Prof. ALFREDO QUISPE JAUREGUI TRIGONOMETRÍA …

X(+)

Y

bC

O L

E G

I O

C É

S A

R V

A L

L E

J O

Prof. ALFREDO QUISPE JAUREGUIFORMULARIO CIENCIASTRIGONOMETRÍA

32

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Es aquel ángulo trigonométrico ubicado sobre el plano cartesiano, en

donde su vértice coincide con el origen de coordenadas, su lado inicial

está contenido en el semieje positivo de las abscisas y el lado final está

sobre cualquier cuadrante o sobre algún semieje.

El ángulo en posición normal es conocido también como ángulo estándar

o ángulo en posición canónica.

Sen(b) = ORCos(b) = ARTan(b) = OA

Csc(b) = ROSec(b) = RACtg(b) = AO

b

-OR

DE

NA

DA

-ABSCISA

RADIO

X

Y

b

-OR

DE

NA

DA

+ABSCISA

RADIO

X

Y

b

OR

DE

NA

DA

-ABSCISA

RADIO

X

Y(-A;O)

(-A;-O)

(A;-O)

O R A R O ASen Cos Tan

Csc Sec Ctg

4 4 4

444

y

x(+)β

> 0 ϵβ < 0 β ϵθθ > 0 θϵ

Ángulos en posición

normal:

LI

LF

LF

Ángulo "b" no está en

posición normal.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

EN POSICIÓN NORMAL

Con respecto a un punto que pertenece a la posición final del ángulo y

cuyo radio vector es R, se establece las siguientes definiciones:

Mnemotecnia:

A:Abscisa

O:Ordenada

R:Radio vector

AutoCAD SHX Text

L ϵ IIC ϵ IIC IIC

AutoCAD SHX Text

L β ϵ IIIC ϵ IIIC IIIC

AutoCAD SHX Text

L θϵ IIIC IIIC

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


33

y

x

P(x;y)r

o

r2=x2+y2 →r= x2+y2

Sen = yr Csc = ry Cos = xr Sec = rx

Tan = yx Ctg = xy

xy

RADIO VECTOR Y LAS RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS

Sea un ángulo en posición normal tal que un punto de su

lado final es ( -5 ; -1 2 ). Hallar las razones trigonométricas

de .

APLICACIÓN

MÉTODO (1) sin graficar

A:Abscisa = -5

O:Ordenada = -12

R:Radio vector = 13

Sen = -1213 Csc = 13-12

Cos = -513 Sec = 13-5Tan = -12-5 Ctg = -5

-12

MÉTODO (2) graficando

r2= (-5)2+(-12)2

r= 25+144 = 13

-12

- 5

1

3

X

Y

Sen = -1213 Csc = 13-12

Cos = -513 Sec = 13-5Tan = -12-5 Ctg = -5

-12

A partir de la gráfica:

Podemos observar del ejemplo anterior que las razones trigonométricas

pueden ser positivas o negativas, esto se debe a que las razones

trigonométricas dependen de la abscisa y la ordenada y estos valores

pueden ser positivos o negativos. (No olvidar que el radio vector es

positivo).

AutoCAD SHX Text

x: Abscisa del ángulo y: Ordenada del ángulo r: Radio vector del ángulo r>0

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


34

Y

X

Todas las

RT son

Sen

Csc

Tan

Ctg

Cos

Sec

IIC

IC

IVCIIIC

(+)

(+)

(+)

(+)

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

IC IIC IIIC IVC

Sen y Csc + + - -

Cos y Sec + - - +

Tan y Ctg + - + -

C

u

a

d

ra

n

te

s

R

a

z

o

n

e

s

Son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado

final pertenece a alguno de los semiejes del sistema

de coordenadas rectangulares.

En las figuras siguientes se muestran algunos

ángulos cuadrantales.

Características:

1. Un ángulo cuadrantal no pertenece a ningún

cuadrante

2. Los ángulos cuadrantales son múltiplos de

90°(90k) 0°; 90°;180°; 270°; 360°; 450°; 540°;

630°; 720°;.........

3. Se deduce que para determinar si un ángulo

es cuadrantal se debe dividir a dicho ángulo

entre 90° y solo si el resultado es un número

entero entonces será ángulo cuadrantal.

90°

270°

180°360°

ÁNGULOS CUADRANTALES

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


35

Y

X(0;0)

90°

180°

270°

360°

Si un ángulo mide 1170° ¿Es ángulo

cuadrantal?

La respuesta es sí porque

1170°

90°

es igual a 13

(número entero).

1170°

Rta:1170° es cuadrantal

1170° 90°

....... 13

En forma general la ubicación de un ángulo (en el

sistema radial) se determina así: (k e Z)

(4k+1)π2

(4k+3)π2

(2k+1)π 2kπ

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


36

Y si un ángulo mide 2030° ¿Es ángulo cuadrantal?

La respuesta es no porque

2030°

90°

no da como

resultado un número entero.

Rta:2030° no es cuadrantal

2030°

2030° 90°

50° 22

¿El ángulo 2090 es cuadrantal?

2090° 90°

2070° 23

20°

Rta:

2090°

no es cuadrantal

2090°

Nota:

Si la división es

exacta el ángulo

es cuadrantal

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


37

¿A qué cuadrante pertenece 2050?

2050° 360°

1800° 5

250°

Rta:

2050° e IIIC

2050°

Para determinar el cuadrante al que pertenece un

ángulo se presentan tres casos.

Caso I: Si el ángulo es positivo y menor de una

vuelta.

En este caso es muy fácil determinar a qué cuadrante

pertenece un ángulo, por ejemplo: 120° ϵ240° ϵ330° ϵ

Caso II: Si el ángulo es positivo y mayor de una vuelta.

En este caso se divide al ángulo entre 360°, luego se

analiza el residuo de la división como en el caso

anterior, por ejemplo:

a Residuo=250°

250° ϵ a2050° ϵ

Nota: El ángulo residuo determina el cuadrante del

ángulo dado.

Caso III: Si el ángulo es negativo.

En este caso una forma de trabajar es sumando 360°

al ángulo o al residuo depende del caso, por ejemplo:

-20°: -20 + 360° = 340°e IVCa-20°e IVC

-1850°:

-1850° 360°

-5

-50°

a-50°+360°=310°e IVC

a-1850° ϵ

AutoCAD SHX Text

ϵ IIC IIC

AutoCAD SHX Text

ϵ IIIC IIIC

AutoCAD SHX Text

IVC

AutoCAD SHX Text

ϵ IIIC IIIC

AutoCAD SHX Text

ϵ IIIC IIIC

AutoCAD SHX Text

ϵ IVC IVC

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


38

0

1 0 -1 0

1

0 -1 0 1

0

N

0 N 0

N

0 N 0 N

1 N

-1 N 1

N 1

N -1 N

R.T 0° 90° 180° 270° 360°

Sen

Cos

Tan

Ctg

Sec

Csc

RT DE ÁNGULOS CUADRANTALES

Donde: N significa no definido

(o i o n i n)

(i o n o n i)

sen cos tan ctg sec csc

sen cos tan ctg sec csc

(-)

(-)

1) i=1;2) n: no definido

Mnemotecnia:

RT DE ÁNGULOS COTERMINALES

Sabemos que los ángulos coterminales tienen los

mismos elementos y que su diferencia es un número

entero de vueltas.

Propiedad:

Las razones trigonométricas de dos o más ángulos

coterminales son respectivamente iguales.

y

x

P(x;y)

ou

Senu=SenaCosu=CosaTanu=TanaCtgu=CtgaSecu=SecaCscu=Csca

RT(u)=RT(a)

-u=360°ka=360°k+u

De la gráfica:

En: RT(u)=RT(a)aRT(u)=RT(360°k+u)

aSen(20°)=Sen(360°k+20°)

Si: k=1aSen(20°)=Sen(380°)

Si: k=2aSen(20°)=Sen(740°)

Si: k=3aSen(20°)=Sen(1100°)

Si: k=-1aSen(20°)=Sen(-340°)

AutoCAD SHX Text

(0°;360°=2π)

AutoCAD SHX Text

(180°=2π)

AutoCAD SHX Text

(270°= )3π2)

AutoCAD SHX Text

(90°= )π2)

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


39

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Se denomina de esta manera a aquella circunferencia

cuyo centro coincide con el origen del sistema de

coordenadas rectangulares y cuyo radio tiene como

longitud la unidad.

180°

90°

270°

360°

r

=

1

u

180°

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°90°

170°

160°

150°

140°

130°

120°

110°

100°

190°

200°

210°

220°

230°

240°

250°

260°

270°

280°

290°

300°

310°

320°

330°

340°

350°

360°

r

=

1

u

r

=

1

u

r

=

1

u

u1

u1

(Cosu;Senu)(-Cosu;Senu)

(-Cosu;-Senu) (Cosu;-Senu)

u2

u3

r

=

1

u

r

=

1

u

C.T.

x

2

+ y

2

= 1

r=1u

Senu

-Cosu

-Cosu

-Senu

u4

P(x;y)

Podemos observar que un ángulo u determina un único punto

P en la circunferencia trigonométrica, si dicho punto tiene

coordenadas (x;y) entonces definimos las razones

trigonométricas de u, de la siguiente manera:

Senu = y Cscu = 1yCosu = x Secu = 1x

Tanu = yx Ctgu = xy

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


40

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS

Como la circunferencia trigonométrica tiene de radio la

unidad, las razones trigonom étricas se pueden

representar mediante segmentos de recta, a dichos

segmentos (dirigidos) se les denomina líneas

trigonométricas.

Línea seno

El seno de un arco, es la ordenada de su extremo.

(ver gráfica anterior)

-1≤ Senu≤+1

Para los ángulos cuadrantales:

Sen0=0; Sen

π2 = 1, Senπ = 0; Sen

3π2 = -1; Sen2π = 0

Linea coseno

El coseno de un arco, es la abscisa de su extremo.

(ver gráfica anterior)

-1≤ Cosu≤+1

Para los ángulos cuadrantales:

Cos0=1; Cos

π2 = 0, Cosπ = -1; Cos

3π2 = 0; Cos2π = 1

Linea Tangente

180°

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°90°

170°

160°

150°

140°

130°

120°

110°

100°

190°

200°

210°

220°

230°

240°

250°

260°

270°

280°

290°

300°

310°

320°

330°

340°

350°

360°

r

=

1

u

r

=

1

u

C.T.

x

2

+ y

2

= 1

Tan50°

Tan230°

Tan120°

Tan300°

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


41

Linea Cotangente

180°

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°90°

170°

160°

150°

140°

130°

120°

110°

100°

190°

200°

210°

220°

230°

240°

250°

260°

270°

280°

290°

300°

310°

320°

330°

340°

350°

360°

r

=

1

u

r

=

1

u

C.T.

x

2

+ y

2

= 1

Ctg150°=Ctg330°

Ctg40°=Ctg220°

Linea Secante

180°

40°

90°

130°

220°

270°

360°

C.T.

x

2

+ y

2

= 1

Sec220°

Sec40°

Sec130°

3π2

π2

2π π 0

1.57

1

2

3.14

4

4.71

5

6.28

0

En la CT:

bservación

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


42

Linea Cosecante

180°

60°

90°

150°

220°

270°

310°

360°

C.T.

x

2

+ y

2

= 1

Csc150°

Csc60°

Csc310°

Csc220°

LÍNEAS AUXILIARES

Línea verso

versa = 1 - cosa

Línea coverso

cova = 1 - sena

Línea exsecante

exseca = seca - 1

CUADRO DE VARIACIÓN DE LAS RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS

C

u

a

d

r

a

n

t

e

s

R

a

z

o

n

e

s

Sen

Cos

Tan

Ctg

Sec

Csc

I II III IV

:Significa que la RT crece

:Significa que la RT decrece

NOTA: Por convención la variación de las razones trigonométricas se

analiza suponiendo una rotación en sentido antihorario.

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


43

EXTENSIÓN DE LAS RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS

Basados en la variación de las líneas trigonométricas

podemos afirmar que:

-1≤ Senu≤+1 -1≤ Cosu≤+1

- ∞ u ∞ - ∞ u ∞- ∞ u≤ 1 ≤ u< ∞-∞ u≤ 1 ≤ Cscu< ∞

Es muy frecuente analizar la variación de las razones

trigonométricas en valor absoluto lo cual lleva a laborar

el siguiente cuadro:

C

u

a

d

r

a

n

t

e

s

R

a

z

o

n

e

s

Sen

Cos

Tan

Ctg

Sec

Csc

I II III IV

C D C D

D C D C

C D C D

D C D C

C D C D

D C D C

C: significa que la RT crece en valor absoluto.

D: significa que la RT decrece en valor absoluto.

APLICACIONES

Qué se puede afirmar acerca de las razones: coseno,

cotangente, cosecante en el IVC, cuando el ángulo

crece

Resolución:

cosx cotx cscx

El valor relativo:

En valor absoluto: C C C

En el IV cuadrante

aCrece en valor absoluto.

AutoCAD SHX Text

<Tanu<+ - <Ctgu<+ <+ - <Ctgu<+ - <Ctgu<+ <Ctgu<+ <+ <Secu -1 y 1 Secu<+ -1 y 1 Secu<+ Secu<+ + <Cscu -1 y 1 Cscu<+ -1 y 1 Cscu<+ +

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


44

u

(Cosu;Senu)(-Cosu;Senu)

(-Cosu;-Senu)(Cosu;-Senu)

COORDENADAS SIMÉTRICAS

u (Cosu;Senu)

(-Cosu;-Senu)

COORDENADAS OPUESTAS

CT

CT

u (-Senu;Cosu)

(Cosu;Senu)

TAMBIÉN SE CUMPLE:

CT

3π2

π2

2π π 0

1.57

1

2

3.14

4

4.71

5

6.28

0

bservaciones

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


45

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

90°

360°180°

360°+ x

180°- x

270°- x

270° - x

270°

IICIC

IVC

IIIC

RT(360° x)= RT(x)

+

-

+

-

RT(180° x)= RT(x)

+

-

+

-

CASO I: Para ángulos positivos menores a una vuelta

90°+ x

90°- x

180°+ x360°- x

RT(270° x)= Co-RT(x)

RT(90° x)= Co-RT(x)+

-

+

-

+

-

+

-

RT(180°±x) = ±RT(x)

Sen(180°- 30°) = + Sen(30°) =

1

2

Sen(180°+ 30°) = - Sen(30°) =-

1

2

Cos(180°- 30°) = - Cos(30°) = -

3

2

Cos(180°+ 30°) = - Cos(30°) =-

3

2

Tan(180°- 45°) = - Tan(45°) = - 1

Tan(180°+ 45°) = + Tan(45°) =+1

Sec(240°)=Sec(180°+60°)=-Sec60°=-2

Csc(225°)=Csc(180°+45°)=-Csc45°=- √2

eIIIC

eIIIC

FÓRMULA:

eII Ó IIIC

IIC

IIIC

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


46

CASO II: Para ángulos positivos mayores a una vuelta

RT(360°k+x) = RT(x)

RT( +x) = RT(x)

k Є Z

Sea:θ>360°Entonces:

RT(θ)= RT(Residuo( θ360°

))

Los ángulos positivos mayores a una vuelta, tienen la forma360ºk + , donde k es un número entero y x es un ánguloagudo menor a una vuelta. Luego se cumple que:

RT(360°±x) = ±RT(x)

Sen(360°- 30°) = - Sen(30°) =-

1

2

Sen(360°+ 30°) = + Sen(30°) =+

1

2

Cos(360°- 30°) = + Cos(30°) =

3

2

Cos(360°+ 30°) = + Cos(30°) =+

3

2

Tan(360°- 45°) = - Tan(45°) = - 1

Tan(360°+ 45°) = + Tan(45°) =+1

Sec(300°)=Sec(360°-60°)=+Sec60°=+2

Csc(390°)=Csc(360°+30°)=+Csc30°=+2

eIVC

eIC

e IVC Ó IC

IVC

FÓRMULA:

Sen5050°= Sen10°

5050° 360°5040° 14 10°

Sen(360°x14+10°)= Sen10°

Ó así:

Aplicación:

NOTA: Si el residuo es mayor

a 90° continuar el caso I

AutoCAD SHX Text

2Kπ+x) = RT(x)

AutoCAD SHX Text

x, donde k es un número entero y x es un ángulo ángulo

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


47

CASO II: Para ángulos positivos mayores a una vuelta

Sen(-x) = - SenxCos(-x) = + CosxTan(-x) = - TanxCtg(-x) = - CtgxSec(-x) = + SecxCsc(-x) = - Cscx

Cuando los ángulos están escritos en radianes:

Reduzca Sen(28π-a)= Sen(-a) = - Sena

28π-a 2π28π 14 -a

-a

Par(π)

IC

IIC

IIIC

IVC

(28π-a)e IVC

Par

Reduzca Tan(61π+a)= Tan(a)

61π+a 2π60π 30 +a

Impar(π)

IC

IIC

IIIC

IVC

(61π+a)e IIIC

Impar

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


48

Reduzca Sen(

25π2 +a)= Cos(a)

IC

IIC

IIIC

IVC

25π2 +a 4π

2254

a

25 4 24 6 1 Indica que el ángulo está en la misma posición de

π2

(4k+1)

π2

+a

Reduzca Tan(

35π2 +a)= -Ctg(a)

IC

IIC

IIIC

IVC

35π2 +a 4π

2354

a

35 4 32 8 3 Indica que el ángulo está en la misma posición de

3π2

35 4 36 9 -1 Indica que el ángulo está en la misma posición de

3π2

(4k-1)

π2

+a

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


49

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

FUNDAMENTALES

DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

r

=

1

u

u

u

Sen

u T

a

nu

C

t

gu

Secu

Csc

u

u

T

Tanu=SenuCosu

Ctgu=CosuSenu

Sen

2u + Cos

2u = 1

1

2

+ Tan

2u = Sec

2u→ 1 + Tan

2u = Sec

2u

1

2

+ Ctg

2u = Csc

2u→ 1 + Ctg

2u = Csc

2u

Identidades por Cociente

Identidades Pitagóricas

Cosu

Las identidades algebraicas usuales

(a+b)

2

=a

2

+2ab+b

2

(a-b)

2

=a

2

-2ab+b

2

(a+b)

3

=a

3

+3a

2

b+3ab

2

+b

3

(a-b)

3

=a

3

-3a

2

b+3ab

2

-b

3

a

2

-b

2

=(a-b)(a+b)

a

3

+b

3

=(a+b)(a

2

-ab+b

2

)

a

3

-b

3

=(a-b)(a

2

+ab+b

2

)

(a+b+c)

2

=a

2

+b

2

+c

2

+2(ab+bc+ac)

A partir de la figura se deducen:

X

Y

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