Producto Punto en Rn

Departamento de Matematicas, CSI/ITESM

17 de junio de 2008

Indice

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3. Producto punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.5. Longitud o norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.6. Distancia entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.7. Vector unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.8. Angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.9. Proyeccion ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.10. Componente vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.11. Propiedades del Producto Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.12. Desigualdad de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.13. Desigualdad del Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.14. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6.1. Introduccion

En este apartado se introduce el concepto producto punto entre vectores en el espacio n-dimensionalası como toda una serie de conceptos relaciones con aspectos geometricos.

6.2. Objetivos

Sera importante que Usted

conozca y opere con producto punto entre vectores en el espacio n-dimensional, y

conozca y opere ciertos conceptos geometricos relacionados con el producto punto.

6.3. Producto punto

Definicion 6.1

Sean ~u =< u1, u2, · · · , un >, y ~v =< v1, v2, · · · , vn > dos vectores cualquiera en Rn. El producto Punto, oproducto escalar, de ~u y ~v se define como

~u • ~v = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn (1)

Ejemplo 6.1

Determine el producto punto entre los vectores:

v =< 2, 3,−4 > y v =< 2,−1,−1 >

Solucion

De la propia definicion del producto punto:

23

−4

•

2−1−1

= (2) · (2) + (3) · (−1) + (−4) · (−1)

= 4 − 3 + 4 = 5�

Nota

Es importante observar que el producto punto es solo entre vectores de la misma dimension: No entre unescalar y un vector; No entre dos vectores de diferente dimension. Tambien debe observarse que el resultadodel producto punto es un escalar, no un vector.

Ejemplo 6.2

Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas:

1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u + 23. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)

5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)7. (~u • ~v)(~v • ~w)

Solucion

1. Indefinida porque (~v • ~w) es un escalar.2. Definida porque es una suma entre escalares.3. Definida porque es un escalar por un vector.4. Definida.5. Definida: es un escalar al cubo.6. Indefinida: lo que falla es la suma de escalar con vector.7. Definida: es un producto entre escalares �

6.4. Ortogonalidad

Definicion 6.2

Dos vectores ~u y ~v, se dice que son vectores ortogonales, si

~u • ~v = 0 (2)

Ejemplo 6.3

Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales:

u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >

Solucion

Los vectores < 2, 3,−4 > y < 1, 2, 3 > no son ortogonales debido a que

< 2, 3,−4 > • < 1, 2, 3 >= (2) · (1) + (3) · (2) + (−4) · (3) = −4 6= 0

2

Los vectores < 2, 3 > y < −3, 2 > sı son ortogonales debido a que:

< 2, 3 > • < −3, 2 >= (2) · (−3) + (3) · (2) = 0�

6.5. Longitud o norma

Definicion 6.3

La norma de un vector ~u se define como

‖~u‖ =√

~u • ~u =√

u12 + · · ·un

2 (3)

Ejemplo 6.4

Determine la norma del vector:v =< 2,−3, 1 >

Solucion

Directamente de la defincion:

‖ < 2,−3, 1 > ‖ =√

(2) · (2) + (−3) · (−3) + (1) · (1)

=√

14 �

6.6. Distancia entre vectores

Definicion 6.4

La distancia euclidiana entre los vectores ~u y ~v, se define como

d~u,~v = ‖~u − ~v‖ (4)

Ejemplo 6.5

Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y el punto Q = (0, 6,−1).Solucion

Directamente de la definicion tenemos:

d~P , ~Q= ‖ < 2, 3, 0 > − < 0, 6,−1 > ‖= ‖ < 2,−3, 1 > ‖=

√

22 + (−3)2 + 12

=√

14 �

6.7. Vector unitario

Definicion 6.5

Un vector ~u se dice vector unitario, o simplemente unitario, si

‖~u‖ = 1 (5)

3

Ejemplo 6.6

Diga si los siguientes vectores son unitarios:

u =< 1, 2 > y v =< 1/√

2,−1/√

2 >

Solucion

El vector < 1, 2 > no es unitario debido a que:

‖ < 1, 2 > ‖ =√

< 1, 2 > • < 1, 2 > =√

1 + 4 6= 1

Mientras que el vector < 1/√

2,−1/√

2 > sı es unitario porque:

‖ < 1/√

2,−1/√

2 > ‖ =√

1/2 + 1/2 = 1�

6.8. Angulo entre vectores

Definicion 6.6

El angulo entre vectores ~u y ~v, se define como el unico numero θ (0 ≤ θ ≤ π)que cumple

cos (θ) =~u • ~v

‖~u‖ ‖~v‖ (6)

Ejemplo 6.7

Determine el angulo entre los vectores ~P =< 1, 2 > y ~Q =< 1,−1 >.Solucion

Como~P • ~Q = 1 − 2 = −1, ‖~P‖ =

√5, ‖ ~Q‖ =

√2

De donde:

cos (θ) =~P • ~Q

‖~P‖ · ‖ ~Q‖=

−1√10

≈= −0.31622,

de dondeθ ≈ 1.8925(en radianes), θ ≈ 108.43o

�

6.9. Proyeccion ortogonal

Definicion 6.7

Sean ~u y ~v dos vectores en Rn, ninguno de los dos el vector cero, La proyeccion ortogonal de ~u sobre ~v se definecomo el vector

~upr,~v =

(

~u • ~v

~v • ~v

)

~v. (7)

En la figura 1 se ilustra la proyeccion ortogonal de un vector sobre otro.Ejemplo 6.8

Determine la proyeccion de ~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >.

4

Componentes de un vector

0

0.5

1

1.5

2

–1

–0.5 0.5 1 1.5 2

Figura 1: Proyeccion Ortogonal

Solucion

Como~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2

Ası

~upr,~v =3

2< 1, 1 >=<

3

2,3

2> �

6.10. Componente vectorial

Definicion 6.8

La componente vectorial de ~u ortogonal a ~v se define como el vector

~uc,~v = ~u −(

~u • ~v

~v • ~v

)

~v (8)

En la figura 2 se ilustra la componente vectorial sobre un vector.

Ejemplo 6.9

Determine la componente ortogonal de ~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >.

Solucion

Como~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2

Ası

~uc~v =< 1, 2 > −3

2< 1, 1 >=< −1

2,1

2>

6.11. Propiedades del Producto Punto

Para cualquier vectores ~u, ~v, y ~w en Rn y escalar c se cumple

5

Componentes de un vector

0

0.5

1

1.5

2

–1

–0.5 0.5 1 1.5 2

Figura 2: Componente vectorial

1 Simetrıa:~u • ~v = ~v • ~u (9)

2 Aditividad:~u • (~v + ~w) = ~u • ~v + ~u • ~w (10)

3. Homogeneidad:

c (~u • ~v) = (c ~u) • ~v = ~u • (c~v) (11)

4. Positividad:~u • ~u ≥ 0 (12)

Ademas,

~u • ~u = 0 si y solo si ~u = ~0 (13)

6.12. Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Teorema

Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn se cumple

|~u • ~v| ≤ ‖~u‖ ‖~v‖ (14)

Ademas, la igualdad se cumple si y solo si los vectores ~u y ~v son multiplos escalares entre sı.

El resultado anterior se conoce como la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

6.13. Desigualdad del Triangulo

Teorema

Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn se cumple

‖~u + ~v‖ ≤ ‖~u‖ + ‖~v‖. (15)

El resultado anterior se conoce como la desigualdad del triangulo.

6

6.14. Teorema de Pitagoras

Teorema

Los vectores ~u y ~v son ortogonales si y solo si se cumple

‖~u + ~v‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2. (16)

El resultado anterior se conoce como el Teorema de Pitagoras.

7