PROCESOS Y CAMBIO Y VARIACION 19ensech.edu.mx/documentos/antologias/par/SEMESTRE PAR2-12/6sem… ·...

INDICE

INTRODUCCION……………………………………………………………………………………………………………………….

3

ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS………………………………………………………………………………….

3

ORIENTACIONES DIDACTICAS

4

SUGERENCIAS DE EVALUACION…………………………………………………………………………………………….

4

BLOQUE I

Cantidades Proporcionales y No Proporcionales…………………………………………………………………….

6

BLOQUE II

La Razón De Cambio……………………………………………………………………………………………………………….

18

BLOQUE III

La Razón De Cambio Instantánea y la Noción de Derivada…………………………………………………..

25

MATERIALES DE APOYO

¿Por qué Enseñar Proporcionalidad?

Fiol. Mora Ma. Luisa…………………………………………………………………………………………………………………

43

La Existencia De Diferentes Interpretaciones de las fracciones

Linares, Salvador…………………………………………………………………………………………………………………….

46

Modelación Matemática con Apoyo De la Calculadora Graficadora TI-92

Hitt, Espinoza Fernando………………………………………………………………………………………………………….

72

2

Nuevas Tendencias En La Didáctica Del Calculo Diferencial

Wenselburger, Guttenberger Elfride………………………………………………………………………………………

80

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS……………………………………………………………………………………………

113

3

INTRODUCCIÓN

Un aspecto central en el estudio y desarrollo de Procesos de cambio y variación es el poder

expresar, de manera compacta y eficiente, una gran variedad de ideas matemáticas inmersas

tanto en la misma disciplina como en otros contextos. Esto permite que con ideas algebraicas se

puedan estudiar diferentes clases de relaciones, uno a uno, uno a dos, etcétera, entre objetos

matemáticos, entre las que destacan las funciones. La proporcionalidad es útil para abordar y

analizar una gran cantidad de problemas usando propiedades de manera adecuada.

El uso de alguna computadora (software) o calculadora graficadora puede ser de utilidad para los

estudiantes en el planteamiento de conjeturas y como herramienta para graficar, visualizar y

entender el significado de ciertas relaciones matemáticas. En particular se recomienda el uso de

la "hoja de cálculo" como herramienta, para que el estudiante desarrolle conceptos de la

proporcionalidad tales como la búsqueda de patrones, funciones y modelación. Por supuesto, su

uso depende de la disponibilidad de estos instrumentos y de los materiales de apoyo que el

profesor pueda recibir y generar durante su práctica.

ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS

El estudio de esta asignatura se organiza alrededor de tres bloques fundamentales. Aun cuando

cada eje se presenta por separado, es importante mencionar que éstos siempre aparecen

conectados y relacionados en la práctica de promover el desarrollo del proceso de cambio y

variación; por ejemplo, las actividades que se mencionan en cada uno de los ejes, generalmente

abordan temas de varios de ellos. Además, en las actividades se ilustran algunas estrategias

como el uso de tablas, diagramas, gráficas y fórmulas que los estudiantes deben emplear

continuamente en sus experiencias de aprendizaje.

Las actividades que se presentan son vistas como ejemplos tipificados que los maestros pueden

utilizar para llevar a cabo el estudio; se trata de que se tomen como punto de referencia para

construir o diseñar otros tipos de problemas o extensiones. En cada bloque se identifica un

conjunto de contenidos que el maestro debe atender durante la aplicación de las actividades; se

pretende que los recursos matemáticos y las estrategias adquieran sentido o emerjan durante el

proceso de solución de las actividades.

4

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme

en un medio donde el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la

disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el

estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se

presentan de cierto modo. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de

problemas o preguntas con los cuales el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y

resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta

perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver

incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas.

Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un espacio

de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta comunidad, la

actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a resolver los

problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la situación. Analizar la

pertinencia de los procedimientos y evaluar el potencial particular o general de éstos, son

actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de clase. El papel

del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por

parte de los estudiantes. En tal sentido, es importante que tenga en consideración los

conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes.

SUGERENCIAS EVALUACIÓN

Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los

contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro

grandes categorías:

El desempeño actitudinal del participante

El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje

El diseño del curso

El desempeño del maestro estudiante durante las clases presénciales

En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del maestro estudiante, como: la

disposición hacia la integración como miembro del grupo, la apertura hacia compartir ideas y

juicios; apertura ante las tareas de aprendizaje; tolerancia a las opiniones de los demás; su

participación en actividades de trabajo colaborativo; entre otras.

5

En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente

programa de Los números naturales y sus relaciones, como; la capacidad de análisis y síntesis,

las habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades, entre otras.

En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos

de vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas no

solo del maestro estudiante, sino también de los profesores frente al despliegue de la disciplina,

este apartado, debe considerar algunas subcategorías como: la declaración de intenciones por

parte del facilitador, si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases, si presenta los

propósitos generales y particulares del curso, si incorpora aprendizajes de conocimiento,

habilidades y actitudes; si las actividades están directamente relacionadas con los propósitos

implícitos y explícitos; si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que implique al

alumno estudiante como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje, y todos

aquellos aspectos que el docente considere necesarios, y sobre todo que ayuden en la

reorientación y planificación de actividades que tengan mayor consistencia.

Finalmente, en el último aspecto sugerido, es conveniente incorporar reflexiones que tiendan a

evaluar la asistencia y participación del maestro alumno, como: si las tareas solicitadas se

realizan en tiempo y forma; si el maestro alumno asiste a la clase presencial con los materiales

analizados previamente; si escucha las presentaciones y opiniones de sus compañeros; si hace

contribuciones en las discusiones que se generen en el grupo, si tiene dominio sobre la

información que discute; si sus aportaciones tienen el carácter de novedosos y relevantes en las

discusiones generadas; si sus argumentos e ideas son presentadas con la lógica proposicional,

etcétera.

Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al docente como al maestro

estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las reorientaciones

pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.

6

BLOQUE I

CANTIDADES PROPORCIONALES Y NO PROPORCIONALES

PROPÓSITOS

Al término de las actividades propuestas, el profesor – estudiante será capaz de:

1. Resolver problemas que impliquen proporción directa

2. Resolver por el método de comparación problemas que impliquen el uso indirecto de la

proporcionalidad

3. Utilizar los principios de semejanza (Teorema de Tales) para el planteamiento y

resolución de problemas por triangulación utilizando la proporcionalidad múltiple

TEMAS

1. Proporcionalidad directa

2. Proporcionalidad inversa

3. Proporcionalidad múltiple

ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN:

Analice, junto con los profesores estudiantes, el estudio inicial que propone el Dr. David Block S,

respecto de la “proporcionalidad”, del ciclo de conferencias editadas por la Secretaría de

Educación Pública durante el período 2001 – 2002, (octubre 5 de 2001); en particular, analice los

patrones que se presentan en:

1. Razón interna

2. Razón externa, y

3. Conservación de la propiedad aditiva

De Fiol, Mora Ma. Luisa y Josep Ma. Fortuny, (1990), Proporcionalidad directa. La forma y el

número, analice y discuta con los profesores alumnos el apartado 6. 1, ¿POR QUÉ ENSEÑAR LA

PROPORCIONALIDAD?, páginas 117 – 119, al final, pida a los participantes que agrupados en

equipos de 5, presenten sus conclusiones al grupo, se sugiere que utilicen medios alternativos,

como el escritorio del software “Power – Point” para promover el pensamiento critico y creativo

7

De Fiol, Mora Ma. Luisa y Josep Ma. Fortuny, (1990), Proporcionalidad directa. La forma y el

número, discuta con los profesores estudiantes en qué sentido se utilizan las “matemáticas y el

lenguaje” como un sistema sintáctico y como un sistema semántico, en particular, en el primer

caso, como un sistema sintáctico, revise por qué el uso del lenguaje de las matemáticas está en

sentido peyorativo y como consecuencia sin un marco real tal, que pueda ser apropiado para los

alumnos del nivel de secundaria, discuta además, en qué sentido los autores definen al lenguaje

de las matemáticas como un sistema de signos y reglas que no tienen sentido para quienes

estudian matemáticas y que proponen en su caso. En el segundo rubro de este primer apartado,

“como un sistema semántico”, revise la propuesta de los autores desde la perspectiva de la

Psicogenética para el estudio de las relaciones, en particular, las asociaciones a que refieren este

apartado con la teoría cognitiva, al término de las discusiones, presente al grupo sus

conclusiones, cuide que estas se encuentren en el marco del mapa conceptual de la teoría

cognitiva y el campo de la proporcionalidad.

Analice, del material de apoyo, el comportamiento de los números racionales y establezca las

formas en que se combina este con las razones y proporciones; así mismo, solicite a los

profesores estudiantes redacten un informe en el que se consigne cómo el estudio de los

números racionales permite un mejor acercamiento con el estudio de la proporcionalidad.

De los mismos autores, discuta con los profesores estudiantes en qué sentido se plantean los tres

conceptos básicos de la proporcionalidad, el lenguaje cotidiano, el lenguaje gráfico y el lenguaje

formal, por ejemplo, el sentido del término proporcionalidad como equivalente de “armonía”, en

este sentido, cite algunos otros ejemplos para consignar, en el lenguaje cotidiano a la

proporcionalidad; respecto del uso de la proporcionalidad en el lenguaje gráfico, señale ejemplos

como un avión en miniatura (réplica de uno real), la fotografía de un almacén, etcétera y cómo

se puede utilizar el lenguaje gráfico para el cálculo de la proporcionalidad de estos y otros

objetos, como se puede apreciar en el siguiente esquema:

finalmente, en el apartado del lenguaje formal, encuentre la relación del video analizado y los

registros que se pudieran haber tomado, ya que será el estudio que nos ocupe durante el período

semestral.

8

Utilizando el recurso de la “ficha bibliográfica”, registre algunos aspectos que aludan a los puntos

anteriores, en el periódico, por ejemplo, o en revistas, o en algunos textos; utilice los referentes

consignados en el documento rector que aparece en el apartado de “material de apoyo de la

asignatura”

Establezca, con los profesores estudiantes, una especie de debate para establecer las normas y

patrones que se presentan en tablas, gráficas, etcétera y con ellas interpretar mediante patrones

algebraicos, las relaciones de las cantidades que puedan quedar implicadas, ejemplos como:

O bien:

Resolver ejercicios vinculados a otras ciencias del conocimiento, resultan atractivos para

establecer los patrones numéricos y las reglas que le anteceden, como:

9

EL ERROR NORMAL ASOCIADO AL TACTO

Observa el gráfico de la izquierda, representa

el “error asociado al tacto” significa que al

presionar una determinada área d nuestro

cuerpo, esta se siente de dos formas: las

barras negras, representan la distancia

mínima necesaria para que el estímulo

produzca una reacción y las barras blancas

señalan la distancia mínima media necesaria

para que el contacto percibido realmente se

sienta la precisión del sentido del tacto varia

mucho de una zona del cuerpo a otra.

Con esta información y de acuerdo con el

gráfico de la izquierda, contesta la siguiente

tabla:

FUENTE: Libro para el maestro, Página No. 326

Teniendo como referencia el marco teórico de la proporcionalidad entre magnitudes, discuta junto

con los profesores estudiantes, vía múltiples ejercicios, el comportamiento de las mismas, así

mismo, establezca los patrones que se presentan en cada uno de ellos, por ejemplo, utilizar la

Ley de Hooke en sus dos vertientes

10

CARGA DEFORMACIÓN RAZÓN K %

25 kg

50 kg

75 kg

100 kg

125 kg

150 kg

175 kg

TOTAL

CARGA ELONGACIÓN RAZÓN K %

25 kg

50 kg

75 kg

100 kg

125 kg

150 kg

175 kg

TOTAL

Este tipo de situaciones, y sin duda muchas más, resultan un buen ejercicio para establecer:

1. El concepto de magnitud y medida

2. Propiedades de la magnitud

3. Proporcionalidad entre magnitudes

4. Constante de proporcionalidad

5. Razones entre magnitudes

6. Teoría de la proporción

Por lo que se sugiere que solicite a los profesores estudiantes establezcan dichos conceptos y

presenten al grupo los registros que los condujeron a obtener estas conclusiones.

11

Por su parte, el Fichero de actividades didácticas de matemáticas de la SEP, ofrece otras

alternativas para el ejercicio y aplicación de estos patrones encontrados, por lo que se sugiere:

1. Respecto del primer gratado las fichas:

No. 9, 11, 13, y 16 sean contestadas

2. Respecto de segundo grado,

Las fichas: 3, 11, 17 sean contestadas

3. Respecto del Tercer grado

Las fichas 1, 3, 11, 13, y 16 sean contestadas

El ejercicio de la homotecia, ofrece alternativas múltiples para aplicar los patrones encontrados,

como:

12

10. Otras aplicaciones de la proporción directa es el caso del Teorema de Tales para encontrar

magnitudes inaccesibles, como:

13

Por lo que se sugiere el trabajo colegiado a fin de corroborar si dichos patrones forman parte de

los contenidos procedimentales en las aplicaciones mencionadas en los esquemas anteriores.

Establecer otras relaciones numéricas, por ejemplo, con el movimiento uniformemente acelerado,

resulta conveniente discutirlo con el grupo de profesores estudiantes para establecer otros

patrones, que sin duda se encuentran en el marco de la proporcionalidad, en tal caso, se sugiere

utilizar el material elaborado por la Secretaría de Educación Pública a través de la Dra. Teresa

Rojano y su grupo de colaboradores, entre la cual está el diseño del material elaborado en la hoja

electrónica de cálculo del Dr. Simón Mochón Cohen (material adjunto, exclusivo para el titular de

la materia)

14

O el archivo de referencia para el tiro vertical:

O el archivo para revisar el comportamiento frecuencial de ondas sonoras

Conviene, en la formación de los profesores estudiantes, que revisen la lectura “Modelación

matemática con apoyo de la calculadora graficadora TI-92” de Fernando Hitt Espinosa, a fin de

15

establecer los patrones y modelar los comportamientos encontrados, se sugiere remplazar la

calculadora TI – 92 o TI – 92 PLUS por la hoja electrónica de cálculo

Sin embargo, estas citas permiten establecer el patrón que debe ser utilizado en la “proporción

indirecta”; por lo que se sugiere se citen en el salón de clase algunos ejemplos que tengan que

ver con variaciones inversamente proporcionales, es decir, al crecer una magnitud, en la relación

con otra, resulta inversamente proporcional, en ese sentido, es conveniente citar algunos

patrones numéricos en tablas que permiten advertir estos patrones y las condiciones en que

operan, como:

16

Realice una especie de debate para que los profesores estudiantes señalen los principios básicos

de la proporcionalidad de segmentos citada por Ma. Luisa Foil y Joseph M. Fortuny en

“proporcionalidad directa, la forma y el número”, páginas 45 – 51; destaque en este debate, la

importancia que tiene este estudio para establecer los principios del Teorema de Tales,

consignados en la misma lectura:

De igual manera, analice el postulado de “la proporción divina”, e intente establecer la misma en

algunas obras, como la de Leonardo Da Vinci, Miguel Ángel o Luca Pacioli, y que a continuación

se muestran:

El hombre Virtuvian

Templo de Artemisa en Efeso

En la naturaleza, como:

Un buen ejercicio que tiene que ver con la proporción, es realizar los trazos en algunas de las

obras o construcciones de la antigüedad, más aún, en las obras modernas, el propósito de esta

actividad, es, a juicio del esquema, poner en práctica, por un lado la razón áurea y por otro las

aplicaciones que se han hecho a lo largo de la historia hasta nuestros días.

17

La cara de una persona

en El cuerpo humano

El Hombre Virtuvian de

Leonardo Da Vinci

El Templo de Artemisa en Efeso

Como colofón de este primer bloque de estudio, solicite a los profesores alumnos integren una

colección de problemas que tengan que ver con el cálculo de la proporción, además de que

aparezcan algunas razones y sus constantes, estos deberán cumplir con las restricciones de las

que hemos venido hablando y sobre todo que incorporen problemas relativos a secuencias

numéricas respecto de la economía, la física, la química, densidades poblacionales, etcétera y

sobre todo que se pondere lo relativo a las constantes estudiadas en este primer apartado de la

materia

Finalmente:

Resuelva los ejercicios que se presentan en Proporcionalidad directa. La forma y el número,

páginas 42 – 44.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Fiol, Mora Ma. Luisa y Josep Ma. Fortuny, (1990), Proporcionalidad directa. La forma y el número, Madrid,

Síntesis (Matemáticas: Cultura y aprendizaje, 20).

Llinares, Salvador y Ma. Victoria Sánchez, (1988), Fracciones, Madrid, Síntesis (Matemáticas: Cultura y

aprendizaje, 4).

18

BLOQUE II

LA RAZÓN DE CAMBIO

TEMAS

1. Cálculo de razones de cambio en diferentes contextos

2. Relación entre razones de cambio y pendientes de rectas

3. Razones de cambio constantes y variables

PROPÓSITOS

Al término de las actividades propuestas el profesor estudiante será capaz de:

1. Comprender las tendencias actuales para el tratamiento del Cálculo diferencial

2. Analizar el desarrollo histórico de dichas tendencias

3. Analizar y comprender el problema de la continuidad

4. Determinar el concepto de la determinación de la razón de cambio

5. Analizar la relación entre razón de cambio y pendientes de rectas

6. Analizar la razón de cambio variables entre dos puntos de una curva

7. Determinar la gráfica de razones de cambio de curvas y su representación como función

ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN

Socialice con el grupo de profesores estudiantes cómo fue el tránsito por el estudio del Cálculo

diferencial, cómo lo aprendió, qué tanto recuerda, cómo lo recuerda, con qué lo relaciona y si

tuvo alguna aplicación práctica en su vida, primero como estudiante, luego como parte de una

sociedad en vías de cambio y ahora como parte importante en la formación de jóvenes

Discuta con el grupo de profesores estudiantes cómo es que se habla de “las nuevas tendencias”,

es decir, en qué sentido se editaban libros de texto, sus fundamentos, correlaciones, etcétera,

respecto del tratamiento básico para el estudio del Cálculo diferencial, se sugiere centrar la

atención en la propuesta de Elfride Wenzelburger en lo que el llama matematizar como recurso

para abatir la falta de comprensión por parte de los alumnos para el alcance verdadero en el

significado de los números, motivo de estudio del presente bloque de trabajo de la materia.

19

Se sugiere utilizar la lectura: “Nuevas tendencias en la didáctica del Cálculo diferencial” propuesto

en la sección de materiales de apoyo

Discuta con el grupo de profesores estudiantes los fundamentos que se presentan a los alumnos

en cuanto a las series, sucesiones y límites, como referentes previos para el tratamiento del

Cálculo Diferencial, se sugiere poner en la mesa de discusión algunos aspectos que tiene que ver

con la formalización y sistematización de este tipo de tratamiento

Es importante ver “series y sucesiones” de Baldor (Pp. ), y “límites” de Granville (Pp. 16 – 24)

con el propósito de revisar puntualmente las intenciones de los autores en las sugerencias

didácticas para su tratamiento; por otro lado, discuta con el grupo a qué condujo este proceso de

formación de los docentes que desplegaron estas formas de trabajo, sobre todo, puntualice el

impacto que tiene este tipo de despliegue áulico en los alumnos. Al respecto, se sugiere analizar

y discutir la lectura “Desarrollo histórtico del Cálculo Diferencial y el problema de continuidad”

que se presenta en el apartado de los materiales de apoyo

Revise, a partir de dos series dependientes, la representación gráfica de ella; al respecto, dicuta

la relevancia de este análisis a partir del video de la conferencia de David Block, analizada al

inicio de las tareas de la materia, centre la atrención en la razón entre dos puntos y establezca si

esta tiene un movimiento continuo o discontinuo; de igual manera, discuta con el grupo de

profesores estudiantes el contexto en que se analizaría dicha serie. La lectura sugerida en el

punto anterior nos proporciona elementos sustanciales para el propósito esperado, de modo que

se sugiere que nuevamente se ponga en la mesa de la discusión su contenido.

De igual manera, discuta con el grupo de profesores estudiantes en qué sentido aparece la

continuidad o discontinuidad de puntos sobre la recta y sobre todo puntualice la necesidad de ir

construyendo las bases fundamentales de la razón de cambio.

Después de analizar la lectura “Consideraciones generales” que aparece en el apartado de los

materiales de apoyo, resuelva los siguientes planteamientos:

Al lanzar un pequeño cohete para observaciones meteorológicas se observa la siguiente

trayectoría

20

0100200300

400500600700

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(a) Tiempo en segundos

Altu

ra e

n ki

lóm

etro

s

Altura máxima

Se abre el paracaidas

Termina el combustible

Y se miden las siguientes velocidades:

-200

-100

0

100

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

(b) Tiempo en segundos

Altu

ra e

n ki

lóm

etro

s/s

Altura máximaSe abre el paracaidas


Conteste las siguietes preguntas:

Indique las variables dependientes e independientes de cada uno de los gráficos

anteriores.

¿Qué representa la figura 2.1b y qué información proporciona?

¿Cuál es la altura máxima del cohete?

¿Por qué se encuentra la gráfica en la figura 2.1b después de 24 segundos por debajo el

eje de las “x”.

21

Una enfermera controla la temperatura de un paciente y registra los resultados:

Horas 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00

Temperatura36 37 37.2 37.8 37.9 40 40 40 37.6

¿Cuáles es cambio de temperatura entre las 16:00 y las 17:00 horas, las 19:00 y las

22:00 y las 22:00 horas y ls 23:00?

Trazar la curva de fiebre del paciente

Calcular las razones de cambio entre las 15:00 y las 23:00 horas para intervalos de una

hora

Graficar los valores obtenidos en c

Complete la siguiente tabla:

Horas Temperatura Razón de cambio

15:00 36

16:00 37

17:00 37.2

18:00 37.8

19:00 37.9

20:00 40

21:00 40

22:00 40

23:00 37.6

Conteste la siguente tabla respecto del gráfico correspondiente

Temperatura Gráfica Razón de cambio

Sube sube positiva

queda igual

Baja

Obtenga algunas conclusiones, como:

¿Qué es una razón de cambio?

¿Cómo se calcula la razón de cambio?

¿Qué es una razón de cambio promedio?

¿Cómo se calcula la razón de cambio promedio respecto de la variable temperatura?

22

¿Cuál es el modelo matemático que en general se utilizaría para el Cálculo de la razón de

cambio promedio de “y” respecto de “x”?

Para apoyar las conclusiones que se solicitan, discuta con el grupo de profesores estudiantes la

lectura “Derterminación de la razón de cambio” que se propone en el apartado de los materiales

de apoyo.

Otro aspecto importante de la mesa de discusión entre los profesores alumnos es aquella que

tiene que ver con una superficie como el resultado del movimiento de una línea, al respecto,

intente recuperar los conocimientos adquiridos en “Medición y Cálculo Geométrico”, este

engarzamiento constituye la base fundamental para la comprensión de la razón de cambio en la

curva y que más adelante formará parte importante de la cultura matemática en la formación de

los estudiantes, tal es el caso del tratamiento de “Plano cartesiano y sus funciones”

Se sugiere discutir los siguientes problemas:

El francés De Montbeillard midió la estaura de su hijo entre los años de 1759 a 1777 todos los

años el día de su cumpleaños. Con los valores obtenidos hizo las siguientes gráficas:

analice los gráficos anteriores utilizando los siguientes planteamientos como punto de partida:

23

De acuerdo con la gráfica de la izquierda, ¿cuál fue el período de crecimiento más rápido

del niño?

Ídem para la gráfica de la derecha

Durante la pubertad, suele aumentar “la tasa de crecimiento” ¿Con qué edad empezó

este aumento?

De acuerdo con la gráfica de la izquierda, calcule las razones de cambio para períodos de

3 años ¿Cuál es la razón de cambio más grande y cuál más pequeña?

La gráfica de la izquierda está dada por

segmentos, determine las pendientes de cada

uno de los segmentos

La siguiente gráfica, representa la producción de 100 Kg. de cocoa entre los años de 1972 y

1977, analice y conteste los siguientes planteamientos:

¿En qué año se produjo el incremento más grande en el precio?

¿En qué año hubo una baja?

Elabore una gráfica en la que registre los años 1972, 1874 y 1976

¿Qué información se pierde de esta manera?

La gráfica esta dada por segmentos de recta. Calcule las pendientes de cada segmento de recta

¿Qué segmento de recta tiene la mayor pendiente?

¿Qué segmento de recta tiene la menor pendiente?

24

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Wenzelburger, Elfride. Cálculo diferencial. Una guía para maestros y alumnos, México 1993, Grupo Editorial

Iberoamérica.

25

BLOQUE III

LA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA Y LA NOCIÓN DE DERIVADA

PROPÓSITO:

Al término de las actividades que se sugieren el profesor estudiante será capaz de:

1. Establecer una relación numérica para el cálculo de la razón de cambio instantánea

2. Construir, a partir de la noción de derivada, los primeros modelos para el cálculo

diferencial

TEMAS

1. Métodos numéricos para calcular razones de cambio instantáneas

2. Construcción de las primeras fórmulas para las derivadas

ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN

Discuta con el grupo de profesores estudiantes el contenido de la lectura “El problema de las

decisiones simultáneas”, se sugiere centrar la atención, por un lado, en los aspectos relacionales

de dos magnitudes y por otro en el establecimiento de dos funciones para determinar la derivada,

como resultado de tomas decisión, además, se sugiere discutir y argumentar, por qué E.

Wenzelburger llama a estos procesos propuestos material significativo.

De igual manera, y teniendo como marco la lectura sugerida en el punto anterior, solicite a los

alumnos que describan algunas funciones de la familia cuadráticas a fin de establecer series y

sucesiones que tengan la continuidad para el cálculo de razones de cambio instantánea e ir

relacionando estos procesos cualitativos con procesos numéricos algebraicos

Analice y discuta los elementos constitutivos que plantea E. Wenzelburger para la resolución el

problema del lanzamiento del cohete, discuta con el grupo de profesores estudiantes en torno a

las dificultades que se pueden enfrentar al realizar un análisis grafical de un problema, al mismo

tiempo elabore algunas conclusiones acerca de las dificultades que representa hacer un análisis

de tipo grafical

26

Ponga en la mesa de la discusión la lectura “Una notación más compacta para el cociente de

diferencias” a fin de llegar a la conclusión que se espera de parte de quienes participan en el

proceso de formación de docentes en un primer acercamiento de dicha notación (∆x), advierta

que esta connotación tiene su origen en la materia de “pensamiento algebraico” en el

establecimiento del modelo que responde al cálculo de la pendiente de una recta, al mismo

tiempo que se inicia con los primeros acercamientos al Cálculo diferencial respecto del cálculo de

la razón de cambio instantánea

De acuerdo con el gráfico de la izquierda:

Encuentre las pendientes de cada uno de los segmentos de recta, es

decir, del punto(1,3) al punto (2, 5); del punto (2, 5) al punto (3, 7) y

del punto (3, 7) al punto (0, 1), advierta que en todos los casos la

razón de cambio es igual. Concluya que esta puede tomarse como el

valor numérico de la pendiente, pero que además representa la

derivada de la recta, es decir, y’ = 2

De igual modo, utilice el gráfico de la izquierda.

Para calcular las razones cambio de cada segmento de

recta, su representación algebraica y la relación que guarda

cada razón de cambio respecto de las demás, advierta que

en este caso, ocurren rompimientos en la continuidad de las

razones de cambio, de modo que difícilmente se puede

establecer, al menos por este método, el cálculo de la

derivada de la curva

Utilice el siguiente gráfico para determinar razones de

cambio en la curva y registre los datos en la siguiente

tabla::

27

Puntos Coordenadas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

28

Agregue una columna en la tabla anterior para en ella calcular las razones de cambio

instantáneas de punto a punto, analice el comportamiento que se obtiene a fin de concluir con la

derivada de curvas, como en el caso anterior

Discuta con el grupo de profesores estudiantes el contenido de la lectura “La transición de la

razón de cambio promedia de cambio instantánea”, propuesta en la sección del material e apoyo

para el estudio de la materia “procesos de cambio y variación”; advierta que este contenido nos

lleva a la conclusión:

12

12xx

yy

xy

−

−=

∆∆

Ponga en la mesa del análisis la lectura “Una interpretación geométrica del procesos ∆x → 0”

propuesta en el apartado de los materiales de apoyo, a fin de clarificar el comportamiento de las

tangentes e diferentes contextos, concluya que: “El valor numérico al cual se aproxima x

y

∆

∆

cuando ∆x → 0 es la razón d cambio instantánea

Discuta con el grupo de profesores estudiantes la génesis d los métodos numéricos que puede

utilizar para aproximar las razones cambio instantáneas, a partir del siguiente gráfico:

Resuelva, junto con sus compañeros de grupo los siguientes planteamientos:

29

De un globo de aire caliente dejamos caer un saco de arena. En el siguiente esquema vemos

donde se encuentra el saco de arena después de 1, 2, 3, 4,... segundos

En la siguiente tabla organice los datos recogidos del análisis

realizado:

Establezca, en la siguiente tabla, los pares ordenados encontrados en

el análisis

Dibuje la gráfica de la distancia recorrida por el saco en el siguiente

sistema de coordenadas

Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Distancia

Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Distancia

Pares ordenados

30

Calcule las razones de cambio promedio (velocidad) en los intervalos 0 – 1 segundos y 7 – 8

segundos

¿Cómo se puede ver de la gráfica en qué intervalo de tiempo el saco alcanzó su velocidad

máxima?

¿Qué trayectoria describe la caída del saco de arena?

En un experimento de laboratorio estudiamos la caída libre de una pequeña bola de hierro. La

siguiente figura representa la distancia recorrida por la bola como función del tiempo entre 1 y 5

segundos

31

De acuerdo con los gráficos anteriores:

Calcule las razones de cambio de la distancia (velocidad promedio) en el intervalo de 15. a 2.5

segundos

Calcule la pendiente de la recta AB

Complete la siguiente tabla. Los intervalos ∆t empiezan a los 1.5 segundos. ¿Cuál es

aproximadamente la velocidad “instantánea” después de 1.5 segundos?

32

Intervalo ∆t 1.0 seg 0.8 seg 0.6 seg 0.4 seg 0.2 seg

Razón de cambio 64 ft/s

Velocidad promedio

Estimar la velocidad instantánea después de 2 segundos. Elegir intervalos de 0.5, 0.1 y 0.01

segundos

Grafique en un sistema de coordenadas los resultados obtenidos en la tabla

Para 1.0 segundos

Para 0.8 segundos

Para 0.6 segundos

Para 0.4 segundos

33

Para 0.2 segundos

Advierta que la secante AB, en todos los casos, se convierte en tangente en A en la medida en

que B se acerca a A

La siguiente figura representa el área de una herida abierta en relación al tiempo

34

Estimar las razones cambio instantáneas (velocidad de curación) después de 1, 3, 5, 11 y 13 días

Trazar tangentes a la curva en los puntos que corresponden al área después de 1, 3, 5, 11 y 13

días

Calcular las pendientes de las tangentes en b

Trazar una curva aproximada que represente las velocidades de curación

¿Cuál es la velocidad de curación máxima?

¿Cuál es la velocidad de curación mínima?

La siguiente figura representa las distancias que recorre una bola de hierro entre 0 y 3.5

segundos

35

La fórmula que describe la caída libre es:

h(t) = 16 t2 (distancia en ft, tiempo en segundos)

Compare los valores de h(t) después de 1, 2 y 3 segundos obtenidos por la fórmula, con los de la

gráfica.

Usar en lo que sigue la notación:

t1: tiempo al principio del intervalo

t2: tiempo al final del intervalo

h1: Distancia recorrida en el tiempo t1

h2: Distancia recorrida en el tiempo t2

∆h = h2 – h1

∆t = t2 – t1

36

Calcular con la fórmula (1) la velocidad promedio en el intervalo de 1.5 a 2.5 segundos. Compare

el resultado con el experimento anterior que refiere a la bola de hierro

Complete la siguiente tabla

Tiempo al

principio del

intervalo (seg)

Intervalo

(seg)

Tiempo al final

el intervalo

(seg)

Distancia al final

el intervalo (ft)

Cambio de

distancia (ft)

Velocidad

promedio

(ft/s)

t1 + ∆t = t2 h2

(h1 = 36 ft) ∆h

t

h

∆

∆

1.5

1.5

1.5

1.5

1.5

1.5

1.5

+ 1.00

+ 0.8

+ 0.6

+ 0.4

+ 0.2

+ 0.01

+ 0.001

2.5 100 64 64

Responda las siguientes cuestiones:

- ¿Cuál es el valor aproximado de la velocidad instantánea despues de 1.5 segundos?

Usando el método de c para aproximar las velocidades instantáneas después de 1, 2 y 3

segundos

Graficar los valores aproximados de las velocidades instantáneas obtenidos en c y d. ¿Qué forma

tiene la gráfica?

Resuelva los siguientes casos:

Grafique la función y = x3 entre 0 y 5

Complete la siguiente tabla para aproximar la razón de cambio instantánea en x = 2. Donde x1 =

2 e y1 = 8

x1 + ∆x = x2 y2 ∆y = y - 8 x

y

∆

∆

2 + 1 = 3

2 + 0.5 =

2 + 0.1 =

2 + 0.01 =

2 + 0.005 = a

27 19 19

37

Usar el método de b para aproximar las pendientes de las tangentes a la curva y = x3 para x =

0,1, 2, 3, 4 y 5

Graficar los valores obtenidos en b y c. ¿Qué forma tiene la gráfica?

Utilice el método de aproximación de razones de cambio instantáneas para aproximar la

pendiente de la tangente a la curva y = x2 para x = 1

Usar la fórmula h(t) = 16 t2 para encontrar una buena aproximación de la velocidad instantánea

en la caída libre de un objeto a los 3.5 segundos

Usaremos un método de tres pasos para explicarnos mediante el ejemplo de la conocida función

h(t) = 16 t2.

Paso 1: Encontrar una fórmula para t

h

∆

∆, o sea la velocidad (razón de cambio promedio)

Paso 2: Simplificar algebraicamente la fórmula conocida

Paso 3: Determinar lo que pasa cuando ∆t se aproxima a 0

La siguiente serie de gráficos ilustra cómo encontrar una fórmula para t

h

∆

∆ (paso 1)

38

La fórmula que se obtiene es:

39

Velocidad promedio = t

tttth

∆−∆+=

∆∆ 22 16)(16

Simplifique la fórmula para la velocidad encontrada para t

h

∆

∆ lo más posible (paso 2)

Encuentre la fórmula para la velocidad instantánea (derivada = razón de cambio instantánea)

Compara los resultados con los valores obtenidos en la tabla utilizada para el cálculo de la

velocidad promedio de la bola de hierro

Grafique la derivada de h(t) = 16 t2.

Use el método de los tres pasos para obtener una fórmula para t

h

∆

∆ y la derivada para y = x2

Grafique la función h(t) = 16 t2 y su derivada (la función de las velocidades instantáneas o

razones de cambio instantáneas ) en los siguientes sistemas de coordenadas

Use el método de los tres pasos para encontrar la derivada de y = 2x

Los tres pasos del método para la función h = 16 t2 son:

Encontrar una fórmula para th

∆∆

40

h1 = 16 t2

h2 = 16(t + ∆t)2

∆h = h2 – h1 = 16(t + ∆t)2 - 16 t2

tttt

th

∆−∆+=

∆∆ 22 16)(16

Simplificar la fórmula

tttt

th

∆−∆+=

∆∆ 22 16)(16

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

−∆+=∆

−∆+=∆∆

tttt

tttt

th 2222

1616)(16, de donde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

−∆+∆+t

ttttt 222 )(216 , de donde

16 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∆∆+∆=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+∆t

tttt

ttt )2(16)(2 2

y por lo tanto

= 16(2t + ∆t) = 32t + 16∆t

∆t se aproxima a cero (∆t → 0)

h’ =

[ ]0→∆

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∆∆

tCuandothimadoValorAprox

; de donde

h’ = 0

)1632(→∆

∆+tCuando

ttimadodeValorAprox, por lo tanto:

h’ = 32t

41

Esta derivada es la velocidad instantánea del objeto que cae en caída libra, para cualquier tiempo

(tiempo en segundos, altura en pies y la derivada (h’) en ft/s).

42

MATERIALES

DE

APOYO

43

Fiol, Mora Ma. Luisa y Josep Ma. Fortuny, (1990),

Proporcionalidad directa. La forma y el número,

páginas 117 a 120, Vol. 20

esde la didáctica de las

Matemáticas hay dos preguntas

básicas que se nos plantean cada

vez de forma más acuciante:

¿Qué procedimientos espontáneos utilizamos

para matematizar?

¿Cómo hacer matemáticas de forma que sea

un lenguaje semántico, o sea que digan

algo, que nos dé información sobre el mundo

que nos rodea?

Son preguntas que sirven como marco de

referencia.

La primera incide en los métodos que de

forma espontánea, “natural”, utiliza el niño y

utilizamos muchas veces nosotros los

adultos para resolver problemas.

La segunda quiere hacernos reflexionar

sobre las matemáticas como un lenguaje.

Pero, debemos ser prudentes puesto que

esta expresión se ha interpretado muchas

veces de forma errónea.

Hemos vivido, mejor dicho padecido tantas

veces las matemáticas como un juego de

lenguaje sintáctico y vacío de sentido, o sea

que no interesa de qué hablar, solo atenta

sobre sus propias leyes de estructura interna

que cuesta hacer otro tipo de lectura de la

palabra lenguaje. Sin embargo, nos

referimos aquí a las matemáticas como un

lenguaje en el más elemental y cotidiano

sentido de la palabra: un lenguaje que dice

algo, que nos dice algo, que es transmisor

de ideas, imágenes, etcétera, en fin, a un

lenguaje de relación a un lenguaje

semántico.

Tomando como referencia estas reflexiones,

podemos justificar la importancia de la

Proporcionalidad en la enseñanza por las

siguientes razones:

Desde la enseñanza de las Matemáticas y

desde los finales de la primaria y en todo el

período de la secundaria, se puede

considerar que el tema de la

proporcionalidad es núcleo a partir del cual

se unifican las líneas básicas de nociones

como:

Razón y proporción

Fracción y número racional

Número decimal y problema de la

medida

Cambio de unidades, cambio de

escalas

Problemas de reparto proporcionales

D

POR QUE ENSEÑAR LA PROPORCIONALIDAD

Fiol. Mora Ma. Luisa

POR QUE ENSEÑAR LA PROPORCIONALIDAD__________________________________

Problemas “clásicos” de regla de tres

Porcentajes

Probabilidad

Gráfica de funciones lineales

Teorema de Tales

Semejanza de figuras

Problemas de mezcla y aleaciones

Escalas, mapas y maquetas

Funciones trigonométricas

El número �

En las ciencias y la técnica, la

proporcionalidad es uno de los instrumentos

más importantes. Nos encontraremos con

que muchos de los conceptos de Física y

Química son en realidad nombres dados a

relaciones de proporcionalidad, como por

ejemplo, la velocidad, la aceleración, la

densidad, presión, concentraciones,

dilataciones, etcétera, o la formulación de

leyes como la de Ohm, la Ley de Hooke o la

de Proust.

Incluso la idea de proporcionalidad entre

magnitudes la que da lugar a buena parte de

los instrumentos de medida utilizado en

estas Ciencias.

Además del concepto de proporcionalidad

aparece a finales de la primaria en el vitae

de Ciencias Sociales bajo distintas formas:

densidad de población, tasa de natalidad, así

como en la lectura de mapas y de diversos

tipos de gráficos, como la línea del tiempo.

Pero la proporcionalidad no es importante

desde el punto de vista de las ciencias, sino

que también tiene una importancia

fundamental desde el punto de vista del

desarrollo de la inteligencia. Así, la

epistemología genética la considera como

uno de los esquemas operativos

fundamentales del estadio de las

operaciones formales (Inhelder y Piaget,

1955)

Aparte de estas consideraciones, hay un

hecho evidente: el niño ya desde sus

primeros años de vida, para moverse en su

entorno físico, utiliza la noción de

proporcionalidad, así, en estimar el tamaño

real del objeto que está lejos o en

interpretar imágenes tan cotidianas como

dibujos, fotografías, cine, posters, carteles,

etcétera. Y esto, no solo a nivel cualitativo,

sino que también muy pronto aparecen

intentos de cuantificación.

He aquí unas cuantas anécdotas:

Freudenthal (1983) cuenta conversaciones

con su nieto:

En uno de sus paseos el pequeño (5 años)

señala unas nubes y dice que son de lluvia.

Freudenthal, le dice que no, que las nubes

están muy altas y que las nubes de lluvia

están muy bajas (dando una altura

aproximada) El niño, que entiende la

respuesta, hace con las manos una

reproducción de la situación a escala.

Años después y durante otro paseo el niño

(7 años y medio) pregunta por la altura de

una torre. Al principio intenta dar por el

mismo una respuesta a la pregunta y estima

que la torre es de 100 metros. Freudenthal

le dice que no, que ni la torre de la Catedral

tiene esa altura y para ayudar en el cálculo

se sitúa él al pie de la torre pegado a la


45

pared. Pero este método sugerido, por

comparación directa, no va bien al niño.

Finalmente, y después de una pequeña

conversación en que se sugiere la utilización

de un palo, el pequeño es capaz de plantear

el problema, como aparece en la figura al

final de este apartado. Apoyando el palo

sobre un muro bajo y calculando la distancia

en pasos del muro a la torre se contesta a la

pregunta: 40 metros aproximadamente.

Otra situación familiar: un domingo por la

mañana la madre de encuentra en casa con

dos de sus hijos. Kepa (7 años) mide a su

hermana pequeña. Ha hecho que se ponga

en el suelo, la mide con los pies y dice: “6

pies y medio de Kepa”.

Más tarde en la terraza juegan y toman el

sol. De repente Kepa que está mirando a la

calle dice: “la calle es un pulgar”, luego

insiste “... es un pulgar y la ventana una uña

y aquella ventana una uña del dedo

meñique”

Van Den Brink y Streefland (1979) cuentan

la conversación de un niño llamado Coen,

también de 7 años, con su padre. Están en

la habitación del pequeño mirando unas

reproducciones de barcos. Coen pregunta

por las dimensiones de la hélice y el padre le

contesta “no cabría aquí una adentro”

Entonces Coen muy contento dice: “¡Sí, en

un libro que he visto en el colegio hay una

foto de una hélice (señala con los dedos

unos 3 centímetros) y al lado se ve un

hombre pequeño, así (1 centímetro)”

Pero, continuando con Freudenthal (1983)

éste afirma que: “el niño adquiere muy

pronto la capacidad de identificar”


46

Llinares, Salvador y Ma. Victoria Sánchez1

a idea de fracción, o mejor aun, la

palabra “fracción” indicando un par

ordenado de números naturales

escritos de la forma ba

, es utilizado en

contextos y situaciones que muchas veces

puede parecer que no tengan nada en

común. Por ejemplo:

a) Para indicar la relación que existe entre la

parte sombreada y un “todo”,

“tres de las cinco partes”, 53

b) Si Un litro de cerveza vale sesenta

pesetas, ¿cuánto valdrán tres quintos?

c) En Un grupo de niños y de niñas hay diez

niñas y cinco niños. En un momento

determinado alguien dice: “Hay la mitad de

niños que de niñas” (hay doble niñas que

niños). La expresión mitad esta empleada en

esta situación para describir una relación

entre dos partes de un conjunto. Se ha

realizado una comparación parte-parte y

1 Fracciones, Ed. Síntesis, Matemáticas:

Cultura y aprendizaje, Madrid 1988, Vol 4

como resultado de esta comparación Se

utiliza una fracción para cuantificar la

relación.

Sin embargo Si estamos utilizando el mismo

“ente matemático” para referirnos a dichas

situaciones, es de suponer que tengan algo

en común. Desde una perspectiva escolar

nos podríamos plantear la siguiente

situación: si identificamos uno de los

contextos en el que la idea de fracción tiene

sentido (Contexto significativo) y

desarrollamos el proceso de enseñanza

(concepto, relaciones, equivalencia y orden,

operaciones significado y algoritmos) con

dicha interpretación ¿cabría esperar que los

niños fueran capaces de trasladar esa

comprensión y destrezas conseguidas a

interpretaciones y contextos diferentes?

Parece ser que la capacidad de “trasladar

esa comprensión” a situaciones distintas no

es del todo clara: es decir, puede ser que el

L

LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES

Linares, Salvador

LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________

47

que el niño tenga claro el significado de una

fracción en una situación, sabiendo realizar

su representación con diagramas y de forma

numérica, así como reconocer el significado

de las diferentes operaciones en dicho

contexto y esto no implica que sepa utilizar

la misma “herramienta” en contextos

distintos, aunque también conlleven

implícitamente la idea de fracción.

Además los resultados de numerosas

investigaciones (BEHR, et al., 1983;

KERSLASKE, 1986; LESH, et al., 1983)

relativas al proceso de enseñanza-

aprendizaje de las ideas de “fracción” han

empezado a indicar que para que el niño

pueda conseguir una comprensión amplia y

operativa de todas las ideas relacionadas

con el concepto de fracción se deben

plantear las secuencias de enseñanza de tal

forma que proporcionen a los niños la

adecuada experiencia con la mayoría de sus

interpretaciones (KIEREN, 1976; DIENES,

1972).

De todas maneras el alcanzar el concepto de

fracción con todas sus relaciones conlleva un

proceso de aprendizaje a largo plazo. La

variedad de estructuras cognitivas a las que

las diferentes interpretaciones de las fraccio-

nes están conectadas condiciona este

proceso de aprendizaje. En otras palabras, al

concepto global de fracción no se llega de

una vez totalmente. Desde las primeras

experiencias de los niños con “mita de” y

“tercios” (relación parte-todo) vinculadas a

la habilidad de manejar el mecanismo de

dividir (repartir), y la habilidad de manejar

la inclusión de clases, hasta el trabajo con

las razones y la proporcionalidad de los

jóvenes adolescentes, vinculada a la

habilidad de comparar y manejar dos

conjuntos de datos al mismo tiempo, y del

desarrollo del esquema de la

proporcionalidad, existe un largo camino que

recorrer.

Los profesores debemos tener en cuenta

todas estas características, es decir:

- las muchas interpretaciones, y

- el proceso de aprendizaje a largo plazo

cuando pensemos en el desarrollo de

secuencias de enseñanza que pretendan el

aprendizaje de nociones relativas a las

fracciones. De la misma forma también

existe un largo camino desde el primer

contacto intuitivo de los niños con las

fracciones (relación parte-todo, “mitades”,

“tercios”...) hasta afianzar el conocimiento

de carácter algebraico asociado a las

fracciones. Con el conocimiento de carácter

algebraico nos referimos, por ejemplo, a la

interpretación de la suma de fracciones

como

bdbcad

dc

ba +

=+

o que la solución de la ecuación (es decir, el

número que en el lugar de la “x” satisface la

igualdad)

53 =• X


48

es x = 35

, o también x = 9

156

10 = ...; es

decir, poder ver al conjunto de las fracciones

(números racionales) formando un sistema

numérico, cerrado para ciertas operaciones y

con unas propiedades determinadas.

Puede ser que alguna de las dificultades que

plantea la enseñanza-aprendizaje de las

fracciones, en alguno de sus aspectos,

venga determinada por encontrarnos tan

rápidamente con su carácter algebraico en la

secuencia circular. Esto es debido a que

muchas veces se empieza a trabajar con

reglas de carácter algebraicas, sin tener

previamente un trasfondo concreto

desarrollado ampliamente, en razón de la

“atracción” que puede proporcionar el

comenzar a trabajar rápidamente con

símbolos cuando nos enfrentamos a las

fracciones, por la relativa facilidad que

pueden proporcionar para resolver

situaciones.

Es decir, hay que considerar (DICKSON,

1984) el equilibrio que debe existir entre:

- el significado de las fracciones en

contextos concretos prácticos (situaciones

problemáticas), y

- en situaciones más abstractas-cálculo sin

contexto (carácter algebraico).

Las destrezas que se pueden conseguir en el

manejo de los símbolos relativos a las

fracciones y a las operaciones con

fracciones, no son fáciles de retener si no

hemos sido capaces de crear un esquema

conceptual a partir de situaciones concretas.

La comprensión operativa del concepto de

fracción (número racional) debe

proporcionar la fundamentación en la que se

apoyen las operaciones algebraicas que se

van a desarrollar posteriormente. Un buen

trabajo con las fracciones puede contribuir a

que estas operaciones algebraicas no se

conviertan en algo sin sentido para los

niños.

Llegados a este punto se nos presenta la

necesidad de plantear los procesos de

enseñanza-aprendizaje de las fracciones

desde todas sus perspectivas, en todas sus

interpretaciones posibles, para que un

trabajo continuado con dichas

interpretaciones ayude al niño a conseguir

una comprensión conceptual (operativa) de

La idea de fracción, sin crear “agujeros

conceptuales”.

Una vez determinada esta necesidad se

plantea la tarea de identificar las diferentes

interpretaciones, contextos, en los que

aparezca el concepto fracción: La fracción

como un megaconcepto.


49

La sección siguiente se va a centrar en la

identificación y la caracterización de los

contextos que hacen significativa la noción

de fracción (interpretaciones o

subconstructos del megaconcepto). Esta

identificación de las interpretaciones

principales del número racional ha sido

realizada teniendo en cuenta los trabajos de

T. KIEREN (1916), BEHR, et al. (1983) y

DICKSON, et al. (1984).

Las diferentes interpretaciones que se van a

describir son:

a) La relación parte-todo y la medida.

a. 1. Representaciones en

contextos continuos y discretos.

a.2. Decimales.

a.3. Recta numérica.

b) Las fracciones como cociente.

b.1. División indicada.

b.2. Como elemento de

un cuerpo cociente.

c) La fracción como razón.

c. 1. Probabilidades.

c.2. Porcentajes.

La fracción como operador.


50

LA RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA

Op cit Pp. 55 - 62

e presenta esta situación cuando un

“todo” (continuo o discreto) se

divide en partes “congruentes”

(equivalentes como cantidad de superficie o

cantidad de “objetos”). La fracción indica la

relación que existe entre un número de

partes y el número total de partes (que

puede estar formado por varios “todos”).

El todo recibe el nombre de unidad. Esta

relación parte-todo depende directamente de

la habilidad de dividir Un objeto en partes o

trozos iguales. La fracción aquí es siempre

“fracción de un objeto”.

Sobre esta interpretación Se basan

generalmente las secuencias de enseñanza

cuando se introducen las fracciones

(normalmente en su representación

continua). Parece ser que tiene una

importancia capital para el desarrollo

posterior de la idea global de número

racional. El estudio de esta relación se

realizará con detalle en el capitulo siguiente.

Para una comprensión operativa de este

subconstructo Se necesita previamente el

desarrollo de algunas habilidades como:

tener interiorizada La noción de inclusión de

clases (según La terminología de PLAGET);

La identificación de la unidad (que

“todo” es el que se considera como

unidad en cada caso concreto);

La de realizar divisiones (el todo se

conserva aun cuando lo dividamos

en trozos, conservación de la

cantidad), y

manejar la idea de área (en el caso

de las representaciones continuas).

Las representaciones de esta relación que

vamos a describir son las desarrolladas en

contextos continuos, discretos y mediante la

utilización de la recta numérica.

Representaciones continúas (área) y

discretas

En un contexto continuo, en el que las

representaciones más frecuentes suelen ser

diagramas circulares o rectangulares (dos

dimensiones):

a)

«De las cinco partes del todo se han

sombreado tres»;

“3 de las 5”; «3/5.»

b) o bien

“De las cinco partes del todo, se han

sombreado tres”,

“3 de las 5”; «3/5.»

S


51

c) Si la unidad la representamos por

entonces,

“431 es la parte sombreada, siendo

431 la

forma mixta

de la fracción 1 + 43

”

Si utilizáramos para los diagramas La

magnitud longitud, al dividir un segmento en

partes iguales

La fracción indica las partes que se toman en

relación al número de partes en que se ha

dividido el segmento.

En un contexto discreto se puede

representar

aquí el «todo» esta formado por el conjunto

global de las cinco bolas, tres de las cuales

son negras “5

3”; indica la relación entre el

numero de bolas negras y el número total de

bolas.

Si por otra parte representamos el todo por

entonces en la situación

“23

1 representa la parte sombreada”.

Es interesante resaltar que si se utilizan

contextos discretos se fuerza a que el niño

amplíe su esquema de La relación parte-todo

ya que en este caso, cuando usamos un

conjunto de objetos discretos como

unidades, por ejemplo

Si queremos representar la fracción 5

3 (tres

quintos) (dividir el conjunto en cinco partes

y tomar tres) los subconjuntos que resultan

también están formados cada uno de ellos

por varios objetos (en este caso por dos)

en contraposición al contexto continuo en

que las partes están formadas por trozos

simples.

Lógicamente la dificultad aumenta si se

toma como unidad

y se piden los 5

3, es decir, situaciones en las

que la fracción no se puede aplicar.


52

En La caracterización de la relación parte-

todo se habla de “partes congruentes” lo que

no indica necesariamente partes de la

misma forma. En La figura siguiente la

relación entre las partes sombreadas y el

número de partes también se puede

representar por 5

3 (tres quintos).

La noción de “partes congruentes” es de

vital importancia para poder justificar que en

la siguiente figura

no podemos indicar por 5

3 (tres quintos) la

parte sombreada, al no estar formada por

partes congruentes. Esto es debido a que

entendemos por 5

3: “La figura tiene

sombreada los tres quintos de su superficie”.

DECIMALES

na estandarización de la relación

parte todo, junto con las

características de nuestro sistema

de numeración decimal, dan pie a la

introducción de los decimales (fracciones

decimales). Por ejemplo, utilizando la

representación continua y el modelo

rectángulo, considerando la unidad como un

rectángulo y dividiéndolo en diez partes.

Cada una de las partes es en relación al todo

(unidad) 10

1, una de las diez (una décima).

Si cada «parte» (decimal) la dividimos en

otras diez partes, obtenemos “una de diez

de una de diez”, 10

1 de

10

1 (una centesimal).

Queremos indicar con esto, que los

decimales (la notación decimal de algunas

fracciones) están vinculados a la relación

más general “parte-todo”. Así concebidas,

las fracciones como decimales forman una

extensión natural de los números naturales.

(Para un estudio más detallado del caso de

los decimales podemos consultar el tomo 5

de esta colección, DECIMALES de JULIA

CENTENO).

LAS FRACCIONES COMO PUNTOS SOBRE

LA RECTA NUMÉRICA

En esta situación se asocia la fracción b

a con

un punto situado sobre La recta numérica en

la que cada segmento unidad se ha dividido

en b partes (o en un múltiplo de b)

congruentes de las que se toman “a”.

También se puede considerar corno un caso

particular de La relación parte-todo.

U


53

Se destaca esta interpretación ya que aquí

implícitamente se realiza la asociación de un

punto a una fracción.

1 + 5

3 = 1

5

3

en este caso se puede pensar que La

fracción no Se asocia a una parte de una

figura o aun subconjunto de objetos, Si no

que se reduce a un número abstracto; así

como el 5

3 es un número entre el cero y el

uno, el 2

3 es un número entre el uno y el

dos.

Esta representación hace que se pueda

pensar en las fracciones como números

parecidos al 1, 2, 3, 4,… y que se pueden

colocar entre ellos.

Aunque esta forma de representar las

fracciones provoca algunas dificultades a

algunos niños (8-12 años), también presenta

algunas ventajas (DICKSON, 1984):

hace que las fracciones impropias

(fracciones mayores que la unidad)

aparezcan de forma mucho más natural, así

como La notación como números mixtos;

hace hincapié en el hecho de que el conjunto

de las fracciones forma una extensión del

conjunto de los números naturales (las

fracciones rellenan «huecos» entre los

naturales);

tiene conexiones con la idea de medida (uso

de escalas).

Pero, como decíamos, su utilización puede

presentar algunos problemas. Los resultados

de algunas investigaciones sugieren que la

interpretación de las fracciones mediante la

recta numérica es especialmente difícil para

los niños (NOVILUS, 1977).

Uno de los problemas que se pueden

plantear es la identificación del segmento

unidad cuando la recta numérica se ha

extendido más allá del uno:

Si se les pide señalar el 5

3 los niños suelen

indicar el punto donde está el tres, sin

embargo esta dificultad no se presenta si se

les proporciona la representación siguiente:

También se plantean problemas cuando el

segmento unidad está dividido en un

múltiplo del denominador. Por ejemplo:

“Señala el 5

3”

La recta numérica sirve también como una

buena representación de la interpretación de

las fracciones como medida

Identificada una unidad de medida

(segmento), admite subdivisiones con-

gruentes. El numero de “adiciones iterativas”


54

de la parte resultante de la subdivisión que

«cubren» el objeto, indica la medida del

objeto (proceso de contar iterativo del

número de unidades, subunidades, que se

han utilizado en cubrir el objeto).

¿Cuánto mide esta cuerda?

3 + 2

1 = 3

2

1 = 3 + 0,5 = 3,5

Así, desde esta perspectiva más general, en

un contexto de medida, este modelo viene

caracterizado por la elección de una unidad

arbitrarla y sus subdivisiones (la unidad

debe ser invariante bajo las divisiones)

(KIEREN, 1980), significando la tarea de

medir, la asignación de un numero a una

«región» (en el sentido general).

Al considerar las fracciones (numero

racional) en la interpretación de medida, Se

proporciona el contexto natural para la

“suma” (unión de dos medidas), y para la

introducción de los decimales (notación

decimal) (KIEREN, 1980).

Además, el manejo de la representación de

las fracciones a través de La recta numérica

debe ayudar al niño a “conceptuar” las

relaciones parte-todo en un contexto y

reconocer contextos equivalentes que

proceden de nuevas divisiones de la unidad.

Es decir, el manejo con La recta numérica

(contextos de media) puede ser una buena

introducción a La noción de equivalencia: la

misma parte de La unidad recibe nombres

diferentes en función del número de

divisiones.

Un adecuado recurso didáctico para

desarrollar estas ideas que relacionan las

fracciones y la noción de medida lo pueden

constituir Los Números en Color.

Este material está formado por regletas de

madera de diferentes colores y diferentes

longitudes,

con estas regletas, la pregunta ¿qué es la

regleta roja de la blanca?; tiene una

traducción en términos de medida que indica

“qué mide la regleta roja tomando la blanca

corno unidad”.

Para contestar a esta cuestión, hacemos un

“tren” de regletas blancas de la misma

longitud que la regleta roja dada, tal y como

indica La figura:

“La roja es dos veces la blanca”

Si la pregunta fuera ¿qué es la blanca de la

roja? (¿qué mide La regleta blanca cuando

tomamos la roja corno unidad?), entonces la

“blanca es una de las dos que cubre a la


55

roja”. Entonces la relación entre la blanca y

la roja es de 2

1.

b = 2

1 x r

En este caso se dice que la regleta blanca es

un medio de la roja.

Esta situación se puede generalizar. Si

consideramos como unidad la regleta

amarilla y preguntarnos: ¿qué mide la verde

clara?, entonces se puede volver a la regleta

blanca y se tiene,

“Cinco veces la blanca es una amarilla”

la regleta blanca es una de las cinco que

cubren a La amarilla; así, utilizando la

misma notación anterior

b = 5

1 x a

Luego la verde clara que esta formada por

tres blancas, será

v = 3 x b = 5

3 x a

es decir, la verde clara es los tres quintos de

la amarilla.

En general, podemos indicar que la relación

parte todo (tanto en su representación

continua como discreta), constituye el

fundamento de la interpretación de las

fracciones como medida.

(Para un estudio más detallado del problema

de la medida recurrir al tomo 17 de esta

misma colección El problema de la medida,

de Chamorro y Belmonte)

LAS FRACCIONES COMO COCIENTE

Op cit, Pp. 63 - 67

n esta interpretación se asocia la

fracción a La operación de dividir un

numero natural por otro (división

indicada a ÷ b = b

a). Dividir una cantidad en

un número de partes dadas. T. E. KIEREN

(1980) señala la diferencia de esta

interpretación con la anterior indicando que,

para el niño que está aprendiendo a trabajar

con las fracciones, el dividir una unidad en

cinco partes y coger tres (5

3) resulta

bastante diferente del hecho de dividir tres

unidades entre cinco personas, aunque el

resultado sea el mismo.

En esta interpretación se considera que las

fracciones tienen un doble aspecto:

Ver a la fracción 5

3 como una división

indicada, estableciéndose la equivalencia

entre 5

3 y 0,6 en una acción de reparto, y

Considerar las fracciones (números

racionales) como los elementos de una

E


56

estructura algebraica; es decir, como los

elementos de un conjunto numérico en el

que se ha definido una relación de

equivalencia, y en el conjunto conciente

resultante unas operaciones -suma y

multiplicación- que cumplen ciertas

propiedades de tal forma que dotan a dicho

conjunto de una estructura algebraica de

cuerpo conmutativo.

Debido a que bajo esta interpretación se

concibe a las fracciones (números

racionales) pertenecientes a un sistema

algebraico abstracto donde las relaciones

entre los elementos son de índole deductiva,

esta interpretación debe tener un carácter

globalizador y ser posterior en la secuencia

de enseñanza a las demás interpretaciones.

En las secciones siguientes vamos a intentar

desarrollar ambos aspectos de esta

interpretación.

DIVISIÓN INDICADA (REPARTO)

a interpretación de la fracción

indicando una división de dos

números naturales (5

3 = 3 ÷ 5)

aparece en un contexto de reparto:

“Tenemos tres barras de chocolate y hay

que repartirlas de forma equitativa entre

cinco niños ¿Cuánto le tocará a cada uno?

Según los trabajos de la profesora HART

(1980) sólo la tercera parte de los niños de

doce y trece años eran capaces de darse

cuenta que dos números naturales se

pueden dividir uno por otro pudiéndose

expresar el resultado exacto mediante una

fracción.

La resistencia de los niños a ver 3 ÷ 5 como

5

3 puede ser debido a que muchos de ellos

se encuentran familiarizados con la

interpretación parte-todo para las fracciones

y por tanto ven los 5

3 como la descripción de

una situación (de cinco partes hay tres

sombreadas), mientras que por otra parte,

la división indica un proceso, precisamente

el proceso de repartir 3 pasteles entre cinco

niños.

No hay que olvidar tampoco que muchos

niños (incluso en el Ciclo Superior), debido

al manejo de los números naturales, dicen

que la división 3 ÷ 5 no se puede realizar

cuando se les presenta de forma aritmética.

Sin embargo, a pesar de esto, existen

opiniones (STREEFLAND, 1984) que centran

L


57

el desarrollo de las secuencias de enseñanza

de las fracciones alrededor de esta

interpretación, indicando que la dificultad

que presenta la enseñanza de las fracciones

en la escuela, consiste en que se tiende

rápidamente a centrarse en un tratamiento

formal y algorítmico de estas ideas.

La alternativa consistiría en buscar

situaciones de la vida real, diaria de reparto

y de medida que conllevarán al trabajo con

las fracciones y, apoyados en el

conocimiento informal que sobre éstas llevan

los niños cuando entran en La escuela,

potenciar a través de estas situaciones la

“construcción” del concepto, las operaciones

y las relaciones en las fracciones por los

propios niños.

L. STREEFLAND al destacar esta

interpretación (situaciones de reparto -

medida en las que están implicadas las

fracciones) marca la diferencia con otras

aproximaciones indicando que ante la

situación

“En un restaurante, hay que repartir tres

pizzas entre cinco niños ¿cuánto

corresponde a cada uno?

el resultado 5

3 aparece a partir de un

proceso de diferenciar, dividir, abreviar,

representar, simbolizar,... indicando mucho

más que la simple representación del

diagrama.

Además, la secuencia que se deriva de

plantear la situación anterior, se apoya en

los procesos de verbalización que realizan

los niños de los pasos realizados.

De forma esquemática los principios de

enseñanza de las fracciones defendidos por

este autor con esta aproximación son (L.

STREEFLAND, 1984):

Lo que es importante es la “construcción” de

las operaciones con las fracciones por los

propios niños; construcción basada en la

propia actividad de los niños: estimación,

desarrollo de cierto sentido del orden y

tamaño...;

La valoración del trabajo de los niños, sus

métodos y procedimientos, aunque difieran

de las aproximaciones formales; el énfasis

se traslada a la verbalización de los niños,

verbalización del conocimiento adquirido, ser

capaz de formular una regla, comprender el

poder de las generalizaciones...;

Se utiliza el conocimiento informal de los

niños como bases para empezar la secuencia

de enseñanza (ideas relativas a mitades,

tercios,... los procesos básicos de dividir,

repartir,...).

Desarrollo de situaciones de comprar y

ordenar en las que los niños construyan

procedimientos de solución mediante

procesos de dividir, ordenar, medir,

componer,...


58

Utilización de modelos de apoyo (regiones o

segmentos, recta numérica, tablas de

razones,...) y situaciones problemáticas

(situaciones de la vida diaria) que sirvan de

“puente” (conexión) entre las situaciones

problemáticas en diferentes contextos y el

trabajo numérico.

Bajo esta perspectiva el significado de

fracción y las operaciones están conectados

de tal: forma que se desarrollan al mismo

tiempo.

Defiende la idea de que son los niños que

tienen que “construir” y no los profesores.

Sin embargo al desarrollo de las secuencias

de enseñanza con la interpretación de la

idea de cociente (reparto) se le puede

plantear algunas matizaciones según se

utilicen en contextos discretos o continuos

(área, longitud) (BEHR et al 1983).

Dado un contexto discreto:

“Repartir veinte cartas entre cinco buzones”

o contexto continúo:

“tenemos una cinta de 22 cm. Hay que

repartirla entre 4 niños ¿cuánto le toca a

cada uno?

los niños realizan considerablemente mejor

las tareas de reparto en contextos discretos

que en contextos continuos. Se ha señalado

la explicación de que en el caso continuo los

niños necesitan un “esquema anticipatorio

bien desarrollado, es decir, “plan de acción”

previo a la realización de la tarea, mientras

que en el caso discreto se puede realizar

mediante procedimientos directos. Entonces

como señala M. BEHR et al. (1983):

Debido a que las estrategias empleadas por

los niños para las tareas con cantidades

discretas son tan diferentes a las empleadas

en tareas con cantidades continuas, se

puede asumir que la estructura cognitiva

implicada en resolver una u otra tarea son

diferentes.

Ante los dos ejemplos anteriores, en el

contexto discreto, el proceso de solución se

puede realizar simplemente empezando a

repartir las cartas (proceso directo). El

resultado de cuatro cartas por buzón puede

ser visto por los 5

4 del estado unidad

descrito por las veinte cartas del principio.

En el contexto continuo no existe ese

proceso tan directo. Un procedimiento de

estimación o de tanteo, o una operación

aritmética pueden ser necesarios para

acercarnos a La solución.

Sin embargo la necesidad de un “plan de

actuación” previo para realizar la tarea, que

aumenta la dificultad de realización por

parte del niño, no sólo esta vinculada al

contexto continuo o discreto de la tarea a

realizar sino también al tipo de tarea de que

Se trate. Como veremos en el próximo

capítulo, cuando la tarea no es de “división-

reparto” sino de ordenación de fracciones,

parece ser, según señala el profesor T. R.

POST (1985) que es el contexto discreto el


59

que parece exigir la existencia de un

“esquema anticipatorio (plan) para realizar

con éxito la tarea”

Atendiendo a esto, no se puede generalizar

la dificultad que presenta un tipo de

contexto (discreto o continuo) frente a otro

sin vincularlo de antemano a un tipo de

tarea.

De todas maneras, en esta interpretación de

“división-reparto”, la principal habilidad que

se refleja es la de dividir un objeto u objetos

en un número de partes iguales.

Retomando el ejemplo del principio de esta

sección:

“Repartir tres barras de chocolate entre

cinco niños de forma equitativa”

los procesos de solución (división – reparto)

y las simbolizaciones representaciones de

estos procesos que se pueden acometer aquí

se convierten en el trabajo previo

(preactividades) a la resolución de

ecuaciones. En este caso:

5 • x = 3

siendo “x” la cantidad de barra de chocolate

que le corresponderla a cada niño. Es decir,

este tipo de actividades se pueden convertir

en los pilares sobre los que se fundamenten

el trabajo con los números racionales como

precursor del álgebra.

Para finalizar, podemos considerar que, en

esta interpretación de las fracciones como

cociente y en las situaciones de división-

reparto en las que una cantidad se divide en

un número de partes dadas, se pueden

distinguir dos aspectos:

a) Cuando nos proporcionan la cantidad

y el número de partes en las que hay que

dividirlo y nos piden lo que vale cada parte

(reparto).

“Tres pizzas entre cinco niños”

b) Cuando nos proporcionan la cantidad

y lo que vale cada parte y nos piden el

número de partes (medida).

“Tenernos tres pizzas y a cada niño le ha

correspondido los 3/5 de una pizza. ¿A

cuántos niños hemos podido dar pizza?”

Las fracciones como elementos de una

estructura algebraica

Como hemos indicado, las actividades en

situaciones de reparto-medida constituyen el

sustrato sobre el que se construye la

interpretación de las fracciones como

elementos de un cuerpo conmutativo

(estructura algebraica). Se conciben las

fracciones (números racionales) como

elementos de La forma b

a, siendo a y b

naturales (para Q +) (b ≠ 0) que

representan la solución de la ecuación

b • x = a

(Para un desarrollo detallado de las

relaciones, y propiedades que se dan en el


60

conjunto Q, se puede recurrir a cualquier

libro de Álgebra Elemental).

De forma clara “esta interpretación de las


elementos de un cuerpo (estructura

algebraica) no esta estrechamente vinculada

al pensamiento natural del niño al

desarrollarse de forma deductiva las

operaciones y propiedades” (KIEREN, 1975).


61

LA FRACCIÓN COMO RAZÓN

Op cit Pp. 67 - 72

n las secciones anteriores Se han

caracterizado las fracciones en situa-

ciones de comparación parte-todo,

pero algunas veces las fracciones son usadas

como un “índice comparativo” entre dos

cantidades de una magnitud (comparación

de situaciones). Así nos encontramos con el

uso de las fracciones como razones. En este

caso no existe de forma natural una unidad

(un “todo”) como podía ocurrir en los otros

casos (podíamos entender esto como que la

comparación puede ser bidireccional)

En esta situación, la idea de par ordenado de

números naturales toma nueva fuerza. En

este caso normalmente la relación parte-

parte (o La relación parte-todo) se describe

con a ÷ b.

Algunos ejemplos en diferentes contextos

pueden ayudarnos a clarificar esta

interpretación (subconstructo) de las

fracciones:

a)

La relación entre los puntos de A y de B es

de 5

3: (3 ÷ 5).

La relación entre los puntos de B y de A es

de 3

5): (5 ÷ 3).

b)

La altura del muñeco A es 5

3 de La de B: (3

÷ 5).

La altura del muñeco B es 3

5 de la del A: (5

÷ 3)

c) Las escalas en los dibujos de mapas,

planos,

A es los 5

3 de B: (3 ÷ 5)

B es los 3

5 de A: (5 ÷ 3)

E


62

e) Las recetas de comidas, las mezclas de

líquidos, las aleaciones,...

Las comparaciones realizadas en los

ejemplos anteriores describen una relación

“conjunto a conjunto” (todo-todo), aunque

las fracciones como razones también

aparecen cuando se describen

comparaciones “parte-parte”.

EJEMPLO 1

la relación (razón) entre bolas negras y

blancas es de tres quintos (5

3).

EJEMPLO 2.

La relación de niños y niñas en este grupo es

de tres quintos (5

3).

EJEMPLO 3

La razón entre los círculos y los cuadrados

es de tres quintos (5

3), (3 ÷ 5).

Algunos autores utilizan contextos cotidianos

para dotar de significado a la idea de razón.

El particular, L. STREEFLAND (1984) utiliza

la “situación del restaurante” para

contextualizar (dotar de contexto como un

modelo de comprensión) la proporcionalidad

(igual de razones) cuando se interpretan las

fracciones como razones.

“En Un restaurante donde existen mesas de

diferentes tamaños y en los que se colocan

cantidades diferentes de bocadillos los niños

se distribuyen por mesas”

Se pretende que los niños a través del

trabajo en esta situación se den cuenta de la

equivalencia de situaciones (en relación al

número de bocadillos que le corresponde a

cada niño), además de iniciar una

esquematización progresiva de esta relación.

Evidentemente podemos mantener la

estructura de estas situaciones variando el

contexto. Se puede aplicar a la relación

entre cantidades de puntos conseguidos por

un equipo de niños y el número de niños de

cada equipo. Se determina la relación niños

÷ puntos.

Realmente la operación que estamos

realizando (establecer una relación) se

puede representar mediante una aplicación

que asocie cada grupo de tres bocadillos con

un grupo de cuatro niños, según indica

DIENES (1972).

Otro contexto “natural” para esta


razones lo podemos encontrar en la relación

entre cantidades de una magnitud (o de


63

magnitudes diferentes) (contextos

particulares, mezclas, aleaciones...).

Si denominamos por Ml y M2 a las

magnitudes y por a1 a las cantidades de Ml y

b1 a las cantidades de M2

La relación entre las cantidades de Ml y M2

(a1 ÷ b1) puede no tener dimensión (cuando

Ml y M2 son la misma magnitud) o puede

tener dimensión, lo que ocasiona que

aparezca otra magnitud. Un ejemplo lo

tenemos al comparar longitudes, como en el

caso de la altura de los muñecos, ejemplo b)

anterior, en donde la relación que aparece

es sin dimensión, y otro caso aparece

cuando compramos longitudes (metros) con

tiempo (segundos) para hablar de

velocidades (metros/segundos).

Este camino conduce a situaciones en las

que se tienen que comparar razones,

Un coche A recorre un trayecto de 3 km en 5

minutos. Un coche B recorre un trayecto de

4 km en 6 minutos. ¿Que coche lleva una

velocidad mayor?

Un niño compra 3 caramelos por 5 pesetas.

Otro niño compra 4 caramelos par 6 pesetas

¿quién ha comprado los caramelos más

baratos?

o a buscar valores adicionales a las razones

que se pueden construir (problemas de regla

de tres),

Un coche A recorre un trayecto de 3 km en 5

minutos ¿Cuanto tardará en recorrer un

trayecto de 4 km?

Un niño compra 3 caramelos por 5 pesetas.

¿Cuánto pagará par 4 caramelos?

que constituyen un marco natural para las

proporciones (igualdad de razones-

equivalencia de fracciones) con esta

interpretación.

(Para un estudio más detallado de las

razones y las proporciones, recurrir al tomo

20 de esta colección PROPORCIONALIDAD

de MA. LUISA FIOL y J. M. FORTUNY)

Otras interpretaciones de las fracciones

como razón aparecen asociadas a otros

contextos corno son la representación de la

probabilidad y los porcentajes.

Mostramos a continuación algunos ejemplos

de estos aspectos.

LA PROBABILIDAD

e todos es conocida la dificultad

que presenta el estudio de las

probabilidades en los niveles

superiores, desconectada de cualquier otro

tópico de La enseñanza primarla. La

utilización de las fracciones en este contexto

se le da un carácter de cálculo (aritmético)

sin pensar que La estructura cognitiva

subyacente a las relaciones implícitas en

D


64

contextos de probabilidad está vinculada a la

red de relaciones establecida para los

números racionales.

Podernos considerar algunos ejemplos de su

utilización, en los que se establece una

“comparación” todo-todo entre el conjunto

de casos favorables y el conjunto de casos

posibles, como en:

En una bolsa hay tres bolas negras y dos

blancas sacamos aleatoriamente una bola.

¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?

Al lanzar un dado cuál es la probabilidad de

obtener un Seis

PORCENTAJES

a relación de proporcionalidad que se

establece entre un número y 100 (ó

1000) recibe el nombre particular de

porcentaje. Por regla general los porcentajes

tienen asignado un aspecto de “operador”,

es decir, al interpretar “el 60 % de 35” se

concibe “actuando La fracción 100

60 sobre 35”

(hacer 100 partes de 35 y coger 60). (La


operador será descrita en la sección

siguiente.)

Utilizando el lenguaje de aplicaciones, los

porcentajes se pueden entender como el

establecimiento de “relaciones” entre

conjuntos (razones), estableciéndose

subconjuntos de cien partes. Por ejemplo

cuando se establecen las rebajas del 15 %,

estamos estableciendo una relación “de 15

es a 100” que para una cantidad de 300

pesetas vendría representado por:

entonces existe la “misma relación”

(definiendo La “relación” en el sentido de la

aplicación biunívoca entre subconjuntos)

entre “15 es a 100” como en “45 es a 300”.

De todas formas la diferencia entre estas

dos interpretaciones de las fracciones como

razones (probabilidad y porcentajes) y la

relación parte-todo descrita en la primera

sección de este capitulo puede resultar

bastante sutil.

L


65

LAS FRACCIONES Y LOS OPERADORES

Op cit P. 72

ajo esta interpretación las fracciones

son vistas en el panel de

transformaciones: “algo que actúa

sobre una situación (estado) y la modifica)”.

Se concibe aquí la fracción como una

sucesión de multiplicaciones y divisiones, o a

la inversa.

Por ejemplo Si en un contexto discreto

tomarnos como una situación de partida

(estado-unidad) el conjunto formado por los

36 niños de una clase, el efecto de la

aplicación del operador 3

2 (dos tercios) se

puede representar por,

ESTADO

UNIDAD

(SITUACIÓN)

OPERADOR ESTADO

FINAL

36 niños

Dividir por 3

Multiplicar

por 2

24 niños

al estado final “24 niños” también recibe el

nombre de estado “dos tercios” como La

descripción de un estado de cosas.

En un contexto continuo, por ejemplo

cuando actúa la fracción 3

2 considerada

como operador sobre un segmento de

longitud dada, se obtiene otro segmento de

longitud 3

2 del original.

De nuevo hay que insistir en que el operador

lleva implícito un convenio: primero actúa la

división y luego la multiplicación,

identificándose así con la interpretación

parte-todo. También se puede invertir el

convenio y actuar siempre la multiplicación

en primer lugar y luego la división.

Hay que observar que, bajo esta

interpretación, las fracciones se utilizan en

un doble aspecto:

a) describiendo una orden, una acción a

realizar (operador), y

b) describiendo un estado de cosas, es decir,

describiendo una situación.

En el ejemplo anterior utilizando el contexto

discreto se mostraban los dos aspectos de la

utilización de las fracciones bajo esta

interpretación.

De forma esquemática, Si representamos el

estado unidad por uno, el resultado de

aplicarle el operador “dos tercios” nos

proporciona el estado final 3

2.

ESTADO OPERADOR ESTADO

1 x(3

2)

3

2

Este doble aspecto de las fracciones en esta

interpretación predetermina un poco el

estudio que se pueda realizar. En este caso,

por ejemplo, podemos establecer de dos

formas la equivalencia de fracciones:

Equivalencia de operadores. Operadores

fraccionarios diferentes, que al actuar sobre

B


66

el mismo estado-inicial dan el mismo estado

final


12

12

12

x(3

2)

x(6

4)

x(12

8)

8

8

8

Equivalencia de estados. Un mismo operador

que al actuar sobre estados unidad

diferentes produce La misma transformación

(comparando el estado inicial y final en el

sentido descrito en la sección anterior sobre

la “razón”), lo que nos introduce de forma

natural a la noción de proporción.


12

15

24

x(3

2)

x(6

4)

x(12

8)

8

10

16

La relación entre el estado inicial y el estado

final siempre es “dos a tres”. Esta

interpretación enfatiza el papel de las


elementos del álgebra de funciones

(transformaciones) al mismo tiempo que

conduce a la idea de que los números

racionales forman un grupo (estructura

algebraica) con la multiplicación.

Encontramos así un contexto natural para la

composición de transformaciones (funciones,

operador), La idea de inversa (el operador

que reconstruye el estado inicial), la idea de

identidad (el operador que no modifica el

estado inicial).

Este aspecto de las fracciones ha sido

tratado con detalle por Z. P. DIENES al

desarrollar una aproximación estructuralista

en la enseñanza de las Matemáticas (en la

aproximación estructuralista la actividad del

niño Se dirige hada la construcción de

estructuras matemáticas formales). En pala-

bras del propio Z. P. DIENES (1972, Pág.

111):

Se observará que todas estas diferentes

facetas del estudio de las fracciones (razón,

porcentajes, decimales, etcétera) pueden ser

comprendidas dentro de un esquema de la

estructura operacional de las matemáticas si

consideramos una fracción como la sucesión

de una partición y una operación de

multiplicar...

Como resultado de este método de

tratamiento, deberá también constatarse

que el estudio de las fracciones forma parte

de un estudio mucho más amplio y general

sobre los estados y los operadores. Esta

constatación se confirmará cuando se aborde

el estudio de la geometría, donde las

transformaciones son los operadores y las

distintas posiciones de las figuras los

estados y en el campo del álgebra donde los

vectores serán los estados y las matrices los

operadores, etcétera pág. 112).


67


UNA VISIÓN GLOBAL DE LAS

FRACCIONES

Op cit Pp. 75 - 78

elaciones entre las distintas

interpretaciones

En las secciones previas hemos descrito las

diferentes interpretaciones que se pueden

asociar a la idea de fracción,

caracterizándolas en sus rasgos más

relevantes.

Debido a las diversas perspectivas con las

que se puede concebir el concepto fracción,

algunos autores lo consideran un

megaconcepto (refiriéndose al numero

racional como sintetizador de todas las

interpretaciones descritas) constituido

(construido) por diferentes subconceptos (lo

que nosotros hemos denominado

interpretaciones).

Los rasgos generales de cada interpretación

señalados en las secciones anteriores

muestran que el ser “hábil” en dichas

interpretaciones conlleva el dominio de

diferentes estructuras cognitivas entendidas

como esquemas de pensamiento subyacente

a las acciones necesarias para desarrollar

tareas que implican la idea de número

racional en cualquiera de sus

interpretaciones que se dan en el niño en

diversas épocas de su desarrollo, lo que

condiciona las secuencias de enseñanza en

un momento determinado.

Además, desde una perspectiva de

enseñanza no es posible aislar por completo

cada una de las interpretaciones de las

demás. Algunas de ellas tienen vinculaciones

“naturales” que no se pueden ignorar, y

hacen que al tratar un determinado aspecto

del número racional, implícitamente están

presentes otros aspectos.

Estas relaciones han sido conceptualizadas

para la enseñanza a través del siguiente

esquema (BEHR, M. J. et al., 1983, Pág.

100).

los autores indican mediante flechas

continuas las relaciones establecidas y

mediante flechas discontinuas las relaciones

que se conjeturan.

Las recientes investigaciones sobre el

aprendizaje de los conceptos relativos a las

fracciones han señalado algunas de estas

dependencias, así como la aproximación de

unas interpretaciones a otras cuando nos

introducirnos en contextos “más abstractos”

Por ejemplo, cuando se utiliza La relación

parte-todo en contextos discretos, las

situaciones numéricas puede conducirnos a

la idea de operador o de porcentaje (razón).

R


69

“5

3 de 20” puede ser interpretado como una

fracción actuando sobre un número

(operador), es decir, una acción más que la

descripción de una situación; o cuando

empleamos para describir esta situación el

lenguaje de porcentajes “60 % de 20”, el 60

por ciento de veinte, estamos comunicando

que existe La misma “relación”: (en el

sentido de razón) “tres de cinco” que en

“sesenta de cien”.

Por otra parte, en la sección Las fracciones y

los operadores, de este mismo capítulo se

mostraba la relación existente entre la

interpretación de la fracción como operador

o como razón, cuando se describía la

equivalencia de estados.

Además, como señala el propio Z. P.

DIENES, la conexión entre la interpretación

de la fracción como operador y la idea de

medida se encuentra en un contexto natural

en la realización de mapas y planos (la

utilización de escalas).

Para intentar clarificar estas últimas

relaciones podríamos indicar que las

“paredes” que pueden separar las distintas

interpretaciones del número racional se van

haciendo más “finas” según subimos por el

edificio matemático, hasta que llega un

momento que en “contextos abstractos”

(trabajo algebraico con números y

ecuaciones) pasamos de una interpretación

a otra sin impedimentos “conceptuales”. El

poder de generalización y síntesis de las

Matemáticas se muestra para ayudarnos a

desenvolvernos con facilidad.

Con todas las caracterizaciones anteriores,

hemos pretendido mostrar que el concepto

“fracción” (número racional) es muy

complejo; formado por diversas

interpretaciones e interrelaciones entre

ellas; por eso, no podernos más que

hacernos eco de La sugerencia de SUYDAM

(1979) que, después de haber hecho una

revisión de los proyectos de investigación

desarrollados hasta 1979, en relación a la

enseñanza de las ideas relacionadas con el

número racional señala que conviene:

1. considerar objetivos a largo y corto

plazo en relación a cada una de las

interpretaciones;

2. seleccionar las interpretaciones

apropiadas para desarrollar esos

objetivos, teniendo en cuenta las

estructuras cognitivas necesarias;

3. proporcionar secuencias de

enseñanza (actividades) que

contribuyan al crecimiento de estas

estructuras.

De todas formas, y como habíamos señalado

al principio de esta sección, manejar las

diferentes interpretaciones viene vinculado

al dominio (posesión) de determinadas

estructuras cognitivas (lo que condiciona el

momento de “ver” en la escuela estas

interpretaciones). De forma esquemática,

tenemos:


70

La necesidad de que el niño desarrolle la

comprensión del numero racional en todas

sus interpretaciones, así como plantear las

relaciones entre estas interpretaciones

diferentes ya ha sido defendida por algunos

educadores matemáticos, como hemos

señalado en el primer capitulo (véase la

opinión de KIEREN, DIENES,...).

El estudio pormenorizado, las

caracterizaciones y las implicaciones en el

proceso de enseñanza de algunas

interpretaciones, en particular decimales,

medida, razón, operador, se sale fuera de

este libro y ya ha sido estudiado por otros

autores.

PAPEL DESTACADO DE LA

RELACIÓN PARTE-TODO

hora bien, parece ser que la

interpretación parte-todo, tanto en

contextos continuos como discretos

(caracterizado en la sección (La relación

parte-todo y medida) constituye la piedra

angular sobre la que se van a desarrollar

algunas de las restantes interpretaciones, tal

y como se indica en el diagrama anterior.

Esta “naturalidad” del concepto parte-todo

se ve reflejada en la gran atención que

normalmente recibe en el desarrollo de las

matemáticas escolares.

Además, existen opiniones (ELLERBRUCH,

PAYNE, 1978) que defienden la idea de que

para realizar la introducción al concepto de

fracción se debe usar una interpretación

simple (contexto de área, continuo),

indicando que la relación parte-todo es la

que constituye la interpretación mas natural

para los niños (además de constituir un buen

modelo para dotar de significado a la suma

de fracciones).

Sin embargo estas introducciones unívocas

tienen que ser completadas a lo largo de la

enseñanza con otras interpretaciones del

concepto de fracción para intentar evitar las

posibles limitaciones conceptuales que se

podrían derivar. Una excesiva asociación de

la idea de fracción a la interpretación parte-

todo (contexto continuo) podrían plantear

dificultades ante cuestiones como la

siguiente (HART, 1981):

“María y Juan tienen dinero en el bolsillo.

María gasta 4

1 del suyo y Juan

2

1 ¿Es

posible que maría haya gastado más que

Juan?

De todas formas no hay que olvidar que las

nociones matemáticas no se desarrollan

todas de una vez y al mismo nivel de

“manejabilidad” (operatividad), tanto porque

hay que aceptar que los niños puedan

desarrollar una noción de fracción vinculada

A


71

a la relación parte-todo en un momento de

la enseñanza, y al ampliar el concepto de

fracción a otros ámbitos (a otras

interpretaciones) esta noción primitiva de

reconceptualizará (readaptará)

modificándose.

De esta forma concebimos el “paso” de las

diferentes interpretaciones de la idea de

fracción por la secuencia de enseñanza,

permitiéndose que al final la construcción del

concepto d número racional tenga como

subconceptos las diferentes interpretaciones

que ha ido adaptando a los largo de su

formación (aplicabilidad a diferentes

interpretaciones).

Vamos a desarrollar la relación parte-todo

en los próximos capítulos, intentando

trasladar las consecuencias del análisis

teórico de la relación a situaciones de clase.

De forma aleatoria se establecerán

conexiones con las otras interpretaciones de

tal forma que se puedan empezar a delinear

la futura “tela de araña” de relaciones que

constituye las ideas relativas al número

racional.


72

Fernando Hitt Espinosa

Departamento de Matemática Educativa,

Cinvestav, Conacyt

a modelación matemática ha sido uno

de los pilares en la construcción del

conocimiento. Sin embargo, su

dificultad de implementación en el aula dada

la dificultad del tópico, ha sido relegada sin

percatarse de su necesidad. Al tratar un

fenómeno de la vida real e intentar

modelarlo matemáticamente, se presentan

los problemas propios del proceso y se

añaden los problemas de manipulación

aritmético algebraica. Si cometemos errores

en la parte aritmético algebraica,

seguramente estaremos desechando el

proceso de modelación que realizamos.

En este punto considero que la calculadora

graficadora TI – 92 puede ser de gran

ayuda. Lo que aquí mostramos es una

propuesta didáctica para introducir procesos

de modelación con apoyo de calculadora.

La modelación matemática es de

importancia fundamental en el aprendizaje

de la matemática. Además, puesto que la

modelación matemática en sus primeras

etapas tiene que ver con el entendimiento

de fenómenos desde la perspectiva de la

matemática, la modelación cobra una

importancia enorme dado que nos permite

reflexionar sobre los fenómenos sin

necesidad de repetirlos una y otra vez, que

en algunos casos no es posible; por ejemplo,

si registramos el número de accidentes en

función del tiempo transcurrido en un

período de vacaciones. En otros casos, es

necesario realizar experimentación de

algunos fenómenos que nos permitan

reflexionar sobre el mismo. Generalmente

podemos hacer uso de datos proporcionados

por científicos, compañías, revistas y

periódicos, que nos son útiles para

reflexionar sobre los mismos desde una

perspectiva de la matemática.

La modelación matemática nos proporciona

la posibilidad de desarrollar habilidades

hacia el pensamiento matemático y nos

muestra su utilidad para la comunidad en la

que vivimos, específicamente en el progreso

científico y tecnológico.

En general, seguiremos un esquema como el

que mostramos en la siguiente figura

L

MODELACIÓN MATEMÁTICA CON APOYO DE LA CALCULADORA

GRAFICADORA TI-92

Hitt, Espinoza Fernando

MODELACION MATEMATICA CON APOYO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA TI-92___

73

La modelación matemática es uno de los

aspectos más difíciles en el aprendizaje de la

matemática. Ello se debe a que en el

proceso de modelación se pone en juego

mucho de lo aprendido de la misma. Esta

nueva habilidad, que fundamentalmente

tiene que ver con la unificación de

conocimientos aislados para la resolución de

un problema, se desarrolla en la acción

misma de la resolución de problemas que

involucran el estudio de fenómenos desde la

perspectiva de la matemática. Puesto que en

la modelación se buscan leyes generales que

permitan reflexionar y explicar un fenómeno,

puede suceder que haya varias maneras de

hacerlo, obteniéndose una o varias

aproximaciones generales que explican el

mismo fenómeno de diferente manera. ¿Qué

modelo elegir? generalmente se escoge el

que mejor explique el fenómeno que

queremos entender, y el mejor que se

adapte al contexto en el que estamos

trabajando. En algunos casos se requiere

mayor precisión que en otros.

Analizaremos fenómenos y trataremos de

entender su comportamiento a través de la

modelación matemática. La gran dificultad

que existe en realizar este proceso de

modelación, la atenuaremos, en algunos

casos, a través del uso de calculadora

graficadora; ello nos permitirá avanzar en el

aprendizaje de la matemática.

Los científicos en general experimentan con

animales de laboratorio antes de poner en

práctica algunos de sus conocimientos en los

seres humanos. El ejemplo que analizaremos

es uno típico de los de su clase (ver Hitt,

1987-88).

Ejemplo 1. Ratas y crecimiento

Un investigador llevó a cabo un experimento

relacionado con la vitamina D y el

crecimiento de los huesos.

Con un total de 38 ratas, el investigador

formó cuatro grupos de ratas: el grupo A

con 11, el B con 11, el C con 7 y el grupo D

con 9. Se inyectó vitamina D a cada grupo

de ratas en las siguientes dosis:

0.64 unidades al grupo A; 1.28 unidades al

grupo B; 2.15 unidades al grupo C; y 4.30

unidades al grupo D.

Utilizando una escala de 0 a 24 unidades,

obtuvo los siguientes datos de crecimiento

de los huesos (es decir, el investigador, a

través de rayos X, observó y midió el

crecimiento de uno de los huesos más largos

de cada una de las ratas).

Unidades de

crecimiento

grupo A

0.64 u

grupo B

1.28 u

grupo C

2.15 u

grupo D

4.30 u



74

2 4 8 14

0 9 17 14

2 4 6 13

4 13 14 19

0 3 17 17

5 7 16 17

3 4 8 20

4 4 17

2 10 18

6 12

1 11

¿Qué función modela mejor los datos?

1. Si tomáramos 4 ratas a las que no se les

haya inyectado vitamina D y a una se le

inyectara 1 unidad de vitamina D, a otra 2

unidades, a la tercera 3 unidades y a la

cuarta 4 unidades, ¿qué crecimiento de

huesos aproximado se observaría en cada

rata?

2. ¿Podría dar una ley general para calcular

aproximadamente el crecimiento de los

huesos de cualquier rata, suponiendo que se

suministre una cantidad de vitamina D

comprendida en el intervalo (0.64, 4.30)?

3. ¿Podría, con los datos obtenidos por el

investigador, predecir el crecimiento de los

huesos de cualquier rata cuya dosis de

vitamina D sea igual a 100 unidades?

Contestar a las preguntas planteadas

requiere de que nos imaginemos una nueva

rata, que al tomarla al azar, si le

administramos cierta cantidad de unidades

de vitamina D, podemos predecir, hasta

cierto punto, el crecimiento de sus huesos.

Puesto que hemos visto que a cierta

cantidad de unidades de vitamina D produce

en diferentes ratas un cierto crecimiento,

parece conveniente calcular la media para

cada una de las columnas de los datos. Ello

nos proporcionará una medida aproximada

del crecimiento de los huesos de una rata al

inyectarle cierta cantidad de vitamina D.

grupo

A

0.64 u

grupo B

1.28 u

grupo C

2.15 u

grupo

D

4.30 u

Promedio por

grupo 2.63 7.36 12.28 16.55

Si graficamos los datos de la tabla 2,

obtenemos una gráfica como la mostrada en

la figura 2. Aquí es donde debemos aplicar

otro de nuestros conocimientos, ¿Qué curva

75

aproxima a los datos de manera que

explique lo mejor posible el fenómeno?

Tracemos segmentos de rectas y una curva

(ver figura 3 y 4). Con cualquiera de las dos

gráficas podríamos contestar a las preguntas

formuladas.

Figuras 3 y 4

De hecho, hemos construido dos gráficas

que modelan el mismo fenómeno. Podemos

continuar e intentar encontrar una o varias

expresiones algebraicas que nos permitan

completar nuestro modelo matemático. Es

decir, además de la gráfica podemos

proporcionar una o varias expresiones

algebraicas que permitan el cálculo

inmediato para algún valor particular. En el

caso de los segmentos de rectas, el modelo

algebraico es

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤+−≤≤+−≤≤+−

=30.415.228.12)15.2(98.1

15.228.136.7)28.1(65.528.164.063.2)64.0(39.7

)(xsix

xsixxsix

xf

En el caso de la curva, debemos reflexionar

sobre el tipo de función que parece

adecuada que aproxime los datos. Una

posibilidad, de acuerdo a la forma, es

proponer una función logarítmica. La

precisión de qué tipo de función logarítmica

la podemos obtener a través del uso de la

calculadora gráfica.

Es importante señalar aquí que la

calculadora será una herramienta que nos

ayudará a realizar el trabajo de una manera

eficiente y rápida. La calculadora no resuelve

el problema, nos presta ayuda para

resolverlo.

Utilizaremos en este ejemplo la calculadora

graficadora TI92 para encontrar una función

que aproxime los datos y que no sea lineal

por tramos.

Primero introduciremos los datos de las

dosis administradas y las medias

correspondientes, en una tabla. Para ello, se

introduce la instrucción APPS, se selecciona

Data/Matrix ® new, se crea el archivo,

digamos: ratas (ver secuencia de gráficas,


76

figuras 5 a la 7), y se introducen los datos

en columna. Se utiliza el comando F2 (Plot

Setup) enseguida F1 (Define), se selecciona

Scatter, Box, c1, c2, Enter (figuras 8 a la

10)

Figura 5 y 7

Figuras 8 y 9

Figuras 10 y 11

Se selecciona diamante (¿ ) Graph y Zoom

(ZoomData), obteniéndose la gráfica ya

conocida de la figura 11. Regresamos a la

tabla nuevamente con la instrucción APPS,

Data/Matrix Editor ® current (figuras 12 y

13). Ahora utilizamos la instrucción F5 (ver

figuras 14 a la 16) para que la calculadora

obtenga la expresión algebraica que se

ajusta a los datos.

Figura 11 Figura 12


77

Figura 13 Figura 14

Figura 15 Figura 16

Seleccionamos la función logaritmo natural

(lnReg), c1, c2, store ® y1(x), NO, Enter.

Así, obtenemos una función de la forma f(x)

= a + b ln (x), a , b

constantes: , que

si la graficamos, se obtiene la gráfica de la

figura 17.

Figura 17 Figura 18

De inmediato podemos responder a las

preguntas correspondientes a los valores de

x igual a 1, 2, 3 y 4 ; obteniéndose los

valores 5.93, 11.09, 14.12 y 16.26. Aquí es

importante realizar una reflexión: ¿Será

conveniente que el modelo continuo de la

función logaritmo natural continúe para

cualquier dosis? si calculamos para x = 100,

obtenemos un crecimiento de huesos y =

46.27 (ver figura 18). ¿No sería más factible

que al inyectar 100 unidades de vitamina D

a una rata, ésta se muriera? Claro que si

tenemos mucha imaginación, pensaremos

que estamos creando una ratota gigante.

Mejor pensemos que se muere y que nuestro

modelo solo servirá para valores pequeños

de dosis, por ejemplo de 0 a 5 unidades de

vitamina D.


78

Ejemplo 2.

Unos científicos hace muchos años

descubrieron que analizando la cantidad de

carbono 14 contenidos en algún material

podría indicar aproximadamente la

antigüedad del objeto. Por ejemplo,

experimentalmente se obtuvieron los datos

de la tabla 3 ¿Qué expresión algebraica

podremos proponer para modelar este

fenómeno?

Tabla 3

Realizando un proceso como el anterior,

podemos encontrar la gráfica de la figura

19; reconociendo la forma que sugieren

estos datos, debemos proponer a una

función exponencial (f(x) = a b x, con a y b

constantes) y corroborar con los resultados

de la calculadora. La cual efectivamente nos

proporciona la función: .

Figura 19 Figura 20

Figura 21

Ejemplo 3.

En un período de vacaciones, se les recordó

a los automovilistas que tuvieran precaución

al conducir y que recordaran que la distancia

de frenado depende de la velocidad del

automóvil. Además, se les proporcionaban

algunos datos empíricos donde se señalaba

que a cierta velocidad, el coche necesitaba

tantos metros para detenerse. ¿Qué

expresión algebraica podremos proponer

para modelar este fenómeno?

Antigüedad

del

material

(miles de

años)

Cantidad

de C14

(dmg)

Antigüedad

del

material

(miles de

años)

Cantidad

de C14

(dmg)

0 15.30 9 5.15

1 13.56 10 4.56

2 12.01 11 4.04

3 10.64 12 3.58

4 9.43 13 3.17

5 8.35 14 2.81

6 7.40 15 2.49

7 6.56 16 2.21

8 5.81 17 1.95


79

Velocidad en

Km/h 30 50 70 90 110

Distancia de

frenado en

mts.

11 24 42 64.5 92

Tabla 4

Graficando los datos (figura 22),

observamos que un modelo continuo del

fenómeno puede ser de la forma : y = ax2 +

bx + c, con a, b y c constantes.

Propongamos el polinomio de segundo grado

como la función que aproxima los datos.

Figura. 22 y 23

Figura 24

Con la función cuadrática obtenida en este

proceso, podemos realizar cálculos de

velocidades intermedias y obtener la

distancia de frenado. También, podemos dar

una distancia y ver a que velocidad el

automóvil se mueve.

Discusión

Las posibilidades de las calculadoras

graficadoras como la TI92, nos plantean

problemas que tienen que ver con su

integración al aula de matemáticas

¿qué actividades proponer en un curriculum

que contemple el uso de la calculadora

gráfica?

¿qué problemas se nos presentarán en el

aula al implementar actividades como las

anteriores?

¿qué habilidades estaremos dejando de lado

y cuáles impulsando?

Debemos hacer experimentación en el aula

con las calculadoras y generar más

propuestas que cubran una mayor cantidad

de temas de matemáticas. Además,

debemos reflexionar para saber qué tópicos

son necesarios que se presenten por parte

del profesor sin que los alumnos tengan la

calculadora en uso. Es decir, cómo se puede

apoyar el profesor para impartir su clase

utilizando esta tecnología. En este

documento abordamos el problema de la

modelación, pero otro punto importante ya

tratado con anterioridad, con computadoras,

es el de la simulación de fenómenos físicos

(ver Hitt, 1994), que es posible realizarlo

con la TI92.


80

i comparamos textos de Cálculo de

los años sesenta con los que se

editaron en los años ochenta se

pueden observar nuevas tendencias en el

tratamiento metodológico que dan estos

libros de texto al contendio. Estas nuevas

tendencias se reflejan en el intento de

reemplazar las introducciones tradicionales

al Cálculo que consistía en un estudio formal

de series, como 51, 72, 93, 114, ... n31, donde

n = n1 + (n31 – n1)k, es decir: n31 = 5 +

2(31 – 1) = 5 + 60 = 65, el número

buscado, sucesiones y límites como:

2lim

→z 292

++

zz

, por una consideración

intuitiva haciendo referencia a las

aplicaciones.

Parece que hay más consciencia en los

autores de libros y tratados didácticos del

Cálculo, de que el tratamiento tradicional es

matemática y lógicamente exacto mpero no

contribuye mucho a la comprensión e los

conceptos fundamentales. Las ideas básicas

del del Cálculo diferencial e integral

( ∫ dx

d

dx

d, ) permanecen escondidas debajo de

una capa de formalismo y deltasépsilon. De

esta manera se niega al estudiante la

posibilidad de una comprensión auténtica y

con esto la aplicación creativa o lo que

Freudenthal (1963) llama matematizar.

Estas tendencias nuevas son un intento para

solucionar un problema más profundo, el de

dar significado a los contenidos aprendidos

(Wenzelburger, 1986). El análisis

matemático desarrollado en forma abstracta

y con perfección matemática no alcanza a

tener un verdadero significado para la

maypría de los alumnos, sobre todo para los

que más adelante van a ser usuarios de las

matemáticas y no futuros matemáticos que

las estudian con amor. Este material desea

proporcionar sugerencias a los maestros

acerca de cómo desarrollar el conceptro

fundamental del Cálculo Diferencial en forma

significativa, sin caer en inexactitudes

matemáticas.

DESARROLLO HISTÓRICO DEL

CÁLCULO DIFERENCIAL Y EL

PROBLEMA DE LA CONTINUIDAD

os textos clásicos del anális

matemático que empiezan con

sucesiones, series y límites,

presentan al Cálculo diferencial en forma

lógico-matemática con mucha precisión y

sistematización. De esta manera se asegura

el autor que nadie lo pueda criticar por falta

de rigor matemático. Había una época en la

historia de las matemáticas, la época de

Newton y Leibnitz en el siglo XVIII, en la

cual esta falta era un problema grave: en las

ciencias naturales del citado Siglo XVIII se

S

L

NUEAS TENDENCIAS EN LA DIDÁCTICA DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

Wenselburguer, Guttenberger Elfride

NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________

81

pretendía resolver con la ayuda del nuevo

Cálculo infinitesimal problemas que

anteriormete parecían insolubles, pero

muchas veces no se actuaba con el debido

formalismo matemático. En el Siglo XIX

Cauchy creó los fundamentos matemáticos

de los procesos infinitesimales, y todavía

hoy en día los conceptos de Cauchy como

límite, convergencia, continuidad,

diferenciabilidad determinan los libros de

texto de Cálculo Diferencial e Integral. Pero

este tipo de rigor puede ser la causa de la

falta de crmprensión de las ideas

fundamentales del Cálculo por parte de los

alumnos, ya que se píerde en la presición

matemática, y en un lenguaje formal

impecable. De esta manera tenemos muchos

alumnos de Cálculo que saben aplicar

métodos, definiciones y reglas en foprma

rutinaria sin comprender el sentido de estas

operaciones, reproduciendo los pasos, por

ejemplo, de los métodos de diferenciación e

integración, más de memoria que en forma

significativa, al respecto, podemos citar la

base fundamentalista en el tratamiento de la

diferenciación, tal es el caso del tratamiento

de los “incrementos”, más de memoria que

en forma significativa. El estudiante tiene la

impresición de que el Cálculo siempre existía

como un conjunto de definiciones claras y

teoremas, y tiene pocas oportunidades de

reflexionar que los métodos matemáticos del

Cálculo representan el resultado final de un

proceso de desarrollo largo, lento y penoso

en la historia de las matemáticas. Si el

alumno tuviese la opoirtunidad de

experimentar las diferentes etapas de

precisión y exactitud como resultado de

problemas prácticos, podría comprender

mejor el Cálculo; de esta manera podría

obtener el proceso histórico del esarrollo del

análisis matemático, indicaciones

importantes acerca del fin y propósito de

esta rama de las matemáticas.

La enseñanza del Cálculo se debía ortientar

en esa génesis que tuvo lugar en la historia

de esta ciencia; una formación lenta de

conceptos matemáticos a través de la

liberación de percepciones sensoriales y la

intuición primaria. El concepto de “derivada”

es en realidad solamente el resultado de

intentos por esquematizar nuestras

impresiciones sensoriales de las cantidades y

variables continuas. Esta esquematización

ha progresado desgraciadamente de tal

manera, que los métodos ingeniosos

desarrollados por Newton y Leibnitz

aparecen como manipulaciones algebraicas

rutinarias.

Si consideramos el desarrollo del Cálculo

diferencial en la histopria de las

matemáticas, parece ser que una aspiración

prematura hacia la precisión lógica puede

tener un efecto negativo, sobre todo en el

pensamiento crítico y sensato. Lo mismo se

puede decir para la introducción del Cálculo

en las escuelas. Las introducciones deben

ser intuitivas, razonables, haciendo

referencia a las aplicaciones, pero no

necesariamente de rigor matemático. La

necesidad de un mayor formalismo sigue en

forma natural del empeño de facilitar la

solución de más problemas.

Un aspecto importante que fue introducido

por Newton en 1711 en sus consideraciones,

es el de continuidad. La propiedad de


82

continuidad de procesos cambiantes es una

condición fundamental para poder aplicar el

Cálculo diferencial. La continuidad aquí no se

entiende necesariamente en el sentido

matemático, sino en el sentido de una

relación ininterrumpida entre dos

magnitudes dependientes. La mayoría de los

procesos de la naturaleza a las cuales se

aplica el Cálculo son continuos, o por lo

menos continuos por partes y tienen solo un

número finito de saltos bruscos que se

caracterizan matemáticamente como

discontinuidades. Además se consideran

muchos procesos que son de natualeza

discontinua, es decir, que se representan

gráficamente como puntos aislados. Para

fines de un análisis matemático como

continuos, se unen simplemente dichos

puntos por una curva. Si es justificable esta

extrapolación, ello dependerá del

aprovechamiento práctico de los resultados.

Newton, también describió la condición

fundamental el Cálculo infinitesimal de la

siguiente manera: “Un supúesto básico del

Cálculo infinitesimal es que todas las

magnitudes geométricas se generan a través

de movimientos continuos. Podemos

imaginarnos una línea como el resultado del

movimiento de un punto, una superficie

como el resultado del movimiento de una

línea, un cuerpo como el resultado de una

superficie que se mueve y un ángulo en el

plano como generado por la rotación de una

recta sobre un punto” (vgr.: Newton 1711

cit. En Boyer 1959). Estos pensamientos

parecen expresar por primera vez la noción

de continuidad. Newton, también expresaba

la idea fundamental del Cálculo diferencial

mediante conceptos fundamentales como

fluent, magnitud fluyente, y fluxion, razón

de cambio. Intuitivamente exisitían para los

inventores del Cálculo diferencial una

relación estrecha entre los combios

continuos y la idea básica de éste. Con

posterioridad se sistematizó la idea de

continuidad matemáticamente, y se le dio

demasiada importancia, de manera que hoy

en día la discusión formal de límite y

continuidad es una etapa árida y difícil en la

enseñanza del Cálculo, razón de ser de la

materia “procesos de cambio y variación”. El

aspecto intuitivo y la aplicabilidad se

perdieron en gran parte. Es cierto que la

continuidad representa un concepto

fundamental en el análisis matemático, pero

este concepto no tiene aplicaciones

inmediatas y se le hace difícil al alumno

menos interesado en las matemáticas; por

eso es aconsejable no entrar al Cálculo con

este concepto, sino tratarlo

después.Diferentes introducciones al Cálculo

El Cálculo diferencial es una materia

tradicional en los planes de estudio de

matemáticas a nivel preparatoria y

universitario. Generaciones de alumnos

pasaron por un curso de Cálculo sin

realmente entender el significado y la

utilidad de esta rama de las matemáticas,

esto se debe sobre todo a la manera

abstracta y formal, en la cual se presenta

normalmente la materia.

En este bloque de trabajo vamos a sugerir

otro camino al Cálculo. No queremos entrar

a través de límites y una definición formal

de continuidad, sino a través de un

acercamiento intuitivo alos conceptos


83

fundamentales de una matemática de

cambio.

Con esto se sigue el camino histórico que

tomó el Cálculo diferencial: primero se

desarrolló una noción intuitiva de la razón de

cambio, de la derivada o del floxion como le

llamó Newton. Mucho después se formalizó y

se precisó lo que es un límite, la continuidad

y la convergencia. Normalmente se usa el

problema de la tangente geométrica como

motivación para introducir la derivada. Este

método tiene muchas desventajas porque no

es fácil de entender que el límite de las

pendientes de una familia de secantes es la

pendiente de la tangente a la cual se llama

derivada. Además no se ve una conexión

inmediata corre una tangente geométrica

que es un fenómeno estático y el dinamismo

de una derivada que describe el cambio

relativo de una magnitud con respecto a

otra.

A veces también se introduce la derivada

como factor de proporcionalidad. Se trata de

probar que la recta g: x → f(x0) + f’(x0) (x -

x0) es la mejor aproximaciónlíneal de la

función “f” de una variedad de x0. Entonces

la diferencia g(x) – g(x0) es proporcional a

la diferencia x - x0 como factor de

proporcionalidad f’(x0).

Este método aritmético algebraico tiene la

desventaja de ser muy abstracto y de

revelar muy poco acerca del concepto

fundamental de una matemática de cambio.

En casi todos los problemas reales en los

cuales hay una dependencia funcional d

magnitudes no sólo interesan los valores de

las magnitudes sino los cambios de éstos, o

más bien las razones de cambio promedio de

camios ax

afxf

−

− )()( de una función f. Para

todas las razones cambio promedios en una

vecindad pequeño de “a” se puede

considerar la razón de cambio local ax →

lim

ax

afxf

−

− )()( como una aproximación

adecuada. Por eso creemos que el acceso

más natural al Cálculo diferencial es a trvés

de determinar razones de cambio locales o

instantáneas. El alumno por su parte, debe

tener la experiencia de cuantificar cambios

mediante los métodos del Cálculo.


84

LA IDEA FUNDAMENTAL DEL

CÁLCULO DIFERENCIAL

INTRODUCCIÓN

l Cálculo diferencial forma junto con

el Cálculo integral una de las ramas

más importantes de las Matemáticas.

Vivimos en un mundo caracterizado por

cambios continuos. Es importante desarrollar

métodos matemáticos para cuantificar,

describir y pronosticar estos cambios.

Justamente estos es el propósito del Cálculo

diferencial, ya que es la matemática de los

CAMBIOS.

Todo el Cálculo diferencial se puede reducir

a un concepto fundamental, la razón de

cambio. Determinar razones de cambio de

procesos continuos es muchas veces más

importante que estudiar estos procesos.

Siempre que dos magnitudes (variables)

están conectadas mediante una relación

funcional, función (tercer uso de las

variables, Sonia Ursini 1998), se puede

estudiar el cambio relativo de una de las

magnitudes con respecto a la otra.

Un ejemplo típico de una razón de cambio es

lo que físicamente se conoce como

velocidad. Una velocidad es una razón (el

cociente) ntre una distancia y un tiempo y

describe el cambio de la posicisión de un

cuerpo con respecto al tiempo transcurrido.

Si hablamos de de la velocidad de un

automóvil grande (por ejemplo, 120 h

km

significa un cambio grande en la posición, un

desplazamineto de 120 k en una hora. Una

velocidad pequeña, por ejemplo 30 h

km se

puede interpretar como un cambio pequeño

de posición. Solamente avanzamos 30 km

en una hora.

Hay numerosos ejemplos en la vida diaria y

en las ciencias en donde nos interesa el

cambio relativo de una magnitud con

respecto a otra. Esto puede ser importante

para determinar los desultados de un

proceso o ayudarnos a pronosticar el futuro

del mismo. El conocer las “razones de

cambio” también puede ser útil para buscar

factores que controlen los procesos y sus

cambios. Así, si un médico está midiendo el

pulso de un paciente y nota un cambio

repentino, investiga las causas de este

cambio; los polígrados, o detectores de

mentiras, estan basados en este principio:

un cambio repentino de pulso o respiración

indica un cambio en el estado emocional del

individuo. Si una enfermera mide la fiebre

de un paciente y traza la curva

correspondiente se va a fijar en los cambios

bruscos en la tempertura. Los datos que

registra son los siguientes:

Horas 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00

Temperatura 36 37 37.2 37.8 37.9 40 40 40 37.6

E


Ciertas razones de cambio tienen nombres

especiales:

La razón de cambio de la altura de una

person se llama “tasa de crecimineto”.

La razón de cambio de de la posición de un

vehículo con respecto al tiempo se llama

“velocidad”

La razón de cambio de la temperatura de un

líquido se llama “velocidad de enfriamiento”

En la economía interesan, por ejemplo, la

razón de cambio de la productividad de una

empresa.

La razón de cambio del índice de precios a

nivel nacional

Una razón de cambio importante también es

la tsa de natalidad de una nación que

describe el incremento de la población

Un aspecto fundamental de las relaciones

funcionales cuyos cambios se estudian en el

Cálculo diferencial es el de la continuidad.

Esto significa que una relación es completa

sin interrupciones o saltos bruscos.

Gráficamente estas funciones se representan

como segmentos de líneas rectas o curvas y

no como una colocación de puntos aislados

entre sí.

Otro aspecto importante es el de la

pendiente. Todos tenemos nociones

intuitivas acerca de pendientes y de cómo

comparar inclinaciones de varias pendientes.

Por ejemplo, sabemos que cuesta más

trabajo cubir una montña muy empinada

(pendiente grande) o que el agua de un río

corre más rápido o corroe más su lecho si

este tiene mucha pendiente. Lo que vamos a

aprender en este apartado introductorio

entre otras cosas es que la medida de una

pendiente de una curva está íntimamente

relacionada con el concepto de la razón de

cambio.

En este apartado vamos a derterminar las

razones de cambio (que representan la

velocidad de un cambio) de las relaciones

funcionales dadas en forma de tablas,

gráficas y fórmulas. También se vera cómo

usar el conocimiento d la razón de cambio

para entender procesos y predecir cuándo se

llegan a sus máximos y mínimos.

LA DETERMINACIÓN DE LA RAZÓN

DE CAMBIO

arece ser entonces que el concepto

fundamental del Cálculo diferencial

está presente en la vida diaria y que

muchas personas efectuan operaciones

intelectuales de acuerdo con este concepto

sin poder darle un nombre explísito o

reflexionar sobre las acciones cognoscitivas

correspondientes. Hemos visto que este

concepto fundamental es la razón de cambio

y su determinación. Ya que vivimos todos en

un mundo físico, biológico, económico,

ploítico y social que está caracterizado por

cambios continuos, es muy útil describir y

cuantificar estos cambios y variaciones a

través de modelos matemáticos. Como

ejemplo vemos una curva de fiebre (figura

2.1 a y b).

P


86

La enfermera interpreta la razón de cambio

de la temperatura como un cambio de los

valores en el ej y en grados centígrados

(oC), con respecto a los intervalos el tiempo

en el eje x, y toma las medidas terapéuticas

correspondientes.

Para interpretar la figura 2.1a, no interesa

tanto el valor absoluto d la fiebre cada hora,

sino el hecho de hubo un incremento fuerte

entre las 19:00 y 22:00 horas, que la fiebre

no cambió de las 20:00 a las 23:00 horas.

En muchas situaciones de la vida diaria se

usa la misma manera de pensar; todas estas

tienen en común la importancia de mobtener

información a cerca del modo en el cual

varía una magnitud con respecto al cambio

de otra en un determinado intervalo. Por

ejemplo, si sabemos que la gasolina de un

tanque con 40 litros se acaba a las 14:00

horas, y que estaba lleno a las 9:00,

podemos pensar en un consumo promedio

de 8 litros por hora, es decir:

85

40= litros por hora

pero esto en realidad no nos dice mucho a

cerca de los cambios que sufrió el consumo

de gasolina realmente: ¿hubo incrementos

repentinos?, ¿hubo variaciones entre valores

extremos del consumo? Todas estas

preguntas no se pueden contstar sin

información adicional.

Podemos encontrar otros ejemplos de la vida

diaria en los cuales se aplica el concepto de

la determinación de la razón de cambio. Los

montañistas tiene que hacer más esfuerzo

para subir un cerro muy empinado y no

interesa tanto la altura total sino la

pendiente. Los médicos determinan muchas

veces razones de cambio de procesos., un

electrocardiograma representa en forma de

curva los latidos del corazón. Si el paciente

hace ejercicios cambia la forma de la curva;

este cambio determina el diagóstico médico.

Tiempo en horas

Temperatura en C

elsius ( oC)

Raz

ón d

e ca

mbi

o en

la te

mpe

ratu

ra (o C

/h)


87

Las compañías deelectricidad también

determian razones de cambio: el consumo

de energía se registra como una curva en

función el tiempo, un aumento repentino sde

consumo se refleja en el aumento de la

amplitud de la curva, lo que indica la

necesidad de aumentar la capacidad

eléctrica. Un caso interesante de la

interpretación de una razón de cambio

representa el polígrafo o detector de

mentiras, un cambio repentino de pulso o e

la respiración indica un cambio en el estado

emocional del individuo, y de esto se

obtienen conclusiones acerca de su reacción

a las preguntas.

La determinación más común de razones de

cambio de procesos ocurre en la casa, por

ejemplo, cuando el ama de casa observa los

incrementos de precios para ciertos

artículos. Si los precisos suben rápido es una

buena decisión comprar estos artículos en

reserva. Pasra justificar esta decisión no

importa tanto el valor absoluto del precio,

sino el incremento sufrido.

De todos estos ejemplos se puede ver que el

concepto de la determinación de razones de

cambio no solamente está presente en

forma intuitiva en la vida diaria, sino

también que es muy útil interpretar las

razones de cambio, ya que estas poseen de

cierto modo un valor pronóstico y nos

permite tomar decisiones futuras.

Relación entre razones de cambio y

pendientes de recta:

La descripción de cambios que sufren ciertos

procesos tienen más valor pronóstico si se

pueden determinar las razones de cambio en

forma general. Para lograr esto

efectivamente no es suficiente describirlas

en un lenguaje común sino que es necesario

desarrollar algoritmos.

La ilustración del concepto fundamental del

Cálculo a través de gráficas es muy útil ya

que existe una relación estrecha entre

pendientes y razones de cambio.

Supongamos que el precio de un artículo de

primer mes es de 600 unidades monetarias

(u.m.) y en un tercer mes es de 1200 u. m.,

representados en la siguiente tabla:

Mes Precio

1 600

3 1200

Podemos graficar estos datos, como lo

muestra la siguiente gráfica:

0

500

1000

1500

2000

1 2 3

y suponer que el incremento del precio

ocurrió como en la siguiente figura:


88

1,6002,900

3,1200

0

500

1000

1500

2000

1 2 3

La razón de cambio del precio se define de la

siguiente manera:

“se calcula el cambio en dirección vertical (1

200 – 600) y se divide por el cambio

horizontal (3 – 1), así:

Razón de cambio =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

−−

mespesos300

2600

136001200

Este valor numérico caracteriza el

incremento del precio. En el cuarto mes se

ofreció el producto con un 30 % de

descuento como promoción, que calculado

tendríamos:

Pb = Pb –

8403601200100

360001200

100

30.012001200

100=−=−=

×−=

×⎟⎠⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ tb

P

, donde Pb = precio base (1200) y t = 30 %,

como se aprecia en el siguiente gráfico

1,600

4,840

0

500

1000

1500

2000

1 2 3 4

De donde la razón de cambio de este mes

des de:

Razón de cambio =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

−−

mespesos360

121200840

Ahora consideremos un valor intermedio de

tiempo; por ejemplo, 2 meses y calculamos

la razón de cambio en el segundo mes:

Razón de cambio =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

−−

mes

pesos3001

30012600900

Esta razón de cambio es la misma que al

inicio del Cálculo:

EN RESUMEN:

na razón de cambio característica

para una gráfica en forma de

segmentos de línea recta solo

cambia si hay variación en la pendiente de

ésta. Si la gráfica crece, la razón de cambio

y la pendiente son positivas. Si decrece la

gráfica, la razón de cambio y la pendiente

son negativas. Para calcular la razón de

cambio entre dos puntos de una gráfica se

sigue el trazo de la curva y se ven los

valores, primero el punto de la abscisa

(valor en el eje horizontal) más grande, y

después el punto de la abscisa más

pequeña. Después se forma el cociente entre

la diferencia vertical y la horizontal.

La pendiente de una recta en un sistema de

coordenadas x, y, es la medida de la razón

de cambio de la variable y con respecto al

cambio de la variable x..

Es una propiedad especial de las líneas

rectas que tienen pendiente constante, es

decir, la razón de cambio entre dos puntos

U


89

cualquiera es siempre la misma. No será

necesario utilizar el Cálculo diferencial para

determinar razones de cambio de puntos

sobre una recta. En lo que sigue aplicamos

las ideas principales del Cálculo Diferencial a

la discusión de curvas, no de rectas.

RAZONES DE CAMBIO VARIABLES

ENTRE DOS PUNTOS DE UNA CURVA

na característica muy importante

que distingue una relación lineal de

una no lineal es el hecho de que la

razón de cambio entre dos puntos cualquiera

de la curva que representa la relación no

lineal entre dos variables cambia a lo largo

de la curva. Lo primero que queremos es

desarrollar conocimientos previos necesarios

para comprender estas razones de cambio

variables entre puntos sobre una curva (no

recta).

Vamos a usar el mismo ejemplo que en el

punto anteriro. Es factible que los precios no

subieran siguiendo una relación lineal; por

ejemplo, como en las siguientes figuras:

1,6002,800

3,1200

0

500

1000

1500

2000

1 2 3 4

1,600

2,1000

3,1200

4,840

0

500

1000

1500

2000

1 2 3 4

De acuerdo con las anteriores figuras, el

precio al principio del segundo mes parece

ser de 800 u.m. Como la razón de cambio

entre el precio final del primer mes y del

segundo mes (de 600 a 800) tenemos:

Razón de cambio =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=−=

mes

pesos

zontalCambioHoriicalCambioVert 200

1600800

Ahora calculamos la razón de cambio en el

tercer mes:

Razón de cambio =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

−−=

mes

pesos

zontalCambioHoriicalCambioVert 400

1400

238001200

El valor de la razón de cambio en ambos

casos es diferente, si repetimos el

procedimiento para otros pares de puntos,

como en las siguientes figuras, vamos a

obtener muchos valores diferentes:

U


90

1,6002,800

3,1200

0

500

1000

1500

2000

1 2 3 4

1,600

2,1000

3,1200

4,840

0

500

1000

1500

2000

1 2 3 4

La diferencia entre una curva y una línea

recta es la variación continua de la razón de

cambio a lo largo de la curva.

Si suponemos ahora que los precios

cambian de acuerdo a la figura anterior del

lado izquierdo, podemos observar en la

siguiente tabla las razones de cambio

calculadas para intervalos de un mes:

2º mes 3er. mes 4º mes

Razón de

cambio 1

6001000 −

1

10001200 −

1

1200840 −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

mespesos

400 200 - 360

Estos valores describen a grandes rasgos el

comportamiento de la curva precio en

función de tiempo: en el segundo mes el

precio sube más rápido que en el tercer

mes. Si calculamos la razón de cambio total

del segundo mes al cuarto mes tenemos

que:

Razón de cambio =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==−

mes

pesos803

2403

600840

Obtenemos una información equívoca. Un

valor pequeño pequeño que no refleja la

variación real del precio. Por eso cncluímos

que es necesario calcular razones de cambio

para intervalos pequeños debido a que

intervalos grandes nos dan valores

representativos para la descripción del

cambio de una función a lo largo de la curva.

Determinación gráfica de Razones de cambio

de curvas y su representación como función

La idea principal de lo que sigue es esta: si

logramos calcular para una función (dada en

forma de curva) sucesivamente las razones

de cambio entre muchos pares de puntos

muy cercanos, debe ser posible encontrar

una relación funcional entre la variable

independiente y las razones de cambio.

Las dos variables iniciales en el siguiente

ejemplo van a ser las magnitudes ganancia

(variable dependiente) y unidades

productivas (variable independiente)

La siguiente figura, representa la ganancia

en función de unidades productivas para una

fábrica determinada2 Las unidades

producidas se miden en millares y la

ganancia en pesos. Podemos ver que que la

ganancia alcnaza su valor máximo de $ 6

600.00 para 24 000 unidades y su mínimo

es cero pesos para 4 800 unidades.

2 La función tiene la forma G(x) = ax -

3 2x + C


91

Los dueños de la fábrica quieren saber no

solo el monto de sus ganancias, sino los

intervalos en los cuales la producción es

económicamente justificable u optimizable

dadas ciertas condiciones iniciales, esta

información se obtiene del análisis de los

incrementos o decrementos de las

ganancias. La siguiente figura:

representa las razones de cambio de las

ganancias, calculadas para intervalos de

2000 unidades graficadas como función de la

misma variable independiente de la

siguiente figura:


92

Los puntos que se obtienen al calcular estas

razones de cambio se unen mediante una

curva continua. De modo que al comparar la

gráfica que describe una curva similar al tiro

parabólico con la que representa sus razones

de cambio observamos:

El máximo de ganancias corresponde a una

producción de 24 000 unidades. Si fallan

algunas máquinas o hay problemas con los

proveedores, indica la gráfica una baja en la

producción en la siguiente figura un

decremento pequeño en las ganancias. Si

baja la producción a 20 000 unidades no hay

problema, pero una producción de 8000

unidades produce un decremento fuerte de

ganancias que se aleja más del máximo.

También observamos que una

sobreproducción produce pérdidas que

aumentan rápidamente en la medida en que

crece la sobreproducción. Esto es fácil de

explicar: con el aumento de la producción

crecen los costos; por ejemplo, costos de

materias primas, transporte, bodega,

salarios, etcétera. Las pérdidas crecen

lentamente hasta 28000 unidades, pero

aumentan rápidamente para una producción

mayor.

En general, podemos ver una relación clara

entre las curvas a y b (la función original y

la función de las razones de cambio) ambas

tienen la misma variable independiente. Los

puntos de la curva en la segunda gráfica se

obtienen con el método descrito al inicio de

esta sección:

RESUMIENDO:

n un sistema de coordenadas

cartesianas se define a partir de una

función original las razones de

cambio como función de la variable x inicial

al formar los cocientes de las diferencias

algebraicas entre los valores de y y los

valores de x de puntos cercanos sucesivos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

12

12xx

yy. Estas razones se pueden graficar

como función de la misma “x” inicial.

En el ejemplo anterior usamos un

procedimiento netamente gráfico para

representar la función original y para

determinar las razones de cambio. Al usar

este método gráfico es importante

determinar las razones de cambio para

muchos puntos muy cercanos. De esta

manera se toman en cuenta todas las

características importantes de la curva

original.

La función de razones de cambio respecto a

la variable independiente original se deriva

de los valores de la función que se estudia:

por eso llamamos a esta nueva función la

derivada.

E


93

Entre una función y su derivada existe una

relación especial:

Función original Función derivada

Crece Valor positivo

Decrece Valor negativo

Queda igual Valor cero

Es constante


94

PROBLEMAS DE APRENDIZAJE EN

LA CONCEPTUALIZACIÓN

DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

EL PROBLEMA DE LAS DECISIONES

SIMULTÁNEAS

na de las dificultades principales en

la conceptualización de la idea

fundamental el Cálculo diferencial

es el hecho de que al determinar la función

derivada, el alumno tiene que considerar dos

procesos complejos en forma simultánea.

Por un lado conocemos la relación entre dos

mmagnitudes que caría en forma de una

gráfica, como tabla de valores, o como

ecuación funcional y = f(x). La interpretación

correcta de una relación funcional ya exige

del alumno la capacidad de tomar decisiones

simultáneas:tmemos dos conjuntos de

valores se asocian en pares. Es necesario

tener presente el resultdo de esta asociación

tal como la asociación misma, además de los

valores individuales que se asocian y se

unen a una cuasa de una continuidad real o

supuesta para formar una gráfica. De esta

menera exigimos del alumno

permanentemente pensar en valores

relacionales y procesos en forma simultánea.

Por otro lado se establece una relación entre

dos funciones al determinar la derivada:

tenemos la función que se deriva y la

función derivada, tal que:

⎟⎠⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ −=−

=−

=dx

dy

xx

x

x

xdx

d

dx

dx

xdx

d

2

1

2

)1(1)0(

2

)(1)1(1

cuyos valores dan información acerca de la

razón de cambio de la función original. En la

mayoría de los casos ocurre que la gráfica

de la función original es muy diferente a la

gráfica de la derivada. Es exactamente esta

representación interna y simultánea, que

hace que el alumno, de eventos que distan

en el papel temporal y espacialmente, la que

dificulta la conceptualización e la idea

fundamental del Cálculo diferencial.

Si queremos que alumno comprenda en

forma significativa los conceptos dentrales

del Cálculo, no queda otra cosa que discutir

y experimentar con una función conocida

con métodos gráficos (que son

escencialmente cualitativos) la relación entre

la función y su derivada a partir de gráficas

contiguas, como se muestra en las

siguientes figuras

0

100

200

300

400

500

600

700

1 3 5 7 9 11 13 15

(a) Tiempo en segundos

Altu

ra e

n ki

lóm

etro

s

Altura máxima

Se abre el paracaid

Termina el

U

La de abajo por la derivada de arriba menos la de arriba por la derivada de abajo entre el


95

-200

-100

0

100

200

1 3 5 7 9 11 13 15 17


Altu

ra e

n ki

lóm

etro

s/s

Altura Se abre

Termina el

Desarrollo de la capacidad de tomar

decisiones simultáneas al derivar una

función

En la mayoría de los textos de Cálculo se

representa la función y su derivada en forma

simbólica; por ejemplo, el alumno aprende

que la derivada de y = x2 es dx

dy = 2x y más

o menos tiene consistencia al fundamentar

este tratamiento en procesos netamente

algebraicos relacionados con “incrementos”,

consistencia que nuevamente pone en riesgo

a dicho tratamiento. Esta representación

netamente algebraica impide que el alumno

pueda ver la relación entre una función y su

derivada y tomar decisiones simultáneas de

interpretación; más bien la mayoría de los

alumnos saben aplicar correctamente las

fórmulas de derivación sin comprender el

concepto de derivada. Con un ejemplo

vamos a ver cómo se puede enseñar a los

alumnos la capacidad de decisión simultánea

en la interpretación de derivadas para

asegurar una comprensión significativa,

como condición necesaria para el uso de las

fórmulas posteriormente. En este ejemplo no

se trata de determinar gráficamente una

derivada sino de captar cualitativamente la

conexión entre una función y su derivada.

Se da la gráfica de una trayectoria de un

cohete (altura contra tiempo) y se discuten

los puntos que se destacan en la gráfica:

0100200300400500600700

1 3 5 7 9 11 13 15

(a) Tiempo en segundos

Altu

ra e

n ki

lóm

etro

s

Altura máxima

Se abre el

Termina el

Por ejemplo, el momento en que se acaba el

combustible, significa que el cohete sigue

subiendo pero su velocidad disminuye. A

partir de este instante, debemos notar un

decremento en la función de las razones de

cambio de la altura (función velocidad)

mientras que antes de ese momento debe

haber un incremento. Durante el vuelo va a

ver un instante en el cual el cohete alcanza

una altura máxima y se para antes de caer:

la razón de cambio de la altura (velocidad)

es cero. Después el cohete desciende y esto

significa una razón de cambio negativa. El

valor absoluto de la razón de cambio

aumenta ya que el cohete cae cada vez más

rápido. En el momento en el cual se abre el

paracaídas para evitar el impacto se frena la

caída. La razón de cambio sigue negativa

pero su valor absoluto disminuye. Después

de esta discusión cualitativa de la trayectoria

podemos intentar una gráfica aproximada de

la derivada:


96

0100200300400500600700

1 3 5 7 9 11 13 15(a) Tiempo en segundos

Altu

ra e

n ki

lóm

etro

s

Altura máxima

Se abre el id


-200

-100

0

100

200

1 3 5 7 9 11 13 15 17


Altu

ra e

n ki

lóm

etro

s/s

Altura Se b

Termina el

Es importante hacer esta gráfica

directamente debajo de la primera. Una

dificultad puede ser la magnitud que va del

eje vertical de en la segunda figura. Si

tomamos en cuenta que la razón de cambio

es un cociente (diferencia de altura entre

diferencia en tiempo) queda claro que la

razón de cambio e la dsitancia con respecto

al tiempo es la velocidad; estimamos como

la razón e cambio más grnde, 200 km/s y

como la más pequeña – 100 km/s, como

gráfica de la derivada obtenemos:

-200

-100

0

100

200

1 3 5 7 9 11 13 15 17


Altu

ra e

n ki

lóm

etro

s/s

Altura Se b l

Termina el

OTROS PROBLEMAS DIDÁCTICOS

EN LA INTRODUCCIÓN DEL

CÁLCULO DIFERENCIAL

stamos conscientes de que la

comprensión significativa el Cálculo

diferencial trae más problemas

consigo que el de la decisión simultánea al

buscar la conexión entre la función original y

su derivada. Hay dificultades en el uso

equívoco de reglas de derivación y también

en las aplicaciones; por ejemplo, problemas

de máximos y mínimos, también de razones

de cambio relacionadas en donde hay que

encontrar relaciones entre variables y

eliminar alguna para poder derivar. Otra

dificultad didáctica representa la relación

entre continuidad y diferenciabilidad. Pero

aquí no se trata de analizar todos los

posibles errores que pueden ocurrir en el

aprendizaje del Cálculo, sino de abrir un

camino significativo hacia las ideas

fundamentales. En esto la conexión entre

función original y derivada juega un papel

central.

E


97

LA NOTACIÓN “∆x”

UNA NOTACIÓN MÁS COMPACTA

PARA EL COCIENTE DE

DIFERENCIAS

n la primera sección de este bloque

mencionamos la diferencia algebraica

entre valores de y y de x. Debido a

que un lenguaje informal puede causar

errores y además resultar poco práctico,

Donde y = 2x + 1 y

la razón de cambio

es: 24

8

26

513==

−

−

Y su gráfico respectivo:

es adecuado introducir para la determinación

de la razones de cambio una notación más

compacta.

Al introducir esta notación no vamos a darle

una interpretación especial a “x” ó “y”, sino

hacerlo en general. No importa si

determinamos razones de cambio de

precios, temperaturas o velocidades, el

contenido procedimental es siempre el

mismo.

Si queremos entonces detrerminar la razón

de cambio entre dos puntos, P1(x1, y1) y

P2(x2, y2) calculamos la diferencia x2 – x1 =

∆x y la diferencia y2 – y1 = ∆y y formamos

su cociente:

12

12xx

yy

xy

−

−=

∆∆

La “y” está en el numerador ya que

queremos calcular la razón de cambio de la

variable dependiente y con respecto a la

variable independiente “x”. El cociente xy

∆∆

también se llama “la razón de cambio

promedio” y representa gráficamente la

pendiente de una recta.

El adjetivo “promedio” es un nombre popular

pero inexacto, porque en este contexto

promedio significa aproximado, es decir, se

aproxima a una razón de cambio que puede

ser variable por una constante y no se trata

de un promedio de razones de cambio.

La razón de cambio x

y

∆

∆ es suficiente para

describir funciones que tenen gráficas como

en la siguiente figura:

Es decir, segmentos de líneas rectas ya que

cada segmento tiene una razón de cambio

constante, pero no para determinar las

razones de cambio de gráficas curvas.

Ex 1 2 3 4 5 6

y 3 5 7 9 11 13


98

LA NOTACIÓN ∆ PARA RECTAS

Vamos a ilustrar la notación ∆ para el

siguiente caso:

Para determinar la razón de cambio entre

pares de puntos sucesivos escribimos:

42

8

13

19==

−

−=

∆

∆

x

ypara (P2 a P1)

51

5

34

914==

−

−=

∆

∆

x

y para (P3 a P2)

13113

34141

−=−

=−

−=

∆∆

xy

para (P4 a P3)

030

5811

==−−

=∆∆

xy

para (P5 a P4)

Se ve claramente que el valor absoluto de la

razón de cambio depende sobre todo del

valor de la diferencia (el cambio) entre los

vlores de “y” (variable dependiente).

LA NOTACIÓN ∆X PARA CURVAS

n la siguiente figura, vemos la

gráfica de una función, y en la

siguiente su derivada. Aplicamos

para este ejemplo también la notación ∆y

notamos que la razón de cambio varía

constantemente.

E


99

La altura ∆y de la escalera decrece en su

ancho; ∆x es siempre igual. En consecuencia

decrece la razón de cambio entre 0 y 24 y

crece de 24 a 48.

Para algunos puntos importantes que

determinan la forma aproximada de la

derivada, vamos a presentar las razones de

cambio en notación ∆.

Cuando x = 1 en la figura entonces:


100

y = 1 200; para x = 0, y = 0, de esto se

sigue:

120001

01200 =−

−=∆∆

xy

para (P0 a P1)

Y para P1(1, 1200) y P2(2, 2010) que siguen,

entonces:

8101

8101212002010 ==

−−=

∆∆

xy

para (P1

a P2)

A esto corresponde en la curva derivada el

punto P2(2, 810)

De la misma manera se puede determinar

otros puntos en la figura anterior que al

unirlos dan una aproximación para la

derivada de la función en la figura original.


101

SIGNIFICADO Y DETERMINACIÓN

DEL COCIENTE DIFERENCIAL

LA TRANSICIÓN DE LA RAZÓN DE

CAMBIO PROMEDIA A LA RAZÓN DE

CAMBIO INSTANTÁNEA

l final de la sección anterior hicimos

referencia al hecho de que

distancias menores entre valores

consecutivos de la función origina debían

llevar a una determinación más exacta de la

función derivada. Expresado en notación ∆x

esto significa: entre más pequeño ∆x tanto

más exacto ∆y. Los valores de ∆y

determinan la característica de la derivada.

La gráfica:

fue trazada tomando numerosos pares de

puntos consecutivos tomados de la

siguiente gráfica::

calculando los valores de la razón de cambio

x

y

∆

∆ para cada uno de ellos. Se pretendía

lograr la mejor aproximación posible de la

curva derivada. Pero este método nunca nos

puede dar la derivada exacta ya que

calculamos solamente rzones de cambio

promedio de cambio, cada una de las cuales

no representa la razón de cambio al principio

o al final de un intervalo ∆x tan pequeño

como queramos, el valor x

y

∆

∆ siempre se

tomará como un valor constante en el

intervalo. Necesitamos desarrollar un

método que permita calcular la razón de

cambio de la función original prácticamente

en cada instante; es decir, para cada valor

de “x” queremos conocer la razón de cambio

f(x). Este tipo de razón de cambio se llama

“la razón de cambio instantánea”.

Considerando la forma de x

y

∆

∆

12

12xx

yy

xy

−

−=

∆∆

A


102

podría pensarse simplemente en hacer

coincidir los puntos x2 y x1; es decir, tomar

x2 - x1 = 0. Entonces la razón de cambio

será instantánea ya que nada más se tendrá

en un punto. Es obvio que este intento de

solución fracasa: para ∆x = 0 no está

definida la razón de cambio. Por esto vamos

a aceptar el siguiente principio fundamental

de la razón e cambio instantánea: “El valor

de x2 - x1, será siempre un número que

puede hacerse más pequeño que un número

muy pequeño, arbitrario, pero fijo. Debido a

que un número de esta naturaleza no es

igual a cero, no estamos considerando un

intervalo de longitud sino que ∆x se hace

cada vez más pequeño. Esto se expresa

como: ∆x → 0”.

UNA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

DEL PROCESO X → 0.

a siguiente serie de figuras ilustran

gráficamente el significado del

proceso ∆x→0.

En las figuras anteriores se ve claramente

como la distancia entre x2 y x1 se hace cada

vez menor: el punto P2 se aproxima al P1

sobre la curva. Mientras que P2 se acerca al

P1 cambia la pendiente x

y

∆

∆ de la secante P2

y P1 de tal manera que el valor x2 - x1 es

posible escoger un número que se puede

hacer más pequeño que un número fijo pero

arbitrriamente pequeño, entonces la secante

21PP está en una posición que

prácticamente no se puede distinguir de la

tangente T en el punto P1. También la

L


103

tangente T tiene su pendiente, como se

muestra en la siguiente figura:

Conocida como pendiente a la que

llamaremos el ángulo de incliación ∝. Sucede

que esta pendiente de T tiene el mismo valor

numérico que la razón de cambio

instantánea en el punto P1. En otras

palabras:

Si existiera un método unívoco para trazar

tangentes a curvas podríamos continuar con

la determinación gráfica de derivadas, y esta

vez con la determinación de razones de

cambio instantáneas, calculamos

simplemente la pendiente de la tangente

que para por un punto de una curva. Pero no

existe tal método, ya que casi siempre es

posible trazar más de una tangente por un

punto de una curva.

Observamos que la interpretación

geométrica del proceso “∆x → 0” se presentó

solamente para complementar las ideas

expuestas. Esto no es necesario para los

métodos numéricos y algebraicos que se

usan para determinar la rzón de cambio

instantánea.

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA

APROXIMAR RAZONES DE CAMBIO

INSTANTÁNEA

amos a ilustrr con un ejemplo

concreto un método para aproximar

la razón de cambio instantánea. Con

esto queremos preparar el camino para una

comprensión significativa del concepto de

“límite”.

Para esto usaremos una herramienta formal

de las matemáticas: aceptaremos funciones

nos solamente gráficas, sino modelos

(fórmulas) que expresan la relación entre la

variable independiente “x” y la variable

dependiente “y”.

Tomemos como ejemplo una función

cuadrática, mostra en la siguiente figura:

V

“El valor numérico al cual se aproxima

x

y

∆

∆ cuando ∆x → 0 es la razón de

cambio instantánea.


104

determinada por el modelo y = x2

queremos conocer la razón de cambio en el

punto (2, 4) Para eso calculamos la razón de

cambio instantánea a partir de las razones

promedio de cambio ya que sabemos que:

x

y

∆

∆ ∆x → 0 [Razón promedio de cambio] =

Razón de cambio instantánea

Para encontrar la razón de cambio

instantánea cuando x = 2, calculamos:

12

12xx

yy

xy

−

−=

∆∆

Tomamos para ∆x valores cada vez más

pequeños:

En el caso que nos ocupa, x1 = 2. y1 = 22

= 4. Entonces:

xy

xyy

xy

∆−=

∆−=

∆∆ 4212

La siguiente tabla contiene los resultados:

y = x2

x1 + ∆x

= x2 y2

∆y = y2 -

4 x

y

∆

∆

2 + 1 =

3.0 32 = 9 9 – 4 = 5 5

23

5=

−

2 + 0.5

= 2.5

2.52 =

6.25

6.25 – 4

= 2.25 =

− 25.2

25.24.5

2 + 0.1

= 2.1

2.12 =

4.41

4.41 – 4

= 0.41

=− 21.2

41.0

4.10

2 +

0.01 =

2.01

2.012 =

4.0401

4.0401 –

4 =

0.0401

=− 201.2

0401.0

4.0100

2 +

0.005 =

2.005

2.0052 =

4.0200

4.0200 –

4 =

0.0200

=− 2005.2

0200.0

4.0000

La aproximación de la razón de cambio

instantánea de la función y = x2, x = 2 dio

un valor de 4. Este método parece ser poco

práctico ya que deberíamos calcular las

razones promedio de cambio x

y

∆

∆ para

intervalos cada vez más pequeños. Pero este

método tiene la ventaja de preparar de

manera significativa el concepto de límite. Si

aplicamos el método descrito anteriormente

a una función dada para varios valores de x,

obtenemos una serie de razones de cambio

instantáneas. Éstas a su vez pueden

graficarse en un sistema de coordenadas con

los mismos valores de x. La gráfica que se

obtiene es una función derivada que es

mucho más exacta que las derivadas que se

construyeron a través del método gráfico en


105

las secciones anteriores. Ilustremos de

nuevo con el ejemplo y = x2, para x = 2

encontramos que la razón de cambio

instantánea estaba muy cerca de 4. Para x =

1, tenemos la siguiente tabla:

y = x2

x1 +

∆x =

x2

y2 ∆y = y2 -

1 x

y

∆

∆

1 +

0.1 =

1.1

1.12 =

1.21

1.21 – 1

= 0.21 =

− 11.1

21.0 2.10

1 +

0.01

=

1.01

1.012 =

1.0201

1.0201 -

1 =

0.0201

=− 101.1

0201.02.0100

1 +

0.001

=

1.001

1.0012 =

1.002001

1.002001

– 1 =

0.002001

=− 1001.1

0020001.02.0010

De los valores de la anterior tabla se puede

concluir que para x = 1, x

y

∆

∆ se aproxima a 2

cuando ∆x se acerca a 0, luego:

x

y

∆

∆ → 2 para ∆x → 0, x = 1

De la misma manera calculamos para x = 0,

x = 2

1, x =

2

3, x =

2

5, x = 3, los valores

serán:

x x

y

∆

∆ para ∆x → 0

0 ≈ 0

0.5 ≈ 1

1.5 ≈ 3

2.5 ≈ 5

3 ≈ 6

Graficando estos valores se obtienen:

Si examinamos los valores de la tabla

anterior, se observa que x

y

∆

∆ para ∆x → 0

Siempre es igual a 2, de donde, la expresión

x

y

∆

∆ para ∆x → 0 se puede escribir como:

y’ = 2x o también dx

dy = 2x

que describe la relación de los valores de “x”

y las razones de cambio instantánea de la

función, para un valor de “x” arbitrario, pro

fijo. En la siguiente sección mostraremos un

método algebraico para determinar las

funciones derivadas de ciertas funciones

dadas como modelos.

y∆ para ∆x → 0

x

x

x

x


106

EL CÁLCULO DE LA FUNCIÓN

DERIVADA CON MÉTODOS

ALGEBRAICOS

n el siguiente ejemplo vamos a

mostrar cómo se puede deducir de

una tabla de valores de un

experimento sencillo una fórmula o

expresión algebraica, y la manera de

determinar la derivada algebraicamente.

En un laboratorio de biología se observa que

las bacterias crecen como se indica en la

siguiente tabla:

Núm.

al

inicio

Después

de 1

hora

Después

de 2

horas

Después

de 3

horas

Después

de 4

horas

50 51 54 59 66

Estos datos se pueden expresan

gráficamente de la siguiente manera:

Crecimiento bacteriológico

50 5154

5966

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5

Tiempo en (h)

Núm

. de

bact

eria

s

Ahora queremos determinar la tasa de

crecimiento de las bacterias: primero la tasa

promedio de las primeras 4 horas, y luego la

tasa de crecimiento de la segunda hora. Se

presenta entonces otra vez el problema de

calcular una razón de cambio: el crecimiento

de las bacterias en un tiempo determinado.

La razón de cambio promedio se calcula

como sigue:

∆y = 66 en la 4ta. hora

- 50 al inicio

∆x = 4 en la 4ta. hora

- 0 al inicio

de donde:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

−−=

∆∆

horabacterias

xy 4

045066

No es difícil establecer a partir de la gráfica

anterior a la tabla de valores (mostrada

antes del gráfico), una relación algebraica

entre “x e y”.

y = x2 + 50

Para calcular la tasa de crecimiento de la

segunda hora (razón de cambio de la

segunda hora), tenemos que encontrar el

valor de:

xy

xxyy

∆∆=

−−

12

12 cuando ∆x → o

De donde (x1, y1) = (2, 54) y (x2, y2) punto

cerca de (x1, y1). Tenemos que:

x2 - x1 = ∆x, y x2 = x1 + ∆x = 2 + ∆x

y2 - y1 = ∆y, y y2 = x2 + 50; de donde:

= (x1 + ∆x)2 + 50, y

= (2 + ∆x)2 + 50; y por lo tanto:

xy

xxyy

∆∆=

−−

12

12 =

[ ] [ ]11

5021502)1(

xxx

xxx

−∆+

+−+∆+,

E


107

que por sustitución y resolviendo

algebraicamente tenemos:

= [ ] [ ]

2250450)2( 2

−∆++−+∆+

xx

=

xxx

∆∆+∆ 24

. De donde: x

xx∆

∆+∆ )4( ∴ =

4 + ∆x

Si ∆x → 0, entonces x

y

∆

∆ → 4

La tasa de crecimiento momentánea en la

segunda hora es de 4 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

hora

bacterias. Podemos

generalizar el método, usando como x1 un

valor fijo pero arbitrario:

[ ] [ ]11

21

21 5050)(

xxxxxx

xy

−∆++−+∆+=

∆∆

,

entonces

xxx

xy

∆∆+=

∆∆ 2

12de donde:

= 2x1 + ∆x

∴ Si ∆x → 0, entonces x

y

∆

∆ → 2x1

Como el valor de x1 es arbitrario pero fijo,

entonces obtenemos la función derivada:

02'

→∆==

∆∆

xxy

xy

De esta manera encontramos un modelo que

describe el proceso de crecimiento de

bacterias, es decir, las razones de cambio de

la función y = x2 + 50. Dimos un gran paso

en cuanto a los conceptos involucrados ya

que pasamos de métodos que dan valores

de la derivada (que son razones de cambio)

para puntos fijos, a un método que

proporciona la derivada como una función de

la misma variable independiente que la

variable de la función original. Con esto

podemos calcular razones de cambio

instantáneas para puntos arbitrios pero fijos

de curvas.

Llegamos al punto en el cual conviene

introducir reglas algebraicas de derivadas,

que son más económicas para los cálculos.

Estas reglas se aceptan como una manera

más rápida y fácil de calcular razones de

cambio y no se aplican meramente en forma

rutinaria, ya que se le dio un significado a

los procesos y conceptos que están detrás

de las reglas, a través de una introducción

accesible.


108

APLICACIONES DEL CÁLCULO

DIFERENCIAL

UN PROBLEMA SIMPLE

n muchas aplicaciones de la

matemática es importante poder

determinar valores máximos y

mínimos de funciones. Este tipo de

problemas se llama problemas de

optimización y algunos de pueden resolver

con ayuda del cálculo diferencial. En este

caso se habla de calcular valores extremos.

Los problemas de optimización jugaron un

papel importante en la historia de la

matemática; por ejemplo, los intentos por

determinar la altura máxima de un proyectil

o la distancia máxima entre planetas fueron

decisivos para el desarrollo del análisis

matemático. Hoy en día se dan problemas

de valores extremos en muchas disciplinas

científicas; por ejemplo, en la economía, al

calcular ganancias máximas y costos

mínimos. Como introducción al cálculo de

valores extremos escogemos un problema

de la industria de empaques. Se quiere

hacer uso óptimo del material. Ilustramos

tres métodos para resolver el problema:

dada una pieza de papel de aluminio, se

desea hacer una caja sin tapa con un

volumen máximo, la caja se hace doblando

el papel aluminio de la siguiente manera:

Vamos a suponer que el papel aluminio es

cuadrado, con lado de 12 cm Podemos

experimentar y hacer varias cajas, como se

muestra en el siguiente esquema:

Método 1:

Llenar todas las cajas con agua y comparar

la cantidad de líquido que cabe en cada una.

De esta manera se pueden estimar en forma

aproximada las dimensiones de la caja con

un volumen máximo.

Método II:

Calcular los volúmenes de las cajas de

acuerdo con las dimensiones de la figura

anterior y a partir de sus medidas de las

siguientes figuras:

Vemos que la base des cajas mide 12 cm

(12 – 2h)2, siendo h la altura. Sea x el lado

de la base. Los cálculos están en la tabla

siguiente:

E


109

Volumen 0 20 87.5 128 100 0

Lado (x) 0 2 5 8 10 12

Altura (h) 6 5 3.5 2 1 0

Dibujamos ahora la gráfica del volumen

como función de x, como se muestra en la

siguiente figura:

Gráfica del volumen de una caja

0102030405060708090

100110120130

1 2 3 4 5 6

Lado "x" en centímetros

Volu

men

V e

n cm

cúb

icos

Aparentemente se obtiene un volumen

máximo para un largo de 8 cm, esta

impresión se corrobora al calcular los valores

para 7 y 9 cm respectivamente, como en la

siguiente tabla y gráfica respectiva.

LadoAlto Volumen

7 2.5 122.5

8 2 128

9 1.5 121.5


118

120

122

124

126

128

130

1 2 3


Volu

men

V e

n cm

cúb

icos

Método III:

Si trazamos en el punto máximo del

volumen V como función de x, una tangente

T, se ve que esta recta es paralela al eje x,

es decir, tiene pendiente “cero”. En la

sección anterior, vimos que la pendiente de

la tangente en un punto de la curva tiene el

mismo valor que razón una razón de cambio

igual a cero. Esto es importante para la

tercera solución; en la figura que demuestra

la construcción de la caja se ve que el

volumen de las cajas esta determinado por

(12 – 2h)2(k), en donde 12 – 2h = x y que

corresponde al lado de la base.

Por lo que tenemos:

Vx = x2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

212 x

= 6x2 - 2

3x

De modo que el volumen de las cajas es

función de x.

Como en el apartado anterior, vamos a

derivar V(x1) algebraicamente. Sea x un

valor arbitrario pero fijo y V(x1) = y1 el

volumen correspondiente; x2 es un valor


110

cercano, x1 es decir, = x1 + ∆x. Tenemos

que:

V(x2) = y2 = (x1 + ∆x)2 - 2 x1 x∆+

Entonces resulta:

xy

xxyy

∆∆=

−−

12

12 =

11

2

312

16

3

2

12)1(6

xxx

xx

xxxx

−∆+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−−∆−

−∆+

, de

donde:

= 12x1 + 6∆x - 212

3 x - 123 x ∆x - 2

21 x y por

lo tanto:

y’ =

0

2112

2

31

→∆

−==∆∆

x

xxdxdy

xy

Interesan sobre todo los valores de x1 para

los cuales y = 0;

porque uno de

estos valores

de las

dimensiones de la base con lo cual el

volumen es un máximo.

Entonces:

12x1 - 212

3 x = 0, de donde:

x1 (12 - 123 x ) = 0

∴ x1 = 0 , o bien x1 = 8

Como también para x1 = 0 se tiene que

V(x1) = 0, entonces x1 = 8 el valor que

buscamos. De este modo concluimos que las

dimensiones óptimas de una caja abierta

que se pueda obtener doblando un papel

aluminio en forma de cuadrado con lado 12

cm son:

Una caja con estas dimensiones, tiene el

mayor volumen entre todas las cajas

posibles que se puedan construir, como se

puede apreciar en la siguiente tabla y

gráfico:

LadoAlto Volumen

7 2.5 122.5

8 2 128

9 1.5 121.5


118

120

122

124

126

128

130

1 2 3


Volu

men

V e

n cm

cúb

icos


111

OTRAS APLICACIONES

as funciones en los ejemplos que

discutimos en las secciones anteriores

se representaban gráficamente o

como polinomios simples, como se mencionó

en la sección. ”El cálculo de la función

derivada con métodos algebraicos” del

anterior apartado, podemos en vez de

calcular la derivada como límite del cociente

diferencial 0' →∆∆

∆x

y introducir reglas de

derivación, por ejemplo, la siguiente: si y =

xr, entonces y’ = r xr-1, siendo “r” un número

racional. Con ayuda de esta regla podemos

derivar todos los polinomios de manera

rápida y fácil. Existen evidentemente

muchas funciones elementales (racionales,

trigonométricas, exponenciales y

logarítmicas), cuyas derivadas no se calculan

tan fácilmente. Pero muchas de las

funciones que aparecen en las aplicaciones

de las matemáticas pueden expresarse como

polinomios, o ser aproximados por

polinomios. Por ello es posible determinar

las razones de cambio de muchos procesos

con los medios relativamente simples que

presentamos en este material de apoyo.

Esto puede ser importante para determinar

causas para los cambios de procesos,

condiciones óptimas para procesos o

pronósticos de los resultados de procesos.

CONCLUSIÓN

l tema principal de este apartado del

material de apoyo para el estudio de

la materia de “Procesos de cambio y

variación” era el desarrollo gradual del

contenido significativo del Cálculo

Diferencial. La idea fundamental de esta

rama de las matemáticas fue introducirnos a

partir de referirnos a experiencias de la vida

diaria, primero en forma intuitiva y correcta,

y después se afinó esta idea poco a poco con

notación matemática. Lo dominante fue la

determinación e cambios de una magnitud

con respecto a los cambios de otra, e la cual

aquella es función.

Hay que ser realistas y reconocer que esto

no es suficiente; porque el currículum y los

exámenes no preguntan solamente por el

significado del Cálculo Diferencial, sino

también por técnicas de solución de

problemas. En este sentido, no se pretende

que este material de apoyo para el estudio

de la materia que nos ocupa reemplace a un

texto de cálculo usual. Pero estamos

convencidos de que un acercamiento

significativo al cálculo diferencial a pesar de

una cierta lentitud inicial, evita que el

profesor estudiante adquiera técnicas del

Cálculo Diferencial sin comprender, es decir,

creemos que con esta introducción, el

tratamiento del Cálculo será menos

infructuoso para los profesores estudiantes,

quienes a su vez, podrán transmitir esta

nueva cultura, la de darle sentido a los

aprendizajes circunscritos a las matemáticas

y que generaciones enteras de estudiantes

frustrados cursen el cálculo diferencial sin un

L E


112

claro entendimiento. Por supuesto, es

indispensable el concepto de derivada que

fue desarrollando intuitivamente. Una

notación exacta y un procedimiento

definitivo del cálculo diferencial son

indispensable, y de la definición formal de la

derivada como límite no se debe privar a

ningún alumno. La mayoría de los textos de

análisis tratan e manera satisfactoria el

Cálculo desde el punto de vista matemático

formal, a través de definiciones, teoremas y

demostraciones, por lo cual no es fácil llevar

a cabo una discusión sistemática de

funciones, límites, continuidad, etcétera.

Pero toda esta exactitud matemática nunca

se debe perder de vista la idea fundamental

del cálculo diferencial, motivo de estudio de

este material de apoyo, y su aplicabilidad

universal para la solución de problemas que

se refieren a cambio continuos de

magnitudes relacionadas. Solamente la

comprensión completa del cálculo diferencial

hace posible una exposición creativa de

todas sus aplicaciones posibles.


113

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

itt F. (1987-88) Evaluación.

Publicación del PNFAPM –

Cinvestav.

Hitt F. (1994) Simulación de fenómenos

físicos vía la microcomputadora para la

formación de conceptos matemáticos.

Memorias del V Simposio Internacional sobre

Investigación en Educación Matemática (en

Cuadernos de Investigación), PNFAPM,

Mérida, Yucatán.

BIBLIOGRAFÍA

BÁSICA

enzelburger, Elfride. Cálculo

diferencial. Una guía para maestros y

alumnos, México 1993, Grupo Editorial

Iberoamérica.

COMPLEMENTARIA

breu, J.L. Olivero, M. (1980): Calcula,

Grupo Editorial Iberoamérica.

Ball, Rouse W.W. (1960): A short account

of the history of mathematics, Dover, New York.

Beatty, W.E., Gage, R.W. (1973): Introductory

calculus for business and economics. (General

Learnig Pess), Morristown, N.J.

Boyer, C.C. (1959): The history of the calculus

and its conceptual development. Dover, New York.

Bussmann, H., Maiwltz-Schütte, M.,

Wenzelburger, E. (1976): Uber den

Zusammenhag In zwischen Bedeutung" von

Unterrichtsinhalten undkognitiven

Handlugsformen. In: Zeitschrzft für Pädagogik 22,

6, S. 881-888.

Bussman, H. Wenzelburger, E. (1977):

Anschauliche Differentialrechnung, Urban and

Schwarrzenberg, Mtinchen.

Campbell, H.G., Spencer, R.E. (1975): A short

course in calculus with applications, (Macmillan),

New York.

Freudenthal, Hans (1973): Mathematik als

pddagogische Aufgabe. Stuttgart.

Kiel, Karl A. u'a. (1976): Analysis 1. München.

Kiel, Karl A. u.a. (1975): !nflnitesimalrechnung.

München.

Kfrsch, Arnold (1960): Bin geometrischer Zugang

zu den Grundbegriffen del Differetialrechnung. In:

Der Mathematik-Unlerricht 6. Heft 2.

Koch, A. (1968): EinepropäideutischeBehandlung

der Analysis. In: DerMathematik-Unterrich 5, S.

12-37.

Lietzmann, W. (1923): Methodik des

mathematischen Unterrichts. (2. Teil). Leipzig.

Locher-Ernest, L. (1948): Dj£ferential-und

Integrairechnung im Hinblick auf ihre V.

Anwendungen. Basel-Stuttgart.

Loomis, L. (1973): Introduction to calculus.

Addison-Wesley. Reading, Mass.

Luschberger, H. u. a. (1976): Mathematikin

derstudienbezogenen Sekundarstufe II: Uberblick

über den Stand der didaKschen Diskussion. In:

Die Deutsche Berufs- und Fachschule 72,9 S. 665-

671.

Merriell, D.M. (1974): Calculus. A programed text.

Vol.1. Berjami'n, Menlo Park, C.

National Council of Teachers of Mathematics

(1969): Historical topicfor the mathematics

classroom. Washington.

Pickert, G. (1976): Analysis in der Kollegstufe. In:

Jahresbericht DMV 77, S. 173-192.

Schools Council Sixth From Mathematics

Project (1976): Calculus Applicable

(Students' Unit). Heinemann. London.

Schweizer, W. (1968). Analysis,

Mathematicsches Unterrichtswerk. Stuttgart.

Smith, D.F. (1925): History of mathematics.

Vol.2, Dover New York.

Swokowski, E.W. (1979): Cálculo en

geometría anal (tica. Grupo Editorial

Iberoamerica, México.

H

W

A


114

Wagner, K. (1974): Analysis I

(Differentialrechnung). Düsseldorf.

Walton, W.U. u. a. (1975): Module I Integration.

EDC/Project Calc. Newton, Mass.

Walton, W.U. u. a. (1975): Module II

Differentiation. EDC/Project CaIc. Newton. Mass.

A

Walton, W.U. u.a. (1975): Module Ill Relating

Integration and Differentiation. BDC/Project y Calc.

Newton, Mass.

Wenzelburger, E. (1986): La relación entre la

significatividad de los contenidos curriculares y las

actividades cognoscitivas. Didac, Boletín 38,

Universidad Iberoamericana.

Wenzelburger,E. (1993): Didáctica del cálculo

integral. Grupo Editorial Iberoamérica, México.

Wenzelburger, E. (1993): Introducción a los

conceptos fundamentales del Cálculo diferencial e

integral. Una propuesta didáctica. Educación

Matemática, Vol.5, No.3


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