PROCEDENCIA DEL PROYECTO - rephip.unr.edu.ar

P O L I T E C N I C O 1

POL ITE

EL PLANO

ECUACIÓN GENERAL

El plano como lugar geométrico

Dados un punto 0p y un vector no nulo n , el plano perpendicular a n que contiene a 0p es

el lugar geométrico de los puntos p tales que npp0 o opp0 .

De la definición anterior, podemos concluir:

p npp0 o 0 0

(1)

p p o p p n 0

La expresión (1) es la ecuación vectorial del plano perpendicular a n que contiene a 0p .

Fijado un sistema o; i ; j; k , y en él un punto 0 0 0 0p x ; y ; z perteneciente a y un vector no

nulo n a; b; c perpendicular a dicho plano, resulta que para todo punto p x; y; z de

0 0 0 0p p n 0 x - x ; y - y ; z - z a; b; c 0

Resolviendo el producto escalar, obtenemos:

0 0 0x x a y y b z z c 0

0 0 0ax - ax by - by cz - cz 0

o o oax by cz ax by cz 0

Sustituyendo o o o-ax - by - cz por d, nos queda:

ax by cz d 0 (2)

A la expresión (2) la llamamos ecuación general del plano perpendicular a n que

contiene a 0p .

Observación:

Si el plano pasa por el origen de coordenadas, es decir por el punto 0; 0; 0 , su

ecuación resulta ax by cz 0 , ya que a0 b0 c0 d 0 d 0

Si d = 0 la ecuación del plano resulta ax + by + cz =0 (0;0;0) verifica la ecuación al plano, entonces el plano pasa por el origen de coordenadas

Definición:

p b(0;2;0)

p

n

La recta y el plano


POL ITE

Dadas las constantes a; b; c; d R con a ; b y c no

simultáneamente nulas, se llama ecuación lineal en tres variables x ; y y z la expresión: ax by cz d 0 donde a ; b y c son los

coeficientes y d es el término independiente.

Teniendo en cuenta la definición anterior, resulta:

La ecuación de un plano es una ecuación lineal en tres variables.

Ejemplo:

Determina la ecuación del plano perpendicular al vector n 1; 2; 3 que pasa por el punto

p 1; 0; 1 .

Solución:

Los infinitos planos perpendiculares a n tienen por ecuación:

x 2y - 3z d 0; d R (*)

De todos ellos, el que pasa por el punto p 1; 0; 1 es el que con él se satisface la ecuación (*).

De donde:

-1 2 0 -3 1 d 0 d 4

Entonces el plano buscado tiene por ecuación:

x 2y - 3z 4 0

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Dos planos en el espacio pueden ser paralelos o secantes.

PLANOS PARALELOS

Dos planos 1 y 2 son paralelos si y sólo si sus vectores normales son paralelos.

En símbolos:

1 21 2// n //n siendo 1 1n y 2 2n

Gráficamente resulta:


POL ITE

Si 1 1 1 1 1) a x b y c z d 0 y

2 2 2 2 2) a x b y c z d 0 entonces:

1 21 2// n //n siendo 1 1n y 2 2n R 0 tal que 2 1n n

de donde:

2 2 2 1 1 1a ; b ; c a ; b ; c

2 1

2 1

2 1

a a

b b

c c

Si 1a 0 ; 1b 0 y 1c 0 , la expresión anterior resulta equivalente a:

2 2 2

1 1 1

a b c

a b c

Observación:

En particular, cuando dos planos paralelos tienen algún punto en común, son

coincidentes y resulta 2 2 2 2

1 1 1 1

a b c d

a b c d

PLANOS SECANTES

Dos planos no paralelos se llaman secantes. Caso particular de planos secantes: Planos perpendiculares

Dos planos 1 y 2 son perpendiculares sí y sólo si son perpendiculares sus vectores normales.

En símbolos:

1 21 2 n n siendo 1 1n y 2 2n

Gráficamente resulta:

La recta y el plano


POL ITE

Si 1 1 1 1 1) a x b y c z d 0 y

2 2 2 2 2) a x b y c z d 0 entonces:

1 21 2 n n siendo 1 1n y 2 2n 1 2n n 0 2 2 2 1 1 1a ; b ; c a ; b ; c 0

de donde:

1 2 1 2 1 2a a b b c c 0

Ejemplos:

a) Determina la ecuación de un plano paralelo no coincidente a 2 x - y + 3 z = 3.

Solución:

Basta multiplicar por un mismo número a las componentes del vector normal. Uno de los infinitos planos podría ser: 8 x - 4 y + 12 z = 3

b) Determina si los planos x y z - 5 0 y - x - y z - 3 0 son perpendiculares.

Solución:

Debemos calcular el producto escalar entre los vectores normales a los planos dados, esto es:

1 . (-1) + 1 . (-1) + 1 . 1 = - 1 - 1 + 1 = -1 0 los planos no son perpendiculares.

PROBLEMAS

1) Determina la ecuación del plano sabiendo que p 1; 2; 2 y a (2; 0; 1) .

2) a) Determina, que un plano no paralelo a los ejes coordenados y que no contiene al origen,

admite por ecuación una expresión de la forma: x y z

1p q r ; p, q, r R - 0 , que se

conoce con el nombre de ecuación segmentaria del plano.

b) A partir de la ecuación segmentaria del plano, analiza las intersecciones del mismo con los ejes coordenados.

3) Dada la ecuación del plano 3x 2y 6z 12 0 , determina:


POL ITE

a) su ecuación segmentaria b) sus intersecciones con los ejes coordenados c) su representación gráfica

4) Tres puntos no alineados determinan un único plano. Determina la ecuación del plano

que contiene a los puntos 2 ;1 ;1p ; 3 ;3 ;0t y 4 ;3 ;1v .

5) Representa los siguiente conjuntos de puntos y define el lugar geométrico que determina cada uno:

a) x y

A x; y; z / z 12 3

d) D x; y / x 1

b) y z

B x; y; z / 15 2

e) E x; y; z / x 1

c) C x / x 1

6) Sea la ecuación del plano ) ax by cz d 0 . Determina las características geométricas

del mismo si: a) a 0 d) a b 0

b) b 0 e) b c 0

c) c 0 f) a c 0

7) El plano es perpendicular a los planos 01zy3x2 y 03zyx . Determina la

ecuación de si el punto 4 ;2 ;1 pertenece al mismo.

8) Los vectores 4 ;1 ;1a y )1 ;3 ;0(b son paralelos al plano y además el punto 2 ;2 ;1

pertenece al mismo. Determina la ecuación de .

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Analizaremos a continuación el problema de cómo calcular la distancia desde un punto 0p

cualquiera a un plano ( 0p no perteneciente a ). Para ello te proponemos que realices los

siguientes pasos.

i. Ubica y 0p en un gráfico

ii. ubica un punto 1p cualquiera de

iii. determina 01pp

iv. considera un vector n normal (perpendicular) a

v. la distancia de 0p a esta dada por

01n0 ppproy);p(dist

n

1p

;pdist 0

0p

01n ppproy vector

La recta y el plano


POL ITE

PROBLEMAS

9) Demuestra que dado el plano ) ax by cz d 0 , el punto 0 0 0 0p x ; y ; z no

perteneciente y el punto 1 1 1 1p x ; y ; z perteneciente a , entonces

0 0 0

02 2 2

ax by cz ddist(p ; )

a b c

10) Halla la distancia del punto 4 ;2 ;1r al plano 01zy3x2 ) .

11) Determina la ecuación de el o los planos paralelos a 3x y - 5z 2 0 , cuya distancia al

punto s 0; - 2; 3 es 140 .

PROBLEMAS ADICIONALES 12) Determina el plano perpendicular al plano ) x + y + z - 1 = 0, paralelo al vector

u -1; 0; 2 y que pase por el punto p(0; -1; 2).

13) Determina justificando la respuesta si son V(verdaderas) o F(falsas) cada una de las siguientes proposiciones:

a) Si 01z2yx)1 y 01y2x2)2 entonces 21 //

b) el plano z = 3 es paralelo al eje z. c) Dos planos perpendiculares a un tercero son paralelos entre si. d) El plano x + 2y – 4 = 0 es paralelo al plano xy.

e) Los planos 02zy2x)1 y 03yx2)2 son perpendiculares.

14) Dados los plano ) x 2y z 3 0 y ) x 2y z 5 0 ,

a) Justifica que son paralelos b) Calcula la distancia entre ambos, es decir, dist( ; ) .

RECTA EN EL ESPACIO

ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

La recta en el espacio como lugar geométrico

Dados un punto 0p y un vector no nulo u , la recta T

paralela a u que pasa por 0p , es el lugar geométrico

de los puntos p tales que u//pp0 o opp0 .

De la definición, resulta:

p T u//pp0 o 0 0

(**)

p p o p p u ; R

A la expresión (**) ecuación vectorial de T paralela (o en la dirección de) al vector u que pasa

por el punto 0p

op

p

u

T


POL ITE

Fijado un sistema o; i ; j; k , en él un punto

0000 z ; y;xp y un vector no nulo 321 u ;u ;uu , para

todo punto z ; y;xp perteneciente a la recta T paralela a

u que pasa por 0p resulta:

0p p u ; R

321000 u ;u ;uz-z ;y- y;xx

321000 u ;u ;uz-z ;y- y;xx

de donde: R ;

uzz

uyy

uxx

30

20

10

Es decir:

0 1

0 2

0 3

x x u

y y u ; R

z z u

(2)

A la expresión (2) la llamamos ecuaciones paramétricas de la recta T que pasa por el punto 0p

y es paralela al vector u .

ECUACIÓN CANÓNICA

Sea la recta T dada por sus ecuaciones paramétricas:

0 1

0 2

0 3

x x u

y y u ; R

z z u

Suponiendo 1u ; 2u y 3u distintos de cero, y despejando de todas las ecuaciones, resulta:

0

1

0

2

0

3

x x(1)

u

y y(2) ; R

u

z z(3)

u

Coordenadas del punto de paso

Componentes escalares del vector dirección

Parámetro

0p

z

p

u

y

x

i

j k

La recta y el plano


POL ITE

Igualando (1) con (2) y con (3), obtenemos:

0 0 0

1 2 3

x x y y z z

u u u

A esta última expresión la llamamos “ecuación canónica de la recta T” que pasa por el punto

0p y es paralela al vector u .

PROBLEMAS 15) Determina la ecuación canónica de la recta que:

a) es paralela al vector u 2; 5; 1 y contiene al punto p 6; 4; 2

b) pasa por los puntos a 5; 4; 1 y b 3; 1; 5

16) Dadas las rectas

x 2

R) y 1 3 ; R

z 4

y x 1 2 y z 5

T) 3 6 7

, determina:

a) un vector paralelo a T b) si son paralelas c) un punto de R y otro de T

RECTA DETERMINADA POR LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS NO PARALELOS. Si se conocen las ecuaciones de dos planos no paralelos y , y M es la recta intersección de

dichos planos, la ecuación de la misma la podemos expresar con el sistema:

1 1 1 1

2 2 2 2

a x b y c z d 0M)

a x b y c z d 0

(***)

siendo 1 1 1 1a x b y c z d 0 la ecuación del plano y 2 2 2 2a x b y c z d 0 la ecuación

del plano .

La ecuación (***) se la conoce con el nombre de “ecuación general de la recta”. Ejemplos: a) Determinar la ecuación de la recta A que pasa por el punto p (-2 ; 0 ; 1) y es paralela al

vector u -1; 2; 1 .

Solución:

La recta A)

x -2 -

y 2 ; R

z 1


POL ITE

b) Dada la recta B) 2x y - z 3

x y 3z 1

i. Determina un punto p B

ii. Calcula un vector v //B iii. Escribe sus ecuaciones paramétricas iv. Determina la intersección entre B y el plano xy

Solución:

i) Si por ejemplo tomamos x = 0, resulta:

y - z 3 1 1 5

3 z 1- 3z 4z -2 z - y 3 - yy 3z 1 2 2 2

5 1p 0; : -

2 2

ii)

i j k

2 1 -1 4; - 7; 1

1 1 3

. Luego un vector podría ser: v 8; -14; 2 .

iii)

x 4

5y - 7 ; R

2

1z -

2

iv) 2x y 3

z 0 3 2x 1 x x 2 y 1 2 y 1 t 2; -1; 0x y 1

PROBLEMAS

17) Dado el plano 3 x + 2 y - 2 z + 5 = 0 y la recta

x 2

y 1 ; R

z -2 -

. ¿Existe intersección

entre ellos? En caso afirmativo determina analíticamente la misma.

18) Dada la recta 2x - y z 6

-x y - z 1

, Calcula:

a) sus ecuaciones paramétricas.

b) las coordenadas del punto p para = 1 c) su intersección con el plano “yz”

La recta y el plano


POL ITE

19) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos p(3; 1; 0) y q(0; 2; -1) y que es paralelo a la recta de intersección de los planos: 3zx2 y 12z3yx .

20) ¿Tienen algún punto en común las rectas L y M?

L)

x 1

y 3 2 ; R

z 2

M)

x 17 3

y 4 ; R

z -8 -

21) Grafica los siguientes lugares geométricos en distintos sistemas de referencia en el espacio:

a) x; y; z / z 4 d) x; y; z / x 3; y 4; z 5

b) x; y; z / x 0; z 0 e) x; y; z / 3x 2y 6; z 0

c) x; y; z / x y z 4; R; ;

22) Dados en un 0; i ; j;k

el punto a(1; 0; -2) y los vectores ob ( 1; 1; 2)

y

kjv .

Determina:

a) la ecuación de la recta ab

b) la ecuación del plano tal que contenga a la recta ab

y sea paralelo al vector v

c) las coordenadas del punto de intersección de la recta ab

con el plano xy

d) la ecuación de recta S perpendicular al plano xz que pase por el punto a

23) Dados en un 0; i ; j;k

, el punto m (0; 1; -1) y los vectores ot (1; 1; 2)

y

kis .

Determina justificando las respuestas.

a) ¿Es mto

un ángulo recto?

b) Si los puntos m; t y h(0; 2; 1) son coplanares.

c) La recta T tal que T//mt o T

.

24) Determina justificando la respuesta si son V(verdaderas) o F(falsas) cada una de las siguientes proposiciones:

a) Las rectas R)

2

1

z

3

2y

2

3x

y T)

01z2y4x

02zy2x3 son paralelas.

b) La recta

x

y 2 ; R

z 3

es perpendicular al plano 2x + 2y - 2z = 0.

c) Las rectas :

x 1

y 3 ; R

z 2

y

01zyx2

1zyx son paralelas.


POL ITE

25) Dados la recta

x 1 4

R) y 2 4 ; R

z 3

y el plano ) 6x + 9y - 4z + 12 = 0. Determina si

R .

26) Dados el plano ) - 2x 3y 2z 6 0 y la recta

x 1

M) y 2 2 ; R

z 3

. Determina

las coordenadas de p y t si M p y eje z t .

27) Dado el plano de la figura. Determina:

a) su ecuación segmentaria b) la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por b .

RESPUESTAS

Plano

1. 0zx2

2.

a. Demostración a cargo del alumno

b. Intersección con el eje x 0 ;0 ;p

Intersección con el eje y 0 ;q ;0

Intersección con el eje z r ;0 ;0

3.

a. 12

z

6

y

4

x

c.

b. Intersección con el eje x 0 ;0 ;4

Intersección con el eje y 0 ;6 ;0

Intersección con el eje z 2 ;0 ;0

y

x

z

c(0;0;2)

a(2;0;0) x y

q

r

z

y

x

x

y

z

-4 2

-6

La recta y el plano


POL ITE

4. 012z4x4

5. Se determinan características, las representaciones a cargo del alumno

a. Plano perpendicular al vector

1 ;

3

1 ;

2

1

b. Plano paralelo al eje x c. Punto en un eje d. Recta en el plano xy paralela al eje y e. Plano paralelo al plano yz

6.

a. Paralelo al eje x b. Paralelo al eje y c. Paralelo al eje z d. Paralelo al plano xy e. Paralelo al plano yz f. Paralelo al plano xz

7. ) 06zy3x4

8. ) 017z3yx13

9. Demostración a cargo del alumno

10. 14

3

11. 087z5yx3 053z5yx3

12. 05zy3x2

13. a. F b. F c. F d. F e. V

14. a. 1

1

2

2

1

1

b.

6

2

Recta en el espacio

15. a. 2z5

4y

2

6x

b.

4

1z

3

4y

8

5x

16. a. Un vector paralelo a T puede ser 7 ;6 ;3

b. No son paralelos c. R4 ;1 ;0 y T5 ;2 ;1

17. Si existe intersección y es el punto

7

3 ;

7

10 ;

7

3


POL ITE

18. a. posibles ecuaciones paramétricas R ;

z

5y

3x

b. 1 ;6 ;3 c. no existe intersección con el plano “yz”

19. 08z22y7x5

20. Si, 3 ;1 ;2

21. A cargo del alumno

22. a. R ;

42z

y

21x

b. 01z2y2x5- )

c.

0 ;

2

1 ;0 d. Rλ ;

2z

λy

1x

23. a.

mto no es recto c. R ;

3z

2y

x

)T

b. Si 24. a. F b. V c. F

25. R no está incluida en

26.

3

1- ;

3

14 ;

3

13p y 3- ;0 ;0t

27. a. 12

z

2

y

2

x b. por ejemplo R ;

z

2y

x

)R

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