Procesamiento de Senales

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA de MEXICO

FACULTAD INGENIERIA

PROCESAMIENTO DE SENALES

(FILTROS PASIVOS, ACTIVOS Y DIGITALES)

BOHUMIL PSENICKA

DIVISION DE INGENIERIA ELECTRICA

DEPARTAMENTO DE TELECOMUNICACIONES

5

Indice General

1 Circuitos de dos puertas 111.1 Funciones Circuitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Funcion de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Ecuacion caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Realizacion de circuitos LRC 272.1 Polos y ceros de la impedancia Z(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.1 Realizacion de Z(s) mediante el metodo de Foster I . . . . . . . . . . 302.1.2 Realizacion Y(s) mediante el metodo de Foster II . . . . . . . . . . . 352.1.3 Realizacion Z(s) mediante el metodo de Cauer I . . . . . . . . . . . . 382.1.4 Realizacion Z(s) mediante el metodo de Cauer II . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Realizacion de circuitos bipuertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Transformacion de las plantillas. 53

4 Aproximacion de las plantillas 654.1 Aproximacion de Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2 Aproximacion Chebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Aproximacion Chebychev inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.4 Aproximacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.5 Aproximacion de Cauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5.1 Filtro elptico con el metodo de Rumpelt . . . . . . . . . . . . . . . . 914.5.2 Filtro elptico segun Darlington . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.3 Filtro elptico segun Skwirzinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 Diseno de los filtros mediante tablas 1015.1 Tablas del filtro Butterworth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 Tablas del filtro Chebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3 Tablas de filtro Chebychev inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6 Filtros pasivos RC 1136.1 Filtros PRC elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2 Cascada de los filtros RC elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.3 Cascada de los circuitos progresivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4 Cascada de los bipuertos RC con divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.5 Filtro RC con la admitancia en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7

7 Filtros activos con amplificador. 1277.1 Filtros activos de segundo orden con FTCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1.1 Filtro activo paso bajas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.1.2 Filtro activo paso altas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.1.3 Filtro activo paso banda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.2 Filtros activos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2.1 Filtro paso altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2.2 Filtro paso bajas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.2.3 Filtro paso banda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.3 Filtros con retroalimentacion multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3.1 Paso bajas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3.2 Paso altas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.3.3 Paso banda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.4 Filtros disenados mediante las tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.5 Filtro Butterworth paso bajas de sexto orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.6 Diseno de los filtros con girador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.6.1 Girador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8 Filtros de cristal 1538.1 Resonador piezoeletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.2 Atenuacion del filtro en la forma cruz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.3 Filtro paso de banda en la forma cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9 Filtros disenados mediante acoplamiento 1599.1 Filtros electromecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10 Filtros con los capacitores conmutados. 16710.1 Filtro SCF de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.2 Analisis los circuitos SCF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.3 Analisis general de los circuitos RC conmutados. . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11 Ecualizadores 18911.1 Ecualizador de atenuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18911.2 Ecualizador de la fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

12 Clasificacion de las senales y sistemas 19512.1 Senales continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

12.1.1 Senales continuas y no periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19512.1.2 Senales continuas y periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19712.1.3 Senales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19812.1.4 Senal discreta y periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19912.1.5 Senal discreta y no periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

12.2 Sistemas discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20012.2.1 Sistema invariante en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20012.2.2 Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20112.2.3 Sistema causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20112.2.4 Sistema estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8

13 Transformada-z y la transformada z inversa 20713.1 Transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

13.1.1 Propiedades de la transformada-z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20913.2 La transformada-z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

14 Correlacion 217

15 Transformada discreta de Fourier 22315.1 Simetra de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22415.2 Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22715.3 La transformada de Fourier de una senal discreta y periodica . . . . . . . . . 23415.4 Las propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

16 La transformada rapida de Fourier 24316.1 El algoritmo Decimacion en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24516.2 El algoritmo Decimacion en la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25116.3 La respuesta a un impulso calculada mediante la FFT . . . . . . . . . . . . . 26016.4 Macro para FFT N=8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26316.5 Transformada de Fourier mediante Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

17 Filtros digitales con respuesta infinita 27717.1 La estructura cascada de un filtro digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27917.2 La estructura paralela de un filtro digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28017.3 Algoritmo matricial para la transformada bilineal . . . . . . . . . . . . . . . 28417.4 Transformacion de pasa bajas analogico a paso bajas digital . . . . . . . . . 28517.5 Transformacion paso bajas a paso altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28817.6 Transformacion paso bajas a paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28917.7 Diseno de los filtros desde la respuesta al Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 29217.8 Sntesis de los circuitos discretos con la ayuda de las matrices circulares . . . 297

18 Filtros digitales con la respuesta finita FIR 30118.1 Filtros con la respuesta finita al impulso FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30118.2 Diseno del Filtro FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30618.3 El diferenciador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31718.4 Transformador de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31818.5 La influencia de las ventanas a la respuesta del filtro . . . . . . . . . . . . . 32118.6 Filtros FIR obtenidos de las muestras del dominio de las frecuencias . . . . . 325

19 Funcion de transferencia 32919.1 Funcion de transferencia de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32919.2 Analisis de circuitos discretos en la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

20 Sntesis y analisis de filtros digitales 34120.1 Analisis matrizial de los circuitos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34120.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34320.3 Sntesis matricial de los circuitos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

9

21 Filtros digitales de onda 35721.1 Sustitucion de L y C por el circuito discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35721.2 Los adaptadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

21.2.1 Adaptador paralelo dependiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35921.2.2 Adaptador de serie dependiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36021.2.3 Adaptadores elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

21.3 Ejemplos de realizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

22 Filtros digitales en la forma cruz 37122.1 Filtros con la respuesta finita al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37122.2 Filtros con la respuesta infinita al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37722.3 Filtros IIR con polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

23 Filtros digitales de dos dimensiones 39123.1 Diseno de un filtro de paso bajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39223.2 Analisis del filtro digital de dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39523.3 Diseno de un filtro paso bajas simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39623.4 Diseno del filtro paso altas simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39723.5 Diseno del filtro supresor de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39823.6 Diseno del filtro de paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39923.7 Realizacion de las funciones transferencias de dos dimensiones . . . . . . . . 40023.8 Realizacion de la funcion de transferencia mediante ampliacion de la matriz . 40223.9 Estabilidad de los filtros de dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

24 Efecto de cuantizacion 40524.1 Cuantizacion de los coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40924.2 Cuantizacion de los coeficientes del filtro IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

24.2.1 Sobrefujo en los circuitos digitales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

10

Captulo 1

Circuitos de dos puertas

1.1 Funciones Circuitales

En este captulo trataremos la sntesis de los circuitos bi-puertos sin perdidas que son imple-mentados considerando inductancias y capacitancias de caracter ideal. En este caso la estruc-tura transversal clasica utilizada puede constituir un modelo apropriado para ser aplicadoen otras tecnicas para la realizacion de filtros, como es el caso de los circuitos activos RC,configuraciones con capacitores de contacto y sistemas piezoelectricos o electromecanicos.Originalmente, la teora clasica de filtros aparte de los parametros imagen, de maneraque se presupona un acoplamieno perfecto de bi-puerto.

Los parametros de imagen se utilizan clasicamente en la sntesis de redes fasadoras, circuitoscorrectores RLC y en filtros resonadores de cristal. Los problemas de acoplamiento fueronoriginalmente resueltos por Cauer y Darlington.

Un bi-puerto de caracter general trabaja entre las impedancias de la fuente Z1 y la cargaZ2, como se ilustra en la figura 1.1

Figura 1.1: El circuito de dos puertas

Parametros de cascada Aij

Las ecuaciones lineales (1.1) caracterizan el circuito de dos puertas. Los parametros Aij sellaman los paremetros de cascada.

11

U1 = A11.U2 + A12.I2

I1 = A21.U2 + A22.I2 (1.1)

Si en la salida el circuito esta abierto entonces I2 = 0, por lo que A11 es la funcion detransferencia de voltaje definida

A11 =U1U2

(1.2)

Si en la salida el circuito esta en corto, entonces U2 = 0, la funcion de transferencia decoriente se define mediante la ecuacion (1.3)

A22 =I1I2

(1.3)

El circuito de bi-puertas es simetrico si A11 = A12 y es pasico si |A| = 1. El circuito pasivocontiene solo los elementos R, L, C y transformador.

Parametros de impedancia Zij

Si se conocen los parametros Zij del circuito, entonces el circuito de bi-puerto esta definidomediante las ecuaciones

U1 = Z11.I1 + Z12.I2

U2 = Z21.I1 + Z22.I2 (1.4)

El parametro Z11 es la impedancia de entrada del circuito si la puerta en la salida esta abiertay Z22 es la impedancia de salida si la puerta en entrada esta abierta. Z12 es la impedanciade transferencia si I1 = 0 y Z21 es la impedancia de transferencia si la puerta de salida estaabierta.

Z11 =U1I1 |I2=0

Z12 =U1I1 |I1=0

Z21 =U2I1 |I2=0

Z22 =U2I2 |I1=0

(1.5)

El circuito de bi-puertas es simetrico si Z11 = Z22 y es pasivo si contiene solo los elementosR,L,C y transformadores, y si Z12 = Z21.

12

Parametros de admitancia Yij

Si se conocen los parametros Yij del circuito, entonces el circuito de bi-puerto esta definidomediante las ecuaciones

I1 = Y11.U1 + Y12.U2

I2 = Y21.U1 + Y22.U2 (1.6)

El parametro Y11 es la admitancia de entrada del circuito si la puerta en la salida esta en cortoy Y22 es la admitancia de salida si la puerta en entrada esta en corto. Y12 es la admitanciade transferencia si U1 = 0 y Y21 es la admitancia de transferencia si U2 = 0 (la puerta desalida esta en corto):

Y11 =I1U1 |U2=0

Y12 =I1U2 |U1=0

Y21 =I2U1 |U2=0

Y22 =I2U2 |U1=0

(1.7)

El circuito de bi-puertas es simetrico si Y11 = Y22 y es pasivo si contiene solo los elementosR,L,C y transformadores. El circuito de bipuertas es pasivo si Y12 = Y21. En la figura 1.2 semuestran los parametros de la matriz Y.

Figura 1.2: Los parametros de la matriz de admitancia

Parametros de transferencia Tij

Si se conocen los parametros de transferencia Tij del circuito de bi-puertas, los ecuacioneslineales que caracterizan el circuit en la figura 1.3 toman la forma

A1 = T11A2 + T12B2

B1 = T21A2 + T22B2 (1.8)

13

Figura 1.3: El circuito de dos puertas

Donde A1 es la ola que entra al circuito en la entrada, A2 es la ola que entra al circuito enla salida y B1 y B2 son las olas reflejadas en la entrada y la salida respectivamente, comose muestra en la figura 1.3. Si se conocen los parametros de cascada de un circuito, losparametros de transferencia Tij se calculan mediante la ecuacion 1.9

T11 =1

2(A11 +

A12Z2

+ Z1A21 +Z1Z2

A22)

T12 =1

2(A11 +

A12Z2 Z1A21

Z1Z2

A22)

T21 =1

2(A11

A12Z2

+ Z1A21 Z1Z2

A22)

T22 =1

2(A11

A12Z2 Z1A21 +

Z1Z2

A22) (1.9)

Parametros de dispersion Sij

Si se conocen los parametros de dispersion Sij del circuito de bi-puertas, los ecuacioneslineales que caracterizan el circuito en la figura 1.3 toman la forma

A1 = S11B1 + S12B2

A1 = S21B1 + S22B2 (1.10)

La relacion entre los parametros de despersion y de transferencia se definen mediante lasexuaciones(1.11)

S11 =T22T12

S12 =|T |T12

S11 =T22T12

S12 =|T |T12

(1.11)

Los ecuaciones (1.1), (1.4) y (1.6) se pueden escribir en la forma matricial:

[U1I1

]

=

[A11 A12A21 A22

]

[

U2I2

]

(1.12)

En el caso de las ecuaciones de cascada (1.1) el circuito es simetrico si A11 = A22 y pasivo sidetA = 1.

14

[U1U2

]

=

[Z11 Z12Z21 Z22

]

[

I1I2

]

(1.13)

[I1I2

]

=

[Y11 Y12Y21 Y22

]

[

U1U2

]

(1.14)

Utilizando las ecuaciones de cascada la impedancia de entrada Zin se puede expresar enla forma

Zin =U1I1

=A11U2 + A12I2A21U2 + A22I2

(1.15)

Considerando la ecuacion (1.15), la impedancia en circuito abierto I2 = 0 esta dada por

Z1 =A11A21

(1.16)

Alternativamente, la impedancia del circuito en corto U2 = 0 se puede expresar en la forma

Zs1 =A12A22

(1.17)

De acuerdo a las expresiones anteriores, la impedancia Imagen (Caracterstica) de entradade la configuracion correspondiente a la figura 1.1 esta dada por la ecuacion

Z01 =

Z1Zs1 =

A11A12A21A22

(1.18)

La impedancia de Imagen (Caracterstica) de salida Z02 se puede calcular mediante laecuacion (1.19)

Z02 =

Z2Zs2 =

A22A12A21A11

(1.19)

Ejemplo 1:

Calcular la matriz de cascada A del circuito en la figura 1.4. Para el circuito en la figura 1.4podemos escribir las siguientes ecuaciones

Figura 1.4: Circuito para el ejemplo 1

15

U1 = 1.U2 + Z.I2

I1 = 0.U2 + 1.I2

Y la la ecuacion matricial de cascada esta dada por[

U1I1

]

=

[1 Z0 1

]

[

U2I2

]

Ejemplo 2:

Calcular la matriz de cascada A del circuito en la figura 1.5. Para el circuito en la figura 1.5podemos escribir las siguientes ecuaciones


U1 = 1.U2 + 0.I2

I1 = Y.U2 + 1.I2

Y la ecuacion matricial de cascada esta dada por[

U1I1

]

=

[1 0Y 1

]

[

U2I2

]

Ejemplo 3:

Calcular la matriz A de cascada del circuito en la figura 1.6, y verificar si el circuito espasivo y simetrico. El circuito en la figura 1.6 es la coneccion en cascada de los circuitosen las figuras 1.4 y 1.5. Por eso la matriz A del circuito en la figura 1.6 se obtiene como lamultiplicacion de los matrices A1.A2

A =

[1 Z10 1

]

[

1 0Y2 1

]

=

[1 + Z1Y2 Z1Y2 1

]

A11 #= A22, entonces el circuito no es simetrico y detA = 1(1 + Z1Y2) Z1Y2 = 1 y por loque el circuito es pasivo.

16


Ejemplo 4:

Calcular las impedancias caractersticas (imagen) del circuito en la figura 1.7. Del ejemploanterior los Parametros Aij del circuito son


A11 = 1 + Z1/Z2 = 2 A12 = Z1 = 424

A21 = 1/Z2 = 1/424 A22 = Z1/Z2 = 1

Sustituyendo los valores del Aij en las ecuaciones (1.18) y (1.19) se obtiene

Z01 =

2.424.424 = 424

2 = 600

Z02 =

424.424

2=

4242

= 300

El acoplamiento perfecto se ve en la figura 1.7. En este caso no se refleja nada en las puertasde entrada y de salida.

17

Ejemplo 5:

Calcular las impedancias caractersticas (imagen) del circuito en la figura 1.8. Primeramentecalculamos los parametros Aij


A11 = 1 +R1R2

= 1 +199

804= 1.247 = A22

A12 = 2R1 +R21R2

= 2.199 + 19921

804= 1.4725

A21 =1

R2=

1

804= 1.24378.103

Las impedancias de imagen se obtienen si se sustituye Aij en (1.18) y (1.19)

Z01 = Z02 =

447, 5

1, 24378.103= 599, 657

Ejemplo 6:

Calcular los parametros de transferencia para el circuito en la figura 21.14

Figura 1.9: El filtro paso bajas

18

Primero se calcula los parametros de la matriz A

A =

[1 s0 1

] [1 02s 1

] [1 s0 1

]

=

[1 + 2s2 2s + 2s3

2s 1 + 2s

]

Sustituyendo en las ecuaciones 1.9 se obtiene

T11 = s3 + 2s2 + 2s + 1T12 = s3

T21 = s3T22 = s3 + 2s2 2s + 1

Ejemplo 7:

Calcular los parametros de dispersion del circuito en la figura 1.10.

Figura 1.10: El filtro paso bajas

Primero se calculan los parametros de cascada Aij i,j=1,2. Despues se calculan los parametrosde transferencia Tij i,j=1,2. Si se utilizan las ecuaciones 1.11 se obtiene el resultado

S11 =s3+2s2+2s+1

s3 =G(s)(s)

S12 =1s3 =

1(s)

S21 =1s3 =

1(s)

S22 =s3+2s22s+1

s3 =G(s)(s)

1.2 Funcion de transferencia

La funcion de transferencia de manejo se define mediante la relacion

Gm =

U0I0U2I2

(1.20)

19

Figura 1.11: Circuitos que definen la funcion de transferencia de manejo

Figura 1.12: Circuito que define la funcion de transferencia de espejo

Los voltajes U0, U2 y las corientes I0, I2 estan representadas en la figura 1.11. La ecuacion(1.20) y el circuito en la figura 1.11 definen la funcion de transferencia de manejo. Lafuncion de transferencia de manejo es la raz cuadrada de la potencia que el generador conla impedancia Z0 suministra a la misma impedancia Z0, entre la potencia que el mismogenerador suministra a la salida del circuito acoplado con la impedancia Z2.

La funcion de transferencia de espejo (caracterstica) se define mediante la relacion

G0 =

U1I1U2I2

(1.21)

Los voltajes U1, U2 y las corientes I1, I2 estan representadas en la figura 1.12En este caso la entrada y la salida del circuito estan perfectamente acopladas y en la entradacomo en la salida no se refleja nada. La ecuacion (1.21) y el circuito en la figura 1.12 definenla funcion de transferencia de espejo. La funcion de transferencia de espejo es la 2da raz depotencia en la entrada entre la potencia de salida de un circuito bien acoplado. De la figura1.11 se pueden escribir las siguientes ecuaciones

U2 = Z2I2 (1.22)

U0 =E

2=

Z0 + Z12

I1 =1

2(Z0I1 + U1) (1.23)

Si se expresa el voltaje y el coriente usando las ecuaciones de cascada

20

U1 = A11U2 + A12I2

I1 = A21U2 + A22I2 (1.24)

sustituyendo en las ecuaciones (1.22) y (1.23) se obtiene

U0 =1

2

[A11 +

A12Z2

+ A21Z0 + A22Z0Z2

]U2

I0 =U0Z0

=Z22Z0

[A11 +

A12Z2

+ A21Z0 + A22Z0Z2

]I2 (1.25)

La ecuacion (1.25) se puede escribir en la forma

U0U2

=1

2

[A11 +

A12Z2

+ A21Z0 + A22Z0Z2

]

I0I2

=U0Z0

=Z22Z0

[A11 +

A12Z2

+ A21Z0 + A22Z0Z2

](1.26)

La funcion de transferencia de manejo expresada mediante los parametros de cascada y lasimpedancias de entrada y de salida toma la forma

Gm =

U0I0U2I2

=1

2

[Z2Z0

A11 +A12Z0Z2

+ A21

Z0Z2 + A22

Z0Z2

]

(1.27)

Para el circuito normalizado Z0 = Z2 = 1 la funcion de transferencia (1.27) toma la forma

Gm =1

2[A11 + A12 + A21 + A22] (1.28)

Ejemplo 6:

Calcular la atenuacion del circuito en la figura 1.13. Primeramente calculamos las impedan-cias de espejo Z01 y Z02.


Z01 =

2.424.424 = 600

21

Z02 =

424424

2= 300

Tanto en la entrada como en la salida el circuito no esta bien acoplado. Por eso en laspuertas de entrada y salida se reflejan las olas de corriente y de voltaje. Ahora se calculanlos elementos de la matriz de cascada Aij

A =

[1 4240 1

]

[

1 01

424 1

]

=

[2 4241

424 1

]

Si se sustituyen los parametros Aij, Z2 y Z0 en la ecuacion (1.27) se obtiene

G =1

2

2

150

300+

424150.300

+

150.300

424+

300

150

= 2.663

a = 20.log(2, 663) = 8.506 dB

Ejemplo 7:

Calcular la atenuacion en dB del ejemplo anterior, si las puertas estan bien acopladas, siZ0 = 600 y Z2 = 300 . En este caso en las puertas no se refleja nada, porque las puertaestan bien acopladas. Entonces se calcula la atenuacion caracterstica.

G =1

2

2

300

600+

424600.300

+

600.300

424+

600

300

= 2, 414

a = 20.log(2, 414) = 7, 65 dB

El mismo resultado se obtiene si se utiliza la ecuacion para calcular atenuacion de los circuitosperfectamente acoplados (1.29)

G0 =

A11.A22 +

A12.A21 (1.29)

G0 =

2.1 +

424.1

424= 2.414

a = 20.log(2, 414) = 7, 65 dB

La atenuacion se puede calcular tambien mediante la ecuacion (1.30). De la ecuacion (1.30)el primer termino es la funcion de transferencia de espejo, el segundo y tercero termino sonlas funciones de reflexion en las puertas de entrada y de salida. Si Z0 = Z01, no se refleja enla puerta de entrada nada. Si Z2 = Z02 no se refleja en la puerta de salida nada. Si Z0 = Z01y Z2 = Z02 la funcion de transferencia de manejo es igual a funcion de transferencia deespejo. Los terminos sexto y septimo se llaman el coeficiente de contacto.

Gm(p) = G0Z0 + Z012

Z0Z01

Z2 + Z022

Z2Z02

[

1 Z0 Z01Z0 + Z01

Z2 Z02Z2 + Z02

1

G20

]

(1.30)

22


Ejemplo 8:

Calcular mediante la ecuacion (1.30) la atenuacion del circuito en la figura 1.14. Primera-mente se calcula la funcion de transferencia de espejo G0 para A11 = 2, A12 = 424, A21 =

1424

y A22 = 1

G0 =

2.1 +

4241

424= 2.414

Utilizando la ecuacion (1.30) sustituyendo por Z0 = 300, Z01 = 600, Z02 = 300, Z0 = 150 yZ2 = 150 se obtiene

Gm = 2.414300 + 600

2

300.600

150 + 300

2

150.300

[1 300 600

300 + 600

150 300150 + 300

1

2.4142

]= 2.663

a = 20.log(2, 663) = 8.506 dB

Obtuvimos el mismo resultado del ejemplo 6.

1.3 Ecuacion caracterstica

De las ecuaciones de cascada (1.1), si la impedancia Z2 = 1, se pueden escribir las siguientesecuaciones

Q(s) =U1U2

= A11 + A12

N(s) =I1I2

= A21 + A22 (1.31)

La funcion de transferencia G(p) se puede escribir en la forma

G(s) =1

2[Q(s) + N(s)] (1.32)

Si se escribe la ecuacion caracterstica (1.33),

G(s)G(s) = 1 + (s)(s) (1.33)

23

se puede calcular la funcion caracterstica (s)

(s) =1

2[Q(s)N(s)] (1.34)

Si se suman y restan las ecuaciones (1.32) y (1.34) se obtiene

G(s) + (s) = Q(s) =U1U2

G(s) (s) = Q(s) = I1I2

(1.35)

Si se dividen estas dos ecuaciones se obtiene para Z2 = 1, U2 = I2

Z1 =U1I1

I2U2

=G(s) + (s)

G(s) (s) (1.36)

Z1 es la impedancia de entrada de un bi-puerto si la impedancia en la salida es Z2 = 1 comose ve en la figura 1.15

Figura 1.15: La impedancia del circuito definida mediante G(p)

Ejemplo 9:

Calcular G(s) (s) y Z1(s) del circuito en la figura 1.16

Figura 1.16: El circuito LC para el ejemplo 9

Primeramente se calculan los parametros de la matriz de cascada Aj

A =

[1 s0 1

]

[

1 02s 1

]

[

1 s0 1

]

=

[1 + 2s2 2s + 2s3

2s 1 + 2s2

]

La funcion de transferencia toma la forma

24

G(s) =1

2

[1 + 2s2 + 2s + 2s3 + 2s + 1 + 2s2

]= s3 + 2s2 + 2s + 1

La funcion caracterstica toma la forma

(s) =1

2

[1 + 2s2 + 2s + 2s3 2s 1 2s2

]= s3

La impedancia de entrada del circuito en la figura 1.16 es

Z1 =2s3 + 2s2 + 2s + 1

2s2 + 2s + 1

Ejemplo 10:

Calcular la impedancia Caracteristica Z01 del circuito en la figura 1.17 para la frecuencia = 0, = 1 y > 1.

Figura 1.17: El circuito LC para el ejemplo 10.

Los parametros de cascada tienen la forma

A11 = A22 = 1 + 2s2

A12 = 2s + 2s3

A21 = s3

La impedancia caracteristica Z01 toma la forma

Z01 =

A11Z12A21A22

=

1 + s2

Para =0 Z01 = 1

Para =1 Z01 = 0

Para > 1 Z01 =

1 2

Del resultado obtenido se ve, que la impedancia caracteristica Z01 es real en el rango de lasfrecuencias angular desde 0 hasta 1 [rad/sec]. Entonces el circuito se puede terminar enlas puertas con el resistor. En este rango de las frecuencias es la banda de paso. Para lasfrecuencias angular mayores 1 [rad/sec] la impedancia caracteristica Z01 tiene el caracterde inductancia y en caso si el circuito se termina con el resistor se obtienen en la entraday salida los reflecciones. La grafica de la impedancia caracteristica se muestra en la figura1.18.

25


Ejemplo 11:

Calcular la funcion de transferencia G(s), (s) y ZE del circuito en la figura 1.19.


G(s) = s4 + 2.613s3 + 3.414s2 + 2.613s + 1

(s) = s4

ZE =2s4 + 2.613s3 + 3.414s2 + 2.613s + 1

2.613s3 + 3.414s2 + 2.613s + 1

Ejemplo 12:

Calcular la funcion de transferencia G(s) del circuito en la figura 1.20.


G(s) = s5 + 3.236s4 + 5.263s3 + 5.263s2 + 3.236s + 1

26

Captulo 2

Realizacion de circuitos LRC

En este captulo trataremos de realizar los circuitos de una puerta si se conoce la impedanciadel circuito LC, LR o RC. Existen los metodos de Cauer y de Foster. La realizacion de Cauerutiliza circuitos de cadena y en el metodo de Foster circuitos basicos se conectan en serie oen paralelo (depende si se realiza la impedancia o la admitancia del circuito). La impedanciadel circito se representa como la funcion de la relacion de dos polinomios.

Z(s) =a0 + a1s + a2s2 + a3s3 + ... + ansn

b0 + b1s + b2s2 + b3s3 + ... + bnsn(2.1)

La impedancia del circuito Z(s) en la ecuacion (2.1) se puede desarrollar en la forma dequebrado, ecuacion (2.2). Este tipo de realizacion se llama la realizacion de Cauer.

Z(s) = Z0 +1

Y1 +1

Z2+1

Y3

(2.2)

La ecuacion (2.2) se realiza mediante el circuito en la figura 2.1. Si la impedancia Z(s) sedesarrolla como suma los quebrados parciales (2.3) se obtiene el circuito que se muestra enla figura 2.2, que es el caso del circuito RC realizado con el metodo de Foster.

Figura 2.1: Circuito en la forma de escalera (Cauer)

Si la impedancia Z(s) se desarrolla como suma de los quebrados parciales (2.3) se obtieneel circuito que se muestra en la figura 2.2, que es el caso del circuito RC realizado con elmetode de Foster.

27

Z(s) =1

sc0+ R0 +

k

i=1

Ais + i

(2.3)

Figura 2.2: Circuito RC en la forma de Foster I

2.1 Polos y ceros de la impedancia Z(s)

Polos y ceros del circuito LC.

Figura 2.3: Ubicacion de los polos y ceros de la impedancia Z(s)LC

Los polos y ceros de la impedancia LC estan ubicados en el eje imaginario. Los polos sealternan con los ceros. En el origen del plano Z(s) debe estar un polo o un cero. Tambienen el infinito del plano Z(s) esta un polo o un cero. Las cuatro posibilidades de ubicacion depolos y ceros se muestran en la figura 2.3.

Polos y ceros del circuito RC.

Los polos y ceros de la impedancia RC estan ubicados en el eje real y en la parte izquierdadel plano Z(s). Los polos se alternan con los ceros. En origen del plano Z(s) o cerca delorigen debe estar un polo. Las dos posibilidades de ubicacion de polos y ceros para el circuitoRC se muestran en la figura 2.4.

28

Figura 2.4: Los polos y ceros de la impedancia RC

Polos y ceros del circuito LR.

Los polos y ceros de la impedancia LR estan ubicados en el eje real y en la parte izquierdadel plano Z(s). Los polos se alternan con los ceros. En el origen del plano Z(s) o cerca delorigen debe estar un cero. Las dos posibilidades de ubicacion de polos y ceros para el circuitoLR se muestran en la figura 2.5.

Figura 2.5: Los polos y ceros de la impedancia LR

Ejemplo 1.

Dibujar la ubicacion de los ceros y polos del circuito que se muestra en la figura 2.6a. Laubicacioon de los polos y ceros del circuito en la figura 2.6a se muestra en la figura 2.6b.La impedancia Z(s) es igual a cero para = 0 y por eso en el origen existe un cero. Laimpedancia Z(s) es igual a para la frecuencia de resonancia del circuito paralelo y poreso sigue un polo. Para la frecuencia = la impedancia del circuito es infinita y por esoen = tenemos un polo. El segundo cero en la figura 2.6 pertenece a la frecuencia deresonancia del circuito serie.

29

Figura 2.6: Circuito LC y la ubicacion de los ceros y polos en el plano Z(p)

Ejemplo 2.

Dibujar la ubicacion de los ceros y polos del circuito que se muestra en la figura 2.7a. Laubicacion de los polos y ceros del circuito en la figura 2.7a se muestra en la figura 2.7b. Laimpedancia Z(s) es igual a para = 0 y por eso en el origen hay un polo. La impedanciaZ(s) es igual a cero para la frecuencia de resonancia serie del circuito y por eso sigue un cero.Para la frecuencia = la impedancia del circuito es cero y por eso en = tenemosun cero. El polo en la figura 2.7 b) partenece a la frecuencia de resonancia paralela.

Figura 2.7: Circuito LC y la ubicacion de los polos y ceros en el plano Z(p)

2.1.1 Realizacion de Z(s) mediante el metodo de Foster I

Impedancias LC

La impedancia del circuito LC en la ecuacion (2.4)

Z(p) = sL0 +1

sC0+

k

i=0

sA1s2 + 2i

(2.4)

donde

Ai =1

Ci2i =

1

LiCi

30

se realiza mediante el circuito en la forma de Foster que se muestra en la figura 2.8

Figura 2.8: Circuito LC en la forma Foster I

Ejemplo 3.

Mediante el metodo Foster realizar la impedancia

Z(s) =s4 + 4s2 + 3

s3 + 2s

El numerador es un polinomio de grado par y el denominador es un polinomio de gradoimpar. La impedancia puede ser la impedancia de un circuito LC. Esta ecuacion se puedeescribir en la forma

Z(s) =(s2 + 1)(s2 + 3)

s(s2 + 2)

Los ceros y los polos estan en el eje imaginario. En = 0 esta un polo y en = la impedancia de Z(s) es infinita, entonces en = hay un polo etc. El polo esta en = j

2 y los ceros en = j y = j

3. La ubicacion de los polos y ceros se muestra

en la figura 2.9a. La ecuacion anterior se puede desarrollar en fracciones parciales

Figura 2.9: ubicacion de los polos y ceros de Z(s)LC

31

Z(s) =(s2 + 1)(s2 + 3)

s(s2 + 2)=

A

s+

Bs

s2 + 2+ C.s

Para realizar la impedancia con un circuito es necesario calcular los coeficientes A, B y C.

A =(s2 + 1)(s2 + 3)

(s2 + 2)|s=0 =

3

2

B =(s2 + 1)(s2 + 3)

s2|s=2 =

1

2

C =(s2 + 1)(s2 + 3)

(s2 + 2)s2|s= = 1

Sustituyendo por A, B y C, Z(s) toma la forma

Z(s) =(s2 + 1)(s3 + 1)

s(s2 + 2)=

32

s+

12s

s2 + 2+ s

La realizacion de esta ecuacion se muestra en la figura 2.9b

Impedancias RC

La impedancia del circuito RC en la ecuacion (2.5)

Z(s) = R0 +1

sC0+

k

i=0

Ais + i

(2.5)

donde

Ai =1

Cii =

1

CiRi

se realiza mediante el circuito en la forma de Foster que se muestra en la figura 2.10

Figura 2.10: Circuito RC en la forma de Foster I

Ejemplo 4.

Mediante el metodo de Foster realizar la impedancia

32

Z(s) =s + 2

s2 + 4s + 3En el numerador y en el denominador hay polinomios. En estos polinomios no falta ningunapotencia de s y por eso el circuito puede ser LR o RC. Esta ecuacion se puede escribir de laforma

Z(s) =(s + 2)

(s + 1)(s + 3)

Cerca del origen hay un polo y por eso la impedancia Z(s) es la impedancia de un circuitoRC. Los polos se alternan con los ceros. La ubicacion de los polos y ceros se muestra en lafigura 2.11 a).

Figura 2.11: La ubicacion de los polos y ceros de Z(s)RC

La ecuacion anterior se puede desarrollar de la forma

Z(s) =(s + 2)

(s + 1)(s + 3)= R0 +

A

s+

B

s + 1+

C

(s + 3)

Para realizar la impedancia con un circuito es necesario calcular los coeficientes A, B, C yR0.

A =s(s + 2)

(s + 1)(s + 3)|s=0 = 0

R0 =(s + 2)

(s + 1)(s + 3)|s= = 0

B =(s + 2)

(s + 3)|s=1 =

1

2

C =(s + 2)

(s + 1)|s=3 =

1

2

Sustituyendo por A, B, R0 y C, Z(s) toma la forma

Z(s) =(s + 2)

(s + 1)(s + 3)=

1

2s + 2+

1

2s + 6

La realizacion de esta ecuacion se muestra en la figura 2.11b.

33

Impedancias LR

La impedancia del circuito LR en la ecuacion (2.6)

Z(s) = R0 + sL0 +k

i=0

sAis + i

(2.6)

donde

Ai =1

Ri2i =

1

LiRise realiza mediante el circuito de la forma de Foster I que se muestra en la figura 2.12

Figura 2.12: Circuito RL en la forma Foster I

Ejemplo 5.

Mediante el metodo de Foster realizar la impedancia

Z(s) =s2 + 2s

s2 + 4s + 3

En el numerador y denominador hay polinomios. En estos polinomios no falta ningunapotencia de s y por eso el circuito puede ser LR o RC. Esta ecuacion se puede escribir en laforma

Z(s) =s(s + 2)

(s + 1)(s + 3)

Cerca de origen hay un cero y por eso la impedancia Z(s) es la impedancia de un circuitoLR. Los polos se alternan con los ceros. La ubicacion de los polos y ceros se muestra en lafigura 2.13a. La ecuacion anterior se puede desarrollar en la forma

Z(s) =s(s + 2)

(s + 1)(s + 3)= R0 + sL0 +

As

s + 1+

Bs

(s + 3)

Para realizar la impedancia con un circuito es necesario calcular los coeficientes R0, L0, A yB.

R0 =s(s + 2)

(s + 1)(s + 3)|s=0 = 0

L0 =(s + 2)

(s + 1)(s + 3)|s= = 0

34

Figura 2.13: La ubicacion de los polos y ceros de Z(s) en el ejemplo 4

A =(s + 2)

(s + 3)|s=1 =

1

2

C =(s + 2)

(s + 1)|s=3 =

1

2

Sustituyendo por A, B, R0 y L0, la Z(s) toma la forma

Z(s) =s(s + 2)

(s + 1)(s + 3)=

1

2 + 2s+

1

2 + 6s

La realizacion de esta ecuacion se muestra en la figura 2.13b.

2.1.2 Realizacion Y(s) mediante el metodo de Foster II

Admitancias LC

La admitancia del circuito LC en la ecuacion (2.7)

Y (s) = sC0 +1

sL0+

k

i=0

Ais

s2 + 2i(2.7)

se realiza mediante el circuito en la forma de Foster II que se muestra en la figura 2.14

Figura 2.14: Circuito LC en la forma Foster II

35

Ejemplo 6.

Mediante el metodo Foster II realizar la admitancia

Y (s) =s3 + 2s

s4 + 5s2 + 4En el numerador hay un polinomio de grado impar y en el denominador hay un polinomiode grado par, y por eso el circuito puede ser LC, depende si los polos alternan con los ceros.Esta ecuacion se puede escribir en la forma

Y (s) =s(s2 + 2)

(s2 + 1)(s2 + 4)Los polos y ceros estan ubicados en el eje imaginario y se alternan; por eso esta admitanciaes de un circuito LC. La ubicacion de los polos y ceros se muestra en la figura 2.15a. Laecuacion anterior se puede desarrollar en la forma

Figura 2.15: Ubicacion de los polos y ceros de Z(s)LC

Y (s) =s(s2 + 2)

(s2 + 1)(s2 + 4)= sC0 +

1

sL0+

As

s2 + 1+

B

(s2 + 4)Para realizar la admitancia con un circuito es necesario calcular los valores C0, L0, A, y B.

C =(s2 + 2)

(s2 + 1)(s2 + 4)|s= = 0

1

L0=

s(s2 + 2)

(s2 + 1)(s2 + 4)|s=0 = 1

A =(s2 + 2)

(s2 + 1)|s=1 =

1

3

B =(s2 + 2)

(s2 + 1)|s2=4 =

2

3

Sustituyendo por A, B, L0 y C0 la admitancia Y(s) toma la forma

Y (s) =s(s2 + 2)

(s2 + 1)(s2 + 4)=

1

s+

13

s2 + 1+

23

s2 + 4La realizacion de esta ecuacion se muestra en la figura 2.15b.

36

Admitancias RC

La admitancia del circuito RC en la figura 2.16 se puede expresar mediante la ecuacion (2.8)

Y (s) =1

R0+ sC0 +

k

i=0

Ais

s + i(2.8)

y se realiza mediante el circuito de la forma de Foster que se muestra en la figura 2.14

Figura 2.16: Circuito LC en la forma de Foster II

Ejemplo 7.

Mediante el metodo Foster II realizar la admitancia

Y (s) =s3 + 3s

s2 + 5s + 4

La admitancia tiene en el origen un cero, los polos se alternan con los ceros y por eso laadmitancia tiene caracter del circuito RC. Esta ecuacion se puede escribir en la forma

Y (s) =s(s + 3)

(s + 1)(s + 4)

Los polos y ceros estan ubicados en el eje real, como se ve en la figura 2.17a. La ecuacionanterior se puede desarrollar en la forma

Y (s) =s(s + 3)

(s + 1)(s + 4)=

1

R0+ sC0 +

As

s + 1+

Bs

s + 4

Para realizar Y(s) con un circuito es necesario calcular los valores R0, C0, A, y B.

1

R0=

s(s + 3)

(s + 1)(s + 4)|s=0 = 0

C0 =(s + 3)

(s + 1)(s + 4)|s= = 0

A =(s + 3)

(s + 4)|s=1 =

2

3

37

Figura 2.17: La ubicacion de los polos y ceros de Z(s)RC

B =(s + 3)

(s + 1)|s=4 =

1

3

Sustituyendo por A, B, R0 y C0, la admitancia Y(s) toma la forma y la realizacion de estaecuacion se muestra en la figura 2.17b.

Y (s) =s(s + 3)

(s + 1)(s + 4)=

2s3

s + 1+

s3

s + 4

2.1.3 Realizacion Z(s) mediante el metodo de Cauer I

Ejemplo 8:

Realizar mediante el metodo de Cauer I la impedancia

Z(s) =s2 + 2s

s + 1

Es necesario desarrollar la impedancia Z(s) en quebrado de escalera. Como el cero esta en elorigen, el circuito es de la forma RL. Como la impedancia Z(s) se desarrolla en el quebradode escalera se ve en la figura 2.18. La impedancia Z(s) toma la forma.

Figura 2.18: Circuito LR en la forma escalera (Cauer I)

38

Z(s) =s2 + 2s

s + 1= s +

1

1 + 1s

Este quebrado de escalera se realiza mediante la forma que se muestra en la figura 2.18

Ejemplo 9:

Realizar mediante el metodo de Cauer la impedancia

Z(s) =s4 + 5s2 + 4

s3 + 3s

Es necesario desarrollar la impedancia Z(s) en quebrado de escalera. Los ceros y los polosestan en el eje imaginaro y se alternan. El circuito tiene inductancias y capacitores. Sedesarrolla la impedancia Z(s) en el quebrado de escalera como se puede ver en la figura 2.19Z(s) desarrollada en el quebrado de escalera toma la forma:

Figura 2.19: Circuito LC en la forma escalera (Cauer I)

Z(s) =s4 + 5s2 + 4

s3 + 3s= s +

1s2 +

12s+ 1s

4

Este quebrado de escalera se realiza mediante la forma escalera que se muestra en la figura2.19

Ejemplo 10:

Realizar mediante el metodo de Cauer la impedancia

Z(s) =s2 + 4s + 3

s2 + 6s + 8

Es necesario desarrollar en quebrado de escalera la impedancia Z(s). Los ceros y los polosestan en el eje real y se alternan. Cerca de origen esta un cero. Entonces el circuito contieneresistencias y capacitores. Si se desarrolla la impedancia Z(s) en el quebrado de escaleracomo se puede ver en la figura 2.20. Z(s) toma la forma:

39

Figura 2.20: Circuito RC en la forma escalera (Cauer)

Z(s) =1

s2+6s+8s2+4s+3

=1

1 + 1s2+

143+

13s2 +

113

Este quebrado de escalera se realiza mediante el circuito que se muestra en la figura 2.20

2.1.4 Realizacion Z(s) mediante el metodo de Cauer II

Ejemplo 11:

Realizar mediante el metodo de Cauer II la impedancia

Z(s) =3 + 4s + s2

8 + 6s + s2

Es necesario desarrollar en quebrado de escalera la impedancia Z(s), pero antes es necesarioreordenar los polinomios en el numerador y denominador en la forma ascendente. Los cerosy los polos estan en el eje real y se alternan. Cerca del origen esta un cero. Entonces elcircuito va a tener resistores y capacitores. Se desarrolla la impedancia Z(s) en el quebradode escalera.

Figura 2.21: Circuito LR en la forma escalera (Cauer)

40

Z(s) =3 + 4s + s2

8 + 6s + s2=

3

8+

1

1 + 8.47s +1

7.722.4+

144.223.7s +

1344

Este quebrado de escalera se realiza mediante el circuito en la forma escalera que se muestraen la figura 2.21.

Ejemplo 12:

Calcular la impedancia Z(s) y realizarla por el metodo de Cauer, si se conoce la parte realy la parte imaginaria de la impedancia de un cable que se muestra en la figura 2.22. Laimpedancia de primer orden se puede escribir en la forma:

Z(s) =a0 + a1s

b0 + b1s

Si se divide el numerador y el denominador entre b0 se obtiene la ecuacion (2.9)

Z(s) =a0b0

+ a1b0 s

1 + b1b0 s=

A0 + A1s

1 + B1s(2.9)

La impedancia se puede desarrollar en parte real e imaginaria

Z(j) = X + jY =A0 + jA11 + jB1

Si se multiplica la ecuacion anterior por (1 + jB1) se obtiene

X + jXB1 + jY B1 = A0 + jA1si se comparan las partes imaginarias y reales se obtiene

X Y B1 = A0

XB1 + Y = A1 (2.10)

En el ejemplo de la figura 2.22, para 1 = 6000, la parte real de la impedancia es X1 = 400y la parte imaginaria Y1 = 300. Para = tenemos X2 = 100 y Y2 = 0. Si se sustituyenlos valores en las ecuaciones 2.10 se obtiene

400 + 6000.300.B1 = A0

6000.400.B1 300 = 6000.B1100.B1 = A1

Estas ecuaciones podemos escribirlas en la forma matricial

1 0 18.1050 6.103 24.1050 1 102

A0A1B1

=

4003000

De esta ecuacion matricial se pueden calcular los valores de A0, A1 y B1

41

Figura 2.22: La parte real e imaginaria del Z(s)

A0A1B1

=

1 0 18.1050 6.103 24.1050 1 102

1

4003000

=

7000.016661.6666.104

Los coeficientes de la impedancia Z(s) (2.9) son

A0 = 700 A1 = 0, 0166666 B1 = 1, 66666.104

y la impedancia

Z(s) =700 + 0, 016666s

1 + 1, 6666.104s

El cero s0 y el polo s tienen los valores:

s0 = 700

0.0166= 42000, 168

s = 1

1, 6666.104= 6000.024

Z(s) es una impedancia del circuito RC, porque un polo esta cerca del origen. Si la impedanciaZ(s) se desarrolla en el quebrado de escalera se obtiene

Z(s) = 99, 639 +1

5, 042.107s + 1600El circuito se observa en la figura 2.23

2.2 Realizacion de circuitos bipuertas

Para realizar el circuito de dos puertas necesitamos conocer dos parametros, para el caso deun circuito pasivo y simetrico, por ejemplo Z11 y Z12 o Y11 y Y12. De la impedancia Z11 oadmitancia Y22 podemos ver, si la impedancia del bi-puerto es la impedancia del circuito RL,LC o RC. El procedimiento de la realizacion es el siguiente. Primeramente para el circuitoen la figura 2.24 es necesario escribir las ecuaciones siguientes:

42

Figura 2.23: Circuito LC en la forma escalera (Cauer)

Figura 2.24: Circuito para realizar los parametros Zij

Z0 = Z11 Z1

1

Z111= Y0

1

Z2(2.11)

La impedancia Z11 se conoce y la queremos desarrollar en un circuito. No se conoce laimpedancia Z1, pero se puede calcular. Si por ejemplo Z2 es el circuito serial, su impedanciaes igual a cero para la frecuencia de resonancia serial fres.serial. Eso significa, que en lugarde Z2 tenemos un corto circuito y se puede escribir la ecuacion

Z1 = Z11|f=fres.serial (2.12)

En el caso de que el circuito empieze con la admitancia Y1, como se ve en la figura 2.25 sepueden escribir las ecuaciones siguientes:

Figura 2.25: Circuito para realizar los parametros Yij

43

Y0 = Y22 Y1

Z0 = Z2 +1

Y 122(2.13)

La admitancia Y11 se conoce y la queremos desarrollar en un circuito. No se conoce laadmitancia Y1, pero se puede calcular. Si por ejemplo Z2 es un circuito en paralelo, suimpedancia es igual a infinito para la frecuencia de resonancia paralela fres.paralela. Esosignifica, que en lugar de Z2 tenemos un circuito abierto y se puede escribir la ecuacion

Y1 = Y22|f=fres.paralela (2.14)

Los valores 1, 2, ... son las frecuencias de resonancia y se obtienen de la impedancia detransferencia Z12 o Y12, en la ecuacion (2.15).

Z12 =(s2 + 1)(s2 + 2)....

a0 + a1s + a2s2 + ...(2.15)

En los siguientes ejemplos se muestra como se realizan los circuitos de bipuertos.

Ejemplo 13:

Realizar el circuito si se conocen las admitancias Y22 y Y21

Y21 =s2 + 1

6s3 + 3s

Y22 =12s4 + 12s2 + 1

6s3 + 3s

Los denominadores de los Y21 y Y22 son iguales. Entonces si se realiza el denominador Y22tambien se realiza el denominador de parametro Y21. Los ceros del parametro Y21 son ens2 = 1 y en s = y no coinciden con los ceros del parametro Y22. Si queremos realizar elparametro Y22 se necesita realizarlo de tal manera que tengamos en el circuito los ceros deY21. Los ceros del Y21 son distintos de los ceros Y22. Los ceros de Y21 expresan la atenuacioninfinita del circuito. Eso significa, que no se transfiere nada desde la entrada a la salida.Primeramente vamos a realizar el polo de la atenuacion (cero de la Y21) en p = y despuesen s2 = 1. El polo en se realiza mediante la realizacion Cauer I. La realizacion parcialse muestra en el circuito en la figura 2.26

Y22 =12s4 + 12s2 + 1

6s3 + 3s= 2s +

1

s + 16s2+1

2s

Del circuito en la figura 2.26 se puede ver, que para = la atenuacion es infinita y estosignifica que la transferencia es igual a cero, como se ve en la ecuacion (2.16).

Y21 =s2 + 1

6s3 + 3s|s= = 0 (2.16)

44

Figura 2.26: Circuito de dos puertas para realizar los parametros Yij

Figura 2.27: Circuito para realizar el cero de Y21 en = 1

Con el circuito en la figura 2.26 se realizo el primer cero en s = . Ahora tenemos querealizar el cero de la admitancia de trasferencia Y21 en s = j, = 1. El cero en = 1se realiza mediante el circuito de la figura 2.27.

Y1 = Y122|s2=1 =

6s2 + 1

2s= s

5

2

Entonces la admitancia Y1 es el capacitor con el valor cinco medios, C1 =52 . La realizacion

parcial esta se muestra en la figura 2.28. Ahora es necesario calcular la admitancia Y0.

Figura 2.28: Circuito parcial que realiza las admitancias Y22 y Y21

Y0 =6s2 + 1

2s 5s

2=

s2 + 1

2s

Z0 =2s

s2 + 1=

1s2 +

12s

45

La impedancia Z0 se realiza mediante el circuito LC paralelo con los valores C4 =12 y L4 = 2.

La estructura completa que realiza los parametros Y21 y Y22 se muestra en la figura 2.29. Deeste circuito podemos ver que el polo de transferencia en = 1 esta realizado mediante elcircuito paralelo, mientras el polo de transferencia en = se realiza con la inductancia.La impedancia de la inductancia para = es infinita y se trata como el circuito abiertopara =, entonces de entrada a salida no se transfiere nada.

Figura 2.29: Circuito de dos puertas que realiza las admitancias Y22 y Y21

Ejemplo 14.

Realizar el circuito de dos puertas si se conocen los parametros

Z12 =(s2 + 1)(s2 + 2)

8ss + 15s3 + 6s

Z22 =5s4 + 8s2 + 2

8s5 + 15s3 + 6s

Los ceros de la impedancia de transferencia (polos de la atenuacion) estan en = 1, =

2 y en = . Primero vamos a realizar el cero en = 1. Se calcula la

admitancia Y1 del circuito en la figura 2.30 mediante la ecuacion

Figura 2.30: Circuito de dos puertas que realiza los parametros Yij

Y1 =1

Z22|s2=1 =

s(8s4 + 15s2 + 6)

5s4 + 8s2 + 2|s2=1 = s

La admitancia Y1 es el capacitor c1 = 1. Ahora se calcula la admitancia Y0 y despues Z0.

Y0 =8s5 + 15s3 + 6s

5s4 + 8s2 + 2 s = (s

2 + 1)(3s3 + 4s)

5s4 + 8s2 + 2

46

Z0 =5s4 + 8s2 + 2

(s2 + 1)(3s3 + 4s)=

As

s2 + 1+ Z122 = Z2 + Z

122

Se calcula la constante A:

A =5s4 + 8s2 + 2

3s4 + 4s2|s21 = 1

La impedancia Z2 toma la forma:

Z2 =s

s2 + 1=

1

s + 1sLa impedancia Z2 es el circuito paralelo LC con los valores l2 = 1 y c2 = 1. El circuito quese realizo se muestra en la figura 2.31. Ahora es necesario calcular Z122. El procedimiento derealizacion es el mismo, pero en este caso se realiza el otro cero de la impedancia Z21:

Figura 2.31: Circuito de dos puertas.

Z111 =5s4 + 8s2 + 2

(s2 + 1)(3s3 + 4s) s

s2 + 1=

(s2 + 1)(2s2 + 2)

s2 + 1)(3s3 + 4s)

El termino (s2 + 1) en el numerador y en el denominador se elimina y la impedancia Z11toma la forma:

Z111 =2s2 + 2

3s3 + 4s

La impedancia Z3 se obtiene mediante la siguiente ecuacion:

Y3 =1

Z111|s2=2

Y3 =s(3s2 + 4

2s2 + 2|s2=2 = s

Entonces la impedancia Z3 es un capacitor con el valor 1. Seguimos calculando la admitanciaY0

Y0 =1

Z111 Y3 =

3s3 4s2s2 + 2

s = s3 + 2s

2s2 + 2

Z0 =2s2 + 2

s(s2 + 2)=

As

s2 + 2+ Z211 = Z4 + Z

211

47

Calculando la constante A se obtiene Z4

A =2s2 + 2

s2|s2=2 = 1

Z4 =s

s2 + 2=

1

s + 2s

La impedancia Z4 es el circuito paralelo LC con los valores l =12 y c = 1. El circuito se ve

en la figura 2.32. Nos queda calcular el ultimo elemento Z211

Figura 2.32: Circuito de dos puertas que realiza las impedancias Z11 y Z12

Z211 = Z0 Z4 =2s2 + 2

s(s2 + 2) s

s2 + 2=

1

s

El ultimo elemento es el capacitor y la realizacion completa de las impedancias Z11 y Z12 semuestra en la figura 2.33. Los circuitos paralelos realizan los ceros en = 1 y en =

2.

Los capacitores que son conectados a tierra realizan el cero en =.


48

Ejemplo 15:

Realizar con el circuito de dos puertas los parametros

Z12 =(s2 + 1)(s2 + 2)

8ss + 15s3 + 6s

Z11 =5s4 + 8s2 + 2

8s5 + 15s3 + 6s

Los ceros de la impedancia de transferencia (polos de la atenuacion) estan en = 1, =

2 y en = . En este ejemplo vamos a realizar el cero de Y12 en despues en

= 1 y a final el cero de Y12 en =

2. La impedancia Z11 se desarrolla en quebrado deescalera y se hace solo una vez, como se ve en la ecuacion.

Z11 =1

8s5 +

15s4+8s2+211s3

5 +14s5

La impedancia Z111 es el ultimo termino en el quebrado de escalera y toma la forma:

Z111 =25s4 + 40s2 + 10

11s3 + 14s


La realizacion no completa se muestra en la figura 2.34. Ahora vamos a realizar el cero deZ12 en s2 = 1 y se obtiene la impedancia Z2.

Z11|s21 = Z2 =1

s

25s4 + 40s2 + 10

11s3 + 14s|s2=1 =

53s

=s

s253

|s2=1 =5s

3

La impedancia Z2 es el inductor que tiene el valor53 . Ahora podemos calcular la impedancia

Z0.

Z0 = Z11 Z2 =25s4 + 40s2 + 10

11s3 + 14s 5s

3=

20s4 + 50s2 + 30

33s3 + 42s

Y0 =33s3 + 42s

(s2 + 1)(20s2 + 30)=

As

s2 + 1+ Y 211 = Y3 + Y

211

Si se calcula el constante A se puede desarrollar la admitancia Y3. La admitancia Y3 presentael circuito LC en serie. La inductancia l3 tiene el valor

109 y el capacitor c3 =

910 . El circuito

49

Figura 2.35: Circuito de dos puertas que realiza los parametros Z11 y Z12

se muestra en la figura 2.35 y queda realizar mediante las impedancias Z4 y Z5 el ultimocero de la impedancia Z12 en s =

2.

A =33s2 + 42

20s2 + 30|s21 =

9

10

Y3 =9s10

s2 + 1=

110s9 +

109s

La admitancia Y3 se realiza con un circuito LC en la forma serial. Si se conoce Y3 se puedecalcular Z211 mediante la ecuacion

Y0 Y3 =1

Z211

1

Z211=

33s3 + 42s

(s2 + 1)(20s2 + 30)

9s10

s2 + 1=

15s(s2 + 1)

(s2 + 1)(20s3 + 30)

Z211 =20s2 + 30

15s

Nos queda realizar el ultimo cero de la impedancia de transferencia Z12 en s2 = 1

Z4 = Z211|s2=2 =

1

s

40 + 3015

=1015s

=10s15s2

|s2=2 =s

3

La impedancia Z4 se realiza mediante una inductancia con el valor13 . Todava es necesario

calcular la impedancia Z5, pero primeramente se calcula la impedancia Z0.

Z0 = Z211 Z4 =

15s2 + 30

15s s

3= s +

2

s

La impedancia Z0 = Z5 es el circuito LC serial. La inductancia tiene el valor 1 H y elcondensador 0.5 F. El circuito completo se muestra en la figura 2.36.

Ejemplo 16.

Realizar el circuito de dos puertas si se conocen los parametros Z11 y Z21.

Z21 =1

(s + 1)(s + 3)Z11 =

(s + 2)(s + 5)

(s + 1)(s + 3)

50


Cerca de origen hay un polo y por eso el circuito es RC. Todos los ceros son en y por esola impedancia Z11 se desarrolla en cadena de escalera.

Z11 =s2 + 7s + 10

s2 + 4s + 3= 1 +

1s3 +

195+

125s24 +

1815

El circuito se muestra en la figura 2.37.


Ejemplo 17:

Realizar el circuito de dos puertas, si se conocen los parametros Z11 y Z21.

Z21 =s2

(s + 1)(s + 3)Z11 =

(s + 2)(s + 4)

(s + 1)(s + 3)

Cerca del origen hay un polo y por eso el circuito es RC. Todos los ceros son en =0 y poreso la impedancia Z11 se desarrolla en cadena de escalera, pero ahora el grado de s en lospolinomios es en forma ascendente.

Z11 =10 + 7s + s2

3 + 4s + s2=

110+7s+s2

3+4s+s2

=1

38 +

1327s +

14988+

196821s +

1344

El circuito se muestra en la figura 2.38. Podemos ver en la figura, que el cero de transferenciaes para = 0. El capacitor para = 0 es un circuito bierto y la senal con la frecuenciacero no se transfiere de entrada a salida. Para = 0 el capacitor tiene impedancia infinitaZc =

1jc |=0 =.

51

Figura 2.38: Circuito de dos puertas que realiza los paraametros Z11 y Z12

Ejemplo 18:

Realizar el circuito de dos puertas, si se conocen los parametros Z11 y Z21.

Z21 =s

(s + 1)(s + 3)Z11 =

(s + 2)(s + 4)

(s + 1)(s + 3)

Cerca del origen esta un polo y por eso el circuito es RC. Un cero de Z21 esta en =0 y elotro cero esta en = y por eso la impedancia Z11 se desarrolla en cadena de escalera,pero ahora se desarrolla Z11 primero como Cauer I y despues como Cauer II.

Z11 =s2 + 6s + 8

s2 + 4s + 3= 1 +

1s2 +

35 +

1503s +

1320

El circuito se muestra en la figura 2.39. Podemos ver del circuito en la figura reffos28, queel cero de transferencia es para = 0 y tambien para = . El segundo capacitor en elcircuito para = 0 es abierto y la senal con la frecuencia cero no se transfiere de entrada asalida. El primer capacitor para = esta en corto y las senales con frecuencias infinitastampoco se transfieren de entrada a salida. Entonces el circuito realiza el cero para = y para = 0.

Figura 2.39: Circuito de dos puertas que realiza llos parametros Z11 y Z12

52

Captulo 3

Transformacion de las plantillas.

Los factores que alternan las senales son:

Distorsion

Interferencia

Ruido

Atenuacion

Para eliminar esos factores se necesitan filtros que dejen pasar las senales que nos interesany que no permiten el paso de las senales inutiles. El ruido, por ejemplo, puede ser en lasfrecuencias altas o tambien en las frecuencias bajas. Para eliminar el ruido en las frecuenciasaltas se utilizan los filtros paso bajas y los filtros paso altas se utilizan para eliminar el ruidoen las frecuencias bajas. Si el ruido se encuentra en las frecuencia altas y bajas, se utilizanpara quitar el ruido y dejar pasar por ejemplo la voz, el filtro paso banda. Si queremos limitarla influencia de interferencia entonces se utiliza supresor de banda o un filtro adaptable, quecambia los valores de los elementos, dependiendo de como se cambia la frecuencia de la senalde interferencia. Las plantillas de los filtros de paso bajas PBF, paso altas PA, paso bandaPB y supresor de banda SB se muestra en la figura 3.1.

Todos los tipos de filtros se pueden transformar en la paso bajas normalizado (PBFN).Los paso bajas normalizados tiene la frecuencia de corte en 1 = 1. La ecuacion que nostransforma paso bajas a paso bajas normalizado es

=1

Paso altas se transforman a paso bajas normalizado mediante la ecuacion

= 1

Paso banda se transforma a paso bajas normalizado mediante la ecuacion

=2 11(1 1)

Supresor de banda se transforma a paso bajas normalizado usando la ecuacion

53

Figura 3.1: Las plantillas de paso bajas, paso altas, paso banda y supresor de banda

=(1 1)2 11

En la figura 3.2 se puede ver como se transforman las plantillas de los filtros a uno paso bajasnormalizado. En los ejemplos se muestra la transformacion de todos tipos de plantillas a laplantilla paso bajas normalizado.

Figura 3.2: La transformacion de las plantillas PBF, PA, PB y SB a PBFN

Ejemplo 1:

Transformar la plantilla de paso bajas de la figura a la plantilla de paso bajas normalizado.

Primero se calcula la frecuencia del corte normalizada 1 y despues 2

54

1 =3400

3400= 1

2 =4700

3400= 1.382

paso bajas normalizado se muestra en la figura 3.3 b).

Figura 3.3: Las plantillas PBF y PBFN

Ejemplo 2:

Transformar la plantilla de paso altas de la figura 3.4a a la plantilla de paso bajas normal-izado.

Primero se calcula la frecuencia de corte normalizado 1 y despues 2

1 = 3400

3400= 1

2 = 3400

300= 11, 333

paso bajas normalizado se muestra en la figura 3.3b

Ejemplo 3:

Transformar la plantilla de paso banda de la figura 3.5a a la plantilla de paso bajas normal-izado.

Primero se calcula la frecuencia de corte normalizado 1, 1 y despues 2, 2

1 =34002 300.34003400(3400 300) = 1

1 =3002 300.3400300(3400 300) = 1

2 =47002 3400.3004700(3400 300) = 1, 446

55

Figura 3.4: Las plantillas de PA y PBFN

2 =1502 3400.300150(3400 300) = 2, 145

paso bajas normalizado se muestra en la figura 3.5b

Figura 3.5: Las plantillas PB y PBFN

Ejemplo 4:

Transformar la plantilla supresor de banda de la figura 3.6a) a la plantilla paso bajas nor-malizado.

Solucion:

Primero se calcula la frecuencia del corte normalizada 1, 1 y despues 2, 2. El pasobajas normalizado se muestra en la figura 3.6b

1 =100(100 47001002 + 100.4700

= 1

1 =4700(100 4700)47002 100.4700 = 1

2 =300(100 4700)3002 100.4700 = 3, 63

56

2 =3400(100 4700)34002 100.4700 = 1, 41

Figura 3.6: Las plantillas de SB y PBFN

En los catalogos de filtros se encuentran las estructuras de un filtro paso bajas normalizados.Para cumplir los especificaciones de la plantilla es necesario transformar la estructura normal-izado a una estructura denormalizada PBF, PA, PB o SB. A continuacion se muestra comose obtiene una estructura denormalizada paso banda si se conoce paso bajas normalizado.

Transformacion paso bajas normalizado a paso banda.

La impedancia de inductancia es z = jl . Si se systituye por

=2 11(1 1)

se obtiene

Z(j) = jl

1 1+

1

j

111l11

= pL1 +1

pC1

El inductor se transforma a un circuito serie LC con los valores

L1 =l

1 1C1 =

1 1l11

La admitancia de un capacitor es y = jc. Si se sustituye por

=2 11(1 1)

se obtiene

Y (j) = jc

1 1+

1

j

111c11

= pC2 +1

pL2

El capacitor se transforma a un circuito paralelo LC con los valores

C2 =c

1 1L2 =

1 1c11

En la figura 3.7 se muestra la transformacion de paso bajas normalizado a paso banda.

57

Figura 3.7: Transformacion PBF a PB

Transformacion paso bajas normalizado a supresor de banda.

La impedancia de inductancia es z = jl . Si se sustituye por

= (1 1)2 1.1

se obtiene

Z = jl = jl (1 1)2 11

=1

jl(11) +

11jl(11)

El inductor se transforma a un circuito paralelo LC con los valores

L1 =l(1 1)

11C1 =

1

l(1 1)La impedancia normalizada de un capacitor es z = 1jc . Si se sustituye por

= (1 1)2 1.1

se obtiene

Z(j) =1jc

2 11(1 1)

=j

(1 1)+

11jc(1 1)

El inductor se transforma a un circuito serie LC con los valores

C2 =c(1 1)

11L2 =

1

c(1 1)En la figura 3.8 se muestra la transformacion paso bajas normalizado a supresor de banda.

58

Figura 3.8: Transformacion PBF a SB

Transformacion paso bajas normalizado a paso bajas.

La impedancia del inductor normalizado es z = jl y se transforma con la ecuacion

=

1a un inductor

Z =j

1l = pL1

con el valor

L1 =l

1La admitancia del capacitor normalizado es y = jc y se transforma con la ecuacion

=

1a un capacitor

Y =j

1c = pC2

con el valor

C2 =c

1En la figura 3.9 se muestra la transformacion paso bajas normalizado al paso bajas desnor-malizado.

59

Figura 3.9: Transformacion PBFN a PBF

Transformacion paso bajas normalizado a paso altas.

La impedancia del inductor normalizado es z = jl y se transforma con la ecuacion

=1

a un capacitor C1

Z =1l

j1=

1

pC1

con el valor

C1 =1

1l

La admitancia del capacitor normalizado es y = jc y se transforma con la ecuacion

=1

a un inductor

Y = jc =1j

c =1

jL2

con el valor

L2 =1

c1En la figura 3.10 se muestra la transformacion del circuito paso bajas normalizado a circuitopaso altas desnormalizado.

60

Figura 3.10: Transformacion PBFN y PA

Ejemplo 5:

Calcular el filtro paso banda si el orden del filtro es n=2 y la impedancia en la salida yentrada es R0 = 600 Ohm. Las especificaciones de la plantilla del filtro estan en la figura3.11aLa estructura normalizada de segundo orden de Butterworth se muestra en la figura 3.11c.Los valores de paso bajas normalizados son l1 =

2 y c2 =

2. Si se utilizan las ecuaciones

para la transformacion paso bajas normalizado a paso banda, el inductor se transforma acircuito serie LC con L1, C1.

L1 =l1R0

2.(f1 f1)=

2.600

2.(3400 300) = 0, 0453 H

C1 =(f1 f1)

2.R0l1f1f1=

3400 3002600.

2.300.3400

= 570, 05 nF

y el capacitor se transforma a un circuito paralelo LC con L2, C2

L2 =R0(f1 f1)2.c2f1f1

=600(3400 300)2.

2.300.3400= 205, 2 mH

C2 =c2

2.R0.(f1 f1)=

2

2..600(3400 300) = 121, 01 nF

La estructura de paso banda que cumple las especificaciones de la plantilla figura 3.11a semuestra en la figura 3.11b.

Ejemplo 6:

Calcular el filtro supresor de banda si el orden del filtro es n=3 y la impedancia en la saliday entrada es R0 = 100 Ohm. Los especificaciones de la plantilla del filtro estan en la figura

61

Figura 3.11: Transformacion PBFN y PB

3.12a. La estructura de tercer orden normalizada de Butterworth se muestra en la figura3.12c. Los valores de paso bajas normalizados son l1 = l3 = 1 y c2 = 2. Si se utilizan lasecuaciones para la transformacion paso bajas normalizado a supresor de banda, el inductorse transforma a un circuito paralelo LC con L1, C1.

L1 =l1R0(f1 f1)

2.f1.f1=

1.100(3400 300)2.3400.300

= 48.371 mH

C1 =1

l1R0(f1 f1)=

1

1.100.2.(3400 300) = 513, 4 nF

y el capacitor c2 se transforma a un circuito serie LC con L2, C2

L2 =R0

c2.(f1 f1)=

100

2.2.(3400 300) = 2, 567 mH

C2 =c2 (f1 f1)

2f1.f1=

2(3400 300)2100.300.3400

= 9674, 1 nF

La estructura de supresor de banda que cumple las especificaciones de la plantilla figura3.12a se muestra en la figura 3.12b.

Ejemplo 7:

Calcular el filtro paso altas si el orden del filtro es n=2 y la impedancia en la salida y entradaes R0 = 75 Ohm. Las especificaciones de la plantilla del filtro estan en la figura 3.13a. Laestructura de segundo orden normalizado de Butterworth se muestra en la figura 3.13c. Losvalores de paso bajas normalizado son l1 =

2 y c2 =

2. Si se utilizan las ecuaciones

para la transformacion paso bajas normalizado a paso altas, el capacitor se transforma eninductor L1.

62

Figura 3.12: Transformacion PBFN a SB

L1 =R0cf1

=75

2.3400.

2= 2, 482 mH

y el inductor l2 se transforma en capacitor C2

C2 =1

l2 .2.f1=

1

2.

23400.75= 441, 33 nF

La estructura paso bajas que cumple las especificaciones de la plantilla figura 3.13a se muestraen la figura 3.13b.

Ejemplo 8:

Calcular el filtro paso bajas si el orden del filtro es n=3 y la impedancia en la salida y entradaes R0 = 150 Ohm. Las especificaciones de la plantilla del filtro estan en la figura 3.14a.La estructura de segundo orden normalizada se muestra en la figura 3.13c. Los valoresde paso bajas normalizado son l1 = l3 = 1 y c2 = 2. Si se utilizan las ecuaciones parala transformacion paso bajas normalizado a paso bajas, el capacitor c2 se transforma encapacitor C2.

C2 =c2

R0.2.f1=

2

2..100.3400= 936, 2 nF

y el inductor l1 se transforma en inductor L1 = L3

L1 = L3 =l1 .R02.f1

=100

2.3400= 4, 681 mH

La estructura paso bajas que cumple las especificaciones de la plantilla figura 3.13a se muestraen la figura 3.14b.

63

Figura 3.13: Transformacion PBFN a PA

Figura 3.14: Transformacion PBFN a PBF

64

Captulo 4

Aproximacion de las plantillas

La aproximacion de las especificaciones de la plantilla consiste en encontrar la funcion detransferencia G(s) que cumple las especificaciones de esta. Para la aproximacion de lasplantillas se usa la ecuacion caracterstica (4.1).

G(s)G(s) = 1 + (s)(s) (4.1)G(s) es la funcion de transferencia definida por la ecuacion (4.2).

G(s) =

U1I1U2I2

(4.2)

La funcion (s) es la funcion caracterstica a elegir cumpliendo solo una condicion. Lafuncion caracterstica puede ser cualquier funcion positiva. La funcion de transferencia debecumplir las siguientes condiciones:

El numerador de G(s) debe ser un polinomio Hurwitz. Eso significa que los ceros debenestar en el lado izguierdo del plano complejo de s.

Para todas las frecuencias la funcion de transferencia G(s) debe cumplir la condicion|G(j)| 1

La prueba de G(s) como una funcion de transferencia valida, no es facil, pero si (s) es unafuncion positiva podemos ver de (4.1) que se cumple la condicion |G(j)| 1. Si se eligenlos ceros de la ecuacion de transferencia en el lado izquierdo del plano complejo de G(s)entonces se cumplen las dos condiciones necesarias.

Ejemplo 1:

Compruebe, si G(s) es una funcion de transferencia valida.

G(s) =s3 + 5s2 + 9s + 5

s2 4Los ceros de G(s) son en la parte izquierda del plano, como se ve de la siguiente ecuacion

s3 + 5s2 + 9s + 5 = (s + 1)(s + 2 + j)(s + 2 j)El numerador de G(s) es un polinomio de Hurwitz, entonces se cumple la primera condicion.Ahora vamos a calcular |G(j)|

65

|G(j)|2 = 1 + 166 + 964 + 4882 + 399

164 + 82 + 1> 1

Para cualquier , tiene |G(j)| que ser mayor a uno, entonces se cumple tambien la segundacondicion y la funcion G(s) es una funcion de transferencia valida y se puede realizar conelementos LRC positivos. Esto significa que es fsicamente realizable.

4.1 Aproximacion de Butterworth

Para la aproximacion de Butterworth se elige la funcion caracterstica (s) = %sn. Laecuacion caracterstica (4.1) para la aproximacion de Butterworth toma la forma (4.3) o(4.4).

G(s)G(s) = 1 + (1)n%2s2n (4.3)

|G()|2 = G(j)G(j) = 1 + (1)n%22n (4.4)

El orden del filtro

Para calcular el orden del filtro normalizado en la figura 4.1 necesitamos conocer la atenuacionmaxima amax en 1 y la atenuacion mnima amin en 2.

Figura 4.1: La plantilla normalizada paso bajas

Para = 1 = 1 es la atenuacion a = amax y de (4.4) se puede escribir

e2amax = 1 + %2 10amax

10 = 1 + %2

y calcular %

% =

e2amax 1 % =

10amax

10 1

Para = 2 es la atenuacion a = amin y de (4.4) se puede calcular n.

e2amin = 1 + %22n2 10amin

10 = 1 + %22n2

66

Despejando por logaritmos ambos lados de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuacionpara calcular el orden del filtro Butterworth (4.5) y (4.7).

n >ln e

2amin1e2amax12 ln2

(4.5)

En la ecuacion (4.5) la atenuacion tiene unidades de Neperes. Para sustituir la atenuacionen Decibeles se utilizan las ecuaciones (4.6) o (4.7).

n >ln e

0.23amin1e0.23amax12 ln2

(4.6)

n >log 10

amin10 1

10amax

10 12 log2

(4.7)

Ceros de la funcion de transferencia.

Para calcular la funcion de transferencia G(s) se calculan los ceros de la ecuacion

G(s)G(s) = 1 + (1)n%2s2n = 0 (4.8)

Para el orden par de n se obtiene:

1 + %2s2n = 0

Si % = 1, los ceros de la funcion de transferencia G(s) para el orden n par se calculan mediantela ecuacion (4.9) y se ubican en el crculo unitario.

sk = ej +2k2n = cos

+ 2k

2n+ j sin

+ 2k

2n(4.9)

Para el orden impar de n se obtiene:

1 %2s2n = 0

Si % = 1, los ceros de la funcion de transferencia G(s) para el orden n impar se calculanmediante la ecuacion (4.10) y se ubican en el crculo unitario. Es necesario decir que losceros no estan ubicados en ningun caso en el eje imaginario. El numerador de la funcion detransferencia debe ser un polinomio de Hurwitz.

sk = ej kn = cos

k

n+ j sin

k

n(4.10)

Ejemplo 2:

Calcular la funcion de transferencia de un filtro de Butterworth para el orden n=2.

El orden de filtro es par y por eso se utiliza la ecuacion (4.9). Los ceros de la funcion detransferencia son:

s0 = cos

4+ j sin

4= 0, 707 + j0, 707

67

s1 = cos3

4+ j sin

3

4= 0.707 + j0, 707

Los ceros de G(s) y G(-s) se muestran en la figura 4.2

Figura 4.2: Los ceros de la funcion de transferencia de Butterworth para n=2

La funcion de transferencia debe tener los ceros en la parte izquierda del plano s.

G(s) = (s + 0, 707 j0, 707)(s + 0, 707 + j0, 707) = s2 +

2s + 1

Ejemplo 3:

Calcular la funcion de transferencia de un filtro de Butterworth para el orden n=3.

El orden de filtro es impar y por eso se utiliza la ecuacion (4.10). Los ceros de la funcion detransferencia tienen los valores:

s0 = cos 0 + j sin 0 = 1

s1 = cos

3+ j sin

3=

1

2+ j

3

2

s2 = cos2

3+ j sin

2

3= 1

2+ j

3

2

Los otros ceros de (4.8) no es necesario calcularlos, porque son conjugados y estan ubicadostambien en el crculo unitario. Los ceros de G(s) y G(-s) se muestran en la figura 4.3. Lafuncion de transferencia debe tener los ceros en la parte izquierda del plano s.

G(s) = (s s2)(s s3)(s s4)

entonces

G(s) = (s +1

2 j

3

2)(s +

1

2+ j

3

2)(s + 1)

G(s) = s3 + 2s2 + 2s + 1

68

Figura 4.3: Los ceros de la funcion de transferencia de Butterworth para n=3

Los ceros del filtro Butterworth de tercer orden para la atenuacion de 3 dB en la frecuenciaangular = 1 deben ser en el circuito unitario, porque se elegio % = 1. Calculando se obtiene

G(j) = j 2 + 2j + 1 = 1 + j

a = 20. log

2 = 3 dB

En general todos los filtros normalizados de tipo Butterworth en la frecuencia del corte1 = 1 tienen la atenuacion 3 dB para cualquier orden del filtro.

Ejemplo 4:

Calcular la impedancia de entrada para el filtro Butterworth si el orden del filtro es 3.

De ejemplo anterior la funcion de transferencia es G(s) = s3 + 2s2 + 2s + 1 y la funcioncaracterstica (s) = %sn = s3. Sustituyendo por G(s) y (s) a la ecuacion (4.11)

Zentrada(s) =G(s) + (s)

G(s) (s) (4.11)

se obtiene

Zentrada =2s3 + 2s2 + 2s + 1

2s2 + 2s + 1

Si la ultima ecuacion se desarrolla con un quebrado de escalera se obtiene el filtro Butterworthde tercer orden

Zentrada = s +1

2s + 1s+ 11

El filtro Butterworth de tercer orden se muestra en la figura 4.4a. Esta terminado en lapuerta de salida con una resistencia de 1 Ohm y en la frecuencia del corte 1 = 1 tiene la

69

atenuacion 3 dB. Los elementos del circuito normalizado de Butterworth se pueden calculardirectamente. Los valores de los elementos zk en el circuito en la figura 4.4b se puedencalcular mediante la ecuacion (4.12).

Figura 4.4: Los filtros de Butterworth de 3, 4 y 5 orden

zk = 2 sin(2k + 1)

2n(4.12)

Ejemplo 5:

Calcular los elementos del filtro Butterworth para el orden n=4.

z0 = 2 sin

8= 0, 765 z1 = 2 sin

3

8= 1, 847

z2 = 2 sin5

8= 1, 847 z3 = 2 sin

7

8= 0, 765

El filtro paso bajas normalizado con respecto a rsalida = 1 y 1 = 1 se muestra en la figura4.4c.

Ejemplo 6:

Calcular los elementos del filtro Butterworth para el orden n=5.

z0 = 2 sin

10= 0, 618 z1 = 2 sin

3

10= 1, 618

z2 = 2 sin5

10= 2, 000 z3 = 2 sin

7

10= 0, 1, 618

70

z4 = 2 sin9

10= 0, 618

El filtro paso bajas de orden 5, normalizado con respecto a rsalida = 1 y 1 = 1 se muestraen la figura 4.4d. Si se necesita que un filtro tenga otra atenuacion en la frecuencia de corte,es necesario multiplicar cada elemento del circuito por un constante K, donde:

K =2n

e0,23amax 1

Ejemplo 7:

Calcular los elementos del filtro Butterworth para el orden n=2 y amax = 0, 1dB.

Los elementos del filtro de segundo orden normalizados con respecto a amax = 3 dB seobtienen mediante la ecuacion (4.12). Calculando se obtiene l1 = c2 =

2. El filtro se

muestra en la figura 4.5a. Cada valor obtenido se multiplica por

K =4

e0,235.0,1 1 = 0.390557Los valores nuevos del filtro Butterworth con atenuacion 0,1 dB en 1 son

l1 = c2 =

2.0, 390557 = 0, 55233

Figura 4.5: El filtro Butterworth de segundo orden

Para comprobar si el filtro en la figura 4.5b atenua 0,1 dB en 1 = 1 es necesario calcularprimero la impedancia Z(s) y despues G(s). La estructura del filtro en la figura 4.5b es deescalera y por eso

Z(s) = 0.55233s +1

0.55233s + 11=

0, 3050689s2 + 0.55233s + 1

0, 55233s + 1

Calculando G(s) y (s) se obtiene

G(s) + (s) = 0, 3050689s2 + 0, 55233s + 1

G(s) (s) = 0.55233s + 1Si se suman esas ecuaciones se obtiene

71

G(s) = 0, 1525342s2 + 0, 55233s + 1

La funcion de transferencia para 1 = 1 toma la forma

G(1) = 0, 8474676 + j0, 55233

y la atenuacion en = 1 se obtiene calculando la ecuacion a = 20. log |G(1)|

a = 20 log

0.84746762 + 0, 552332 = 0, 1 dB

En las tablas de Butterworth 4.1, 4.2 y 4.3 se muestran los coeficientes de la funcion detransferencia, los elementos del filtro y los ceros de la funcion de transferencia calculadospara amax = 3dB. Si es necesario calcular la funcion de transferencia para otras amax esnecesario sustituir en la funcion de transferencia G(s) por s (4.13).

s =2n

e0,23amax 1p (4.13)

En el ejemplo siguiente se muestra como se calcula la funcion de transferencia para otrasamax.

Ejemplo 8:

Calcular la funcion de transferencia del filtro Butterworth para amax = 0, 1dB y orden n=3.

La funcion de transferencia obtenida mediante la tabla 4.2 toma la forma

G(s) = s3 + 2s2 + 2s + 1

Ahora se calcula nueva variable s

s =6

e0,23.0,1 1p = 0, 5343043p

La funcion de transferencia de filtro que atenua 0,1 dB en la frecuencia del corte 1 = 1toma la forma

G(p) = 0, 53430433p3 + 2.0, 53430432p2 + 2.0, 5343043p + 1

G(p) = 0, 1525338p3 + 0, 5709622p2 + 1, 06860868p + 1

Si la atenuacion en la frecuencia del corte es 0,1 dB se comprueba calculando G(j)

G(j) = j0, 1525338 0, 5709622 + j1, 06860868 + 1 = 0, 4290378 + j0, 9160748

a = 20 log

0, 42903782 + 0, 91607482 = 0, 1 dB

72

n l1 c2 l3 c4 l5 c6 l71 2,000002 1,41421 1,414213 1,00000 2,00000 1.000004 0,76536 1,84775 1,84775 0,765365 0,61803 1,61803 2,00000 1,61803 0,618036 0,51763 1,41421 1,93185 1,93185 1,41421 0,517637 0,44504 1,24697 1,80193 2,00000 1,80193 1,24697 0,44504

n c1 l2 c3 l4 c5 l6 c7

Tabla 4.1: Los elementos del filtro Butterworth para amax = 3 dB r1 = r2 = 1

n b1 b2 b3 b4 b5 b6 b71 1,000002 1,41421 1,000003 2,00000 2,00000 1,000004 2,61312 3,41421 2,61312 1,000005 3,23606 5,23606 5,23606 3,23606 1,000006 3,86370 7,46410 9,14162 7,46410 3,86370 1,000007 4,49396 10,0978 14,5918 14,5918 10,0978 4,49396 1,00000

Tabla 4.2: Los coeficientes de la funcion de transferencia del filtro Butterworth para amax =3 dB r1 = r2 = 1 y b0 = 1 G(s)=b0 + b1s + b2s2 +...

n 1 2 3 4 5 6 7

s1 -1,00000 -1,00000 -1,00000 -1,00000s2, s3 -0,70710 -0,50000 -0,38268 -0,30901 -0,25882 -0,22252

j0,707 j0,866 j0,924 j0,951 j0,966 j0,975s4, s5 -0,92388 -0,80902 -0,70710 -0,62489

j0,383 j0,588 j0,707 j0,782s6, s7 -0,96592 -0,90097

j0,259 j0,434

Tabla 4.3: Ceros de la funcion de transferencia del filtro Butterworth para amax = 3 dBr1 = r2 = 1

73

Ejemplo 9:

Calcular el filtro Butterworth de cuarto orden pasa bajas para amax = 2 dB, f1 = 3400 Hzsi las puertas de salida y de entrada estan conectadas con un resistor de 2000 .

Los valores normalizados del filtro Butterworth para amax = 3 dB se obtienen de la tabla 4.1

l1 = c4 = 0, 76536 l3 = c2 = 1, 84775

Para obtener el filtro que atenua en 1 2 dB es necesario multiplicar cada elemento por elconstante K

K =2n

e0,13.amax 1 =8

e0,23.2 1 = 0, 93499

Los valores desnormalizados con respecto a la atenuacion son

l1 = c4 = 0, 715603 l3 = c2 = 1, 727627

Ahora los elementos se desnormalizan con respecto a la frecuencia de corte 1 y a la impedan-cia R0 = 2000. Calculando se obtiene

L1 =l1.R02..f1

=0, 715603.2000

2..3400= 66, 995 mH

C1 =c2

2..f1.R0=

1, 727627

2..3400.2000= 40, 435 nF

L3 =l3.R02..f1

=1, 727627.2000

2..3400= 161, 741 mH

C4 =c4

2..f1.R0=

0, 715603

2..3400.2000= 16, 748 nF

El filtro paso bajas de Butterworth se muestra en la figura 4.6

Figura 4.6: El filtro Butterworth de segundo orden

74

4.2 Aproximacion Chebychev

La funcion caracterstica para la aproximacion de Chebychev es de la forma

() = cos(n arc cos()) para 1 (4.14)

() = cosh(n arg cosh()) para 1 (4.15)La ecuacion caracterstica toma la forma

G()G() = 1 + %2 cos2(n arc cos()) (4.16)

G()G() = 1 + %2 cos2 h(n arg cosh()) (4.17)

El orden del filtro

Igual como en el caso de la aproximacion de Butterworth se puede derivar el orden del filtropara la aproximacion de Chebychev. Para = 1 = 1 es la atenuacion a = amax y de (4.17)se puede escribir

Figura 4.7: La plantilla normalizada de paso bajas

e2amax = 1 + %2cos2(n.argcosh(1))

y calculando %

% =

e2amax 1Para = 2 = 1 es la atenuacion a = amin y de (4.17) se puede calcular n.

e2amin = 1 + %2cos2h(n argcosh(2))

Si se calcula el logaritmo natural de ambos lados de la ecuacion anterior se obtiene la ecuacionpara calcular el orden del filtro para la aproximacion de Chebychev (4.18).

n argcosh

e2amin1e2amax1

argcosh(2)(4.18)

75

En la ecuacion (4.18) la atenuacion a se sustituye en Nepers. Para calcular la atenuacion enDecibeles es necesario utilizar las ecuaciones (4.19) o (4.20).

n argcosh

e0.23amin1e0.23amax1

argcosh(2)(4.19)

n argcosh

10

amin10 1

10amax

10 1argcosh(2)

(4.20)

Ceros de la funcion de transferencia

Para calcular la funcion de transferencia G(s) se calculan los ceros de la ecuacion

G()G() = 1 + %2 cos2(narccos()) (4.21)Si se hace la sustitucion

arccos() = 1 + j2

se obtiene

= cos(1 + j2) = cos(1)cosh(2) + jsen(1)senh(2) (4.22)

De la ecuacion (4.21) se obtiene

cos(n1 + jn2) =j

%Si se desarrolla la funcion anterior en la forma trigonometrica se obtiene

cos(n1)cosh(n2) + jsen(n1)senh(n2) =j

%De esta ecuacion es posible obtener dos ecuaciones. Se comparan las partes reales e imagi-naras de ambos lados de la ecuacion anterior

cos(n1)cosh(n2) = 0 (4.23)

sen(n1)senh(n2) =1

%(4.24)

La funcion cosh(n2) para ningun n2 es igual a cero. Entonces es el primer termino en laprimera ecuacion el que debe ser igual a cero (cos(n1) = 0). Esta ecuacion es igual a ceropara

1 =(2k + 1)

2 (4.25)

Si se sustituye (4.25) en (4.24) se obtiene

sen((2k + 1)

2)senh(n2) =

1

%

pero sen( (2k+1)2 ) = 1 y la ecuacion anterior toma la forma

76

2 =1

nargsenh(

1

%) (4.26)

De la ecuacion (4.22) se obtiene la ecuacion (4.27). Mediante (4.27) se calculan los cerosde la funcion de transferencia del filtro Chebychev para cualquier orden del filtro y cualqieratenuacion amax

sk = jk = sen(1).senh(2) jcos(1).cos(2) (4.27)

Mediante las ecuaciones (4.26), (4.25) y (4.27) se puede calcular la funcion de transferenciaG(s) del filtro Chebychev. Los ceros del filtro Chebychev son ubicados en la elipse y en laparte izquierda del plano s. En el siguiente ejemplo se muestra como se calcula la funcionde transferencia de un filtro de tercer orden.

Ejemplo 10:

Calcular la funcion de transferencia de Chebychev para amax = 2 dB y el orden del filtron=3.

Primero se calcula %:

% =

10amax/10 1 =

102/10 1 = 0, 764

2 =1

3argsenh(

1

0, 764) = 0, 358

cosh(0, 358) = 1, 06 senh(0, 358) = 0, 366

y los ceros de la funcion de transferencia son

s0 = 0, 366.sen(

6) j1, 065.cos(

6) = 0, 183 j0, 922

s1 = 0, 366.sen(3

6) j1, 065.cos(3

6) = 0, 366

Los demas ceros no es necesario calcularlos, porque son conjugados y estan ubicados en laelipse, como se ve de la figura 4.8. La funcion de transferencia es

G(s) = (s + 0, 366)(s + 0, 183 + j0, 922)(s + 0, 183 j0, 922)

G(s) = s3 + 0, 73329s2 + 1, 01859s + 0, 324665

A primera vista se ve, que para = 0 la atenuacion no es igual a cero. Falta calcular laconstante K. Para s = 0 debe ser G(s)=1. La constante se obtiene de la ecuacion siguiente

G(s)|s=0 = K(s3 + 0, 73392s2 + 1, 01859s + 0, 324665)|s=0 = 1

entonces

K =1

0, 324066= 3, 0857855

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Figura 4.8: Ubicacion de los polos del filtro Chebychev

La funcion de transferencia toma la forma

G(s) = 3, 085588855s3 + 2, 261678s2 + 3, 1431724s + 1

Para = 1 la atenuacion debe ser igual a 2 [dB].

G(j) = j3, 0855855 2, 2616 + 3, 14317j + 1 = 1, 2616 + j0, 05758

a = 20.log

1, 26162 + 0, 05758692 = 2, 03 [dB]

Para calcular la impedancia de entrada (4.28) de un filtro de Chebychev es necesario calcularla funcion caracterstica (s) en la forma polinomial. La funcion caracterstica en la formatrigonometrica no se puede utilizar.

Zentrada =G(s) (s)G(s) (s) (4

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