Procesos de convecci on natural con hip otesis anel...
Transcript of Procesos de convecci on natural con hip otesis anel...
Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa
Departamento de Ingenierıa Aeroespacial y Mecanica de Fluidos
PROYECTO FIN DE CARRERA
Procesos de conveccion naturalcon hipotesis anelastica
Alumno: Eduardo M. Garcıa Juarez
Director: Miguel Perez-Saborid Sanchez-Pastor
19 de septiembre de 2014
Indice general
1. Introduccion 5
1.1. Contexto y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Conveccion de Rayleigh-Benard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Estructura del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Modelo anelastico para la conveccion natural 11
2.1. Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1. Modelo de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2. Aproximacion anelastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Ondas acusticas y la condicion CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1. Ondas acusticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2. Condicion CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1. El modelo anelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2. Ecuacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3. Reduccion al modelo de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Resolucion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1. Ecuacion de la vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2. Estado de referencia: politropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Esquema numerico: metodos espectrales 38
2
Indice general 3
3.1. Introduccion: resolucion numerica de EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Metodo de colocacion con interpolantes de Lagrange y nodos de Chebyshev 39
3.3. Metodo espectral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2. La ecuacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4. Discretizacion en tiempo: metodo semi-implıcito . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilindro horizontal . . . . . 47
3.5.1. Codigos de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4. Resolucion numerica de problemas de conveccion natural con tempera-
tura impuesta 56
4.1. Recinto rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.2. Adimensionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.3. Sistema algebraico final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.5. Codigos de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2. Anillo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2. Adimensionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.3. Sistema algebraico final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.5. Codigos de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5. Conveccion natural en un gas autogravitante con generacion de calor 96
5.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2. Adimensionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.1. Codigos de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Capıtulo 1
Introduccion
1.1. Contexto y objetivos
El proyecto se enmarca en los estudios de fenomenos donde la conveccion natural juega
un papel importante, por ejemplo los modelos meteorologicos o geofısicos y estelares. El
objetivo es obtener resultados para modelos simplificados que ilustren sobre los procesos
fundamentales que dominan en la conveccion natural. Como punto de partida se tienen
los resultados de la conveccion natural en una cavidad rectangular asumiendo la hipotesis
de Boussinesq, es decir, despreciando los efectos de la variacion de densidad en todos los
terminos de las ecuaciones de Navier-Stokes salvo en el de fuerzas masicas. Esta aproxi-
macion es muy pobre para problemas de escalas grandes, como el interior de estrellas y
planetas o la atmosfera, por lo que un primer objetivo es estudiar un modelo que generalice
al de Boussinesq permitiendo cierta variacion en la densidad.
Uno de los modelos mas usados que extienden la hipotesis de Boussinesq es el modelo
anelastico. En el se centra este proyecto. Se tiene por objetivo obtener resultados que
caractericen esta aproximacion en diversas situaciones. Basicamente la idea de este modelo
es permitir estratificacion en la densidad, es decir, se permite variacion espacial en la
direccion en que actua la gravedad. Un punto muy importante a estudiar es como afecta el
nivel de estratificacion en los resultados que se tienen con la hipotesis de Boussinesq. Un
primer objetivo es por tanto extender el analisis de la conveccion de Rayleigh-Benard bajo
la hipotesis anelastica. Se hara para una cavidad rectangular y para un anillo circular.
La mayorıa de modelos anelasticos y de Boussinesq han sido aplicado para recintos
rectangulares, emulando a la atmosfera. Se debe principalmente a que ha habido mas
interes en avanzar en los modelos meteorologicos y, por otra parte, que los modelos estelares
son mucho mas complejos, apareciendo efectos acoplados con el campo magnetico y la
5
1.2. Conveccion de Rayleigh-Benard 6
rotacion diferencial. Ademas, en estos casos la geometrıa es esferica. Sera un objetivo de
este proyecto obtener resultados que aporten ideas sobre el efecto de la generacion de calor
en un gas autogravitante. Se hara para un problema bidimensional, es decir, realmente se
va a resolver un problema con geometrıa cilındrica y no esferica.
Objetivos secundarios sera la introduccion a los metodos espectrales de resolucion de
ecuaciones en derivadas parciales para geometrıa cartesiana y cilındrica. Se implementaran
con Matlab, tratando de obtener programas eficientes. Los programas construidos sirviran
de base para futuros trabajos que extiendan los resultados buscados.
1.2. Conveccion de Rayleigh-Benard
En nuestro entorno, el fenomeno de conveccion natural mas frecuente lo constituyen los
movimientos generados en el seno de un fluido que se encuentra en presencia de un campo
gravitatorio y en el que existen diferencias de densidad entre sus partes. Normalmente,
dichas variaciones de densidad son debidas a gradientes de temperaturas, aunque es tam-
bien comun el caso de que se produzcan debido a gradientes de concentracion. Asimismo,
pueden presentarse fenomenos de conveccion natural en fluidos con carga electrica cuando
son sometidos a la accion de campos electricos o magneticos. No obstante, y para fijar
ideas, nos centraremos en este proyecto en el caso mas simple, y tambien mas comun, de
un fluido situado en un campo gravitatorio y en el que existen variaciones de densidad
provocadas por gradientes de temperatura. Este efecto es el que domina los fenomenos
de conveccion en estrellas y planetas. Los movimientos generados en el fluido en estas
circunstancias constituyen el fenomeno conocido universalmente como conveccion natural
de Rayleigh-Benard.
En la naturaleza se manifiesta, por ejemplo, en los movimentos a gran escala de la
atmosfera terrestre que tienen lugar en las celdas denominadas de Hadley (en el entorno
del ecuador y responsable de los vientos alisios), de Ferrell (en latitudes medias) y Polar,
producidas por el gradiente de temperaturas medias existente entre las zonas ecuatoriales y
polares. Tambien se manifiesta el fenomeno de Rayleigh-Benard en la dinamica del manto
terrestre (figura 1.1), que esta gobernada por las corrientes de conveccion natural debidas
a gradiente termico existente entre el nucleo y la corteza de la Tierra. Tambien aparece en
las estrellas. Por ejemplo en el Sol a partir de una distancia del origen de aproximadamente
una quinta parte del radio total se inicia la que se conoce como corona convectiva (figura
1.2).
1.2. Conveccion de Rayleigh-Benard 7
Figura 1.1: Conveccion en el manto
Figura 1.2: Estructura solar
Desde el punto de vista historico, el estudio sistematico de los fenomenos de conveccion
natural comenzo hacia 1900, cuando Henri Benard llevo a cabo una serie de experimentos
en capas delgadas de esperma de ballena (de elevada conductividad termica) calentadas
desde abajo y cuya su superficie superior estaba expuesta al aire ambiente. Benard ob-
servo la aparicion de un movimiento en el fluido que, tras un regimen transitorio inicial,
alcanzaba un regimen estacionario en el que se distinguıa en la superficie una estructura
muy peculiar formada por celdas hexagonales regulares similares a las que observan en
panal de abejas (figura 1.4). Las investigaciones del flujo en el interior de la celda reali-
zadas por Benard (figura 1.3), revelaron que el fluido ascendıa por el centro de la celda
y descendıa a lo largo del perımetro hexagonal. Otras mediciones opticas mostraron tam-
bien que la superficie del fluido sufrıa una depresion por el centro de la celda, y Benard
atribuyo la aparicion de este fenomeno a la tension superficial de la pelıcula de fluido en
contacto con el aire. Benard tambien midio la dependencia del tamano caracterıstico de
la celda, que tomo como la distancia entre los centros de dos celdas vecinas y designo por
λ, con la profundidad de la capa de fluido, el flujo de calor y de la temperatura.
1.2. Conveccion de Rayleigh-Benard 8
Figura 1.3: Celdas de Rayleigh-Benard Figura 1.4: Estructura en panel
de abeja
Posteriormente, en 1916, Lord Rayleigh publico su artıculo On Convection Currents in a
Horizontal Layer of Fluid, When the Higher Temperature Is Under Side, siendo el primer
investigador que desarrollo una teorıa que ponıa de manifiesto de forma clara los meca-
nismos fısicos involucrados en el fenomeno de la conveccion natural. En efecto, cuando un
fluido cuya densidad no es uniforme se encuentra en presencia de la gravedad, la fuerza
de flotabilidad, o empuje de Arquımedes, hace que una porcion de fluido que (en media)
sea mas densa que su entorno tienda a descender, mientras que una con densidad menor
tienda a ascender. No obstante, y como hizo notar Rayleigh, ademas de las fuerzas de
flotabilidad, deben tenerse en cuenta en el proceso los mecanismos que tienden a contra-
rrestar su efecto: la friccion, originada por las fuerzas de viscosidad, y el de conduccion
de calor, que tiende a homogeneizar en el seno del fluido el campo de temperaturas y, por
tanto, tambien el de densidades. De esta forma, si en un fluido inicialmente en reposo con
una distribucion de densidades creciente en la direccion ascendente se introduce una per-
turbacion, una parcela de fluido volvera a su situacion de reposo (situacion de equilibrio
estable) o se mantendra en movimiento (situacion de equilibrio inestable) dependiendo de
la importancia relativa de los tres efectos antes citados. Por tanto, la situacion de equilibrio
inestable es la que da lugar al fenomeno de conveccion natural. En su analisis, Rayleigh
considero una capa de fluido entre dos placas infinitas paralelas a distinta temperatura
dispuestas perpendicularmente a la direccion de la gravedad, siendo la placa inferior la
de mayor temperatura. Rayleigh estaba interesado en la estabilidad de pequenas pertur-
baciones respecto a la situacion de reposo, por lo que linealizo en torno a la solucion de
equilibrio las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el movimiento del fluido entre las
placa descubriendo que en el sistema lineal de ecuaciones en derivadas parciales resultante
1.3. Estructura del proyecto 9
aparece de forma natural el parametro adimensional, denominado numero de Rayleigh
Ra = (gH3β∆T )/να, (1.1)
donde β,ν y α son, respectivamente, el coeficiente de dilatacion termica, la viscosidad
cinematica y la difusividad termica del fluido, g es la aceleracion de la gravedad, H es el
espesor de la capa fluida (o, en general, una longitud caracterıstica del dominio fluido) y ∆T
es la diferencia de temperatura entre placas. El numero de Rayleigh puede interpretarse
fısicamente como el parametro adimensional que mide la importancia relativa entre los
efectos de las fuerzas de flotabilidad y los efectos de las fuerzas de viscosidad y de la
conduccion termica.
1.3. Estructura del proyecto
En el capıtulo 2 se hace un estudio bibliografico sobre los modelos de Boussinesq y
anelastico usados para resolver la conveccion natural. Tras revisar la evolucion del modelo
anelastico se explica la utilidad de su uso indicando como consigue eliminar las ondas
acusticas. Puesto que se trata de una aproximacion, se estudian las hipotesis usadas y
el rango de validez de las mismas, a la vez que se desarrolla el modelo que se usara a
lo largo del proyecto. Se incluye un apartado que muestra el caso de Boussinesq como
el lımite del modelo anelastico para estratificacion nula. Termina el capıtulo indicando el
esquema de resolucion del modelo, prestando especial importancia a la obtencion de un
estado de referencia que se ajuste bien a los fenomenos que se quieren simular, para lo que
se estudian los politropos.
En el capıtulo 3 se presentan los dos metodos numericos que se usaran para resolver el
sistema de ecuaciones en derivadas parciales obtenido para el modelo anelastico: el metodo
de colocacion con interpolantes de Lagrange y nodos de Chebyshev, y el metodo espectral
de Fourier. Se revisa brevemente su fundamento y su aplicacion, ampliamente estudiado
en la bibliografıa. Se incluye un ejemplo de aplicacion y los codigos de Matlab empleados.
Por ultimo se describe el metodo de discretizacion temporal que se ha usado, y se muestra
el programa de Matlab que resuelve un primer problema de conveccion natural: un cilindro
horizontal con la semicircunferencia inferior a una temperatura impuesta superior.
En el capıtulo 4 se resuelven dos problemas de conveccion natural con temperaturas im-
puestas y sin generacion de calor, haciendo uso del modelo anelastico. El primero consiste
en el problema clasico de Rayleigh-Benard para una cavidad rectangular con velocidad
nula en las paredes y paredes verticales aisladas termicamente. El segundo trata el mismo
problema para un anillo circular con gravedad hacia el centro. Se resuelven ambos proble-
1.3. Estructura del proyecto 10
mas y se realiza un estudio detallado de los resultados, prestando especial atencion a la
influencia de los parametros adimensionales sobre el proceso de conveccion Se adjuntan al
final los codigos de Matlab de ambos programas.
Finalmente, en el capıtulo 5 se resuelve el problema de un gas autogravitante con gene-
racion de calor. Se sigue un esquema similar al capıtulo 4, aunque el analisis de resultados
es menos detallado. No obstante, se obtendran resultados satisfactorios e importantes.
Finalmente se incluyen los codigos de Matlab de este caso.
Capıtulo 2
Modelo anelastico para la
conveccion natural
Este capıtulo comienza con un resumen del desarrollo historico de los modelos matemati-
cos usados para estudiar la conveccion natural. Posteriormente se analiza la utilidad del
modelo anelastico y se procede a realizar un analisis de los disintos terminos para obtener
las condiciones de validez del modelo. Finalmente se muestran varias transformaciones ma-
tematicas que permiten reducir la complejidad numerica del problema para su resolucion
en capıtulos posteriores.
2.1. Contexto
La resolucion de las ecuaciones completas de Navier-Stokes para los procesos de convec-
cion natural no suele ser viable en la practica, debido a que incluyen las perturbaciones de
presion y densidad producidas por ondas acusticas, que tıpicamente viajan a una veloci-
dad mucho mayor que la del fluido, lo que requiere usar un paso de tiempo excesivamente
pequeno. Aunque esto podrıa evitarse tratando de forma implıcita los terminos convec-
tivos no lineales, el acoplamiento que se produce por la no linealidad llevarıa a un coste
computacional aun mayor. Sin embargo, estas ondas son de baja amplitud y sus efectos
son despreciables en la mayorıa de situaciones de interes, como son los modelos atmosferi-
cos o del interior de estrellas y planetas. Los dos modelos mas usados para eliminar estas
ondas son el sistema de Boussinesq y la aproximacion anelastica.
11
2.1. Contexto 12
2.1.1. Modelo de Boussinesq
El primer modelo matematico usado para filtrar las ondas acusticas, debido a Oberbeck
[1], [2] y Boussinesq [3], aunque conocido como aproximacion de Boussinesq, se basa en
asumir que las variaciones de densidad se deben solo a efectos termicos y tienen impor-
tancia unicamente en el termino de gravedad. Boussinesq justifico esta hipotesis para un
diferencia de temperatura maxima de 10 K, por lo que ademas todas las propiedades del
fluido se consideran constantes. El sistema de ecuaciones bajo la hipotesis de Boussinesq
es∇ · v = 0
∂v
∂t+ (v · ∇)v =
1
ρ0∇p+ (1− β(T − T0))g + ν∇2v
∂T
∂t+ (v · ∇)T =
k
cpρ0∇2T +
Q
cpρ0
,
(2.1)
donde β es el coeficiente de dilatacion termica, que para un gas ideal esta dado por
β = −1
ρ
(∂ρ
∂T
)∣∣∣∣p
=1
T(2.2)
Un analisis de ordenes de magnitud mas detallado, Spiegel y Veronis [4], justifica eliminar
el termino de disipacion viscosa y muestra como el primer miembro de la ecuacion de la
energıa de (??) es aproximadamente igual a ρcpDT/Dt, sin despreciar pues el termino
de trabajo de expansion (para fluido incompresible se obtiene lo mismo pues cp = cv y
∇ · v = 0).
Posteriormente Gray y Giorgini [5] obtuvieron las ecuaciones de Boussinesq extendi-
das, en las que se incluye la disipacion viscosa y el trabajo de expansion explıcitamente,
permitiendo que las propiedades del fluido dependieran de la temperatura y la presion
para realizar un analisis en serie en funcion de un parametro y despreciar luego los termi-
nos de orden superior. Dieron ademas un criterio mas preciso para la validez de imponer
constantes las propiedades del fluido.
Finalmente en 1996, Rajagopal et al. [6] dedujeron formalmente el sistema de Boussi-
nesq en el contexto de la mecanica de los medios continuos sin imponer mas restricciones
que la incompresibilidad del fluido ante cualquier efecto no termico. Eligiendo distintos
parametros para desarrollar en serie, Kagie et al. [7] extendieron la idea de Rajagopal
para incluir la disipacion viscosa y Passerini y Thater [8] lo hicieron para un fluido no
newtoniano.
2.1. Contexto 13
En definitiva, la aproximacion basica de Boussinesq se resume en lo siguiente:
1. La densidad solo varıa con la temperatura y este efecto solo se tiene en cuenta en el
termino de las fuerzas masicas.
2. Las propiedades del fluido se asumen constantes.
3. La disipacion viscosa es despreciable.
Como se probara en la Seccion 2.3, este modelo es valido cuando la dimension vertical
del dominio de estudio es pequena en relacion con las escalas de altura hidrostaticas de
densidad, presion y temperatura, y ademas la velocidad del fluido es mucho menor que la
velocidad local del sonido. Estas hipotesis son bastante acertadas para la conveccion en
los oceanos, el manto terrestre (donde conviene anadir la disipacion viscosa) y en menor
medida en el nucleo de las estrellas, no siendo validas en la parte mas externa de las
estrellas ni en la atmosfera, donde la estratificacion en densidad es muy notable, y por
tanto tampoco se puede usar para simular modelos completos.
2.1.2. Aproximacion anelastica
En los fenomenos de conveccion natural en los que la estratificacion es importante el
sistema de Boussinesq se aleja demasiado de la realidad. Se usa entonces la aproximacion
anelastica (Batchelor [9], Ogura y Phillips [10]), cuya idea fundamental es descomponer las
variables en un estado de referencia hidrostatico dependiente unicamente de la coordenada
vertical, al que se suman las perturbaciones debidas a la conveccion:
ρ(x, t) = ρ(z) + ρ(x, t), p(x, t) = p(z) + p(x, t), T (x, t) = T (z) + T (x, t),
g(x, t) = −g (z)k + g(x, t) = ∇(Φ + Φ),
ˆQ(x, t) = Q(z) + Q(x, t),
(2.3)
dp
dz= −g ρ. (2.4)
El calor generado puede depender ademas del resto de variables termodinamicas.
Mediante un analisis de ordenes de magnitud o, mas formalmente, desarrollando en serie
en funcion de un parametro elegido adecuadamente y dejando unicamente los de primer
orden, se obtienen los diferentes modelos anelasticos segun las hipotesis realizadas, con la
ventaja de que todos ellos filtran las ondas acusticas.
Los trabajos originales [9] y [10] asumen en su desarrollo un estado de referencia adiabati-
co, no aplicable en muchas situaciones practicas, por ejemplo en metereologıa. Dutton y
2.1. Contexto 14
Fichtl [11] y Gough [12] realizaron modificaciones que eliminaban esta restriccion, pero
a cambio el sistema resultante no conserva la energıa. Lipps y Hemler [13] incluyen la
hipotesis adicional de que la escala de altura de la temperatura potencial (variable que
sustituye a la densidad muy usada en ciencias atmosfericas e introducia ya por Ogura y
Phillips en sus analisis) es menor que la altura, con lo que consiguen una forma de con-
servacion de energıa, siendo este sistema el que se suele nombrar como modelo anelastico.
La forma de la ecuacion de conservacion de la masa es casi identica en todos los modelos
anelasticos, salvo en el modelo pseudo-incompresible de Durran [14], que supone un cam-
bio notable de las ecuaciones. El trabajo de Bannon [15] resume y compara los distintos
modelos anelasticos hasta 1995.
El modelo anelastico sigue siendo de gran uso hoy en dıa en las simulaciones meteo-
rologicas y en el estudio del interior de estrellas y planetas (Glatzmaier et al. [16], [17],
[18], Braginsky y Roberts [19], Lantz y Fan [20]), centrandose los trabajos actuales en pe-
quenos cambios y adaptaciones a situaciones particuales, como son atmosferas humedas,
fenomenos multifase, formulacion en vorticidad y sistemas con rotacion diferencial y mag-
netismo (Bannon [21], [22], Jung y Arakawa [23], Glatzmaier et al. [17]). Ademas siguen
estudiandose modificaciones para conseguir conservacion de la masa (Lilly [24], Bannon et
al. [25]), pues el modelo anelastico realmente conserva el volumen, y distintas formas de
conservacion de la energıa (Arakawa y Konor [26], Brown et al. [27]).
Aunque en la Seccion 2.3 se deducira el modelo anelastico mediante un analisis del orden
de magnitud de los distintos terminos de las ecuaciones involucradas en la conveccion,
senalando de forma clara las hipotesis necesarias para su validez, incluimos ahora el sistema
de ecuaciones que contituye la forma general del modelo anelastico que se tratara a lo largo
del proyecto:
∇ · (ρv) = 0, (2.5)
∂v
∂t+ (v · ∇)v = −∇P +
(T −
(∂T
∂p
)p
)g
T+µ
ρ
(∇2v +
1
3∇(∇ · v)
), (2.6)
∂T
∂t+ v · ∇T = (γ − 1)hρTvz − γ
[dT
dz−(dT
dz
)ad
]vz+
+1
ρcp∇ · (k∇T ) +
1
ρcp∇ ·(kdT
dzk
)+
Q
ρcp+
Q
ρcp,
(2.7)
p
p=ρ
ρ+T
T, (2.8)
2.2. Ondas acusticas y la condicion CFL 15
donde se han usado la presion reducida P , que engloba las perturbaciones de presion y
potencial gravitatorio, y las relaciones de un gas perfecto, de forma que
P =p
ρ+ Φ, g = −gk = −∇Φ, ∇2Φ = 4πGρ, (2.9)
(∂T
∂p
)=dT
dz
(dp
dz
)−1
= −dTdz
1
ρg, (2.10)
[dT
dz−(dT
dz
)ad
]=dT
dz+g
cp=T
cp
dS
dz. (2.11)
En las ecuaciones anteriores el vector k corresponde a la direccion en que actua la gravedad
(hidrostatica), es decir, la coordenada vertical z en el caso rectangular y la radial r para
geometrıa polar. El potencial gravitatorio y su perturbacion se han incluido para los casos
de planetas y estrellas; en el caso de atmosferas o experimentos de laboratorio basta poner
Φ = 0.
El sistema anterior, en el que solo se han despreciado los efectos de disipacion viscosa
(ademas de lo propio del modelo anelastico), permite estados de referencia no adiabaticos
pero no conserva energıa, debido al termino de la perturbacion de presion. Como se justifica
en [27] (de forma similar a lo expuesto para conveccion en la atmosfera en [13] pero con
una ecuacion de la energıa mas adecuada para simulaciones de estrellas y planetas), incluso
para estados de referencia no adiabaticos conviene eliminar este termino.
2.2. Ondas acusticas y la condicion CFL
En esta seccion se va a mostrar que las ecuaciones (??) permiten ondas sonoras como
soluciones y por que estas suponen un grave inconveniente a la hora de resolver numeri-
camente el sistema discretizado.
2.2.1. Ondas acusticas
Las ondas sonoras corresponden a perturbaciones de presion y densidad muy pequenas,
por lo que el producto de las perturbaciones sera despreciable, es decir, es adecuado li-
nealizar las ecuaciones que describen el campo sonoro. Ademas, como se justifica en [28],
debido a los valores caracterısticos de los tiempos y longitudes de variacion en las ondas
sonoras, su propagacion se puede considerar isentropica, pues los efectos de las fuerzas
de viscosidad, conduccion de calor y disipacion viscosa son despreciables (y, ademas, su
efecto es en todo caso atenuar las ondas en el tiempo). Todo ello hace que el campo sonoro
2.2. Ondas acusticas y la condicion CFL 16
este bien descrito por las ecuaciones de Euler isentropicas, bajo las hipotesis anteriores y
siempre que la velocidad del fluido sea mucho menor que la del sonido:
λ2∂ρ′
∂t+∇ · (ρ0v
′) = 0
ρ0∂v′
∂t+∇p′ = 0
p′ = c20ρ′
(2.12)
donde λ2 en principio es la unidad, el ındice 0 indica las variables en el estado sin perturbar
y las variables con comilla las perturbaciones (p′ � p0, ρ′ � ρ0), el estado sin perturbar se
asume en reposo y uniforme, y se considera la ecuacion de estado isentropica p = p(ρ, S0)
para gas perfecto linealizada:
p′ = p− p0 =∂p
∂ρ
∣∣∣∣S
(p0, ρ0)(ρ− ρ0) =∂p
∂ρ
∣∣∣∣S
(p0, ρ0)ρ′ = γRgT0ρ′
Es facil ver que c0 es efectivamente la velocidad de propagacion de las ondas sonoras.
Como ρ0 no depende del tiempo, tomando la divergencia de la ecuacion de la cantidad de
movimiento y haciendo uso de la conservacion de la masa, se tiene que
−λ2∂ρ′
∂t+∇2p′ = 0. (2.13)
Introduciendo ahora la tercera ecuacion se obtiene la conocida ecuacion de ondas para la
presion
λ2∂2p′
∂t2− c2
0∇2p′ = 0 → λ2
c20
∂2p′
∂t2−∇2p′ = 0 (2.14)
Para la densidad y la velocidad se obtiene la misma ecuacion. Es sabido que las soluciones
de esta ecuacion se propagan con velocidad c0/λ. Ası, por ejemplo, en el caso de que solo
haya dependencia espacial en una coordenada, las soluciones son
p′(x, t) = f(x− (c0/λ)t) + g(x+ (c0/λ)t),
y en el caso esferico, con dependencia solo radial,
p′(r, t) =f(t− r/(c0/λ))
r+g(t+ r/(c0/λ))
r,
donde f , g son funciones arbitrarias (obviamente definidas a partir de la perturbacion
inicial). En [28] se encuentra un estudio mas detallado, en el que puede verse como las
ondas sonoras basicamente transportan la perturbacion inicial por el dominio a la velocidad
c0, disminuyendo su amplitud en el caso esferico debido al aumento de superficie con el
2.2. Ondas acusticas y la condicion CFL 17
radio. Ademas tambien se prueba como la intensidad acustica media de la onda (el flujo
de energıa sonora, p′v′) crece en ambos casos con el cuadrado de la frecuencia de la
perturbacion inicial (emisor).
Figura 2.1: Onda de presion en un fluido, (Imagen tomada de [28]).
En los fenomenos de conveccion natural el tiempo caracterıstico de variacion de las
magnitudes fluidas (presion, densidad, etc.) es mucho menor que el los efectos de las
ondas sonoras. Por ejemplo, si en una zona del fluido comienza a inyectarse calor, hasta
que no pase un tiempo τ caracterıstico de la conveccion, los efectos de variacion de presion y
densidad no seran suficientes para provocar movimiento apreciable del fluido. Sin embargo,
en ese tiempo, podemos imaginarnos el cambio continuo de densidad y presion de forma
discreta, con paso de tiempo ts marcado por la velocidad del sonido (y por tanto ts � τ),
provocando pulsos de ondas acusticas de presion y densidad. Como se dijo anteriormente,
la amplitud de estas ondas depende del cuadrado de la frecuencia de emision, y como
en este caso la causa de las ondas sonoras son las perturbaciones debido a la inyeccion
de calor (en general, al fenomeno que cause la conveccion, de frecuencia muy baja) su
amplitud es muy inferior a las perturbaciones finales de presion y densidad provocadas
por la conveccion. Es por ello que su estudio carece de interes en la gran mayorıa de los
problemas de conveccion libre.
Una forma obvia de eliminar las ondas acusticas es imponer λ = 0, lo que equivale a asu-
mir que la presion se actualiza de forma instantanea, como si la velocidad del sonido fuera
infinita. De esta forma la ecuacion de continuidad pasa de ser una ecuacion de pronostico
(es decir, que predice el valor de la densidad en base a valores pasados de las demas va-
riables) a una ecuacion de diagnostico (permite obtener la densidad conocidas las demas
variables en ese instante). Esta terminologıa es comun en la modelizacion meteorologica y
geofısica.
2.2. Ondas acusticas y la condicion CFL 18
2.2.2. Condicion CFL
Aunque las ondas acusticas afecten poco a las fenomenos de conveccion natural, no
tendrıa sentido despreciarlas si no se fuera claramente ventajoso. En la resolucion numerica
de las ecuaciones en derivadas parciales, se hace necesario discretizar el dominio espacial
y temporal. Una consecuencia evidente es que cuanto mas fina sea la discretizacion mayor
sera la dificultad computacional, pero una discretizacion gruesa implicarıa cometer errores
de aproximacion importantes.
Los metodos usados para la discretizacion temporal suelen clasificarse en explıcitos e
implıcitos, dependiendo de si para actualizar las variables se usa su valor en instantes
anteriores o posteriores. Los segundo dan lugar a sistemas mas complejos, con frecuencia
no lineales, por lo que son claramente mas costosos computacionalmente. Los primeros
en cambio tienen el problema de que no son siempre convergentes. El primer estudio
importante sobre ello aparece en Courant et al. [29]. Su resultado es basico hoy en dıa y se
conoce como condicion CFL, Courant-Friedrich-Lewy, para la convergencia de los metodos
explıcitos. Se trata de una condicion necesaria pero no suficiente.
La forma mas sencilla de obtener una condicion de este tipo es realizar la discretizacion
en diferencias finitas de una ecuacion en derivadas parciales, desarrollar la recurrencia
resultante e imponer que los coeficientes aseguren la convergencia. El resultado para una
ecuacion de adveccion es ∣∣∣∣c∆t∆x
∣∣∣∣ ≤ 1, (2.15)
donde c es la velocidad maxima. La idea fısica subyacente es que si la onda se mueve a
traves del dominio y se quiere hallar su valor en instantes discretos, la duracion de estos
instantes (paso de tiempo) debe ser menor que el tiempo que tarda la onda en viajar entre
dos puntos contiguos del mallado: ∆t ≤ ∆x/|c|. Esta forma de verlo resulta conveniente
para obtener la condicion CFL de forma directa para distintas ecuaciones. Otra forma
equivalente de interpretarlo es que el dominio de dependencia numerica (es decir, los
puntos que afectan al calculo de la variable en el nuevo instante) debe incluir el dominio
fısico de dependencia.
Para ecuaciones mas generales la condicion (2.15) se mantiene si se considera c como la
velocidad maxima del sistema, pudiendo aparecer nuevos factores en ∆t, ∆x. Por ejemplo,
si se tiene un termino difusivo tipo α∇2(·), la velocidad de difusion serıa α/∆x, y la
correspondiente restriccion quedarıa ∆t ≤ (∆x)2/α, ver [30]. Estos terminos son tambien
muy restrictivos, pues dependen de (∆x)2; sin embargo, los terminos difusivos son lineales,
por lo que puede aplicarseles un metodo implıcito. No ocurre lo mismo con los terminos de
adveccion y conveccion, no lineales, que son donde la velocidad del sonido influye. Queda
2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico 19
entonces claro que si se incluyen las ondas sonoras, como c incluirıa la velocidad del sonido,
la restriccion para el paso de tiempo es mucho mas severa.
2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico
En la seccion anterior se mostro que suprimir la parcial respecto al tiempo en la ecuacion
de conservacion de la masa elimina las ondas acusticas, principal interes de la hipotesis
anelastica. El objetivo es por tanto justificar en que condiciones es valido y en que mas
puede afectar a las sistema de ecuaciones.
En primer lugar se va a obtener el modelo anelastico en la forma tıpica de los fenomenos
en atmosferas, siguiendo las ideas de [10], [11], [13] y [15] y, en un segundo paso, siguiendo
los argumentos de [17], se analizaran como quedan las ecuaciones para modelos mas propios
de estrellas y planetas, tal como las usaremos en el proyecto.
2.3.1. El modelo anelastico
Se ha optado por un analisis de los ordenes de magnitud de los distintos terminos de
las ecuaciones, similar a [31], en lugar de los desarrollos en serie, por ser una deduccion
mas propia en ingenierıa y de interpretacion mas sencilla. En los estudios de conveccion en
la atmosfera es comun usar la temperatura potencial θ, que para un volumen de fluido a
presion p se define como la temperatura que adquirirıa si se llevase adiabaticamente hasta
una presion de referencia p0. Para un gas perfecto es
θ = T
(p0
p
) Rcp
. (2.16)
Su importancia radica en que se conserva en los procesos adiabaticos y sirve de medida para
la estabilidad convectiva. Las ecuaciones para la conveccion natural de un gas perfecto,
haciendo uso de la temperatura potencial y despreciando los terminos de disipacion viscosa
son∂ρ
∂t+∇ · (ρv) = 0, (2.17)
∂v
∂t+ (v · ∇)v = −1
ρ∇p+ g + ν
(∇2v +
1
3∇(∇ · v)
), (2.18)
∂θ
∂t+ v · ∇θ =
θQ
ρcpT. (2.19)
p = RgρT (2.20)
2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico 20
En la ultima ecuacion Q incluye el calor generado y el flujo difusivo. Solo sera ası en
este desarrollo, por comodidad. Su obtencion es directa a partir de la Primera Ley de la
Termodinamica para un gas perfecto:
1
ρdQ = de+ pdv = cvdT +RgdT − vdp = cpdT − 1/ρdp
dθ =θ
TdT − RgT
cp
θ
T
1
pdp
=⇒ dθ =θ
ρcpTdQ. (2.21)
Para obtener el modelo anelastico lo primero es separar la variables como suma de una
referencia hidrostatica mas variaciones, como se hizo en (2.3). Se definen ademas las escalas
de altura
Hρ =
(1
ρ
dρ
dz
)−1
, Hp =
(1
p
dp
dz
)−1
,
Hθ =
(1
θ
dθ
dz
)−1
, HT =
(1
T
dT
dz
)−1
.
(2.22)
Expresamos la ecuacion de continuidad (2.17) introduciendo (2.3) y separando la compo-
nente vertical (radial en caso polar), denotando a la parte horizontal del gradiente ∇h:
∂ρ
∂t+ ρ
(1 +
ρ
ρ
)(∇h · vh +
∂vz∂z
)+ vh · ∇hρ+ vz
dρ
dz+ vz
dρ
dz= 0. (2.23)
La primera hipotesis es asumir |ρ|/ρ � 1. Llamando τ al tiempo caracterıstico de interes
y L, H, V , Vz a los valores caracterısticos de longitud y velocidad horizontal y vertical,
comparamos ahora cada termino con ρ∂vz/∂z. Ası,∣∣∣∂ρ∂t ∣∣∣∣∣ρ ∂vz∂z ∣∣ ∼ |ρ|/τ|vz|ρ/H
=|ρ|ρ
H
|vz|τ=g |ρ|/ρ|vz|/τ
H
g τ2∼ H
g τ2, (2.24)
donde en el ultimo paso se ha usado la ecuacion de la cantidad de movimiento. Se tiene
entonces que el termino de la derivada parcial en tiempo puede eliminarse si se cumple
que
τ2 � H
g. (2.25)
Evidentemente para estudiar las ondas sonoras esta condicion no se cumple, pero sı es
bastante acertada para movimientos de conveccion natural.
Con el resto se procede igual forma:∣∣∣vz dρdz ∣∣∣∣∣ρ ∂vz∂z ∣∣ =1
Hρ
vz∂vz∂z
∼ H
Hρ, (2.26)
2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico 21
|vh · ∇hρ|∣∣ρ ∂vz∂z ∣∣ ∼ |V ||ρ|/Lρ |Vz|/H
=|ρ|ρ
V
|Vz|H
L, (2.27)
∣∣∣vz ∂ρ∂z ∣∣∣∣∣ρ ∂vz∂z ∣∣ ∼ ρ
ρ� 1. (2.28)
La condicion (2.27) es equivalente a
V
Vz
H
L≤ 1, (2.29)
que se cumple siempre que la relacion de aspecto L/H sea grande. El termino implicado en
(2.26) no puede despreciarse en el modelo anelastico, pues precisamente pretende ser una
mejora del modelo de Boussinesq para permitir estratificaciones de densidad considerables.
En movimientos de conveccion poco profunda sı se puede considerar H/Hρ � 1, que es
una de las hipotesis adicionales para llegar al sistema de Boussinesq como caso lımite del
anelastico.
Resumiendo todo lo anterior, la ecuacion de continuidad (2.23) para el modelo anelastico
se reduce a
ρ∇h · vh +∂
∂z(ρvz) = 0 =⇒ ∇ · (ρv) = 0, (2.30)
y si ademas se cumple H/Hρ � 1, se obtiene la ecuacion de la masa del sistema de
Boussinesq:
ρ∇h · vh + ρ∂vz∂z
= 0 =⇒ ∇ · v = 0. (2.31)
Procedemos ahora a tratar las ecuacioness (2.18). Notamos primero que para las com-
ponentes horizontales se tiene de forma inmediata lo siguiente
− 1
ρ+ ρ∇h(p+ p ) +∇Φ = − 1
ρ (1 + ρ/ρ )∇hp+∇Φ ∼=
∼= −1
ρ∇hp+∇Φ = −∇h
(p
ρ+ Φ
).
(2.32)
2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico 22
Para la ecuacion en la direccion vertical se ha de tener en cuenta que el estado de referencia
esta en equilibrio hidrostatico (2.4), por lo que
− 1
ρ + ρ
∂
∂z(p+ p )− g +
∂Φ
∂z= − 1
ρ (1 + ρ/ρ )
(∂p
∂z− ρg
)− g +
∂Φ
∂z=
= − 1
ρ (1 + ρ/ρ )
∂p
∂z+
(ρ
ρ + ρ− 1
)g +
∂Φ
∂z∼=
∼=−1
ρ
∂p
∂z− ρ
ρg +
∂Φ
∂z=
= − ∂
∂z
(p
ρ+ Φ
)−(
1
ρ
dρ
dz
)p
ρ− ρ
ρg .
(2.33)
Para seguir simplificando, si usamos la ley de gas perfecto en la definicion de temperatura
potencial, se obtiene que
p = p0
(Rgρθ
p0
)γ. (2.34)
Derivando respecto a z y depejando se llega facilmente a la siguiente relacion entre las
escalas de altura1
Hρ=
1
γ
1
Hp− 1
Hθ. (2.35)
Si ademas se asume que las variaciones respecto al estado de referencia son muy pequenas,
p� p , ρ� ρ , T � T y θ � θ, se puede linealizar la ecuacion (2.34), resultando
1
γ
p
p=ρ
ρ+θ
θ. (2.36)
Sustituimos finalmente las relaciones (2.35) y (2.36) en (2.33), y haciendo uso del equilibrio
hidrostatico queda
−1
ρ+ ρ
∂
∂z(p+ p )− g +
∂Φ
∂z∼= −
∂
∂z
(p
ρ+ Φ
)+p
ρ
(1
θ
dθ
dz− 1
γ
1
p
dp
dz
)+
(θ
θ− 1
γ
p
p
)g =
= − ∂
∂z
(p
ρ+ Φ
)+p
ρ
(1
θ
dθ
dz
)+θ
θg .
(2.37)
Queremos ahora ver que θ/θ ∼= T/T . Para ello, si asumimos que la escala de altura de
temperatura y temperatura potencial son suficientemente mayores que las de presion y
densidad, Hp, Hρ � HT , Hθ, de (2.35) se deduce que γHp∼= Hρ y por tanto (2.36) se
puede escribir como
θ
θ=
p
γp
dp
dz
1dpdz
− ρ
ρ=
p
γHp(−ρg )− ρ
ρ= − p
ρgHρ− ρ
ρ. (2.38)
2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico 23
Derivando logarıtmicamente la ecuacion de gas perfecto se tiene que
1
ρ
dρ
dz=
1
p
dp
dz+
1
T
dT
dz=⇒ 1
Hp=
1
Hρ+
1
HT=⇒ Hp
∼= Hρ, (2.39)
luego (2.38) se reduce a
θ
θ= − p
ρgHp− ρ
ρ=
ppHpHp
− ρ
ρ=p
p− ρ
ρ, (2.40)
que, junto a la ecuacion de estado linealizada,
p
p=T
T+ρ
ρ, (2.41)
proporciona el resultado deseado θ/θ ∼= T/T . De igual forma, derivando respecto a z la
temperatura potencial expresada segun (2.16), y recordando la hipotesis Hp � HT , Hθ, se
obtiene1
θ
dθ
dz=
1
T
dT
dz− R
cpp
dp
dz∼=
1
T
dT
dz(2.42)
Para terminar con la ecuacion de la cantidad de movimiento, se va a estudiar en que casos
puede despreciarse el termino pρ
(1θdθdz
). En la descripcion de ondas gravitorias, propias
de un fluido convectivamente estable, aparece de forma natural la que se conoce como
frecuencia de Brunt-Vaisala, N ,
N2 =g
θ
dθ
dz=
g
Hθ. (2.43)
Haciendo uso de ella comparamos el termino anterior con −∂/∂z(p/ρ ):∣∣∣ pρ (1θdθdz
)∣∣∣∣∣∣ ∂∂z ( pρ )∣∣∣ ∼∣∣∣ pρ ∣∣∣ N2
g∣∣∣ pρ ∣∣∣ 1H
∼ N2H
g∼ H
Hθ. (2.44)
Otra forma de expresar este condicion es∣∣∣ pρ (1θdθdz
)∣∣∣∣∣∣ ∂∂z ( pρ )∣∣∣ ∼N2H
g=
N2
γRgT
RgT
gγH =
N2
c2 RgT
(|Hp|RgT
)γH =
N2
(c/Hp)2)
γH
Hp. (2.45)
Por tanto, se podra despreciar ese termino siempre que la altura de escala de la tempera-
tura potencial sea mucho mayor que la dimensional vertical o, visto de otra forma, debe
cumplirse que, si la altura de escala de la densidad es del orden de la dimension vertical,
2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico 24
la frecuncia de las ondas sonoras con longitud de onda una altura de escala de la densidad
es mucho mayor que la frecuencia de las ondas de gravedad.
La ecuacion correspondiente a la Primera Ley de la Termodinamica bajo la aproximacion
anelastica se obtiene sin mas que tener en cuenta que los valores de las desviaciones se han
supuesto mucho menores que los del estado de referencia. Con ello, el sistema (2.17)-(2.20)
mediante la aproximacion anelastica se simplifica en el siguiente:
∇ · (ρv) = 0, (2.46)
∂v
∂t+ (v · ∇)v = − ∂
∂z
(p
ρ+ Φ
)+p
ρ
(1
T
dT
dz
)+T
Tg + ν
(∇2v +
1
3∇(∇ · v)
), (2.47)
∂θ
∂t+ v · ∇θ + vz
dθ
dz=
θQ
ρcpT, (2.48)
p
p=T
T+ρ
ρ, (2.49)
θ
θ=T
T. (2.50)
Si se elimina el segundo termino del segundo miebro de la ecuacion (2.47), el sistema
es identico al obtenido en ([13]), con la misma conservacion de la energıa establecida en
el artıculo (no ocurre si se mantiene dicho termino). En general siempre se eliminara,
pues como argumenta ([27]) los errores producidos son mayores incluso cuando el analisis
anterior no se cumple.
Las hipotesis realizadas para obtener la aproximacion anelastica se resumen en lo si-
guiente:
1. Todas las variables termodinamicas se desvıan poco del valor de referencia.
2. La velocidad del fluido es mucho menor que la del sonido, ((2.25 y (2.45)).
3. La relacion de aspecto no es demasiado pequena, (2.29).
4. Las alturas de escala de presion y densidad son mucho menores que las de temperatura
y temperatura potencial.
Si ademas la dimension vertical es mucho menor que Hρ y, como se vera luego, el
movimiento esta fuertemente dominado por las fuerzas de flotabilidad,entonces se obtiene
el modelo de Boussinesq.
Un ejemplo donde puede ser inadecuado el modelo anelastico para la conveccion natural
ocurre en las capas finales de la atmosfera de las estrellas, donde la temperatura puede ser
2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico 25
muy pequena, con lo que la velocidad del sonido serıa baja, comparable a la velocidad de
movimiento del fluido. En esos casos habrıa que resolver las ecuaciones completas.
2.3.2. Ecuacion de la energıa
El sistema anelastico en la forma (2.46)-(2.50) usa la temperatura potencial, propia de
modelos atmosfericos, tal como se comenzo a modelar la hipotesis anelastica. Las ecuacio-
nes de continuidad y cantidad de movimiento son no obstante identicas a las mostradas
en la Seccion 2.1.2. En este trabajo para la parte numerica queremos la ecuacion de la
energıa en la variable temperatura, y adaptada para modelos sencillos de estrellas. Vamos
a obtenerla haciendo uso de los resultados de ([32]), en los que mediante un desarrollo en
serie con un parametro que coincide con el numero de Mach local (y por tanto, bajo la
hipotesis anelastica, pequeno), justifican la eliminacion de diversos terminos.
En primer lugar reescribimos (2.46) como sigue
∇ · v = −hρvz, hρ := −H−1ρ = − 1
ρ
dρ
dz(2.51)
Partimos de la ecuacion de la energıa del sistema (??), teniendo en cuenta que para un
gas perfecto la energıa interna es e = cvT , e introducimos la descomposicion (2.3),
cvρ
(1 +
ρ
ρ
)∂T
∂t+ cv(ρ + ρ)v · ∇(T + T ) + cv(p+ p )∇ · v =
=∇ · (k∇T ) +∇ ·(kdT
dzk
)+ Q+ Q
(2.52)
Desarrollamos el primer miembro, eliminando ya los terminos de orden superior1
cvρ∂T
∂t+ cvρv · ∇T + cvρvz
dT
dz+ cvρvz
dT
dz+ p∇ · v + p∇ · v =
cvρ∂T
∂t+ cvρv · ∇T +
(cvρvz
dT
dz− phρvz
)+
(cvρvz
dT
dz− phρvz
) (2.53)
Continuamos con los parentesis, notando previamente que para un gas perfecto en equili-
brio hidrostatico se cumple que
hρp
cvρ= (γ − 1)hρT , (2.54)
1De forma similar a como se justifica en el breve artıculo de Spiegel y Veronis [4] para el caso deBoussinesq, el termino p∇ · v no es en principio despreciable. Si se cumple que H � Hρ, su efecto seincluye cambiando al final cv por cp. En el caso anelastico se hace lo mismo, ademas de incluir el termino−(p + p )hρvz, aunque no queda justificado que alguno de los terminos despreciados fueran considerables.En cualquier caso, para hρ grande domina este ultimo termino.
2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico 26
de forma que(cvρ
dT
dz− phρ
)= cvρ
(dT
dz− (γ − 1)hρT
)= cpρ
[dT
dz−(dT
dz
)∣∣∣∣ad
]. (2.55)
En ambos casos se ha usado la ecuacion de estado de un gas perfecto para la entropıa
S = S0 + cv ln p − cp ln ρ , conjuntamente con la ley de gas perfecto en densidad, presion y
temperatura, ası como la relacion dada por el equilibrio hidrostatico. El segundo parentesis
queda (cvρ
dT
dz− phρ
)= −cvρ
((γ − 1)hρT − γ
[dT
dz−(dT
dz
)∣∣∣∣ad
]ρ
ρ
)∼=
∼= −cvρ (γ − 1)hρT.
(2.56)
Sustituyendo las relaciones (2.55) y (2.56) en (2.53), igualando al segundo miembro de
(2.52), dividiendo por cv y finalmente cambiando cv por cp, resulta la ecuacion de la
energıa (2.7) tal como se mostro en la Seccion 2.1.2.
2.3.3. Reduccion al modelo de Boussinesq
La aproximacion anelastica es una mejora de la de Boussinesq para permitir estratifi-
cacion en la densidad. Cabe esperar por tanto que si se elige un estado de referencia sin
estratificacion, es decir, con ρ = ρ0 = cte, con lo que Hρ →∞, las ecuaciones anelasticas
se reduzcan a las de Boussinesq.
Por comodidad no incluimos las perturbaciones del potencial gravitatorio en el desarrollo
siguiente. Expresamos el sistema de Boussinesq (2.1) (en el que las variables denotaban
su valor total) introduciendo la descomposicion (2.3):
∇ · v = 0, (2.57)
∂v
∂t+ (v · ∇)v =
1
ρ0∇p+ g βT k + ν∇2v, (2.58)
∂T
∂t+ (v · ∇)T + vz
dT
dz=
k
cpρ0∇2T +
Q
cpρ0+
k
cpρ0∇2T +
Q
ρ0cp. (2.59)
El coeficiente de dilatacion es
β =1
T + T∼=
1
T, (2.60)
aunque en el caso de Boussinesq se toma a menudo un valor constante por simplicidad.
2.4. Resolucion del modelo 27
Comenzamos con la ecuacion de continuidad (2.5) y de la cantidad de movimiento (2.6)
del sistema anelastico. Como siempre, se suprime el termino con asterisco. Si se impone
densidad del estado de referencia constante, y con ello hρ = 0, se obtienen de forma
directa las correspondientes ecuaciones de Boussinesq. Para la ecuacion de la energıa hay
que hacer algunos cambios. En efecto, la ecuacion (2.7) quedarıa
∂T
∂t+ v · ∇T = −γ
(dT
dz+g
cp
)vz +
1
ρ0cp∇ · (k∇T ) +
Q
ρ0cp+
k
cpρ0∇2T +
Q
ρ0cp. (2.61)
El primer termino del segundo miembro se desarrolla usando la ecuacion de equilibrio
hidrostatico para eliminar la gravedad y la ecuacion de gas perfecto con densidad constate:
−γ dTdz
+γ
ρ0cp
dp
dz= −γ dT
dz+γ
ρ0
γ − 1
γρ0dT
dz= −dT
dz, (2.62)
luego la ecuacion de la energıa, asumiendo k constate, se ha reducido a la de Boussinesq.
Debe notarse que, si bien la ecuacion de continuidad y de la cantidad de movimiento
de la aproximacion anelastica siempre se reducen a las de Boussinesq al imponer densidad
constante, no ocurre lo mismo con la ecuacion de la energıa, pues como se comento en la
seccion anterior, el argumento dado en [4] para incluir el termino de trabajo de expansion
cambiando cv por cp no esta del todo justificado para el modelo anelastico y, como para
hρ no pequeno (que es cuando tiene sentido la aproximacion anelastica), el termino −(p+
p )hρvz domina en el trabajo de expansion, en muchas ocasiones se deja cv.
2.4. Resolucion del modelo
El sistema anelastico (2.5)-(2.8) es un sistema de n+3 ecuaciones, siendo n = 2 la dimen-
sion espacial para problemas bidimensionales, con n+ 3 incognitas (v, ρ, p, T ), supuestos
conocidos el calor generado y el estado de referencia. Si se considera la perturbacion del
potencial gravitatorio, Φ, se tendrıa una incognita adicional, calculable mediante la ecua-
cion (2.9). Queremos reducir al maximo el numero de ecuaciones a resolver numericamente
para conocer el campo de velocidades y temperaturas. Necesitamos tambien obtener un
estado de referencia que cumpla el equilibrio hidrostatico.
Dado que se van a resolver problemas de conveccion natural en geometrıa rectangular y
polar, senalamos por separado como queda el sistema final en cada caso. Ademas, el proceso
de adimensionalizacion, conveniente para reducir el numero de parametros, se hara para
cada problema en los capıtulos correspondientes, pues varıa segun haya generacion o no.
Las condiciones de contorno tambien se indicaran en cada caso concreto.
2.4. Resolucion del modelo 28
2.4.1. Ecuacion de la vorticidad
Las dos ideas fundamentales son aprovechar que el flujo masico tiene divergencia nula y
tomar el rotacional de las ecuaciones de la cantidad de movimiento para hacer desaparecer
el termino de la presion reducida.
Geometrıa rectangular
El uso de geometrıa rectangular es comun para los fenomenos atmosfericos locales, donde
el efecto de la curvatura es despreciable, y por supuesto para experimentos de labotorio,
como los llevados a cabo para estudiar la conveccion de Rayleigh-Benard.
El tratamiento de las ecuaciones es muy similar al realizado por B. Saltzman en 1962 para
las ecuaciones de Boussinesq. Como el movimiento es bidimensional y se tiene un campo
solenoidal (en el caso anelastico es el flujo masico en lugar de la velocidad), conviene definir
una funcion de corriente de tal manera que la ecuacion (2.5) se satisfaga automaticamente
ρv = ∇× ϕ j =⇒
∣∣∣∣∣∣∣∣vx = − 1
ρ
∂ϕ
∂z,
vz =1
ρ
∂ϕ
∂x,
(2.63)
El siguiente paso es tomar el rotacional de las ecuaciones de la cantidad de movimiento
(2.6), que dado que el problema es bidimensional resulta en una sola ecuacion. Se usara que
el rotacional de un gradiente y la divergencia de un rotacional se anulan, rotacional y
laplaciano se intercambian, y las relaciones
(f · ∇)f = ∇(
1
2|f |2)− f × (∇× f), (2.64)
∇× (f × g) = (∇ · g)f + (g · ∇)f − (∇ · f)g − (f · ∇)g. (2.65)
Ademas se introduce la variable vorticidad ω = ∇×v = ω j, que para el caso bidimensional
es ortogonal al gradiente de la velocidad, y su magnitud es
ω = − 1
ρ
(∇2ϕ− hρ
∂ϕ
∂z
). (2.66)
Entonces, se obtiene la siguiente ecuacion para la vorticidad
∂ω
∂t= −v ·∇ω+hρωvz−
g
T
∂T
∂x+
1
T ρ
dT
dz
∂p
∂x︸ ︷︷ ︸∗
+µ
ρ∇2ω+µ
d
dz
(1
ρ
)(∂ω
∂z− 4hρ
3ρ
∂2ϕ
∂x2
).
(2.67)
2.4. Resolucion del modelo 29
Notemos que con esta transformacion las unicas incognitas que aparecen son ϕ, T y p.
El termino marcado con asterisco se puede obtener de la componente horizontal de las
ecuaciones de la cantidad de movimiento:
1
ρ
∂p
∂x= −∂vx
∂t− [(v · ∇)v]x +
µ
ρ
(∇2vx −
hρ3
∂vz∂x
), (2.68)
aunque lo suprimimos en lo que sigue pues impide la conservacion de la energıa distorsio-
nando mas los resultados, como se recomienda en [18]. Esto hace ademas que sea innece-
sario calcular las perturbaciones del campo gravitatorio para la obtencion de la velocidad
y la temperatura.
Una ultima modificacion adecuada para esta ecuacion consiste en unir los dos primeros
terminos del segundo miembro para expresarlos en forma conservativa:
−v · ∇ω + hρωvz = −v · ∇ω − ω∇ · v = −∇ · (ωv), (2.69)
pues es mas preciso para la resolucion numerica, ver [30].
La ecuacion de la energıa (2.7) no requiere ninguna modificacion, aunque tambien con-
viene agrupar los dos primeros terminos del segundo miembro en forma conservativa:
−v · ∇T + (γ − 1)hρvzT = −∇ · (Tv) + (γ − 2)hρTvz. (2.70)
Resumiendo, con las transformaciones indicadas, se puede obtener la funcion de corriente
(y por tanto el campo de velocidades) y la temperatura con solo dos ecuaciones. Es decir,
el sistema final a resolver, con unicas incognitas ϕ y T , es:
∂T
∂t= −∇ · (Tv) + (γ − 2)hρTvz − γ
[dT
dz−(dT
dz
)ad
]vz+
+1
ρcp∇ · (k∇T ) +
Q
ρcp+
1
cpρ∇ ·(kT
dzk
)+
Q
ρcp
(2.71)
∂ω
∂t= −∇ · (ωv)− g
T
∂T
∂x+µ
ρ∇2ω + µ
d
dz
(1
ρ
)(∂ω
∂z− 4hρ
3ρ
∂2ϕ
∂x2
). (2.72)
Geometrıa circular
El uso de coordenadas polares es adecuado para problemas con geometrıa cilındrica con
dimension axial suficientemente grande para poder considerlo como problema bidimensio-
nal. Tambien se suele usar en el estudio de la conveccion natural en estrellas y planetas,
2.4. Resolucion del modelo 30
reduciendo la complejidad de la geometrıa esferica (pueden considerarse las ecuaciones
como un promedio en la coordenada restante).
Repitiendo el proceso anterior, para coordenadas polares se tiene
ρv = ∇× ϕk =⇒
∣∣∣∣∣∣∣∣vr =
1
r
1
ρ
∂ϕ
∂θ,
vθ = − 1
ρ
∂ϕ
∂r,
(2.73)
y la vorticidad resulta ser
ω = − 1
ρ
(∇2ϕ− hρ
∂ϕ
∂r
). (2.74)
Recordamos la expresion de los principales operadores en coordenadas polares:
∇f =∂f
∂rur+
1
r
∂f
∂θuθ, ∇·f =
∂fr∂r
+frr
+1
r
∂fθ∂θ
, ∇2f =1
r
∂f
∂r+∂2f
∂r2+
1
r2
∂2f
∂θ2, (2.75)
siendo ur, uθ los vectores de la base polar. Con esta notacion la ecuacion de la vorticidad
queda casi identica al caso rectangular:
∂ω
∂t= −∇ · (ωv)−
g
rT
∂T
∂θ+
1
rρT
dT
dr
∂p
∂θ︸ ︷︷ ︸∗
+µ
ρ∇2ω + µ
d
dr
(1
ρ
)(∂ω
∂r− 4hρ
3r2ρ
∂2ϕ
∂θ2
),
(2.76)
donde nuevamente el termino con asterisco conviene suprimirlo. La ecuacion para la tem-
peratura mantiene su expresion, siendo el sistema final el siguiente:
∂T
∂t= −∇ · (Tv) + (γ − 2)hρTvr − γ
[dT
dr−(dT
dr
)ad
]vr+
+1
ρcp∇ · (k∇T ) +
Q
ρcp+
1
cpρ∇ ·(kT
dzk
)+
Q
ρcp
(2.77)
∂ω
∂t= −∇ · (ωv)− g
rT
∂T
∂θ+µ
ρ∇2ω + µ
d
dr
(1
ρ
)(∂ω
∂r− 4hρ
3r2ρ
∂2ϕ
∂θ2
). (2.78)
2.4.2. Estado de referencia: politropos
Un punto clave para el exito de las simulaciones con la aproximacion anelastica es elegir
bien el estado de referencia. En efecto, una de las hipotesis fundamentales es asumir que
las variaciones de las variables termodinamicas respecto a ese estado son muy pequenas
comparativamente. Ademas, el estado de referencia debe estar en equilibrio hidrostatico,
pero no necesariamente ser adiabatico.
2.4. Resolucion del modelo 31
Una buena eleccion la constituyen los politropos (ver [33]), esto es, estados que cumplen
el equilibrio hidrostatico y en los que la presion y densidad estan relacionadas como sigue
p = po
(ρ
ρ0
)(n+1)/n
, (2.79)
donde n se denomina ındice politropico. Resulta que los perfiles del interior de planetas
y estrellas se ajustan bastante bien a este tipo de relaciones. Ası, por ejemplo, el nucleo
del Sol responde a un politropo con n = 3, mientras que las capas mas convectivas suelen
modelarse bien con uno de n = 1.5. El caso n = 0 corresponde a densidad constante.
Figura 2.2: Perfiles de densidad y temperatura en el nucleo del Sol.2
Geometrıa rectangular
Consideramos un recinto rectangular de altura H y longitud L, con temperatura en la
superficie inferior mayor que en la superior (conveccion de Rayleigh-Benard).
La relacion politropica suele expresarse como sigue
p (z) = p0Θn+1(z), ρ (z) = ρ0Θn(z), (2.80)
donde el subındice cero indica el valor de las variables en el estado de referencia en la su-
perficie inferior z = 0 y Θ es el politropo adimensional. Sustituyendo (2.80) en la ecuacion
de equilibrio hidrostatico con la condicion Θ(0) = 1, se deduce la expresion del politropo
adimensional
Θ(z) = 1− z g0ρ0
(n+ 1)p0= 1− z g0
(n+ 1)RgT0= 1− z
Z, (2.81)
2Se han extraıdo los datos del Sol del libro de M. Schwarzschild Structure and evolution of the stars.Los politropos se han calculado usando Matlab (ver Cap. 5).
2.4. Resolucion del modelo 32
Z =(n+ 1)RgT0
g0, (2.82)
donde se ha asumido la ecuacion de estado de gas perfecto. En ese caso, la temperatura es
T =p
Rgρ= T0Θ(z), (2.83)
luego, dado que 0 < TH = T (H) < T0, se tiene que
TH = T0 −g0H
(n+ 1)Rg=⇒ (n+ 1) =
g0H
(T0 − TH)Rg=⇒ Z =
T0
T0 − THH < H, (2.84)
por lo que la densidad y presion estan bien definidas. Se observa que el perfil de tempera-
turas es siempre lineal.
Debe notarse que para el caso considerado se podrıa haber obtenido el estado de refe-
rencia sin mas que integrar la ecuacion de equilibrio hidrostatico con la ley de gas perfecto
tras hallar la distribucion de temperaturas del estado de referencia tal que cumpla las
condiciones de contorno (es decir, imponer v = 0 y anular las parciales respecto al tiempo
en las ecuaciones de la cantidad de movimiento y energıa e integrar). No obstante, para
simulaciones de la atmosfera es mas natural fijar el ındice politropico y la temperatura
inferior (con lo que la superior queda determinada), pues dan mas informacion sobre el
nivel de estratificacion. En efecto,
hρ =d ln(Θn)
dz= − n
Z − z, (2.85)
y el numero de escalas de altura para la densidad desde la superficie inferior a la superior
es
Nρ = −∫ H
0hρdz = n ln
(Z
Z −H
), (2.86)
por lo que la relacion entre la densidad en z = 0 y z = H es
ρ (0)
ρ (H)=
(Z
Z −H
)n= eNρ . (2.87)
En cualquier caso vamos a ver que es util conocer cual es el ındice politropico del estado
de referencia. Necesitamos calcular para nuestras ecuaciones el gradiente vertical de la
temperatura de referencia:dT
dz= −T0
Z. (2.88)
Esto permite comprobar si el estado de referencia es adiabatico, subadiabatico o super-
adiabatico, con una simple relacion. Sera adiabatico (subadiabatico, superadiabatico) si
2.4. Resolucion del modelo 33
T0/Z = g0/cp (<,>), es decir, si se cumple que
n =1
γ − 1(>,<), (2.89)
o expresado como relacion entre la temperatura inferior y superior
TH = T0 −g0H
cp(<,>). (2.90)
En el apartado de resultados se comprueba como el numero de Rayleigh crıtico para que
comience el movimiento convectivo depende del estado de referencia; en particular, cuanto
mas superadiabatico menor sera el Rayleigh crıtico.
Geometrıa circular
Para el caso de un anillo o cırculo, de radio maximo R, en la expresion del equilibrio
hidrostatico hay que tener en cuenta que la gravedad no es por lo general constante (por
ejemplo para estrellas y planetas), sino que, asumiendo simetrıa esferica, su valor en el
estado de referencia viene dada por
g (r) =4πG
r2
∫ r
0ρr2dr. (2.91)
Si introducimos (2.91) en la ecuacion de equilibrio hidrostatico dp/dz = −g ρ , multiplica-
mos por r2/ρ y derivamos luego respecto a r, el equilibrio hidrostatico queda como
1
r2
d
dr
(r2
ρ
dp
dr
)= −4πGρ. (2.92)
De nuevo usamos una relacion politropica como (2.79), donde ahora el ındice cero indica
el valor de las variables en el origen, r = 0. Sustituyendo la relacion politropica en (2.92)
se obtiene la ecuacion politropica para la densidad del estado de referencia:
(n+ 1)p0
4πGnr2
1
ρ(n+1)/n0
d
dr
(r2
ρ (n−1)/n
dρ
dr
)= −ρ , (2.93)
que se complementa con dos condiciones de contorno: ρ (0) = ρ0, dρ/dr(0) = 0 (por
simetrıa).
La ecuacion anterior se puede adimensionalizar si se realiza el cambio dado por (2.80),
definiendo ademas un radio adimensional
ξ =r
δ, δ =
((n+ 1)p0
4πGρ20
)1/2
, (2.94)
2.4. Resolucion del modelo 34
con lo que se obtiene la denominada ecuacion de Lane-Emden:
d
dξ
(ξ2dΘ
dξ
)= −Θnξ2, (2.95)
y las condiciones de contorno quedan como Θ(0) = 1, dΘ/dξ(0) = 0. La temperatura
esta dada por (2.83), ası que si fijamos la relacion entre la temperatura en la superficie TR
y la temperatura en el origen T0, el radio maximo ξmax = R/δ debe elegirse como aquel
que haga Θ(ξmax) = TR/T0. Vemos de nuevo que, fijados el radio exterior y las variables
en el origen, una vez elegido el ındice politropico queda definida la temperatura en la
superficie, y viceversa.
A diferencia del caso rectangular, la ecuacion de Lane-Emden solo tiene soluciones
analıticas para n = 0, 1, 5. Por tanto, en general debe resolverse numericamente. Pa-
ra ello conviene transformarla en un sistema de ecuaciones de primer orden. Definimos
u = dΘ/dξ, con lo que
1
ξ2
d
dξ(ξ2u) = −Θn =⇒ 1
ξ2
(2ξu+ ξ2du
dξ
)= −Θn, (2.96)
y se obtiene el siguiente sistema de primer orden
dΘ
dξ= u, (2.97)
du
dξ= −Θn − 2u
ξ, (2.98)
con condiciones de contorno u(0) = 0, Θ(0) = 1. Este sistema es un sistema de ecuaciones
diferenciales de primer orden, que puede integrarse sin problemas con cualquier esque-
ma tıpico, por ejemplo el Runge-Kutta clasico. Una observacion importante es que las
condiciones iniciales deben modificarse ligeramente para iniciar la integracion. Para ello
usaremos la solucion correspondiente a n = 0, Θ(ξ) = 1− ξ2/6, con ξ ≈ 0. Los politropos
de la imagen (2.2) y (2.3) se han resuelto de esta forma usando Matlab. Se observa que la
estratificacion es mayor al aumentar el ındice politropico.
2.4. Resolucion del modelo 35
Figura 2.3: Perfiles de densidad y temperatura politropicos.
En resumen, para el calculo del estado de referencia en polares el procedimiento es:
escoger un ındice politropico (con lo que queda determinada la temperatura en la superficie
supuestos fijos el radio exterior y las variables en el origen) y resolver numericamente la
ecuacion de Lane-Emden. Por ultimo mostramos como quedan los demas terminos que
aparecen en las ecuaciones:
g (r) =4πG
r2
∫ r
0ρr2dr =
4πGρ0δ3
r2
∫ ξ
0Θnξ2dξ = −4πGρ0δ
dΘ
dξ, (2.99)
dT
dr=T0
δ
dΘ
dξ, (2.100)
hρ =n
δΘ
dΘ
dξ, (2.101)
Nρ = −∫ R
rmin
hρdr = n ln
(Θ(rmin)
Θ(R)
), ρ (rmin) = ρ (R)eNρ . (2.102)
dS
dr=cp
T
[dT
dr+g
cp
]=cp(n(γ − 1)− 1)
δγ
(−d ln Θ
dξ
). (2.103)
El resultado (2.103) muestra que se cumple la misma condicion que en el caso rectangular
para saber si el estado de referencia es subadiabatico o superadiabatico (n >< 1/(γ− 1)),
pues la derivada del politropo adimensional solo se anula en para ξ = 0.
Corona convectiva:
En el caso de querer estudiar la conveccion en la corona de una estrella o planeta tal
que la masa de la corona represente una porcion pequena respecto de la masa total, se
2.4. Resolucion del modelo 36
puede realizar una aproximacion para obtener una expresion analıtica del politropo. Es la
que usaremos para las simulaciones de coronas delgadas.
Figura 2.4: Politropos aproximados.
Sea una corona de radio interior rmin y radio exterior R. Denotando M0 a la masa
contenida hasta el radio interior, la gravedad en la corona puede aproximarse por
g (r) =GM0
r2. (2.104)
Entonces de la ecuacion de equilibrio hidrostatico, tras introducir la presion y densidad en
funcion del politropo adimensional y denotando ρmin = ρ (rmin) = ρ0Θn(rmin), se obtiene
la funcion politropica
Θ(r) =
(ρminρ0
)1/n
− GM0ρ0
(n+ 1)p0
(1
rmin− 1
r
), r ≥ rmin. (2.105)
2.4. Resolucion del modelo 37
Para expresar todo en funcion de los valores en el radio interior, se hace el cambio
Θ(r) =Θ(r)
Θ(rmin)= 1− GM0ρrmin
(n+ 1)prmin
(1
rmin− 1
r
), r ≥ rmin. (2.106)
Si queremos expresarlo en funcion de la temperatura exterior, TR, se tiene que
n =GM0
R(Trmin − TR)
(1
rmin− 1
R
)− 1, (2.107)
Θ(r) = 1−(
1
rmin− 1
R
)−1( 1
rmin− 1
r
)Trmin − TRTrmin
. (2.108)
Con ello todos los terminos de interes quedan
ρ (r) = ρrminΘn(r), (2.109)
p (r) = prminΘn+1(r), (2.110)
T (r) = TrminΘ(r), (2.111)
Nρ = −n ln Θ(R), (2.112)
hρ(r) =n
Θ
dΘ
dr. (2.113)
Capıtulo 3
Esquema numerico: metodos
espectrales
En este capıtulo se explican los metodos numericos usados para la resolucion numerica
de las ecuaciones en derivadas parciales presentadas en el capıtulo anterior. Se presentan
dos metodos espectrales: metodo de colocacion mediante interpolacion de Lagrange con
nodos de Chebyshev y metodo de Fourier. Tras su descripcion y una breve comparacion
con el metodo de diferencias finitas, se aplican en algunas ecuaciones clasicas como la
ecuacion de Poisson. Finalmente se desarrolla el metodo escogido para la discretizacion en
tiempo y se muestra la resolucion de un primer problema de conveccion natural.
3.1. Introduccion: resolucion numerica de EDPs
Los metodos de resolucion de ecuaciones en derivadas parciales se pueden clasificar en
tres grandes bloques: diferencias finitas, elementos finitos y metodos espectrales. Los dos
primeros toman bases locales para construir los espacios de funciones sobre los que se
obtiene la solucion aproximada, por lo que son mas adecuados para geometrıas complejas.
Los metodos espectrales en cambio utilizan desarrollos en serie truncados con tantos termi-
nos como puntos tenga el mallado. Para geometrıas simples son mucho mas precisos para
un mismo nivel de discretizacion. Por esto motivo su uso esta generalizado para estudiar
los fenomenos de conveccion natural en atmosferas, estrellas y planetas.
38
3.2. Metodo de colocacion con interpolantes de Lagrange y nodos de Chebyshev 39
3.2. Metodo de colocacion con interpolantes de Lagrange y
nodos de Chebyshev
Se va a explicar el metodo para ecuaciones con una variable y luego se generalizara.
Para resolver numericamente una ecuacion en derivadas parciales lo primero es elegir un
espacio de funciones discreto, sobre el que se obtendran las soluciones aproximadas. En el
caso de una ecuacion diferencial en una variable independiente x con dominio un intervalo
[a, b], el espacio de funciones para el metodo de colocacion con interpolantes de Lagrange lo
constituyen los polinomios de grado N −1, siendo N el numero de puntos en los que se ha
dividido el dominio: a = x1 < x2 < · · · < xN−1 < xN = b. Si suponemos que la solucion
exacta en los puntos del mallado, xi, vale fi, la solucion aproximada, que denotaremos
p = p(x), sera el unico polinomio de grado N − 1 que cumple p(xi) = fi, ∀i = 1, ..., N .
Expresado en la forma de Lagrange queda
p(x) =N∑i=1
Li(x)fi, Li(x) =N∏
j=1,j 6=i
x− xjxi − xj
, i = 1, ..., N, (3.1)
donde se cumple Li(xj) = δij ∀i, j = 1, ..., N , siendo δij la delta de Kronecker.
La idea base del metodo de colocacion es imponer que el polinomio con coeficientes
incognitas fi cumpla la ecuacion diferencial de forma exacta en los N nodos, llamados
nodos de colocacion, lo que da lugar a un sistema algebraico de N ecuaciones con N
incognitas. La eleccion de polinomios no es fundamental. De hecho ,existen otros metodos
de colocacion en los que las funciones base no son polinomios.
Al imponer el cumplimiento de la ecuacion por parte del polinomio p(x) apareceran sus
derivadas. Se necesita calcular pues las derivadas del polinomio p(x) en los nodos, es decir,
p′(xi):
p′(x) =N∑i=1
L′i(x)fi =⇒ L′i(x) =1∏Nj=1j 6=i
N∑j=1j 6=i
N∏k=1k 6=ik 6=j
(x− xk) =⇒ (3.2)
L′i(xi) =
N∑j=1j 6=i
1
xi − xj, L′i(xj) =
1∏Nk=1k 6=i
(xi − xk)
N∏k=1k 6=ik 6=j
(xj − xk) , (3.3)
con lo que el valor de la derivada (aproximada) en los nodos es
f ′i ≡ p′(xi) =
N∑j=1
L′j(xi)fj , ∀i = 1, ..., N. (3.4)
3.2. Metodo de colocacion con interpolantes de Lagrange y nodos de Chebyshev 40
La derivada de la solucion exacta no se aproxima con la derivada del polinomio que apro-
xima la solucion, sino que de nuevo, con los valores anteriores, se ajusta a un polinomio
de grado N − 1, es decir, la derivada de la solucion exacta se aproxima por
q(x) =N∑i=1
Li(x)f ′i . (3.5)
La derivada segunda se aproximarıa entonces en los nodos por
f ′′i ≡ q′(xi) =N∑j=1
L′j(xi)f′j =
N∑j=1
(N∑k=1
L′k(xj)fk
)L′j(xi), ∀i = 1, ..., N. (3.6)
Es habitual expresar lo anterior en forma matricial. Si se definen los vectores
f =
f1
f2
...
fN
, f ′ =
f ′1f ′2...
f ′N
, f ′′ =
f ′′1f ′′2...
f ′′N
(3.7)
la relacion (3.4) se escribe en forma matricial como
f ′ = Lxf , (3.8)
siendo Lx la matriz
Lx =
L′1(x1) L′2(x1) · · · L′N (x1)
L′1(x2) L′2(x2) · · · L′N (x2)...
.... . .
...
L′1(xN ) L′2(xN ) · · · L′N (xN )
, (3.9)
y de igual forma para la segunda derivada queda
f ′′ = Lxf′ = Lx2f . (3.10)
Este hecho resulta muy comodo dado que solo habra que calcular la matriz de derivada
primera, algo que no ocurre en otros metodos.
Para finalizar el metodo hay que escoger los nodos de colocacion. Es conocido que la
eleccion optima de los nodos para la interpolacion son los denominados nodos de Chebys-
hev, que se concentran cerca de los bordes del dominio, con lo que se consigue capturar
mejor las oscilaciones propias de las derivadas de los polinomios de alto grado.
3.3. Metodo espectral de Fourier 41
La construccion de la matriz Lx en Matlab se puede hacer directamente a partir de las
expresiones (3.3) usando bucles, como en [35]. Sin embargo esto no es viable para valores
de N > 50 debido al gran anidamiento de bucles que se produce. En [36] se encuentra una
forma mucha mas compacta y eficiente de obtenerla y su codigo es el que usaremos.
3.3. Metodo espectral de Fourier
Uno de los problemas centrales de este proyecto es el estudio de la conveccion natural en
geometrıa cilındrica. Al usar coordenadas polares, aparecen de forma natural condiciones
de contorno de periodicidad. Logicamente la aproximacion de las soluciones por polinomios
no es una buena opcion. Como se comento, en los metodos espectrales la solucion exacta
se aproxima por una funcion en un espacio de dimension finita. Las funciones base de este
espacio pueden ser muy variadas. En particular, la base trigonometrica de Fourier goza de
buenas propiedades y es periodica en su naturaleza, [?], [?].
Consideramos un problema en una variable θ ∈ [0, 2π]. La idea es similar al metodo
anterior pero cambiando el polinomio de Lagrange por una serie truncada de Fourier. Sea
f la solucion exacta, periodica de periodo 2π (solo nos interesa desarrollar el metodo para
problemas en coordenadas polares), con valores fn en los nodos 0 = θ0 < · · · < θn <
· · · < θN−1 = 2π, donde N debe ser par para el desarrollo que sigue (se ha cambiado el
ındice para no confundirlo con la unidad imaginaria). Usando notacion compleja, queremos
aproximar f por la serie de Fourier truncada p(θ) que cumple p(θn) = fn ∀n = 0, ..., N−1.
Es decir, la solucion aproximada tiene la forma
p(θ) =1
N
N−1∑n=0
βnenθi, (3.11)
y queremos que cumpla p(θn) = fn ∀n = 0, ..., N − 1. Necesitamos expresar βn en funcion
de fn para proceder como en el metodo de colocacion de Lagrange y calcular las derivadas.
Imponemos las condiciones de interpolacion:
p(θk) = fk ⇐⇒1
N
N−1∑n=0
βnenθki =
1
N
N−1∑n=0
βnen 2πni =
1
N
N−1∑n=0
βnwnkN = fk, ∀k = 0, ..., N − 1.
(3.12)
donde wN = e2πiN es la raız N -esima de la unidad. Matricialmente queda:
f =1
NFNβ, (3.13)
3.3. Metodo espectral de Fourier 42
donde FNnk =[wnkN
]es la denominada matriz de Fourier. Esta matriz tiene inversa dada
por 1NFN . Luego
β = FN f , (3.14)
y se denomina transformada discreta de Fourir β = DFT (f). En Matlab el comando fft
realiza esta operacion usando el metodo de la transformada rapida de fourier, y el comando
dftmtx construye la matriz FN .
Tenemos entonces que la solucion aproximada es
p(θ) =1
N(FN f) ·
[enθi
]n, (3.15)
donde · es el producto escalar entre vectores y[enθi
]n
el vector con n = 0, ..., N − 1. El
valor de la derivada en los nodos queda
f ′k ≡ p′(θk) =1
N(FN f) · [nienθki]n =
1
N(diag([ni]n)FN f) · [eθk ] =
=1
NFNdiag([ni]n)FN f = Lθf .
(3.16)
Destecar que en este caso se pueden usar las transformadas rapidas para agilizar muchos
calculos. En Matlab hemos comparado su uso y solo interesa para valores de Nr, Nθ supe-
rior a 100. Aunque no se ha indiciado, puede ver en los codigos de Matlab de los capıtulos
4 y 5 que el producto de las matrices Dr, Dθ por un vector nunca se realiza tal cual. Ni
siquiera usando las opciones sparse de Matlab. Como tienen una estructura especial, debe
aprovecharse para minimizar los calculos. En el programa que a continuacion se presenta
no se ha hecho ası por simplicidad, pero para el problema en un cırculo completo con
generacion de calor el tiempo que requiere cada simulacion aumenta considerablemente.
Senalar por ultimo que en este caso no es cierto que la matriz de segunda derivada sea
el cuadrado de la primera. Habrıa que construirla cambiando [ni]n por([ni]n)2. En Matlab
hay que tener cuidado porque el orden de numeracion de los nodos es distinto. Se incluye
como ejemplo el codigo para calcular la matriz de derivada cuarta:
1 Mfft=dftmtx(Nth);
2 Mifft =1/Nth*conj(Mfft);
3 I=1i;
4 IK4=(I*diag ([0: Nth/2-1 Nth/2 -Nth /2+1: -1])).^4;
5 Fth4 = real(Mifft*(IK4*Mfft));
3.3. Metodo espectral de Fourier 43
3.3.1. Coordenadas polares
En dos dimensiones los metodos anteriores se aplican de forma muy sencilla. Realmente
se aplica en cada direccion un metodo unidimensional y se aplica el producto tensorial. De
esta forma construidas las matrices Lx, Lθ, etc., el producto tensorial o de Kronecker nos
da la matriz de derivacion correspondiente para el mallado de dos dimensiones, con tantas
filas y columnas como puntos del mallado. En problemas bidimensionales con coordenadas
polares se aplicara el metodo de colocacion con nodos de Chebyshev en la direccion radial
y el de Fourier en la angular.
3.3.2. La ecuacion de Poisson
Se va a resolver un problema basico en coordendas polares, mostrando los codigos de
Matlab y los resultados. La ecuacion correspondiente es:
∂2f
∂r2+
1
r
∂f
∂r+
1
r2
∂2f
∂θ2= 0, (3.17)
con dominio (r, θ)) ∈ [0, R] × [0, 2π], y condiciones de contorno f(R, θ) = cos(θ) ademas
de la periodicidad de f . La discretizacion de la ecuacion introduciendo las matrices de
derivacion Lr correspondiente al metodo de colocacion por Chebyshev para la direccion
radial y Lθ por el metodo de Fourier para la angular, queda:
r2L2 = (r2L2r + rLr)⊗ Iθ, L2
θ = Ir ⊗ L2θ, (3.18)
donde Ir,Iθ son el tensor (matriz)unidad de dimensiones adecuadas y r un vector con
los nodos de la discretizacion radial. Se observa como cada dimension se trata realmente
por separado. Notese que se ha multiplicado la ecuacion por r2. Esto permite evitar la
singularidad en el origen. No obstante, debe indicarse que no es un buen metodo, pues
para ecuaciones mas complejas, con derivadas de mayor orden, provoca matrices muy mal
condicionadas. Si notamos que la singularidad en el origen no es propia, en el sentido de
que no existe fısicamente sino solo debido a las coordenadas polares, basta con no tomar
el origen como punto de colocacion. Esto es posible siempre que no se tengan condiciones
de contorno en el origen. Como ejemplo considerese el laplaciano de la funcion f(r) = r2.
Es claro que su laplaciano es constante, perfectamente definido en el origen, pese a que su
expresion no estarıa definida.
En definitiva, la resolucion de la ecuacion parsarıa por invertir la matriz
M = (r2L2r + rLr)⊗ Iθ + Ir ⊗ L2
θ. (3.19)
3.3. Metodo espectral de Fourier 44
Antes de invertirla hay que imponer las condiciones de contorno (si no se tiene una matriz
singular). Simplemente hay que eliminar las filas correspondientes a los nodos en los que
haya condiciones de contorno y sustituirlas por la correspondiente ecuacion.
El codigo de Matlab correspondiente es el siguiente:
1 %---- ECUACION DE POISSON ---- %
2
3
4 % Problema de Dirichlet en un circulo.
5 % Metodo de colocacion con nodos de
6 % Chebyshev en r, espectral en theta.
7
8 % u_rr(r,th) + 1/r*u_r(r,th) + 1/r^2* u_thth = 0 , r en [0,R], th en
[0,2*pi]
9 %
10 % u(R,th)=cos(th), u periodica
11
12 clear all
13 close all
14 clc
15
16 % Mallado
17
18 Nr=50;
19 Rmax =3;
20 Rmin =0.001; %Numericamente conviene no incluir el polo como punto
de
21 %colocacion (aunque en este caso se ha implementado
para
22 %permitirlo , seria mejor poner Rmin =0.001).
23
24 Nth =80; %Tiene que ser par
25 Thmin =0; Thmax =2*pi;
26 dth=2*pi/Nth; th = dth *(1: Nth)’; Nth2 = Nth/2;
27
28
29 tic
30 % Operadores
31
32 % Unidimensionales
33 % En r:
34 [Lr, nodosR ]=cheb(Nr -1,Rmin ,Rmax); %Nota: nodosR es [Rmax ... Rmin]’.
3.3. Metodo espectral de Fourier 45
35 Lr2=Lr^2;
36
37 % En theta:
38 col=[0 0.5*( -1) .^(1:Nth -1).*cot ((1:Nth -1)*pi/Nth)];
39 Fth=toeplitz(col ,col([1 Nth : -1:2]));
40 Fth2=toeplitz([-pi ^2/(3* dth ^2) -1/6, 0.5*( -1) .^(2: Nth)./sin(dth *(1:
Nth -1) /2) .^2]);
41
42
43 R = spdiags(nodosR ,0,Nr,Nr);
44 Ith = speye(Nth);
45 Ir = speye(Nr);
46
47 % Producto tensorial:
48 % Nota: convertimos el mallado 2D en un vector -> v(i+Nth*(j-1))=M(
i,j).
49 % Es decir , las primeras Nth componentes de los vectores
corresponden
50 % a Rmax con th de 2*pi a 0, y asi con r disminuyendo hasta
Rmin.
51 Dr = kron(Lr ,Ith);
52 Fth = kron(Ir ,Fth);
53
54 % Laplaciano (multiplicamos por r^2 para eliminar la singularidad
de las
55 % coordenadas)
56 r2L2 = kron(R^2* Lr2+R*Lr ,Ith) + kron(Ir ,Fth2);
57 toc
58
59 % Termino independiente
60 b=zeros(Nr*Nth ,1);
61
62 tic
63 % Condiciones de contorno
64 r2L2=full(r2L2);
65
66 % r=Rmax
67 r2L2 (1:Nth ,:)=eye(Nth ,Nr*Nth);
68 b(1:Nth)=cos(th);
69 toc
70
71 tic
72 r2L2=sparse(r2L2);
3.3. Metodo espectral de Fourier 46
73 % Solucion del sistema
74 fsol=r2L2\b;
75 toc
76
77 % Representacion grafica de la solucion
78
79 % Solucion por el metodo de colocacion
80 figure
81 sol=reshape(fsol ,Nth ,Nr);
82 sol=[sol;sol(Nth ,:)];
83 surf(nodosR ,[0; th(1: Nth)],sol)
84 axis([-4 4 0 2*pi -1 1])
85
86 figure
87 Rr=ones(Nth+1,1)*nodosR (1:Nr)’;
88 Th=[0; th]*ones(1,Nr);
89 nodosRr=Rr.*cos(Th);
90 nodosTh=Rr.*sin(Th);
91 surf(nodosRr ,nodosTh ,sol)
92 axis([-4 4 -4 4 -1 1])
La solucion se ajusta perfectamente a la sabida por teorıa:
Figura 3.1: Modelo simplificado de estrella.
3.4. Discretizacion en tiempo: metodo semi-implıcito 47
3.4. Discretizacion en tiempo: metodo semi-implıcito
Con las seccions anteriores queda descrito como resolver problemas elıpticos, es decir,
que no dependen del tiempo. Para los problemas en los que aparezcan ademas derivadas
temporales, el proceso es el siguiente: se discretiza el tiempo el sistema, obteniendo una
sucesion de problemas elıpticos, que se resuelven en cada paso de tiempo. El metodo en
tiempo que usaremos es el Euler centrado o Crank-Nicholson, de forma que en cada paso
de tiempo∂f
∂t
∣∣∣∣tn+∆t/2
≈ fn − fn−1
∆t, f |tn+∆t/2 ≈
tn + tn−1
∆t. (3.20)
Se trata de un metodo implıcito por tanto con buenas propiedades de estabilidad numerica.
Sin embargo no es practicable su aplicacion para los terminos convectivos, pues exigirıan
resolver en cada paso de tiempo un sistema no lineal. Se usa entonces un metodo semi
implıcito, tratando los metodos no lineales como explıcitos.
3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilin-
dro horizontal
Vamos a resolver un problema de conveccion natural con hipotesis de Boussinesq en
un cilindro horizontal con temperaturas impuestas en las semicircunferencias inferior T1 y
superior T2, con ∆T = T1 − T2 > 0. Este problema ademas de tener interes por sı mismo
ya ha sido estudiado, por lo que nos permite validar el codigo.
El sistema de ecuaciones es el correspondiente al modelo de Boussinesq. Si se introducen
las siguientes variables adimensionales
r∗ = r/R, t∗ = αt/R2, v = R/αv, T ∗ = (T − T0)/∆T, (3.21)
donde α es la difusividad termica,el sistema resultante es, denotado por comodidad sin ∗,
∂T
∂t+
1
r
∂ϕ
∂θ
∂T
∂r− 1
r
∂ϕ
∂r
∂T
∂θ= ∇2T, (3.22)
r∂ϕ
∂t∇2ϕ+
∂ϕ
∂θ
∂
∂r∇2ϕ− ∂ϕ
∂r
∂
∂θ∇2ϕ = rPr∇4ϕ+PrRa
(∂T
∂θsin(θ)− ∂T
∂rcos(θ)
), (3.23)
donde se tienen los numeros adimensionales
Pr =ν
α, Ra =
gβ
ανR3∆T. (3.24)
3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilindro horizontal 48
Este mismo proceso se seguira con mas detalle en el capıtulo 4. Las ecuaciones anteriores
corresponden con las ecuaciones de Saltzman para coordenadas polares.
Tras introducir las discretizaciones espaciales y temporal, queda un sistema de ecuacio-
nes lineales que se resuleve con Matlab, aunque previamente hay que modificar la matriz
para imponer las condiciones de contorno.
Se ha comprobado que los resultados son los esperados, pruduciendose conveccion de
aire caliente desde el centro hacia arriba, formandose dos vortices. Los resultados se han
comparado con obtenido usando el metodo de diferencias finitas. Incluimos las graficas
del campo de temperaturas y velocidades en el regimen permanente para un numero de
Rayliegh Ra = 104, con mallado Nr = 20 y Nθ = 80, y los codigos de Matlab completos
que se han usado. Con estos puede realizarse un analisis mas detallado, que no incluimos
por salirse del objetivo del proyecto (procesos anelasticos).
3.5.1. Codigos de Matlab
Los codigos de Matlab del programa para la conveccion en un cilindro horizontal son los
siguientes:
1 %---- CAPITULO 3 ---- %
2 clear all
3 close all
4 clc
5
3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilindro horizontal 49
6 % Conveccion natural en recinto circular con hipotesis de
Boussinesq ,
7 % gravedad normal.
8 %
9 % Metodo de colocacion con nodos de Chebyshev en direccion radial ,
10 % espectral en theta.
11 %
12 % r en (0+,R], theta en (0+,2*pi]
13 % Temperatura dada en r=Rmax
14 %
15 % Se comprueba que funciona bien (p ej., si se pone el contorno a
una
16 % temperatura dada y sin generacion de calor , el circulo entero
tiende a
17 % homogeneizarse (al final se producen errores numericos debido a
que la
18 % velocidad tenderia a cero;
19 % Si se introduce generacion radial simetrica desde el centro , se
obtiene
20 % un campo de temperaturas acorde , con movimiento del fluido
subiendo por
21 % el centro y descendiendo por los laterales debido al enfriamiento
;
22 % Otras pruebas como poner cada semicirculo a una temperatura
distinta
23 % (inferior -superior o izq.-der. ) tambien dan resultados logicos)
24
25 % Datos
26
27 TRmax =40;
28 TRmin =0;
29 Pr=0.8;
30 Ra=10^4
31
32 dt=2.5* Ra^-1;
33 Ntau =5000;
34
35 % Mallado
36
37 Nr=16;
38 Rmax =1;
39
40 Nth =36; %Tiene que ser par (por como esta implementado)
3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilindro horizontal 50
41 Thmin =0; Thmax =2*pi;
42 dth=2*pi/Nth; th=dth *(1: Nth)’; Nth2=Nth/2;
43
44 tic
45 % Operadores
46 % Unidimensional en r:
47 [Lr, nodosR ]=cheb(Nr -1 ,0.001 , Rmax);
48 Lr2=Lr^2;
49 Lr3=Lr2*Lr;
50 Lr4=Lr2*Lr2;
51
52 % Unidimensional en theta
53 col = [0 0.5*( -1) .^(1:Nth -1).*cot ((1:Nth -1)*pi/Nth)];
54 Fth = toeplitz(col ,col([1 Nth : -1:2]));
55 Fth2 = toeplitz([-pi ^2/(3* dth ^2) -1/6, 0.5*( -1) .^(2: Nth)./sin(dth
*(1:Nth -1) /2) .^2]);
56 Mfft=dftmtx(Nth);
57 Mifft =1/Nth*conj(Mfft);
58 I=1i;
59 IK4=(I*diag ([0: Nth/2-1 Nth/2 -Nth /2+1: -1])).^4;
60 Fth4 = real(Mifft*(IK4*Mfft));
61
62 R = spdiags(nodosR ,0,Nr,Nr);
63 Rm1 = spdiags(nodosR.^-1,0,Nr ,Nr);
64 Rm2 = spdiags(nodosR.^-2,0,Nr ,Nr);
65 Rm3 = spdiags(nodosR.^-3,0,Nr ,Nr);
66 Rm4 = spdiags(nodosR.^-4,0,Nr ,Nr);
67 Ith = speye(Nth);
68 Ir = speye(Nr);
69
70 % Productos tensoriales
71 Rk = kron(R,Ith);
72 Rkm1 = kron(Rm1 ,Ith);
73 Rkm2 = kron(Rm2 ,Ith);
74 Rkm3 = kron(Rm3 ,Ith);
75
76 % Parcial en r, theta
77 Dr = kron(Lr ,Ith);
78 Dth = kron(Ir ,Fth);
79 Dth4 = kron(Ir ,Fth4);
80
81 % Laplaciano
82 L2 = kron(Lr2+Rm1*Lr ,Ith) + kron(Rm2 ,Fth2);
3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilindro horizontal 51
83 toc
84
85 tic
86 % Creacion de la matriz sistema
87 Nt=Nr*Nth;
88 Sinth = kron(Ir, spdiags(sin(th) ,0,Nth ,Nth));
89 Costh = kron(Ir, spdiags(cos(th) ,0,Nth ,Nth));
90
91 Af=(Rk -0.5*dt*Pr*Rk*L2)*L2;
92 AT=-0.5*dt*Pr*Ra*( Sinth*Dth -Rk*Costh*Dr);
93 Bf=zeros(Nt ,Nt);
94 BT=Rk -0.5*dt*Rk*L2;
95 Af=full(Af);
96 AT=full(AT);
97 BT=full(BT);
98
99 % Termino independiente
100 bfc=ones(Nt ,1);
101 bfvalor=zeros(Nt ,1);
102 bTc=ones(Nt ,1);
103 bTvalor=zeros(Nt ,1);
104
105 % Condiciones de contorno
106
107 % Valores de fi en (R,th)
108 Eye=eye(Nth ,Nt);
109 Af(1:Nth ,:)=Eye;
110 AT(1:Nth ,:) =0;
111 bfc(1:Nth)=0;
112
113 % Valores de fi_r en (R,th)
114 Af(Nth +1:2*Nth ,:)=Dr(Nth +1:2*Nth ,:);
115 AT(Nth +1:2*Nth ,:) =0;
116 bfc(Nth +1:2* Nth)=0;
117
118 % Valores de T en la frontera
119 BT(1:Nth ,:)=Eye;
120 bTc(1:Nth)=0;
121 TRmaxad=TRmax/(TRmax -TRmin);
122 TRminad=TRmin/(TRmax -TRmin);
123 TRmedad =( TRmax+TRmin)/2/( TRmax -TRmin);
124 % Caso1: toda la frontera a la misma T
125 % bTvalor (1:Nth ,:)=TRminad;
3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilindro horizontal 52
126 % Casos 2 y 3: cada semicircunferencia a un valor de T:
127 cold=TRmedad +(TRminad -TRmedad)*exp(-((th(1: Nth/2-1)-pi/2) .^4) ./...
128 (((th(1: Nth/2-1)-th(1)).^4) .*((th(1:Nth/2-1)-th(Nth/2-1)).^4)))
;
129 hot=TRmedad +(TRmaxad -TRmedad)*exp(-((th(Nth/2:Nth) -3*pi/2) .^4) ./...
130 (((th(Nth /2:Nth)-th(Nth/2)).^4) .*((th(Nth/2:Nth)-th(Nth)).^4)))
;
131 % Caso 2: superior/inferior
132 bTvalor (1: Nth/2-1,:)=cold;
133 bTvalor(Nth /2: Nth)=hot;
134 % Caso 3: izquierda/derecha
135 % bTvalor ([3* Nth /4+1: Nth 1:Nth/4-1])=cold;
136 % bTvalor(Nth /4:3* Nth/4)=hot;
137 toc
138
139 % Matriz del sistema
140 EyeNt=eye(Nt);
141 tic
142 Afinv=Af\EyeNt;
143 BTinv=BT\EyeNt;
144 toc
145 Afinv (1:Nth ,:)=Eye; % Evita errores numericos
146 BTinv (1:Nth ,:)=Eye; % Evita errores numericos
147
148 % Solucion del sistema para cada t
149
150
151 % Condiciones iniciales
152 T0=(TRmax+TRmin)/2/( TRmax -TRmin)*ones(Nt ,1);
153 fi0=zeros(Nt ,1);
154
155 % Fuente de calor
156 Rkaux=full(diag(Rk));
157 Rk2=Rkaux .^2;
158 lambda =0;
159 Qp = lambda*exp(-(Rk2)./(Rmax -Rk2));
160
161
162 fi=zeros(Nt ,Ntau);
163 T=zeros(Nt,Ntau);
164 AT=sparse(AT);
165 tic
166 for i=1: Ntau
3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilindro horizontal 53
167
168 %Se puede optimizar bastante
169 Dthfi0=Dth*fi0; %%--> Cambiar por Fth*reshape(fi0 ,Nth ,Nr);
170 Drfi0=Dr*fi0; %%--> Cabmiar por reshpae(fi0 ,Nth ,Nr)*Lr ’;
171 L2fi0=L2*fi0;
172 DrL2fi0=Dr*L2fi0;
173 DthL2fi0=Dth*L2fi0; %Probar luego usando fft ,ifft
174 DrT0=Dr*T0;
175 DthT0=Dth*T0;
176
177 NLfi=Dthfi0 .*DrL2fi0 -Drfi0.* DthL2fi0;
178 NLT=Dthfi0 .*DrT0 -Drfi0.* DthT0;
179 bft=Rk*( L2fi0 +0.5*dt*Pr*(L2*L2fi0))+0.5*dt*Pr*Ra*( Sinth*DthT0 -
Rk*( Costh*DrT0));
180 bTt=Rk*T0 +0.5*dt*Rk*(L2*T0)+dt*Rk*Qp;
181
182 bf=(-dt*NLfi+bft).*bfc+bfvalor;
183 bT=(-dt*NLT+bTt).*bTc+bTvalor;
184
185
186 T(:,i)=BTinv*bT;
187 fi(:,i)=Afinv *(bf -AT*T(:,i));
188
189 fi0=fi(:,i);
190 T0=T(:,i);
191
192 end
193 toc
194 pause
195 % Representacion grafica de la solucion
196
197 tau =[0:dt:dt*Ntau]’;
198 fim=zeros(Nth ,Nr);
199 Tm=zeros(Nth ,Nr);
200
201
202 figure
203 [RR,TH]= meshgrid(nodosR ,[0; th]);
204 [X,Y]= pol2cart(TH,RR);
205 for i=2000
206 ur=Rk*Dth*fi(:,i);
207 uth=-Dr*fi(:,i);
208 ux=Costh*ur-Sinth*uth;
3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilindro horizontal 54
209 uy=Sinth*ur+Costh*uth;
210
211 uxaux=reshape(ux,Nth ,Nr);
212 uyaux=reshape(uy,Nth ,Nr);
213 uxm=[ uxaux(Nth ,:); uxaux];
214 uym=[ uyaux(Nth ,:); uyaux];
215
216 fimaux=reshape(fi(:,i),Nth ,Nr);
217 Tmaux=reshape(T(:,i),Nth ,Nr);
218 fim=[ fimaux(Nth ,:); fimaux ];
219 Tm=[Tmaux(Nth ,:); Tmaux];
220
221
222 plot(cos (0:0.01:2* pi),sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth ’ ,2)
223 hold on
224 contourf(X,Y,Tm ,150) ,colorbar , shading flat
225 title(’Temperatura ’)
226 axis equal
227 hold off
228 pause (0.001)
229
230
231 end
232 figure
233 for i=2000
234 ur=Rk*Dth*fi(:,i);
235 uth=-Dr*fi(:,i);
236 ux=Costh*ur-Sinth*uth;
237 uy=Sinth*ur+Costh*uth;
238
239 uxaux=reshape(ux,Nth ,Nr);
240 uyaux=reshape(uy,Nth ,Nr);
241 uxm=[ uxaux(Nth ,:); uxaux];
242 uym=[ uyaux(Nth ,:); uyaux];
243
244 fimaux=reshape(fi(:,i),Nth ,Nr);
245 Tmaux=reshape(T(:,i),Nth ,Nr);
246 fim=[ fimaux(Nth ,:); fimaux ];
247 Tm=[Tmaux(Nth ,:); Tmaux];
248
249
250 % subplot (2,1,1)
3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilindro horizontal 55
251 % plot(Rmax*cos (0:0.01:2* pi),Rmax*sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth
’,2)
252 % hold on
253 % subplot (2,1,1)
254 % quiver(X,Y,uxm ,uym)
255 % title(’Campo de velocidades ’)
256 % axis equal
257 % hold off
258 % subplot (2,1,2)
259 plot(Rmax*cos (0:0.01:2* pi),Rmax*sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth ’ ,2)
260 hold on
261 % subplot (2,1,2)
262 contour(X,Y,fim ,20),colorbar
263 title(’Funcion de corriente ’)
264 axis equal
265 hold off
266 pause (0.01)
267
268
269 end
Capıtulo 4
Resolucion numerica de problemas
de conveccion natural con
temperatura impuesta
En este capıtulo se van a resolver numericamente dos problemas de conveccion natural,
uno en coordenadas cartesianas y otro en polares, con temperaturas impuestas y sin gene-
racion de calor, utilizando el modelo anelastico desarrollado en el capıtulo 3. Para ambos
el proceso seguido es: formulacion del problema, adimensionalizacion de las ecuaciones,
aproximacion numerica de las mismas y finalmente su resolucion en Matlab y analisis de
resultados. Al final de cada cada problema se adjuntan los codigos de Matlab empleados.
4.1. Recinto rectangular
Este problema pretende modelar la conveccion clasica de Rayleigh-Benard. Ademas, al
permitir estratificacion en la densidad, el modelo es adecuado para representar la atmosfera
en situacion de calma. Por tanto, es logico asumir gravedad constante.
4.1.1. Formulacion del problema
Sea una cavidad rectangular en dos dimensiones de altura H y longitud L, con tempe-
raturas dadas en la pared inferior T1 y superior T2, cumpliendo ∆T = T1 − T2 > 0. Se
considera un sistema de coordenadas cartersiano (x, z) ∈ [0, L] × [0, H], de forma que la
gravedad viene expresada como g (z) = −g (z)k = −gk. Ademas se consideran paredes
verticales adiabaticas y friccion en todas ellas.
56
4.1. Recinto rectangular 57
Estamos interesados en conocer la evolucion de la temperatura y del campo de ve-
locidades, por lo que el sistema anelastico a resolver es el dado por (2.71)-(2.72) para
(x, z) ∈ [0, L] × [0, H], t ∈ (0, τ), τ > 0, con Q = Q ≡ 0 y estado de referencia (2.80),
(2.81) y (2.83). Hay que imponer ademas las condiciones de contorno descritas anterior-
mente, que en forma matematica son:
(T + T )∣∣z=0
= T1
(T + T )∣∣z=H
= T2
, ∀t ∈ (0, τ)
}=⇒
{T |z=0 = 0
T |z=H = 0, ∀t ∈ (0, τ), (4.1)
∂
∂x(T + T )
∣∣∣∣x=0
= 0
∂
∂x(T + T )
∣∣∣∣x=L
= 0
, ∀t ∈ (0, τ)
=⇒
∂T
∂x
∣∣∣∣x=0
= 0
∂T
∂x
∣∣∣∣x=L
= 0
, ∀t ∈ (0, τ), (4.2)
Figura 4.1: Cavidad rectangular
v|z=0 = 0 = v|z=Hv|x=0 = 0 = v|x=L
}=⇒
ϕ|z=0 = ϕ|z=H = 0 =
∂ϕ
∂z
∣∣∣∣z=0
=∂ϕ
∂z
∣∣∣∣z=H
ϕ|x=0 = ϕ|x=L = 0 =∂ϕ
∂x
∣∣∣∣x=0
=∂ϕ
∂x
∣∣∣∣x=L
, ∀t ∈ (0, τ),
(4.3)
y condiciones iniciales
T |t=0 = T0(x, z)
ϕ|t=0 = ϕ0(x, z), (x, z) ∈ [0, L]× [0, H]. (4.4)
4.1. Recinto rectangular 58
Para resolver las ecuaciones (2.71)-(2.72) hace falta por ultimo definir las propiedades
del fluido, que asumimos constantes. No obstante, es conveniente obtener las ecuaciones
adimensionales, pues permiten reducir al mınimo el numero de parametros independientes,
lo que hace mas facil interpretar los resultados fısicamente.
4.1.2. Adimensionalizacion
Se introducen las siguientes variables adimensionales:
x∗ =x
H, z∗ =
z
H, t∗ =
α
H2t, v∗ =
H
αv
ϕ∗ = αρ0ϕ, ω∗ =H2
αω
ρ∗ =ρ
ρ0, ρ =
ρ
ρ0, p∗ =
H2
α2ρ0p, p ∗ =
H2
α2ρ0p , T ∗ =
T
∆T, T ∗ =
T
Tm,
(4.5)
donde ρ0 = ρ |z=0, Tm = (T1 + T2)/2 y α = k/(cpρ0) la difusividad termica. Con este
cambio de variables las ecuaciones (2.71)-(2.72) se simplifican en las siguientes
∂T ∗
∂t∗= −∇∗ · (T ∗v∗) + (γ − 2)h∗ρT
∗v∗z −Tm∆T
[dT ∗
dz∗+ (1− γ)h∗ρT
∗]v∗z+
+1
ρ ∗∇∗2T ∗,
(4.6)
∂ω∗
∂t∗= −∇∗ · (ω∗v∗)− RaPr
T ∗∂T ∗
∂x∗+Pr
ρ ∗∇∗2ω∗+Pr
d
dz
(1
ρ ∗
)(∂ω∗
∂z∗−
4h∗ρ3ρ ∗
∂2ϕ∗
∂x∗2
), (4.7)
donde ω∗ = − 1ρ ∗
(∇∗2ϕ∗ − h∗ρ
∂ϕ∗
∂z∗
). Notese que en este proceso se han definido los numeros
adimensionales de Rayleigh y Prandtl
Ra =g∆TH3
Tmνα, Pr =
ν
α. (4.8)
El primero de ellos fue introducido por Rayleigh en sus estudios sobre la conveccion de
Benard, y como puede observarse compara las fuerzas de flotabilidad con las de viscosidad
y conduccion termica.
Para obtener (4.6) se ha tenido en cuenta que usando el equilibrio hidrostatico y la
ecuacion de gas perfecto se pueden suprimir parametros:
γ
[dT
dz−(dT
dz
)ad
]= γ
dT
dz+ γ
Rgcpρ
(Tdρ
dz+ ρ
dT
dz
)=dT
dz+
1− γρ
Tdρ
dz. (4.9)
4.1. Recinto rectangular 59
Por claridad mostramos como quedan los terminos relacionados con el estado de referencia,
que a la hora de integrar son dato:
T ∗ =T1
Tm− z∗∆T
Tm,
dT ∗
dz∗= −∆T
Tm(4.10)
ρ ∗ =
(1− z∗∆T
T1
)n, h∗ρ =
1
ρ ∗dρ ∗
dz∗(4.11)
Las condiciones de contorno en las nuevas variables son, para t∗ ∈ (0, ατ/H2) ≡ (0, τ∗),
T |z∗=0 = 0, T |z∗=1 = 0, (4.12)
∂T ∗
∂x∗
∣∣∣∣x∗=0
= 0,∂T ∗
∂x∗
∣∣∣∣x∗=L/H
= 0, (4.13)
ϕ∗|z∗=0 = ϕ∗|z∗=1 = 0 =∂ϕ∗
∂z∗
∣∣∣∣z∗=0
=∂ϕ∗
∂z∗
∣∣∣∣z∗=1
, (4.14)
ϕ∗|x∗=0 = ϕ∗|x∗=L/H = 0 =∂ϕ∗
∂x∗
∣∣∣∣x∗=0
=∂ϕ∗
∂x∗
∣∣∣∣x∗=L/H
, (4.15)
y las condiciones iniciales
T ∗|t=0 = T0(x∗, z∗)∆T ≡ T ∗0 (x∗, z∗)
ϕ∗|t=0 = αρ0ϕ0(x∗, z∗) ≡ ϕ∗(x∗, z∗), (x, z) ∈ [0, L]× [0, H]. (4.16)
En resumen, para obtener los resultados debe resolverse numericamente el sistema (4.6)-
(4.7) en (x∗, z∗) ∈ [0, L/H]× [0, 1], t∗ ∈ (0, τ∗) con (4.10)-(4.11) y condiciones de contorno
(4.12)-(4.15). Para ello en el caso anelastico hay que elegir seis parametros, que en el caso
de Boussinesq se reducen a cuatro. Si ademas se asume β ∼= 1/T ∼= 1/Tm, es decir, T ∗ ∼= 1,
el caso anelastico requiere igualmente seis parametros, mientras que el de Boussinesq solo
tres. Debe notarse que esta ultima hipotesis es habitual en el caso de Boussinesq pues el
modelo requiere que ∆T/T1 � 1.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Aproximacion anelastica −→ L
H,Ra, Pr, γ, n,
∆T
T1
Aproximacion de Boussinesq −→ L
H,Ra, Pr.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (4.17)
Los parametros adicionales de la aproximacion anelastica permiten definir el estado de
referencia (T1, ∆T ) con estratificacion (n), lo que hace que el movimiento sea convectivo o
mayoritariamente por conduccion en funcion no solo del numero de Rayleigh sino tambien
de si el estado de referencia es subadiabatico o superadiabatico (γ, n).
4.1. Recinto rectangular 60
4.1.3. Sistema algebraico final
La resolucion numerica de los sitemas de ecuaciones en derivadas parciales por los meto-
dos indicados en el capıtulo 3 llevan en ultimo termino a resolver un sistema algebraico
de ecuaciones lineales en cada instante de tiempo discretizado. Necesitamos hallar este
sistema para implementarlo en Matlab. Seguimos el mismo proceso que en la seccion 3.5.
Introducimos primero la discretizacion temporal del sistema (4.6)-(4.7), usando Euler
centrado (Crank-Nicolson) para los terminos difusivos y Euler explıcito para los convecti-
vos. Si ∆t∗ denota de nuevo el paso de tiempo discreto adimensional, el sistema queda
T ∗n − T ∗n−1
∆t=−∇∗ · (T ∗n−1v
∗n−1) + (γ − 2)h∗ρT
∗n−1vz
∗n−1+
− Tm∆T
[dT ∗
dz∗+ (1− γ)h∗ρT
∗]vz∗n−1 +
1
ρ ∗∇∗2T ∗n +∇∗2T ∗n−1
2,
(4.18)
ω∗n − ω∗n−1
∆t=−∇ · (ω∗n−1v
∗n−1)− RaPr
T ∗∂T ∗n∂x∗
+Pr
ρ ∗∇∗2ω∗n +∇∗2ω∗n−1
2+
+ Prd
dz∗
(1
ρ ∗
)[∂
∂z∗
(ω∗n + ω∗n−1
2
)−
4h∗ρ3ρ ∗
∂2
∂x∗2
(ϕ∗n + ϕ∗n−1
2
)],
(4.19)
donde ω∗n = − 1ρ ∗
(∇∗2ϕ∗n − h∗ρ
∂ϕ∗n
∂z∗
), n = 1, 2, ..., bτ∗/∆tc. Se ha convertido ası el sistema
original en una sucesion de sistemas elıpticos, con el mismo dominio espacial, que resol-
vemos en cada paso de tiempo, a partir de las condiciones iniciales, usando el metodo de
colocacion con interpolantes de Lagrange y nodos de Chebyshev en ambas direcciones.
Queda de este modo para cada instante de tiempo el siguiente sistema algebraico de ecua-
ciones lineales, donde se han introducido las matrices de derivacion definidas en el tercer
capıtulo:
T ∗n = T ∗n−1 −∆t∗[D∗x(T ∗n−1 � vx∗n−1) +D∗z(T
∗n−1 � vz∗n−1)
]+
+ ∆t∗(γ − 2)h∗ρ �∗ T ∗n−1 � vz∗n−1 −∆t∗Tm∆T
[dT ∗
dz∗+
1− γρ ∗
� T ∗ � dρ ∗
dz∗
]� vz∗n−1+
+∆t∗
2ρ ∗� (D∗LT
∗n) +
∆t∗
2ρ ∗� (D∗LT
∗n−1),
(4.20)
ω∗n = ω∗n−1 −∆t∗[D∗x(ω∗n−1 � vx∗n−1
)+D∗z
(ω∗n−1 � vz∗n−1
)]+
−∆t∗PrRa
T ∗� (D∗xT
∗n) +
∆t∗Pr
2ρ ∗� (D∗L(ω∗n + ω∗n−1))+
+∆t∗Pr
2� d
dz∗
(1
ρ ∗
)�[D∗z(ω∗n + ω∗n−1
)− 4
3ρ ∗� h∗ρ � (D∗x
2 (ϕ∗n + ϕ∗n−1
))
],
(4.21)
4.1. Recinto rectangular 61
con ω∗n = − 1ρ ∗ �
(D∗Lϕ
∗n − h∗ρ � (D∗zϕ
∗n)). Notese que en las ecuaciones (4.20)-(4.21) T ∗n ,
vx∗n, 1/ρ ∗, dρ ∗/dz∗, etc. son ahora vectores con componentes los valores de las variables en
los puntos del mallado espacial (es decir, son su restriccion al dominio espacial discreto), y
� denota el producto de Hadamard. Las derivadas del estado de referencia no se calculan
mediante las matrices de derivacion, pues se suponen dadas.
El sistema en forma matricial se obtiene sin mas que reordenar y agrupar. Denotamos
por I a la matriz identidad de dimensiones adecuadas y dg(v) a la matriz diagonal con
diagonal el vector v: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ MTT
∗n = bT n−1
Mϕϕ∗n = bϕn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , (4.22)
MT =
[I − ∆t∗
2dg
(1
ρ ∗
)D∗L
](4.23)
Mϕ =
(I − Pr∆t∗
2dg
(1
ρ ∗
)D∗L −
Pr∆t∗
2dg
(d
dz∗
(1
ρ ∗
))D∗z
)dg
(−1
ρ ∗
)(D∗L − h∗ρD∗z
)+
+4Pr∆t
6dg
(h∗ρρ ∗� d
dz∗
(1
ρ ∗
))D∗x
2
(4.24)
bT n−1 = = T ∗n−1 −∆t∗[D∗x(T ∗n−1 � vx∗n−1) +D∗z(T
∗n−1 � vz∗n−1)
]+
+ ∆t∗(γ − 2)h∗ρ �∗ T ∗n−1 � vz∗n−1 −∆t∗Tm∆T
[dT ∗
dz∗+
1− γρ ∗
� T ∗ � dρ ∗
dz∗
]� vz∗n−1+
+∆t∗
2ρ ∗� (D∗LT
∗n−1),
(4.25)
bϕn−1 = ω∗n−1 −∆t∗[D∗x(ω∗n−1 � vx∗n−1
)+D∗z
(ω∗n−1 � vz∗n−1
)]+
−∆t∗PrRa
T ∗� (D∗xT
∗n) +
∆t∗Pr
2ρ ∗� (D∗Lω
∗n−1)+
+∆t∗Pr
2� d
dz∗
(1
ρ ∗
)�[D∗zω
∗n−1 −
4
3ρ ∗� h∗ρ � (D∗x
2ϕ∗n−1)
],
(4.26)
Debe recordarse que las matrices MT y Mϕ son constantes, por lo que solo hay que
calcular sus inversas en un paso inicial (son matrices llenas). En los demas pasos basta con
multiplicar matriz por vector (ver Cap. 3). Pero antes de invertirlas hay que implementar
4.1. Recinto rectangular 62
las condiciones de contorno, sustituyendo las filas correspondientes, tal como se hizo en el
caso del capıtulo tercero.
El esquema de resolucion se ha implementado en Matlab haciendo uso de los programas
del tercer capıtulo. Los codigos se muestran al final de esta seccion, tras los resultados.
4.1.4. Resultados
La teorıa lineal de Rayleigh-Benard predice para el caso de Boussinesq la existencia de un
numero de Rayleigh crıtico Rac por debajo del cual la transferencia de calor se produce por
unicamente por conduccion, y ademas este Rayleigh crıtico depende del factor de escala.
Asimismo, por encima del Rayleigh crıtico, el movimiento convectivo produce vortices
cuyo numero esta determinado principalmente por el factor de escala. Estos resultados
han sido ampliamente confirmados, por lo que nos sirven para validar nuestro programa.
Se ha escogido como condicion inicial la siguiente:
T ∗|t∗=0 = 0, (4.27)
ϕ∗|t∗=0 = −0.005 sin (πz∗) sin
(πx∗
H
L
), (4.28)
que corresponde a una pequena perturbacion, un vortice de baja velocidad en la cavidad. Se
puede comprobar que la forma de la perturbacion inicial no afecta al regimen permanente.
4.1. Recinto rectangular 63
De los seis parametros a definir en la aproximacion anelastica, uno es geometrico (F ≡L/H), dos son propiedades del fluido (Pr, γ), uno es el caracterıstico de la conveccion (Ra)
y dos definen el estado de referencia (dos cualesquiera entre ∆T/T1, n, Nρ). En todas las
simulaciones supondremos fijos los siguientes:
Pr = 0.733 γ = 7/5, (4.29)
que corresponden a valores tıpicos del aire, y usaremos n y ∆T/T1 para definir el estado
de referencia. Normalmente para representar el campo de temperatura, aunque todos
los calculos se hagan con variables adimensionales, escogeremos T1 ≈ 30oC y ∆T ≈ 50
(cumpliendo los parametros adimensionales que se hayan escogido), para que tenga sentido
fısico. Estamos interesados en conocer la relacion del numero de Rayleigh crıtico, si es que
existe para n 6= 0, con los otros tres, es decir, queremos obtener informacion sobre la
relacion
Rac = f
(F, n,
∆T
T1
). (4.30)
Antes de proceder al analisis, mostramos algunos resultados de comprobacion con n = 0
(modelo de Boussinesq), para factores de escala F = 2, 3, 6 y Ra = 5000.
4.1. Recinto rectangular 64
Se observa que los resultados son correctos: el numero de celdas convectivas es igual al
factor de escala para un numero de Rayleigh no muy superior al crıtico, y aumenta si el
Rayleigh es suficientemente alto.
El tiempo adimensional maximo se ha escogido suficientemente grande para que se
alcance el permanente, y el mallado espacial suficientemente fino para que los resultados
sean precisos. La mayorıa de resultados han sido calculados con Nz ∈ [10, 50] ∪ Z y
Nx = bF ·Nzc, y paso de tiempo dt = 10 ·Ra−1.
4.1.4.1. Influencia del ındice politropico en Rac
El numero de factor de escalas de densidad, Nρ, se puede expresar en funcion de n y
∆T/T1 como
Nρ = n ln
(1
1−∆T/T1
). (4.31)
Es claro por tanto que el valor de n influye en la estratificacion del estado de referencia.
Ademas, el valor de n, fijado γ, determina si el estado de referencia es subadabatico o
superadiabatico, factor muy importante para que se produzca conveccion. Como ejemplo
basta considerar un ındice politropico negativo: la densidad del estado de referencia crece
con la altura, situacion altamente inestable.
Para analizar en detalle como afecta el valor de n al numero de Rayleigh crıtico, se han
calculado los numeros de Rayleigh crıticos para distintos ındices polıtropos, con el resto de
parametros constantes. Este proceso se ha hecho con dos factores de escala: F = 2, F = 3,
y un valor de ∆T/T1 = 50/(30 + 273). Mostramos los resultados graficos y tabulados:
4.1. Recinto rectangular 65
n -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410−3Rac 1.778 2.013 2.276 2.576 2.919 3.311 3.762 4.283 4.889 5.598
Cuadro 4.1: Dependencia del Rayleigh con n, para F = 2.
n 5 6 7 7.5 8 9 10 11 12 1310−3Rac 7.424 10.03 13.89 16.55 19.58 29.51 46.56 79.95 140.5 375.0
Cuadro 4.2: Dependencia del Rayleigh con n, para F = 2.
Hay que destacar tres puntos: primero, como era sabido por el modelo de Boussinesq, al
aumentar el factor de escala se reduce el numero de Rayleigh; segundo, como cabıa esperar,
el numero de Rayleigh crıtico aumenta con el ındice politropico aumenta; y, finalmente, de
las graficas parece deducirse que la dependencia del Rayleigh crıtico conn es independiente
del factor de escala, con un crecimiento superior al exponencial.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910−3Rac 1.869 2.394 3.079 3.980 5.203 6.902 9.325 12.89 18.33 27.00
Cuadro 4.3: Dependencia del Rayleigh con n, para F = 3.
4.1. Recinto rectangular 66
n 10 11 12 1310−3Rac 43.890 75.890 133.28 350.00
Cuadro 4.4: Dependencia del Rayleigh con n, para F = 3.
Se han intentado ajustar los datos de las grafica a un crecimiento exponencial. Supo-
niendo que Rac(n) = c1ec2n cuando el resto de parametros son fijos, se imponen dos datos
calculados y se hallan las constantes. El resultado es que para valores pequenos den el
ajuste es muy bueno, pero al alejarse el crecimiento se dispara.
Mas interesante es el hecho de que la forma de la grafica parece ser independiente del
factor de escala. Por un lado parece una hipotesis logica pues el factor de escala es un
parametro geometrico y n afecta al estado de referencia, que no depende de la dimension
horizontal. Suponemos entonces que
Rac = f(F, n,∆T/T1) = f1(F,∆T/T1)f2(n). (4.32)
La comprobacion es muy sencilla a partir de los datos anteriores. Si la relacion (4.32) es
cierta, se cumplira queRac(F1, n)
Rac(F1, 0)=f2(n)
f2(0)=Rac(F2, n)
Rac(F2, 0), (4.33)
luego podemos comprobarlo a partir de los datos anteriores. La grafica inferior prueba que
ası es.
4.1. Recinto rectangular 67
Este analisis permite calcular el Rayleigh crıtico para cualquier valor de n fijado ∆T/T1,
con solo conocer el Rayleigh crıtico como funcion del factor de escala para un unico valor
de n.
Logicamente esta dependencia afecta al campo de velocidades y temperaturas. Como
analisis inverso, repetimos las simulaciones anteriores (n = 0) para un ındice n = 3.
Se observa que la conveccion es mas leve: las lıneas del campo de temperatura estan
menos deformadas respecto a las horizontales de la situacion de conduccion y la velocidad
del fluido es menor. Tambien hay que destacar como los vortices estan mas concentrados
hacia la superficie inferior, debido a la estratificacion. Este efecto es caracterıstico del
modelo anelastico frente al de Boussinesq.
4.1.4.2. Influencia de la relacion de aspecto en Rac
Este analisis se hara muy breve pues para el caso de Boussinesq (n = 0) ya esta perfecta-
mente documentado ([35]), y con lo deducido en el apartado anterior se puede extrapolar
a cualquier otro valor de n (para un mismo ∆T/T1). Se han calculado los Rayleigh crıticos
para distintos factores de escala con un ındice politropico n = 3, de posible interes por
4.1. Recinto rectangular 68
tratarse de una situacion subadiabatica. Se muestra su relacion con el caso de Boussinesq,
comprobando los obtenido en la seccion anterior.
F 1 2 3 4 5 1010−3Rac 5.495 4.283 3.980 3.852 3.784 3.683
Cuadro 4.5: Dependencia del Rayleigh con F , para n = 3.
4.1.4.3. Influencia de ∆T/T1 en Rac
Hasta ahora hemos supuesto que el valor de ∆T/T1 es fijo. Estudiamos ahora su efecto
en la funcion f . En primer lugar notemos que el rango de este parametro no es muy grande,
pues en las situaciones de interes se tendra ∆T ∈ [10, 100], y T1 ∈ [273, 373](K), luego
∆T/T1 ∈ [0.027, 0.366]. Por otra parte, se puede comprobar de forma similar a lo realizado
con n que su influencia es independiente del factor de escala. En efecto este hecho se ha
comprobado, aunque no incluimos los resultados por ser basicamente la misma idea.
Para comenzar construimos dos tablas variando este parametro con el factor de escala
y el ındice politropico fijos, una para n = 1 y otra para n = 3:
∆T/T1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.310−3Rac 2.162 2.329 2.516 2.727 2.967 3.243
Cuadro 4.6: Dependencia del Rayleigh con ∆T/T1, para n = 1, F = 2.
4.1. Recinto rectangular 69
∆T/T1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.310−3Rac 2.497 3.131 3.976 5.123 6.723 9.037
Cuadro 4.7: Dependencia del Rayleigh con ∆T/T1, para n = 3, F = 2.
En principio no se extrae mucha informacion: el Rayleigh crıtico aumenta con n y con
∆T/T1. La siguiente grafica es mas interesante, pues demuestra que la influencia de este
parametro y del ındice politropico estan acopladas. En particular, la influencia del nuevo
parametro aumenta con n. En el caso lımite de Boussinesq, n = 0, ya se dedujo que el
parametro ∆T/T1 no afectaba a las ecuaciones y por tanto tampoco al Rayleigh crıtico.
Para obtener mas informacion sobre la relacion funcional entre el Rayleigh crıtico y
los demas parametros adimensionales se pueden realizar mas simulaciones mediante el
programa.
Un ultimo resultado que mostramos en el trabajo es una simulacion con numero de
Rayleigh muy elevado, Ra = 106, en donde se ve como en el permanente aparecen recir-
culaciones en las esquinas, indicando que el regimen turbulento esta cercano:
4.1. Recinto rectangular 70
4.1.5. Codigos de Matlab
Se muestra el programa completo con el que se han realizado todas las simulaciones:
1 %---- CAPITULO 4 ---- %
2
3 % Conveccion natural en recinto rectangular con hipotesis
anelastica.
4 %
5 %
6 % C.C.: Temperaturas fijas en z=0,H.
7 % Aislado termicamente en x=0,L.
8 % Velocidad nula en las paredes.
9 %
10 % Metodo de colocacion con nodos de Chebyshev en ambas direcciones.
11 % Metodo de Euler centrado en tiempo (semi -implicito).
12
13 clear all;
14 close all;
15 clc;
16
17 % Datos
18
19 % Datos fluido
20 gamma =7/5; %Coeficiente de dilatacion adiabatica (aire)
21
22 % Datos estado de referencia (definir tres)
23 DT=50; %DT=T(z=0)-T(z=zmax) (DT <Th pues si no Tc <0)
24 Th =30+273; %T(z=0) (T_hot)
25 n=0; %Indice politropico
26
27 % Quedan definidos los siguientes datos:
28 Tmed=Th -DT/2; %Tmed=(T(z=0)+T(z=zmax))/2
29 disp([’n = ’,num2str(n)])
30 if n>1/( gamma -1), disp(’Situacion subadiabatica ’); end
31 Nrho=exp(n*log(Th/(Th -DT)));
32 disp([’Nrho = ’,num2str(Nrho)])
33 R=286.9;g=9.81; % Valores aire
34 H=(n+1)*DT/g*R;
35 disp([’H = ’,num2str(H)])
36 disp([’Th = ’,num2str(Th)])
37 disp([’DT = ’,num2str(DT)])
38
4.1. Recinto rectangular 71
39 % Datos geometria
40 F=3; %Factor de escala (L/H);
41
42 % Datos conveccion
43 Pr =0.733; %Numero de Prandtl
44 Ra =5*10^3; %Numero de Rayleigh
45 PrRa=Pr*Ra;
46
47 % Discretizacion en tiempo (adimensional)
48 dt=10*Ra^-1; %Paso de tiempo
49 Ntau =4000; %Numero de iteraciones
50 dtau =25; %Paso de tiempo para representar la solucion
51
52 PrRadt=dt*PrRa;
53 dt2 =0.5*dt;
54 Prdt2=Pr*dt2;
55
56
57 % Mallado espacial (adimensional)
58 Nz=20;
59 zmin =0;
60 zmax =1;
61
62 Nx=floor(F*Nz);
63 xmin =0;
64 xmax=F;
65
66 Nt=Nx*Nz;
67
68
69 % Operadores basicos:
70 tic
71 %Unidimensionales
72 [Lxp ,xch] = cheb(Nx -1,xmin ,xmax);Lxp=-Lxp;xch=xch(Nx: -1:1);
73 [Lzp ,zch] = cheb(Nz -1,zmin ,zmax);Lzp=-Lzp;zch=zch(Nz: -1:1);
74 Lxp2=Lxp*Lxp;
75 Lzp2=Lzp*Lzp;
76
77 %Producto tensorial
78 Dx=kron(Lxp ,speye(Nz ,Nz));
79 Dx2=kron(Lxp2 ,speye(Nz ,Nz));
80 Dz=kron(speye(Nx ,Nx),Lzp);
81 L2=Dx*Dx+Dz*Dz; %Laplaciano
4.1. Recinto rectangular 72
82
83 % Estado de referencia
84 Ones=ones(Nx ,1);
85 rhoH=(1-zch*DT/Th).^n; rhoH=kron(Ones ,rhoH);
86 hrhoH=-DT/Th*n*(1./(1 - zch*DT/Th)); hrhoH=kron(Ones ,hrhoH);
87 rhoHm1 =(1-zch*DT/Th).^(-n); rhoHm1=kron(Ones ,rhoHm1);
88 TH=Th/Tmed -zch*DT/Tmed; TH=kron(Ones ,TH);
89 dzrhoHm1=-n*DT/Th*(1-zch*DT/Th).*(-n-1);dzrhoHm1=kron(Ones ,dzrhoHm1
);
90
91 % Creacion de la matriz sistema
92 dzrhoHm1D=diag(dzrhoHm1);
93 rhoHm1D=diag(rhoHm1);
94 hrhoHD=diag(hrhoH);
95
96 Af=-(eye(Nt)-Prdt2*rhoHm1D*L2 -Prdt2*dzrhoHm1D*Dz)...
97 *rhoHm1D *(L2-hrhoHD*Dz)+4/3* Prdt2*hrhoHD*rhoHm1D*dzrhoHm1D*Dx2;
98 BT=eye(Nt)-dt2*rhoHm1D*L2;
99
100 % Termino independiente (se ’marcan ’ las condiciones de contorno)
101 bfc=ones(Nt ,1);
102 bTc=ones(Nt ,1);
103
104 % Condiciones de contorno
105 Af=full(Af);
106 BT=full(BT);
107 % Valores de fi en (0,z)
108 Af(1:Nz ,:)=eye(Nz ,Nt);
109 bfc(1:Nz)=0;
110
111 % Valores de fi en (xmax ,z)
112 Af(1+(Nx -1)*Nz:Nt ,:) =0;
113 Af(1+(Nx -1)*Nz:Nt ,1+(Nx -1)*Nz:Nt)=eye(Nz);
114 bfc (1+(Nx -1)*Nz:Nt)=0;
115
116 % Valores de fi en (x,0), (x,zmax)
117 Af(2*Nz:Nz:Nz*(Nx -1) ,:)=0;
118 bfc(2*Nz:Nz:Nz*(Nx -1))=0;
119 Af(Nz+1:Nz:1+Nz*(Nx -2) ,:)=0;
120 bfc(1+Nz:Nz:1+Nz*(Nx -2))=0;
121
122 for i=Nz:Nz:Nz*(Nx -1)
123 Af(i,i)=1;
4.1. Recinto rectangular 73
124 Af(i+1,i+1) =1;
125 end
126
127 % Valores de fi_x en (0,z)
128 Af(Nz+2:2*Nz -1,:)=Dx(2:Nz -1,:);
129 bfc(Nz +2:2*Nz -1)=0;
130
131 % Valores de fi_x en (xmax ,z)
132 Af(2+(Nx -2)*Nz:Nz -1+(Nx -2)*Nz ,:)=Dx(2+(Nx -1)*Nz:-1+Nt ,:);
133 bfc (2+(Nx -2)*Nz:Nz -1+(Nx -2)*Nz)=0;
134
135 % Valores de fi_z en (x,0), (x,zmax)
136 Af(2+2* Nz:Nz:2+(Nx -3)*Nz ,:)=Dz (1+2*Nz:Nz:1+(Nx -3)*Nz ,:);
137 bfc (2+2*Nz:Nz:2+(Nx -3)*Nz)=0;
138 Af(Nz -1+2*Nz:Nz:Nz -1+(Nx -3)*Nz ,:)=Dz(Nz+2*Nz:Nz:Nz+(Nx -3)*Nz ,:);
139 bfc(Nz -1+2*Nz:Nz:Nz -1+(Nx -3)*Nz)=0;
140
141 % Valores de T en (x,0), (x,zmax)
142 BT(2*Nz:Nz:Nz*(Nx -1) ,:)=0;
143 bTc(2*Nz:Nz:Nz*(Nx -1))=0;
144 BT(Nz+1:Nz:1+Nz*(Nx -2) ,:)=0;
145 bTc(1+Nz:Nz:1+Nz*(Nx -2))=0;
146
147 for i=Nz:Nz:Nz*(Nx -1)
148 BT(i,i)=1;
149 BT(i+1,i+1) =1;
150 end
151
152 % Valores de T_x en (0,z)
153 BT(1:Nz ,:)=Dx(1:Nz ,:);
154 bTc(1:Nz)=0;
155
156 % Valores de T_x en (xmax ,z)
157 BT(1+(Nx -1)*Nz:Nz+(Nx -1)*Nz ,:)=Dx(1+(Nx -1)*Nz:Nz+(Nx -1)*Nz ,:);
158 bTc (1+(Nx -1)*Nz:Nz+(Nx -1)*Nz)=0;
159 toc
160
161 % Matriz del sistema
162 tic
163 Afinv=Af\eye(Nt);
164 BTinv=BT\eye(Nt);
165 toc
166
4.1. Recinto rectangular 74
167 Afinv (1:Nz ,:)=eye(Nz,Nt); %Elimina errores numericos
168
169
170 % Solucion del sistema para cada t
171
172 % Condiciones iniciales
173 T0=zeros(Nt ,1);
174 fi0 = -0.005* sin(pi*zch)*sin(pi*xch ’/xmax);
175 fi0=fi0(:);
176 % T0=medt;
177 % fi0=med;
178
179 fi=zeros(Nt ,Ntau/dtau);
180 T=zeros(Nt,Ntau/dtau);
181
182 % Preparacion del bucle: calculos auxiliares previos
183 LxpT=Lxp ’;
184 Lxp2T=Lxp2 ’;
185
186 bfc=reshape(bfc ,Nz ,Nx);
187 bTc=reshape(bTc ,Nz ,Nx);
188
189 dzrhoHm1res=reshape(dzrhoHm1 ,Nz,Nx);
190 rhoHm1res=reshape(rhoHm1 ,Nz,Nx);
191 hrhoHres=reshape(hrhoH ,Nz,Nx);
192 T0res=reshape(T0,Nz,Nx);
193 PrRadtTHm1res=PrRadt*reshape (1./TH,Nz,Nx);
194 THres=reshape(TH,Nz,Nx);
195 Prdt2rhoHm1res=Prdt2*rhoHm1res;
196
197 Prdt2dzrhoHm1res=Prdt2*dzrhoHm1res;
198 hrhoHrhoHm1res=hrhoHres .* rhoHm1res;
199 dt2rhoHm1res=dt2*rhoHm1res;
200 gamma2hrhoHres =(gamma -2)*hrhoHres;
201 adiab=dt*((1- gamma)*hrhoHres .*THres -1);
202
203 tic
204 for i=1: Ntau
205
206 fi0res=reshape(fi0 ,Nz ,Nx);
207
208 Dxfi0res=fi0res*LxpT;
209 Dx2fi0res=fi0res*Lxp2T;
4.1. Recinto rectangular 75
210 Dzfi0res=Lzp*fi0res;
211
212 vz0res=rhoHm1res .* Dxfi0res;
213 vx0res=-rhoHm1res .* Dzfi0res;
214 divTvres =(T0res .* vx0res)*LxpT+Lzp*(T0res .* vz0res);
215 L2T0res=Lzp2*T0res+T0res*Lxp2T;
216
217 bT=T0res + dt2rhoHm1res .* L2T0res + ...
218 dt*(-divTvres+gamma2hrhoHres .* T0res.* vz0res)+...
219 -adiab.* vz0res;
220 bT=bT.*bTc;
221
222 % Actualizacion temperatura
223 T0=BTinv*bT(:);
224 T0res=reshape(T0,Nz,Nx);
225
226
227 DxT0res=T0res*LxpT;
228 L2fi0res=Lzp*Dzfi0res+Dx2fi0res;
229 omega=-rhoHm1res .*( L2fi0res -hrhoHres .* Dzfi0res);
230 divvomega =( vx0res .* omega)*LxpT+Lzp*( vz0res .*omega);
231 L2omega=Lzp2*omega+omega*Lxp2T;
232
233 bf=(omega - dt*divvomega - PrRadtTHm1res .* DxT0res + ...
234 Prdt2rhoHm1res .* L2omega + ...
235 Prdt2dzrhoHm1res .*( Lzp*omega - 4/3* hrhoHrhoHm1res .*
Dx2fi0res)).*bfc;
236
237 % Actualizacion funcion de corriente
238 fi0=Afinv*bf(:);
239
240 if mod(i,dtau)==0 % Solo guardamos lo que vayamos a representar
241 fi(:,i/dtau)=fi0;
242 T(:,i/dtau)=T0;
243 end
244 % pause
245 end
246 toc
247 pause
248
249 % % Representacion grafica de la solucion
250
251 fim=zeros(Nz ,Nx);
4.1. Recinto rectangular 76
252 Tm=zeros(Nz ,Nx);
253
254 figure
255 for i=dtau:dtau:Ntau
256
257 fim=reshape(fi(:,i/dtau),Nz ,Nx);
258
259 contour(xch ,zch ,fim ,30),colorbar
260 axis equal , axis ([0 xmax 0 zmax])
261 title(’Funcion de corriente ’)
262 xlabel(’x’),ylabel(’z’)
263
264 pause (0.001)
265 end
266
267 figure
268 for i=dtau:dtau:Ntau
269
270 Tm=( reshape(T(:,i/dtau),Nz ,Nx)*DT+Tmed*THres) -273;
271 fim=reshape(fi(:,i/dtau),Nz ,Nx);
272
273 vx=-rhoHm1res .*( Lzp*fim);
274 vz=rhoHm1res .*( fim*LxpT);
275
276 contourf(xch ,zch ,Tm ,100) , colorbar ,shading flat
277 h = colorbar;
278 xlabel(h, ’ T (Celsius)’);
279 % colormap(hot)
280 hold on
281 quiver(xch (1:2: end),zch (1:2: end),vx (1:2:end ,1:2: end),vz (1:2:end
,1:2: end) ,0.5,’color ’ ,[0.6 0.4 0.4])
282 hold off
283 axis equal
284 axis ([0 xmax 0 zmax])
285 title(’Campo de temperaturas ’)
286 xlabel(’x’),zlabel(’z’)
287 pause (0.001)
288 end
289
290 figure
291 for i=dtau:dtau:Ntau
292
293 fim=reshape(fi(:,i/dtau),Nz ,Nx);
4.1. Recinto rectangular 77
294
295 vx=-rhoHm1res .*( Lzp*fim);
296 vz=rhoHm1res .*( fim*LxpT);
297
298 quiver(xch ,zch ,vx ,vz)
299 axis equal
300 axis ([0 xmax 0 zmax])
301 title(’Campo de velocidades ’)
302 xlabel(’x’),ylabel(’z’)
303
304 pause (0.001)
305 end
4.2. Anillo circular 78
4.2. Anillo circular
La conveccion natural en las estrellas como el Sol suele producirse principalmente en una
corona circular, debido a que en el nucleo la temperatura es mucho mayor y la radiacion
permite la necesaria transferencia de energıa. La mayorıa de los modelos actuales estudian
la fısica solar separando el nucleo de la corona convectiva, pues numericamente se simplifica
notablemente y permite obtener mas detalle. No obstante, se pierden efectos globales, por
lo que han de complementarse los distintos modelos.
El problema que vamos a resolver presenta numerosas similitudes con el anterior tanto
en la formulacion como en resultados, considerando la coordenada radial como la vertical
en el caso rectangular. No obstante su resolucion implica el uso de otro metodo numerico
y sirve para iniciar el problema de un gas autoconfinado por gravedad con generacion de
calor.
4.2.1. Formulacion del problema
Sea una anillo circular de radio interior Ri y exterior Re, con temperaturas dadas en el
cırculo interior T1 y exterior T2, cumpliendo ∆T = T1 − T2 > 0. Se usara un sistema de
coordenadas polares (r, θ) ∈ [Ri, Re]×[0, 2π], con gravedad hacia el centro g (r) = −g (z)ur,
siendo ur el vector unitario en direccion radial. Se tomara como condicion de contorno
adicional velocidad nula en las paredes, aunque se podrıa cambiar por deslizamiento en la
interior, sin grandes diferencias.
Figura 4.2: Anillo circular
4.2. Anillo circular 79
En este caso el sistema anelastico que describe el problema es (2.77)-(2.78) para (r, θ) ∈[Ri, Re] × [0, 2π), t ∈ (0, τ), τ > 0, con Q = Q ≡ 0 y estado de referencia dado por
(2.104), (2.108), (2.109) y (2.111). La eleccion de politropos aproximados facilita el codigo
y esta justificado si el radio interior no es mucho menor que el exterior. Las condiciones
de contorno son:
(T + T )∣∣r=Ri
= T1
(T + T )∣∣r=Re
= T2
, ∀t ∈ (0, τ)
=⇒
{T |r=Ri = 0
T |r=Re = 0, ∀t ∈ (0, τ), (4.34)
v|r=Ri = 0 = v|r=Re =⇒ ϕ|r=Ri = ϕ|r=Re = 0 =∂ϕ
∂r
∣∣∣∣r=Ri
=∂ϕ
∂r
∣∣∣∣r=Re
, ∀t ∈ (0, τ),
(4.35)
T |θ=0 = T |θ=2π , (4.36)
v|θ=0 = v|θ=2π =⇒ ϕ|θ=0 = ϕ|θ=2π ,∂ϕ
∂θ
∣∣∣∣θ=0
=∂ϕ
∂θ
∣∣∣∣θ=2π
(4.37)
y condiciones iniciales
T |t=0 = T0(r, θ)
ϕ|t=0 = ϕ0(r, θ), (r, θ) ∈ [Ri, Re]× [0, 2π). (4.38)
4.2.2. Adimensionalizacion
Analogamente al problema rectangular, se definen las variables adimensionales con el
fin de reducir el numero de parametros libres:
r∗ =r
Re, t∗ =
α
R2e
t, v∗ =Reα
v
ϕ∗ = αρ0ϕ, ω∗ =R2e
αω, g ∗ =
R2m
GM0g
ρ∗ =ρ
ρ0, ρ =
ρ
ρ0, p∗ =
R2e
α2ρ0p, p ∗ =
R2e
α2ρ0p , T ∗ =
T
∆T, T ∗ =
T
Tm,
(4.39)
donde ρ0 = ρ |r=Ri , Tm = (T1 + T2)/2, α la difusividad termica, M0 la masa contenida en
r ≤ Ri y Rm = (Re +Ri)/2. El sistema (2.77)-(2.78) se transforma en
4.2. Anillo circular 80
∂T ∗
∂t∗= −∇∗ · (T ∗v∗) + (γ − 2)h∗ρT
∗v∗r −Tm∆T
[dT ∗
dr∗+ (1− γ)h∗ρT
∗]v∗r+
+1
ρ ∗∇∗2T ∗ +
Tm∆Tρ ∗
∇∗2T ∗,(4.40)
∂ω∗
∂t∗= −∇∗ ·(ω∗v∗)−RaPr g ∗
r∗T ∗∂T ∗
∂θ+Pr
ρ ∗∇∗2ω∗+Pr d
dr∗
(1
ρ ∗
)(∂ω∗
∂r∗−
4h∗ρ3r∗2ρ ∗
∂2ϕ∗
∂θ2
),
(4.41)
donde ω∗ = − 1ρ ∗
(∇∗2 − h∗ρ
∂ϕ∗
∂r∗
). Ahora el laplaciano de la temperatura del estado de
referencia no se anula (al estado de referencia solo se le ha impuesto equilibrio hidrostatico
y la ley de gas perfecto). Los numeros adimensionales son el Prandtl, cuya definicion no
cambia, y
Ra =gm∆TR3
e
ανTm, (4.42)
con gm = GM0/r2m.
En las ecuaciones anteriores se supone conocido el estado de referencia y sus derivadas:
T ∗(r∗) =1
1− ∆T2T1
− 1
1−Ri/Re
(1− Ri/Re
r∗
)1
T1∆T −
12
, (4.43)
dT ∗
dr∗=
−1
Re/Ri − 1
1
r∗21
T1∆T −
12
, (4.44)
ρ ∗(r∗) =
(1− 1
1−Ri/Re
(1− Ri/Re
r∗
)∆T
T1
)n, (4.45)
g ∗(r∗) =R2m
R2e
1
r∗2=
1 +R2i
R2e
+ 2RiRe4
1
r∗2. (4.46)
Las condiciones de contorno son ahora
T ∗|r∗=Ri/Re= 0, T ∗|r∗=1 = 0, (4.47)
ϕ∗|r∗=Ri/Re= ϕ∗|r∗=1 = 0 =
∂ϕ∗
∂r∗
∣∣∣∣r∗=Ri/Re
=∂ϕ∗
∂r∗
∣∣∣∣r∗=1
, (4.48)
T ∗|θ=0 = T ∗|θ=2π , ϕ∗|θ=0 = ϕ∗|θ=2π ,∂ϕ∗
∂θ
∣∣∣∣θ=0
=∂ϕ∗
∂θ
∣∣∣∣θ=2π
(4.49)
4.2. Anillo circular 81
y las condiciones iniciales
T ∗|t∗=0 = T ∗0 (r∗, θ)
ϕ∗|t∗=0 = ϕ∗0(r∗, θ), (r∗, θ) ∈ [Ri/Re, 1]× [0, 2π). (4.50)
El objetivo es resolver el sistema (4.40)-(4.41) con (4.43)-(4.46) y condiciones de contorno
(4.47)-(4.48). Como en el caso rectangular se tienen seis parametros independientes para
el sistema anelastico y tres para el de Boussinesq (tras asumir en este caso que T ∗ ∼= 1).
4.2.3. Sistema algebraico final
La discretizacion temporal del sistema se lleva a cabo de la misma forma que en la
cavidad rectangular. La discretizacion espacial en cambio es diferente: la coordenada radial,
que sustituye a la vertical, se discretizada con el metodo de colocacion con nodos de
Chebyshev, mientras que para la angular se ha usado la interpolacion trigonometrica de
Fourier, para ası satisfacer las condiciones de periodicidad de forma natural.
La implementacion numerica es identica una vez que se construyen las matrices co-
rrespondientes al metodo de Fourier. Teniendo en cuenta la expresion de los operadores
basicos en coordenadas polares (2.75), basta sustituir z por r y las matrices de derivacion
en las expresiones de las matrices (4.23), (4.24). La adaptacion del resto al nuevo caso es
inmediato por lo que se omite.
Se adjuntan los codigos de Matlab para este problema tras los resultados.
4.2.4. Resultados
A diferencia del problema rectangular, en este caso se carece de resultados teoricos
concretos incluso para el caso de Boussinesq. Nuestro objetivo sera buscar las similitudes
y diferencias con los resultados anteriores. En particular, el principal interes radica en
ver como influye el ındice politropico en el numero de Rayleigh crıtico. En general este
problema es mas complejo numericamente que el anterior.
En cualquier caso, son hechos experimentales que en la corona solar y de los planetas
se producen celdas convectivas, luego nuestro modelo simplificado deberıa dar lugar a
vortices a lo largo de la corona. Los resultados que siguen se han simulado con un valor de
Nr ∈ [10, 40] y Nθ ∈ [50, 100]. El paso de tiempo debe adaptarse a cada simulacion, siendo
una buena estimacion ∆t∗ = c3Ra−1, con c3 = 1, 10, 100. La condicion inicial elegida es
4.2. Anillo circular 82
una pequena perturbacion con dos vortices:
T ∗|t∗=0 = 0, (4.51)
ϕ∗|t∗=0 = 0.005 sin
(1
1−Ri/Rer∗ − 1
Re/Ri − 1
)cos(θ). (4.52)
En todas las simulaciones fijamos Pr = 0.733 y γ = 7/5. El valor del Prandtl no es
realista si se pretende simular una estrella. No obstante, como numericamente es todavıa
imposible resolver todas las escalas de turbulencia, se suele a anadir un termino de difu-
sividad turbulenta, que a efectos practicos lleva a tomar un valor Pr ≈ 1. El valor de γ
no tiene importancia en sı mismo, sino su relacion con n. Tenemos que estudiar pues la
relacion
Rac = f
(F, n,
∆T
T1
), (4.53)
donde F ≡ Ri/Re.
4.2.4.1. Influencia del ındice politropico en Rac
El valor del ındice politropico adquiere mayor importancia en el caso de geometrıa
circular. Hemos construido dos tablas para dos relaciones de aspecto distintas con salto
de temperaturas fijo ∆T/T1 = 0.2.
4.2. Anillo circular 83
Es destacable el enorme aumento del Rayleigh crıtico para un valor del ındice politropico
cercano al adiabatico nadiab = 1γ−1 = 2.5. Superado ese valor, es muy difıcil que se produzca
conveccion. Por ello el nucleo solar se ajusta muy bien a un modelo con n = 3.
n -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.25 2.4 2.5 2.5210−3Rac 35.250 47.850 67.300 101.28 170.95 386.90 836.50 2270.5 31 710 79 900
Cuadro 4.8: Dependencia del Rayleigh con n, para F = 0.65.
n -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.25 2.4 2.5 2.5210−3Rac 17.680 23.950 33.920 51.100 86.500 197.75 427.00 1155.0 12 120 23 190
Cuadro 4.9: Dependencia del Rayleigh con n, para F = 0.55.
Observamos ademas que la forma de la grafica no depende de la relacion de aspecto.
Este hecho no era en principio tan directo como en el caso rectangular, pues el estado de
referencia para el anillo sı depende de esta relacion. Incluimos una grafica comparativa:
4.2. Anillo circular 84
Terminamos este analisis con el campo de temperaturas de algunas de las simulaciones.
En ellas se observa muy bien como la deformacion propia de la conveccion es menos acusada
cuanto mayor es el ındice politropico:
4.2.4.2. Influencia de la relacion de aspecto en Rac
Los datos de las tablas anteriores indican que el numero de Rayleigh crıtico aumenta
cuanto mas estrecha es la corona, al contrario de lo que cabrıa esperar por semejanza con el
4.2. Anillo circular 85
caso rectangular. Se debe a que al reducir la relacion de aspecto la frontera interior es cada
vez mas pequena, provocando que el movimiento del fluido sea mas inestable. Este punto
hace que las simulaciones de un cırculo completo sean mas complicadas numericamente,
pues el Rayleigh crıtico se acerca a la situacion de turbulencia. En este apartado tambien
tomamos salto de temperaturas fijo ∆T/T1 = 0.2.
Ri/Re 0.45 0.55 0.65 0.75 0.8010−3Rac 29.99 51.10 101.3 260.4 492.0
Cuadro 4.10: n = 1.
Al no estar acoplados los efectos de la relacion de aspecto y del ındice politropico, basta
estudiar la evolucion del Rayleigh crıtico con la relacion de aspecto fijando un valor de n.
La relacion de aspecto no solo influye en el valor del Rayleigh crıtico. El numero de
vortices que se forman esta determinado fuertemente por este parametro, aunque la in-
fluencia del numero de Rayleigh es mayor que para el caso rectangular. Para un valor
n = 1 y escogiendo un numero de Rayleigh ligeramente superior al crıtico se han obtenido
los siguientes datos:
Ri/Re 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8No vortices 6 8 10 10-12 12-14 14 18 22 28-30
Cuadro 4.11: Numero de vortices en funcion de la relacion de aspecto, n = 1.
El numero de rollos es siempre par como consecuencia de la simetrıa que presenta el
problema. No se incluyen resultados para una relacion de aspecto menor a 0.3 pues irıa
en contra de la hipotesis establecida al comienzo. Incluso los valores correspondientes a
0.3, 0.4 deberıan entenderse como orientativos.
4.2. Anillo circular 86
4.2.4.3. Influencia de ∆T/T1 en Rac
El parametro ∆T/T1 influye en el nivel de estratificacion segun (2.112), que de forma
explıcita queda
Nρ = −n ln
(1− ∆T
T1
). (4.54)
El numero de escalas de densidad en el analisis previo varıa entonces entreNrho ∈ [0, 0.669],
lo que supone desde estados de referencia con densidad constante hasta estados en los que
la densidad se reduce a la mitad. Sin embargo, en las estrellas se tiene que ∆T/T1 ≈ 0.995
4.2. Anillo circular 87
pues la temperatura en el exterior es practicamente nula en comparacion con la interior.
Esto hace que el numero de escalas de densidad sea aproximadamente Nρ ≈ 8, es decir, la
densidad es unas 3000 veces mas pequena en la superficie exterior.
Las dos tablas siguientes muestran la dificultad numerica de este tipo de problemas. Al
ajustar los datos con los reales, la estratificacion aumenta notablemente y con ello el valor
del Rayleigh crıtico. Comprobamos tambien que, como en el caso rectangular, el efecto del
ındice politropico es mayor al aumentar el salto de temperaturas.
n 0 0.5 1 1.5Nρ 0 0.4581 0.9163 1.37410−3Rac 69.65 136.5 285.0 675.0
Cuadro 4.12: Rac con ∆T/T1 = 0.6
n 0 0.5 1 1.5Nρ 0 1.151 2.303 3.45410−3Rac 60.50 194.8 656.3 -
Cuadro 4.13: Rac con ∆T/T1 = 0.9
En resumen, los resultados de este capıtulo demuestran que el valor del ındice politropico
es decisivo en el proceso de conveccion, especialmente en el caso de las capas convectivas
en estrellas y planetas, por lo que el modelo de Boussinesq no debe usarse para estos
propositos. Ademas se ha visto como los efectos del ındice politropico y del salto de tem-
peraturas relativo estan acoplados, siendo especialmente difıcil la resolucion numerica para
valores altos de ambos, pues provocan un numero de Rayleigh crıtico superior a 10−6. Por
otro lado, la complejidad aumenta al disminuir la relacion de aspecto en el caso circular,
aunque su influencia es independiente del resto de parametros.
4.2. Anillo circular 88
4.2.5. Codigos de Matlab
Se presenta el programa con el que se han calculado los resultados:
1 %---- CAPITULO 4: CASO 2 ---- %
2 clear all;
3 close all;
4 clc;
5
6 % Conveccion natural en una corona circular con hipotesis
anelastica.
7 %
8 %
9 % C.C.: Temperaturas fijas en Ri ,Re
10 % Velocidad nula en las paredes
11 %
12 % Metodo de colocacion con nodos de Chebyshev en direccion radial ,
13 % Fourier en theta.
14 %
15 % r en [Ri ,Re], theta en (0+,2*pi]
16 %
17 % El estado de referencia esta dado por un politropo , asumiendo que
la masa
18 % en r<Ri es mucho mayor que la de la corona.
19
20 % Datos
21
22 % Datos fluido
23 gamma =7/5; %Coeficiente de dilatacion adiabatica
24
25 % Datos estado de referencia
26 n=1; % Indice politropico
27 DTT1 =0.2;
28
29 % Factor de escala
30 RiRe =0.55;
31
32 % Quedan definidos
33 disp([’n = ’,num2str(n)])
34 Nrho=n*log (1/(1- DTT1));
35 disp([’Nrho = ’,num2str(Nrho)])
36 disp([’DT/T1 = ’,num2str(DTT1)])
37 if n>1/( gamma -1), disp(’Situacion subadiabatica ’); end
4.2. Anillo circular 89
38
39 % Datos conveccion
40 Pr =0.733; %Numero de Prandtl
41 Ra =50000; %Numero de Rayleigh
42 PrRa=Pr*Ra;
43
44 % Discretizacion en tiempo
45 dt=500* Ra^-1; %Paso de tiempo
46 Ntau =3000; %Numero de iteraciones
47 dtau =100; %Paso de tiempo para representar la solucion
48
49 PrRadt=dt*PrRa;
50 dt2 =0.5*dt;
51 Prdt2=Pr*dt2;
52
53 % Discretizacion espacial
54 Nr=14;
55
56 Nth =60; %Tiene que ser par (por como esta implementado)
57 Thmin =0; Thmax =2*pi;
58 dth=2*pi/Nth; th=dth *(1: Nth)’; Nth2=Nth/2;
59
60 Nt=Nr*Nth;
61
62 % Operadores basicos:
63 tic
64 %Unidimensionales
65 [Lr,nodosR] = cheb(Nr -1,RiRe ,1);Lr=-Lr;nodosR=nodosR(Nr: -1:1);
66 Lr2=Lr^2;
67
68 col = [0 0.5*( -1) .^(1:Nth -1).*cot ((1:Nth -1)*pi/Nth)];
69 Fth = toeplitz(col ,col([1 Nth : -1:2]));
70 Fth2 = toeplitz([-pi ^2/(3* dth ^2) -1/6, 0.5*( -1) .^(2: Nth)./sin(dth
*(1:Nth -1) /2) .^2]);
71
72 R = spdiags(nodosR ,0,Nr,Nr);
73 Rm1 = spdiags(nodosR.^-1,0,Nr ,Nr);
74 Rm2 = spdiags(nodosR.^-2,0,Nr ,Nr);
75 Rm3 = spdiags(nodosR.^-3,0,Nr ,Nr);
76 Ith = speye(Nth);
77 Ir = speye(Nr);
78
79 [TH,RR]= meshgrid ([0; th],nodosR);
4.2. Anillo circular 90
80 [X,Y]= pol2cart(TH,RR);
81
82 %Producto tensorial
83 Rk = kron(Ith ,R);
84 Rkm1 = kron(Ith ,Rm1);
85 Rkm2 = kron(Ith ,Rm2);
86 Rkm3 = kron(Ith ,Rm3);
87
88 % Parcial en r, theta
89 Dr = kron(Ith ,Lr);
90 Dth = kron(Fth ,Ir);
91 Dth2 = kron(Fth2 ,Ir);
92 L2 = kron(Ith ,Lr2+Rm1*Lr) + kron(Fth2 ,Rm2);
93 toc
94
95 tic
96 % Estado de referencia
97 Ones=ones(Nth ,1);
98 poli=1-DTT1/(1-RiRe)*(1-RiRe*diag(Rkm1));
99 rhoH=poli.^n;
100 hrhoH=-n*DTT1 /(1/RiRe -1)*diag(Rkm2)./poli;
101 rhoHm1=poli.^-n;
102 TH=poli /(1 -0.5* DTT1);
103 drrhoHm1=-hrhoH .* rhoHm1;
104
105 % Creacion de la matriz sistema
106 rhoHm1D=diag(rhoHm1);
107 hrhoHD=diag(hrhoH);
108 drrhoHm1D=diag(drrhoHm1);
109
110 Af=-(eye(Nt)-Prdt2*rhoHm1D*L2 -Prdt2*drrhoHm1D*Dr)...
111 *rhoHm1D *(L2-hrhoHD*Dr)+...
112 4/3* Prdt2*hrhoHD*rhoHm1D*drrhoHm1D*Rkm2*Dth2;
113 BT=eye(Nt)-dt2*rhoHm1D*L2;
114
115
116 % Termino independiente
117 bfc=ones(Nt ,1);
118 bTc=ones(Nt ,1);
119
120
121 % Condiciones de contorno
122 Af=full(Af);
4.2. Anillo circular 91
123 BT=full(BT);
124 % Valores de fi en (theta ,Ri), (theta ,Re)
125 Af(Nr:Nr:Nt ,:) =0;
126 bfc(Nr:Nr:Nt)=0;
127 Af(1:Nr:1+Nt -Nr ,:) =0;
128 bfc(1:Nr:1+Nt -Nr)=0;
129
130 Af(1,1)=1;
131 for i=Nr:Nr:Nt -Nr
132 Af(i,i)=1;
133 Af(i+1,i+1) =1;
134 end
135 Af(Nt,Nt)=1;
136
137 % Valores de fi_r en (theta ,Ri), (theta ,Re)
138 Af(2:Nr:2+Nt -Nr ,:)=Dr(1:Nr:1+Nt -Nr ,:);
139 bfc(2:Nr:2+Nt -Nr)=0;
140 Af(Nr -1:Nr:Nt -1,:)=Dr(Nr:Nr:Nt ,:);
141 bfc(Nr -1:Nr:Nt -1)=0;
142
143 % Valores de T en (theta ,Ri), (theta ,Re)
144 BT(Nr:Nr:Nt ,:) =0;
145 bTc(Nr:Nr:Nt)=0;
146 BT(1:Nr:1+Nt -Nr ,:) =0;
147 bTc(1:Nr:1+Nt -Nr)=0;
148
149 BT(1,1)=1;
150 for i=Nr:Nr:Nt -Nr
151 BT(i,i)=1;
152 BT(i+1,i+1) =1;
153 end
154 BT(Nt,Nt)=1;
155 toc
156
157 % Matriz del sistema
158 tic
159 Afinv=Af\eye(Nt);
160 BTinv=BT\eye(Nt);
161 toc
162
163 %Corregir errores numericos
164 Afinv (1:Nr:Nt-Nr+1,:)=kron(eye(Nth) ,[1 zeros(1,Nr -1)]);
165 Afinv(Nr:Nr:Nt ,:)=kron(eye(Nth) ,[zeros(1,Nr -1) ,1]);
4.2. Anillo circular 92
166 % cond(Af)
167 % cond(BT)
168
169 % Solucion del sistema para cada t
170
171 % Condiciones iniciales
172 T0=zeros(Nt ,1);
173 fi0 =0.005* sin((nodosR -RiRe*linspace (1,0,Nr)’)*pi)*cos(th ’);
174 fimx=[fi0(:,Nth),fi0];
175
176 fi=zeros(Nt ,Ntau/dtau);
177 T=zeros(Nt,Ntau/dtau);
178
179 FthT=Fth ’;
180 Fth2T=Fth2 ’;
181
182 bfc=reshape(bfc ,Nr ,Nth);
183 bTc=reshape(bTc ,Nr ,Nth);
184
185 R=reshape(diag(Rk),Nr,Nth);
186 Rm1=reshape(diag(Rkm1),Nr ,Nth);
187 Rm2=reshape(diag(Rkm2),Nr ,Nth);
188 Rm3=reshape(diag(Rkm3),Nr ,Nth);
189 rhoHm1res=reshape(rhoHm1 ,Nr,Nth);
190 hrhoHres=reshape(hrhoH ,Nr,Nth);
191 T0res=reshape(T0,Nr,Nth);
192 rmRmaxPrRadtTHm1resRm3 =(0.5*( RiRe +1))^2* PrRadt*Rm3.* reshape (1./TH,
Nr ,Nth);
193 THres=reshape(TH,Nr,Nth);
194 Prdt2rhoHm1res=Prdt2*rhoHm1res;
195 L2THres=Rm1 .*(Lr*THres)+Lr2*THres+Rm2 .*( THres*Fth2T);
196 drrhoHm1res=reshape(drrhoHm1 ,Nr,Nth);
197
198 Prdt2drrhoHm1res=Prdt2*drrhoHm1res;
199 Prdt2drrhoHm1hrhohrhoHm1 =4/3* Prdt2*drrhoHm1res .* hrhoHres .* rhoHm1res
.*Rm2;
200 dt2rhoHm1res=dt2*rhoHm1res;
201 gmdtrhoHm1res=gamma*dt*rhoHm1res;
202 gamma2hrhoHres =(gamma -2)*hrhoHres;
203 adiab =1/(1/ RiRe -1)*Rm2 -(1-gamma)*(1/DTT1 -0.5)*hrhoHres .*THres;
204 dtrhoHm1resL2THres =(1/DTT1 -0.5)*dt*rhoHm1res .*...
205 (Rm1.*(Lr*THres)+Lr2*THres);
206
4.2. Anillo circular 93
207 tic
208 for i=1: Ntau
209
210 fi0res=reshape(fi0 ,Nr ,Nth);
211
212 Dthfi0res=fi0res*FthT;
213 Drfi0res=Lr*fi0res;
214
215 vr0res=rhoHm1res .* Dthfi0res;
216 vth0res=-rhoHm1res .* Drfi0res;
217 T0vr0res=T0res .* vr0res;
218 divTvres=Lr*T0vr0res+Rm1.* T0vr0res +(Rm1.*T0res .* vth0res)*FthT;
219 L2T0res=Rm1 .*(Lr*T0res)+Lr2*T0res+Rm2 .*( T0res*Fth2T);
220
221 bT=T0res + dt2rhoHm1res .* L2T0res + ...
222 dt*(-divTvres+gamma2hrhoHres .* T0res.* vr0res)+...
223 +adiab .* vr0res;
224 bT=bT.*bTc;
225
226 T0=BTinv*bT(:);
227 T0res=reshape(T0,Nr,Nth);
228
229
230 DthT0res=T0res*FthT;
231 Dth2fi0res=fi0res*Fth2T;
232 L2fi0res=Rm1.* Drfi0res+Lr*Drfi0res+Rm2.* Dth2fi0res;
233 omega=-rhoHm1res .*( L2fi0res -hrhoHres .* Drfi0res);
234 omegavr0res=omega .* vr0res;
235 divvomega=Lr*omegavr0res+Rm1.* omegavr0res +(Rm1.*omega .* vth0res)
*FthT;
236 Dromega=Lr*omega;
237 L2omega=Rm1.* Dromega+Lr2*omega+Rm2 .*( omega*Fth2T);
238
239 bf=(omega - dt*divvomega - rmRmaxPrRadtTHm1resRm3 .* DthT0res +
...
240 Prdt2rhoHm1res .* L2omega + ...
241 Prdt2drrhoHm1res .* Dromega - Prdt2drrhoHm1hrhohrhoHm1 .*
Dth2fi0res).*bfc;
242
243 fi0=Afinv*bf(:);
244
245 if mod(i,dtau)==0
246 fi(:,i/dtau)=fi0;
4.2. Anillo circular 94
247 T(:,i/dtau)=T0;
248 end
249 % pause
250 end
251 toc
252 pause
253
254 % % Representacion grafica de la solucion
255 fim=zeros(Nr ,Nth);
256 Tm=zeros(Nr ,Nth);
257 Rk=diag(Rk);
258
259 figure
260 for i=dtau:dtau:Ntau
261
262 fimaux=reshape(fi(:,i/dtau),Nr ,Nth);
263 fim=[ fimaux(:,Nth) fimaux ];
264
265 plot(cos (0:0.01:2* pi),sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth ’ ,2)
266 hold on
267 plot(RiRe*cos (0:0.01:2* pi),RiRe*sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth ’ ,2)
268 hold on
269
270 contour(X,Y,fim ,30),colorbar
271 axis equal
272 title(’Funcion de corriente ’)
273 hold off
274
275 pause (0.01)
276 end
277
278 figure
279 for i=dtau:dtau:Ntau
280
281 Tmaux =( reshape(T(:,i/dtau),Nr,Nth)+(1/DTT1 -0.5)*THres);
282 Tm=[Tmaux(:,Nth) Tmaux];
283
284 plot(cos (0:0.01:2* pi),sin (0:0.01:2* pi),’k’,’LineWidth ’ ,2)
285 hold on
286 plot(RiRe*cos (0:0.01:2* pi),RiRe*sin (0:0.01:2* pi),’y’,’LineWidth
’ ,2)
287 hold on
288
4.2. Anillo circular 95
289 contourf(X,Y,Tm ,80), colorbar ,shading flat
290 % colormap(hot)
291 h = colorbar;
292 axis equal
293 hold off
294 title(’Campo de temperaturas ’)
295 pause (0.001)
296 end
297
298 figure
299
300 Sinth = kron(Ir, spdiags(sin(th) ,0,Nth ,Nth));
301 Costh = kron(Ir, spdiags(cos(th) ,0,Nth ,Nth));
302 Rd=diag(Rk);
303 figure
304 for i=dtau:dtau:Ntau
305 ur=Rd*Dth*fi(:,i/dtau);
306 uth=-Dr*fi(:,i/dtau);
307 ux=Costh*ur-Sinth*uth;
308 uy=Sinth*ur+Costh*uth;
309
310 uxaux=reshape(ux,Nr,Nth);
311 uyaux=reshape(uy,Nr,Nth);
312 uxm=[ uxaux(:,Nth) uxaux];
313 uym=[ uyaux(:,Nth) uyaux];
314
315
316 plot(cos (0:0.01:2* pi),sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth ’ ,2)
317 hold on
318 plot(RiRe*cos (0:0.01:2* pi),RiRe*sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth ’ ,2)
319 hold on
320 title(’Campo de velocidades ’)
321 quiver(X,Y,uxm ,uym ,0.3)
322 axis equal
323 axis ([-1 1 -1 1])
324 hold off
325
326
327 pause (0.001)
328
329 end
Capıtulo 5
Conveccion natural en un gas
autogravitante con generacion de
calor
Este capıtulo trata sobre la conveccion natural de un gas autoconfinado por gravedad
y con generacion de calor en su interior. Se trata de un modelo simplificado de estrella
en dos dimensiones, que pretende extender los resultados obtenidos con las simulaciones
del anillo circular. Tras formular las ecuaciones anelasticas que describen el problema, se
procede a su adimensionalizacion para finalmente resolverlas numericamente. Por ultimo
se incluye un analisis de los resultados obtenidos.
5.1. Formulacion del problema
Las ecuaciones que describen el problema descrito bajo la hipotesis anelastica son (2.77)-
(2.78) con Q una funcion conocida dependiente a lo sumo del estado de referencia y estado
de referencia descrito segun (2.97)-(2.103). Se supondra que Q es despreciable bajo la
hipotesis anelastica. Las condiciones de contorno son velocidad nula y temperatura fija en
el cırculo exterior. Expresadas matematicamente son:
96
5.1. Formulacion del problema 97
Figura 5.1: Modelo simplificado de estrella.
(T + T )∣∣r=R
= Te =⇒ T |r=R = 0, (5.1)
v|r=R = 0 =⇒ ϕ|r=R = 0 =∂ϕ
∂r
∣∣∣∣r=R
, (5.2)
T |θ=0 = T |θ=2π , (5.3)
v|θ=0 = v|θ=2π =⇒ ∂ϕ
∂θ
∣∣∣∣θ=0
=∂ϕ
∂θ
∣∣∣∣θ=2π
. (5.4)
La generacion de calor se considera dada por un funcion dependiente unicamente de la
coordenada radial y con decaimiento exponencial desde el origen:
Q = Ae−(rrc
)2
, (5.5)
donde rc ∈ (0, R]. Para darle un sentido fisico a constante A se va a expresar en funcion
del calor total generado en el cırculo por unidad de tiempo q:
q =
∫ R
02πrQdr = 2πA
∫ R
0re−(rrc
)2
dr = πr2cA
(1− e
−(R2
r2c
))∼= πr2
cA =⇒
=⇒ Q =q
πr2c
e−(rrc
)2
.
(5.6)
5.2. Adimensionalizacion 98
El valor de rc determina cuanto se concentra la generacion de calor en el origen. Para el
Sol un valor apropiado serıa rc = R/5.
5.2. Adimensionalizacion
Se definen las siguientes variables adimensionales:
r∗ =r
R, t∗ =
α
R2t, v∗ =
R
αv
ϕ∗ = αρ0ϕ, ω∗ =R2
αω, g ∗ =
R2
4GM0g
ρ∗ =ρ
ρ0, ρ =
ρ
ρ0, p∗ =
R2
α2ρ0p, p ∗ =
R2
α2ρ0p , T ∗ = T
πk
q
r2c
R2, T ∗ = T
πk
q
(rcR
)2,
(5.7)
donde M0 es la masa contenida en el cırculo, G la constante de gravitacion universal y
k = ρ0cpα. Las ecuaciones (2.77)-(2.78) resultan:
∂T ∗
∂t∗= −∇∗ · (T ∗v∗) + (γ − 2)h∗ρT
∗v∗r −[dT ∗
dr∗+ (1− γ)h∗ρT
∗]v∗r+
+1
ρ ∗∇∗2T ∗ +
1
ρ ∗∇∗2T ∗ + e
−(rrc
)2
,
(5.8)
∂ω∗
∂t∗= −∇∗ ·(ω∗v∗)−RaPr g ∗
r∗T ∗∂T ∗
∂θ+Pr
ρ ∗∇∗2ω∗+Pr d
dr∗
(1
ρ ∗
)(∂ω∗
∂r∗−
4h∗ρ3r∗2ρ ∗
∂2ϕ∗
∂θ2
).
(5.9)
La definicion del numero de Rayleigh para este problema es diferente:
Ra =gmR
3
αν, (5.10)
donde gm = 4πGρ0, de acuerdo a (2.99).
El estado de referencia se determina de la siguiente forma. Se escoge n y se integran
las ecuaciones (2.97),(2.98). Como lo tenemos que calcular numericamente, obtenemos un
vector con los valores de Θ asociados al vector ξ. Para determinar Θ(r∗) hace falta fijar
ademas Te/T0. En efecto, dado Te/T0 = Θ(ξe)/Θ(0) = Θ(ξe), se tiene que r∗ = r/R = ξ/ξe,
pues ξ = r/δ. Por tanto, si dividimos el vector ξ por ξe, tenemos ya el vector de r∗ asociado
al vector de valores de Θ. El valor de ξe se calcula como aquel que cumple Θ(ξe) = Te/T0
(con un bucle en Matlab).
5.2. Adimensionalizacion 99
Ası, para el sistema (5.8)-(5.9) se supone conocido el estado de referencia segun (2.99)-
(2.103), que en forma adimensional, una vez calculado Θ, es
g ∗(r∗) = − dΘ
dr∗(r∗), (5.11)
T ∗ = T0πk
q
(rcR
)2Θ(r∗), (5.12)
ρ ∗ = Θ(r∗)n. (5.13)
En conclusion, la aproximacion anelastica para este problema se determina por siete
parametros adimensionales:∣∣∣∣∣∣∣∣ γ, Pr, Ra, n,TeT0,
πkT0
q,
rcR
∣∣∣∣∣∣∣∣ . (5.14)
El estado de referencia se define con n y Te/T0 y el calor generado adimensional se de-
termina con la relacion de aspecto rc/R. Notese que Te/T0 no es la relacion entre la
temperatura exterior y la del origen, pues esta relacion dependera del calor generado, sino
unicamente la relacion elegida para el estado de referencia. El parametro L = πkT0/q
tiene la siguiente interpretacion: su producto con la relacion de aspecto al cuadrado es la
relacion aproximada entre el calor que se transferirıa por difusion desde el origen hasta
la superficie exterior si esta tuviese temperatura nula y el calor generado, en el estado
de referencia. Notese que el estado de referencia es hidrostatico, luego al imponer la ley
de gas perfecto no tiene por que cumplirse (de hecho no ocurre) que la ecuacion de la
energıa se cumpla con velocidad nula para el estado de referencia. Esto no significa que
la situacion de velocidad nula no pueda ser solucion del sistema: partiendo del estado de
referencia, se iniciaran movimientos convectivos para ajustar el balance, lo que cambiara el
campo de temperaturas, y por tanto el transporte por difusion; si el numero de Rayleigh
no es suficientemente alto, puede ocurrir que el nuevo campo de temperaturas sı cumpla
la ecuacion de la energıa con velocidad nula.
5.3. Resultados 100
5.3. Resultados
La obtencion de resultados en este problema conlleva una dificultad muy superior a los
problemas del capıtulo previo. Ademas de tener un parametro adicional debido a la gene-
racion de calor, el movimiento del fluido es mas inestable. Es necesario escoger bien unos
parametros de referencia en los que el programa funcione adecuadamente. En la mayorıa
de simulaciones se tomaran unos numeros adimensionales proximos a los siguientes:
γ = 1.6, P r = 1, Ra = 5 · 106,TeT0
= 0.8, L = 0.0004,rcR
=1
5, n = 0. (5.15)
La eleccion de Pr = 1 se justifica teniendo en cuenta la disipacion turbulenta de la can-
tidad de movimiento, cuya resolucion a escala real no es viable computacionalmente. El
coeficiente de dilatacion adiabatica se ha tomado entre el correspondiente a gas mono-
atomico y diatomico. La eleccion del resto, en particular de la relacion de temperaturas
en el estado de referencia, se han escogido mediante ensayo y error en las simulaciones.
El campo de velocidades y temperaturas correspondientes a estos parametros partiendo
de una solucion inicial con temperatura la de referencia y funcion de corriente una pequena
perturbacion con seis vortices
ϕ∗|t∗=0 = 0.005 sin(πr∗) cos(3θ), (5.16)
estan representados para un tiempo adimensional t∗ = 1.08:
Surgen dos dudas al respecto: primero, saber si la condicion inicial ha influido en el
resultado y, segundo, si se ha alcanzado el regimen permanente. Para lo primero probamos
5.3. Resultados 101
con los mismos parametros pero con condicion inicial una con solo cuatro vortices. Los
resultados para un mismo tiempo adimensional son:
Luego la condicion inicial sı influye en la solucion. Para comprobar si se ha alcanzado el
regimen permante representamos graficamente la evolucion de la norma de la temperatura
(que hemos definido como la norma del vector que contiene los valores de la temperatura
adimensional en los nodos del mallado):
Figura 5.2: 4 vortices Figura 5.3: 6 vortices
Esto demuestra que existen multiples soluciones estacionarias. Si pensamos en el plano
de fases del sistema dinamico, este problema tiene varios puntos fijos que son atractores
de trayectorias, y dependiendo del punto de partido se tendera a uno u otro.
No obstante, hemos simulado para tiempos considerablemente mayores para ver que ocurrıa.
Mostramos el resultado para ambos casos:
5.3. Resultados 102
Solucion para una perturbacion inicial con 4 vortices.
Solucion para una perturbacion inicial con 6 vortices.
Se observa que el sistema finalmente evoluciona hacia la misma solucion formada por
dos vortices y con el mismo valor para la norma de la temperatura adimensional (por la
simetrıa del problema, dada una solucion, cualquier rotacion de la misma tambien lo es). Es
decir, aunque los estados anteriores son soluciones estacionarias, corresponden a equilibrios
inestables. En particular, cuanto mayor es el numero de vortices para un mismo numero
de Rayleigh, mas inestable es, como puede comprobarse midiendo el tiempo adimensional
en el que se produce el salto.
Otros puntos interesantes a analizar son: influencia del numero de Rayleigh en la es-
tabilidad de las soluciones estacionarias, existencia de un Rayleigh crıtico para resto de
parametros fijos y efectos de L y Te/T0. La siguiente solucion corresponde a
γ = 1.6, P r = 1, Ra = 5 · 106,TeT0
= 0.8, n = 1. (5.17)
5.3. Resultados 103
El ındice politropico afecta pues como se esperaba: al aumentar disminuye la conveccion.
En este caso el correspondiente a la situacion adiabatica para el estado de referencia es
5/3.
La existencia de un Rayleigh se ha comprobado con la siguiente simulacion, en com-
paracion con la mostrada anteriormente para los mismos parametros salvo numero de
Rayleigh:
Solucion para una perturbacion inicial con 6 vortices.
Para terminar el breve analisis adimensional se incluyen varıas graficas variando el
parametro L. Se observa que su efecto es basicamente aumentar la temperatura en to-
do el cırculo, lo cual es logico pues un aumento de L significa que el calor generado es
mayor que el que se transfiere por conduccion en el estado de referencia.
5.3. Resultados 104
Estados estacionarios al variar L.
En conclusion, este capıtulo demuestra que pese a ser un modelo simplificado y en dos
dimensiones de una estrella, predice la aparicion de celdas convectivas. Este movimiento
tiene lugar a partir de cierto radio, produciendose la transferencia por conduccion (radia-
cion) cerca del origen, como prueba el resultado de la evolucion de la temperatura a lo
largo de un radio
Figura 5.4: Perfil radial de temperaturas.
En ella se ve como cerca del origen el gradiente de temperaturas es muy elevado por
lo que la conduccion es efectiva. Esta grafica es destacable ademas porque se ajusta muy
bien al perfil real de temperaturas en una estrella, mejor incluso que el politropo tomado
como estado de referencia.
Queda pendiente para futuras trabajos un analisis de mas detallado de la dependencia
de los resultados con los parametros adimensionales.
5.3. Resultados 105
5.3.1. Codigos de Matlab
El programa principal llama a la funcion auxiliar que define el politropo emden.m:
1
2 function dy=emden(xi,y,n)
3 dy=zeros (2,1);
4 dy(1)=y(2);
5 dy(2)=-(y(1)^n) -2*y(2)/xi;
6
7 end
Programa principal:
1 %---- CAPITULO 5 ---- %
2 clear all;
3 close all;
4 clc;
5
6 % Conveccion natural en un circulo con generacion de calor , con
7 % hipotesis anelastica.
8 %
9 % C.C.: Temperatura fija en r=R
10 % Velocidad nula en r=R
11 %
12 % Metodo de colocacion con nodos de Chebyshev en direccion radial ,
13 % espectral en theta.
14 %
15 % r en (0+,R], theta en (0+,2*pi]
16
17 % Datos
18
19 % Datos fluido
20 gamma =7/5; %Coeficiente de dilatacion adiabatica
21
22 % Datos estado de referencia
23 n=0; % Indice politropico
24 TeT0 =0.8;
25
26 if n>1/( gamma -1), disp(’Situacion subadiabatica ’); end
27
28 % Datos conveccion
5.3. Resultados 106
29 Pr=1; %Numero de Prandtl
30 Ra =5*10^6; %Numero de Rayleigh
31 PrRa=Pr*Ra;
32
33 % Dato generacion
34 L=0.0004;
35 rc=1/5;
36
37 % Discretizacion en tiempo
38 dt =1000* Ra^-1; %Paso de tiempo
39 Ntau =6000; %Numero de iteraciones
40 dtau =100; %Paso de tiempo para representar la solucion
41
42 PrRadt=dt*PrRa;
43 dt2 =0.5*dt;
44 Prdt2=Pr*dt2;
45
46 Nr=16;
47
48 Nth =56; %Tiene que ser par (por como esta implementado)
49 Thmin =0; Thmax =2*pi;
50 dth=2*pi/Nth; th=dth *(1: Nth)’; Nth2=Nth/2;
51
52 Nt=Nr*Nth;
53
54 % Operadores basicos:
55 tic
56 %Unidimensionales
57 [Lr,nodosR] = cheb(Nr -1 ,0.005 ,1);Lr=-Lr;nodosR=nodosR(Nr: -1:1);
58 Lr2=Lr^2;
59
60 col = [0 0.5*( -1) .^(1:Nth -1).*cot ((1:Nth -1)*pi/Nth)];
61 Fth = toeplitz(col ,col([1 Nth : -1:2]));
62 Fth2 = toeplitz([-pi ^2/(3* dth ^2) -1/6, 0.5*( -1) .^(2: Nth)./sin(dth
*(1:Nth -1) /2) .^2]);
63
64 R = spdiags(nodosR ,0,Nr,Nr);
65 Rm1 = spdiags(nodosR.^-1,0,Nr ,Nr);
66 Rm2 = spdiags(nodosR.^-2,0,Nr ,Nr);
67 Rm3 = spdiags(nodosR.^-3,0,Nr ,Nr);
68 Ith = speye(Nth);
69 Ir = speye(Nr);
70
5.3. Resultados 107
71 %Producto tensorial
72 Rk = kron(Ith ,R);
73 Rkm1 = kron(Ith ,Rm1);
74 Rkm2 = kron(Ith ,Rm2);
75 Rkm3 = kron(Ith ,Rm3);
76
77 % Parcial en r, theta
78 Dr = kron(Ith ,Lr);
79 Dth = kron(Fth ,Ir);
80 Dth2 = kron(Fth2 ,Ir);
81 L2 = kron(Ith ,Lr2+Rm1*Lr) + kron(Fth2 ,Rm2);
82 toc
83
84 tic
85 % Estado de referencia
86 poli0 =1 -0.000001^2/6;
87 dpoli0 = -2*0.000001/6;
88 h=10^ -4;
89 [xi,Y]=ode45(@emden ,0.000001:h: 7,[poli0 dpoli0],[],n);
90 Nxi=length(xi);
91 Y(:,1)=real(Y(:,1));
92 Y(:,2)=real(Y(:,2));
93 for i=1:Nxi
94 if Y(i,1) <=TeT0 ,xitop=xi(i-1);break; end
95 end
96
97 Ones=ones(Nth ,1);
98 poli=spline(xi ,Y(:,1),xitop*nodosR);poli=kron(Ones ,poli);
99 dpoli=spline(xi,Y(:,2),xitop*nodosR);dpoli=kron(Ones ,dpoli);
100 d2poli=zeros(Nxi ,1);
101 d2poli (1,1)=(Y(2,2)-Y(1,2))/h;
102 d2poli(Nxi ,1)=(Y(Nxi ,2)-Y(Nxi -1,2))/h;
103 d2poli (2:Nxi -1,1)=(Y(3:Nxi ,2)-Y(1:Nxi -2,2))/2/h;
104 d2poli=spline(xi ,d2poli ,xitop*nodosR);d2poli=kron(Ones ,d2poli);
105 hrhoH=n*xitop*dpoli ./poli;
106 rhoH=poli.^n;
107 rhoHm1=poli.^-n;
108 drrhoHm1=-hrhoH .* rhoHm1;
109
110
111 % Creacion de la matriz sistema
112 rhoHm1D=diag(rhoHm1);
113 hrhoHD=diag(hrhoH);
5.3. Resultados 108
114 drrhoHm1D=diag(drrhoHm1);
115
116 Af=-(eye(Nt)-Prdt2*rhoHm1D*L2 -Prdt2*drrhoHm1D*Dr)...
117 *rhoHm1D *(L2-hrhoHD*Dr)+...
118 4/3* Prdt2*hrhoHD*rhoHm1D*drrhoHm1D*Rkm2*Dth2;
119 BT=eye(Nt)-gamma*dt2*rhoHm1D*L2;
120
121
122 % Termino independiente
123 bfc=ones(Nt ,1);
124 bTc=ones(Nt ,1);
125
126 % Condiciones de contorno
127 Af=full(Af);
128 BT=full(BT);
129
130 % Valores de fi en Rmax
131 Af(Nr:Nr:Nt ,:) =0;
132 bfc(Nr:Nr:Nt)=0;
133
134 for i=Nr:Nr:Nt -Nr
135 Af(i,i)=1;
136 end
137 Af(Nt,Nt)=1;
138
139 % Valores de fi_r en Rmax
140 Af(Nr -1:Nr:Nt -1,:)=Dr(Nr:Nr:Nt ,:);
141 bfc(Nr -1:Nr:Nt -1)=0;
142
143 % Valores de T en Rmax
144 BT(Nr:Nr:Nt ,:) =0;
145 bTc(Nr:Nr:Nt)=0;
146 for i=Nr:Nr:Nt -Nr
147 BT(i,i)=1;
148 end
149 BT(Nt,Nt)=1;
150 toc
151
152 % Matriz del sistema
153 tic
154 Afinv=Af\eye(Nt);
155 BTinv=BT\eye(Nt);
156 toc
5.3. Resultados 109
157 %Corregir errores numericos
158 Afinv(Nr:Nr:Nt ,:)=kron(eye(Nth) ,[zeros(1,Nr -1) ,1]);
159
160 % Solucion del sistema para cada t
161
162 % Condiciones iniciales
163 T0=zeros(Nt ,1);
164 fi0 =0.005* sin(nodosR*pi)*cos(3*th ’);
165 fi0=fi0(:);
166 % T0=medt;
167 % fi0=med;
168
169 fi=zeros(Nt ,Ntau/dtau);
170 T=zeros(Nt,Ntau/dtau);
171
172 FthT=Fth ’;
173 Fth2T=Fth2 ’;
174
175 bfc=reshape(bfc ,Nr ,Nth);
176 bTc=reshape(bTc ,Nr ,Nth);
177
178 % Generacion de calor
179 Qad=kron(Ones ,exp(-(nodosR/rc).^2));
180 Qadres=reshape(Qad ,Nr ,Nth);
181
182 R=reshape(diag(Rk),Nr,Nth);
183 Rm1=reshape(diag(Rkm1),Nr ,Nth);
184 Rm2=reshape(diag(Rkm2),Nr ,Nth);
185 Rm3=reshape(diag(Rkm3),Nr ,Nth);
186 polires=reshape(poli ,Nr ,Nth);
187 dpolires=reshape(dpoli ,Nr,Nth);
188 d2polires=reshape(d2poli ,Nr,Nth);
189 rhoHm1res=reshape(rhoHm1 ,Nr,Nth);
190 hrhoHres=reshape(hrhoH ,Nr,Nth);
191 T0res=reshape(T0,Nr,Nth);
192 drrhoHm1res=reshape(drrhoHm1 ,Nr,Nth);
193
194 Prdt2drrhoHm1res=Prdt2*drrhoHm1res;
195 Prdt2drrhoHm1hrhohrhoHm1 =4/3* Prdt2*drrhoHm1res .* hrhoHres .* rhoHm1res
.*Rm2;
196 PrRadtRm1polim1dpoli=PrRadt*Rm1.* dpolires ./ polires;
197 Prdt2rhoHm1res=Prdt2*rhoHm1res;
5.3. Resultados 110
198 LdtrhoHm1rRL2poli=dt*L*rhoHm1res .*( xitop*Rm1.* dpolires +(xitop)^2*
d2polires);
199
200 gmdt2rhoHm1res=gamma*dt2*rhoHm1res;
201 gamma2hrhoHres =(gamma -2)*hrhoHres;
202 adiab=xitop*L*dt*(n*(gamma -1) -1)/gamma*dpolires;
203
204 tic
205 for i=1: Ntau
206
207 fi0res=reshape(fi0 ,Nr ,Nth);
208
209 Dthfi0res=fi0res*FthT;
210 Drfi0res=Lr*fi0res;
211
212 vr0res=rhoHm1res .* Dthfi0res;
213 vth0res=-rhoHm1res .* Drfi0res;
214 T0vr0res=T0res .* vr0res;
215 divTvres=Lr*T0vr0res+Rm1.* T0vr0res +(Rm1.*T0res .* vth0res)*FthT;
216 L2T0res=Rm1 .*(Lr*T0res)+Lr2*T0res+Rm2 .*( T0res*Fth2T);
217
218 bT=T0res + gmdt2rhoHm1res .* L2T0res + LdtrhoHm1rRL2poli + ...
219 dt*(-divTvres+gamma2hrhoHres .* T0res.* vr0res)+...
220 +adiab .* vr0res + dt*Qadres;
221 bT=bT.*bTc;
222
223 T0=BTinv*bT(:);
224 T0res=reshape(T0,Nr,Nth);
225
226
227 DthT0res=T0res*FthT;
228 Dth2fi0res=fi0res*Fth2T;
229 L2fi0res=Rm1.* Drfi0res+Lr*Drfi0res+Rm2.* Dth2fi0res;
230 omega=-rhoHm1res .*( L2fi0res -hrhoHres .* Drfi0res);
231 omegavr0res=omega .* vr0res;
232 divvomega=Lr*omegavr0res+Rm1.* omegavr0res +(Rm1.*omega .* vth0res)
*FthT;
233 Dromega=Lr*omega;
234 L2omega=Rm1.* Dromega+Lr2*omega+Rm2 .*( omega*Fth2T);
235
236 bf=(omega - dt*divvomega + PrRadtRm1polim1dpoli .* DthT0res + ...
237 Prdt2rhoHm1res .* L2omega + ...
5.3. Resultados 111
238 Prdt2drrhoHm1res .* Dromega - Prdt2drrhoHm1hrhohrhoHm1 .*
Dth2fi0res).*bfc;
239
240 fi0=Afinv*bf(:);
241
242 if mod(i,dtau)==0
243 fi(:,i/dtau)=fi0;
244 T(:,i/dtau)=T0;
245 end
246 end
247 toc
248 pause
249
250 % % Representacion grafica de la solucion
251
252 [TH,RR]= meshgrid ([0; th],nodosR);
253 [X,Y]= pol2cart(TH,RR);
254
255 fim=zeros(Nr ,Nth);
256 Tm=zeros(Nr ,Nth);
257 Rk=diag(Rk);
258
259 figure
260
261 for i=dtau:dtau:Ntau
262 fimaux=reshape(fi(:,i/dtau),Nr ,Nth);
263 fim=[ fimaux(:,Nth) fimaux ];
264 plot(cos (0:0.01:2* pi),sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth ’ ,2)
265 hold on
266 contour(X,Y,fim ,20),colorbar
267 axis equal
268 title(’Funcion de corriente ’)
269 hold off
270 pause (0.01)
271 end
272
273 figure
274 for i=Ntau
275
276 Tmaux=reshape(T(:,i/dtau),Nr,Nth)+polires*L;
277 Tm=[Tmaux(:,Nth) Tmaux];
278 plot(cos (0:0.01:2* pi),sin (0:0.01:2* pi),’k’,’LineWidth ’ ,2)
279 hold on
5.3. Resultados 112
280
281 contourf(X,Y,Tm ,100) , colorbar ,shading flat
282 colormap(hot)
283
284 axis equal
285 hold off
286 title(’Campo de temperaturas ’)
287 pause (0.001)
288 end
Capıtulo 6
Conclusiones y desarrollos futuros
En este proyecto se ha comprobado como modelos simplificados de las ecuaciones de
Navier-Stokes permiten estudiar los procesos de conveccion natural a gran escala que
ocurren en fenomenos de interes, como la atmosfera o una estrella. Se ha analizado la
importancia de la aproximacion anelastica frente a la de Boussinesq, permitiendo modelos
mas realistas con estratificion en densidad. Para varios problemas en geometrıa rectangular
y polar se ha estudiado la influencia de los diversos parametros adimensionales que definen
las ecuaciones sobre el proceso de conveccion.
En el capıtulo 2 se han formulado las ecuaciones de la conveccion natural bajo la hipote-
sis anelastica justificando la eliminacion de los terminos convenientes, y se ha indicado el
esquema de resolucion de sus ecuaciones, estudiando la idoneidad los politropos como esta-
dos de referencia. En el capıtulo tercero se han expuesto los metodos numericos empleados
con los codigos de Matlab asociados.
En el capıtulo 4 se han resuelto numericamente dos problemas de conveccion natural sin
generacion de calor. El primero trata sobre una cavidad rectangular con paredes aisladas
y expuesto a una gradiente vertical de temperaturas. Se han comparado los resultados
obtenidos con los conocidos para el caso de Boussinesq. En particular, se ha visto como un
mayor valor del ındice politropico del estado de referencia provoca que el Rayleigh crıtico
aumente, debido a que la situacion es mas estable por la estratificacion. Tambien se han
incluido resultados sobre el numero de celdas que se forman en funcion de la relacion de
aspecto. Se ha comprobado que el efecto de la relacion de aspecto y del ındice politropico
son independientes, por lo que la influencia de la relacion de aspecto para el caso anelastico
es igual a la estudiada para el modelo de Boussinesq. Por ultimo se ha visto que la diferencia
de temperaturas relativa tiene un efecto acoplado con el ındice politropico, como cabıa de
esperar teoricamente pues con ambos queda definido el nivel de estratificacion.
113
114
Resultados similares se han obtenido para una corona circular sujeta a un gradiente de
temperaturas y con gravedad central. Los resultados son por lo general analogos al caso
rectangular, si bien en este caso cuanto mas gruesa es la corona menor es el Rayleigh crıtico,
lo que nos permite intuir la complejidad de modelos globales para estrellas y planetas.
Muy destable es el resultado que muestra como para un ındice politropico cercano al
correspondiente a la situacion adiabatica del estado de referencia, el Rayleigh crıtico se
dispara, siendo muy improbable la conveccion.
En el capıtulo 5 se ha estudiado la conveccion natural en un gas autogravitante en dos
dimensiones con generacion de calor. Pese a la complejidad del problema, los resultados
son satisfactorios pues se forman, a partir de un Rayleigh crıtico, celdas convectivas. Los
resultados predicen la existencia de distintos estados estacionarios, pero algunos de ellos
inestables. Se ha comprobado tambien como el perfil de temperaturas resultantes se ajusta
a la forma del perfil real en estrellas.
Como trabajos futuros queda pendiente un analisis mas detallado de los resultados del
ultimo capıtulo, permitiendo estados de referencia que se ajusten mas al perfil solar, con el
objetivo de encontrar la formacion de celdas en una corona exterior con una zonta interior
en equilibrio. Para ello tambien serıa interesenta modificar la expresion del calor generado
y permitir conductividad variable con la temperatura, usando resultados conocidos de la
teorıa estelar. Modificaciones mas sustanciales serıan extender los resultados a geometrıa
esferica, haciendo uso de los armonicos esfericos para los metodos espectrales, estudiar el
efecto de superficies libres (problema de Benard), permitir la generacion de ondas acusticas
y ver su influencia en los modos de oscilacion del Sol y finalmente adaptar el modelo
para situaciones con conveccion turbulenta. Esto tendrıa que ir acompanado del uso de
metodos numericos mas eficientes, como pueden ser algoritmos paralelizados o el uso de
las transformadas rapidas para mallados finos
Bibliografıa
[1] A. Oberbeck, Ueber die Warmeleitung der Flussigkeiten bei Berucksichtigung der
Stromungen infolge von Temperaturdifferenzen. Annalen der Physik, v. 243, n. 6,
p.271-292, 1879.
[2] A. Oberbeck, Uber die Bewegungserscheinungen der Atmosphaere. Sitzungsbe-
richte konigl Berlim: Preuss. Akad. Wissenschaften, 1888.
[3] J. Boussinesq, Theorie analytique de la chaleur. Paris: Gauthier-Villars, v.2, 1903.
[4] E. A. Spiegel, G. Veronis, On the Boussinesq approximation for a compressible
fluid. Astrophysical Journal, v.131, p.442-447, 1960.
[5] D. D. Gray, A. Giorgini, A validity of Boussinesq approximation for liquids and
gases. International Journal of Heat and Mass Transfer, v. 19, n. 5, p.545-551, 1976.
[6] K. R. Rajagopal, M. Ruzicka, A. R. Srinivasa, On the Oberbeck-Boussinesq
approximation. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, v.6, p.1157-
1167, 1996.
[7] Y. Kagei, M. Ruzicka, G. Thater, Natural convection with dissipative heating.
Communications in Mathematical Physics, v.214, p.287-313, 2000.
[8] A. Passerini, G. Thater, Boussinesq-type approximation for second-grade fluids.
International Journal of Nonlinear Mechanics, v. 40, n. 6, p.821-831, 2005.
[9] G. K. Batchelor, The conditions for dynamical similarity of motions of a fric-
tionless perfect-gas atmosphere. Quarterly Journal of the Royal Meteorological So-
ciety, v. 79, n. 340, p.224-235, 1953.
[10] Y. Ogura, N.A. Phillips, Scale analysis of deep and shallow convection in the
atmosphere. Journal of the Atmospheric Sciences, v.19, p.173-179, 1962.
[11] J. A. Dutton, G. H. Fichtl, Approximate equations of motion for gases and
liquids. Journal of the Atmospheric Sciences, v.26, p.241-254, 1969.
115
Bibliografıa 116
[12] D. O. Gough, The anelastic approximation for thermal convection. Journal of the
Atmospheric Sciences, v.26, p.448-456, 1969.
[13] F. B. Lipps, R. S. Hemler, A scale analysis of deep moist convection and some
related numerical calculations. Journal of the Atmospheric Sciences, v.39, p.1192-
1210, 1982.
[14] D. R. Durran, Improving the anelastic approximation. Journal of the Atmospheric
Sciences, v.46, p.1453-1461, 1989.
[15] P. R. Bannon, Potencial vorticity conservation, hydrostatic adjustment, and the
anelastic equations. Journal of the Atmospheric Sciences, v.52,p.2302-2312, 1995.
[16] Q. Chen, G. A. Glatzmaier, Large eddy simulations of twodimensional turbu-
lent convection in a density-stratified fluid. Geophysical and Astrophysical Fluid
Dynamics, 99, p.355–375, 2005.
[17] G. A. Glatzmaier, M. Evonuk, T. M. Rogers, Differential rotation in giant
planets maintained by density-stratified turbulent convection. Geophysical and As-
trophysical Fluid Dynamics, 103, p.31–51, 2009.
[18] G. A. Glatzmaier, Introduction to Modeling Convection in Planets and Stars:
Magnetic Field, Density Stratification, Rotation. Princeton Series in Astrophysics,
Princeton University Press, 2013.
[19] S. I. Braginsky, P. H. Roberts, Anelastic and Boussinesq approximations. D.
Gubbins, E. Herrero-Bervera, p.11–19, Encyclopedia of Geomagnetism and Paleo-
magnetism. Springer-Verlag, 2007.
[20] S. R. Lantz, Y. Fan, Anelastic magnetohydrodynamic equations for modeling
solar and stellar convection zones. Astrophysical Journal Supplment Series, 121,
p.247–264, 1999.
[21] P. R. Bannon, On the anelastic approximation for a compressible atmosphere.
Journal of the Atmospheric Sciences, v.53, p.3618-3628, 1996.
[22] P. R. Bannon, Theoretical foundations for models of moist convection. Journal of
the Atmospheric Sciences, v.59, p.1967-1982, 2002.
[23] J. J.Jung, A. Arakawa, A three-dimensional anelastic model based on the vor-
ticity equation. Monthly Weather Review - American Meteorological Society, 136,
p.276–294, 2008.
Bibliografıa 117
[24] D. K. Lilly, A comparison of incompressible, anelastic and Boussinesq dynamics.
Atmospheric Research - Elsevier., 40, p.143-151, 1996.
[25] P. R. Bannon, J. M. Chagnon, R. P. James, Mass conservation and the anelas-
tic approximation. Monthly Weather Review - American Meteorological Society,
134, p.2989-3005, 2006.
[26] A. Arakawa, C. S. Konor, Unification of the Anelastic and Quasi-Hydrostatic
Systems of Equations. Monthly Weather Review - American Meteorological Society,
137, p.710-726, 2009.
[27] B. P. Brown, G. M.Vasil, E. G. Zweibel, Energy conservation and gravity wa-
ves in sound-proof treatments of stellar interiors. Part I. Anelastic approximations.
Astrophysical Journal, doi:10.1088/0004- 637X/756/2/109, 2012.
[28] A. B. Ripoll, M. Perez-Saborid, Fundamentos y Aplicaciones de la Mecanica
de Fluidos. McGraw-Hill Interamericana, Madrid, 2005.
[29] R. Courant, K. Friedrichs, H. Lewy, Uber die partiellen differenzengleichun-
gen der mathematischen physik. Mathematische Annalen, 100, p.32–74, 1928.
[30] J.H. Ferziger, M. Peric, Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer-
Verlag, Berlin [etc.], 1996.
[31] D. Randall, The anelastic and Boussinesq approximations. Quick Studies in At-
mospheric Science, 2013.
[32] P. A. Gilman, G.A. Glatzmaier, Compressible convection in a rotating sp-
herical shell. I. Anelastic equations. Astrophysical Journal Supplment Series, 45,
p.335–349, 1981.
[33] G. P. Horedt, Polytropes - Applications in Astrophysics and Related Fields. Klu-
wer Academic Publishers, Dordrecht, 2004.
[34] M. Schwarzschild, Structure and evolution of the stars. Dover, New York, 1965.
[35] P. R. Contreras, Proyecto Fin de Carrera: El metodo de colocacion para el pro-
blema de conveccion de Rayleigh-Benard. Departamento de Ingenierıa Aeroespacial
y Mecanica de Fluidos, Universidad de Sevilla, 2013.
[36] L. N. Trefethen, Spectral Methods in Matlab. SIAM, Philadelphia, 2000.
[37] C. Canuto, M. Y. Hussaini, A. Quarteroni, T. A. Zang, Spectral Methods:
Fundamentals in Single Domains. Springer, Berlin Heidelberg New York, 2006.