Prof. Juan Mejias Ortiz1 Prof. Juan R. Mejías Ortiz UNIVERSIDAD CENTRAL DE BAYAMON DEPARTAMENTO DE...

Prof. Juan Mejias Ortiz 1

Prof. Juan R. Mejías OrtizProf. Juan R. Mejías Ortiz

UNIVERSIDAD CENTRAL DE BAYAMONUNIVERSIDAD CENTRAL DE BAYAMON

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALESDEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES


Diagrama de ÁrbolDiagrama de Árbol

Utiliza un diagrama de árbol para ilustrar la Utiliza un diagrama de árbol para ilustrar la probabilidad tiene una moneda de salir cara o cruz en tres probabilidad tiene una moneda de salir cara o cruz en tres lanzamientos diferente.lanzamientos diferente.


cruzcruz

caracara

cruzcruz

caracara

cruzcruz

caracaracaracara

cruzcruz

caracara

cruzcruz

caracara

cruzcruz

caracara

cruzcruz

11erer lanzamientolanzamiento

22dodo lanzamientolanzamiento


DIAGRAMA DE ARBOLDIAGRAMA DE ARBOL


Utiliza el diagrama de árbol para determinar la Utiliza el diagrama de árbol para determinar la probabilidad de al lanzar una moneda en tres probabilidad de al lanzar una moneda en tres ocasiones se obtenga dos caras y una cruz.ocasiones se obtenga dos caras y una cruz.


DIAGRAMA DE ARBOLDIAGRAMA DE ARBOL

3388

cruzcruz

caracara

cruzcruz

caracara

cruzcruz

caracaracaracara

cruzcruz

caracara

cruzcruz

caracara

cruzcruz

caracara

cruzcruz


22dodo lanzamientolanzamiento


22 eventoevento

3 evento3 evento

5 evento5 evento

1 evento1 evento

4 evento4 evento

6 evento6 evento

7 evento7 evento

8 evento8 evento


Probabilidad

Probabilidad ExperimentalProbabilidad Experimental - - se conoce a cualquier proceso se conoce a cualquier proceso que le permita a los investigadores obtener observaciones.que le permita a los investigadores obtener observaciones.

Suceso Suceso – es el resultado de una situación o de la – es el resultado de una situación o de la probabilidad experimental.probabilidad experimental.

Suceso simple – es un resultado que no puede desglosarse.Suceso simple – es un resultado que no puede desglosarse.

Espacio MuestralEspacio Muestral – es el conjunto de todos sucesos – es el conjunto de todos sucesos simples de una probabilidad experimental.simples de una probabilidad experimental.

Ejemplo:Ejemplo:

El lanzar un dado a la suerte, obtener una carta El lanzar un dado a la suerte, obtener una carta específica de un paquete, lanzar una moneda al aire.específica de un paquete, lanzar una moneda al aire.


Luis lanza un solo dado a la suerte deseando obtener un cincoLuis lanza un solo dado a la suerte deseando obtener un cinco. .

ExperimentoExperimento : El lanzamiento del dado : El lanzamiento del dado

Suceso simpleSuceso simple : Obtener un cinco. : Obtener un cinco.

Espacio muestralEspacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5, 6 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 todos los posibles sucesos simplestodos los posibles sucesos simples

En el ejemplo anterior obtener un tres se constituye en un suceso simple En el ejemplo anterior obtener un tres se constituye en un suceso simple por que no puede ser desglosado. Pero si se lanza dos dados para lograr por que no puede ser desglosado. Pero si se lanza dos dados para lograr obtener un diez es un suceso no simple. El suceso se puede desglosar en obtener un diez es un suceso no simple. El suceso se puede desglosar en suceso más sencillos. suceso más sencillos. Por ejemploPor ejemplo, 5-5, 4-6. En esta situación el espacio , 5-5, 4-6. En esta situación el espacio muestra consiste de 36 sucesos simples muestra consiste de 36 sucesos simples (1-1, 1-2, 2-2, 2-3, 2-4, . . . , 5-6, 6-6) (1-1, 1-2, 2-2, 2-3, 2-4, . . . , 5-6, 6-6) ..


Probabilidad

NotaciónNotación – La letra – La letra PP denota probabilidad. denota probabilidad. AA denota un suceso denota un suceso específico. específico. P(A)P(A) denota la probabilidad que ocurra el suceso A. denota la probabilidad que ocurra el suceso A.

Enfoque Clásico de la ProbabilidadEnfoque Clásico de la Probabilidad

La probabilidad para cualquier evento A es:La probabilidad para cualquier evento A es:

número de eventos en Anúmero de eventos en A

Total de sucesos simples en el espacio muestral Total de sucesos simples en el espacio muestral

Denotado por:Denotado por:

P(s)P(s)

P(n)P(n)

P(A) = P(A) =


Encuentra la probabilidad en cada caso.Encuentra la probabilidad en cada caso.

1.) De obtener un tres en un paquete (mazo) de cartas.1.) De obtener un tres en un paquete (mazo) de cartas.

44

5252PP(3) (3) ==

11

1313PP(3) (3) ==

Existen cuatro 3Existen cuatro 3

Son 52 en totalSon 52 en total

2.) De obtener una canica verde de una canasta que contiene 2.) De obtener una canica verde de una canasta que contiene ocho canicas azules, tres verdes, cinco amarillas y dos blancas. ocho canicas azules, tres verdes, cinco amarillas y dos blancas.

33

1818PP(c.verde) (c.verde) ==

11 66PP(c.verde) (c.verde) ==

Existen tres canicas verdesExisten tres canicas verdes

Son 18 canicas en totalSon 18 canicas en total


Regla de la Adición de ProbabilidadesRegla de la Adición de Probabilidades

P(A ó B) = P(A) + P(B)

P(A ó B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

Cuando A y B no son mutuamente Cuando A y B no son mutuamente exclusivoexclusivo

Cuando A y B son mutuamente exclusivoCuando A y B son mutuamente exclusivo


NombramientoNombramiento SEXOSEXO TotalTotal

MasculinoMasculino FemeninoFemenino

PermanentePermanente 99 2121 3030

TransitorioTransitorio 33 1212 1515

TotalTotal 1212 3333

La escuela elemental Eugenio María de Hostos tiene La escuela elemental Eugenio María de Hostos tiene una facultad compuesta por 45 maestros. La tabla una facultad compuesta por 45 maestros. La tabla resume la distribución de los maestros por sexo y resume la distribución de los maestros por sexo y tipo de nombramiento. Si el Director de la escuela tipo de nombramiento. Si el Director de la escuela desea seleccionar a un maestro al azar para que desea seleccionar a un maestro al azar para que participe en un Congreso de Mejoramiento Escolar, participe en un Congreso de Mejoramiento Escolar, ¿cuál es la probabilidad que escoja una maestra ó a ¿cuál es la probabilidad que escoja una maestra ó a alguien con nombramiento transitorio?alguien con nombramiento transitorio?


Paso # 1Paso # 1:: Encontrar la probabilidad de seleccionar una maestra.Encontrar la probabilidad de seleccionar una maestra.

P(maestra) = 33 45

Paso # Paso # 2:2: Encontrar la probabilidad de seleccionar a alguien con un Encontrar la probabilidad de seleccionar a alguien con un nombramiento transitorio. nombramiento transitorio.

P(A ó B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

Cuando A y B no son mutuamente exclusivoCuando A y B no son mutuamente exclusivo

P(transitorio) = 15 45


Paso # Paso # 3:3: Aplicar la forma para la probabilidad no mutuamente Aplicar la forma para la probabilidad no mutuamente exclusiva exclusiva

P(maestra o transitorio) = P(maestra) + P(transitorio) – P(maestra y transitorio)

33334545

15154545

++ –– 12124545

36364545

PP((maestra o transitoriomaestra o transitorio) ) ==

4455

PP((maestra o transitoriomaestra o transitorio) ) ==


Sucesos independientes y dependientesSucesos independientes y dependientes

Ir a la playa y recibir un aumento de sueldo.Ir a la playa y recibir un aumento de sueldo.

Lanzar una moneda y un dado al aire. Salir cara en la moneda y Lanzar una moneda y un dado al aire. Salir cara en la moneda y cinco en el dado.cinco en el dado.

Obtener en un trébol en un mazo de carta, remplazar la misma y Obtener en un trébol en un mazo de carta, remplazar la misma y obtener otro trébol en una segunda repartición.obtener otro trébol en una segunda repartición.

En una bolsa llena de canicas verdes, azules y amarrillas. Sacar En una bolsa llena de canicas verdes, azules y amarrillas. Sacar una canica azul ser remplazada y en una segunda oportunidad una canica azul ser remplazada y en una segunda oportunidad sacar una canica amarrilla.sacar una canica amarrilla.

Dos sucesos A y B son Dos sucesos A y B son independientesindependientes, si el hecho que el suceso , si el hecho que el suceso A ocurra no afecta la probabilidad de ocurra el suceso B.A ocurra no afecta la probabilidad de ocurra el suceso B.

Dos sucesos A y B son Dos sucesos A y B son independientesindependientes, si el hecho que el suceso , si el hecho que el suceso A ocurra no afecta la probabilidad de ocurra el suceso B.A ocurra no afecta la probabilidad de ocurra el suceso B.


Sucesos independientes y dependientesSucesos independientes y dependientes

Estacionarse en un estacionamiento de impedido y recibir Estacionarse en un estacionamiento de impedido y recibir una infracción.una infracción.

Sacar de un mazo de carta un corazón, no ser remplazada y Sacar de un mazo de carta un corazón, no ser remplazada y obtener en una segunda oportunidad otro corazón.obtener en una segunda oportunidad otro corazón.

En un bolsillo de un pantalón con varias monedas sacar un En un bolsillo de un pantalón con varias monedas sacar un vellón y luego sacar otro.vellón y luego sacar otro.

Dos sucesos A y B son Dos sucesos A y B son dependientesdependientes, si el hecho que el suceso A , si el hecho que el suceso A ocurra afecta la probabilidad de ocurra el suceso B.ocurra afecta la probabilidad de ocurra el suceso B.

Dos sucesos A y B son Dos sucesos A y B son dependientesdependientes, si el hecho que el suceso A , si el hecho que el suceso A ocurra afecta la probabilidad de ocurra el suceso B.ocurra afecta la probabilidad de ocurra el suceso B.


Regla de la MultiplicaciRegla de la Multiplicación de la Probabilidadón de la Probabilidad

Regla 1:Regla 1: Cuando dos eventos son Cuando dos eventos son independientesindependientes, la probabilidad , la probabilidad de que ambos ocurran está dada por de que ambos ocurran está dada por

P(A y B) P(A y B) == P(A) P(A) × P(B)× P(B)

Regla 2:Regla 2: Cuando dos eventos son Cuando dos eventos son dependientesdependientes, la probabilidad , la probabilidad de que ambos ocurran está dada por de que ambos ocurran está dada por

P(A y B) P(A y B) == P(A) P(A) × P(B × P(B AA))


En un juego de azar que combina cartas y un dado, En un juego de azar que combina cartas y un dado, encuentra la probabilidad de obtener en una jugada un encuentra la probabilidad de obtener en una jugada un tres con el dado y una A con las cartas.tres con el dado y una A con las cartas.

Paso # 1Paso # 1:: Encontrar la probabilidad que al lanzar un dado salga Encontrar la probabilidad que al lanzar un dado salga el 3. el 3.

P(3) = 1 6

Paso # Paso # 2:2: Encontrar la probabilidad que salga un A en un paquete Encontrar la probabilidad que salga un A en un paquete de cartas. de cartas.

P(A) = 1 52


PP(3, A) (3, A) = = P(3) P(3) P(A) P(A)

312

1

52

1

6

1

P(3, A) =312

1

Paso # Paso # 3:3: Multiplicar ambas probabilidades. Multiplicar ambas probabilidades.


Osvaldo es unOsvaldo es un empleado de una empresa privada. Ha empleado de una empresa privada. Ha decidido ir el próximo viernes al casino de un hotel para decidido ir el próximo viernes al casino de un hotel para jugar cartas. Encuentra la probabilidad que tiene de jugar cartas. Encuentra la probabilidad que tiene de obtener en una jugada:obtener en una jugada:

a.) a.) Que consiga tres AQue consiga tres A

P(3 A) =132,600

24

50

2

51

3

52

4

P(3 A) =5525

1

Las tres cartas son Las tres cartas son iguales (A´s) por lo cual iguales (A´s) por lo cual el numerador cambia ya el numerador cambia ya que al obtener un A solo que al obtener un A solo quedan en el paquete de quedan en el paquete de cartas 3.cartas 3.


b.) b.) Que consiga un rey, un A y una reinaQue consiga un rey, un A y una reina

PP((rey, A, reinarey, A, reina) ) = = 132,600

62

50

4

51

4

52

4

PP((rey, A, reinarey, A, reina) ) ==575,16

8

Las tres cartas son diferentes por Las tres cartas son diferentes por lo cual el numerador no cambialo cual el numerador no cambia


c.) c.) Que consiga un 3, K Que consiga un 3, K yy 4 4

PP((3, K, 43, K, 4) ) = = 132,600

676

50

13

51

4

52

13

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