PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent...

72
PROBLEMES OLÍMPICS Revista de problemes de Matemàtiques Número 66. Octubre 2012

Transcript of PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent...

Page 1: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

PROBLEMES

OLÍMPICS

Revi

sta

de p

robl

emes

de M

atem

àtiq

ues

Núm

ero

66. O

ctub

re 2

012

Page 2: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

GALERIA DE FOTOS PARTICIPANTS EN EL XII CONCURS DE FOTOGRAFIA “MATEMÀTICA A LA VISTA”

“Ordre i caos”. Júlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València)

“Geometría”. Marta González.Col·legi Paidos (Dénia)

“Esfera de fuego con mar y bañista” Marta Martínez. IES Eduardo Merello (Port de Sagunt)

“Mosaics dins de mosaic”. Gabriel Ivorra.IES Figueras Pacheco (Alacant)

“Parábolas” Adrián IrlesIES nº 15 La Foia (Elx)

“Frecuencia”. Nerea PérezIES nº 15 La Foia (Elx)

“Punto de fuga”. Isabel Huertas. IES Camp de Morvedre (Port de Sagunt)

Page 3: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 1

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

����� ��������� ����������PROBLEMES OLÍMPICS� ���������������� ��������������� ������ ��� �������� �� ���� ����� ���� ��������� ����������� ��� ��� ����� ��������� �������������������������� !!!�"� ������#��� $���%���������������!�&�������� !!!�������'������������ (� �)� ���� ���� ������� ��� ��� ����� ����* ������� ����%� ���������� ��� ������ ���&���������������+��������,�-��.�� ���������������� ��� !!!�"� ������#��� $���������������������'����/0����1����� �2� ��� �3� ��� ,�-%� � ���� �������� �������������� ������ ���� 0��� �#������� 0��4���1%�#��������������������!����������������5%���� ���-������������������6�����7��� ����������������������������������������8��������� ������������������������������������������������"� ������#��� $������������ �����'�������������������9���������������������������:�• ;������ �����:��<��������������9�• ;������������:��3���� �=�������9�• ;��������* ��:���������,�-�������9�������� � ��� ������� ����������� (��� ����� ��� ���� ���� �� ��� �$=��� >��:�>>>��� �����=�

PROBLEMES OLÍMPICSSocietat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi” Apartat 22.045 46071 València Director:�(� $��?������.�����Coordinador de redacció:�6�����#�����#������1�������Correcció lingüística: 6��)�;��������6���0������Consell de redacció: 6��)�#������,��,��'����%��#@�A������������B���� �%��6��C ������B����%�����,������B������D���4���1%�'�������B�����B����%������������������������%�����������&�� �����%�#�������������������E����%�#@�(�������F��������%�'������A�=��"������%�E� ���A��1�B����=��%�#@�.���;���4���1�0 )��1%��

!������0������#������1%��'�������0������E1%��#�����.�������!�45�1%���������.���� ��.���1%����������.���1�0� �1%���������.�������������%��#=���#�����������%��(� ����#�����7�F���%��6�����#�����#������1������%��#������ ���#�������������%��B�����#������G������%�������������#������E1%��

#������ ���"�������!5����%��E�F�"����0�����%��(� 4��?������.����%��&����?���#����%��6���#=���E�����7�F����%��#@�6��)�E����E��%��"�����E�����5�"� ��%��#@�6�����E1�#������%��!������(�������B�����%�����C��'����0� �1��D.L.: V-3026-2001 ISSN: 1578-1771

7������:�H7����I���� �����������J�����:�0������!�������!�&�;=�����7��F����K�������L��

Page 4: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 2 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

�����������=���M� ������������������7����� ���"�� ���N�&�������������������� ��������������� ��������������O���

SOL·LICITUD D'ENVIAMENT DE NÚMEROS ANTERIORS DE “7E"B.�#�&�".P#7!�&”

�G� :��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ����=�� �:��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ������O�:��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ�(��R���:��QQQQQQQQQQQQQQQQQ����7��� QQQQQQQQQQQ��7������:��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ��7�������:��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ�������/�:�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ��(������������K���%������%�����L�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQ��A���=��������������=S������� ������������������T7����� ���"�� ���T������ �������O�:�� Problemes Olímpics Nº 1 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 2 (1.2 € ) � Problemes Olímpics Nº 3 (1.2 € ) � Problemes Olímpics Nº 4 (Exahurit) � Problemes Olímpics Nº 5 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 6 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 7 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 8 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 9 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 10 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 11 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 12 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 13 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 14 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 15 (2.4 € ) � Problemes Olímpics Nº 16 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 17 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 18 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 19 (1.8 € ) � Problemes Olímpics Nº 20 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 21 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 22 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 23 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 24 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 25 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 26 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 27 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 28 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 29 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 30 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 31 (Exhaurit) � Problemes Olímpics Nº 32 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 33 (2.0 €)

� Problemes Olímpics Nº 34 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 35 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 36 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 37 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 38 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 39 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 40 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 41 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 42 (2.0 €) � Problemes Olímpics Nº 43 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 44 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 45 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 46 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 47 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 48 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 49 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 50 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 51 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 52 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 53 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 54 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 55 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 56 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 57 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 58 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 59 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 60 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 61 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 62 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 63 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 64 (2.5 €) � Problemes Olímpics Nº 65 (2.5 €)

�����������C�������������� ���������������������O�:�&����������������#��� $����H��/UF>��1 J%� �������� ����2V%� 2��<�/'��R���%� ������� ��� ��� ������ HE������7����� ���"�� ���J%� �������� ��� ,�������� ���=�)�� ���� ���� ������ ����� �M� ������ C�����I������������������ �������B�GU!�:���93/�9��/9</9������9�<��� �

Page 5: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 3

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

SUMARI

FASE PROVINCIAL CASTELLÓ 2012

ENUNCIATS

PROVA INDIVIDUAL ......................................................................................... p. 4 PROVA DE CAMP ............................................................................................... p. 11

SOLUCIONS

PROVA INDIVIDUAL ......................................................................................... p. 14 PROVA DE CAMP ............................................................................................... p. 24

FASE AUTONÒMICA 2012

ENUNCIATS

PROVA INDIVIDUAL ......................................................................................... p. 30 PROVA DE CAMP ............................................................................................... p. 37

SOLUCIONS

PROVA INDIVIDUAL ......................................................................................... p. 44 PROVA DE CAMP ............................................................................................... p. 56

.�� �������� ��� ������ ��� ��� ����� ������ � ���� �������� F��� ������ �����1����� ���� ���C��������W�����:���6�����7��� �%��� �����#�������%��E������#������1%��;�������0����%��6�����������%��#@�6��)�7���%�

&-����B������%��7������&�������%��6�������)�%��� ���������F���%���������B�M%��6������#������%�

#������B������%��!�)��#������%��(� 4��'������=�%��#�� ��������%����� ���7�5���

Page 6: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 4 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

ENUNCIATS

XXIII OLIMPÍADA MATEMÀTICA FASE PROVINCIAL

PROVÍNCIA DE CASTELLÓ

Page 7: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 5

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL

1. ELS PORTALS DEL MEU CARRER

������ ����������������������������������������� ��������?��)����� �,���������N������������������������� ��������C����������������������� ���3���?��)����� �����������N�2. AMB UNA CORDA

� ����������������� ��������=��=����������M��� ����� � ��� �����C������������)������������?���������������=�����)� �,���$���N�

3. QUANTS SOM? #���� �)� �� =�� $� C�� ����� ���� 6���� 6��� �)� ������ =�� ���� �� �=�� ������#�����)�������������=�� ����C�����=�� �������?�����M����MC���F�F��������� ���N

4. LES 21 AMPOLLES DE LLET (�� ����� �������������������������������������

• <���������������• 9��������������������� ������• �������������C�������������• ������������ ��• ���������������������

Page 8: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 6 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

&��������������������������� ����������������%��� ����������� ��������������� ����� ��������%� ��� ���� ������ C�� ��������� ����� ��� ���M��C���������� ���������������N�5. PARTIM UN QUADRAT?

�������� � �� C������ ��� ������� �� �� ��� ��� � ��� ����� ������ ��� ��� ���M��$���%�������������������C������� ����������������� ����������=���������� ����M�%����������1��=�����������$=�����������������=�������������� �,����������������1�

Page 9: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 7

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL

1. GARROFERES I OLIVERES�����F����F�F������������3��=���������%����C�����������������2�X����������������������������������������9��=���������� )���������������?��)��������������=��C�������������������������������)����������������N�

2. QÜESTIÓ D’EDATS �� ������ ��� ����� ��=S���%� �� ���� � C�� ������� ��� 7���� )�� ��� ������ ����������������%�.�����)��������-�� )��C��6������C��������)����� ��-��C��������

Edats Pere Laura Joan Anna ��������������-�� � � � ������������ � x � ����������������R����� � � � �3. DE LA A A LA F

?������� ������������F�F����������=S������$���%���������������������������M��%��������������������=��������� ���M�����N�

Page 10: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 8

Societat

4. L’À����������

�5. CU

?��

���t d’Educació

ÀREA OM�$ �������=S��������������

BS APIL�������� ���� ��

Matemàtica

MBREJA���������=��� ���������:�

LATS ��F�F����� �� $M

a de la Comu

DA � ���R���� �����

������ ��=S ������

unitat Valenc

����)���������=�� C

S�����������

Problem

ciana “Al-Kh

��3� %�����C�� �����

�� ����N�

es Olímpics.

hwarizmi”

������$��������� ��$

G����$�� �

Nº 66. Octu

��� ���,$���� � �

��=�N� !�

bre 2012

����������,����

��������

Page 11: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 9

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL

1. REPARTINT MONEDES ����%� B����� � ������� ������ ��� ������ 9�� �������� &� ������� ���� �����C�����������%�B������������������ ������������B����%� �������C������ ����� ������ ��� ���M� �� ���� ��� �������� ?������ ������� ��������� ������������������N�

2. LA BANYERA &����I��C� �����������������-�������� ����M���%� ������-������� �������<� �����&�������-����)����������������������%��C���������������9�� ����� 7������ ��� ��� ���-���� ���%� C���� ������$� �� � ���/��� ������������M�������*����������I�����������N�

3. SANGAKUS���� Sangakus ���� ��������� ��� ����� ����=��� ,����R�� � �� ������ ��� ��� $���%�������� ����=�� R����%������������������C���������������������������)������������������)�%��)���������������������������������=S���� ���=�Y� ��� �������� ��� �� �� ���� ��� ��� ����� ,�������� ���G�=���Y�� &�=��� ��� C�� ����� �C����� C� ������ �� �������� ���� �)�%�������� ��� ������� ��� ������� �M������ ������ ��� ���� E� ���� ������� ���������=������ ���F��������������������� ����������������� ������� � ���=���������������������

R

r1

r2

Page 12: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 10

Societat

4. HE�����=���F�M�����F�

5. PO������Z��Z��

t d’Educació

EXÀGON������ = ���� �������� ��M$=�����C����� C��M$=���C

OTÈNCIE������ ��������CG� �����G� �����

Matemàtica

S DINS D ���F�M$��� ��� ������C����� �C������������ F�� ����������

ES ������ ��C�����1���������3��������<

a de la Comu

D’HEXÀ=�����=����� ��� ��F��= �����)���������� ����� �������)

��:�V[ \ ����������+N�N�

unitat Valenc

GONS �����������M$=��� ���� .�� ������M������ ��� �����)���������

�3] \ VV^�������� �

Problem

ciana “Al-Kh

�����a��A���� ������� ���C�����������=��� a� ��������������

����

es Olímpics.

hwarizmi”

��������R����� ���� ����� �����=���������� C�� ���)���V���

Nº 66. Octu

���M���������� �,��� �� ��� ������=������=

bre 2012

��O�������� ����� ����������� ���=��_`_abc ��

Page 13: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 11

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP

1. ESTACIÓ C1 ��������������������F�F������=��������������������������������������C����� ,=����� ���M����������= �$���&�������C������������������������V�� � � ���� ����%� C������ ��������� �����N� K�� �)� ������ ������ ������������L��

2. ESTACIÓ C2 ��������������������F�F���������C���%�������������$�������������,=����7��� � ����� ��� ,��� ���� ��� ����� ���CR� ��� ������ )�� ��� ������ ?���� �����������������������������N� �&���� �����C��������������������<�����%�C��)�����������������������N�

3. ESTACIÓ C3 �����������������C���)�����M��M���?���)���������������������� ������C����������M��M��M�N�

4. ESTACIÓ C4 '��� � ����� ��� ������ ��� �������� ��� ��F���� C�� F� F�� ���� ����� ��� ��M���=���������� ��������� �����������C��,�����$����%���M�������������������� ��� ��� ������ � ��� ���� ��������� ?����� ������ ��� ������ F� ������� ��������������N�&� ����� ����� ������ ������ ��� � �V� ����%� ��=���� ��� ����� C�� ��� %� ��C����������������������������N�

5. ESTACIÓ C5 '��� � �������� ��� ����=� ��� ��F���� ����� ��� ���� ��� ����� ���� ����� F������������������������� %������������������������F� ������M����� ��-��9��� ��?��)����� $M ��������������� ��C������ �����N�

Page 14: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 12 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP

1. ESTACIÓ A1 ������������������F�F������ ����F���������������������������������&�������2�������������� �%�C������������������������������� �N�

2. ESTACIÓ A2 ��� =� ���� �� �� ��F������� F� F�� �� �������� '��� � �����/��� � �����������������M9������� ��������?������ ���������� �������� N� K��������M� ��� �������� �� �� �� ����������������������L��

3. ESTACIÓ A3 ��������������������F�F������ ���C���%� ��� )�� ����=�����������=����������������������������&�����������������������V��� �����������%�C�������������������� ���C�������������N�

4. ESTACIÓ A4 ������� ��� ��� � ���C���� ���C��� � ��� ���=��� ��� ��� ���� ��=������������C�� �����V%V� ��������� ������

5. ESTACIÓ A5 �����������������C���F�F������������� �������� ������� ����C��F�F�������������������������������%�C������ ���������������M���K�� ��������2�M����L����� ���� ��������������������M���N�

Page 15: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 13

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP

1. ESTACIÓ B1 ���� �,=���������������.���������������������������7�&&��3�%��������O��/��%������,��������� ������������������������������������������%�������)�����������������������;�.(��2���?������$����F���������=����������N�

2. ESTACIÓ B2 � ������M�����C�������M�������������������������%�C������� �����������R����� *���� ���� � ��� ��� KF��� ��� �� ��O��� ���� �L� C�� �=��� ���������������������C�����������������������M���N�

3. ESTACIÓ B3 ���� � ,=���� ��� ���C��� ��� ��M%� ��C� � � ��� ������ ������� ��� ��� �����������������?���)����������������C������������������������*�������������������������;�.(�N�

4. ESTACIÓ B4 ���������������F�F���=�������������C����M���������������������������$�C���� ���������������������C������������������������������������$��=������������N�

5. ESTACIÓ B5 ���������������C��F�������������������������������C��������/�������������=����������� �,������������%<�� ���������

Page 16: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 14 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

SOLUCIONS

XXIII OLIMPÍADA MATEMÀTICA FASE PROVINCIAL

PROVÍNCIA DE CASTELLÓ

Page 17: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 15

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL

1. ELS PORTALS DEL MEU CARRER... Solució: En el primer cas el major és el número 24; en el segon cas el menor és el número 17. .�� �,���� ��� R���� )�� ���:Vd��� C�� ���� ���� ��� �� ���� ��� �������������������������������������� =�������� �����������%�3%���%������2����� �,���)�������������� �����2��.�� �,������� R����)��3�:2d������������������������ ���������������F�F�����������������������C������������� ��������������������������� ����������<%��+%������9����� �����)�������������� �����<��

2. AMB UNA CORDA Solució: L’àrea del cercle és major.

Quadrat:

• �����������C�����:�e f gha �f V�i��� �• j��������C�����:�kl f V \ V f �V�ig���

Cercle:

• E�������������:�m f ghng\op f qho �i��• j��������������:�kr f s \ tqho ug �f qhho �ig��

�� �C���qhho ��)�� �,���C��qhha f �V%���$���������������)�� �,����

Page 18: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 16 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

3. QUANTS SOM? Solució: La família està formada per 4 xics (Joan i tres més) i 3 xiques (Maria i dues més).

4. LES 21 AMPOLLES DE LLET Solució: &� �� ���� � ���� ���� �� ���� ���� ��� ��� ����� �� �������� ����� � C�� ��������� F� F�� +%�� ������ �� ������� ������ 9� ��������%� �������� �� 9%�� ���������������!� �� � C�� �������� F�� ��� ����� <� � ������� n< \ 9 f ��p� ��� �������������������������������$:�

A B C

1 de 100 ml

1 de 100 ml

1 de 1 litre

1 de 1 litre

1 de 1 litre

1 buida

1 buida

1 de 100 ml

1 de 100 ml

1 de 1 litre

1 de 1 litre

1 de ½ litre

1 de ½ litre

1 buida

1 de 100 ml

1 de 100 ml

1 de 1 litre

1 de 1 litre

1 de ½ litre

1 de ¼ litre

1 de ¼ litre

5. PARTIM UN QUADRAT? Solució: La longitud de la base dels trapezis és 4/3 v. 7��� ���������������C����$��������C������������ig%� �C�������������������������)����$�������q_��ig��

� �

Page 19: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 17

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

7�����������������������C���������� ������ ���������������������������=����������������������=�������������%�����C������� ��� ��������������=��������������������C�����C���)�w�����������%V�� ��������%��������C����������������$����)�:��k f w \ ��V� �

��� �)����� �C���C�����$����)�:�k f �9 \ �2�nxyz{�yi|m}~{�{��}��}m�p f �����������C�������:� w \ ��V� f �������������� �������� R��������������%����� �������������������C��w f q_���

��

Page 20: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 18 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL

1. GARROFERES I OLIVERESSolució: El percentatge d’oliveres és del 56%. �� ����2�X������������������������3�%���� :�

w \ ��2 f 3�� � w f 3���2 f ����{m|m}��7��������������������=�����������������)����������������%����$:���� � ����� � 9� � �� f �2��V� f ��V������C�����������������V�X�

2. QÜESTIÓ D’EDATS Solució: .���������=S�������������������������������������� �:

������ Pere Laura Joan Anna

��������������-�� �w � � w � V w � 3� w � 9������������ �nw � �p � w � 9� w � �����������������R����� �w � �2 w � �� w � <� w � ���

3. DE LA A A LA F Solució: .��������������� ����������������������=S������=�� ���������:�

Page 21: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problem

!����B�B�A�A4. L’A

Solel 7&��C� �

j��

7�����

mes Olímpics.

�������%����;��;�A�B�;�A�;�AREA OMlució: L’à75%. ����� ����������������=������

���� ���

�����������������$����

. Nº 66. Octu

Societat d

���������

MBREJAàrea de la

�$ ����� ���,�� ���R��

,���:��

���������������%�C�

ubre 2012

d’Educació M

����� ��

DA a zona om

�����������������������������

s \ 2g� ���������������$:��s \

Matemàtica

�������:�

mbrejada

�� ���R������� ����%��M���

� s \ �g f�=��C���\ 2g f ��

de la Comun

a es �������������,����� �����:�

f ��s��i��������s��ig�

nitat Valenc

�v� i el

���� ���� ���R����

�ig����������

ciana “Al-Khw

percenta

����������������2

�� ��$������

Pàg. 19

warizmi”

atge és

��=���2������

����%�����

Page 22: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 20 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

�M�������%�������������=����$����� ���,�������$:���s��s f ��<V%����C�����������������<VX���

5. CUBS APILATS Solució: G������ �������� ���������������������C��������������C��F�F���������� ��������CR�������� ������ ����� ���M����������C�����������������%� )�� ���� �M*� C�� �� )�� ����� � �� ����� ��� �� ���� �� � � $M �������������C����������������H������������J%�)������%������� ������������ ���CS������ ���CR� ��� ���� �������� ��� ������ ������ ��� ��=��� ��������� ������

����C�������� ���:��Nombre màxim de cubs: 24 Nombre mínim de cubs: 16 �

����C�������� ���:��Nombre màxim de cubs: 27 Nombre mínim de cubs: 17 �

Page 23: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 21

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA INDIVIDUAL

1. REPARTINT MONEDES Solució: Carles tenia 9 monedes, Anna 8 i Beatriu 13 monedes. &=�:�w:��� ������������ �������������������:��� ������������ ���������������x:��� ������������ ����������B������.�������������������������������������������������=S��������:�� Inicialment Carles dóna 4 a

Anna Beatriu dóna 5 a

Carles Anna dóna 2 a

Beatriu

������� w� w� � 2 w � � w� � �������� �� �� � 2 � � 2 �� � ���B����� x� x x � V x� � �9��� ����� ����������9�� ������� ������)����������� ����������������������������)���� ���M��� ����K)���������L���� :�

�w � � f ��� � � f ��x � 9 f �� � � w f +� f 3x f �9�2. LA BANYERA

Solució: La banyera s’ompli en 108 minuts.

&=� C����������������������-���������� ����������� �g^�����=�����M����_[������� ��������������:���< � �9� f 2� � 9���3 f ���3�7�������%���� ��������3� �����

Page 24: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 22

Societat

3. SANSol�������������

���C��������� F�A��

���

t d’Educació

NGAKUSlució: �� ����������������������������M��

���M��%����������B��≅�Δ�7�������� ������� )�%��������������:������= ��

���������C2n� �

Matemàtica

S

�������������C������ ��

������ ����=�������7"�≅�Δ"?� ��������������������=����Δ��E������������

��������mqpg � 2n

a de la Comu

�� )��C�� �������C��R����=�

��� ����=���C���C�����������=��������

Δ�7"��Δ"����F���1�� f w ��� f � �����=����n� � mgpg

n� � mq

unitat Valenc

���F�����������=����������E�

�� �B�%�C�:���=���� � ��������� "?������1���������� �mq � �� �mg � ������ ��f wg � �mqpg � n�

Problem

ciana “Al-Kh

���� ���������������;C� ��

������� ��

��������� ������=���=�������� :�n� � mqpn� � mgp��:��g f � ����k�� mgpg f

es Olímpics.

hwarizmi”

����M� � ���������������������

���=���:�

� ������=∠��������������

f w�f ���$�ym}��}�� f ����g

Nº 66. Octu

�����$������������������

Δ�7"� �

=���∠�%� �����������

}z��� f 2�

bre 2012

$ ��������C����������

Δ"?���

�������� ���M��

�g�

Page 25: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 23

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

4. HEXÀGONS DINS D’HEXÀGONS Solució: .�����������������������������F�M$=����C�������� ��%������� ���������� ���� � 2� %� ���� ����%� ������ �C������ $����� ��� ��� ��� ���=������=�� R������������� 2� ������� ������ �����$� ��������������� ��F�M$=������ ������� �. (����� ��� �� ���� C�� ��$���� ���� F�M$=��� ��� ���� ���������� :�k f �\�g ����� )��������� ����������F�M$=����  ������� ��KC���������������������7�$=����L%���� �C�:�k f _`_¡cg ��C�������������$������ ������ �����������=������=�� R����%������� ��C������V����$:�

{q] f 9`9{g� \ ¢�2£qa�

7�������:�9`9{g� \ ¢�2£

qa f 9`92qg � {g f � \ 2g � { f 2`��5. POTÈNCIES

Solució: a) N acaba en 10 zeros, b) N és múltiple de 1089, c) N no és múltiple de 117. D��� � ��� ����� C������ ��=����� ������ ���� �������� �� � V� ��� �������� ��������������������� ������(�� %��������� ���:�

¤ f n9 \ Vp[ \ n�g \ <p] \ nV \ ��p^ f 9[ \ V[ \ �g\] \ <] \ V^ \ ��^f 9[ \ Vq_ \ �qh \ <] \ ��^ f n� \ Vpqh \ V_ \ 9[ \ <] \ ��^�7��������G�������������1�������� ���3+ f 9g \ ��g���C��������������� ���M�������� )��=���������������������� ������������������G%���������������)�������� ���< f + \ �9� � ����9�������$���� �������� ������ ������������G%� ��������������)������ �

Page 26: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 24 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP

1. ESTACIÓ C1 Solució: Caben 484 persones. .���=������������������W����� �������������� =�%����� ������������������+����������V� �������������=�d�2V� ���������������������������������9�2� �������������=d�9�2� ������7�������%�����������������������=$������23�2� ��������� �F�F��V���������%��������������)�����23�2�I�V�d��2�� �������&� ����� �������� ��������� ��V� �����%� ���� � ����� �� ��V� I� �2�� d� 232�����������

2. ESTACIÓ C2 Solució: El preu de la coberta és de 520.66 €. .�����������$� ��� ��������9������������ �M����V� � �3����������� �M���3�� %����C���������������������������<�V�¥���33�d�<2�93� �������������$����<2�93 \ <� f �V������������

3. ESTACIÓ C3 Solució: La superfície del sostre és 608 800 cm2 ������C��� �����2� ��������� ������V�����������=��7��� ���������������=��� �� ������ ��� ��� ���=��� ��� ���� ������ ��� ����� ���� ������ ���������%�,��C��������������=���������� �����%�)������:����V \ � � ��3� \ � f �V����7�������%������������������������)��������33� ��d���3�3���� ���

Page 27: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 25

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

4. ESTACIÓ C4 Solució:

a) Hem d’encomanar 49.75 m.

b) Costarà entre 597 euros i 746.25 euros. #���� ����������������� ����� ��C�������������F�������� �C��������� �����������)����:����<� � ��3V � <�V� � ���V� � ���� f 2+�<V�i}�m}����M��������������������������2+�<V \ �� f V+<�������2+�<V \ �V f <2���V�������5. ESTACIÓ C5

Solució: Podem ficar 10 files en cada rectangle. ��� ��F���� F� F�� ���� ������=���� ��� ������ ��� ���� � �������� ���� ���� �%������� ������=���� ������ �� ������ ��� ���%� ��� �������� C�� )�������������������-�����:�9��¦ ����¦ ����¦ ����¦ ���� � ���� � ���� � ���� � ����¦ ����¦ �9��Z������%����� �������������������������������=�����

��

Page 28: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 26 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP

1. ESTACIÓ A1 Solució:

a) La superfície és 703.35 m2.

b) Caben 2814 persones. ����� ���)�������=������9+�3V� ����������� ��$�������<��V� �����%����C��������������$�������<�9�9V� ���&�������2�������������� �%��������������������3�9��2�§�3�2���������������M ��� �����2. ESTACIÓ A2

Solució: Necessitem 169 cartolines. �����������)����$ ��������9��3� �����%�����������������)������32� ���M*�����������������������%����$�����������9� ��d�����9���� ���.�$���������������������)������� \ 9� f �9���ig���7�������%�����������9��: �9� f ��3�<9 ¨ ��+������������3. ESTACIÓ A3

Solució: Caben un total de 172 persones. ��� ���C��� ���$� ������� � ��� ���� � ������� �� �������� �����%� ���*����� ���� �������������=��%���������������������=�����%� �������������������������M������������� ������ ���$� ��� ���� ���� ��� ������ ��� ���V� ������ ��� ����=� � ����������������3V� ��������� ���%����C���������������:�� \ ��3V � �� \ ���V f �3�<�i}�m}�� f ��3<���i��

Page 29: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problem

&����§��4. EST

Soldia&���������� A��7�����M

5. ESTSol.��<��7K�����C����

mes Olímpics.

����� �������������<�������TACIÓ Alució: El agonal és�� ���� �����������,����K�� �F�F��V������ ����� �� �����=��������M�������=�

TACIÓ Alució: 120��M������ 7��� ������� ��=�� � ��� �������� ���������

. Nº 66. Octu

Societat d

������ ������������������A4

volum s 29.84 m��$�����������������V� L���������%������������������ ��� ����*��������g�����������©g fA5 0 matrícu ��CR���� ����2�=�� �� �� ��� �2� �� ���� ���� ������2 \ V

ubre 2012

d’Educació M

������� V��������

del trinqm. �CR������� ���������������������������V ����$���3�< \ V�V�=����� ����=S���� g f �3�<g��C�����f �+���g

ules. �� �������� ����,��L�� A� ������������ M����%V f ���� �

Matemàtica

�� � � �� �F�F��9��

quet és

���������������7�������������������$���� V \ � f����V \ ���V f���� ���C �����:g � V�Vg ���$:�� ���Vg �

�����������C���� �� ��� ����� C�� ��%� �M*� ��� ��������

de la Comun

�� ����%���������%�

aproxim

����������������������������:����V�i��f +V2�++�i��%� �� � � f �+�� �© f �

����%��%�9% ���������M�� �� ������ ��� ��� C�����

nitat Valenc

������� ���������

adament

�������=$��������� ���K�� L��

i_�� ��� F� ����i���+�32�i��

�V������������������

ciana “Al-Khw

�3<�:V������������

t 955 m

������CR ���� �

��� ����

Pàg. 27

warizmi”

d� V<�2����<�%��

m3 i la

R���F� ���� ��

���� ���

Page 30: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 28 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE PROVINCIAL – PROVA DE CAMP

1. ESTACIÓ B1 Solució: Ha recorregut 19.24 metres. .�� ���$���� ��� ��� ����� ��� 7�&&�� 3� �� ��� ������ ���������� )�� ��� ���<<� ������ � ��� ����� ������� ��� ��� ������ ���������� ��� ������ �� ��� ������ ���� ����%� �M�� C�� �������� ��� ����� �� ��� 7�$=����� ��� � C�� ��� �������������������$����������3�� ��.�����$������������������;�.(��2����������������������)�������9V� �����%��������� �� ������� � ��� ����� �����7�$=����%� ��� �C�� ��� ������ ����������29� ��.�����$�������������$����3��¥���29�d��+��2� �������

2. ESTACIÓ B2 Solució: Podem formar 15120 nombres. .��� M����� ���� �%� �%� 9%� 2%� V%� �%� <%� 3� � +�� ��� �� F�� ������� ��� �� ��� �������� ����� �C������ ���������������������M������¥�¥9¥2¥V¥<¥3¥+d9+�� ���� ����� ������� ��� 9%� �M�� C�� ���� ���� C�� ���� �� ����� �=��� ��������������F���������������M��������K�%�2%�3L�������� �����C����C� ���������������� ���/�/�/�/�/�/�/�����2���3�������� ��� M���� ����� � ��� M���� ����� ���� <� M����� C�� ���� � � ������� ����� ���� <� M����� C�� C����� �����%� )�� �� ��%� ��� � �< f <ª��� �����C�������������%��������������C������������2������������������3��7������������ ���� ��������������<ª \ 9 f �V������� ����������������� *�����

Page 31: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 29

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

3. ESTACIÓ B3 Solució: La probabilitat és de 15.8%. .������������������������C���)�����2� ���� ����M��V�V�� ��������=�d���� ���.����������������������������������;�.(��)�����2� ���� ����M���2V� ���� ����=� d� +�3� ��� .�� ����������� C�� ���� � ��� ������� ������ ��$������������������������������������K����� �������������������������L����$���������:�+�3: �� f ���V3����

4. ESTACIÓ B4 Solució: A 3 metres. .�����$����F���1���������������������������� ����������� ������)����������� �������8���1���� �� ����O����� ����=���%� �����/��� ����� ���M������������������%����������C������������CR����$��=����)�����9� ����������M ��� �����

5. ESTACIÓ B5 Solució: .������� �,�������$����� ���������������������������� � ���������=����������������������=��%������������ ������� � ���������=��� )����K��� C�� ����������L�� !=������ ����� ������ �� ��<�� � �W�����%� ������� � ��������������%�C�����$��������������������=����� �

Page 32: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 30 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

ENUNCIATS

XXIII OLIMPÍADA MATEMÀTICA FASE AUTONÒMICA

Page 33: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 31

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)

FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL

1. NOMBRES DE TRES XIFRES ?������� ���������������������M���������C���C�������������������M������������������������M������������������%�������M�� �����M�������������������N�

2. LES GALLINES AL MERCAT A���=���=�����F������������=���������� ���������F�������=������������� ���M��C�����������������

• &�,��F�=������������� �����¦������� ���/��������C����F������������������%���F��������=������ ��������• &�,��F�=������������� ���M�����C���%��� )����F��������=��9�� �������¦�������=�����• ?������=�������F������������������������������F������������������1���N�

3. ELS GERMANS D’EVA �����)������=�� �����������������������������������)��9�%������ �%��9��?�������������������������=�� ����������N

Page 34: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 32 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

4. MIREM UN RELLOTGE... ?��������=������������=�������������=���������������=����� �������=������N�?��������=������������=�������������=���������������=����� �������=��������N

5. QUANTA FUSTA NECESSITAREM? '��� � ������ ��� ��� � ��� ����� C�� ���������� � ���� �������� ���������� ��� ,�=��� ��� 2� =������ �� � ��� ���� ��M%� ��� ����� ���� =������ ����=������������C����� ��$�����.���O����������������������)�����3�� ����� ��$���������)�����3�� ��� �)���.�����������������=������)�����V�� ��

Page 35: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 33

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL

1. CAFÉ TORRAT ������R�������«V��������������� ������/����&����� ��������� �������R������K������������L��������������C��=�� %���C������F���������������C��=�� �������R��������������=��-��������X������������������� ���N�

2. TORRE DE HANOI DE 3 DISCOS ���,������������������D�����������M����������������������������������������� ��� ������9�� �� ��� �������C������������ ���� )���������� �� �����=���� � C�� ��� ��� ���� ���I������ �� ���� =���� �� ��� ���� ������ )�� �����?��)������� ���� �� ���� �� ������������������������������C�� ��������� ��=���������C�� ��������� ��=��BN�

�� �������������:�Nombre de discos Mínim nombre de moviments �� ��� �9� �2� �V� ���� ��� �

Page 36: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 34

Societat

3. FA(���M�=�����?

4. OC���

5. AN8���$���

t d’Educació

MÍLIES ����/�������� ����� ���� ������������������� TAEDRE����������

NALITZA���M����$���%� � ������������

Matemàtica

ESQUIAMC������� =�� ���MC���=�� $�� �������F�

E �� ����$�

ANT L’EX�������F����� ���������������

a de la Comu

ANT �������� $� C�� �����F������������C��������=��

�����������

XCURSI������������� ��� ���$���-�C��

unitat Valenc

�����F����� �)� F��� �����������������������

���������

Ó �������=$���� ����F�������

Problem

ciana “Al-Kh

���������C)�%� ��� M��=�� ����C���N

�������=

������������ C�� F�����=�����

es Olímpics.

hwarizmi”

C����A�MC���� F��� )�����N��

����������

�������:���� �� �����M����

Nº 66. Octu

�MC���F� ���� � ����������M

�� ������

�%�B%��%�A%���� (� �)��������

bre 2012

�� ������ �� ����MC����

������

��������)� ������

Page 37: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 35

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL

1. DEBAT A LA TELEVISIÓ 8����������������M����������=�� ��������C���������������������������������CS������������������������������M�C�=��-���������������� ������ ���� )�� � ���:� �� ����� �������� ���� ������ ��� �� �������M��������������������C�������C��������F����������������������� ������� �����������������C������������������%�� �������������=S���:��

• �� ������ C�� F�� =��-��� �� ������%� ����F����� F�� ��������� ��������������������������������• ������)������C�F��=��-��%�����F�����F�����������������������������������8��������������������=�� ��V������������������������=��-������������������������������&�����������������������C��F�F�������������������������C��������C��=��-)�������������C������ �������=��-���C�� ���� C�� ������ C�� =��-)�� ��� �������� C�� ��� ������%� C���������������������������������������������������N�

2. QUADRATS PERFECTES

(�����������������������z���������C����� ¬gh­¬��)����C����������������3. COMBINANT NOMBRES I LLETRES

���������������������®�%�B%��¯�������� �����®�%��%�9¯��A��C������ ��������������������������������� �������� ������C��������������������� ������� �������� �����������������������������K)������%���������C��B� �B�������C���°�����������������������C��9LN��!���������������������������� ����N�

Page 38: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 36 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

4. DIVISORS ����������� ��������������������������[��

5. TRIANGLES I ÀREES .�$������������=��� �����������=�����,����)��3±g��A���� �����$������������=��� �,����

Page 39: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problem

1. EL ����������X����������²²²²

2. LES

mes Olímpics.

F

PAVIME��� ��������)������������X��� ����� ������ �����=����� ²���������²���������S TRAPE

. Nº 66. Octu

Societat d

PRO(TER

FASE AU

ENT ��������������������X���� ���������� ������=����C����� ��������������d�²��������d�ETES

ubre 2012

d’Educació M

OBLEMRCER CI

UTONÒM

����������������������� ����������� 7������ �� ��������

²²²�X�²²²�X

�(� ������;�������=�

Matemàtica

MES DEICLE DE

MICA – P

������� ���� ��� ����C��

�)� �� ���� �������������=��������

de la Comun

E NIVEE PRIMÀ

PROVA D

������� ������������������

nitat Valenc

ELL C ÀRIA)

DE CAMP

�$��C�������%���C�����

ciana “Al-Khw

P

F�F������������������

Pàg. 37

warizmi”

���������� ����

Page 40: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 38

Societat

3. L’A;��C�&�����

4. PR

���7�������

5. EL ;�����7����

t d’Educació

AJUNTAM�� �� ���C������������ �����������$��

ROHIBIT

7������������-���������� ��� � ��������RPLÀNOL� ������C�������������� ��� ���

Matemàtica

MENT C�� ��� ���������������������� ��N�

T APARC

��$����M�����F����������R����H�#BL ���=���� ����)������ �����M��N�

a de la Comu

����� C���� R�� �������CAR

M�����C�������������������B"&�.�A"

�������������������� �����

unitat Valenc

�� ����� �������������:��

�)������������ ����"&JL��

�����%�B�������%�������C���

Problem

ciana “Al-Kh

��,��� ���%�C���

���������K��� ��=

��������������������������������

es Olímpics.

hwarizmi”

���%� ������ �����

�R���M����� ���

���������������������������%�)��

Nº 66. Octu

������� ����F�������

���������������������%�C

bre 2012

�� ��M����������

������N���)�����

Page 41: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problem

1. LA '��?

2. EL

mes Olímpics.

F

MANIFE�� �����������=���

CALVAR

. Nº 66. Octu

Societat d

PRO(PRIM

FASE AU

ESTACI��� �������������

RI

ubre 2012

d’Educació M

OBLEMMER CIC

UTONÒM

Ó �������������������

�'���������'�����?������Matemàtica

MES DECLE DE S

MICA – P

���������M�����N�

�� ���������������� =� ������ � ������� ����������� �������������

de la Comun

E NIVESECUND

PROVA D

������

������� �=�������� �� ��F��/��� � ����������� ����� �

nitat Valenc

ELL A DÀRIA)

DE CAMP

��������)�C�������F������� F �� �������������� �����������

ciana “Al-Khw

)

P

)����������

F� F�� ������ ��� N� K�������������

Pàg. 39

warizmi”

�����

����������M9������M����L���

Page 42: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 40

Societat

3. EL ! �

7�����4. LA

?���

t d’Educació

XALET �=���C�

�������C��������FONT ��� )�� ���������)��

Matemàtica

������������

������ ����������C

�� ���������� ���M

a de la Comu

����=����

�� ������C������

��� ��� ��M��C������

unitat Valenc

����=��

��� ����������������

;���%� ������������

Problem

ciana “Al-Kh

����

���� ��������=��

����� �M�����N

es Olímpics.

hwarizmi”

����������=����

� C�� �����

Nº 66. Octu

=�������

������

bre 2012

������%�

���� ���

Page 43: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problem

5. EL ���

(��V%�����

mes Olímpics.

NOSTRE����������

�����������%�����V��������

. Nº 66. Octu

Societat d

E JARD�� ����C

� ����C�������%�C ����������

ubre 2012

d’Educació M

Í C���������

����������C���)����N�

Matemàtica

����������

��C��������� ������

de la Comun

����������

����� ���� ����

nitat Valenc

��������������������

ciana “Al-Khw

��M�����������������

Pàg. 41

warizmi”

��������C�����

Page 44: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 42

Societat

1. EL

2. LA ��� R'��������

t d’Educació

F

SÍMBOL

PORTAM�R��.R�����������������F������ ��� �� �����

Matemàtica

PRO(SEGO

FASE AU

L DE LA

A DE L’ES�D� K&�� !������� �������= ��$��� ���������

a de la Comu

OBLEMON CICL

UTONÒM

DEMOC����;������ ����������������,�����

SGLÉSIA!!!L� ����� ������� ���C����� ��� �������%�)���

unitat Valenc

MES DELE DE S

MICA – P

CRÀCIA

����%�����������A� ��� ��� � �������

A ����� ��� ����$���������������� ��� ��������%�����

Problem

ciana “Al-Kh

E NIVESECUND

PROVA D

��������� ���$��� ����C���� ���$��

�� ��� ������������� ���%��I��=�)��%� ����� ��,

es Olímpics.

hwarizmi”

ELL B DÀRIA)

DE CAMP

��� ���,��

�� �� ����

����� H.������������������������� ���,����� �

Nº 66. Octu

P

�� ���� ��

���� �����

�� ��� ��� ������������ ��=��� ���� C����������

bre 2012

�� ����

�� ��-��

��J��������%�������C�� ��������

Page 45: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problem

3. EL

4. EL ����C

5. EL ����

mes Olímpics.

CAMPA

PLÀNOL��M �� ��C�������

PLÀNOL����������

. Nº 66. Octu

Societat d

ANAR

L �� ������������ig��

L �����C���

ubre 2012

d’Educació M

�� ��� ��=���

��� ���� �

�F�����1Matemàtica

�� ���,��� ������ �����������

������ ���

1����������de la Comun

���� ���� ����=�)�����L��

&���%� ��

��$������nitat Valenc

���%� ��� ��� K�� �

����� ��� �

�����������ciana “Al-Khw

�� ������)� ��� ���

�� ���� C

��&�����

Pàg. 43

warizmi”

��� ���������%�

C�� ��

Page 46: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 44 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

SOLUCIONS

XXIII OLIMPÍADA MATEMÀTICA FASE AUTONÒMICA

Page 47: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 45

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)

FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL

1. NOMBRES DE TRES XIFRES Solució: 23 nombres de tres xifres. M����������d���:����%����%�²%�++��M����������d���:����%�2��%��9�%�32��M����������d�9�:�9�9%���9%�+99�M����������d�2�:�2�2%�3�2�M����������d�V�:�V�V�� ²�M����������d�+�:�+�+�(�����d�+¥2¥9¥�¥�¥�¥�¥�¥��d��9��� ������

2. LES GALLINES AL MERCAT Solució: la primera grangera ha venut 5 gallines a 12 monedes cadascuna, i la segona grangera ha venut 3 gallines a 20 monedes cadascuna. ��� ��� �k������ �������=�������C������ ����� ����=���=���� �{������ ������� �������C����������=����������� ��� �³� ��� �� ������� =�������C�� ���� ��� ��=���� =���=���� � |� ����� ������� �������C����������=�������&��� �C�:�� k \ {� f �³ \ |�� k \ | f ����� ³ \ { f 9���� k � ³ ´ ���

Page 48: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 46 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

�� ���� �������������������³��������C������C���=�� �����C���������������9�%������M� �����%�9%�2%��%�+��&������ �³ f �� � �{ f �3����������� �����������������&������ �³ f 9� � { f �����| f ��� � �k f V������� ���M��������� ����=�������������,������8��������%������%�)��C������� ����=���=����F�������V�=������������ ������� ��������%� � F�� ����=�� ��� ������%� ������ C�� ��� ��=����=���=����F�������9�=������������ �����������������F���������� ���M��3. ELS GERMANS D’EVA

Solució: les edats dels tres germans poden ser 6, 6 i 1 anys o 9, 2 i 2 anys respectivament. �� �����������������������������������=�� ����)��9�%���������M� ����������������������������%��������� �����w%��%�x�������������������=�� $%��������C�������:�� w \ � \ x f 9��.��������������=�� ��������C��������-���������,������������������9�%�)������:� w% �% x� µ ©��n9�p f ¶�% �% 9%2%�%+%��%�3%9�·��� �C���� )���� )�:� w � � � x f �9����������� ��C���������������9������������������C���������� ���������� �� �������C��������������M�:�w% �% x� µ ¶�% �% 9%2%�%+·�� ���C���������������������� ��������9��������� ������:�� \ � \ � f 9�� \ 9 \ � f 9�+ \ � \ � f 9�+ \ 2 \ � f 9�9 \ 9 \ 2 f 9�¹̧º

¹»����*����C�����%������������ ���M����������������� ����9:�

Page 49: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 47

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

� � � � � f �9� � 9 � � f ��+ � � � � f �9+ � 2 � � f �29 � 9 � 2 f ��¹̧º¹»�

Z������%���������������������=�� ���������������%��������-����+%��������-����������� �����4. MIREM UN RELLOTGE

Solució: a) La solució és 24, b) La solució és 44. �����F�����)�������=������������M�����������������3%�C���� )������������� 5. QUANTA FUSTA NECESSITAREM?

Solució: El volum de fusta necessari per construir l’escala de joguet serà de 200 �v¼. �� �C��F�F��2�=�����%�������������$��������������

  f ½2 �   f 32 f ���i�!��� )���� )������$����� ��$������e f ¾a � e f ¿a f ���i���������������=������)���������I����������%������� �����C���)���À f   \ e \ �������� ���� ������������$� ��� � ���������� �������C�����=�������(��������� ������ ��� ���M�� ���������� KV� � L� � � ��$��� K�� � L� ���*� � �������������������À f Àq � Àg � À_ � Àa�Àq f e \ � \  q �  q f ���i� � Àg f e \ � \  g �  g f 2��i�À_ f e \ � \  _ �  _ f ���i� � Àa f e \ � \  a �  a f 3��i�À f e \ � \ n q �  g �  _ �  ap � À f � \ V \ n� � 2 � � � 3p�À f � \ V \ �� f �����i_������� ������������������������������������������,�=������$���������i_���

Page 50: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 48 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL

1. CAFÉ TORRAT Solució: Ha de vendre el café torrat a 13.75 € el kg. &��� ������Á�%���������������������������/������C���������3�Á��C��F������������������������������=��-�������X������Y=�������)�F��������������������«��3� f ��9�<V���������Y=�

2. TORRE DE HANOI DE 3 DISCOS Solució: 7���������������������������:��

• 7� ���F� ���� ���������������������������K��=������L������������������:�9� �� ������• �����=�������%�F� �����������������������������9:��� �� �����• 7����������F� ����������� ��� ��������������������� ��������������:�9� �� ������

Nombre de discos Mínim nombre de moviments

�� ��� 99� 9 � � � 9 f < f �_ � ��2� < � � � < f �V f �a � ��V� �V � � � �V f 9� f �] � ����� �qg ¦ � f 2�+V�z� �¬ � �

Page 51: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problem

3. FASol���k ���� ����� ����9V�����

4. OCSol�$�

�$�

mes Olímpics.

MÍLIES lució: S’h��MC����C� ³% � � ©��MC����C� à �Ä%¤��MC������ Å � Æ ���MC�����¦ ��2� f ��� �����TAEDRElució: L’à���������$

����������

. Nº 66. Octu

Societat d

ESQUIAan aplegC�������©% Ç � È% ÉC�������¤ � � � �� ��9�=��� Ê���À � Ë������=������������ ���E rea de l’o���:�

�� :�

ubre 2012

d’Educació M

ANT at 20 fam���M���� É � ½% Ì �����=�� ������ �������Ë � Í � Î ���������:�V � � �

octaedre

����!���k

6��C��$�� !��MÀ f

Matemàtica

mílies a l’ ������=�� Ï���������:��:��Î�����:�� � � ��

és 346.41

�������=��  f������%���

kРf 3 \ ��

�������$ ����� ���������½ fM�������%

f � \ �9 \ ��de la Comun

’esquiada�� $����:

f ���

1 �v� i e

��������=���g � V������$����� \ V`9� f

����������������������������f Ñ<V � V�g \ V`� f

nitat Valenc

a. ��

l volum é

�����=����Vg f `<V������������`9 Ò

�����������������������MVg f `V�f ����`�9

ciana “Al-Khw

és 471.40

� :�f V`9� :��

Ò 92��2��

�������� �������%��M�����$ f V`��� Ò 2<��2

Pàg. 49

warizmi”

0 �v¼.

�ig�

����������/ ���:��

2� �i_

Page 52: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 50 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

5. ANALITZANT L’EXCURSIÓ Solució: 7���������������������������������-���������������������������%�B%��%�A���������M���������������������������� ��������������CR������������������������� � ������$�����7��� ����������RM��� ������$���� ��������*����������������M��%� ���� ��������� ����� ������ ������$������������������������ ������)��������������������������������C����������������������������

• A����������B���� ���� ���°������������Y ����������������• A������B�������9�� ���� ���°������������9�Y ����������������• A����������A���+�� ���� ���°������������+�Y ����������������• A������A�������<�� ���� ���°������������<�Y ������������������������������M����������F����� �����¥��9¥��+¥��<d9�+�Y %�C�����$���� ���$���� ������ ��� ������ ���� ������-� C�� F��� �������=�� �����M����������C���������������������=S����=�$���:��

�� �

Page 53: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 51

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL B (SEGON CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE AUTONÒMICA – PROVA INDIVIDUAL

1. DEBAT A LA TELEVISIÓ Solució: 232 persones van votar únicament al guanyador, 116 únicament al perdedor i 152 van votar als dos. ��� ������� ��� ������,��� �� ���� �� ��� 9� �C������ � �� 9� ��*=��������� ��� :��

• x:����������C���������������� �������=��-�����• y:����������C���������������� �����������������• z:����������C��������������������7�����=� �������� �����C��������=S����� �����������������������:�

�w � � � x f V���w � x f ���w � �� f � �&� ����C� � ��� �� ���� �C���� ���� �� � �������� � ��� ���������C���:�

��w � �� � �x f ����w � �� f � �& �����C�����������C�����:�9w � �x f �����C�%�,��� ����� �� �w � x f ������� �� �� ���� �� ��� ���� �C������ � �� ���� ��*=����� C�� �)� ���������:� w f �9�% x f �V��!��M��������� f ������

Page 54: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 52 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

2. QUADRATS PERFECTESSolució: Els nombres buscats són: 0, 10, 16 i 18. D������������/���C�:��z�� � z f �g �� �z f � ����g� � �g f �� � ��� � �g�7��������� � �g�F������������� ����������������������%�)������%������������������������� � �g����:��%��%�2%�V%���������������� ���������������:�� � �g f ������ Ó���� �g f ����� Ó ����� f ������ Ó ����z f ��� ���g f ����� Ó ���� �g f ����� Ó ����� f ����� Ó ����z f ���� ���g f 2���� Ó ���� �g f 9���� Ó ����� Ô �Õ�� ���g f V���� Ó ���� �g f 2���� Ó ����� f ����� Ó ����z f ���� ���g f ������ Ó ���� �g f +���� Ó ����� f 9���� Ó ����z f �3�� ���g f ������ Ó ���� �g f �+���� Ó ������ Ô �Õ�7�������������� ����������������=���������������������:�0, 10, 16 i 18

3. COMBINANT NOMBRES I LLETRESSolució:

a) 3 lletres i 3 nombres es poden ordenar de 20 maneres distintes.

b) 7 lletres i 7 nombres es poden ordenar de 3432 maneres distintes. &����������,���®.�%�.�%�.9%�G�%�G�%�G9¯������������ ������� ��������������,��%�������M���M������� ����������������������������� ����%�������� C��� ����� )�� �C������� �� ��� ���� ®.%� .%� .%� G%� G%� G¯%� )�� �� ������ �������� �����������7�������:�

��_%_[ f �ª9ª \ 9ª f ���.���������������:�

��^%^qa f �2ª<ª \ <ª f 929��

Page 55: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 53

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

4. DIVISORS Solució: La suma de tots els divisors és 2480437. �� ��� f V \ �%���� ���[ f �[ \ V[��!%���������%�������������������������������� ���Ö \ V×����Ø% Ù∈Õ������������� ����������������������������������� ��/���%������ � ����������:��� ��� ��� ��� �9� �2� �V� ���V�� �� �� 2� 3� ��� 9�� �2�V�� V� ��� ��� 2�� 3�� ���� 9���V�� �V� V�� ���� ���� 2��� 3��� �����V9� ��V� �V�� V��� ����� ����� 2���� 3����V2� ��V� ��V�� �V��� V���� ������ ������ 2�����VV� 9��V� ��V�� ��V��� �V���� V����� ������� �������V�� �V��V� 9��V�� ��V��� ��V���� �V����� V������ ��������.��� ���������������������� ��������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ �����A�����C�:�

Åq f ¢{q \ m¬ � �m � � f£� \ �^ � �� � � f ��^ � �� �.��� ����������������������=��������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ ��V��A�����C�:�

Åg f ¢{q \ m¬ � �m � � f£V \ �^ � �� � � f V \ ��^ � �� �.��� ��������������������������������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ ���V�d�V���A�����C�:�

Å_ f ¢{q \ m¬ � �m � � f£Vg \ �^ � �� � � f Vg \ ��^ � �� �.��� ��������������������C���������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ ����V�d�V9��A�����C�:�

Åa f ¢{q \ m¬ � �m � � f£V_ \ �^ � �� � � f V_ \ ��^ � �� �

Page 56: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 54 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

.��� ��������������������C��������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ ����V�d�V2��A�����C�:�Å] f ¢{q \ m¬ � �m � � f£Va \ �^ � �� � � f Va \ ��^ � �� �

.��� ����������������� �����M��� ����)�� ���� �������<��� ������� ��������70������������� ������ ��9��V�d�VV��A�����C�:�Å[ f ¢{q \ m¬ � �m � � f£V] \ �^ � �� � � f V] \ ��^ � �� �

.��� ���������������������R�� ������)������ �������<��� ������� ��������70������������� ������ ���V��V�d�V���A�����C�:�Å^ f ¢{q \ m¬ � �m � � f£V[ \ �^ � �� � � f V[ \ ��^ � �� �

!�������� :�Å f �Ú ÅÛ�� )�� ��� � �������<��� ���� � ����������70��������V���� ������ ��gÜ­qq ��Å f � ¢{q \ m¬ � ��m � � f£��^ � ��� \ �V^ � �V � � f ��< \ <3��22 f �23�29<�

�5. TRIANGLES I ÀREES

Solució: A����� ����� ������������������������������������� �:��&������:�.�����=����������������������=��� �,���)��V|%� ������C��������=����������������������=��� �����)���|%�����������������������������������)��]g��A���� ������ �� �����%� ��� ���� ��� ���� �������������� ������� )��K�� ����O���������=����������=����� ����������F��������L:�½  f 9{�{ f 9��7�������%���$������������=��� �,���)�:�V� \ ¢9�£ \ 3 f 9���

Page 57: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 55

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

&������:�&=��Ý�����=����� ��)��������������������������=����{���|���������=��� ����� � C�� ���$� �� �)� ����=��� ����� �������� ��� ���=��� 9{� � V|� ��������=��� �,��%�� �����C�������%���$������������=��� ����������M�������/������������ �:� �� \ �{ \ �| \ �� Ø f 3� ������C����$�����������)�:��� \ 9{ \ V| \ �� Ø f 9� \ V� \ �� \ �{ \ �| \ �� Ø f 9� \ V� \ 3 f 9���

�� �

Page 58: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 56 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL C (TERCER CICLE DE PRIMÀRIA)

FASE AUTONÒMICA – PROVA DE CAMP

1. EL PAVIMENT Solució:

216 taulells clars = 23.43 %

706 taulells foscos = 76.57 %

2. LES TRAPETES Solució: ���!E�8#;�EÞG�!�&�����+�V�� �������:��s \ �+�Vg��ig f �<99�+<��ig�������������!E�8#;�EÞG�!�&�����<�V�� �������:��s \ �<�V���ig f �9<V�39��ig����������+�?8�AE�(&����9+�� ����������:��9+g��ig f �V����ig�����������E��(�G0.�����2��� ��+2�� �����������:��2� \ +2��ig �f �93V2��ig���E��(�G0.�����<+�� ��2+�� �����������:��<+ \ 2+��ig �f �93<���ig���E��(�G0.������<�3�� ���2���� �����������:���<�3 \ �2����ig f 29��<���ig�

Page 59: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problem

3. L’ASol ��������������������������������������������������������������

4. PRSol

5. EL Sol

mes Olímpics.

AJUNTAMlució:

���%V3 �dV��%2V� �d��������������������������������������������

ROHIBITlució: � \PLÀNOL

lució: Núm

. Nº 66. Octu

Societat d

MENT

3

V%�+�� ��������%���� �����������������������������������������

T APARC�ß� ßà� �L m. 5 del c

ubre 2012

d’Educació M

3%33 �d�2%2

��������������������

����%2V� �dCAR � ¼à� �ß

carrer de

Matemàtica

22�� �

������������

dV%���� �

\ á Ò âáâ

el Retor

de la Comun

�9%23 �d�

â� ß���v�

nitat Valenc

�%<2� �

ciana “Al-Khw

Pàg. 57

warizmi”

Page 60: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 58 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

PROBLEMES DE NIVELL A (PRIMER CICLE DE SECUNDÀRIA)

FASE AUTONÒMICA – PROVA DE CAMP

1. LA MANIFESTACIÓ Solució:

¼á� áà \ ß� ã� � nâ� àà � ß� ã�p \ ã� �à�f �ãà� ��v�

�ãà� � \ á f �äãä� á�persones

2. EL CALVARI Solució: ���9 � ���2 � ���V � ���+ � ��� � ����V f ���9V���9� � ��99 � ���+ � ��23 � ��29V � ��2� f ��<�V�

���9Vg � ��<�Vg f ��+��i����9V��<�V \ ��� f 93���X�

Page 61: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problem

3. EL Sol

4. LA Sol

mes Olímpics.

XALET lució:

FONT lució:

. Nº 66. Octu

Societat d

9�<�93<VE���

ubre 2012

d’Educació M

å�<�g^�]\g_gV��ig \ �3���=����M�

æ�_]go��233g \��2g2��<9V �

Matemàtica

Vg � tg^�]g_�¿q f 9�<3��m�{z�e����:��<<

]o f ��233\ s \ ��� f\ ��� f �� ���+� f

de la Comun

]ug f �9�<�93<V��i}� f +��\ V9 f +9

3������f 2��<9V�i���+��i_f 2��<VV�i

nitat Valenc

3�ig���3V��ig93���i_�

i_�i_�

ciana “Al-Khw

g

Pàg. 59

warizmi”

Page 62: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 60

Societat

5. EL Sol7�����

������À f����sÀ f7��

Àç���.��V��

t d’Educació

NOSTRElució: ������������C�:�

���� �����:�f   \ s9 nmqg�s f �V�2�f ��3+Vs9������������

f ���3V \��+93 � ��� �����������V�Matemàtica

E JARDÍ

����������

��� ��qg � mgg � m���i� � �\ ��3+Vs9f ����+9����� ���

\ ���< \ ������VV93 f�����������������¥��a de la Comu

Í

�%�������

��� �������mqmgp�V�2� � <n��9V�Vg93�i_����������

�+ f ���Vf ����2<V���*�� �����������unitat Valenc

������ ��

������� ���

f �3�2�� ���32�

���:�

VV9<VV�iV�i_ f ��)�:������¥����

Problem

ciana “Al-Kh

�������C

��� ���

f m�g � ��9V

i_�V��������V������

es Olímpics.

hwarizmi”

C�������

��������

�V \ ���32

Nº 66. Octu

��� �����

����� ��

2�p

bre 2012

�C����

�������

Page 63: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problem

1. EL Sol

7��7��

���

mes Olímpics.

F

SÍMBOLlució:

�������������������

��������:

. Nº 66. Octu

Societat d

PRO(SEGO

FASE AU

L DE LA

�������� ���������  9 èk��<�9

�����

ubre 2012

d’Educació M

OBLEMON CICL

UTONÒM

DEMOC

������������� \ ��� ����� �kq � kg �\ t��<g �

���9V3�3 � �<� \ ��<g

altura p

Matemàtica

MES DELE DE S

MICA – P

CRÀCIA

�����%������ \ ��2 f ��� ���:� Ñkq � k��2<g � Ñ�� \ ��2<g���� � ���� ��<� \ ��

piràmide = 0,16

de la Comun

E NIVESECUND

PROVA D

���C��)����V3�3�i_

kgé Ò kq �Ñ��<g � �f �����<

���<3 Ò ���2<g f �

6 m

nitat Valenc

ELL B DÀRIA)

DE CAMP

��������_

� kg� \  ��2<gu f �<3�����<�i

���V��

costat base

ciana “Al-Khw

P

����:�

����

i_

e = 0,47 m

a

Pàg. 61

warizmi”

altura cara = 0,228 m

Page 64: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 62

Societat

2. LA Sol

#�3. EL

Sol

4. EL

5. EL Sol.�(�&��

t d’Educació

PORTAlució:

�&8E��A�CAMPA

lució:

PLÀNOL

PLÀNOLlució: (�E�.�A��.���:�

Matemàtica

A DE L’ES

��.��7"E(ANAR

L

L

��.��&0.�9V9�a de la Comu

SGLÉSIA

w(��d���<2

�&!��K���

unitat Valenc

A

f n| � {t| \ ��2� ��

k³Ç© f ³�

���So3�����

�����������

Problem

ciana “Al-Kh

{p \ �� �{u�

³��©�

olució: ��C���������C�������M ���

�����������

es Olímpics.

hwarizmi”

�����������������M�� ����qgh

������������

Nº 66. Octu

����)��hê¿gg \ ���i

�=�L�d�2��

bre 2012

ig�

���

Page 65: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 63

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

EL PROBLEMA DE L’ÚLTIMA PÀGINA

A continuació publiquem uns problemes interessants que ens ha enviat el nostre company Juan Pagés Segarra. Agraïm al company la seua col·laboració i us recordem que podeu enviar les vostres aportacions i suggeriments o solucions al Problema de l’Última Pàgina, així con qualsevol comentari per tal de millorar la revista.

AIXETES 1 �8����*������ �����������M�������2�F����%�����������M�����ë� ��������F���������������������V�F������8���C����������������9�F������������������ ���C�������������� ���/��������*���������������������M������������=������

�AIXETES 2

�8�� ��*��� �)� ���� �M����� C�� �� ������������ �=�� � ��� �������� C������=���&������C��������������������� ����� ���� �ë� ��������F����%� �����=�������9�F���������������������,������ë� ���������«<�F����%����C������F�����F��$���������������������������������C���������C���ë������N��

Page 66: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 64 Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

SOLUCIÓ AL PROBLEMA DE L’ÚLTIMA PÀGINA ��! �(�&��:�&=��HxJ������ ���C������������� ���/���������ì ����.���� �����M����������F����� �����í%�����HxJ�F�����x«2����.����=�����M�������HxJ�F������ �����x«�����.ë������x«V%�����C�����������������x«9����������������������=��������îï� °�� w2 � w� � wV � w9 f ����7�������%�����������ë�C���ï %��ë� ��������9F%�9� ���2V��V«�<������! �(�&��:�Si la primera l´ompli en dues hores, en una omplirà: 1/2

La segona l´ompli en tres hores. En una omplirà: 1/3

Si la tercera el buida en “x” hores, en una buidarà: 1/x

Si actuant totes juntes l´omplin en 12/7 hores, en una ompliran:

1: 12/7= 7/12

Per tant l´equació serà:

�� � �9 � �w f <��Operant, x = 4 hores.���

Page 67: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 65

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

ACTUALITZEU ELS VOSTRES CORREUS ELECTRÒNICS...!!!

�(�G�!ð%�&"�!&ªª��7��� ���� ��������1��� ��� ������� ����� ��� �����%� �� �� ��� � C�� �������� �����������������������������������������������%�������� ������������������������������������������*�����Z�� ���������������C��������� ������������ ����������� �������������������Z���������C���������������������*����:�[email protected]

������������������������������0�$���������������������I����������

Page 68: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 66

Societat

C&!�'A��G

��(�

�&7

t d’Educació

CONT'".&��G'� 7E"B.�G'!�E�8G�

�#BZ�7"(

7�E�#�.

Matemàtica

TACTE'!�E/G"&�#�&� "� A����E(��

(&��G'!�E

�&�'"&(E

a de la Comu

EU AM&�&".8�!"A�� (�#���.��AE�

E�8G�#!&

E�&��".I.

unitat Valenc

MB N "G&�A��7�&%� �"#��ñ�:�

&7�2

&&�(0���

proble�

.�B"E��

Problem

ciana “Al-Kh

NOSA7E"B.�#�G(�E!&�

�#�'�T�7E"B.�#�7�E(�(�2��<����'�

.��"EE�8

emesoli

�!"G&ªªª

es Olímpics.

hwarizmi”

ALTRE�&�"B�E!� &800�E

./UDò�E��"B�E(����2V��.ÞG�!��

8��.��(E

mpics@

Nº 66. Octu

ES...!E(&%�7E"7E!#�G(&

E!ó#!T�(�

EôG!�:�

@semcv.

bre 2012

!! 7"&(�&�&� 7"(&�

.org

Page 69: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Problemes Olímpics. Nº 66. Octubre 2012 Pàg. 67

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

XIII CONCURS DE FOTOGRAFIA “MATEMÀTICA A LA VISTA”

Resum de l'acta. Premis 2012 �Apartat I:�������������������� %��V��õ�

Espiral numérica%����B�=�5����������0��1���%������!�&�E� ���.����K'��R���L�� �������� %�����õ��Atrapado entre rombos%����.����&4��1�0��14��1%������!�&�#�����#������K7�������&�=��L��9������ %��<V�õ�Línea infinita%������&������7)��1�D������%�������!�&�#�����#������K7�������&�=��L��2���(������� �����9��õ� � ���Claro de luna%������A�����0�����%��������I��=�7�����KAR��L�Rectas sonoras%������� ���;���4���1�?�����%������!�&�#�����#������K7�������&�=��L�Hay 4 círculos y 2 rectángulos%�����.����D����1�7���%��������I��=�7�����KA)��L��

Apartat I Sèries:�������������� A�������Apartat II:�K7�� ����������=�����������R��L��������7�� :����V��õ���� ���������������������:�

Triángulo escalonado%����6���;��������.���1�'��������%������!�&�E� ���.����K'��R���L�Sinusoide%�����#������7�1��� ��5%������!�&�#�����#������K7�������&�=��L�����7�� :����V��õ���� ���������������������:�Noria de la fira de Nadal, ���#=���ö�=����� ����E���=�%����.��G��������������� ������K7�������L�Un mundo en cada esfera%����#������7�1��� ��5%������!�&�#�����#������K7�������&�=��L��

Accèssits Apartat I: Ángulos y líneas hacia el cielo, ���'�=���.���1�0� �1%������!�&�#�����#�����%�K7�������&�=��L�Espiral indefinida, de Pablo Soldatov, ������!�&�#�����#�������K7�������&�=��L�Base por altura%������������G������#���=��%������!�&�#�����#������K7�������&�=��L�

Page 70: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Pàg. 68

Societat

'��������� ���

��=��AG!�«���Domic7������������������CentreG� :��������(��R����EntitaG� :�������������� � �������÷�������� � ������������AG!:�������

t d’Educació

�/������N�"����������

� �:�����������G!;:����������cili partic��:��������������:�����������������/�:������������e de treb��������������������:�������������������:���������������

at bancàr��������������������:������������������� �������������÷���÷���÷���÷���

��������� ������������������������

SC

Matemàtica

" ��������= ���-����INS

��������������������������������������cular: �����������������������������������������������������������

ball: ����������������������������������������������������������ria (on es�������������������������������������������:��������"���������÷���÷���

� �

���:�������������������������������������

SOCIETACOMUNIT

a de la Comu

=S�������������������SCRIPCIÓ I D

�����������������������������

����������������������������������������������

�������������������������������������7���������������s lliurarà�������������������������������������7���� ������÷���÷���÷��������

�������������������

������������������������������

T D’EDTAT VALE

unitat Valenc

���������������������DOMICILIAC

�������������������

����������������������������(��R�

��������������������7������:����/�:������à el cobra��������������������7������:�

��A�������÷���÷���÷����

������������������������

�����������������������

DUCACIÓ ENCIANA

Problem

ciana “Al-Kh

���������������������CIÓ BANCÀR

����G� :����

����������������������:�������������

����������������������������������������������������������ament de ���������������������������������������������÷���÷���÷�

�������������������

�����������������������

MATEMA "Al-Khw

FacultatDepartamApartat 2

es Olímpics.

hwarizmi”

��������������������RIA

�������������������

��������7�:������������������������

������������������������������������7��������������������quotes):������������������������������������7Gø��� �÷���÷���÷���÷�

���������������������K�=���

�����������������������

MÀTICA "warizm i

de Magisteri “Aument de Didàctica22.045 46071V

Nº 66. Octu

�����������

�������������������

������������������������������

����������7�:������������������������������: ����������7�:������������ �������÷���÷���÷���÷�

������������������������L�

����������������������

DE L

usiàs March” a de la MatemàtiVALÈNCIA

bre 2012

��

������������������

�����

���������

���������������

LA

ca

Page 71: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Esta revista es publica amb el suport de l’Acadèmia Valenciana de la Llengua

Trobaràs tota la informació en la nostra web.

Visiteu-la: www.semcv.org

Page 72: PROBLEMES OLÍMPICS - semcv. · PDF fileJúlia Piñero. IES San Vicent Ferrer (València) “Geometría”. ... Apartat 22.045 46071 València Director:( $ ? . Coordinador de redacció:6

Societat d'Educació Matemàtica de la

Comunitat Valenciana

"Al-Khwarizmi"