aplica a una

funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten

Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es posible

calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la funcioacuten de tal

modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de

procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada etc

Ejercicios resueltos Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en

cada paso

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2 Solucioacuten

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Liacutemites y Continuidad

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4 Solucioacuten

5 Solucioacuten

6 Solucioacuten

No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00

no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite

aplicando el TL1

7 Solucioacuten

No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00

no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite

aplicando el TL7 o el TL4(III)

8 Solucioacuten

Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma

indeterminada 00

por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del

TL6

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Liacutemites y Continuidad

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9 Solucioacuten

No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante

luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la

expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para

hallar el liacutemite

10 Solucioacuten

Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8

11 Solucioacuten

El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no

obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el

liacutemite mediante los TL7 y TL6

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Liacutemites y Continuidad

Paacutegina 9 de 24

12 Solucioacuten

Teorema de estriccioacuten y liacutemites de funciones trigonomeacutetricas

El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para

la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular

cierta clase de liacutemites

Teorema de estriccioacuten (TL9)

Demostracioacuten

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Liacutemites y Continuidad

Paacutegina 10 de 24

Teorema de liacutemite10

Teorema de liacutemite11

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los

ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe

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9 Solucioacuten

No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante

luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la

expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para

hallar el liacutemite

10 Solucioacuten

Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8

11 Solucioacuten

El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no

obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el

liacutemite mediante los TL7 y TL6

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Teorema de estriccioacuten y liacutemites de funciones trigonomeacutetricas

El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para

la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular

cierta clase de liacutemites

Teorema de estriccioacuten (TL9)

Demostracioacuten

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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los

ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe

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Teorema de estriccioacuten y liacutemites de funciones trigonomeacutetricas

El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del saacutendwich es importante para

la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para calcular

cierta clase de liacutemites

Teorema de estriccioacuten (TL9)

Demostracioacuten

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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los

ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe

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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los

ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe

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S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

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3 Solucioacuten

4 Solucioacuten

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Liacutemites y Continuidad

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Liacutemites y Continuidad

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Liacutemites unilaterales

Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la

derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a

dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene

sentido

Ejemplo

Liacutemite unilateral por la derecha Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el

liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe

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Liacutemites y Continuidad

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Liacutemite unilateral por la izquierda Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)

cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe

Liacutemite bilateral

Teorema de liacutemite12

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no

existe deacute la razoacuten

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Liacutemites unilaterales

Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la

derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a

dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene

sentido

Ejemplo

Liacutemite unilateral por la derecha Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el

liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe

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Liacutemite unilateral por la izquierda Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)

cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe

Liacutemite bilateral

Teorema de liacutemite12

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no

existe deacute la razoacuten

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Liacutemites unilaterales

Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la

derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a

dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene

sentido

Ejemplo

Liacutemite unilateral por la derecha Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el

liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe

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Liacutemite unilateral por la izquierda Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)

cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe

Liacutemite bilateral

Teorema de liacutemite12

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no

existe deacute la razoacuten

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Liacutemites unilaterales

Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la

derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a

dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene

sentido

Ejemplo

Liacutemite unilateral por la derecha Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el

liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe

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Liacutemite unilateral por la izquierda Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)

cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe

Liacutemite bilateral

Teorema de liacutemite12

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no

existe deacute la razoacuten

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Liacutemites y Continuidad

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Liacutemite unilateral por la izquierda Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)

cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe

Liacutemite bilateral

Teorema de liacutemite12

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no

existe deacute la razoacuten

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S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten

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Liacutemites y Continuidad

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4 Solucioacuten

Liacutemites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable

independiente se acerca a un valor fijo determinado

Crecimiento infinito

Decrecimiento infinito

Teorema de liacutemite13

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Liacutemites y Continuidad

Paacutegina 19 de 24

Teorema de liacutemite14

Teorema de liacutemite15

Teorema de liacutemite16

Teorema de limite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las

asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas

uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo

menos uno de los siguientes enunciados es verdadero

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Liacutemites y Continuidad

Paacutegina 20 de 24

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)

vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten

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4 Solucioacuten

Liacutemites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable

independiente se acerca a un valor fijo determinado

Crecimiento infinito

Decrecimiento infinito

Teorema de liacutemite13

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Teorema de liacutemite14

Teorema de liacutemite15

Teorema de liacutemite16

Teorema de limite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las

asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas

uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo

menos uno de los siguientes enunciados es verdadero

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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)

vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

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Teorema de liacutemite14

Teorema de liacutemite15

Teorema de liacutemite16

Teorema de limite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las

asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas

uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo

menos uno de los siguientes enunciados es verdadero

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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)

vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)

vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

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Liacutemites y Continuidad

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2 Solucioacuten

3 Solucioacuten

4 Solucioacuten

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Liacutemites y Continuidad

Paacutegina 22 de 24

5 Solucioacuten

6 Solucioacuten

Teorema de liacutemite 18

Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x

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Liacutemites y Continuidad

Paacutegina 23 de 24

Teorema de liacutemite 19

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

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5 Solucioacuten

6 Solucioacuten

Teorema de liacutemite 18

Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x

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Ejercicios resueltos

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Ejercicios resueltos

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