Procesos  Estocás+cos  

Luca  Mar+no  Apuntes  no  revisados  

Cuidado!  

Conceptos  previos    

•  Media  o  esperanza  de  una  variable  aleatoria:  

•  Propiedades:      

€

E X[ ] = xfX (x)−∞

+∞

∫ dxDensidad  

€

E c[ ] = cE cX[ ] = cE X[ ]E X +Y[ ] = E X[ ] + E Y[ ]

€

E g(X)[ ] = g(x) fX (x)−∞

+∞

∫ dx€

E XY[ ] = E X[ ]E Y[ ]

SOLO  SI  SON  INDEPENDIENTES!!!  

Conceptos  previos    

•   Varianza:  

•  Covarianza:  

€

var[X] = E X 2[ ] − E X[ ]2 = E X 2[ ] − µX2

€

var[X] = E (X − µX )2[ ]

= (x − µX )2 fX (x)dx−∞

+∞

∫

€

µX = E X[ ]

€

cov[X,Y ] = E (X − µX )(Y − µY )[ ] =

= E XY[ ] − E X[ ]E Y[ ] = E XY[ ] − µXµY

Conceptos  previos    

•   Coeficiente  de  correlación  lineal:  

•  Dos  variables  se  dicen  incorreladas  si  •  Dos  variables  pueden  ser  incorreladas  pero  no  ser  

independientes!    

•  Pero  si  dos  variables  son  independientes,  son  también  incorreladas!  

€

ρXY =cov[X,Y ]

var[X] var[Y ]

€

−1≤ ρXY ≤1⇒ ρXY ≤1

€

ρXY = 0

     incorreladas  

Independientes  

Proceso  estocás+co  discreto    

•  Se  define  proceso  estocás+co  discreto  una  secuencia                          de  variables  aleatorias,    donde  n  puede  tomar,  en  principio,  cualquier  valor  entero.    

•   Para  cada  valor  de  n  tenemos  una  variable  aleatoria                    .  El  instante  de  +empo  en  este  sen+do  puede  verse  como  un  parámetro.      

•  Por  ejemplo  A  y  B  son  2  variables  aleatorias  dis+ntas.      

€

X[n]

€

X[1],X[2],X[3]........X[n]n∈N

€

X[n]

€

A = X[1]B = X[2]

Proceso  estocás+co  con+nuo  

•  Se  define  proceso  estocás+co  discreto  una  secuencia                          de  variables  aleatorias,    donde  t  puede  tomar,  en  principio,  cualquier  valor  REAL.    

•  El  hecho  que  t  sea  real  no  significa  que  las  variables  aleatorias  (v.a.)  tenga  que  ser  a  valores  con+nuos.  Pueden  ser  v.  a.  discretas  o  con+nuas.  

•   Para  cada  valor  de  n  tenemos  una  variable  aleatoria                    .  El  instante  de  +empo  en  este  sen+do  puede  verse  como  un  parametro.      

•  Por  ejemplo  A  y  B  son  2  variables  aleatorias  dis+ntas.      

€

X(t)

€

t ∈R

€

X(t)

€

A = X(t1)B = X(t2)

Proceso  estocás+co  (P.E.)    

•   En  general,  dado  un  proceso  estocás+co                  ,  

€

X(t)

€

t

€

t

€

t1

€

t2

€

t3

€

t1

€

t2

€

t3

€

t

€

t1

€

t2

€

t3

€

t

€

t1

€

t2

€

t3

€

t1 ≤ t2 ≤ t3Realización  de  un  P.E.  

Muestras  de  la  v.a.  X(t1)  

Con  “muestras  de  una  variable  aleatoria  (v.a.)”  entendemos  números  aleatorios  cuya  densidad  de  probabilidad  es  la  de  la  v.a.  en  cues+ón.  

P.E.  estacionarios  en  sen+do  amplio      

•     Un  proceso  estocás+co  es  estacionario  en  sen+do  amplio  si:            

1.  LA  MEDIA  NO  DEPENDE  DEL  TIEMPO,  NO  VARIA  CON  EL  TIEMPO,  ES  CONSTANTE.    

2.  LA  AUTOCORRELACIÓN  DEPENDE  SOLO  DE  LA  DIFERENCIA  DE  LOS  INSTANTES  DE  TIEMPO.    

€

E X(t)[ ] = E X(t +τ)[ ] = µX

€

RX [t1,t2] = RX (t2 − t1) = RX (τ)

P.E.  estacionarios  en  sen+do  amplio      

•     También  la  varianza  va  a  hacer  constante  porque  

•  No  depende  del  +empo.            

€

var[X(t)] = E X(t)2[ ] − E X(t)[ ]2

RX (0) − µX2 =σX

2

Propiedades  de  la  Autocorr.  

•     En  un  proceso  estocás+co  es  estacionario  en  sen+do  amplio  la  autocorrelación  +ene  estas    propiedades  importantes:          

€

RX (τ) = RX* (−τ) 1.  Es  una  función  hermí+ca.  Para  funciones  reales  

significa  que  es  una  función  simétrica  (par).    

€

RX (0) = E X(t) 2[ ] 2.  En  cero  coincide  con  el  valor  cuadrá+co  medio  (momento  segundo).  Es  un  numero  constante.  

Cuidado,  aunque  aparece  una  t  aquí  es  un  numero  constante  (por  la  estacionariedad).  

€

RX (0) ≥ RX (τ) 3.  El  máximo  está  en  cero.    

Propiedades  de  la  Autocorr.  

•     Otra  propiedad  importante  (siempre  con  estacionariedad):  

•  Intui+vamente  se  puede  entender  porque            

€

limτ→+∞

RX (τ) = µX2 = E[X(t)]2

€

RX (τ) = E X(t)X(t +τ)[ ] →τ→∞

E X(t)[ ]E X(t +τ)[ ]

= E X(t)[ ]E X(t)[ ] = E X(t)[ ]2

Mas  distancia  temporal…  casi  independencia!  

La  autocorrelación  mide,  en  cierto  sen+do,  la    correlación  (lineal)  entre  dos  variables  aleatoria  de  un  mismo  proceso  estocás+co.        

P.E.  estacionarios  en  sen+do  amplio    

€

t

€

t

€

t1

€

t2

€

t3

€

t1

€

t2

€

t3

€

t

€

t1

€

t2

€

t3

€

t

€

t1

€

t2

€

t3

€

t1 ≤ t2 ≤ t3

Misma  media  

La  autocorrelación  depende    solo  de  la  distancia  temporal  

€

τ2

€

τ1

€

τ2 = t3 − t1

€

τ1 = t2 − t1

Proceso  ergódico  en  sen+do  amplio      

€

t

€

t

€

t1

€

t2

€

t3

€

t1

€

t2

€

t3

€

t

€

t1

€

t2

€

t3

€

t

€

t1

€

t2

€

t3

1.  Si  la  media  estadís+ca  coincide  con  la  media  temporal  (claramente  es  constante).  2.  Si  la  autocorrelación  estadís+ca  coinciden  calculado  la  autocorrelación  temporal.    

Proceso  ergódico  en  sen+do  amplio    

•     Un  proceso  estocás+co  para  ser  ergódico  necesita  ser    estacionario.            

P.E.  estacionarios  

P.E.  ergódicos  

€

limT→∞

12T

X(t)dt = µX−T

+T∫

limT→∞

12T

X(t)X *(t +τ)dt−T

+T∫ = RX (τ)

Proceso  blanco  

•   Es  un  par+cular  proceso  estocás+co  estacionario  donde  el  autocorrelación  es  una  delta:  

•   Si  tenemos  una  secuencia  de  variables  independientes  también  la  correlación  tendrá  la  misma  forma!  

€

RX (τ) =ηδ(τ)

€

τ = 0

€

τTodas  las  variable  X(t1),  X(t2)….  son  incorreladas  menos  que  ellas  mismas!    

     incorreladas  

Independientes  

Proceso  blanco  

•   Va  a  tener  siempre  media  nula  porque  

€

RX (τ) =ηδ(τ)

€

τ = 0

€

τ

€

limτ→+∞

RX (τ) = µX2 = 0→µX = 0