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PROCESOS DE INTERACCIN MATERIA-ENERGA A PARTIRPROCESOS DE INTERACCIN MATERIA-ENERGA A PARTIRPROCESOS DE INTERACCIN MATERIA-ENERGA A PARTIRPROCESOS DE INTERACCIN MATERIA-ENERGA A PARTIRPROCESOS DE INTERACCIN MATERIA-ENERGA A PARTIRDE LA MASA EQUIVALENTE DE LOS FOTONESDE LA MASA EQUIVALENTE DE LOS FOTONESDE LA MASA EQUIVALENTE DE LOS FOTONESDE LA MASA EQUIVALENTE DE LOS FOTONESDE LA MASA EQUIVALENTE DE LOS FOTONES

PROCESSES OF ENERGY-MATTER INTERACTION DERIVEDFROM THE EQUIVALENT MASS OF PHOTONS

Hernando Gonzlez Sierra*

Justo Pastor Valcrcel Montaez**

Jos Miguel Cristancho Fierro***

Resumen

Utilizando el principio de equivalencia masa-energa de la teora especial de la relatividad construimosun modelo para describir la interaccin de la materia con la energa.

Utilizamos este esquema para estudiar el efecto fotoelctrico y la dispersin de Compton, obteniendo losmismos resultados predichos por la teora cuntica antigua y la electrodinmica cuntica.

Palabras clave: energa, materia, dispersin de Compton, interaccin.

Abstract

Using the principle of mass-energy equivalence based on the special theory of relativity we built a modelto describe the interaction of matter with energy.

We used this scheme to study the photoelectric effect and the Compton dispersion, obtaining the sameresults found in the old quantum theory and quantum electrodynamics.

Key words: energy, matter, Comptons dispersion, interaction.

Artculo recibido: 09/06/2009 Aprobado: 12/08/2009

* Doctor en Ciencias con especialidad en Fsica. Profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Surcolombiana, Neiva. E-mail:hergosi@hotmail.com

** Doctor en Ciencias con especialidad en Fsico-qumica. Profesor de la Facultad de Educacin. Universidad Surcolombiana, Neiva. E-mail:jupaval@gmail.com

*** Doctor en Biofsica. Profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Surcolombiana, Neiva. E-mail: micrista@usco.edu.co1 R. Resnick, Conceptos de Relatividad y Fsica Cuntica (Mxico D.F.: Limusa Noriega Editores, 1994).

Introduccin

El presente trabajo forma parte de los avances obteni-dos en el desarrollo del proyecto de investigacininstitucional denominado Masa equivalente de los fotonesen los procesos de interaccin de la materia con la radia-cin ejecutado por el Grupo de Investigacin en FsicaTerica de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturalesde la Universidad Surcolombiana.

Es conocido que la teora especial de la relatividadfusiona los conceptos de masa y energa, a partir de larelacin de Einstein, E= mc2, implicando que estas doscantidades son equivalentes y que es posible convertirmasa en energa y viceversa1.

Utilizando esta relacin, ecuacin conocida con elnombre de Principio de Equivalencia masa-energa, ela-boramos un modelo que permite asociar una masa

ENTORNOS, No. 22. Universidad Surcolombiana. Vicerrectora de Investigacin y Proyeccin Social, 2009, pp. 151-158

ARTCULO DE INVESTIGACIN

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equivalente a los cuantos de la radiacin electromagnti-ca, con el propsito de poder describir su interaccin conla materia. Desde esta perspectiva los procesosinteractivos son del tipo radiacin (fotn) partcula (elec-trn o partcula microscpica) y por esta razn el modelorecibe el nombre antes mencionado2.

La Teora Especial de la Relatividad, denominada lateora de los invariantes, formulada por A. Einstein en 1905,modifica los conceptos newtonianos de espacio y tiempoabsolutos, los cuales no dan cuenta de los resultados ex-perimentales acerca del movimiento de partculas, convelocidades comparables a la de propagacin de la luzen el espacio libre.

Los resultados del experimento de Michelson-Morley,para detectar la presencia del hipottico ter lumnico,obligaron a los fsicos de la poca a reevaluar los con-ceptos newtonianos de espacio y tiempo absolutos parapoder explicar las divergencias entre experimento y teo-ra. En la mecnica clsica los conceptos de espacio ytiempo son independientes de tal manera que las trans-formaciones cinemticas, entre observadores inerciales(llamadas transformaciones de Galileo), dan una escalauniversal de tiempo igual para todos los observadoresinerciales. Desde estos puntos de vista resulta que lasEcuaciones de Maxwell no son invariantes ante las trans-formaciones de Galileo, implicando leyes diferentes paracada observador inercial colocando en tela de juicio laElectrodinmica de Maxwell.

Para dar cuenta de las inconsistencias entre los resul-tados del experimento de Michelson-Morley, lastransformaciones de Galileo y las leyes del electromag-netismo, Einstein estableci la invalidez de lastransformaciones de Galileo, declar la invariancia de lasleyes de la Fsica y la invariancia en la velocidad de pro-pagacin de la luz, para todos los observadores inerciales.Las implicaciones de los conceptos anteriores produje-ron la sustitucin del espacio y tiempo absoluto einseparable por un continuo espacio-tiempo, el llamadoespacio-tiempo de Minkowski y el reemplazo de las trans-

formaciones de Galileo, por las transformaciones deLorentz3.

Trabajando en un espacio de cuatro dimensiones (es-pacio-tiempo de Minkowski) Einstein reescribi lastransformaciones de Lorentz y predijo algunos efectoscinemticos de la Teora de la Relatividad Especial, cuan-do se aplicaban las transformaciones al mismoespacio-tiempo. Entre estos efectos se tiene que los ob-servadores en movimiento medirn distintos intervalos deespacio (longitudes) y diferentes intervalos de tiempos(duracin de los eventos).

Los intervalos de espacio, por ejemplo, una regla deun metro sostenida por un observador estacionario conrespecto a la regla, tendr una longitud menor para unobservador que se mueve a una velocidad de 0.90c. (c,velocidad de la luz). Este efecto cinemtico es conocidocomo contraccin de la longitud y ello no implica que losintervalos espaciales se acorten por culpa del movimien-to relativo; lo que ocurre es que la marcha de los rayos deluz desde la regla al ojo del observador en movimientotoman cierto tiempo (no nulo) y esto modifica las medi-ciones de intervalos espaciales para observadores enmovimiento.

Los intervalos de tiempo, duracin de los eventos, re-sultaran ms largos para observadores en movimientorelativo, con respecto a un observador que sostiene unreloj estacionario entre sus manos. Este efecto cinemticoes conocido como dilatacin de los intervalos temporalesy, los diferentes observadores inerciales, tienen escalasde tiempo diferentes cuando se comparan sus medicio-nes en cada uno de los relojes. Este efecto de dilatacindel tiempo ha sido corroborado experimentalmente a travsde pruebas de viajes alrededor de la Tierra comparandoun reloj fijo en la superficie con un reloj viajando en unanave espacial. Tambin se ha comprobado que el tiempode vida de unas partculas subatmicas, denominadasmuones, es diferente cuando se mide en la Tierra quecuando se mide en un marco de referencia unido a losmuones y en reposo con respecto a ellos4.

2 H. Gonzlez et al. Conservacin de la energa e interaccin Radiacin-Materia. Libro informe proyecto de investigacin Masa equivalente de losfotones en los procesos de interaccin materia-energa. Universidad Surcolombiana. 2007.

3 H. Gonzlez et al., Einstein y 100 aos de nueva Fsica, Entornos No. 19 (2006), pp. 106-110.4 R. Katz, Introduccin a la Teora Especial de la Relatividad (Mxico: Limusa Noriega Editores, 1968).

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Las transformaciones de Lorentz, el principio deequivalencia masa-energa y la masa equivalentede los fotones

Las transformaciones de Lorentz para las coordena-das de un evento en el espacio-tiempo de cuatrodimensiones de Minkowski, cuando se considera movi-miento relativo en la direccin del eje x con velocidadrelativa u, se expresan de la siguiente manera5.

(1)

En donde u es la velocidad relativa entre dos observa-dores inerciales, c es la velocidad de propagacin de la

luz y es el factor de Lorentz. La ecuacin

(1) se reduce a las transformaciones de Galileo para mo-vimientos lentos (u

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B= h P (8)

h es la constante de Planck y P la cantidad de movimien-to de la partcula.

Tomando la ecuacin (5), para la energa total de unapartcula relativista, y la relacin de Einstein ecuacin (7),para el cuanto del campo electromagntico, y con baseen la consistencia entre la teora especial de la relatividady la mecnica cuntica se admite que, para el caso de unfotn, la igualdad de estas ecuaciones conduce a

(9)

s es una constante de proporcionalidad cuyo valor es(2,21x10-42 kg.m) y m es la masa equivalente del fotn. Deesta manera, la masa equivalente de un fotn es inversa-mente proporcional a su longitud de onda; esto indica,por ejemplo, que la masa equivalente de un fotn de luzultravioleta es menor que la masa equivalente de un fotnde Rayos X.

La ecuacin (9) nos permite evaluar la masa equiva-lente de un fotn cuando conocemos su longitud de onda, haciendo uso de la dualidad onda-partcula. En estecontexto se ha elaborado un esquema de masa equiva-lente para los fotones, considerados como partculas, yse usa para describir algunos procesos como el efectoCompton, el efecto fotoelctrico utilizando la (9) y el prin-cipio de conservacin de la cantidad de movimiento.

La relacin entre la longitud de onda de un fotn, y sufrecuencia es

= c

v (10)

Sustituyendo la ecuacin (10) en la ecuacin en laecuacin (9) obtenemos

(11)

La razn s/c= l tiene el valor 7,3 x 10-51 kg.s en elsistema internacional de unidades.

Describiremos dos procesos utilizando este esquemade masa equivalente para mirar su comportamiento y para

comparar nuestro modelo terico partcula-partcula conotras aproximaciones ya establecidas: el efecto fotoelc-trico y la dispersin Compton.

Efecto fotoelctrico

En este proceso la masa equivalente del fotn sedistribuye entre el trabajo aplicado necesario para ex-traer el electrn y la parte remanente; sta es adicionadaa la masa en reposo del electrn. En otras palabras, lamasa equivalente del fotn es repartida entre la funcinde trabajo del material, energa mnima necesaria paradesligar el electrn, y la energa cintica adquirida porel electrn.

En nuestro esquema de masa equivalente para des-cribir las interacciones de la radiacin con la materia seintroduce una serie de conceptos y definiciones que con-sideramos tiles:

a)Se supone que los fotones tienen una masa equi-valente, definida a partir del principio de equivalenciamasa-energa de la teora especial de la relatividad y dela relacin de Einstein, la cual est dada por la ecua-cin (11).

b)Consideramos que las interacciones entre la radia-cin electromagntica y la materia se deben aintercambios partcula-partcula: los fotones de la radia-cin electromagntica son partculas con masaequivalente y cantidad de movimiento y la materia partici-pa en estos procesos a travs de partculas microscpicascomo electrones, protones, neutrones, tomos, y otras.Generalmente, en estos procesos de interaccin, losfotones pueden ceder diferentes cantidades de masa equi-valente, ceder toda su masa equivalente o simplementedispersarse conservando toda su masa equivalente.

c)Despus del proceso de interaccin las partculasde materia sufren una transicin que se va a caracteri-zar por un nuevo estado en el cual ellas poseen masasefectivas distintas a sus masas originales y cantidadesde movimiento diferentes. De acuerdo al tipo de proce-so se tienen cantidades fsicas diferentes despus de latransicin.

d)Usamos como complemento a las anteriores defini-ciones la ley de conservacin de la masa y la ley deconservacin de la cantidad de movimiento lineal.

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En el efecto fotoelctrico se produce una transicinpara el electrn: el paso de un estado ligado a un estadolibre. Siendo mf la masa equivalente del fotn incidente,

, el equivalente en masa del trabajo de extrac-

cin del material y me la masa del fotoelectrn liberado,la conservacin de la masa para el proceso produce laecuacin

(12)

El fotn es absorbido completamente y desaparece.Sustituyendo la ecuacin (12) en la ecuacin (11) seobtiene

(13)

No todos los electrones requieren la misma cantidadde masa para experimentar su transicin de fase afotoelectrones. Los electrones ubicados en la banda deconduccin necesitan menos masa, un valor mnimo

, que da una masa mnima para los fotones que

producen la transicin de fase, dada por

(14)

Esta masa equivalente mnima para los fotones, (mf)min=(mf)0, la denominamos masa umbral del fotn. La ener-ga mnima, (Wm)min= W0, se denomina funcin de trabajodel metal y los fotoelectrones que adquieren mayor masa,(me)max, obedecen la siguiente ecuacin

(15)

La cual es obtenida a partir de la ecuacin (13) para elvalor umbral de Wm.

Estos fotoelectrones que adquieren la mayor masa laconvierten en energa cintica relativista de acuerdo conla ecuacin (3)

De manera que

(16)

Habiendo definido la masa efectiva del fotoelectrncomo

(17)

Despejando el trmino de masa efectiva mxima parael fotoelectrn obtenemos

(18)

En donde es el potencial de frenado y e es la cargaelctrica del fotoelectrn.

Con los datos dados en las ecuaciones anteriores lle-gamos al resultado

(19)

Reemplazando el valor se tiene

(20)

La cual es la Ecuacin de Einstein del Efecto Foto-elctrico.

Se ha mostrado que nuestro modelo de masa equiva-lente para los fotones reproduce los mismos resultados,para el efecto fotoelctrico, que los obtenidos usando elprincipio de conservacin de la energa. Aunque el proce-dimiento es un poco ms complicado, a diferencia delutilizado por la Fsica Cuntica, tenemos un conjunto dedefiniciones y conceptos que podramos explorar con al-guna profundidad. Nuestro modelo de masa equivalentede los fotones en los procesos de interaccin de la radia-cin con la materia y el esquema terico de interaccinpartcula-partcula, nos permite obtener los siguientes re-sultados adicionales:

1) Conocidas las funciones de trabajo de las superfi-cies metlicas, ya determinadas experimentalmente,

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podemos calcular las masas equivalentes mnimas oumbrales de los fotones que dan lugar al proceso de trans-ferencia de fase de los electrones ligados a fotoelectrones.

La Tabla de Datos 1 muestra las funciones de trabajode algunos elementos y, a partir de estos valores, determi-namos las masas equivalentes mnimas de los fotonesque dan lugar a la emisin de fotoelectrones.

Tabla 1. Valores experimentales de la funcin de trabajo.

Elemento Funcin de Trabajo, eV

Aluminio 4,3

Carbono 5,0

Cobre 4,7

Oro 5,1

Nquel 5,0

Silicio 4,8

Plata 4,3

Sodio 2,7

Zinc 4,3

Cesio 1,91

Utilizando la ecuacin (14) obtenemos las masas equi-valentes umbrales de los fotones en Kg y en Mev.

Tabla 2.

Masas MasasElemento equivalentes equivalentes

umbrales, en Kg umbrales, en Mev

Aluminio 7,64x10-34 4,3x10-6

Carbono 8,88x10-34 5,0x10-6

Cobre 8,35x10-34 4,7x10-6

Oro 9,06x10-34 5,1x10-6

Nquel 9,06x10-34 5,0x10-6

Silicio 8,53x10-34 4,8x10-6

Plata 7,64x10-34 4,3x10-6

Sodio 4,80x10-34 2,7x10-6

Zinc 7,64x10-34 4,3x10-6

Cesio 3,39x10-34 1,91x10-6

2) Determinadas las masas equivalentes mnimas oumbrales de los fotones podemos ubicar las regiones delespectro electromagntico en que se encuentran los fotonesque producen estas transiciones de fase fotoelctricas.

Podemos en este punto introducir una cota experi-mental para la masa del fotn que es menor a 6x10-22

Mev, de acuerdo al reporte del ao 2006 de Particle DataGroup. Algunas de estas medidas experimentales serealizan a bordo de satlites en el espacio exterior; sinembargo, las mediciones hechas en Tierra en sistemas abaja temperatura crtica, entre 1,24 K y 1,36 K, dan resul-tados que se aproximan a los valores de 8,5x10-16 Mev.

Controles hechos sobre ondas de radio dispersadaspor el Sol suben la cota para las masas de los fotones aun valor de 1,4x10-13 Mev. Como podemos observar, estosclculos corresponden a los fotones que se encuentranen la regin de radiodifusin8. Es una extraa coinciden-cia observar que nuestros valores tericos para la masaequivalente de los fotones estn en cercano acuerdo conestas mediciones experimentales.

Desde el punto de vista terico se sugiere que es posi-ble que la invariancia de norma del electromagnetismopudiera estar rota a alguna baja temperatura, lo cual im-plicara que los fotones adquieren masa y que esta puedetener valores pequeos. El restablecimiento de la sime-tra de norma del electromagnetismo, a una temperaturadada, dejara nuevamente a los fotones sin masa.

Efecto Compton

En el efecto Compton, los fotones incidentes son dis-persados por electrones libres, perdiendo parte de la masaequivalente que llevaban inicialmente. Los fotones expe-rimentan una transicin desde un estado inicial de masaequivalente (mf)i a un estado final de masa equivalente(mf)f. Los electrones tambin sufren una transicin pa-sando de un estado inicial de masa efectiva (me)i = m0 aun estado final de masa efectiva (me)f.

La ley de conservacin de la masa para el proceso lapodemos expresar por la siguiente ecuacin

feffif mmmm )()()( 0 +=+ (21)

8 H. Gonzlez et al., Masa equivalente de los fotones a partir del principio de equivalencia masa-energa (ponencia presentada en el II encuentroregional de Ciencias Fsicas, Montera, octubre 5 de 2006).

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Usando la masa equivalente del fotn,

c

h

c

hm

f

f

f

==2 , y definiendo la cantidad de movimiento

lineal del fotn como

Pf= mfc (22)

Entonces,

(23)

La ley de conservacin de la cantidad de movimientolineal la expresamos de la siguiente manera

(24)

Donde Pe, (Pf)i, (Pf)f son las cantidades de movimien-to lineal para el electrn, el fotn incidente y el fotndispersado, respectivamente.

Sustituyendo la cantidad de movimiento de la ecua-cin 23, para el fotn incidente y el fotn dispersado, en laecuacin 24 obtenemos

(25)

Usando la ecuacin relativista, para el electrn, querelaciona la cantidad de movimiento con la energa total

(26)

Y la masa equivalente de los fotones dada por

(27)

La serie de ecuaciones ecuacin (21) hasta ecuacin(27) se satisfacen simultneamente, de manera que com-binndolas se obtiene

(28)

Resultado que es la ecuacin para el CorrimientoCompton. En el proceso de derivacin de la ecuacindel efecto Compton hemos util izado la ecuacin,

, que es la de asociar una masa equi-

valente al fotn. Se obtiene al igualar la energa totalrelativista para el fotn expresado en funcin de su mo-mento lineal

E = Pfc (29)

Y la energa relativista, tambin para el fotn, en trmi-nos de su masa equivalente

E= mfc2 (30)

Conclusiones

Partiendo del principio de equivalencia masa-energade la teora especial de la relatividad hemos construidoun modelo para la interaccin entre materia y energa.Este esquema terico denominado modelo de interaccinpartcula-partcula tiene la caracterstica de que a losfotones se les asocia una masa equivalente.

Utilizando el modelo de interaccin partcula-part-cula hemos estudiado dos procesos: el efectofotoelctrico y la dispersin Compton. Encontramos queel modelo describe adecuadamente los procesos men-cionados y que obtenemos los mismos resultados quela teora cuntica antigua y la electrodinmica cuntica.

Con la aplicacin del modelo partcula-partcula hemosconseguido algunas ventajas de tipo terico que podran ser-vir como punto de partida para describir adecuadamente unproceso fsico no entendido completamente: la superconduc-tividad a alta temperatura crtica.

Debido a su riqueza conceptual y la posibilidad deadaptabilidad, el modelo puede ser aplicado en otroscontextos tericos de la Fsica contempornea comoson: sper fluidez, transiciones de fase y fenmenoscrticos.

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Referentes bibliogrficos

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