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Procesos estoc´ asticos no lineales Cambio estructural Modelos de umbrales Cambios estructurales y procesos no lineales Gabriel V. Montes-Rojas Gabriel Montes-Rojas Procesos no lineales

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Procesos estocasticos no linealesCambio estructural

Modelos de umbrales

Cambios estructurales y procesos no lineales

Gabriel V. Montes-Rojas

Gabriel Montes-Rojas Procesos no lineales

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Procesos estocasticos no linealesCambio estructural

Modelos de umbrales

Motivacion

Muchas de las series temporales en macroeconomıa y en finanzas son no

lineales:

asimetrıa en la ocurrencia y persistencia de los shocks negativos y lospositivos (business cycle);irreversibilidad de los efectos temporales;diferencias en los efectos en las colas de la distribucion (asimetrıa ycurtosis);efectos asimetricos de la heteroscedasticidad (leverage and feedbackeffects).

Las soluciones propuestas en la literatura:

usar otras distribuciones con colas pesadas o asimetricas (ej. t);modelos estocasticos y determinısticos para acomodar laheteroscedasticidad;considerar mas de un regimen en la media y en la varianza condicional(regime switching).

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Procesos estocasticos no linealesCambio estructural

Modelos de umbrales

Procesos lineales vs. no lineales

Una serie de tiempo {xt : t = 0, 1, 2, ...} es lineal si

xt = µ +∞

∑i=0

ψi εt−i ,

donde ψ0 = 1 y {εt} es ruido blanco. εt es la nueva informacion que se adquiere en t,tambien llamada innovacion o shock. ψ son los “pesos” de las innovaciones del pasadoen el presente.Si esto no se satisface entonces tenemos un proceso no lineal. En general, podemosplantear una funcin f (.) tal que

xt = f (εt , εt−1...)

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Procesos estocasticos no linealesCambio estructural

Modelos de umbrales

Procesos lineales vs. no lineales

Supongamos que Ft−1 es el campo σ generado por toda la informacion hasta t − 1.Entonces,

µt = E (xt |Ft−1) = g (Ft−1), σ2t = Var (xt |Ft−1) = h(Ft−1)

donde g (.) y h(.) son funciones bien definidas con h(.) > 0.Consideremos modelos de este tipo:

xt = g (Ft−1) +√

h(Ft−1)ut , ut = εt/σt

Entonces podemos tener, no linearidad en la media y/o en la varianza.

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Procesos estocasticos no linealesCambio estructural

Modelos de umbrales

Cambio estructural

Cambio estructural: Consideremos el proceso {xt : t = 0, 1, 2, ...}. Si elcomportamiento del proceso es diferente para t ≤ h y para t > h, entonces tenemosun cambio estructural o corte en h.

Por ejemplo:

Cambio estrutural en el intercepto: xt = α1I [t ≤ h] + α2I [t > h] + εt .

Cambio estrutural en la tendencia: xt = α0 + β1tI [t ≤ h] + β2tI [t > h] + εt .

Cambio estrutural en el parametro autorregresivo:xt = α0 + φ1xt−1I [t ≤ h] + φ2xt−1I [t > h] + εt .

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Procesos estocasticos no linealesCambio estructural

Modelos de umbrales

Cambio estructural

Los contrastes para cambios estructurales dependen fundamentalmente de si seconoce el momento h en el cual ocurre el cambio:

Si el periodo h en el cual ocurre un cambio estructural se conoce, entoncesusamos el contraste de Chow.

Si el periodo en el cual podrıa haber ocurrido el cambio estructural no seconoce, entonces usamos el contraste de Hansen (1992) o Elliott y Muller(2006):Hansen, B. (1992), “Parameter Instability in Linear Models,” Journal of PolicyModeling, 14, 517-533.

Elliott, G. and Muller, U.K., (2006), “Efficient Tests for General Persistent TimeVariation in Regression Coefficients,” Review of Economic Studies, 73, 907-940.

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Procesos estocasticos no linealesCambio estructural

Modelos de umbrales

Cambio estructuralContraste de Chow

Supongamos que se sospecha que en t = h ocurrio un cambio estructural.Consideremos un modelo de regresion con variables {yt , xt} (donde xt puede contenerlags de y , o sea yt−1, etc., ası como una constante y/o tendencia). Supongamoscambios en los parametros de la regresion:

yt = β1xt I [t ≤ h] + β2xt I [t > h] + εt , t = 1, 2, ....,T (1)

Aquı tenemos que el efecto de x en y es β1 para t ≤ h pero β2 para t > h.Tambien podemos escribirlo de la siguiente manera:

yt =

{β1xt + εt si t ≤ hβ2xt + εt si t > h

, t = 1, 2, ....,T (2)

Es conveniente re-escribir el modelo anterior como

yt = βxt + γhxt I [t > h] + εt , t = 1, 2, ....,T (3)

[Ejercicio: Comprobar que estos dos modelos son equivalentes.]

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Modelos de umbrales

Cambio estructuralContraste de Chow

Un contraste de Chow para cambio estructural es:

H0 : β1 = β2 (no hay cambio estructural)

HA : β1 6= β2 (hay un cambio estructural en h)

o tambien

H0 : γh = 0 (no hay cambio estructural)

HA : γh 6= 0 (hay un cambio estructural en h)

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Procesos estocasticos no linealesCambio estructural

Modelos de umbrales

¿Como simular un cambio estructural en STATA?

clearglobal T=1000set obs $Tgen t= ntsset t

gen et=rnormal(0,1)gen yt=.replace yt=et in 1global alpha1=1global alpha2=-1global beta1=1global beta2=-1global h=500 /*el cambio ocurre en t=500*/

forvalues i=2(1)$T {quietly replace yt=$alpha1 + $beta1*t+et[‘i’] +t*et if t<=$h in ‘i’quietly replace yt=$alpha2 + $beta2*t+et[‘i’] +t*et if t>$h in ‘i’}

line yt* t, xline($h)

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Modelos de umbrales

Cambio estructural-3

000

-200

0-1

000

010

0020

00yt

0 200 400 600 800 1000t

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Modelos de umbrales

Indice de Precios al Consumidor GBA, base abril 2008=100

(Ver http://www.indec.gov.ar/informacion-de-archivo.asp )Gabriel Montes-Rojas Procesos no lineales

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Modelos de umbrales

Inflacion mensual, en base a IPC abril 2008

(Ver http://www.indec.gov.ar/informacion-de-archivo.asp )Gabriel Montes-Rojas Procesos no lineales

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Modelos de umbrales

¿Como implementar el contraste de Chow en STATA?

1 Supongamos que estamos interesados en la regresion reg y x

2 Especificar el momento del cambio estructural: global h=## (donde ## indica

el tiempo en el cual ocurrio el cambio estructural)

3 Crear una variable dummy indicando antes y despues:

gen after=0

replace after=1 if time>$h

gen afterx=after*x

reg y x after afterx

test after afterx

[Repasar modelos de variables binarias y contrastes de hipotesis multiples.]

4 Esto se puede implementar directamente en STATA despues de una regresionusando el comando estat sbknown. Verhttps://www.stata.com/manuals14/tsestatsbknown.pdf.

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Modelos de umbrales

Cambio estructuralContraste de Hansen

Supongamos no se sabe cuando podrıa haber ocurrido un cambio estrutural. hentonces podrıa haber sido cualquier valor h ∈ [1, ...,T ].

Para armar un test de cambio estructural en este caso debemos probar “todos”los posibles valores de h.

Este contraste tambien se llama contraste de estabilidad de los parametros, yaque contrasta por todos los posibles cambios en los parametros de la regresion.

El contraste se construye a partir de un contraste de Wald-F para cada h,{Fh}T−1

h=1 , y luego considerar el supremo (sup) o promedio (ave) de todos los h.Aunque es intuitivo la distribucion de estos estaısticos no es estandar.

En STATA:

ssc install qll

qll y x

En STATA se puede implementar tambien usando el comando estat sbsingle.Ver https://www.stata.com/manuals14/tsestatsbsingle.pdf.

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Modelos de umbrales

Modelos de umbrales (threshold models)

Los modelos no lineales se pueden aproximar por funciones lineales por partes.En teorıa una cantidad suficiente de partes (¿infinita?) puede aproximarcualquier funcion no lineal.

Uno de los modelos mas usados en series temporales son los modelosautoregresivos de umbrales (threshold autoregressive models, TAR) de Tongand Lim (1980), Tong (1983); y los SETAR (self-exciting thresholdautoregressive) de Tong (1990), Tsay (1989) and Chan (1993).

Los SETAR son modelos AR lineales por partes determinados en el espacio delos parametros que determinan los umbrales.

Los modelos de umbrales usan modelos lineales por partes para obtener unamejor aproximacion de la media condicional.

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Modelos de umbrales

SETAR(1,1)

Ejemplo SETAR(1,1):

yt = θ01I (yt−1 ≤ γ) + θ11yt−1I (yt−1 ≤ γ) +

θ02I (yt−1 > γ) + θ12yt−1I (yt−1 > γ) + εt

Hansen (1997): “(...) they are relatively simple to specify, estimate, andinterpret, at least in comparison with many other nonlinear time-series models.”

Los trabajos de Hansen (1996, 1997, 2000) desarrollan la teorıa de estosmodelos y proponen contrastes para no linealidades.

Si los parametros de umbrales γ se conocen a priori entonces el modelo sepuede estimar con variables dummy (I (yt−1 ≤ γ)) e interacciones. Los modelosson similares a los vistos para evaluar cambios estructurales. Por ejemplo, γ = 0evalua si el efecto de yt−1 es diferente siendo esta positiva o negativa.

Si γ no se conoce hay que estimarlo y el modelo se vuelve mas complejo.

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Modelos de umbrales

¿Como estimar γ?

(θ, γ) = arg min(θ,γ)

T

∑t=1

(yt − xt (γ)

′θ)2

.

donde θ = (θ1, θ2) es un vector de 2× 2,x(γ) = [1, yt−1]⊗ (1{yt−1 ≤ γ}, 1{yt−1 > γ}), donde 1{.} es una funcion indicador y⊗ es el producto de Kronecker.

Esto tambien se puede implementar en dos pasos:

Consideremos una grilla de valores de γ ∈ Γ.

Para cada γ se estiman los parametros θγ por MCO.

Luego encontrar γ,

γ = arg minγ

T

∑t=1

(yt − xt (γ)

′ θγ

)2.

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Modelos de umbrales

Modelos SETAR (self-exciting threshold autoregressive)

Una serie de tiempo yt sigue un modelo SETAR con k regimenes y variable de umbralyt−d si

yt = φ(j)0 + φ

(j)1 yt−1 + ... + φ

(j)p yt−p + εt si γj−1 ≤ yt−d < γj

- k y d son numeros enteros positivos, j = 1, ..., k.- el ındice j se usa para determinar el regimen.- γj son parametros de umbrales −∞ < γ0 < γ1 < ... < γk−1 < γk < ∞.- {εt} son ruido blanco con media 0 y varianza σ2 .- el parametro d es el parametro de retraso (delay parameter).

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Modelos de umbrales

¿Como contrastar para efectos de umbrales no lineales?

Consideremos el modelo SETAR(1,1)

yt = θ01I (yt−1 ≤ γ) + θ11yt−1I (yt−1 ≤ γ) +

θ02I (yt−1 > γ) + θ12yt−1I (yt−1 > γ) + εt

Si γ se conoce se usa la hipotesis nula H0 : θ01 = θ02, θ11 = θ12. Esto seimplementa como un contraste F o Wald en modelos de regresion.

Si γ no se conoce esto se vuelve problematico porque bajo la hipotesis nulaH0 : θ01 = θ02, θ11 = θ12, γ no se puede estimar. Se dice que γ no estaidentificado bajo H0.

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Modelos de umbrales

Contrastes de Hansen

- Hansen (1996), siguiendo a Davies (1977, 1987) y Andrews and Ploberger (1994)proponen usar contrastes sup Wald y ave Wald. Estos son tests Kolmogorov-Smirnov

KS supW = supγ∈GWT (γ),

yKS aveW = aveγ∈GWT (γ),

dondeWT (γ) = T (R θγ)

′[RV−1θγ

R ′]−1(R θγ),

R es una matriz que construye las hipotesis de interes, Vθγes la matriz

varianza-covarianza de MCO de θγ, y G es el espacio de los posibles valores de γ.- Notar que para γ fijo, WT (γ) es un contraste F de H0 : θ01 = θ02, θ11 = θ12.

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Modelos de umbrales

Contrastes de Hansen

Problema: La distribucion asintotica de estos contrastes de Walddepende de la funcion de varianza-covarianza Vθγ

. Entonces es una

distribucion no standard.Solucion: Simular el p-valor.

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Modelos de umbrales

Contrastes de Hansen

Simulacion:

Generar una grilla Γ de valores γ, Γ = (γ1, . . . , γg ).

Consideremos j = 1, . . . J simulaciones.

Generar {vtj}Tt=1 iid N(0, 1) y luego

S∗T ,j (γ) =1√T

T

∑t=1

xt (γ)εt (γ)vtj , para cada γ ∈ Γ, donde εt (γ) son los residuos

MCO.

Construir W∗T ,j (γ) =(R(XT (γ)

′XT (γ))−1S∗T ,j (γ)

)′[RV−1

θγR ′]−1

(R(XT (γ)

′XT (γ))−1S∗T ,j (γ)

).

Calcular supγ∈ΓW∗T ,j (γ) y ave

γ∈ΓW∗T ,j (γ) .

Esto produce una muestra de J simulaciones del proceso. Hansen (1996) demuestraque el p-valor se puede aproximar por la distribucion de {W∗T ,j}Jj=1.

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Modelos de umbrales

Modelos de Smooth Transition (STAR)

Chan and Tong (1986) y Terasvirta (1994).

Una crıtica de los modelos SETAR es que la media condicional no es contınua,tiene un salto.

Los umbrales {γj} son los puntos de discontinuidad de la funcion de mediaconditional.

Se dice que una serie temporal {xt} sigue un STAR(p) con 2 regimenes si

xt = c1 +p

∑i=1

φ1,ixt−i + F

(xt−d − ∆

s

)(c2 +

p

∑i=1

φ2,ixt−i

)+ εt

∆ y s son parametros que representan la locacion y la escala, respectivamentede la transicion, y F (.) es una funcion de transicion suave (logistica,exponencial, o una funcion de distribucion como de la normal)

Una ventaja de estos modelos es que la funcion de media condicional esdiferenciable...

... pero ∆ y s son difıciles de estimar.

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Modelos de umbrales

Markov switching models

Hamilton (1989) enfatiza que la economıa realiza transiciones no periodicasentre distintos estados. La idea de usar modelos de probabilidad para cambiarde regimen en series temporales no lineales es de Tong (1983).

En los modelos Markov switching autoregressive (MSA) la transicion seencuentra regulada por una cadena de Markov entre dos estados no observable.Markov chain

Estos modelos son diferentes de los SETAR porque la transicion entre regimenesesta dada por una variable no observable (el estado en la cadena de Markov) yno por un rezago. En consecuencia se dice que los SETAR usan un esquemadeterminıstico para explicar la transicion y los MSA un esquema estocastico.En la practica los MSA implican que uno nunca sabe con certeza en queregimen se encuentra.

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Modelos de umbrales

Markov switching models

Una serie temporal {xt} sigue un modelo MSA(2) si

xt =

{c1 + ∑p

i=1 φ1,ixt−i + ε1t si st = 1,c2 + ∑p

i=1 φ2,ixt−i + ε2t si st = 2,

donde st toma valores {1, 2} y sigue una cadena de Markov con probabilidadesde transicion

P(st = 2|st−1 = 1) = w1, P(st = 1|st−1 = 2) = w2

- {ε1t} y {ε2t} son ruido blanco mutuamente independientes;- wi pequeno significa que el modelo se queda mas tiempo en el estado i .

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Modelos de umbrales

Lecturas sugeridas

Enders, W. ”Applied Econometric Series”, cap. 7.

Johnston, J. y Dinardo, J. ”Econometric Methods”, cap. 4.

Tsay, R. ”Analysis of Financial Time Series”, cap. 4.

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