Procesamiento Digital de Imágenes

Unidad IV (2da. parte): Restauración de imágenes II

Departamento de Informática - FICHUniversidad Nacional del Litoral

29 de abril de 2011

Unidad V (b): Restauracion de imagenes II – p. 1/16

Temas a desarrollar

b Motivación.b Modelo de degradación.b Modelos de ruido.b Filtrado espacial.b Ruido periódico y filtrado frecuencial.b Estudio de H

b Estimación de Hb Filtrado inverso

b Filtrado de mínimos cuadradosb Filtro generalizado de Wiener

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Modelo de degradación

b La imagen original es afectada por una función de degradación más elaporte de ruido.

Dominio espacial → g(x,y) = h(x,y)∗ f (x,y)+η(x,y)

Dominio frecuencial → G(u,v) = H(u,v) F(u,v)+N(u,v)

Función de degradación H

+

Ruido

Proceso de restauración

f(x,y) f(x,y) g(x,y)

b Abordaje del problema:b Asumimos H=1 y estudiamos el ruido.b Luego estudiamos H y la restauración en presencia de ambos

componentes.

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Introducción

b Estudio anterior: efecto del ruido con degradación nula.b Ahora: efecto de la función de degradación con ruido nulo

g(x,y) = h(x,y)∗ f (x,y)

G(u,v) = H(u,v) F(u,v)

b Estudiaremos: degradaciones que pueden ser modeladas medianteprocesos lineales e invariantes a la posición.

b Los filtros utilizados reciben el nombre de filtros de deconvolución.b El proceso de restauración se denomina filtrado inverso.

b Abordaje del problema:b Estimación de la función de degradación: tres maneras.b Planteo de algoritmos de filtrado.

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Estimación de H

b Estimación por observación de la imagen:b Utilizado cuando se dispone solamente de imágenes adquiridas, no

del sistema de adquisición.b En áreas de alto contenido de señal podemos copiar grises y generar

una subimagen "limpia" fs(x,y) basada en las estructuras de laimagen.

b Inferencia de características de H mediante:

Hs(u,v) =Gs(u,v)

Fs(u,v)

b Generación de H(u,v) mediante escalado (la invariancia aldesplazamiento permite hacerlo).

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Estimación de H

b Estimación por experimentación:b Utilizado cuando se dispone del sistema de adquisición.b Obtención de la respuesta al impulso del sistema adquiriendo un

patrón puntual de luz.b Estimación de la función de degradación mediante:

H(u,v) =G(u,v)

A

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Estimación de H

b Estimación por modelización:b A menudo se emplea un modelo físico para obtener la respuesta al

impulso del sistema degradante. Ej: modelo de turbulenciaatmosférica (desenfoque aprox. gaussiano)

H(u,v) = e−k(u2+v2)5/6

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Estimación de H

b Estimación por modelización:b En caso de conocer el motivo de la degradación, se puede plantear y

ajustar un modelo matemático. Ej: desenfoque debido a movimientouniforme en la imagen

H(u,v) =T

π(ua+ vb)sin[π(ua+ vb)]e− jπ(ua+vb)

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Filtrado inverso

b En la ausencia de ruido, y conocida (o estimada) la función H, la maneramás simple de restaurar la imagen es:

F(u,v) =G(u,v)H(u,v)

= R(u,v) G(u,v)

donde el filtro inverso está dado por 1/H(u,v).b En la presencia de ruido, la ecuación del sistema queda:

F(u,v) = F(u,v)+N(u,v)H(u,v)

b Analizando la ecuación:b Aunque se conozca H, no se puede recuperar la imagen original.b En valores pequeños de H, el ruido se amplifica desmesuradamente.

b En la práctica pueden ser difíciles de construir ya que son inestables.

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Filtrado inverso

b Solución #1: utilizar filtros pseudo-inversos:

R(u,v) =

{

1H(u,v) , |H(u,v)|> ε0, resto

b Solución #2: suavizar la relación G/H con filtros pasa-bajos:

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Filtrado de mínimos cuadrados

b Aproximación que maneja la estadística del ruido y la función dedegradación conjuntamente.

b El método considera a la imagen y al ruido como procesos aleatorios, yaplica estadística (correlación) entre la imagen y el ruido.

b Filtro paramétrico de Wiener: función que minimiza la relación ruido/señal.La restauración en el dominio frecuencial queda dada por:

F(u,v) =

[

1H(u,v)

|H(u,v)|2

|H(u,v)|2+ γ Sη (u,v)S f (u,v)

]

G(u,v)

γ: parámetro del filtro.Sη (u,v) = |N(u,v)|2: espectro de potencia del ruido.

S f (u,v) = |F(u,v)|2: espectro de potencia de la imagen original.

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Filtrado de mínimos cuadrados

b Casos particulares:b γ = 0: filtro inverso.b γ = 1: filtro de Wiener.b γ 6= 0,1: filtro paramétrico de Wiener.

b La elección de γ = 1 conduce a una función que minimiza el errorcuadrático medio (óptimo estadísticamente):

e2 = E{( f − f )2}

b La implementación requiere conocer los espectros de potencia de laimagen y del ruido, o bien la relación señal/ruido ρ = S f (u,v)/Sη (u,v):

F(u,v) =

[

1H(u,v)

|H(u,v)|2

|H(u,v)|2+ γρ

]

G(u,v)

Notar que cuando η → 0, el filtro paramétrico tiende al filtro inverso.

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Filtrado de mínimos cuadrados

b Cuando no se conocen (o no se pueden estimar) los espectros depotencia se emplea la siguiente aproximación:

F(u,v) =

[

1H(u,v)

|H(u,v)|2

|H(u,v)|2+K

]

G(u,v)

Desenfoque+ruido F. inverso F. Wiener

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Filtrado de mínimos cuadrados

b Efecto del parámetro γ en el filtro paramétrico:

g(x,y) f (x,y),γ = 0.1 f (x,y),γ = 5

b Valores pequeños de γ: mejor remoción de la degradación H (ej:desenfoque), y pobre filtrado del ruido (ej: ruido gaussiano).

b Valores altos de γ: pobre restauración de la degradación H y mejorfiltrado del ruido.

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Filtro de la media geométrica

b Generalización del filtro de Wiener:

F(u,v) =

[

H∗(u,v)

|H(u,v)|2

]α[

H∗(u,v)

|H(u,v)|2+β Sη (u,v)S f (u,v)

]1−α

G(u,v)

con α, β ∈ ℜ ≥ 0b Familia de filtros según los parámetros:

b α = 1: filtro inverso.b α = 0: filtro paramétrico de Wiener. β = 1: filtro de Wiener.b α = 1/2: media geométrica entre el f. inverso y el f. de Wiener.b α = 1/2 y β = 1: filtro de ecualización del espectro de potencia.b Combinaciones.

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Fin de teoría

b Próxima teoría: Unidad V - Segmentación

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