PROCESOS UNITARIOS IIND-241

MECÁNICA DE FLUIDOS

Andrés Jorge Nogales Escobar

PROCESOS UNITARIOS I IND-241Objetivos de la asignatura:Conocer los principios de la Mecánica

de Fluidos, empleando consideraciones físicas y la comprensión de los fenómenos de transporte con sentido critico.

Resolver problemas propios de la industria empleando los conocimientos propios de la mecánica de fluidos con suficiente exactitud.

Contenido mínimo Tema 1: Introducción a la mecánica de

fluidos. Tema 2: Hidrostática. Tema 3: Ecuación de Bernoulli Tema 4: Ecuación General de la Energía Tema 5: Diseño de conductos Tema6: Sistemas de conductos en serie

y paralelo. Tema 7: Equipamiento para el

transporte de fluidos

Evaluación Primer Parcial Temas 1 y 2 Segundo Parcial Temas 3 y 4 Tercer Parcial Temas 5 y 6 Examen Final Temas 1,2,3,4,5,6 y 7

Bibliografía Mott, Robert L. Mecánica de Fluidos,

Sexta Edición, Pearson México, 2006 Cengel, Yunus A. Cimbala John M.

Mecanica de Fluidos (Fundamentos y aplicaciones) Primera Edición, McGrawHill Interamericana 2006

McCabe/ Smith/ Harriot, Operaciones Básicas en Ingeniería Química, McGrawHill-Interamericana, 2005, 6ta edición

Unidad # 1Introduccion y conceptos básicosObjetivosDiferenciar y caracterizar los fluidos desde el punto de vista de su estado de agregación

Entender los conceptos de presión, peso, masa, fuerza, densidad, peso específico, gravedad específica y otros conceptos relacionados.

Revisar los sistemas de unidades inglesas y métricas.

CONCEPTOS INTRODUCTORIOS

MECANICA DE FLUIDOS FLUIDOS

LIQUIDOS (INCOMPRESIBLES) GASES (COMPRESIBLES)

PRESION

PESO Y MASA dA

dFP

mgw

COMPRESIBILIDAD “E “

E = Módulo volumétrico de compresibilidad (elasticidad)

Calcule el incremento de presión que debe aplicarse al benceno para que su volumen cambie en 1.5%

VVP

E

Líquido SI (PSI) S. Int. (MPa)

Alcohol Etílico 130000 896

Benceno 154000 1062

Aceite lubricante

189000 1303

Agua 316000 2179

Glicerina 654000 4509

Mercurio 3590000 24750

Densidad, Peso específico y gravedad específica

Relación entre densidad y peso específico

Densidad Relativa y peso específico relativo

Las sustancias de referencia para la densidad y el peso específico son: el agua @ 4°C (LIQUIDOS y SOLIDOS) y el aire a

0°C (GASES)

V

m

V

w

V

mg ..gsrelativarelativa

g

ref

sustrelativa sg

ref

sustrelativa sg

31000m

kgref 34,62

pielb

ref

381,9m

kNref 34,62

pielbf

ref

Otras maneras de expresar la gravedad específica Grados Baumé (°Bé)

Grados API (°API) American Petroleum Institute

Bésgrel

145

145

Bésgrel

130

140

Para líquidos mas pesados que el agua

Para líquidos mas livianos que el agua

APIsgrel

5,131

5,141

FIN

Presión y mediciones de presión

Presión Tipos de presiones

Presión Absoluta Presión relativa

A

FP N

Presión Absoluta Presión atmosférica o barométrica Presión de vacío

Presión relativa Presión manométrica (positiva) Presión vacuométrica (negativa)

relAtmabs PPP

relAtmA PPP

relAtmB PPP

Unidades de presión

1 Atm = 14,696 lbf /plg2 = 101325 Pa = 760,1 mmHg = 10,33 mCA

1 Atm = 29,92 plgHg = 1,033 kgf /cm2

Abreviaciones comunes PSI = lbf /plg2 PSIA = lbf /plg2 (absolutas)

PSIG = lbf /plg2 (manométricas)

PSID = lbf /plg2 (diferenciales)

Ejemplos Ejemplo 1: Exprese una presión de 155 kPa (man) como presión

absoluta. La presión atmosférica local es de 98 kPa (abs).

Solución : Pabs = Patm + Pman

Pabs = 98 kPa (abs) + 155kPa (man) = 253 kPa (abs)

Ejemplo 2: Exprese una presión de 225 kPa (abs) como presión manométrica. La presión atmosférica local es de 101 kPa (abs).

Solución : Pabs = Patm + Pman

Despejando: Pman = Pabs - Patm

Pman = 225 kPa (abs) - 101kPa (abs) = 124 kPa

(man)

Ejemplo 3: Exprese una presión de 8,4 psia como presión manométrica. La presión atmosférica local es de 14,69 psia.

Solución : Pabs = Patm + Pman

Despejando: Pman = Pabs - Patm

Pman = 8,40 psia - 14,69 psia = - 6,29 psig.

Ejemplo 4: Exprese una presión de -3,5 psig como presión absoluta.

Solución : Pabs = Patm + Pman

Pabs = 14,69 psia + (-3,50 psig) = 11,19 psia.

Unidad #2: Hidrostática Presión debido a un fluido

∆V

Zmax

z

z +∆z

∆w

F│z

F│z +∆z

z = 0

z = Zmax

z (+)

P = Po

Por equilibrio se deduce que:

El peso de nuestro volumen ∆w diferencial es igual a:

Por definición de presión: Entonces la Ec. 1 queda:

∆V

Zmax

z

z +∆z

∆w

F│z

F│z +∆z

z = 0

z = Zmax

z (+)

P = Po

0 zzz

FwF

zgAVgmgw

APF

Ec. 1

0

zgAAPAPzzz

Simplificando y reordenando se tiene

Por definición matemática de la derivada se tiene:

Sabiendo que: La Ec. 2 no esta completa y se la debe integrar:

gz

PPzzz

dz

dP

g

La presión de un fluido es directamente proporcional a la

profundidad del mismo

Ec. 2

)0(0

00

zPP

dzdPzP

P

zPP 0Principio fundamental

de la hidrostatica

Ejemplo de aplicación 1: El esquema siguiente muestra un tanque de aceite con

lado abierto a la atmósfera y el otro lado esta sellado y lleno de aire. Calcule la presión manométrica y absoluta en los puntos : A, B, C, D, E y F, y la presión del aire en el lado derecho del tanque.

Ejemplo de aplicación 2: El esquema siguiente muestra un manómetro de

columna de mercurio. En base a este esquema calcule la presión en el punto A.

90.05 Kpa (r)

Ejemplo de aplicación 3: El esquema siguiente muestra un manómetro de

columna que se utiliza para conocer la diferencia de presiones en una tubería. Calcule (PA-PB).

Resp.-6.52 psid

Fuerzas debidas a fluidos estáticos Fuerza total FH

Represa Pared Plana rectangular

Base piso o suelo

Fuerza hidráulica FH

Nivel del líquido

La variación de presiones se puede apreciar en el siguiente diagrama:

Deducción matemática de FH, y Zc

Vista lateral

Represa Pared Plana rectangular

Ancho = W

Nivel del líquidoz = 0

z = H

P = Po

zz +dz

dA = W dz

AFP

dA

dFP

zWdzdF

zPP 0

zP

Sabemos que: En forma diferencial:

Despejando dF

Pero sabemos que

Manométricamente.:

En base al diagrama anterior:

Integrando: HF

zWdzdF00

2

2WHF

PdAdF

Fuerza hidráulica del líquido:2

2WHFH

FzM zdFdM

WdzzdM 2

Sabemos que: En forma diferencial:

De la anterior diapositiva sabemos que dF:

Entonces el momento dM queda:

Integrando: HM

WdzzdM0

2

0

3

3WHM

zWdzdF

Retornando a la definición inicial de momento M Hc FzM

Despejando el centro de presión Zc

WH

WH

F

Mz

Hc 2

3

3

2

Simplificando se halla el valor para Zc Hzc 3

2 Medido desde arriba

Medido desde abajo se halla que Zc:3

Hzc

Ejemplos de aplicación:Calcule la fuerza total sobre la pared debida a la presión del aceite. Además determine la ubicación del centro de presión y muestre la resultante sobre la pared.

Resp: Fr = 46.8 kN y Zc = 0.933 m

Ejemplos de aplicación:

Hallar las reacciones en el tope B y la bisagra A sabiendo que la compuerta tiene un ancho de 7 pies.

Resp: RB = 5959.59 Lb y RA=4141.41 Lb

Flotabilidad (Principio de Arquímedes)“Cuando se sumerge un objeto en el seno de un líquido este experimenta una fuerza de empuje (hacia arriba) que es igual al peso del volumen de líquido desplazado”

Matemáticamente se expresa…

LDE VF

Aquí se asume que es el volumen de líquido desplazadoLDV

FE

V

Volumen Inicial V i

Volumen final V fV LD = Vf - V i

w

La fuerza resultante “F R ” se obtiene al realizar la sumatoria de fuerzas en el objeto V: F R = F E - w

FR

El volumen del objeto es igual al volumen de líquido

desplazado:

V = V LD

Situaciones comunes de equilibrio existentes en el principio de Arquímedes. Si FR > 0 el objeto V tiende a flotar sobre la superficie del

liquido. (figura 1) Si FR = 0 el objeto permanece estatico en cualquier lugar

dentro el seno del liquido. (figura 2) Si FR < 0 el objeto se hunde llegando al fondo del recipiente.

(figura 3)

Ejemplos de aplicación

Tema # 3: Hidrodinámica Velocidades de flujo y la ecuación de

continuidad Flujo Volumétrico (Caudal)

Flujo másico, flujo en peso

La ecuación de continuidad

t

V

tiempo

volumenQ ˆ VQ ˆTambién se emplea

Qt

V

t

m

tiempo

masam ˆ

dtdV

tV

Q ˆ Para una diferencia de volumen

transportado

t

Vm

La ecuación de continuidad

A 1

A 2

∆x1

∆x2

Dirección de flujo

1m

2m

Mediante la ley de la conservación de la materia:

21 mm t

Vm j

j

Sabemos que. Entonces:

t

V

t

V

21

Mediante observación del diagrama tenemos que: jjj xAV

Por lo tanto:

t

xA

t

xA

2211

La velocidad se define como: t

xv j

j

Finalmente se concluye que: 222111 vAvA

Si el fluido es incompresible (densidad constante): 21

Esta simplificación permite relacionar los caudales de la siguiente manera:

2211 vAvA

ó: 21ˆˆ QQ

Nótese que es válido escribir la ecuación de continuidad de la siguiente manera:

Ec. de continuidad

222111 vAvA

REDEFINIENDO:

Fluidos incompresibles (densidad o peso específico constante):

21 Solo en sustancias líquidas

Fluidos compresibles (densidad o peso específico variable):

21 Solo en sustancias gaseosas

222111 vAsgvAsg

O tambien:

EjemplosEn una sección de un sistema de distribución de aire acondicionado, el aire ingresa a 14,7 psia y 100°F tiene una velocidad promedio de 1200 pies/min , y el ducto tiene 12 plg de lado en la seccion cuadrada. En otra sección, el ducto es redondo y tiene un diámetro de 18 plg, y el aire tiene una velocidad promedio de 900 pies/min. Calcule: a) La densidad del aire en la sección redonda Resp. 0.053 lb/pie3

b) El flujo másico del aire Resp. 1.42 lb/sNota:- A 14,7 psia y 100°F la densidad del aire es 0,0709 lb/pie3

Entrada de Aire

Salida de Aire

Estándares para tubos

Estándar IPS (Iron pipe sizes) Diámetro nominal (DN) y número de cédula (C)

Estándar CTS (Cooper Tube sizes) Tipos K, L, M, DWV, ACR, OXY/MED

Tubos de acero Fluidos de potencia, intercambiadores de

calor, sistemas industriales de procesamiento de fluidos

Conservación de la energía, la ecuación de Bernoulli

A 1

A 2

Dirección de flujo

11, Em

22 , Em

La ley de la conservación de la energía dice que:

Energía que entra al sistema = Energía que sale del sistema

Es decir:21 EE

La energía total de la materia esta formada por tres tipos de energía (esto es válido solo para flujo isotérmico):

La energía total de la materia esta formada por tres tipos de energía (esto es válido solo para flujo isotérmico):

ENERGIA POTENCIAL: wzmgzEp

ENERGIA CINETICA:cc

c g

vw

g

vmgE

22

22

ENERGIA DE PRESION O FLUJO:

wPmgPE f

La Energía total del sistema es:

fcpT EEEE Reemplazando por sus equivalencias:

wP

g

vwwzET

2

2

Es decir:

1

12

111 2

wP

g

vwwzE

y…

2

222

22 2 wP

g

vwwzE

Igualando estas dos expresiones tenemos:

2

222

21

12

11 22

wP

g

vwwz

wP

g

vwwz

Eliminando w y reordenando:

g

vz

P

g

vz

P

22

22

22

22

11

1

1

Ecuación de Cargas de

Bernoulli

Limitaciones de la Ecuación de BERNOULLI:

Válida solo para fluidos incompresibles (líquidos)

No existe dispositivos mécanicos (que puedan intercambiar energía mecánica) entre los dos puntos de estudio

No existe pérdida de energía (por fricción) entre los dos puntos de estudio.

No existe intercambio de energía calorífica y el sistema se considera isotérmico

Teorema de TorricelliDeducción Matemática:

1

2

h = (z1- z2)

De la ecuación de Bernoulli se sabe que:g

vz

P

g

vz

P

22

22

22

22

11

1

1

z = z1

z = z2

Simplificando términos: g

vzz

2

22

21

Despejando la velocidad a la salida: )(2 212 zzgv

Sin embargo la diferencia (z1-z2) = h : entonces : ghv 22

Teorema de Evangelista Torricelli (1645):

ghv 22

Si el orificio de salida es circular, el caudal de salida será:

ghDvAQ 24

ˆ 2222

Vaciado de tanques que contienen líquidos

Es un proceso transitorio o dinámico (que depende del tiempo)

Se debe realizar los Balances de Energía (BE) y Materia necesarios (BM)

BE = Ecuación de Bernoulli

BM

recipiente del líquido de

volumen elen cambio

de velocidad

vcel desde

materia salida de

Velocidad

vcal materia

de ingreso de

Velocidad

1

2

h

ghDvAQ 24

ˆ 2222

dt

dmmm vc

se

Volumen de control “vc”

Matemáticamente el Balance de Materia (BM) queda:

Sin embargo no hay un flujo de materia de entrada: 0em

El flujo de líquido a la salida es: 222 Q̂mms

Es decir: ghDm 24

222

Por otro lado en el recipiente el contenido de líquido en cualquiermomento debe ser: Vmvc

Al ser un proceso dinámico de vaciado esta masa cambiara con el tiempo:

dt

dV

dt

dm vcvc El volumen de liquido en el tanque es:

AhVvc Entonces la derivada queda como:dt

dhA

dt

dV vcvc

Reemplazando estas expresiones en el Balance de Materia (BM) queda:

dt

dhAghD vc

vc 22

2 24

Simplificando la densidad y haciendo gA

Ag

A

Dk

tanque

orificio 224

2

queda:dt

dhhk vc

vc Resolviendo la ecuacion diferencial:

h

H vc

vct

h

dhdtk

0

Es decir: Hhkt 22

Despejando el tiempo tenemos:k

hHt

22

Es decir:g

A

AhH

gA

D

hHt

tanque

orificio 2

)(2

24

222

Tiempo de vaciado de un tanque

Ejemplos de Aplicación

Viscosidad de los fluidos

Concepto de viscosidad Viscosidad dinámica “μ”

Viscosidad cinemática “υ”

dy

vd

A

Fxx

Viscosidad Unidades de viscosidad

Sistema de Unidades

Viscosidad dinámica

Viscosidad cinemática

Sistema Internacional

Pa.s kg/(m.s)

N.s/m2

m2/s

Sistema Inglés lbf.s/pie2 pie2/s

Sistema c.g.s. Poise =P= dina.s/cm2

P=g/(cm.s)=0,1 Pa.sCentipoise = cP =

0,001Pa.s

Stoke=st=cm2/s

centistoke=cst=0,01cm2/s

Fluidos Newtonianos y no Newtonianos

Fluidos Newtonianos y no Newtonianos

Efecto de la temperatura sobre la viscosidad de los fluidos

Medición de la viscosidad Viscosímetro de Tambor rotatorio

Viscosímetro de tubo capilar (empírico)

Lv

gDzz

32

)( 221

Ecuación de Hagen Pouseuille:

Viscosímetro de esfera

Viscosímetro “Saybolt” Universal Grados “Engler” (Usados en Europa) Los segundos “Saybolt” (Empleados en

USA) Los segundos “Reedwood” (Usados en

Inglaterra)

L

tgDls

18

)( 2

Otras unidades de viscosidad Grados SAE de viscosidad

Grados ISO de viscosidad (industrial)

SAE cP @ T (Cig) cP@T (bombeo) cSt@100°C

0W 6200@35°C 60000@-40°C 3.8 mínima

25W 13000@-10°C 60000@-15°C 9.3 mínima

30 ----------- ----------- 9.3 < 12.5

40 ----------- ----------- 12.5< 16.3

Viscosidad cinemática a 40°C (cSt)

ISO VG Nominal Mínimo Máximo

2 2.20 1.98 2.40

32 32.00 28.80 35.20

100 100.00 90.00 110.00

460 460.00 414.00 506.00

3200 3200.00 2880.00 3520.00

Ecuación General de la Energía

Cuando no se considera la pérdida de energía de un sistema físico deFlujo de fluidos, se dice que el sistema es ideal.

Como ya se dijo la ecuación de Bernoulli se emplea en situacionesIdeales, si embargo en casos reales se debe considerar la presencia depérdidas de energía, (generalmente en forma de calor debido a algúntipo de fricción), quedando la ecuación de conservación de la energíade la siguiente manera:

fHEE 21

Energía que entra al sistema = Energía que sale del sistema + Pérdidas

Es decir:

Siendo: fH Pérdidas de energía debido a la fricción

ff mghH Aquí: fh Pérdidas de carga debido a la fricción

Modificando la ecuación de Bernoulli al introducir las pérdidas deenergía se tiene:

fhg

vz

P

g

vz

P

22

22

22

22

11

1

1

Sin embargo esta ecuación puede incluir la participación de otras Formas de energía como lo son el trabajo mecánico y el calor.

Si se toma en cuenta solo el trabajo mecánico se tiene:

“Ecuación General de la Energía”fhg

vz

P

Q

W

g

vz

P

2ˆ2

22

22

21

11

El término:Q

Wˆ

es la carga desarrollada (+) o consumida (-) por el equipo mecánico (bomba o turbina)

ff mghH

Hacemos

Q

Wˆ

“Carga desarrollada o consumida

por el equipo”

Se deben considerar los signos de ω

ω es positivo en el caso de poseer una bomba entre los dos puntos de estudio (Algún equipo que aporte energía al fluido)

ω es negativo en el caso de poseer una turbina entre los dos puntosDe estudio (Algún equipo que retire energía del fluido)

Sistema abierto

(volumen de

control)

1E

2E)( W

)( W

(Pérdidas) fH

Evaluación de las Pérdidas de energía “hf” debido a la fricción en tubos rectos

Las pérdidas de energía “hf” se calculan mediante la ecuación deDarcy-Weisbach:

g

v

D

Lfh f 2

2

ECUACION DE DARCY-WEISBACH

(para conductos rectos)

Donde:

local d velocidalaen basado cinéticoFactor 2

conducto del ) diámetros(en eequivalent Longitud

Moody defricción defactor

2

g

v

D

L

f

L

D

v

v

Factor de fricción de Moody “ f ”El factor de fricción de Moody “ f “ depende del régimen de flujoExisten dos regímenes de flujo:

Laminar

Turbulento

Flujo de liquido en el interior de un tubo

Cuantitativamente el régimen de flujo se puede determinar Mediante el Número de Reynolds (Re):

Dv

Re Aquí:

fluido del dinámica Viscosidad

conducto del Diametro

fluido del promedio Velocidad

fluido del Densidad

Reynolds de Número Re

D

v

El Número de Reynolds (Re) se puede escribir también como:

Dv

Re En este caso es la viscosidad cinemática del fluido

SITUACIONES:

Si el Número de Reynolds (Re) <= 2100 Régimen Laminar

Si el Número de Reynolds (Re) se halla entre 2300 <= Re <= 10000 Régimen Turbulento en desarrollo

Si el Número de Reynolds (Re) >= 10000 Régimen Turbulento desarrollado

En resumen si el valor Re es mayor a 2300 se considera régimen turbulento, en caso contrario si el valor de Re es menor a 2100 el régimen es laminar:

El factor de fricción de Moody (f) depende del número de Reynols(Re) y del grado de rugosidad del conducto (ε)

Si el régimen es laminar:Re

64f

Si el régimen es Turbulento:

f

D

f Re

51.2

7.3

/log2

1

Ecuación de Colebrook

El grado de rugosidad del conducto (ε) es una propiedad de los tubosy cada fabricante de tubos provee esta información, en caso contrario se deben revisar datos tabulados en tablas El cociente ε/D recibe el nombre de “rugosidad relativa”:

2

9.0Re

74.5

7.3

/log

25.0

D

fEcuación de Swamee - Jain

Existe el método grafico para determinar el valor de ( f ) mediante el diagrama de Moody:

Fac

tor

de f

ricc

ión

Rug

osid

ad r

elat

iva

Número de Reynolds

La ecuación de Hagen-PouseuilleEsta ecuación se emplea únicamente cuando el flujo es laminar,Y se verifica en el interior de un conducto circular (tubo).

Elemento diferencial de volumen de líquido en movimiento

maxvv

0v

0r

Rr

Realizando un análisis del movimiento del elemento diferencial Se tiene:

L

R

1F 2F

fF

A

Si la velocidad de esta porción de fluido es constante se deduce queLa sumatoria de todas las fuerzas sobre este volumen debe ser “cero”

021 fFFF Pero APF 11 APF 22 y

La fuerza de fricción Ff esta determinada por el esfuerzo cortanteDefinido por la ley de la viscosidad de Newton:

dr

vd

A

Ff El valor del área es A=2πrL

Reemplazando estos términos en la suma de fuerzas tenemos:

0221 dr

vdrLAPAP

0222

21

dr

vdrLrPrP

Reemplazando el valor del área seccional A=πr2

022 dr

vdrLrP 02

dr

vdLrP

vdP

Lrdr

2

vdP

Lrdr

2

CvP

Lr

2

2

2

CrL

Pv

2

4

El valor de la constante de integración se halla en base a las Condiciones de frontera:

Si r = 0, se tiene que: v = vmax

Si r = R, se tiene que: v = 0

2

4R

L

PC

)(4

22 rRL

Pv

Entonces la velocidad queda como:

La velocidad máxima queda como: 2max 4

RL

Pv

drvrQd

vrQ

Qvr

QvR

2ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

2

La velocidad media debe ser:

dQ = 2πrvdr Derivando y Ordenando:

Reemplazando el valor de v: )(4

2ˆ 22 rRL

PrdrQd

Integrando para: drrRL

PrQd

R

0

22 )(4

2ˆ

drrrRL

PQ

R

0

32 )(2

ˆ

L

PRQ

RR

L

PQ

8ˆ

422ˆ

4

44

El caudal es:

L

PDQ

128ˆ

4Cambiando el radio R por

el diámetro D:

Por lo tanto la velocidad media es: 2

4

2 128

4ˆ

DL

PD

R

Qvmedia

L

PDvvmedia 32

2

Por la ecuación de Darcy - Weisbach tenemos:

g

v

D

Lfh f 2

2

Despejando el factor de fricción tenemos:

2

2

vL

gDhf f

Hacemos el siguiente arreglo:vvL

gDhf f

2

En un tubo recto horizontal:P

h f

Reemplazando tenemos:

LPD

vL

PgDf

32

22

Simplificando tenemos:

Dvg

g

Dv

g

DvL

gDL

PDvL

PgDLf

6464646422

Re

646464

DvDv

f Finalmente se demuestra:

La velocidad máxima es: 2max 4

RL

Pv

Ya se sabe que la velocidad media es:L

PDvvmedia 32

2

Combinando estas dos expresiones:

LPD

RLP

v

v

media

32

42

2

max

2

32

16

32

42

2

2

2

max D

D

D

R

v

v

media

Simplificando:

2maxv

vmedia

Es decir:

Potencia mecánica

Potencia mecánica: Qt

W

tiempo

mecánico TrabajoW ˆ

Rendimiento:

Bomba:

real

ideal

real

ideal

real

ideal

W

W

W

W

Rendimiento:

Turbina:ideal

real

ideal

real

ideal

real

W

W

W

W

Energía útil para mover el fluido (ideal)Energía de

entrada (Eléctrica)

Eficiencia

eléctricaηE=0.7

Pérdidas=0.3

Eficiencia mecánicaηM=0.7

Pérdidas=0.3

Eficiencia

hidráulica

ηH=0.7Pérdidas=0.3

PERDIDAS DE ENERGIA

idealWrealW

Del anterior esquema se tiene:

electrico

mecánicoE W

W

mecánico

hidráulicoM W

W

hidráulico

idealútilH W

W

)(

Conversión de energía eléctrica a trabajo mecánico:

Conversión de trabajo mecánico a energía hidráulica :

Conversión de energía hidráulica energía útil:

Multiplicando las tres expresiones anteriores miembro a miembro:

hidráulico

idealútil

mecánico

hidráulico

eléctrico

mecánicoHMEG W

W

W

W

W

W

)(

Finalmente: 343.07.07.07.07.0 3

)(

)( realeléctrico

idealútilG W

W

Número de Reynolds en conductos no circularesSe emplea el concepto de Diámetro hidráulico DH para calcular el número de Reynolds:

HDv

ReEl número de Reynolds debe ser:

PM

A

MojadoPerímetro

ÁreaDH

44

Otras secciones no circulares para calcular DH y luego el número de Reynolds:

Matemáticamente el DH se define como:

PM

A

MojadoPerímetro

ÁreaDH

44

dD

dD

dDDH

)(4

4 22

HB

BH

HB

BHDH

2

22

4

SS

SDH

4

4 2

Ejemplo de calculo del DH y del Número de Reynolds:

En la parte del ducto fuera de los conductos cuadrados de la figura siguiente fluye glicerina (sg = 1.26) a 40°C. Calcule el DH y el Número de Reynolds Re para un caudal de 0.10 m3/s: (viscosidad dinámica =0.3 kg/m.s)

Re = 552

Evaluación de las Pérdidas de carga “hf” debido a la fricción en accesoriosLos accesorios presentes en un sistema de flujo de fluidos pueden ser:

• Codos de 90° y de 45° estándar o especiales• Válvulas y llaves varias• “Tees” o divisores de flujo• Contracciones o expansiones graduales o bruscas• Puntos de carga y descarga de fluidos• Filtros, intercambiadores de calor, etc.

Se emplea la ecuación de Darcy – Weisbach, combinandola con el concepto de longitud equivalente para accesorios:

g

v

D

Lfh e

Tac 2

2

ó

g

vKhac 2

2 Esto es;

D

LfK e

T

Los valores de K, fT o Le/D, se hallan tabulados en libros paradiferentes tipos de accesorios (ver continuación):

Válvulas de globo( K = 340 fT )

Válvulas de ángulo( K = 150 fT )

Válvulas de compuerta( K = 8 fT )

Válvula “check” tipo giratorio( K = 100 fT )

Válvula “check” tipo bola( K = 150 fT )

( K = 45 fT )

( K = 420 fT )

Válvula de pie (“check”) tipo coladera ( K = 75 fT )

Otros accesorios

Otras pérdidas menoresOrificios de descarga y carga de tanques:

Expansiones Súbitas:

Expansiones Gradual:

Contracciones Súbitas:

Contracciones Gradual:

Vueltas de tubería (codos de radio muy largo):

Orificios de descarga de tanques (entradaa tubos):

Orificios de descarga y carga de tanques:

Expansiones Súbitas:

Expansión Gradual:

Expansión Gradual:

Vueltas de tubo:

Sistemas de tubos en serieSistemas de Clase I:

Sistemas de Clase II:

Sistemas de Clase III:

El sistema se halla completamente definido, lo que se busca es calcular la presión en algún punto de interés, para determinar por ejemplo la carga total de la bomba o hallar la elevación de una fuente de líquido con el fin de producir un determinado caudal (Se conoce el diametro, la velocidad o el caudal)

El sistema se halla completamente definido en términos de sus elevaciones, tamaños de tuberías, y caídas de presión permitidas, El objetivo es calcular el Caudal.

El sistema se halla completamente definido en términos de sus elevaciones, caudales, y caídas de presión permitidas, El objetivo es calcular el tamaño (diámetro) de los tubos.

Sistemas de tubos en serieEjemplo de un sistema de Clase I:

Calcule la potencia que suministra la bomba del sistema mostrado en la figura (rendimiento 76%). Hay un flujo de 54 m3/h de alcohol metílico a 25°C. La línea de succión es una tubería de acero comercial de 4” C-40 y 15 m de largo. La longitud total de la tubería de 2” C-40 que constituye la línea de descarga es de 200 m. Suponga que la entrada desde el almacenamiento 1 es a través de una entrada de bordes cuadrados y que todos los codos son estándar. La válvula esta abierta por completo y es de tipo globo . La rugosidad del tubo ε = 4,6 ∙ 10 -5 m

Propiedades del Alcohol metilico @ 25°C

Tubo de 4” c-40

Tubo de 2” c-40

ρ = 789 kg/m3 DI = 102,3 mm DI = 52,5 mm

μ = 5,60 x 10 -4 Pa.s A = 8,213 x 10-3 m2

A=2,168 x10-3 m2

Respuesta: wi = 215 m Wreal = 33 kW

Sistemas de tubos en serieEjemplo de un sistema de Clase II: Calcule el caudal de agua

en GPM a 80°F (Resp 426,30 GPM)

Sistemas de tubos en serieEjemplo de un sistema de Clase III: (Resp.- 1 1/4 t = 0.083plg)

La figura mostrada es parte de un sistema de procesamiento químico donde se toma el alcohol propílico a 25°C del fondo de un tanque grande, y se transfiere por gravedad a otra parte del sistema. La distancia entre los dos tanques es de 7 m. Se instala un filtro en la línea con un coeficiente de resistencia K=8,5. Para este fin se emplea acero inoxidable del apéndice G, especifique el tamaño estándar que permitirá un flujo volumétrico de 150 LPM

Sistemas de tubos en paraleloConsideraciones teóricas:

Ecuación de continuidad: cba QQQQQ ˆˆˆˆˆ21

Ecuación de pérdida de carga:cba hhhh 21

g

v

D

LfKh

n

iiL

2

2

1

D

LfK

hgv n

ii

L

1

2Método para hallar la distribución de caudales a

través de tubos paralelos.1.- El flujo total QT es conocido. Solo es necesario estimar el

factor de fricción para cada ramal, se puede suponer inicialmente que el factor de fricción para cada ramal es igual a f = 0,02

2.- Las pérdidas de carga en cualquier tubo (rama) se pueden escribir como:

3.- Se despeja la velocidad en cada caso:

g

v

D

LfKh

n

iiL

2

2

1

D

LfK

hgv

n

ii

L

1

2

4.- El caudal se escribe empleando la ecuación del paso 3. Por ejemplo para la tubería 2:

LLn

ii

n

ii

L hCh

D

LfK

Ag

D

LfK

hgAvAQ

2

1

22

1

2222

22ˆ

Es decir: LhCQ 22ˆ

2

22

1

22

2

2

D

LfK

AgC

n

ii

Donde:

En general:

j

jj

n

ii

jj

D

LfK

AgC

1

22

5.- Calcule los valores de las constantes Ci para cada tubo.Sume estos valores y calcule la pérdida de carga hL, dividiendoel caudal total entre la sumatoria de las constantes Ci.

nLLnLLLT

nT

CCCChhChChChCQ

QQQQQ

......ˆ

ˆ...ˆˆˆˆ

321321

321

2

321 ...

ˆ

n

TL CCCC

QhDespejando hL:

6.- Ahora encuentre el caudal Qi, para cada tubo (rama):

Ljj hCQ ˆ

Repita este cálculo para hallar el caudal en todos los demás tubos.

7.- Calcule el valor del número de Reynolds (Re) para cadatubo y recalcule el valor del factor de fricción f, empleandolas ecuaciones de Colebrook o Swamee - Jain. Si todo es correcto los valores del f recalculados no debendiferenciarse en un 0.5% de los valores de f estimadosinicialmente. Si esto no se cumple repita desde el paso 2hasta obtener la convergencia en los valores de f

Ejemplo 1:

Por este sistema fluyen 100 GPM de agua a 60°C. El intercambiador en la rama “a” tiene un coeficiente de resistencia K=7,5 basado en la velocidad local. Las tres válvulas se hallan abiertas por completo. La rama “b” es una línea de desviación (“by pass”) que se compone de una tubería de acero comercial de 1 ¼ pulgada esquema 40. Los codos son estándar. La longitud de la tubería entre los puntos 1 y 2 en la rama “b” es de 20 pies. Debido al tamaño del intercambiador de calor, la longitud de la tubería de la rama “a” es muy corta, y se aconseja despreciar sus pérdidas de carga. Para este arreglo, determine: (a) El caudal en cada rama, y (b) la caída de presión entre los puntos 1 a 2.

Ejemplo 2El sistema mostrado en la figura consta de una red de tres conductos en paralelo cada una fabricada en acero comercial de 1” C-40. Por el sistema ingresa un total de 600 LPM de agua a 15°C. Todos los codos son estándar y las válvulas tienen coeficientes de resistencia K con valores de 2, 3 y 4 respectivamente. Las líneas laterales tienen la misma longitud e iguales a 20 m cada una. La línea central tiene una longitud total de 10 m. ¿Cuánto vale el caudal de agua que atraviesa cada rama?, ¿Cuánto es la caída de presión del sistema?

Sabemos que la caída de presión para cada ramal es:

cba hhhh 21

Considerando cada línea por separado se tiene:

g

v

D

LfK

D

Lfh aa

ae

Ta

22

2

1

g

v

D

LfKh bb

bb

2

2

2

g

v

D

LfK

D

Lfh cc

ce

Tc

22

2

3

2 codos Llave “1” Tramo recto “a”

Llave “2” Tramo recto “b”

2 codos Llave “3” Tramo recto “c”

Rama “a”

Rama “b”

Rama “c”

De tablas se halla para los codos:

30023.0

D

Lf e

T

Reemplazando los valores conocidos en las anteriores ecuaciones y tomando en cuenta que La = Lc = 20m y Lb = 10m, se tiene que:

81.920266.0

20230023.02

2

a

aa

vfh

81.920266.0

103

2

b

bb

vfh

81.920266.0

20430023.02

2

c

cc

vfh

Codos estándar:

Tubos acero comercial 1” C-40:2410574.5

0266.06.26

mA

mmmDDI

Despejando las velocidades en las anteriores ecuaciones se tiene:

aaa

aa h

ff

hv

88.75138.3

81.92

88.75138.3

81.92

bbb

bb h

ff

hv

94.3753

81.92

94.3753

81.92

ccc

cc h

ff

hv

88.75138.5

81.92

88.75138.5

81.92

Los caudales que pasan por cada rama se calculan con la ecuación de continuidad:

ccc

bbb

aaa

vAQ

vAQ

vAQ

ˆ

ˆ

ˆ

Es decir:

aa

aaa hf

vAQ88.75138.3

81.9210574.5ˆ 4

bb

bbb hf

vAQ94.3753

81.9210574.5ˆ 4

cc

ccc hf

vAQ88.75138.5

81.9210574.5ˆ 4

El caudal total es: cbaT QQQQ ˆˆˆˆ

cbaLT fff

hQ88.75138.5

81.92

94.3753

81.92

88.75138.3

81.9210574.5ˆ 4

Nótese que se factorizó hL y el valor del área A = 5.574x10-4 m2:

cbaL hhhh y. . . :

2

2

88.75138.5

81.92

94.3753

81.92

88.75138.3

81.92

ˆ04.1794

cba

TL

fff

Qh

Despejando la pérdida de energía por fricción se tiene:

2

2

02.088.75138.5

81.92

02.094.3753

81.92

02.088.75138.3

81.92

01.004.1794

Lh

Reemplazando el valor del caudal 600LPM = 0.01 m3/s y suponiendo como factores de fricción de partida f = 0.02 tenemos:

mhL 20.28

Con este valor debemos recalcular los caudales:

Es decir:

smQ

vAQ

a

aaa

3

4

003055.0ˆ

20.2802.088.75138.3

81.9210574.5ˆ

smQ

vAQ

b

bbb

3

4

004043.0ˆ

20.2802.094.3753

81.9210574.5ˆ

smQ

vAQ

c

ccc

3

4

002902.0ˆ

20.2802.088.75138.5

81.9210574.5ˆ

sm

av 48.5

sm

bv 25.7

sm

cv 21.5

Con estas velocidades se deben recalcular los valores de f a fin de corregir las suposiciones iniciales:

Propiedades para el agua a 25°C: s

m271094.8

La rugosidad para el acero comercial: m5106.4

Los números de Reynolds para cada tramo son:

1630511094.8

0266.048.5Re

7

Dva

a

2157161094.8

0266.025.7Re

7

Dvb

b

1550181094.8

0266.021.5Re

7

Dvc

c

351072932.10266.0

106.4 m

mD

Con los números de Reynolds y las rugosidades se pueden obtener los valores de los factores de fricción mediante la ecuación de Colebrook:

iii f

D

f Re

51.2

7.3

/log2

1

aa ff 163051

51.2

7.3

1072932.1log2

1 3

bb ff 215716

51.2

7.3

1072932.1log2

1 3

cc ff 155018

51.2

7.3

1072932.1log2

1 3

02372.0af

02345.0bf

02378.0cf

Con estos nuevos factores de fricción se debe retornar a la ecuación:

2

2

88.75138.5

81.92

94.3753

81.92

88.75138.3

81.92

ˆ04.1794

cba

TL

fff

Qh

Para hallar el nuevo valor de hL:

2

2

02378.088.75138.581.92

02345.094.375381.92

02372.088.75138.381.92

01.004.1794

Lh

mhL 06.32En resumen con este nuevo valor de hL se obtiene:

Rama Caudal (m3/s)

Velocidad (m/s)

Reynolds (Adim)

Factor f (Adim)

Factor f anterior (Adim)

Error %(basado en f)

a 0.003035 5.445 162010 0.02373 0.02372 0.042%

b 0.004067 7.296 217084 0.02345 0.02345 0.000%

c 0.002900 5.203 154809 0.02378 0.02378 0.000%

Como los errores en el calculo de los factores de fricción son menores al 0.5% se considera que los resultados son válidos:

Rama Caudal (m3/s)

Caudal (LPM)

a 0.003035 182.04

b 0.004067 244.08

c 0.002900 173.94

Total 0.010002 600.06

Ejemplo 2.aEl sistema mostrado en la figura consta de una red de tres conductos en paralelo cada una fabricada en acero comercial de 1” C-40. Por el sistema ingresa un total de 600 LPM de agua a 15°C. Todos los codos son estándar y las válvulas tienen coeficientes de resistencia K con valores de 4, 8 y 12 respectivamente. Las líneas laterales tienen la misma longitud e iguales a 12 m cada una. La línea central tiene una longitud total de 6 m. ¿Cuánto vale el caudal de agua que atraviesa cada rama?, ¿Cuánto es la caída de presión del sistema?, Los tubos de entrada y salida son de 2” C - 40

Al cabo de tres iteraciones los resultados deben ser:

Rama Caudal (m3/s)

Caudal (LPM)

Velocidad (m/s)

Reynolds (Adim)

Factor f (Adim) Error %(basado en f)

a 0.003430 206 6.17 142777 0.0239 0.000%

b 0.003772 226 6.79 156984 0.0238 0.000%

c 0.002798 168 5.04 116465 0.0241 0.000%

Hallar el caudal que pasa por cada ramal, si el fluido es agua a 15°C

Ejemplo 2.b

Al cabo de tres iteraciones los resultados deben ser:Al cabo de tres iteraciones los resultados deben ser:

Rama Caudal (m3/s)

Caudal (LPM)

Velocidad (m/s)

Reynolds (Adim)

Factor f (Adim) Error %(basado en f)

a 0.002649 159 4.77 110249 0.0242 0.000%

b 0.001681 101 4.90 89026 0.0258 0.000%

c 0.001504 90 4.38 79674 0.0260 0.000%

K contracción súbita K=0.12

Redes ramificadas y Las formulas de Hazen Williams

852.1

63.2

ˆ654,10

DCQ

Lhh

L

Son ecuaciones que se emplean solo para agua que fluye en tuberias llenas con Diametros que varian entre las 2” y los 6 pies en agua a 16 °C con velocidades no mayores a 3 m/s

Aqui:Q = caudal en [m3/s]D = diametro en [m]Ch = coeficiente [adimensional] de Hazen WilliamsL = Longitud del tubo [m]

AlgunosCoeficientes de Hazen Williams comunesTIPO DE MATERIAL Ch

TUBOS DE ACERO SOLDADO 90

TUBOS DE HIERRO FUNDIDO 100

TUBOS DE FIBROCEMENTO 128

TUBOS DE POLIETILENO Y PVC 150

Ejemplo practico

TUBO L (m) D (mm) Ch

AJ 1800 500 130

BJ 2400 600 130

CJ 1200 400 130

DJ 2400 900 120

Hallar el caudal de cada linea y la potencia de la Bomba (η = 0,70)

Primeramente se debe ubicar un punto de referencia que de ahora en adelante se llamara nodo el cual se le asigno la letra JLuego se procede con la ecuacion general de la energia en donde se totalizan todas las cabezas (o cargas) de la siguiente manera:

Lii

ii

ii h

gv

zP

H 2

2

Si analizamos el tramo DJ, tenemos:

DD

Dj hg

vzH

2

2

852,1

63.24

2 ˆ654.10

ˆ08263.0

DCQ

LDQ

zHh

DDj

852,1

63.24

2

9.01208.0

2400654.109.08.0

08263.06

jH

mH j 07.10

Si analizamos el tramo CJ, se evidencia que la carga es mayor que (12 > 10.07) , (Hc>Hj) , entonces el flujo va de C aJ , se tiene:

cjjc hHH 852.1

63.24.0130

ˆ1200654.1007.1012

CQ

smQC

3101.0ˆ

Entonces el caudal que se dirige de C al nodo J es:

Si analizamos el tramo AJ, se tiene la misma conclusión:

ajja hHH

smQ

QA

A3

852.1

63.2 426.0ˆ,5.0130

ˆ1800654.1007.1024

Realizando un balance de materia en el nodo J tenemos:

Reemplazando números tenemos:

Realizando un balance de energía en el tramo BJ tenemos:

smQQQQ DCBA

38.0ˆˆˆˆ

smQs

mQsm

DB

3338.0ˆ101.0ˆ426.0

smQB

3273.0ˆ

BjB hHH 852.1

63.26.0130

ˆ2400654.1007.102

BQw

Reemplazando números y despejando w:

Aplicando el concepto de rendimiento:

mw 45.116.0130

273.02400654.1007.8

852.1

63.2

mw

wr 39.167.045.11

kWWattswQW rr 4456.43806273.0981039.16ˆ

z=7 m

z=25 m

z=2 m

Bombaη=40%5 kW real

Válvula de globoAbierta por completo

Rama A: L = 20 m total DN = 1” C-40 DI = 0.0266 mRama B: L= 90 m total DN = 1” C-40 A = 5.577 E-4 m2Línea C: L= 5 m total DN = 1” C-40 ε = 4.6 E -5 m

Codo y Tee estándar

C

A

B

Agua a 25°C

Ejemplo 2: Hallar los caudales en cada línea

Qc = 298.6 LPM Qa = 183.7 Qb=114.9 LPM

Equipamiento para impulsión de fluidos

Chemcad V5.2

Hysys V 3.2