PROCESO DE CALANDRADO PARA UN FLUIDO NEWTONIANO …

INSTITUTO POLITÉ

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA

UNIDAD AZCAPOTZALCO

PROCESO DE CALANDRADO PARA UN FLUIDO NEWTONIANO CON

VISCOSIDAD VARIABLE DEPENDIENTE DE LA PRESIÓN

Que para obtener el título de Ingeniero Mecánico

HERNÁNDEZ RODRÍ

DIRECTORES DE TESIS

M. en C. JOSE CARLOS ARCOS HERNÁNDEZ

DR. OSCAR ELADIO BAUTISTA GODÍNEZ

POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

UNIDAD AZCAPOTZALCO


VISCOSIDAD VARIABLE DEPENDIENTE DE LA PRESIÓN

T E S I S

Que para obtener el título de Ingeniero Mecánico presenta:

HERNÁNDEZ RODRÍGUEZ ALFREDO

DE TESIS:

JOSE CARLOS ARCOS HERNÁNDEZ


MARZO

CNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y


VISCOSIDAD VARIABLE DEPENDIENTE

presenta:

GUEZ ALFREDO

JOSE CARLOS ARCOS HERNÁNDEZ


MARZO DEL 2012

A mis padres, Edith y Alfredo

por el apoyo incondicional durante toda la vida.

A mis pequeños hermanos, Mariel Edith y Harold Josué

esperando que ésta tesis sea un estímulo para seguir estudiando.

A mi hermano Elmer Suriel,

por las experiencias compartidas a lo largo de éstos años

pues sin él mi vida fuera de casa hubiera sido difícil y aburrida.

Al Dr. José Carlos Arcos Hernández,

por su paciencia y tiempo dedicado asesorando esta tesis,

pero principalmente por inculcarme un carácter científico.

Al Dr. Oscar Eladio Bautista Godínez,

por sus decisivos e importantes comentarios en la realización de ésta tesis.

i

i

CONTENIDO

Resumen ii

Índice de figuras iii

Índice de tablas iii

Nomenclatura iv

CAPÍTULO 1. Introducción

1.1 Motivación 1

1.2 Antecedentes 2

CAPÍTULO 2. Formulación matemática 5

2.1 Planteamiento del problema 6

2.2 Análisis de órdenes de magnitud 9

2.3 Variables adimensionales y adimensionalización de las ecuaciones de

gobierno

10

CAPÍTULO 3. Metodología de solución en el límite <<1 14

3.1 Solución asintótica 15

3.2 Solución orden cero 17

3.2.1 Solución para la velocidad 17

3.2.2 Solución para la presión 18

3.3 Solución orden uno 20

3.3.1 Solución para la velocidad 20

3.3.2 Solución para la presión 21

CAPÍTULO 4. Resultados 25

4.1 Distribución longitudinal de la presión 26

4.2 Perfiles de velocidad 28

4.3 Espesor de entrada y salida adimensionales del material 32

4.4 Conclusiones 35

Referencias 36

Apéndice A 38

Apéndice B 41

Apéndice C 44

Apéndice D 45

ii

ii

RESUMEN

En este trabajo se resuelve de manera analítica el proceso de calandrado de hojas de

materiales de espesor finito, que se comportan de acuerdo a un fluido Newtoniano. Para

llevar a cabo este análisis las ecuaciones de conservación de masa y momentum, de la

teoría de la lubricación, se adimensionalizaron y resolvieron aplicando métodos de

perturbación regular. En este trabajo se presentan los perfiles de velocidad

adimensional, los campos de presión adimensional y las curvas teóricas de los

espesores de salida adimensionales en el material calandrado, este último representa un

valor característico del modelo matemático. El sistema de ecuaciones adimensional

depende de un parámetro adimensional , el cual considera la influencia de los efectos

de la presión en la viscosidad del fluido sobre los campos de presión, velocidad y

espesor de salida adimensionales. Los resultados obtenidos en este trabajo demuestran

que el efecto de la dependencia de la presión con la viscosidad del fluido es incrementar

el espesor de salida adimensional del material calandrado. Se determinó un aumento de

9.4% en el punto de salida del material calandrado y un incremento de

aproximadamente 3.37% en el espesor de salida del material calandrado, en

comparación con el caso del proceso de calandrado para un fluido Newtoniano con

propiedades constantes. En el presente trabajo además se obtuvieron los resultados

reportados por Middleman [3] en el límite de 0 , que corresponde al caso con

propiedades constantes.

iii

iii

ÍNDICE DE FIGURAS

No. Pág.

2.1 Modelo físico de estudio y las variables del problema 6

4.1 Distribución de presión adimensional para 0/ 1.535fH H 26

4.2 Distribución de presión adimensional para 0/ 2.698fH H 27

4.3 Perfiles de velocidad adimensional u , evaluada en 0.55 28




4.7 Curvas teóricas de , como función de para diferentes

valores de . 33

4.8 Curvas teóricas del espesor adimensional de salida como

función de el espesor adimensional de entrada , para diferentes

valores de .

34

A1 Adimensionalización de la variable x . 38

C1 Gradiente de presión del orden cero 44

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla A1 Parámetros característicos en el proceso de calendering. 40

Tabla A2 Valores de 0 y 1 para distintos valores de f 40

P

P

0/fH H

0/H H

0/fH H

iv

iv

NOMENCLATURA

Símbolo Significado Unidades Físicas

0H Mitad de la separación mínima de los rodillos m

fH Mitad del espesor del material a la entrada del laminado m

( )h x Espesor de material como una función de x m

P Presión adimensional

0P Presión adimensional orden cero

1P Presión adimensional orden uno

Q Flujo volumétrico adimensional

0Q Flujo volumétrico adimensional, orden cero

1Q Flujo volumétrico adimensional, orden uno

R Radio de los rodillos m

U Velocidad tangencial de los rodillos m/s u Velocidad adimensional del fluido

0u Velocidad adimensional del fluido orden cero

1u Velocidad adimensional del fluido orden uno

y Coordenada transversal adimensional

Letras Griegas

Parámetro empírico que mide el grado de sensibilidad

de la viscosidad con la presión.

Pa-1

Parámetro definido por 0 0 02 / /R H U H

Viscosidad dinámica del fluido Pa-s

0 Viscosidad dinámica del fluido evaluada a una presión

de referencia0P

Pa-s

Posición de salida del material laminado Densidad kg/m

3

Coordenada longitudinal adimensional

Símbolos testados

P Presión en unidades físicas Pa

Esfuerzo cortante en unidades físicas N/m

2

u Velocidad longitudinal del fluido en unidades físicas m/s v Velocidad transversal del fluido en unidades físicas m/s x Coordenada longitudinal en unidades físicas m

y Coordenada transversal en unidades físicas m

1

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

En este capítulo se muestran los antecedentes correspondientes al

proceso de calandrado, además de la motivación de la presente

investigación.

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN

1

1.1 MOTIVACIÓN

El proceso de calandrado constituye el método más barato y eficiente para reducir el

área transversal de una pieza de material, de tal manera que el espesor final sea

uniforme a lo largo de todo el producto. El calandrado de materiales constituye uno de

los procesos relevantes para la ingeniería de procesamiento de papel, plásticos y caucho

en los cuales el material se deforma hasta obtener su forma final, en rangos de presión

que varían desde 8 hasta 20 MPa [1]. En el proceso de calandrado, el material fundido

se hace pasar a través de un par de cilindros que giran en sentido contrario uno respecto

del otro, mismos que al momento de hacer contacto con el fluido, éste es arrastrado y

deformado debido a los gradientes de presión que se generan en el fluido como

consecuencia de la curvatura de los cilindros, obteniendo al final del proceso películas y

láminas, de espesor uniforme. Uno de los principales problemas en el proceso de

laminado es generar películas o laminas con espesores uniformes con tolerancias de

±0.005 mm, por lo que el espesor del producto laminado debe ser uniforme en la

dirección longitudinal y transversal, cualquier variación en la distancia mínima entre los

rodillos, debido a la dimensión de los cilindros, así como la vibración de estos, deben

ser controlados para evitar espesores no uniformes en el proceso de calandrado [2].

En las últimas décadas, las aplicaciones de películas y laminas de polímeros han ido en

aumento de forma acelerada y las dificultades elementales de la industria manufacturera

ha sido el control de forma de estos materiales, es decir existen dificultades para

controlar el acabado superficial y no se garantiza la obtención de películas y láminas

con superficies planas y acabados superficiales requeridos. Estos inconvenientes en las

películas y láminas generan problemas cuando son sometidos a otros tipos de

procesamientos tales como: impresión, revestimiento adhesivo, laminado con otros

sustratos, termo sellado y procesos de costura entre otros. Las películas y láminas de

polímeros se producen por calandrado. La distribución de presión no uniforme afecta la

posición del punto de separación de la lámina con el cilindro, es decir, la viscosidad del

fluido es afectada por la distribución de presión originando que el espesor final del

material se vea modificado.


2

1.2 ANTECEDENTES

El fenómeno de laminado de materiales Newtonianos y No Newtonianos ha sido

estudiado en los últimos 50 años. El primer trabajo que se tiene en la literatura al

respecto, es el desarrollado por Middleman [3], su análisis parte de la teoría de

lubricación de Reynolds para determinar los campos de velocidad para un fluido

newtoniano que fluye a través de dos rodillos que giran a la misma velocidad. Muchos

de los materiales utilizados en el proceso de laminado exhiben un comportamiento de

fluido no-Newtoniano, en este sentido algunos trabajos relacionados con este fenómeno

son el de Ardichvili [4], quien estudió ampliamente deformaciones en plásticos,

tratándolos como fluidos newtonianos, mientras que Gaskell [5], extendió el estudio de

Ardichvili [4] considerando el material laminado como un fluido de Bingham. Se han

estudiado casos donde el material que se va a laminar está derretido y se hace pasar a

través de los rodillos con ayuda de un alimentador; es el caso de Sofou y Mitsoulis [6]

quienes modelaron numéricamente el proceso de laminado, asumiendo una condición de

deslizamiento entre las superficies de los rodillos y material laminado. Los perfiles de

velocidad obtenidos del trabajo de Sofou y Mitsoulis [6] son una extensión de los

resultados de Gaskell [5].

Posteriormente, Evan Mitsoulis y Sofou [7], emplearon diferencias finitas para resolver

el problema hidrodinámico del proceso de laminado con materiales viscoplásticos

considerando en su análisis el modelo reológico de Herschel-Bulkley-Papanastasiou, fue

válido para todos los rangos de velocidad de deformación. En el presente trabajo se

estudió la influencia de la presión y la viscosidad sobre el espesor de salida del material

laminado, considerando la viscosidad dependiente de la presión.

Los desarrollos tecnológicos modernos en el laminado de materiales termoplásticos son

una rama del arte de fabricación y laminado elástico, los cuales datan desde inicios de

1800.

Por otro lado, Gaskell [5] desarrolló un análisis más realista, en el que se trataron

nuevos desarrollos en el modelado del fluido. Un intento por presentar un trabajo en el

que se incluían efectos visco elásticos fue presentado por Paslay [8].

McKelvey [9] continuó con el trabajo de Gaskell [5], para un fluido newtoniano y lo

extendió hasta incluir los efectos para un fluido no newtoniano. Brazinsky et al., [10]


3

presentaron un análisis para los fluidos, considerando la ley de potencia, además

presentaron un modelo hiperbólico de la viscosidad. Algunas faltas de exactitud en los

trabajos de McKelvey [9] fueron corregidas por Ermann y Vlachopoulos [11].

Kiparissides y Vlachopoulos [12] desarrollaron un análisis del elemento finito para

laminado simétrico y asimétrico, considerando diferente velocidad en los rodillos y

diferentes diámetros. Los efectos de la disipación viscosa fueron incluidos en soluciones

de diferencia finita de la ecuación de la energía en coordenadas bipolares por Bekin [13]

y en coordenadas rectangulares por Kiparissides y Vlachopoulos [12].

El problema no isotérmico fue tratado por Dobbels y Mewis [14] mediante el método de

colocación ortogonal. Agassant [15] et al., presentaron un método para el cálculo del

promedio de la temperatura máxima y otros cálculos de separación de fuerzas, torques y

condiciones críticas para la aparición de defectos en el proceso de laminado. Los

cálculos no isotérmicos fueron dados a conocer en los trabajos de Dimitrijew y

Sporjagin [16] por el método de elementos finitos. Seeger [17] et al., presentaron una

solución por elementos finitos y calculó perfiles de la velocidad y los esfuerzos para el

modelo de la ley de potencia.

El modelo isotérmico con deslizamiento fue desarrollado por Vlachopoulos y Hrymak

[18], usando la lubricación por aproximación y el método de Runge Kutta. Otras

investigaciones fueron dadas a conocer para los fluidos plásticos de Bingham y fluidos

compresibles por Suto y T. Fujimura [19].

Agassant [15] et al., dieron a conocer un estudio experimental muy extenso del

laminado, usando PVC y silicón para medidas seguras, y comparó sus resultados con el

modelo de predicciones para separación de fuerzas y torques. Su trabajo también

incluyó los estudios realizados por Unkrüer [20].

Recientemente J. C. Arcos et al. [21] estudiaron el proceso de laminado para un fluido

inelástico, en su estudio consideraron la dependencia de la temperatura con la

viscosidad y obtuvieron una reducción en el espesor de salida del material hasta de

6.91%.

En la literatura se considera que la viscosidad es función de la temperatura, por lo que

en este trabajo se estudiará la influencia de la presión con la viscosidad, en el laminado

de fluidos newtonianos y su efecto sobre el espesor de salida del material laminado.


4

Por otra parte, S. Middleman [3] estimó la variación del espesor del material laminado,

como consecuencia de las fluctuaciones que se presentan en la temperatura,

considerando que el índice de viscosidad K varía de manera exponencial con la

temperatura. Retomando el análisis que S. Middleman [3] realizó para el caso no

isotérmico, la expresión que representa el cambio en el espesor del material debido a los

incrementos en la presión en órdenes de magnitud se representa por la siguiente

expresión1.

HP

H

De acuerdo con Laun HM [1], el coeficiente es del orden de 2X10-8

Pa-1

, entonces,

para un incremento de presión de 10 MPa la viscosidad variará hasta un 22%,

considerando además que la separación mínima entre rodillos toma valores del orden de

0.0001. Como consecuencia de los cambios en la presión, se concluye que un

incremento en la presión de 10 MPa puede causar una variación hasta del 20%

aproximadamente, en el espesor del material.

1 En el apéndice D, se realiza un análisis para la expresión que representa el cambio del espesor del

material debido a los incrementos de presión, análogo al realizado por Middleman [3], en el cual

consideró la variación de la viscosidad dependiente de la temperatura.

5

CAPÍTULO 2

FORMULACIÓN

MATEMÁTICA

En éste apartado se determinan los órdenes de magnitud de las

principales variables en cuestión. Se lleva a cabo la adimensionalización

de las variables físicas, así como de las ecuaciones de gobierno, ecuación

de cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad.

CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA

6

2.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El modelo físico en estudio se muestra en la Fig. 2.1, el cual consiste de dos cilindros de

radio R que giran en sentido contrario uno respecto del otro a la misma velocidad

angular. La distancia mínima entre los cilindros está representada por 02H y la altura

del claro se expresa como 2h x , donde 02H R . Una lámina de material fundido de

espesor conocido 2 fH , se introduce para ser deformada con los cilindros que tienen una

velocidad tangencial constante representada por U . La posición fx x , representa el

punto donde el material hace contacto por vez primera con los cilindros, y la posición

0x x representa la distancia de separación del fluido con los rodillos. Esta distancia se

desconoce y es parte fundamental del problema ya que está directamente relacionada

con el espesor de salida de la lámina, 2H . Para el análisis, se considera un sistema

coordenado cartesiano, cuyo origen se muestra en la Fig. 2.1, el eje y apunta en

dirección contraria al vector gravedad, mientras que el eje x apunta en dirección del

flujo. Debido a la simetría geométrica y física del modelo, se formulan las ecuaciones

que describen el problema únicamente para valores positivos de la coordenada y .

Figura 2.1 Modelo físico de estudio y las variables del problema.


7

A continuación se presentan las siguientes consideraciones del problema físico:

1. Flujo laminar.

2. Estado estacionario.

3. Espesor finito del material a la entrada, fH .

4. Propiedades termo físicas del fluido constantes, excepto la viscosidad.

5. Sin deslizamiento de los cilindros con el fluido.

6. El material se considera como fluido Newtoniano, considerando la viscosidad P

como función de la presión.

7. La distancia mínima de separación entre los cilindros es mucho menor que el radio de

los cilindros, 0H R .

8. El movimiento del fluido se da en la dirección de x , la velocidad del fluido en la

dirección de y es despreciable, es decir v u .

9. El gradiente de la velocidad v en la dirección de y , es despreciable comparado con

su gradiente en la dirección de x .

10. El gradiente de la presión es sólo función de la variable longitudinal x .

De acuerdo a las hipótesis señaladas, las ecuaciones de continuidad y de cantidad de

movimiento en las direcciones longitudinal y transversal se representan como:

0u v

x y

(2.1)

yxu u P

u vx y x y

, (2.2)

xyv v P

u vx y y x

(2.3)

donde xy y yx son los esfuerzos de corte, definidos por la siguiente expresión,

( )xy yx

u vP

y x

(2.4)


8

Por otro lado la función ( )P representa la viscosidad del fluido como una función de

la presión y está representa como:

0( ) PP e (2.5)

Al sustituir las Ecs. (2.4) y (2.5) en las ecuaciones de gobierno (2.2) y (2.3), se

transforman en:

0

Pu u P u vu v e

x y x y y x

(2.6)

0

Pv v P u vu v e

x y y x y x

(2.7)

Las condiciones de frontera asociadas a las Ecs. (2.6) y (2.7) son:

0, 0, 0u

y vy

(2.8)

( ), , 0y h x u U v (2.9)

Considerando que el material ingresa con espesor finito a los rodillos, las condiciones

de frontera para la presión y su derivada se representan de la siguiente forma [6]:

, 0fx x P (2.10)

0 , 0P

x x Px

(2.11)

En las Ecs. (2.1) a (2.11) u y v representan la velocidad longitudinal y transversal

respectivamente, del fluido en unidades físicas. Por otra parte, x y y son las

coordenadas horizontal y vertical del modelo físico; P representa la presión absoluta en

el fluido; y 0 , refieren a la densidad y la viscosidad del fluido evaluada a una

presión de referencia 0P , sus valores son del orden de

41 5 10 Pa-s [12]. El coeficiente

mide la sensibilidad de la viscosidad con la presión [25], y toma valores del orden

de8 -12 10 Pa [1].


9

2.2 ANÁLISIS DE ÓRDENES DE MAGNITUD.

Con el propósito de establecer la dependencia paramétrica de los valores característicos

de las variables2 , , ,x y u v y P se recurre a un análisis de órdenes de magnitud [26].

0 0~ 2 , ~ , ~ , ~ , ~ ,cx RH y H u U v V P P (2.12)

con estas escalas establecidas, como se muestra en la siguiente sección se obtienen las

variables adimensionales de importancia del problema en cuestión y se sustituirán en las

ecuaciones de gobierno Ecs. (2.6) y (2.7) y en las Ecs. (2.8) a (2.11) que representan las

condiciones de frontera del sistema de ecuaciones diferenciales, esto con el propósito de

obtener el sistema de ecuaciones en su forma adimensional. Cabe mencionar, que el

valor característico de P se determinará durante la adimensionalización de la ecuación

de cantidad de movimiento, surgiendo éste de forma natural de la manipulación

algebraica. Respecto de la obtención del valor característico de la variable v , se aplica

un análisis de órdenes de magnitud a la ecuación de continuidad Ec. (2.1), de la

siguiente manera:

00

~ ,2

U V

HRH (2.13)

al despejar la velocidad característica V en dirección transversal, y considerando que el

término 0 / 2 1H R , se tiene que la velocidad característica V , es mucho menor que

la de los rodillos, es decir

0~ 1

2

HV U

R (2.14)

2 En el apéndice A, se describe el proceso para la obtención de la escala característica de la variable

correspondiente a la Ec. (2.12). x


10

2.3 VARIABLES ADIMENSIONALES Y ADIMENSIONALIZACIÓN

DE LAS ECUACIONES DE GOBIERNO

Con el propósito de resolver el problema de calandrado considerando la viscosidad del

fluido dependiente de la presión, en esta sección se presentan las variables

adimensionales y las ecuaciones de gobierno adimensionalizadas. Utilizando las

variables características que se obtuvieron mediante un análisis de órdenes de magnitud

en la sección 2.2, se definen las siguientes variables adimensionales:

u

uU

(2.15)

0

yy

H (2.16)

c

PP

P (2.17)

02

x

RH (2.18)

v

vV

(2.19)

2

0

1H

H (2.20)

0

.2

QQ

UH (2.21)

En las relaciones anteriores Ecs. (2.15) a (2.21) y y son las variables adimensionales

longitudinal y transversal, respectivamente; u y v representan las componentes de las

velocidades adimensionales longitudinal y transversal respectivamente; Q es el flujo

volumétrico adimensional; P es la presión adimensional y es la posición de salida

adimensional del fluido. Sustituyendo las variables adimensionales, Ecs. (2.15) a (2.21),


11

en las Ecs. (2.6) y (2.7), y después de llevar a cabo el correspondiente desarrollo

algebraico, las ecuaciones en forma adimensional están dadas por:

0 0 0

0

Re2 2

cP PcH H P Hu u P uu v e

R y R U y y

(2.22)

de manera similar, la ecuación de cantidad de movimiento en dirección transversal

adquiere la siguiente forma,

0 0 0 0

0 0

Re2 22

cP PcH P H H Hv v P u vu v e

R y U y y y RRH

(2.23)

donde Re es el número de Reynolds y toma valores del orden de -410 [12], y se define

por la siguiente expresión,

0

0

ReUH

(2.24)

de las Ecs. (2.22) y (2.23) se observa que los órdenes de magnitud de la presión

característica cP en dirección longitudinal y transversal son:

0,

0 0

2c x

URP

H H

(2.25)

0,

0

c y

UP

H

(2.26)

donde podemos concluir que,

, ,c y c xP P (2.27)

Al sustituir la Ec. (2.25) en la Ec. (2.17), se obtiene una expresión para la presión

adimensional P :

0 0

02

H PHP

R U (2.28)

Debido a que Re 1 y 0 12

H

R en la Ec. (2.22) los términos inerciales son

despreciables comparados con los términos de presión y viscosos, por otro lado en la


12

Ec. (2.23) tanto los términos inerciales y viscosos son despreciables respecto de los

términos de presión, de tal manera que las Ecs. (2.22) y (2.23) se transforman en:

cP PP ue

y y

(2.29)

0P

y

(2.30)

El significado físico de la Ec. (2.30) implica que la presión solo depende de la variable

longitudinal, es decir ( , ) ( )P y P , por tanto la Ec. (2.29) se puede escribir como:

2

2cP P dP u

ed y

(2.31)

Matemáticamente, el término cP Pe

se puede linealizar, considerando que el término

1cP como se muestra a continuación:

(1 )cP P

ce P P

(2.32)

Sustituyendo la Ec. (2.32) en la ecuación de cantidad de movimiento adimensional

relacionada a la teoría de la lubricación Ec. (2.31) [2,23], se obtiene,

1/2 00

2

2

0

(2 )1 / U P

R HH

d uP

d y

(2.33)

Ahora definimos un parámetro de perturbación el cual considera los principales

parámetros físicos y geométricos del proceso de calandrado y que surge de manera

natural en la Ec. (2.33) expresado de la siguiente manera:

0

0 0

2 UR

H H

(2.34)

Realizando la sustitución correspondiente del parámetro de perturbación , la Ec. (2.33)

se escribe como:

2

21 .

dP uP

d y

(2.35)

Las condiciones de frontera correspondientes a la Ec. (2.35) en su forma adimensional

están representadas por:


13

0, 0u

yy

(2.36)

2(1 ), 1y u (2.37)

, 0f P (2.38)

, 0dP

Pd

(2.39)

La condición de frontera representada por la Ec. (2.36), representa la condición de

simetría en la velocidad, por otro lado las condiciones de frontera están representadas

por las Ecs. (2.38) y (2.39) [12]. Es importante resaltar que el calandrado es un

problema de valores característico, para resolver el problema matemático solo existe un

valor de que satisface las Ecs. (2.38) y (2.39).

Se requiere una ecuación de balance de masa en su forma integral adimensionalizada.

Por lo tanto, la rapidez de flujo volumétrico adimensional se expresa como:

21

2

01 ,

y

yQ u dy

(2.40)

en esta formulación, Q mantiene valor constante; representa un valor característico

del problema matemático, que deberá determinarse. Dicho parámetro está relacionado

con el espesor de salida de la lámina durante el proceso de calandrado y está definido

por la relación, 2

0( / ) 1H H . El sistema de ecuaciones (2.35) y (2.40) representan

las ecuaciones de la teoría de la lubricación [3]. En el análisis clásico del fenómeno de

calandrado [2,7] de materiales con comportamiento Newtoniano y no-Newtoniano,

existen dos regiones de estudio en la dirección del eje de las x : una de estas se localiza

cerca de la entrada en dirección hacia el origen coordenado, y la otra a la salida. La

primera región experimenta un gradiente de presión positivo en el dominio

comprendido por f y la otra región desarrolla un gradiente de presión

negativo, en el dominio . En la siguiente sección, se obtendrán los perfiles

de velocidad y presión para cada región.

14

CAPÍTULO 3

METODOLOGÍA DE

SOLUCIÓN EN EL

LÍMITE << 1

En este capítulo se muestra el procedimiento para la solución de las

ecuaciones de la teoría de la lubricación para el proceso de calandrado.

CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN EN EL LÍMITE <<1

15

3.1 SOLUCIÓN ASINTÓTICA

Para determinar los perfiles adimensionales de velocidad, presión y de la posición de

separación entre el fluido y los cilindros, se propone una solución asintótica, aplicando

la técnica de perturbación regular y considerando a como parámetro de perturbación

se proponen las siguientes expansiones, para la velocidad, presión, flujo volumétrico,

así como para el valor característico de .

1 ,oP P P (3.1)

1, , , ,ou u uy y y (3.2)

0 1( ) ( ) ( ) ,Q Q Q (3.3)

0 1 , (3.4)

Donde 0 0 0, ,u P Q y

0 son el orden principal de las expansiones y representan la

solución clásica del caso con viscosidad constante en el problema de calandrado [2,3,9].

Por otro lado 1 1 1, ,u P Q y

1 son correcciones a los términos de orden cero.

Sustituyendo las relaciones (3.1) a (3.4) en las ecuaciones (2.35) y (2.40) se obtiene:

2

0 1 0 10 1 2

( ) ( )1

d P P u uP P

d y

(3.5)

0 10, 0y u uy

(3.6)

2

0 1(1 ), 1y u u (3.7)

0 1, 0f P P (3.8)


16

0 1 0 1 0 1, 0d

P P P Pd

(3.9)

21

2

0 1 0 1 0 10

1 ( ) ( ) ,y

yQ Q u u dy

(3.10)

Agrupando términos de la misma potencia de de las Ecs. (3.5) a (3.9), se obtienen los

siguientes sistemas de ecuaciones, para 0 y

1 , respectivamente:

0 :

2

0 0

2

dP u

d y

(3.11)

21

2

0 0 00

1 Q u dy

(3.12)

Las condiciones de frontera asociadas a las Ecs. (3.11) y (3.12) son:

00, 0u

yy

(3.13)

2

0(1 ), 1y u (3.14)

0, 0f P (3.15)

00 0, 0

dPP

d

(3.16)

1 :

2

01 10 2

dPdP uP

d d y

(3.17)

21

1 0 1 10

2Q u dy

(3.18)


17

Las correspondientes condiciones de frontera para las Ecs. (3.17) y (3.18) son:

10, 0u

yy

(3.19)

2

1(1 ), 0y u (3.20)

1, 0f P (3.21)

11 1, 0

dPP

d

(3.22)

Para resolver el orden uno del sistema de ecuaciones, Ecs. (3.17) y (3.18), se requiere

de la solución del orden cero de las ecuaciones de la conservación de la masa, de la

conservación del momentum, Ecs. (3.11) y (3.12).

3.2 SOLUCIÓN ORDEN CERO

3.2.1 SOLUCIÓN PARA LA VELOCIDAD

Con el propósito de obtener la velocidad adimensional 0u , la Ec. (3.11) se integra una

vez con respecto a y , ya que 0P solo es función de la variable longitudinal .

0 01

u dPy C

y d

(3.23)

Sustituyendo la primera condición de frontera Ec. (3.13) en la Ec. (3.23), se obtiene el

valor de 1 0C . Es decir la Ec. (3.23) se escribe como:

0 0u dPy

y d

(3.24)


18

Integrando nuevamente la Ec. (3.24) se obtiene:

20

0 2

1

2

dPu y C

d (3.25)

Aplicando la segunda condición de frontera, Ec. (3.14) en la Ec. (3.25) y despejando

2C , se obtiene que,

2

202

11 1

2

dPC

d

(3.26)

Sustituyendo el valor de 2C en la Ec. (3.25) y realizando el álgebra requerida, se obtiene

la ecuación adimensional para obtener los campos de velocidad, de forma explícita con

y y de forma implícita con el gradiente de presión:

2

2 200

11 1

2

dPu y

d

(3.27)

3.2.2 SOLUCIÓN PARA LA PRESIÓN

Para determinar los campos de presión 0P , se aplica la ecuación de flujo volumétrico

adimensional Ec. (3.12),

21

0 00

Q u dy

(3.28)

Sustituyendo la velocidad adimensional 0u en la Ec. (3.28) y realizando la integración

correspondiente, se obtiene el flujo volumétrico adimensional como función del

gradiente de presión y de la variable longitudinal adimensional :


19

3

2 2013

11

o

dPQ

d

(3.29)

aplicando la condición de frontera, Ec. (3.6) a la Ec. (3.29), es decir,

00 , 0

dP

d

(3.30)

se obtiene que 2

0 01Q , de manera que al ser sustituida en la Ec.(3.29) se obtiene,

3

22

002 1

1

3

dP

d

(3.31)

Despejando 0 /dP d de la Ec. (3.31), se obtiene el gradiente de presión del orden cero:

2 2

00

32

31

dP

d

(3.32)

El gradiente de presión3

0 /dP d , toma valores positivos y negativos, la región positiva

corresponde al intervalo0f , y la región negativa en el intervalo

0 0 .

Integrando la Ec. (3.32) mediante fracciones parciales y aplicando la condición de

frontera representada por la Ec. (3.16), donde en 0 0, 0P , se obtiene:

2 2 2 2

2 1 10 0 00 0 0 02 2 2

0

(1 3 ) 1 5 1 331 3 tan tan

8 (1 ) 1P

(3.33)

así mismo para determinar el espesor de salida del material, para un espesor de entrada

dado, en la Ec. (3.33) se aplica la condición de frontera donde en 0, 0f P , de

tal manera que se transforma en:

3 En el apéndice C, se muestra la figura C1, la cual muestra la distribución del gradiente de presión,

correspondiente a la Ec. (3.32).


20

1/22

02 1 1/200 02

0 0

2 10 00 02 2

0 0

( / 1)2(1 )1 3 tan ( / 1)

( / ) /

2(1 3 ) tan

1 1

f

f

f f

H HH H

H H H H

(3.34)

Finalmente al sustituir el gradiente de presión, Ec. (3.32) en la ecuación de la velocidad

adimensional Ec. (3.27) se obtiene:

2 22

2 200 3

2

( )31 1

2 1u y

(3.35)

3.3 SOLUCIÓN ORDEN UNO

3.3.1 SOLUCIÓN PARA LA VELOCIDAD

El procedimiento de solución para el orden uno es de forma similar al que se desarrolló

en el procedimiento de solución del orden cero; para encontrar 1u se integra la Ec. (3.17)

obteniendo 1u de manera explícita en función de y , y de forma implícita respecto de

1 /dP d .

01 10 1

dPu dPP y C

y d d

(3.36)

donde 1( )C representa una constante de integración, que depende de . Después de

aplicar la condición de frontera, Ec. (3.19), 1( ) 0C .

Integrando por segunda vez la Ec. (3.36),


21

2011 0 2

1

2

dPdPu P y C

d d

(3.37)

aplicando la condición de frontera Ec. (3.20), y resolviendo para 2C

2 2 012 0

1(1 )

2

dPdPC P

d d

(3.38)

Sustituyendo el valor de 2 ( )C

en la Ec. (3.37), y simplificando la expresión, se

obtiene la ecuación para 1u :

2 2 201

1 0

1(1 )

2

dPdPu P y

d d

(3.39)

3.3.2 SOLUCIÓN PARA LA PRESIÓN

Para determinar la rapidez de flujo volumétrico, se sustituye 1u en la Ec. (3.18):

21

2 2 2011 0

0

1(1 )

2

dPdPQ P y dy

d d

(3.40)

Al integrar el perfil de velocidad 1u y reducir algebraicamente la expresión, se obtiene:

2 3 01

1 0

1(1 )

3

dPdPQ P

d d

(3.41)

aplicando la siguiente condición de frontera a la Ec. (3.39)

11 0

dP

d

, (3.42)

el valor de 1Q evaluado en 1 está representado por,

2 3 0 1

1 1 0 1

( )1(1 ) ( )

3

dPQ P

d

(3.43)


22

Sustituyendo Ec. (3.43) en Ec. (3.41), obtiene la siguiente expresión,

2 3 2 30 1 01

1 0 1 0

( )1(1 ) ( ) (1 )

3 3

dP dPdPP P

d d d

(3.44)

Despejando de la ecuación anterior 1 /dP d y simplificando se obtiene la ecuación

para el campo de presión longitudinal del orden uno:

32

0 0 11 10 0 1 2

( ) 1( ) ( )

1

dP dPdPP P

d d d

(3.45)

donde 0dP

destá dado por la Ec. (3.32), 0 1( )dP

d

implica evaluar la Ec. (3.32) en 1 .

Sustituyendo las relaciones antes mencionadas, la Ec. (3.45) se puede escribir como:

2 2 2 2

0 0 0 1 0 11

2 3

( ) ( )3

(1 )

P PdP

d

(3.46)

Con el objetivo de determinar 1P , se integra la Ec. (3.46) en los límites

f y

:

2 2 2 2

3

0 0 11 0 0 13

2 21 13

f

P P P d

(3.47)

Para determinar 1 de la Ec. (3.46), se aplica la condición de frontera 1 1, 0P ;

entonces la Ec. (3.47) se transforma en:

1

2 2 2

3 32

2

0 0 10 1

20

10

1f

P P d

(3.48)

Para resolver la Ec. (3.48), primero se resolverá la integral y se sustituyen en la

expresión obtenida los límites correspondientes, a continuación para valores dados de

0 y f se encuentra la raíz de 1 que corresponderá a la solución de la Ec. (3.47). Este

valor característico de 1 corresponde a el valor de donde . Las expresiones

obtenidas se muestran a continuación.

1 0P


23

1

2 2 4 2 2 4

0 0 0 0

4 3 4 32 2

0 0

2 2 4 3 2 4 1

0 0 0 0 0 0 0 0

2 2

0

2 4 3

0 0 0 0

0

4(1 ) 8( 1) 4(1 ) 8( 1)1

16 1 11 1 1 1

(3 1)(1 2 2 6 2(2 1 3 ) tan ( )

(1 )(1 )

5 14 3 4 1 12

f f

f f

P

H H

H H

H H

H

2 4 1

0 0 0

0 0

2

02 2 2 1

0 0

2 2

2 3 4 2 1 120 0 0 0 0 0 2 1 2

02

0

2 2 231 1 0 12 2 0 0

0 1 22 20 1

1 4(2 1 3 ) 1tan ( )

2 3 1 1 (5 3 ) tan ( )

(1 )

2 3 1 3 (3 2 1)tan ( ) tan ( )1 3 tan ( )

1

1 (5 3 )32( )

1 1

f

f

H

H H

H

H

2 1 1

0 0 1

2 2 1

0 02

0 0 0 01

22 2

0

2 3 4 2 1 1

0 0 0 0 0 0

0

(3 1) tan ( ) tan ( )

2(3 1) 1 5 3 tan 1(5 3 )

3tan ( )(1 )

2 3 1 3 (3 2 1)tan ( ) tan 1

f f f f

f

f

H H H H

H H H H

H

H

H

H

2

0

22 1

0

0

2 2 231 1 0 12 2 2 1 10 0

0 1 0 0 122 20 1

0 0 1

2

0

0

1

1 3 tan 1

1 (5 3 )32( ) (3 1) tan ( ) tan ( )

1 1

1 4 3

3tan 1

f

f f

f

f

H

H

H H

H H H

HH

H

(3.49)

Aplicando condiciones de frontera a Ec. (3.49) y para valores dados de

0 y

0/fH H , se determina el valor de 1 .

1 1, 0P


24

La solución correspondiente a la Ec. (3.48) está definida por la siguiente expresión

matemática:

2 2 4 2 2 4

0 0 0 0

4 3 4 32 2

1 1

0 0

2 2 4 3 2 4 1

0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

2 2

0 1

2 4

0 0 0

0

0

4(1 ) 8( 1) 4(1 ) 8( 1)1

16 1 11 1 1 1

(3 1)(1 2 2 6 2(2 1 3 ) tan ( )

(1 )(1 )

5 14 3 4 1 12

f f

f

H H

H H

H

H

3 2 4 1

0 0 0 0

0 0

2

02 2 2 1

0 1 1 0 1 1

2 2

12 3 4 2 1 1

20 0 0 0 0 0 1 2 1 2

0 12

0

2 231 1 02 2 0 0

0 1 2

0

1 4(2 1 3 ) 1tan ( )

2 3 1 1 (5 3 ) tan ( )

(1 )

2 3 1 3 (3 2 1)tan ( ) tan ( )1 3 tan ( )

1

1 (532( )

1

f f

f

H H

H H

H

H

2

1 2 1 1

0 0 122

1

2 2 1

0 02

0 0 0 011 11 22 2

1

0

2 3 4 2 1

0 0 0 0 0 0

3 )(3 1) tan ( ) tan ( )

1

2(3 1) 1 5 3 tan 1(5 3 )

3tan ( )(1 )

2 3 1 3 (3 2 1)tan (

f f f f

f

H H H H

H H H H

H

H

1

0

2

0

22 1

0

0

2 2 231 1 0 12 2 2 1 10 0

0 1 0 0 122 20 1

0 0 1

2

0

0

) tan 1

1

1 3 tan 1

1 (5 3 )32( ) (3 1) tan ( ) tan ( )

1 1

1 4 3

3tan 1

f

f

f f

f

f

H

H

H

H

H H

H H H

HH

H

(3.50)

25

CAPÍTULO 4

RESULTADOS

En este capítulo se presentan los resultados analíticos de la velocidad,

presión y del espesor adimensionales de salida del material calandrado

para distintos valores del parámetro .

CAPÍTULO 4 RESULTADOS

26

En las figuras 4.1 a 4.8 se muestran las soluciones analíticas representadas por las

Ecs.(3.1), (3.2) y (3.4) que corresponden a los gradientes de presión, y perfiles de

velocidad adimensionales y a los espesores de salida del material calandrado,

respectivamente.

4.1 DISTRIBUCIÓN LONGITUDINAL DE LA PRESIÓN

En las Figs. 4.1 y 4.2, se muestra la solución de orden de la presión adimensional

0 1( ) ( ) ( ) ...,P P P para distintos valores del parámetro .

Fig. 4.1. Distribución de presión adimensional P para 0/ 1.535fH H

La Figura 4.1 muestra la distribución de la presión adimensional P como una función

de la coordenada longitudinal , para un espesor adimensional del material de entrada

, para distintos valores del parámetro . De la Fig. 4.1 se observa que

cuando el material hace contacto con los rodillos (entrada del material de espesor

finito), aguas arriba, su presión es cero, conforme el material pasa a través de los

rodillos se incrementa la presión adimensional , alcanzando un valor máximo en

0/ 1.535fH H


27

, después la presión disminuye aguas abajo, de tal forma que en 0 la

presión adimensional es , así mismo cuando el fluido se separa de los

rodillos (punto de salida del material calandrado) . Así mismo, se

observa que el parámetro e no influye de manera importante en los perfiles de presión,

ya que los valores de la presión máxima se incrementan de manera insignificante a

medida que el parámetro de perturbación se incrementa es decir cuando se incrementa la

velocidad de los rodillos.

Fig. 4.2. Distribución de presión adimensional para 0/ 2.698fH H

De manera similar, la Figura 4.2 muestra la distribución de la presión adimensional

como una función de la coordenada longitudinal , para un espesor adimensional de

entrada del material y distintos valores del parámetro . Los valores

de presión máxima se incrementan de forma insignificante a medida que el parámetro

de perturbación se incrementa como se observa en la figura correspondiente.

max / 2P P

0.3, 0P

P

P

0/ 2.698fH H


28

Comparando la Fig. 4.1 con la Fig. 4.2, para los mismos valores de y 0 ,

se observa que a medida que el espesor de entrada del material es mayor se alcanzan

presiones mayores en , y el punto de salida del material también se incrementa.

4.2 PERFILES DE VELOCIDAD

De la Fig. 4.3 a la Fig. 4.6, se muestran los perfiles de la velocidad adimensional

como función de la variable transversal

adimensional y considerando la viscosidad del fluido dependiente de la presión para

distintos valores del parámetro . Las Figs. 4.3 y 4.4 muestran los perfiles de la

velocidad adimensional evaluados en la región comprendida entre f y , donde el

gradiente de presión /dP d es positivo.

Fig. 4.3. Perfiles de velocidad adimensional u evaluada en 0.55

La Fig. 4.3 muestra la solución de la velocidad adimensional , como una función de

0, ,U R H

1, , , ,ou u uy y y

u


29

la coordenada transversal , evaluada en 0.55 , con un para

distintos valores del parámetro .

La influencia del parámetro sobre los perfiles de velocidad adimensional es más

significativa en el plano central localizada en , e insignificante la influencia de

sobre los perfiles de velocidad adimensional, en la región comprendida en la periferia de

los cilindros.

Como se observa el perfil de velocidades es perturbado por el parámetro . Cuando

se incrementa, los perfiles de velocidad disminuyen habiendo una variación

aproximadamente de 2.2% en 0y , para 0.08 , comparado con el caso donde

0 , Middleman [3] .


En la Figura 4.4 se muestra la solución de la velocidad adimensional u , como una

función de la coordenada transversal y , evaluada en 0.65 , con un 0/ 2.698fH H

para distintos valores del parámetro . Los perfiles de velocidad disminuyen cuando

y0/ 1.535fH H

0y


30

se incrementa, habiendo una variación del 0.3% en 0y cuando 0.08 en

comparación con el caso donde 0 , Middleman [3].

Las Figs. 4.5 y 4.6 muestran los perfiles de la velocidad adimensional evaluados en la

región comprendida entre y , donde el gradiente de presión /dP d es negativo.


En la Fig. 4.5 se presenta el perfil de velocidad adimensional u , como una función de la

coordenada transversal evaluada en , con un 0/ 1.535fH H para distintos

valores del parámetro . En esta figura se observa que el perfil de velocidades es

modificado de manera insignificante por el parámetro , de manera que cuando se

incrementa, los perfiles de velocidad disminuyen habiendo una variación del 0.42%

para 0.08 , con respecto al caso de viscosidad constante, 0 . También se observa,

que en la región comprendida entre y , la velocidad adimensional del fluido u ,

y 0.03


31

es mayor que la velocidad de los rodillos, de tal manera que en la posición donde el

fluido se separa de los rodillos, en el perfil de velocidad es uniforme e igual a la

velocidad de los rodillos.


De manera similar, en la Fig. 4.6 se presenta la solución de la velocidad adimensional

u , como una función de la coordenada transversal y , evaluada en 0.03 , con un

0/ 2.690fH H , para distintos valores del parámetro , habiendo una variación del

0.26% respecto del caso con propiedades constantes, 0 .


32

4.3 ESPESOR DE ENTRADA Y SALIDA ADIMENSIONALES DEL

MATERIAL

De acuerdo con S. Middleman [3], el espesor de salida adimensional del material

0/H H , y su correspondiente punto de separación del material calandrado, están

relacionados mediante la siguiente expresión,

2

0

1H

H , (4.1)

donde el valor de y 0/H H son desconocidos y son parte fundamental del problema

expuesto en esta tesis. Así mismo el espesor adimensional finito del material a la

entrada del proceso de calandrado y su correspondiente punto de contacto del fluido con

los rodillos, están relacionadas mediante la expresión [3],

2

0

1f

f

H

H , (4.2)

en este sentido, en este trabajo el valor de 0/fH H es conocido. Para un valor dado del

espesor adimensional de entrada 0/fH H , se determinó el orden principal de la posición

de salida y su correspondiente espesor adimensional final del material laminado 0 y

0/H H mediante la Ec. (3.34). Por otro lado para determinar la corrección a 0 debido

a la influencia de la presión sobre la viscosidad del fluido, para los mismos valores de

0/fH H y 0 se determinó el valor de 1 a partir de la Ec. (3.50). De ésta manera

0 y

1 se sustituyeron en la expansión representada por la Ec. (3.4).

En la Fig. 4.7, se presentan los resultados para , como función del espesor

adimensional de entrada 0/fH H , para distintos valores del parámetro .

La Fig. 4.7 también muestra que al incrementar el valor de 0/fH H también se

incrementa, por otro lado los valores de crecen al incrementar el parámetro ; pero

si 0 se recupera el caso donde la viscosidad no depende de la presión [3].

0 1 ...


33

Para valores de 0.01 la influencia de es insignificante sobre como se muestra

en la Fig. 4.7. Por ejemplo para 0/ 10fH H el valor de con un 0.09 aumentó

aproximadamente 9.4% comparado con el valor de con un 0 .

Fig. 4.7. Curvas teóricas de , como función de para diferentes valores de .

Para valores aproximadamente de 0/ 1.5fH H , la influencia de sobre es

despreciable, por otro lado para 0/ 100fH H los valores de no son afectados por ,

presentando las curvas un comportamiento asintótico. Cabe hacer mención que se han

presentado resultados de para 0/fH H hasta de 1000 con el único propósito de

mostrar el comportamiento asintótico de con . En aplicaciones de interés ingenieril

[2], los valores usados en el procesamiento de calandrado son hasta de 0/ 20fH H .

Por otro lado para determinar la corrección a 0/fH H debido a la influencia de la

presión sobre la viscosidad del fluido, para los mismos valores de 0/fH H y 0 se

0/fH H


34

determinó el valor de 1 a partir de la Ec. (3.50). De ésta manera 0 y 1 se sustituyeron

en la expansión 2

0 0 0 1/ 1 2 ...fH H .

Figura 4.8. Curvas teóricas del espesor adimensional de salida 0/H H como función de

el espesor adimensional de entrada 0/fH H , para diferentes valores de .

En la Fig. 4.8 se muestra que al incrementar el valor de también se

incrementa, por otro lado los valores de crecen al incrementar el parámetro ;

pero si 0 se recupera el caso donde la viscosidad no depende de la presión [3]. Por

ejemplo para 0/ 20fH H el valor de 0/H H con un 0.09 aumentó

aproximadamente 3.37% comparado con el valor de 0/H H con un 0.

0/fH H 0/H H

0/H H


35

4.4 CONCLUSIONES

En este trabajo, se presenta el estudio teórico de la influencia de la viscosidad

dependiente de la presión sobre el espesor de salida del material calandrado para un

fluido Newtoniano que fluye a través de dos cilindros girando a la misma velocidad

angular. Las ecuaciones que se resolvieron tienen la forma de las ecuaciones de la teoría

de la lubricación. Los resultados del presente trabajo predicen el campo de velocidades

adimensional, la distribución de la presión adimensional y la posición del punto de

separación del fluido con los cilindros. Se puede decir que el efecto que presenta la

dependencia de la presión con la viscosidad del fluido en el proceso de calandrado de

fluidos Newtonianos como se muestra en esta tesis es incrementar el espesor de salida

del material calandrado, por ejemplo en esta investigación se determinó un aumento de

9.4% en el punto de salida del material calandrado y un incremento de

aproximadamente 3.37% en el espesor de salida del material calandrado, en

comparación con el caso del proceso de calandrado para un fluido Newtoniano con

propiedades constantes. En el presente trabajo además se obtuvieron los resultados

reportados por Middleman [3] en el límite de 0 , que corresponde al caso con

propiedades constantes.

36

REFERENCIAS

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rheometry of polymer melts. Rheologica acta 42 (4): 295-308, july 2003.

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[4] G. Ardichvili. Kautschuk, 14:23.

[5] R. E. Gaskell. The calendering of plastic materials. Journal of Applied Mechanics,

17: 334, 1950.

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finite thickness. Journal of Plastic Film & Sheeting, 73:291-299, 2006.

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38

Apéndice A

En este apéndice se describe el proceso para la obtención de la variable física

correspondiente a la Ec. (2.18).

Mediante el análisis geométrico del esquema correspondiente al problema en cuestión,

Figura A1, se han de obtener las expresiones que permiten adimensionalizar la variable

x .

Figura A1. Adimensionalización de la variable x .

Partiendo del análisis de la Figura A1, se tiene la siguiente expresión:

2 2 2x y R (A.1)

2 2y R x (A.2)

39

Por otro lado:

0( )h x H Y (A.3)

de donde se tiene que:

Y R y (A.4)

Realizando el álgebra necesaria con las Ecs. (A.2) a (A.4) y además considerando que

( )h x toma un valor igual a H , se obtiene una expresión para el espesor de salida del

material:

2 2

0H H R R x (A.5)

Asumiendo que x R el término 2 2R x se puede aproximar usando los dos

primeros términos de una serie binomial de la forma:

2 4

2 2

3

1 1...

2 8

x xR x R

R R (A.6)

Sustituyendo los dos primeros términos de la serie binomial, Ec. (A.6) en Ec. (A.5) y

realizando el álgebra requerida, obtenemos una ecuación que expresa la relación del

espesor de salida H , respecto del espesor entre rodillos 0H :

2

0 0

12

H x

H RH (A.7)

Trabajando el término

2

02

x

RH:

22

0 02 2

x x

RH RH

(A.8)

Introduciendo la variable adimensional y sustituyéndola en la Ec. (A.7):

02

x

RH (A.9)

40

De acuerdo con Z. Tadmor y C. G. Gogos [2], en la tabla A1 se presentan los valores

característicos de los parámetros utilizados en el proceso de calandrado.

Tabla A1. Parámetros característicos en el proceso de calendering.

PARÁMETRO SÍMBOLO VALOR

Radio del rodillo R 0.10-0.20 m

Separación de los rodillos 0.001-0.0001 m

Velocidad de los rodillos U 0.10-0.30 m/s

En la tabla A2, se presenta la tabulación de valores de para 0 y 1 correspondientes a

cada valor de f .

Tabla A2. Valores de 0 y 1 para distintos valores de f

f

0/f

H H 0 1

-0.01958 1.00038338 0.01 0.006275 -0.03965 1.00157212 0.02 0.01507 -0.07803 1.00608868 0.04 0.03424 -0.1207 1.01456849 0.06 0.05553 -0.1617 1.02614689 0.08 0.07354 -0.2034 1.04137156 0.1 0.09052 -0.2457 1.06036849 0.12 0.1033 -0.2893 1.08369449 0.14 0.1182 -0.3343 1.11175649 0.16 0.1327 -0.3812 1.14531344 0.18 0.1483 -0.4305 1.18533025 0.2 0.1656 -0.4823 1.23261329 0.22 0.1816 -0.5374 1.28879876 0.24 0.1981 -0.5969 1.35628961 0.26 0.2207 -0.6314 1.39866596 0.28 0.2421

-0.7325 1.53555005 0.3 0.2562 -0.8121 1.65950641 0.32 0.2778 -0.9029 1.81522841 0.34 0.3005 -1.0089 2.01787921 0.36 0.323 -1.1376 2.29413376 0.38 0.3484

-1.3007 2.6980009 0.4 0.3721 -1.5251 3.32593001 0.42 0.3998 -1.8778 4.52613284 0.44 0.4248 -2.6494 8.01932036 0.46 0.4445 -11.9208 143.105473 0.475 0.459 -14.9444 224.335091 0.4751 0.4593

0H

41

Apéndice B

Dado que en el presente estudio los efectos de la presión en dirección transversal han

sido despreciados, en el apéndice B se demuestra que la distribución de presión en

dirección transversal es insignificante, comparada con la distribución de presión

longitudinal.

Partiendo de la Ec. (2.3), que representa a la ecuación de cantidad de movimiento en

dirección transversal, se ha de comprobar que el gradiente de presión 0P

y

.

( )

0

P xv v P u vu v e

x y y x y x

(B.1)

Para la adimensionalización de la ecuación de cantidad de movimiento en dirección

transversal, Ec. (B.1) se sustituyen las variables en unidades físicas por las variables

adimensionales, Ecs. (2.15) a (2.21) descritas en el capítulo 2.

2

0

0 0 00 0 0

1

2 2 2

cP PcPUV v V v dP U u V vu v e

H y H dy H yRH RH RH

(B.2)

Retomando la Ec. (2.14), descrita en el capítulo 2, donde:

0

2

HV U

R (B.3)

y sustituyendo Ec. (B.3) en Ec. (B.2)

42

2

2 20 0 0

0

0 0 00 0 0

12 2 2

2 2 2

cP Pc

H H HU U U

Pv v dP U u vR R Ru v eH y H dy H yRH RH RH

(B.4)

Multiplicando la Ec. (B.4) por 0H y realizando el álgebra requerida:

2 0 00

0 0

1

2 22

cP PcH P Hv v dP u vU u v e U

R y H dy y RRH

(B.5)

Dividiendo la Ec. (B.5) entre 0 0H U :

0 0

0 0 0 0 00

1

2 22

cP P

cH P HU v v dP e u vu v U

H R y H U dy H U y RRH

(B.6)

De la Ec. (B.6) se desprende que 0

0

ReUH

y 0 es evaluado a una presión de

referencia0P , sus valores son del orden de 1-5X10

4Pa-s [12], además, en este caso

Reynolds es del orden de 1X10-5

.

0

0 0 0 0 0

1 1Re

2 22

cP PcP Hv v dP u vu v e

RH y H dy y RH RH

(B.7)

Multiplicando Ec. (B.7) por 2

0H :

0 0 0 0

0 0

Re2 22

cP PcH P H H Hv v dP u vu v e

R y U dy y RRH

(B.8)

además, considerando que:

2 0 1

2

H

R (B.9)

43

0,

0

c y

UP

H

(B.10)

0

02 2Re

UP

Hv v dP u vu v e

y dy y

(B.11)

De ésta manera los términos de la expresión (B.11) multiplicados por son

aproximadamente igual a cero, de donde queda que:

0dP

dy (B.12)

44

Apéndice C

En la Figura C1 se muestra el gradiente de presión para 0.7325f . El gradiente de

presión vale cero en ; el punto situado en f es la posición donde la placa

hace contacto con los rodillos, en es el punto de máxima presión y

representa la posición donde el material abandona los rodillos.

Figura C1. Gradiente de presión del orden cero.

0

0 0

45

Apéndice D

La fuerza ejercida por el fluido sobre los rodillos desde fx

hasta el punto 0x , como se

aprecia en la Fig. 2.1, se puede escribir como,

0

( )f

x

xF Pd Wx

(D.1)

donde W representa la profundidad del material calandrado. Adimensionalizando la Ec.

(D.2) utilizando las variables adimensionales descritas por las Ecs. (2.15) a (2.21), se

obtiene la siguiente expresión:

0

2

f

F RP U P d

W H

(D.2)

si consideramos que está definida como,

f

P d

(D.3)

Sustituyendo en la Ec. (D.2) y despejando 0H :

0

2 ( )

/

R P UH

F W

(D.4)

Tomando en cuenta que la función está establecida como 0( ) PP e , se

sustituye en la Ec. (D.4) y se obtiene que,

0 0

2

/

PRUH e

F W

(D.5)

de la Ec. (D.6) se define a 0,0H como,

00,0

2

/

R UH

F W

(D.6)

( )P

46

El término 0,0H representa el espesor del material calandrado en la región de

separación mínima entre los rodillos considerando la viscosidad 0 constante y evaluada

a una presión de referencia 0P . En este sentido, la Ec. (D.5) se escribe como:

0 0,0

PH H e (D.7)

La derivada del espesor 0H con respecto de la presión P se expresa como:

00,0

PdHe H

dP

. (D.8)

Debido a que el parámetro 8 12 10 Pa 1 [1], se linealiza la función Pe de la

siguiente manera,

1Pe P (D.9)

Sustituyendo Ec. (D.9) en Ec. (D.8),

200,0

dHH P

dP , (D.10)

despreciando los términos de orden superior de , en órdenes de magnitud la Ec.

(D.10) se escribe como:

H

PH

, (D.11)

ya que en el proceso de calandrado 0 0,0H H H . La Ec. (D.11) representa en órdenes

de magnitud el cambio en el espesor del material calandrado debido a la influencia de

la presión en la viscosidad del fluido.

PROCESO DE CALANDRADO PARA UN FLUIDO NEWTONIANO …

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