Procesamiento Digital de Imágenes

Operaciones Orientadas a Punto

Contenido

FundamentosOperaciones Elementales

Operador IdentidadNegativo de una ImagenTransformaciones funcionalesFiltros

Fundamentos

Operaciones orientadas a punto:Modifican los valores de los píxelesNo es necesario considerar los valores de los píxeles vecinos

Definición

Sea x ∈ I, donde x es un píxel, I una imagen en escala de grisesUna operación punto sobre una imagen I se define como una función f: I I’, tal que f(x) = y

Si x = I[x, y], entonces f(x) = I’[x, y]

Nota: Si x ∈ Q (Q=[0, q-1], q niveles de cuantización), entonces y ∈ Q’, donde Q’ ⊆ Q

Algoritmo Básico de la Operación Punto

Sea R ⊆ I, donde R[i1… i2, j1, …, j2]El algoritmo básico de transformación de R bajo f se define como:for(i=i1; i <= i2; i++)

for(j=j1; j <= j2; j++)R’[i,j] = f(I[i,j])

Obervaciones:Si IM,N, entonces 0 <= i1, i2 <= M, 0 <= j1, j2 <= NSi i1 = 0, i2 = M-1, j1 = 0, j2 = N-1, entonces R = I

Propiedades

Al igual que en funciones matemáticas, también en imágenes tenemos la composición de operadores

Si f1, f2 son operadores sobre I, entonces f1 ○ f2 (I) = f1 (f2 (I))f1 ○ f2 (I) ≠ f2 ○ f1 (I)

Las operaciones en serie son útiles para:Definir filtros sobre la imagenDetección de bordesSegmentación…

Aplicación en Serie de Operaciones

f1 ○ f2 ○ f3 (I)

f1 f2

f3

Operaciones Elementales

Operación Identidad

Sea I una imagen RGB en el dominio [0, q-1] para cada canal, con una dimensión M x NLa operación identidad de una imagen I se define como la función f: I I, tal que:

f(x) = xfor(i=0; i < N; i++)

for(j=0; j < M; j++)I’[i,j] = I[i,j]

Operación Identidad

Operación de mapeo lineal

x

y

Negativo de una Imagen

Sea x = (x1, x2, x3) un píxel de una imagen I, el negativo de x se define como

f(x) = y, donde y = (~x1, ~x2, ~x3) = (α - x1, α - x2, α - x3)

donde α = q – 1 (generalmente q = 256)

Negativo de una Imagen

Por ejemplo, sea una Imagen I blanco / negroα = q – 1, donde q = 2, por tanto α = 1Si el píxel es 0, entonces se transforma en 1 y viceversa

Negativo de una Imagen

Operación de mapeo lineal

x

y

Negativo de una Imagen a Color (profundidad a 8 bits)

Transformaciones Funcionales

Sea I una imagen RGB, donde x ∈ I, x = (r, g, b)

Sea fβ una función que opera sobre los canales RGB, entonces

x’ = (r’, g’ b’) = F(X) = (fR(x), fG(x), fB(x))Las funciones fR, fG, fB pueden operar exclusivamente sobre los valores de sus canales

x’ = (r’, g’ b’) = F(X) = (fR(r), fG(g), fB(b))

Transformaciones Funcionales

Las funciones fR, fG, fB tienen la misma forma de operar (fR = fG = fB), entonces se definirá un operador directo simétrico

x’ = (r’, g’ b’) = F(X) = (f(r), f(g), f(b))Las transformaciones funcionales son operaciones puntualesLas operaciones funcionales también se conocen como filtros

Ejemplo de un operador

Filtro de corrección de luz o corrección gamma

γ es un real positivo, r ∈ [0, q], r’ ∈ [0, q]Si γ ∈ (0,1] la imagen será aclarada

γ

=

qrqr´

Ejemplo de un Operador

Si γ > 1 la imagen será obscurecida

Ejemplo de un Operador

Filtros de Aclarado

Efecto en el cual los tonos de una imagen se corren hacia los blancosExisten diferentes funciones para aclarar una imagen

Función logarítmicaFunción senoFunción exponencial

Filtros de AclaradoFunción Logarítmica

Conocida como transformación de rango dinámicoLa función se define como:

x’ = A ln(αx +1), α > 1, x ∈ [0, q](q normalmente toma el valor de 255)

NotasX = 0 x’ = 0

Filtros de AclaradoFunción Logarítmica

Para determinar A se pide queX’ = q si z = qDe esta restricción se concluye que A = q / ln(αq +1)

Curva de Respuesta del Filtro, dondeα = 1q = 255A = 255/ln(256)

Filtros de AclaradoFunción Logarítmica

Filtros de AclaradoFunción Logarítmica

Esta función se usa para aclarar imágenes obscuras y aumentar el contraste

Filtros de AclaradoFunción Seno

En este filtro, se utiliza la función seno en el intervalo [0, π/2]Estructura general

X’ = µ sin(kx)Donde k = π / 2q, µ = qSi se normaliza la función en (0,q) x (0,q) tendrá la forma:

X’ = q sin(πx / 2q)

Filtros de AclaradoFiltro Exponencial

Otro filtro que se suele utilizar se basa en la función exponencial:

X’ = A(1-e-αx/q), donde α ∈ [0, q]La función tiende a A cuando x creceA se define como

A = q / (1-e-α)

Filtros de ObscurecimientoFunción cosenoidal

De forma análoga a la función seno, se puede construir una función cosenoidal por debajo de la identidad (obscurecimiento)

Filtros de ObscurecimientoFunción cosenoidal

Definición de la función:

−=

qxqx

2cos1' π

Filtros de ObscurecimientoFunción Exponencial

Filtro de obscurecimiento con un mayor efecto sobre la imagen

donde:

( ) 0,1' / >−= αα qxeAx

)1/( −= αeqA

Filtros por segmentos lineales

Los filtros se pueden diseñar para operar por regiones dentro de la imagen

Filtros por Segmentos Lineales

Dependiendo de la posición de cada segmento, se lograrán efectos de aclarado / obscurecimientoPara determinar el valor de un píxel, se hace lo siguiente:

Se determina un punto (x, x’) como valor de corrimientoSe definen las ecuaciones de las rectas de los segmentos entre [0,x) y [x,q]Para cada nuevo valor de un píxel z, se define si z ∈ [0,x) ó z ∈[x,q] y se calcula su nuevo valor con respecto a la ecuación de la recta

Filtros por Segmentos Lineales

Para el segmento intermedio de la gráfica, la ecuación es:x’ = mx + b, donde:- m = q / (x2 – x1) y b = -q x1 / (x2 – x1)