Procesado Óptico de Imágenes

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PROCESADO ÓPTICO DE IMÁGENES Héctor Bermúdez Castro Grupo 5364, Técnicas Experimentales III, Grado en Física, U.A.M., Curso 2014/15 ÍNDICE I. Introducción .......................................................................................................................... 2 a. Motivación ........................................................................................................................ 2 b. Objetivos ........................................................................................................................... 2 II. Marco teórico ........................................................................................................................ 2 a. La difracción como transformada de Fourier bidimensional ............................................ 2 b. Teoría de Abbe de la formación de imágenes................................................................... 3 c. Lentes delgadas ................................................................................................................. 4 III. Desarrollo experimental........................................................................................................ 5 a. Material ............................................................................................................................. 5 b. Montaje ............................................................................................................................. 5 IV. Resultados y análisis.............................................................................................................. 7 a. Estudio y descripción de las transformadas de Fourier .................................................... 7 b. Procesado óptico ............................................................................................................. 10 - Diapositiva 2. Bloqueo de frecuencias espaciales y obtención de la doble frecuencia. ... 10 - Diapositiva 1. Obtención de la frecuencia espacial doble. ............................................... 11 - Diapositiva 4. Determinación de las frecuencias espaciales principales y tratamiento. .. 11 - Diapositiva 5. Determinación de la mayor frecuencia espacial. ....................................... 11 - Diapositiva 7. Determinación de la frecuencia espacial fundamental. ............................ 12 - Diapositivas 9 y 10. Comparación con la transformada de la diapositiva 3...................... 12 - Diapositiva 8. Procesado óptico para eliminar el rayado vertical en la fotografía. ......... 12 V. Conclusiones y cuestiones................................................................................................... 13 VI. Bibliografía .......................................................................................................................... 14 VII. Anotaciones......................................................................................................................... 14 VIII. Anexo I Imágenes obtenidas de las diapositivas y sus transformadas............................. 15 IX. Anexo II Imágenes obtenidas en el procesado óptico...................................................... 25 X. Anexo III Diapositivas ....................................................................................................... 67 XI. Anexo IV Pantallas ............................................................................................................ 72

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Informe de laboratorio de la práctica "Procesado Óptico de Imágenes" del laboratorio de Técnicas Experimentales III de tercer curso del grado en Física de la Universidad Autónoma de Madrid.En esta práctica se estudia la transformada bidimensional de Fourier para la explicación de la formación de imágenes mediante las teorías clásicas de difracción.

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PROCESADO ÓPTICO DE IMÁGENES Héctor Bermúdez Castro

Grupo 5364, Técnicas Experimentales III, Grado en Física, U.A.M., Curso 2014/15

ÍNDICE

I. Introducción .......................................................................................................................... 2

a. Motivación ........................................................................................................................ 2

b. Objetivos ........................................................................................................................... 2

II. Marco teórico ........................................................................................................................ 2

a. La difracción como transformada de Fourier bidimensional ............................................ 2

b. Teoría de Abbe de la formación de imágenes ................................................................... 3

c. Lentes delgadas ................................................................................................................. 4

III. Desarrollo experimental ........................................................................................................ 5

a. Material ............................................................................................................................. 5

b. Montaje ............................................................................................................................. 5

IV. Resultados y análisis .............................................................................................................. 7

a. Estudio y descripción de las transformadas de Fourier .................................................... 7

b. Procesado óptico ............................................................................................................. 10

- Diapositiva 2. Bloqueo de frecuencias espaciales y obtención de la doble frecuencia. ... 10

- Diapositiva 1. Obtención de la frecuencia espacial doble. ............................................... 11

- Diapositiva 4. Determinación de las frecuencias espaciales principales y tratamiento. .. 11

- Diapositiva 5. Determinación de la mayor frecuencia espacial. ....................................... 11

- Diapositiva 7. Determinación de la frecuencia espacial fundamental. ............................ 12

- Diapositivas 9 y 10. Comparación con la transformada de la diapositiva 3. ..................... 12

- Diapositiva 8. Procesado óptico para eliminar el rayado vertical en la fotografía. ......... 12

V. Conclusiones y cuestiones ................................................................................................... 13

VI. Bibliografía .......................................................................................................................... 14

VII. Anotaciones ......................................................................................................................... 14

VIII. Anexo I – Imágenes obtenidas de las diapositivas y sus transformadas ............................. 15

IX. Anexo II – Imágenes obtenidas en el procesado óptico...................................................... 25

X. Anexo III – Diapositivas ....................................................................................................... 67

XI. Anexo IV – Pantallas ............................................................................................................ 72

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I. Introducción

a. Motivación

Desde que a mediados del siglo XIX las bases de la óptica moderna fueran desarrolladas gracias a científicos de la talla de Zeiss, Fresnel, Fraunhofer o Abbe, hoy en día el tratamiento de la imagen, ya sea con técnicas analógicas o digitales (programas como Photosop, SonyVegas, etc.), así como el entendimiento y tratamiento de la luz en general son temas muy importantes debido a su amplio campo de utilización. Podemos encontrar aplicaciones desde el uso de nuevas técnicas de visualización para espectáculos y entretenimiento hasta el tratamiento de imágenes científicas para conseguir mejores resoluciones de detalles a escalas que rozan los límites de la resolución óptica que los aparatos imponen debido a la difracción.

b. Objetivos

Para nuestro experimento estudiaremos la formación de imágenes usando la teoría de Abbe (1873) para iluminación coherente, que estudia la transmisión a través de un objeto de las distintas frecuencias espaciales de la luz y que fue desarrollada para la mejoría de los microscopios. Como ya veremos, las transformadas de Fourier bidimensionales juegan un papel crucial en esta teoría, y los objetivos fundamentales que se busca conseguir en esta práctica son los siguientes:

- Observación y estudio de las transformadas de Fourier bidimensionales de las imágenes formadas por una lente.

- Actuación sobre la transformada de Fourier para el procesamiento de imágenes.

II. Marco teórico

a. La difracción como transformada de Fourier bidimensional

Supondremos un sistema de coordenadas ortogonal de ejes paralelos al plano de la abertura por la que se transmitirá la luz y definiremos una función apertura F normalizada a la unidad que variará en las coordenadas de este plano de modo que en los puntos en los que F tenga un valor unitario, indica que la luz se transmite con igual intensidad a la incidente, mientras que en los que tienen un valor nulo no se transmite la luz. Por ejemplo, para una abertura rectangular de lados 2a x 2b centrada respecto al origen la función de transferencia F será:

(1)

La integral de Fraunhofer para esa abertura iluminada por una onda coherente monocromática

será (véanse (Hecht & Zajac, 2002) y (Arizmendi, Apuntes de la asignatura "Óptica", 2013/14)):

(2)

Donde es una constante, la frecuencia angular de la luz y

su número de onda con su

longitud de onda. Considerando que colocamos una lente y una pantalla en su plano focal podemos

poner que:

y

. Haciendo el cambio de variables:

y

vemos que la expresión (2) puede escribirse ahora como:

(3)

Es decir, el campo eléctrico de la onda difractada (y por tanto la intensidad) será proporcional a la transformada de Fourier bidimensional de la función apertura . Nótese que la función de

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apertura puede tomar cualquier valor entre 0 y 1 y que en el plano focal de la lente se formará la transformada de Fourier bidimensional.

b. Teoría de Abbe de la formación de imágenes

Teniendo en cuenta los resultados de apartado anterior, estudiemos ahora la transformada de Fourier bidimensional de una red de difracción de transmisión (formada por rendijas delgadas paralelas y equidistantes una distancia d) tal y como se puede ver en la Figura 1.

Figura 1 - Red de difracción de transmisión (de Ronchi) desde -∞ a +∞

Podemos expresar su función de apertura como una transformada discreta de Fourier unidimensional:

(4)

Donde los son una serie de coeficientes constantes que son la proyección de la función de apertura en cada uno de los “modos normales” de la transformada discreta de Fourier unidimensional y representan la importancia del modo m-ésimo en el conjunto total. Sustituyendo (3) en (4) obtenemos una serie de funciones delta de Dirac (puntos brillantes en el plano focal) centradas en unas determinadas frecuencias a las que denominaremos frecuencias espaciales de la red:

(5)

Donde, naturalmente, es el orden de difracción. Siendo la distancia focal de la lente, es fácil

ver que los ángulos de difracción vendrán dados por:

(6)

Donde es la posición horizontal del punto brillante en el plano focal de la lente. Para hallar la posición de cada uno de los puntos brillantes en el plano focal de la lente para

cualquier función de apertura que represente una imagen o diapositiva en tonos de gris podemos pensar que la imagen está formada por una determinada combinación lineal de redes de difracción con distintas frecuencias espaciales y orientaciones. Debido a que las lentes tienen la propiedad de concentrar en un punto de su plano focal imagen cada haz de luz colimado que pasa por ellas, la posición del punto en el plano focal depende exclusiva y unívocamente de la distancia focal imagen de la lente y de los ángulos del haz entrante. A cada haz inclinado le corresponde un punto, de modo que la localización de dicho punto en el plano focal será:

(7)

Midiendo esta distancia y conociendo el valor de podemos obtener la separación y

obtener por tanto la frecuencia espacial de la red. Nótese además, que, dado que las lentes no son infinitamente grandes, hay un límite físico

impuesto por el montaje experimental al sumatorio de la expresión (4) de modo no se extiende hasta el infinito sino hasta un valor máximo dado por la expresión:

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(8)

Donde se ha supuesto que la lente tiene un diámetro , que ésta está a una distancia de la

apertura y que los ángulos son lo suficientemente pequeños para que se pueda hacer la

aproximación paraxial:

. El hecho de que exista un orden de difracción máximo

a partir del cual no se transmiten más frecuencias espaciales hace que las imágenes obtenidas sean imperfectas.

c. Lentes delgadas

Debido a que en el experimento se usarán lentes de diferentes distancias focales con distintos fines, cabe mencionar algunas cosas sobre las lentes delgadas y los parámetros útiles a tener en cuenta a la hora de usarlas. En óptica geométrica, entendemos la formación de una imagen por una lente según se describe en la Figura 2:

Figura 2 - Esquema de la formación de una imagen a través de una lente delgada en la óptica

geométrica

Las diferentes distancias , y quedan relacionadas por la ya conocida fórmula:

(9)

Así mismo, es útil definir la cantidad conocida como aumento lateral, que nos relaciona la altura

del objeto del que emana el rayo de luz y la altura de la imagen formada por la lente:

(10)

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III. Desarrollo experimental

a. Material

- Láser de He-Ne de longitud de onda nm. - Banco-óptico con soportes. - Lentes convergentes con diferentes distancias focales (500 mm, 300 mm, 100 mm

y 25 mm). - Conjunto de diapositivas con diferentes imágenes (véase apartado IX). - Conjunto de pantallas para bloquear partes de la transformada de Fourier (véase

apartado XI). - Pantalla de observación. - Cinta métrica y calibre.

b. Montaje

El montaje a realizar es que se puede ver en la Figura 3 (los valores de las distancias

que aparecen se irán deduciendo y explicando posteriormente).

Figura 3 - Esquema del montaje experimental

En uno de los extremos del banco óptico situaremos el láser de He-Ne, cuyo diámetro se conoce, siendo mm.

Para expandir el diámetro de este haz y colimarlo y que ilumine suficientemente bien la diapositiva usaremos dos lentes de distintas distancias focales pero con una distancia entre ellas tal que el foco de ambas coincida espacialmente. La relación entonces entre el diámetro del haz de

salida del láser y el haz expandido vendrá dada por:

. La situada

inmediatamente después del láser en la Figura 3 será la de distancia focal mm, mientras que

la segunda lente colimadora tendrá una distancia focal de mm, con lo que deberíamos

obtener un haz colimado con diámetro mm. Como primera comprobación, medimos

el diámetro del haz aumentado en la pantalla usando el calibre obteniendo: mm. Esta leve diferencia respecto del valor teórico se debe a que aunque el haz obtenido está casi totalmente colimado, existe una pequeña aureola alrededor del haz debido a la dispersión de la luz por las moléculas del aire. Incluyendo esta leve aureola sí obtenemos el valor teórico, pero se creyó conveniente explicarlo y tomar la medida de la parte más brillante y nítida.

Acto seguido, situaremos la Diapositiva 2 y la lente (denominada lente principal en la Figura 3) de

distancia focal mm para obtener una imagen de la diapositiva lo más ampliada posible en la

pantalla. Para conseguir esto podemos poner la pantalla en una posición fija (lo más lejana de la lente posible) y variar la distancia entre ésta y la lente, variando por tanto la distancia entre diapositiva y

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lente. De esta forma, teniendo en cuenta la fórmula (9) y que buscamos que la imagen obtenida en la pantalla sea nítida, real y lo mayor posible, llegamos a que la distancia entre diapositiva y lente principal es de mm y a que la distancia entre lente principal y pantalla es de mm. Teniendo estos dos valores, podemos calcular el aumento lateral con la fórmula (10), obteniendo: . Como comprobación, podemos medir la longitud de la diapositiva y la

longitud de la imagen obtenida en la pantalla (variables e respectivamente en la ecuación (10)) y obtener el aumento lateral que nos proporciona la configuración que hemos llevado a cabo:

, que es un valor muy cercano al esperado. La desviación

respecto al valor anteriormente calculado puede deberse a que la colocación de los elementos en el banco óptico no es muy exacta dado que la posición verdadera (y no la del borde del soporte) de cada uno de los elementos se hace de forma aproximada. Aún así, se varió la distancia entre los elementos levemente para obtener un aumento lateral más acorde al esperado, pero se vio que la configuración que maximizaba la ampliación y nitidez de la imagen en la pantalla (ver Fotografía 3) era

la que daba el aumento lateral dado anteriormente, aunque no fuera exactamente el esperado. Para observar la transformada de Fourier bidimensional de la diapositiva en la pantalla debemos

considerar como plano objeto para una nueva lente (lente secundaria en el esquema de la Figura 3) el

plano de la transformada de Fourier formada por la lente principal a una distancia de la lente principal igual a su distancia focal. En primer lugar, debemos determinar la posición de este plano de la transformada. Se llevó a cabo usando una hoja de papel y moviéndola perpendicularmente al banco óptico, de modo que pudimos determinar a qué distancia de la lente principal se encontraba el plano de Fourier (cuando la imagen de la transformada era lo más nítida posible) obteniendo como no podía ser de otra forma la distancia esperada (la distancia focal ). Una vez determinada la posición del plano de Fourier colocaremos aquí el soporte para pantallas, que usaremos más tarde. Finalmente, colocaremos la lente secundaria descrita antes (de distancia focal

mm) ajustando su posición para que forme la imagen ampliada de la transformada en la pantalla, es decir, la colocaremos a una distancia del soporte para pantallas (plano de Fourier de la lente principal). Experimentalmente, se vio que obteníamos la mejor imagen de la transformada en la pantalla (Fotografía 4) cuando la distancia entre el plano de la transformada y la lente secundaria era igual a la

distancia focal , con lo que la distancia entre lente principal y secundaria quedaba de cm.

Es interesante calcular el aumento lateral que tiene la imagen de la transformada de Fourier en la pantalla. Usando las distancias entre pantalla y lente secundaria y entre lente secundaria y plano de Fourier de la lente principal tenemos que la imagen de la transformada de Fourier en la pantalla tiene

un aumento lateral de:

. Dado que la transformada de Fourier

que se forma en el plano focal de la lente principal tiene un tamaño muy reducido, resulta imposible medir la distancia entre los puntos con suficiente exactitud como para que, midiendo además la distancia entre los puntos en la pantalla, obtener un valor fiable del aumento lateral usando las alturas y compararlo con el obtenido usando las distancias.

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IV. Resultados y análisis

a. Estudio y descripción de las transformadas de Fourier

Para cumplir con el primero de los objetivos impuestos analizaremos cada una de las transformadas de Fourier bidimensionales de cada una de las diapositivas explicando el por qué de su forma, su distribución, etc. Pondremos la diapositiva (sin estar colocada la lente secundaria y sin haber colocado ninguna pantalla en el soporte), fotografiaremos la imagen obtenida en la pantalla, situaremos la lente secundaria en su lugar y finalmente fotografiaremos la imagen de la transformada de Fourier bidimensional en la pantalla, midiendo en cada caso las distancias que nos resulten útiles de cara al estudio y comprobación de la teoría anteriormente explicada.

- Diapositiva 1 (Véanse Fotografía 1 y Fotografía 2): la diapositiva en cuestión es simplemente una red

de difracción de Ronchi como la analizada en el apartado II.a dada por la ecuación (1). Tal y como se analizó previamente, el patrón de puntos esperado en la transformada bidimensional de Fourier es como el obtenido, es decir, una serie de puntos alineados separados a distinta longitud del centro y colocados en el eje vertical (eje perpendicular al rayado de la Diapositiva 1). En el experimento se midió el espaciado entre las rendijas de la Diapositiva 1 usando el calibre obteniendo que era de 0.4 mm y comprobando que las dimensiones en la pantalla se ajustaban al aumento lateral calculado anteriormente. Usando las fórmulas (6) y (7) vemos que los puntos en la transformada deberían estar

a longitudes del origen dadas (en el plano focal) por

. Entonces, los puntos deberían estar

a longitudes del origen (en la pantalla) dadas por

, donde es el aumento lateral de la lente

secundaria. Es decir, sustituyendo valores, deberíamos ver que las distancias entre los puntos en la pantalla son: mm, mm, mm, etc. (donde obviamente no se ha considerado el orden dado que su posición es el centro). Midiendo las posiciones de los puntos en la pantalla obtuvimos valores muy cercanos a los esperados: mm, mm, mm, etc. La ligera desviación puede entenderse a partir del hecho de que no son puntos concretos sino que tienen un cierto diámetro y medir usando los centros de los puntos es inexacto, pero medir usando los bordes también lo es ya que como se puede apreciar en la Fotografía 2 hay puntos más brillantes que otros (dependiendo de la importancia de la

frecuencia espacial en la imagen) con lo que su diámetro varía levemente. - Diapositiva 2 (Véanse Fotografía 3 y Fotografía 4): la diapositiva en cuestión vuelve a ser una red de

difracción de Ronchi como la analizada en el apartado II.a pero con una frecuencia espacial mayor que la Diapositiva 1 y diferente orientación (en lugar de ser horizontal ahora el rayado es vertical). El hecho de que la frecuencia espacial ahora sea mayor se aprecia claramente comparando la Fotografía

2 con la Fotografía 4 y viendo que en esta última los puntos están más equiespaciados. Dado que el

patrón es el esperado podemos hacer un análisis similar al llevado en el apartado anterior pero a la inversa, usar la distancia medida en la pantalla, el aumento lateral, la longitud de onda y el orden de difracción para hallar el espaciado entre las rendijas obteniendo que este es de 0.19 mm, lo cual tiene sentido.

- Diapositiva 3 (Véanse Fotografía 5 y Fotografía 6): ahora la diapositiva en cuestión es una

combinación de 4 frecuencias espaciales distintas con igual orientación (vertical). De la imagen obtenida de la transformada de Fourier en la pantalla poco se puede decir debido a que no se distinguen muy bien los puntos por el enfoque de la cámara, por lo que se procederá a una descripción en base a lo que se observó. En la línea central horizontal se observaba una serie de puntos equiespaciados una distancia muy cercana a la separación entre los puntos de la Fotografía 2.

Esto tiene sentido ya que estos puntos corresponden a la frecuencia espacial vertical menor, es decir, la correspondiente a las rendijas más anchas y separadas entre sí. El resto de frecuencias espaciales verticales se encuentran en la misma línea que estos puntos pero o bien no se distinguían bien o bien

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quedaban espacialmente en el mismo lugar que algunos de los puntos de los de menor frecuencia espacial. Además, se observaba una segunda línea de puntos con menor intensidad encima y debajo de esta línea central de puntos. Estas dos líneas corresponden a la menor frecuencia espacial horizontal que es la que divide a la diapositiva en cuatro cuadrados de iguales dimensiones.

- Diapositiva 4 (Véanse Fotografía 7 y Fotografía 8): el patrón de puntos obtenido en la transformada

de Fourier es el esperado, consistiendo en puntos equiespaciados tanto en la dirección horizontal como en la vertical. Además, nótese que los puntos equiespaciados en la dirección vertical están separados una distancia levemente menor que la distancia que separa a los puntos equiespaciados en la dirección horizontal, lo cual tiene sentido ya que como se puede ver en la imagen de la Diapositiva 4 las frecuencias horizontal y vertical no son iguales (si bien en la Fotografía 7 esto casi no

se aprecia), siendo la primera la mayor de las dos y por tanto teniendo los puntos en el dominio de Fourier correspondientes a esta frecuencia una separación menor entre ellos así como en la imagen.

- Diapositiva 5 (Véanse Fotografía 9 y Fotografía 10): la diapositiva en cuestión puede entenderse

como una combinación de redes de difracción de Ronchi con distintas orientaciones. Por ejemplo, si cogemos una red como la de la Diapositiva 1 y desde su posición inicial horizontal la vamos rotando

respecto a su centro radianes (ya que tenemos 60 sectores circulares) cada vez de 0 hasta radianes podemos obtener una diapositiva parecida a la que tenemos en cuestión. Si además queremos que sean sectores circulares en todo su sentido, necesitamos hacer lo anterior con distintas frecuencias espaciales, una menor para los puntos más lejanos (que dará en el dominio de Fourier rayos saliendo del origen juntos y que alcanzarán poca distancia respecto al origen) y una mayor para los puntos más cercanos al origen (que equivaldrá en la transformada a rayos saliendo del origen más separados que los anteriores y que llegarán más lejos). Además, para que no obtuviéramos este patrón formado por anillos deberíamos encontrar una alta frecuencia espacial que haga que sólo visualicemos el disco central, de modo que alrededor del punto central deberían encontrarse una serie de anillos muy poco equiespaciados.

Este patrón es el que se obtuvo y que, aunque no se visualiza con mucho detalle en la Fotografía 10,

sí se puede apreciar cualitativamente lo explicado y deducido anteriormente. Que el punto central esté rodeado por un anillo oscuro de cierta longitud ( mm) se debe a que esa distancia es la separación entre los puntos de la mayor frecuencia espacial. Aunque en la fotografía no se ven demasiado bien todos los detalles (como los anillos que deberían aparecer alrededor del punto central) debido a la calidad de la cámara, podemos comparar la Fotografía 10 con la siguiente imagen

obtenida de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el programa MATLAB para

tratamiento de imagen:

Figura 4 – Transformada de Fourier bidimensional de la Diapositiva 5 obtenida usando MATLAB

- Diapositiva 6 (Véanse Fotografía 11 y Fotografía 12): la diapositiva en cuestión puede entenderse

bien una vez se ha comprendido todo lo descrito para la anterior ya que la descripción es similar. En este caso los sectores circulares están la mitad de separados que los de la diapositiva anterior, dando

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lugar a una mayor frecuencia espacial. En este caso, la anchura del anillo oscuro alrededor del punto central es mayor que en el anterior, siendo de mm, lo cual tiene sentido ya que es del orden del doble de la anterior, ya que la mayor frecuencia espacial en este caso es el doble que la anterior. Que no se obtenga una medida exacta se debe nuevamente a la dificultad de determinar el punto central ya que en este caso el punto central es más ancho y la medida tiene un error mayor que el escrito anteriormente (que es el debido a la imprecisión del calibre). Es útil también comparar la imagen de la transformada de Fourier obtenida con la que deberíamos obtener teóricamente:

Figura 5 – Transformada de Fourier bidimensional de la Diapositiva 6 obtenida usando MATLAB

- Diapositiva 7 (Véanse Fotografía 13 y Fotografía 14): para formar una diapositiva como la que nos

ocupa a base de combinaciones lineales de redes de difracción de Ronchi basta seguir el procedimiento anterior pero incluyendo algunas modificaciones. Para obtener un continuo en los anillos en lugar de sectores circulares la frecuencia espacial debe ser mucho mayor, siendo por tanto la distancia prácticamente inexistente. Con esto, obtendríamos toda la pantalla iluminada. Para conseguir ahora que se formen anillos, basta añadir una frecuencia espacial determinada e irla rotando de forma perpendicular a lo anterior, para que se formen anillos. Otra forma de entender esto es tener en cuenta cuál es el patrón de difracción de una apertura circular y utilizar simplemente muchas aperturas circulares concéntricas discretizando los diámetros para que se forme una diapositiva como la deseada. Por tanto, la transformada de Fourier deberá consistir en unos determinados anillos de un determinado radio. Para formar cada uno de los anillos (la mayor frecuencia espacial) aparecerá un anillo alrededor del punto central con un radio que deberá ser del orden de los anillos oscuros centrales anteriores de las Diapositiva 5 y Diapositiva 6. Para que se forme

el círculo grande total (la menor frecuencia espacial) deberán aparecer unos anillos más alejados del centro que los anteriores. Observando la fotografía tomada (Fotografía 14) vemos que la deducción de

la transformada se corresponde con los resultados obtenidos. Además, el radio de los primeros anillos (que determinan la mayor frecuencia espacial) se midió, obteniendo un valor de mm, que es del orden esperado. Además, la distancia medida entre los anillos de mayor frecuencia espacial y los de menor fue de mm. Sumando ambas además del resto de la aureola y teniendo en cuenta el aumento lateral de la lente secundaria podemos calcular las dimensiones de la diapositiva, que dan del orden aproximado a las reales (10 x 10 mm).

- Diapositiva 8 (Véanse Fotografía 15 y Fotografía 16): de cómo obtener esta diapositiva como

combinación lineal de redes de difracción de Ronchi poco puede decirse debido a la complejidad del dibujo. En cualquier caso, sí podemos afirmar que deberá aparecer en la transformada un patrón de puntos en dirección horizontal que estén separados una distancia considerable, debido a que en la imagen aparece un rayado vertical medianamente delgado (alta frecuencia espacial vertical). Como se puede ver, esta serie de puntos aparece en la imagen.

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- Diapositiva 9 (Véanse Fotografía 17 y Fotografía 18): la diapositiva en cuestión se puede obtener

fácilmente como suma de una red de rendijas horizontales con determinada frecuencia espacial y otra red de rendijas verticales con igual frecuencia espacial que la anterior. Atendiendo a esto, es fácil entender que la transformada de Fourier deberá de consistir en una serie de puntos que formen una malla de cuadrados (siendo los vértices cada uno de los puntos) todos con lados de igual longitud, como podemos observar en la imagen obtenida.

- Diapositiva 10 (Véanse Fotografía 19 y Fotografía 20): el procedimiento es análogo al de la

diapositiva anterior pero ahora usando redes de menor frecuencia espacial, por lo que los puntos obtenidos en la transformada deberán estar más juntos que en el caso anterior. Contando simplemente el número de cuadrados en una línea vemos que éste es justamente la mitad que en la Diapositiva 9, con lo que al medir la separación entre puntos en la pantalla deberíamos obtener del

orden de la mitad del valor que en el caso anterior. Llevando a cabo estas medidas se comprobó que efectivamente era así.

b. Procesado óptico

Para el segundo objetivo, para cada diapositiva (o diapositivas) usaremos una serie de pantallas que taparán los puntos que queramos de la transformada para “procesar” las imágenes y obtener un determinado efecto o información acerca de las imágenes de las diapositivas, que dependerá del caso en el que nos encontremos.

- Diapositiva 2. Bloqueo de frecuencias espaciales y obtención de la doble frecuencia. (Fotografías 21 - 38)

Con la Diapositiva 2 colocada procederemos a tapar distintos puntos de la transformada usando la Pantalla B y analizaremos qué ocurre.

En primer lugar dejaremos pasar sólo el punto central tapando el resto, vemos que prácticamente perdemos todo detalle de las franjas verticales, quedando únicamente la luminosidad y forma general de la imagen de la diapositiva.

Ahora tapamos todos los puntos menos el punto siguiente al central, obteniendo en este caso una imagen todavía difusa pero en la que se empiezan a apreciar las franjas.

Siguiendo el mismo procedimiento, tapamos todos los puntos menos el segundo punto siguiente al central y vemos que ahora aunque la imagen ha perdido luminosidad en general sí podemos apreciar las franjas con mayor facilidad.

Finalmente, tapamos todos los puntos menos el tercer punto siguiente al central obteniendo una imagen que dista muy poco del caso anterior, se aprecia una leve mejoría en la distinción de las franjas verticales.

Ahora utilizando la Pantalla B rotada 90 grados tapamos sólo el punto central obteniendo como

resultado una pérdida de luminosidad pero ahora se distinguen todas las franjas verticales perfectamente, de hecho, hemos obtenido la frecuencia espacial doble, ya que ha aparecido el doble de franjas de la mitad de anchura y separación.

Utilizamos ahora el punto de mayor tamaño de la Pantalla F para tapar el punto central y el

primer punto siguiente al central (tanto el de la izquierda como el de la derecha). El resultado es una imagen muy difusa en la que sólo se aprecian levemente las franjas verticales originales.

Usamos ahora el anillo central de la Pantalla G para tapar sólo los primeros puntos siguientes al

central a ambos lados. Volvemos a obtener la doble frecuencia espacial. Usando el mayor de los anillos de la Pantalla G para tapar sólo los segundos puntos siguientes al

central a ambos lados obtenemos una imagen con igual frecuencia espacial a la original pero han aparecido mayor número de franjas de menor intensidad fuera del cuadrado total.

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- Diapositiva 1. Obtención de la frecuencia espacial doble. (Fotografías 39 - 40)

De lo aprendido en el caso anterior y usando como pantalla la Diapositiva 7 de anillos

concéntricos podemos tapar el punto central y los puntos pares siguientes al central, dejando pasar los impares. De esta forma, deberíamos obtener una mejor visualización de la frecuencia espacial doble. Si hacemos esto colocando la Diapositiva 1 obtenemos como resultado efectivamente la

frecuencia espacial doble además muy fácilmente distinguible.

- Diapositiva 4. Determinación de las frecuencias espaciales principales y tratamiento. (Fotografías 41 - 48)

Usando ahora la Diapositiva 4 nos planteamos determinar la frecuencia espacial principal en

cada una de las dos direcciones. Para ello, en primer lugar, usaremos la Pantalla A rotada 90 grados para bloquear los puntos

horizontales y dejar pasar sólo los verticales centrales. Como resultado obtenemos una imagen que consiste únicamente en franjas horizontales aunque la original tuviera ambas.

Después, usando para ello la Pantalla A ahora con orientación normal bloquearemos los puntos

verticales dejando pasar sólo los horizontales centrales. Como se podría imaginar, obtenemos en este caso una imagen formada por franjas verticales bien distinguibles.

Ahora, usaremos la Pantalla B con orientación normal para bloquear sólo las horizontales

centrales. El resultado es que obtenemos otra vez sólo franjas verticales aunque éstas están levemente sesgadas recordando la imagen general levemente a la malla original.

Si ahora, en cambio, usamos la Pantalla B rotada 90 grados bloqueando sólo los puntos

verticales centrales obtenemos una imagen en la que predominan las franjas horizontales, aunque éstas no son continuas, sino que presentan sesgado parecido al del caso anterior, pareciéndose la imagen prácticamente a la del caso anterior y a la original, es decir, recuperando prácticamente la malla.

- Diapositiva 5. Determinación de la mayor frecuencia espacial. (Fotografías 49 – 72)

Para determinar la mayor frecuencia espacial de la imagen que forma la Diapositiva 5, que es la

que dará los detalles más finos, es decir, los del centro de la imagen, podemos usar una pantalla con aberturas circulares o un diafragma o iris óptico para ir disminuyendo el diámetro de la abertura que deja pasar la transformada de Fourier para así, a una determinada apertura, ver cómo el centro de la imagen comienza a difuminarse, determinando así la mayor frecuencia espacial que aparece.

Usando la Pantalla C y la Pantalla D comenzando por la abertura de menor diámetro ( mm)

hasta la de mayor diámetro ( mm) se pudo ver que en todo este rango de diámetros el centro quedaba completamente distorsionado y no podíamos ver las franjas más finas. Para el mayor diámetro daba la impresión de que se empezaban a distinguir levemente los picos más cercanos al centro de cada uno de los sectores circulares.

Posteriormente se usó un diafragma con distintos diámetros, cuyo diámetro podíamos variar desde mm cuando estaba completamente abierto a un mínimo de mm cuando estaba completamente cerrado. Dado que el diafragma no suponía una buena forma para determinar el diámetro a partir del cual la frecuencia mayor se perdía y el centro de la imagen se difuminaba ya que la incertidumbre en la medida del diámetro era muy alta, sólo se pudo usar este aparato para acotar la región de diámetros en la que perdíamos la nitidez del centro, obteniendo que esto ocurría alrededor de los mm.

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- Diapositiva 7. Determinación de la frecuencia espacial fundamental. (Fotografías 73 – 102)

Para determinar la frecuencia espacial fundamental de la Diapositiva 7 procederemos de

idéntica forma al anterior apartado. En primer lugar usamos el diafragma. Con él completamente abierto obtenemos la misma

imagen que sin él. Cuando lo cerramos hasta el anillo más lejano del centro en la transformada (los de mayor diámetro) vemos que los círculos concéntricos en la imagen se distinguen mejor. Al seguir cerrando el diafragma no hay cambios significativos hasta que llegamos a su mínimo diámetro, que deja pasar por completo el punto central y los primeros anillos. En esta última situación los anillos con mayor diámetro en la imagen se empiezan a difuminar.

Para poder eliminar cantidades con diámetros más pequeños usaremos la Pantalla C y la Pantalla

D. Empezando por los de mayor diámetro (Pantalla D) y reduciendo hasta los menores (Pantalla C)

vamos eliminando progresivamente mayor cantidad de la transformada que dejamos pasar. Aunque los anillos se van difuminando poco a poco (sobre todo los más exteriores) la nitidez es notable hasta llegar al diafragma de mm de diámetro de la Pantalla C en el que todo se empieza a difuminar y

los anillos, aunque aún visibles, empiezan a tener poca nitidez. Esta situación coincide con el momento en el que el anillo más cercano al punto central en la transformada empieza a ser bloqueado por el diafragma, quedando así claro cuál es la frecuencia fundamental.

Tal y como se explicó en el apartado IV.a, es posible que debido a la difracción y condiciones del laboratorio no fuéramos capaces de visualizar más anillos cerca del punto central que en la modelización teórica con MATLAB sí que aparecen. Para ver qué efectos tendría tapar el punto central (y por consiguiente entender qué harían estos anillos que no somos capaces de ver) tapamos el punto central (sin llegar al primer anillo en la transformada) usando el anillo de tamaño mediano de la Pantalla H. La consecuencia de realizar esto es que, como era de esperar atendiendo a los casos

anteriores, obtenemos una leve aunque visible aparición de la frecuencia espacial doble, viendo el doble de anillos con la mitad de espacio entre ellos que anteriormente en la imagen que formaba la diapositiva original. Si en cambio usamos el anillo pequeño de la Pantalla G el resultado obtenido es

un disco con luminosidad prácticamente uniforme en el que no podemos distinguir franjas, salvo en las zonas más exteriores donde se empiezan a perfilar muy levemente.

- Diapositivas 9 y 10. Comparación con la transformada de la diapositiva 3.

En primer lugar, vemos que en la Diapositiva 9 y Diapositiva 10 aparecen muchas más frecuencias

espaciales a diferentes alturas que en la Diapositiva 3 (véanse Fotografía 18, Fotografía 20 y Fotografía 6),

lo cual tiene sentido ya que para formar el damero completo de los dos primeros casos hacen falta más frecuencias espaciales en la dirección vertical que en el último caso. Para la Diapositiva 3

aparecen muy pocas, cercanas al centro y con poca intensidad, que son las encargadas de formar las cuatro cuadrículas.

- Diapositiva 8. Procesado óptico para eliminar el rayado vertical en la fotografía. (Fotografías 103 – 104)

Después de lo visto y estudiado anteriormente, sobre todo en el caso de la diapositiva 4, para eliminar el rayado vertical que aparece en la Diapositiva 8 formada por una imagen/fotografía de

Saturno deberemos tapar los puntos que aparecen en la transformada de Fourier en la dirección horizontal a altura central. Llevando esto a cabo obtenemos como resultado la supresión del rayado vertical en el objeto, si bien no se fue capaz de eliminar completamente el rayado exterior al planeta, tan solo de difuminarlo levemente.

Si se hubiera tenido más tiempo se habría llevado a cabo un estudio más exhaustivo probando con mayor número de pantallas y configuraciones para determinar cuál es la que minimiza verdaderamente el rallado vertical (véase apartado VII).

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V. Conclusiones y cuestiones

Si bien la gran mayoría de las preguntas y cuestiones planteadas a lo largo del guión de la práctica ya han sido respondidas hay una serie de cuestiones más específicamente formuladas a las que se dará respuesta a continuación o se indicará dónde se han respondido a lo largo del informe, a saber:

- ¿Para qué realizamos la colimación del haz que nos da el láser? ¿Existe otra forma de colimar el

haz del láser? Realizamos la colimación del haz que nos da el láser ya que éste no es colimado (tiene un perfil

gaussiano) para que los rayos de luz incidan paralelos sobre la red de difracción (diapositiva) y así salgan también paralelos, de modo que se enfoquen en un mismo punto al atravesar la lente. Otra forma posible de colimar el haz de láser sería usando dos espejos parabólicos perfectos colocados de tal forma que el haz de láser incidiera sobre el espejo parabólico, el haz reflejado sobre otro espejo parabólico y finalmente el último haz sería ya el colimado.

- ¿Qué lente principal nos proporcionaría una transformada de Fourier lo más extensa posible

(con mayor separación entre puntos? Cuando mayor fuera la distancia focal de la lente principal, mayor aumento conseguiríamos con

el montaje óptico que se ha realizado, y por tanto mayor separación entre los puntos. Bien es cierto que al aumentar la distancia focal también aumentaríamos la longitud de nuestro montaje óptico, por lo que la lente principal ideal sería aquella con distancia focal que hiciera que aprovecháramos todo el montaje óptico (que con la utilizada prácticamente ya se conseguía).

- ¿Por qué utilizamos una lente secundaria de tan solo 100 mm de distancia focal para observar

la transformada en la pantalla? Porque así para observar la transformada ampliada en la pantalla tenemos que acercar la lente

secundaria al plano de la transformada más que si fuera con una lente de mayor distancia focal. Al tener que acercarla más conseguimos aumentar la máxima frecuencia espacial que consigue llegar a la lente y por tanto conseguimos imágenes más completas que pierden menos detalles.

- ¿Qué representa cada punto brillante en la transformada de Fourier? ¿Qué significa el punto

brillante central? Como ya se explicó anteriormente (véase apartado II.a), cada uno de los puntos es la

representación de cada una de las frecuencias espaciales que forman la imagen. A mayor intensidad del punto en la transformada, mayor importancia relativa respecto a las otras frecuencias espaciales tiene. El punto brillante central es aquél en el que se concentran todas las frecuencias espaciales más bajas, es decir, aquellas que dan la forma en general de la imagen así como la luminosidad o los colores.

- Existe una relación que nos podría anticipar cuál será la posición de los diferentes puntos de la

transformada en el plano de Fourier, ¿cuál es? Esta relación ya fue dada en el apartado II.a en las que se dedujeron las relaciones dadas en las

fórmulas (6) y (7).

- ¿Qué distancias entre elementos del montaje óptico están fijadas por las lentes y qué distancias deben hacerse lo más cortas posible?

Las distancias fijadas por las lentes en el montaje óptico son la existente entre las lentes colimadoras (ya que la configuración confocal de ambas determina la distancia entre ellas), la distancia entre el soporte de pantallas y la lente secundaria (ya que queda determinada por la posición del plano de la transformada de Fourier y por tanto de la distancia focal de la lente principal) y la distancia entre la lente secundaria y el plano de Fourier.

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Las distancias que deben hacerse lo más cortas posibles serían la existente entre la salida del láser y la primera lente colimadora (cuanto más cerca está la lente del láser más rayos captará) y la distancia entre la diapositiva y la segunda lente colimadora (para que incida suficiente cantidad de luz sobre la diapositiva como para iluminarla completamente).

VI. Bibliografía

Arizmendi, L. (2013/14). Apuntes de la asignatura "Óptica".

Hecht, E., & Zajac, A. (2002). Optics (International Edition, 4ª ed.). Addison Wesley.

VII. Anotaciones

Las fotografías que aparecen en este informe fueron tomadas usando la cámara trasera de 8 Mpx (3264x2448) de un móvil Nexus 4, a excepción de la Fotografía 40, que fue tomada por la

cámara trasera del iPhone de la profesora del laboratorio, de características desconocidas, y a la que se agradece desde aquí su colaboración y ayuda.

La diferencia en luminosidad y enfoque de las distintas fotografías se debe a que en la sala oscura del laboratorio en la cual se llevó a cabo este experimento había otros experimentos en proceso que necesitaban de uso de lámparas de forma irregular, con lo que las condiciones de luminosidad variaban y por tanto también el enfoque que el software del móvil usaba.

El código del programa realizado en MATLAB para visualizar la transformada de Fourier (amplitud) no se ha incluido debido a que se consideró innecesario. Si se desea revisar o ver se me puede comunicar y yo lo entregaré a la persona/as interesada/as.

El hecho de que se dispuso de poco tiempo para hacer la práctica hizo que no se profundizara demasiado en algunas partes del guión en las que se pedía realizar lo mismo de varias formas o con dos diapositivas que conceptualmente no añadían nada nuevo. Habiendo dispuesto de más tiempo el informe presentado en algunas partes sería distinto.

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VIII. Anexo I – Imágenes obtenidas de las diapositivas y sus transformadas

Fotografía 1 - Imagen obtenida en la pantalla usando la Diapositiva 1

Fotografía 2 - Imagen obtenida en la pantalla de la transformada de Fourier de la Diapositiva 1

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Fotografía 3 - Imagen obtenida en la pantalla usando la Diapositiva 2

Fotografía 4 - Imagen obtenida en la pantalla de la transformada de Fourier de la Diapositiva 2

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Fotografía 5 - Imagen obtenida en la pantalla usando la Diapositiva 3

Fotografía 6 - Imagen obtenida en la pantalla de la transformada de Fourier de la Diapositiva 3

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Fotografía 7 - Imagen obtenida en la pantalla usando la Diapositiva 4

Fotografía 8 - Imagen obtenida en la pantalla de la transformada de Fourier de la Diapositiva 4

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Fotografía 9 - Imagen obtenida en la pantalla usando la Diapositiva 5

Fotografía 10 - Imagen obtenida en la pantalla de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5

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Fotografía 11 - Imagen obtenida en la pantalla usando la Diapositiva 6

Fotografía 12 - Imagen obtenida en la pantalla de la transformada de Fourier de la Diapositiva 6

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Fotografía 13 - Imagen obtenida en la pantalla usando la Diapositiva 7

Fotografía 14 - Imagen obtenida en la pantalla de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7

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Fotografía 15 - Imagen obtenida en la pantalla usando la Diapositiva 8

Fotografía 16 - Imagen obtenida en la pantalla de la transformada de Fourier de la Diapositiva 8

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Fotografía 17 - Imagen obtenida en la pantalla usando la Diapositiva 9

Fotografía 18 - Imagen obtenida en la pantalla de la transformada de Fourier de la Diapositiva 9

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Fotografía 19 - Imagen obtenida en la pantalla usando la Diapositiva 10

Fotografía 20 - Imagen obtenida en la pantalla de la transformada de Fourier de la Diapositiva 10

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IX. Anexo II – Imágenes obtenidas en el procesado óptico

Fotografía 21 – Imagen de la transformad de Fourier de la Diapositiva 2 tapando todos los puntos menos el central con la Pantalla B

Fotografía 22 – Resultado de la operación de la Fotografía 21

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Fotografía 23 - Imagen de la transformad de Fourier de la Diapositiva 2 tapando todos los puntos menos el siguiente al central con la Pantalla B

Fotografía 24 – Resultado de la operación de la Fotografía 23

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Fotografía 25 – Imagen de la transformad de Fourier de la Diapositiva 2 tapando todos los puntos menos el segundo después del central con la Pantalla B

Fotografía 26 – Resultado de la operación de la Fotografía 25

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Fotografía 27 – Imagen de la transformada de la Diapositiva 2 tapando todos los puntos menos el tercero después del central con la Pantalla B

Fotografía 28 – Resultado de la operación de la Fotografía 27

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Fotografía 29 – Imagen de la transformad de Fourier de la Diapositiva 2 tapando todos los puntos menos el cuarto después del central con la Pantalla B

Fotografía 30 – Resultado de la operación de la Fotografía 29

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Fotografía 31 – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 2 tapando sólo el punto central usando la Pantalla B al revés

Fotografía 32 – Resultado de la operación de la Fotografía 31

Page 31: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 33 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 2 tapando el punto central y el siguiente (tanto por la izquierda como por la derecha) usando la Pantalla F

Fotografía 34 – Resultado de la operación de la Fotografía 33

Page 32: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 35 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 2 tapando sólo el primer punto siguiente al central por ambos lados usando el anillo mediano de la Pantalla G

Fotografía 36 – Resultado de la operación de la Fotografía 35

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Fotografía 37 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 2 tapando sólo el segundo punto siguiente al central por ambos lados usando el anillo grande de la Pantalla G

Fotografía 38 – Resultado de la operación de la Fotografía 37

Page 34: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 39 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 1 intentando tapar los puntos pares siguientes al central a ambos lados incluyendo este último usando como pantalla la

Diapositiva 7

Fotografía 40 – Resultado de la operación de la Fotografía 39

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Fotografía 41 – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 4 usando la Pantalla A rotada 90 grados para dejar pasar sólo los puntos verticales centrales

Fotografía 42 – Resultado de la operación de la Fotografía 41

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Fotografía 43 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 4 usando la Pantalla A para dejar pasar sólo los puntos horizontales centrales

Fotografía 44 – Resultado de la operación de la Fotografía 43

Page 37: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 45 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 4 usando la Pantalla B para dejar bloquear sólo los puntos horizontales centrales

Fotografía 46 – Resultado de la operación de la Fotografía 45

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Fotografía 47 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 4 usando la Pantalla B rotada 90 grados para tapar sólo los puntos verticales centrales

Fotografía 48 – Resultado de la operación de la Fotografía 47

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Fotografía 49 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma con abertura máxima de 29.4 mm (no se bloquea nada de la transformada)

Fotografía 50 – Resultado de la operación de la Fotografía 49

Page 40: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 51 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma con una abertura intermedia de 3.7 mm

Fotografía 52 – Resultado de la operación de la Fotografía 52

Page 41: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 53 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma con una abertura intermedia de 1.6 mm

Fotografía 54 – Resultado de la operación de la Fotografía 53

Page 42: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 55 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma con abertura mínima de 0.4 mm

Fotografía 56 – Resultado de la operación de la Fotografía 55

Page 43: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 57 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma de diámetro 0.1 mm de la Pantalla C

Fotografía 58 – Resultado de la operación de la Fotografía 57

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Fotografía 59 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma de diámetro 0.2 mm de la Pantalla C

Fotografía 60 – Resultado de la operación de la Fotografía 59

Page 45: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 61 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma de diámetro 0.3 mm de la Pantalla C

Fotografía 62 – Resultado de la operación de la Fotografía 61

Page 46: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 63 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma de diámetro 0.4 mm de la Pantalla C

Fotografía 64 – Resultado de la operación de la Fotografía 63

Page 47: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 65 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma de diámetro 0.6 mm de la Pantalla C

Fotografía 66 – Resultado de la operación de la Fotografía 65

Page 48: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 67 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma de diámetro 0.8 mm de la Pantalla D

Fotografía 68 – Resultado de la operación de la Fotografía 67

Page 49: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 69 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma de diámetro 1.0 mm de la Pantalla D

Fotografía 70 – Resultado de la operación de la Fotografía 69

Page 50: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 71 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 5 usando el diafragma de diámetro 1.2 mm de la Pantalla D

Fotografía 72 – Resultado de la operación de la Fotografía 71

Page 51: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 73 – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma completamente abierto

Fotografía 74 – Resultado de la operación de la Fotografía 73

Page 52: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 75 – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma cerrado hasta el anillo más externo

Fotografía 76 – Resultado de la operación de la Fotografía 75

Page 53: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 77 – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma cerrado hasta el anillo más cercano al punto central (completamente cerrado)

Fotografía 78 – Resultado de la operación de la Fotografía 77

Page 54: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 79 – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 0.2 mm de la Pantalla C

Fotografía 80 – Resultado de la operación de la Fotografía 79

Page 55: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 81 – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 0.3 mm de la Pantalla C

Fotografía 82 – Resultado de la operación de la Fotografía 81

Page 56: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 83 – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 0.3 mm de la Pantalla C

Fotografía 84 – Resultado de la operación de la Fotografía 83

Page 57: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 85 - – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 0.4 mm de la Pantalla C

Fotografía 86 – Resultado de la operación de la Fotografía 85

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Fotografía 87 – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 0.5 mm de la Pantalla C

Fotografía 88 – Resultado de la operación de la Fotografía 87

Page 59: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 89 – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 0.6 mm de la Pantalla C

Fotografía 90 – Resultado de la operación de la Fotografía 89

Page 60: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 91 – Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 0.7 mm de la Pantalla D

Fotografía 92 – Resultado de la operación de la Fotografía 91

Page 61: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 93 Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 0.8 mm de la Pantalla D

Fotografía 94 – Resultado de la operación de la Fotografía 93

Page 62: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 95 Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 0.9 mm de la Pantalla D

Fotografía 96 – Resultado de la operación de la Fotografía 95

Page 63: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 97 Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 1.0 mm de la Pantalla D

Fotografía 98 – Resultado de la operación de la Fotografía 97

Page 64: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 99 Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 1.1 mm de la Pantalla D

Fotografía 100 – Resultado de la operación de la Fotografía 99

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Fotografía 101 Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 7 usando el diafragma de diámetro de 1.2 mm de la Pantalla D

Fotografía 102 – Resultado de la operación de la Fotografía 101

Page 66: Procesado Óptico de Imágenes

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Fotografía 103 - Imagen de la transformada de Fourier de la Diapositiva 8 usando la Pantalla B para tapar todos los puntos horizontales centrales excepto el central

Fotografía 104 – Resultado de la operación de la Fotografía 103

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X. Anexo III – Diapositivas

Diapositiva 1 – Rayado horizontal con una cierta frecuencia espacial

Diapositiva 2 – Rayado en una dirección vertical con menor frecuencia que la anterior

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Diapositiva 3 – Rayado en una sola dirección con 4 frecuencias diferentes

Diapositiva 4 – Malla rectangular con diferentes frecuencias vertical y horizontal

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Diapositiva 5 – Círculo dividido en 60 sectores circulares

Diapositiva 6 – Círculo dividido en 120 sectores circulares

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Diapositiva 7 – Círculos concéntricos equiespaciados negros y blancos

Diapositiva 8 – Imagen de Saturno

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Diapositiva 9 – Damero blanco y negro

Diapositiva 10 – Damero con una frecuencia menor que la anterior

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XI. Anexo IV – Pantallas

Pantalla A – Rendijas sobre un fondo negro

Pantalla B – Rayas negras con abertura central

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Pantalla C – Diafragmas fijos circulares de diferentes tamaños (0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 y 0.6 mm)

Pantalla D – Diafragmas fijos circulares de diferentes tamaños (0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1 y 1.2 mm)

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Pantalla E – Círculos negros de diferentes tamaños (0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 y 0.6 mm)

Pantalla F – Círculos negros de diferentes tamaños (0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1 y 1.2 mm)

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Pantalla G – Anillos circulares con tres tamaños diferentes

Pantalla H – Anillos circulares con tres tamaños diferentes