Procesamiento digital de señales -...

Procesamiento digital de señales Semana 5.

DFT

Dra. María del Pilar Gómez Gil

Otoño 2017

Coordinación de computación

INAOE Versión: 11 de Octubre 2017

(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 1

Tema La transformada Discreta de Fourier

(tarea: leer los capítulo 8 y 9 del libro de texto)

Gran parte del material de esta presentación fue tomado de:

Smith, Steven The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing W. , Second Edition, 1999, California Technical Publishing

Smith, Steven W. Digital Signal Processing. A Practical Guide for Engineers and Scientist. Amsterdam: Newnes, Elsevier Science. 2003. ISBN: 0-750674-44-X.


http://www.dspguide.com/



Fasor

O Es la representación de un número

complejo a través de un vector que gira a

cierta velocidad en el plano real-imaginario

O Se puede escribir como:


a

bbabja 122 tan

cis = “Coseno + i Sen “

Representación de un número complejo


Real

Imag.

a

b

a

bbabja 122 tan

Ecuación ó Identidad de Euler


1

constante

)()(

j

w

wtjSenwtCose jwt

fasor un es jwte

Proyección de un fasor en el eje de los números reales


Animación de la

proyección de la parte

real de un número

complejo que gira, lo

cual dibuja un coseno !!!

By Gonfer at English

Wikipedia, CC BY-SA 3.0,

https://commons.wikim

edia.org/w/index.php?c

urid=11313700

Transformaciones de señales

O Una señal se puede descomponer en la

combinación de otras señales base

O Una transformación es la representación de

una señal utilizando algún otro sistema de

funciones base

O En PDS se utilizan mucho las tranformaciones.

Las mas comunes son las transformadas

discretas de Fourier (DFT), Laplace, Z, Hilbert,

wavelets (WT) y Coseno (DCT)


El concepto de “funciones base” base, con un ejemplo de “kinder”

Para hacer plastilina “verde” cuando no tienes…

Verde = 0.4 x Azul + 0.6 x Amarillo

8

e

d

r

e

v

amarillo

rojo

azul

6.0

0

4.0

La familia de Transformadas de Fourier

O El análisis de Fourier debe su nombre a Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

O Fourier estaba interesado en la propagación del calor, y en 1807 publicó un artículo sobre como usar sinusoides para representar distribuciones de temperatura.

O Allí aseguró que cualquier señal periódica podría representarse como la suma de ondas sinusoidales, escogidas correctamente.

(Smith, 1999)


Tipos de FT

Tipo de Señal Discreta Continua

Periódica

Transformada de

Fourier Discreta (DFT)

Serie de Fourier

Aperiódica Transformada de

Fourier en tiempo

discreto (Discrete

Time Fourier

transform, DTFT)

Requiere un número

infinito de sinusoides!

Transformada de

Fourier

Requiere un número

infinito de sinusoides!


(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 11 (Smith, 1999)

Transformada Discreta de Fourier (DFT)

(El único tipo que pueden usar las computadoras, pues

solo manejan señale discretas y finitas)


DFT

Señal en el

tiempo (n)

f(n)

Señal en la

frecuencia (u)

F(u)

Transformada Discreta de Fourier (cont.)

f(n)n)K(u,F(u)

u = 0,1,2, ..., N-1

1

0

2

)()(N

n

unN

j

enfuF

13

K se conoce como el “núcleo” de la transformada

DFT expandida

O La DFT puede expandirse en n (dominio del tiempo),

o en u (dominio de la frecuencia)

(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017

14

1

0

12

1

0

12

1

0

02

)()1(

)()1(

)()0(

N

n

nNN

j

N

n

nN

j

N

n

nN

j

enfNF

enfF

enfF

DFT expandida (cont.)


12

12

02

)1()1()0()(

Nu

Nju

Nju

Nj

eNfefefuF

Kernel o núcleo de transformación


)1(

)1(

)0(

)1(

)1(

)0(2

Nf

f

f

e

NF

F

Fun

N

j

<---- n -------->

u

unN

j

e2

W Núcleo de transformación

Ejemplo

O Calcular la DFT de {2, 0, 1, 3}

Para este ejemplo N=4, entonces

ya que, por la ecuación de Euler:


jjjSenCosej

022

2

ununjunN

j

jee

2

2

W

Cálculo del kernel para el ejemplo


jjj

j

)1(111

111

3

2

Recodar que…

Cálculo del kernel para el ejemplo (cont.)


jjjjjjjj

jjjjjj

jjj

jjjjj

jj

jj

j

)(11

1)(11

11)1(11

)1(11

1)1(11

1

33399

23366

2244

233

222

1

0

Cálculo del kernel para el ejemplo (cont.)


jj

jj

jjjj

jjjj

jjjj

jjjj

11

1111

11

1111

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

9631

6420

3210

0000

W

Ejemplo (cont.)


2490.110

0

2490.110

06

31

0

31

6

3102

3102

3102

3102

3

1

0

2

11

1111

11

1111

j

j

j

j

jj

jjF(u)

Ejemplo sobre manejo de números complejos en Matlab y uso de función “fft” (código aquí)


http://ccc.inaoep.mx/~pgomez/cursos/pds/slides/ejemDFT.m


Ejemplo sobre manejo de números complejos en Matlab y uso de función “fft” (cont.)

Ejecución del ejemplo


Otro ejemplo de cálculo DFT


Código

http://ccc.inaoep.mx/~pgomez/cursos/pds/slides/moreDFT.m

Otro ejemplo (cont.)


Sobre la parte real y parte imaginaria de la DFT

O La DFT de una función con N puntos resulta

en un número complejo con N puntos.

Entonces la DFT puede dividirse en dos

componentes: una parte real y una

imaginaria.

O La parte real corresponde a los

componentes coseno y la imaginaria a los

componentes seno.


Parte real e imaginaria de DFT


(Smith, 1999)

(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 30 (Smith, 1999)

En el ejemplo anterior…

z= real(fft(x));


¿Qué representa el eje horizontal de F(u)? (1/3)

O Recordemos que la forma general de una función coseno continua está dada por:

donde w es la frecuencia, dada en radianes/segundo

O 2π radianes = 360º = darle una vuelta a un circulo

Entonces:

Donde f = frecuencia en ciclos/segundo = Hertz

33

)cos()( wttx

)2cos()( fttx

34

"Sine cosine one period" by Geek3 - Own work.

Licensed under Creative Commons Attribution 3.0 via Wikimedia Commons -

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sine_cosine_one_period.svg#mediaviewer/File:Sine_cosine_one_period.svg


O La función coseno discreta se define como:

donde es el periodo de muestreo.

se conoce como frecuencia

normalizada ó natural

35

)2cos()( nf

fnTx

muestreo

señalmuestreo

)2cos()( muestreoseñalmuestreo nTfnTx

muestreoT

muestreo

señal

f

f2

0 N/2 N-1 Sin dimensión

(posicional) u

π 2π Radianes

0.5 1 sin dimensiones

Hz


36

muestreo

señal

f

f

señalf

Lo sombreado representa al rango “útil” o disponible de frecuencias

de cualquier sistema discreto

2muestreof

Frecuencia de Nyquist ! muestreof

muestreo

señal

f

f2

Funciones base de la DFT


(Smith, 1999)

(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 38 Figura 8.5 de (Smith, 1999)

(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 39 Cont. Figura 8.5 de (Smith, 1999)

Síntesis de la DFT


(Ecuaciones 8.2 y 8.3, Smith 1999)

O Se define como:

para n = 0,1 .. N-2

O Al comparar esta ecuación con la de DFT, se nota que solo el signo del exponencial es diferente!

DFT inversa

)(1

)(

21

0

uFeN

nf

unN

jN

n

41

O Obtener la transformada inversa de:

Ejemplo

jjuF 31 ,0 ,31 ,6)(

3

1

0

2

12

4

0

8

4

1

31

0

31

6

11

1111

11

1111

)(

j

j

jj

jjnf

42

O Multiplicación del primer renglón por

primera columna:

O Multiplicación del cuarto renglón por

primera columna:

Ejemplo (cont.)

8310316 jj

1266336 222 jjjjj

43

O Leer:

Ramirez-Cortés JM, Gómez-Gil MdP, Baez-López D. “El Algoritmo de la Transformada

Rápida de Fourier y su Controvertido Origen”, Revista Ciencia y Desarrollo, Vol. XXIV, No.

139, Marzo-Abril 1998.

Disponible en:

http://www-elec.inaoep.mx/~jmram/cvjmr/El algoritmo de la FFT y su controvertido 1998.pdf

Transformada Rápida de Fourier

44
















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