Problemes de SERIES · Ejercicios resueltos de ... Aplicando las conclusiones de convergencia del...

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Ejercicios resueltos

de series numéricas

Prof Ximo Beneyto

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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 23

PROBLEMES RESOLTS

1. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",

. Se pide :

2. Hallar an y formar la serie

3. Hallar la suma de los 100.000 primeros términos de la sucesión

4. Estudiar si la serie es CONVERGENTE y hallar su SUMA.

1.1.- ¿ an ?

Recordemos la relación entre Sn y an

a1 = S1 =

[ Observa que en el segundo sumatorio, sumamos desde n = 2 ]

1.2.- ¿ ?

Interpretando Sn como la suma de los n primeros términos de Y

1.3.- ¿ CONVERGENCIA ? ¿ SUMA ?

Como es CONVERGENTE y su SUMA es 4.

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

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S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

5. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",

. Se pide :

6. Hallar an y formar la serie

7. Hallar la suma de los 100.000 primeros términos de la sucesión

8. Estudiar si la serie es CONVERGENTE y hallar su SUMA.

1.1.- ¿ an ?

Operando como en el problema anterior :

a1 =

1.2.- ¿ ?

1.3.- ¿ CONVERGENCIA ? ¿ SUMA ?

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Y es CONVERGENTE y su SUMA es 1

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

9. Estudiar el carácter de la Serie

[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]

Sea

Y La Serie DIVERGE

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q



Y La Serie CONVERGE

[ Observa : (2n +1) ! = ( 2n+1 ) A (2n) A ( 2n-1)! ]

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S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q



[ Si bn = 1 A 5 A 9 A ... A ( 4n - 3 ) Y bn+1 = 1 A 5 A 9 A ... A ( 4n - 3 ) ( 4n + 1 ) ¡ Ojo! ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q



[ Observa : 5n+1 = 5n A 5 ]

Y La Serie CONVERGE

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

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13. Estudiar según r 0 ú el carácter de la Serie

Se trata de una Serie de términos cualesquiera, pues r 0 ú . Estudiemos su convergencia absoluta.

[ Criterio de D' Alembert ]

Sea

Y La Serie es ABSOLUTAMENTE CONVERGE Y Es CONVERGENTE œ r 0 ú

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

14. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie

Si x 0 ú Y es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia

absoluta. Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie en valor absoluto:

Sea

Hagamos unas consideraciones sobre el valor de x.

i) Si

i.1) Si x = 1 Y

Sustituyendo en la serie original queda : . Aplicando ahora la Condición necesaria de

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Cauchy, tenemos :

Y La Serie DIVERGE para x = 1

i.2) Si x = -1 Y

Sustituyendo en la serie original queda : . Aplicando de nuevo la Condición

necesaria de Cauchy, tenemos :

Y La Serie DIVERGE para x = -1

ii) Si .

Aplicando ahora la condición necesaria de Cauchy , sustituyendo x / *x* < 1 en la Serie:

Y La Serie DIVERGE para *x* < 1

iii) Si

iii.1) Si x > 1 Y Y

La Serie CONVERGE

iii.2) Si x < -1

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

15. Estudiar según los valores de a 0 ú, a > 0 el carácter de la Serie y aplicar el

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resultado obtenido para estudiar el carácter de las series

Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de convergencia del

cociente ( D'Alembert)

[ Observa : ( n+1 )! = (n+1) A n! ; ( n+1)n+1 = (n+1)n A (n+1) ]

Aplicando las condiciones del criterio del cociente, tenemos :

i) si < 1 a < eY La serie CONVERGE

ii) si > 1 a > eY La serie DIVERGE

iii) si = 1 a = eY DUDA ?

Resolvamos el caso DUDA ( a = e )

Sustituyendo en la serie original, quedará :

Comprobemos la condición de convergencia de Cauchy.

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Y DIVERGE

Resumiendo, la serie œ a > 0

¿ Carácter ?

Observando el estudio anterior, tomando a = 3, como 3 > e Y La Serie Diverge

¿ Carácter ?

Razonando como anteriormente, tomando a = 2, como 2 < e Y La Serie Converge

[ Nota : Recordemos que e . 2,71828182 ]



<

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Y Y La Serie DIVERGE

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


Como x 0 ú, es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia absoluta.

Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie :

i) Si x = 0

Obtenemos la serie , que es una serie convergente, œ n 0 ù y

CONVERGE

ii) Si x … 0

Estudiemos la Convergencia absoluta aplicando el criterio del cociente ( D'Alembert )

œ x 0 ú

Y La serie es Absolutamente Convergente Y La serie es CONVERGENTE.

Por tanto, es CONVERGENTE œ x 0 ú

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

18. Estudiar según los valores de a 0 ú, a > 0 el carácter de la Serie

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Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de convergencia del

cociente ( D'Alembert)

[ Mira aquí : ( 2n + 2 ) ! = ( 2n+2) ( 2n+1) (2n)! ; (n!)2 = (n!) A (n!) ]

Si aplicamos la conclusión del criterio :

si < 1 Y a < 4 Y La Serie Converge

si > 1 Y a > 4 Y La Serie Diverge

si = 1 Y a = 4 Y DUDA

Resolvamos la duda sustituyendo a = 4 en la Serie Original

Apliquemos el criterio de Raabe aprovechando el último cociente del criterio de D'Alembert

Y La serie diverge.

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Resumiendo, La Serie :

Y Converge si 0 < a < 4

Y Diverge si a $ 4[ Pregunta : ¿ De dónde hemos obtenido 4n2 + 8n + 4 ?]


Se trata de una Serie Alternada, optemos por estudiar la convergencia absoluta.

Sea pues la serie de términos positivos :

. Apliquemos el criterio de la raíz ( Cauchy ):

Dividiendo por "n" numerador y denominador

Y La serie es CONVERGENTE

es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE Y es

CONVERGENTE

[ Recordemos que toda serie absolutamente Convergente, es Convergente ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


Si x 0 ú, es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia absoluta.

i) Si x = -1. Sustituyendo queda la Serie nula que es una Serie convergente, tal como

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hemos visto.

ii) Si x … -1

Apliquemos el criterio del COCIENTE

Aplicando las conclusiones de convergencia del criterio tenemos :

Y Si < 1 Y * x + 1 * < 3 Y -3 < x+1 < 3 Y -4 < x < 2 Y La Serie Converge

Y Si = 1 Y * x + 1 * = 3 Y DUDA

Y Si > 1 Y La serie Diverge

Estudiemos las DUDAS.

6 Si x = -4 sustituyendo en la serie obtenemos :

Serie alternada que es fácil comprobar que converge ( Criterio de Leibniz, típico además !

[ Mira : (-3)n = (-1)n A 3n ]

6 Si x = 2 Operando de igual forma :

Serie de términos positivos , divergente ( Criterio de Pringsheim " = 1 )

Resumiendo, la serie

< Es absolutamente convergente y, por tanto, CONVERGENTE si -4 # x < 2

< Es absolutamente divergente y, por tanto, DIVERGENTE si x < 4 ó x $ 2

[ No olvidemos que la divergencia absoluta estudiada por D'Alembert implica Divergencia ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

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S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


Se trata de una Serie de términos positivos . Aplicando el criterio de la Raíz ( Cauchy ) :

Separando los límites :

Y La Serie CONVERGE

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


Se trata de una Serie de términos positivos . Antes de decidir qué criterio aplicar, una reflexión

interna quedaría indecisa ante la estructura de an, un poco exponencial, un poco polinómica... Sin

embargo, hay un bloque dominante y ese es y, por ese camino lo vamos a intentar por

comparación por paso al límite.

Comparemos con serie Geométrica Convergente pues

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Sea, pues,

Como la serie es convergente, aplicando el criterio de comparación

Y la Serie Converge.Bueno, ¡ Tampoco era tan complicada !

[ Todos los límites de la fracción resultante al dividir por 3n y 5n dan cero mediante la técnica de

Stolz explicada en el tema de Sucesiones ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


Intentemos, en primer lugar la convergencia absoluta

Aplicando el criterio de Pringsheim :

Sea " 0 ú /

Y La Serie Diverge en valor absoluto

Y La serie alternada no podemos afirmar nada. Apliquemos ahora directamente el criterio de

Leibniz a la serie alternada

i

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ii) ¿ es monótona creciente ?

Y la Serie Converge


Al llevar expresiones trigonométricas en su término general, cualquier criterio que apliquemos nos

va a llevar a un límite de difícil cálculo. Intentaremos el criterio de comparación pues las funciones

trigonométricas se suelen acotar con cierta facilidad.

Utilizando el Criterio de Comparación

[ Pues 1 + sen2 n $ 1 œ n ]

Utilizando el Criterio de Pringsheim

" = 2 Y La serie CONVERGE Y CONVERGE

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

25. Estudiar el carácter de la Serie según valores de " 0 ú

Utilizando el Criterio de Pringsheim

Y p = " - 3

Si " - 3 > 1 Y la Serie Converge Y " > 4

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Si " - 3 # 1 Y la Serie Diverge Y " # 4

Si " > 4 Y Serie Convergente

Si " # 4 Y Serie Divergente

[ Fácil y sencillo !!. Pringsheim es muy práctico en las expresiones polinómicas ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

26. Estudiar el carácter y la suma de la Serie

Como se trata de una Serie Geométrica

TERMINOS 1,

Serie Geométrica Y Como < 1 Y < 1 Y La serie Converge

SUMA a1 = 1 Y Y

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


[ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos Series ]

CARACTER

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a) Serie Geométrica Y La serie Converge

b) Serie Geométrica Y La serie Converge

Y La serie es Convergente

SUMA

a)

b)

S = Sa + Sb = Y

[ ha sibo buena idea de separar la Serie en dos Series Geométricas ]


Preparemos un poco el término general operando sobre el [ (-1)2n = [(-1)2 ]n = 1n = 1 ]:

se trata de una Serie de Geométrica

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TERMINOS

CARACTER Serie Geométrica Y La serie Converge

SUMA

Y

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


[ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos Series]

CARACTER

a) Serie Geométrica Y La serie Converge

b) Serie Geométrica Y La serie Converge

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Y La serie es Convergente al ser Suma de Series Convergentes.

SUMA

Sumando ambas como Series Geométricas.

a)

b)

S = Sa + Sb = Y

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


Y Se trata de una Serie Geométrica.

TERMINOS

Serie Geométrica Y Como < 1 Y < 1 Y La serie Converge

SUMA a1 = Y Y

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S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARACTER [ Aplicando el criterio de Pringsheim, an es un COCIENTE DE POLINOMIOS ]

La Serie es CONVERGENTE

SUMA. Aplicaremos la técnica de descomposición de an, en este caso al ser un cociente de

polinomios, efectuaremos una descomposición en suma de fracciónes simple.

Raíces del denominador : n3 + n2 - 2n = 0 Y

Propongamos

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Como era , el primer valor que damos a n es n = 2

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< n = 2 6

< n = 3 6

< n = 4 6

< n = 5 6

< n = 6 6

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA < n = n-2

6

< n = n-1 6

< n = n 6

Sumando )))))))))))))))))))))))

Observamos que los términos cuyo

denominador es el mismo en los tres

sumandos, se van cancelando, ya que los

numeradores suman cero.

[ ¡ Ojo ! Puede ser una buena idea para sumar,

cuando se descompone an en fracciones

simples ]

Tomando límites :

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[ Un poco " durillo " para ser la primera que sumamos por ésta técnica ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

32. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, obtener la suma de la Serie

CARACTER [ Aplicando el criterio de Pringsheim ]

¡ Bueno, sí, hemos cambiado " por p, pero no importa, enriquecemos un poco nuestra operativa !


SUMA A primera vista, la estructura de an no nos permite identificar la suma de esta serie con

ninguno de los tipos que conocemos. No obstante, por eliminación de las demás técnicas, vamos a

tratar de hacer una descomposición en factores. Para ello, vamos a trabajar un poco sobre el término

General.

Hemos llegado, pues, a una serie telescópica

Asignando valores a n

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[ Observa que los términos con el mismo denominador se van cancelando entre sí al efectuar la

suma pues tienen signo contrario ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]


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SUMA Mediante descomposición de an en suma de fracciones simples :

Raíces del denominador Y n3 + 5n2 + 6n = 0 Y

Operando e igualando numeradores, pues el denominador es el mismo

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<

<

<

<

<

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

<

<

<

Sumando :

Los términos con el

mismo denominador en los

tres sumandos se van

cancelando al sumar cero

sus numeradores.

[ Fíjate que hemos dejado

los valores de A, B, C en el

numerador sin operar la

fracción resultante, para

que se "vean" mejor los

términos que se cancelan

entre sí ]

Tomando límites :

Y

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[ Supongo que te ha resultado más sencillo ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q




SUMA Por descomposición . Aplicando la Suma por descomposición de an en suma de

fracciones simples :

[ Mira esta nueva forma de hallar los coeficientes indeterminados ]

¿ Qué te ha parecido ?

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Dando valores a "n" :

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q




SUMA ¿ Es Hipergeométrica ?

es Hipergeométrica

Al ser Hipergeométrica y convergente

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[ Tambien podíamos haber sumado por descomposición de an en suma de fracciones simples ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q




[ ¡ Vaya sorpresa ! emplear el criterior de Pringsheim en la convergencia de esta serie ]

SUMA Preparemos an

[ Aplicando las propiedades de los logaritmos ]

Dando valores a "n"

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Y

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q




SUMA por descomposición de an en suma de fracciones simples :

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Sumando todo

Tomando Y Y

Observa esta " variante " en la suma Sn para no especifficar todos los términos ]

38. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie



SUMA propongamos una descomposición en factores :

Sea pues

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Igualando numeradores ( pues los denominadores son iguales )

y asignando valores a "n "

6 si n = 1

6 si n = 2

6 si n = 3

6 si n = 4

AAAAAAAAAAAAAAAAA

6 si n = n-2

6 si n = n-1

6 si n = n

Sumando y simplificando los elementos que son iguales pero con signo distinto

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Tomando límites :

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q39. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie



SUMA ¿ Es hipergeométrica ?

Al ser Hipergeométrica y Convergente


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Al ser Hipergeométrica y Convergente

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q





Como :

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Al tratarse de una serie convergente su suma es :

Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en factores :

Igualando numeradores :

Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad :

6 Si n = -22 = 2 AY A = 1

6 Si n = -32 = -BY B = -2

6 Si n = -42 = 2 CY C = 1

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[

Naturalmente, en esta serie, la suma como Hipergeométrica resulta mucho más sencilla ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


6 Antes de empezar, busquemos el término general al cual obedecen en los términos de la serie. No

es difícil comprobar que:

1, 3, 5, 7, .... Y 2n - 1

3, 5, 7, 9, .... Y 2n + 1

5, 7, 9, 11,.... Y 2n + 3


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SUMA

Ante la doble opción para obtener la Suma de la serie, optamos por .... las dos.

¿ Es hipergeométrica ?

Como :

Al tratarse de una serie convergente su suma es :

Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en factores :

Igualando numeradores :

Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad :

6 Si n = 1 = 8 AY A =

6 Si n = - 1 = -4BY B =

6 Si n = 1 = 8 CY C =

Y asignando valores a "n" :

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[ por ambos caminos hemos llegado bien a la suma. Como siempre un poco mas sencillo si la Serie

es Hipergeométrica, sumándola como tal ]

43. Estudiar carácter y suma de según valores de p, y, en particular obtener el

carácter y la suma de

CARACTER ( Serie de términos positivos œ p 0 ù ) Aplicando el criterio de Pringsheim ]

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Aplicando sobre " el criterio de Pringsheim :

6 Si " > 1 Y p > 1 Y La Serie Converge

6 Si " # 1 Y p # 1 Y La Serie Diverge

SUMA œ p > 1 p 0 ù

Comprobamos si se trata de una Serie Hipergeométrica

Como

Al ser convergente su suma es :

En particular, para observamos que se trata de la Serie anterior para p = 3

CARACTER

Como p = 3 > 1 Y La Serie Converge

SUMA. Tomando en la expresión de suma p = 3 Y

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44. Estudiar carácter y suma de

CARACTER ( Serie de términos positivos ) Aplicando el criterio de D'Alembert]

Y La Serie Converge

SUMA. Claremente, an tiene la forma adecuada para obtener la Suma de la Serie como

Aritmético-Geométrica, es decir, , apliquemos pues esta técnica

Tomando límites :

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XB

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CARACTER ( Serie de términos positivos ) Aplicando el criterio de D'Alembert]

Y La Serie Converge

SUMA. Sumando como Serie Aritmético-Geométrica

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Tomando Límites :

[ NOTA : mediante Stolz, aplicándolo dos veces ]

[ Observa que al ser el polinomio del numerador de 2º grado hemos aplicado la técnica de

Aritmético-Geométrica dos veces]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARACTER ( Se trata de una Serie Alternada) . Ante la doble opción que tenemos para su

estudio de convergencia ( Leibniz, Convergencia Absoluta ) Elegimos la Convergencia Absoluta. ]

Por el Criterio del Cociente (D'Alembert)

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es CONVERGENTE

Así es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE

es CONVERGENTE

SUMA

Sumemos por el procedimiento de la Serie Aritmético-Geométrica

Tomando Límites :

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S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARACTER (Como an > 0 œ n 0 ù Y Es una Serie de Términos positivos. Apliquemos el

criterio de D'Alembert)

Y La Serie CONVERGE

SUMA

En principio, an no se ajusta a ninguno de los modelos de suma conocidos. Preparemos el término

general :

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Estudiemos cada una de las Series obtenidas por separado :

Y 31 Se trata de una Serie Geométrica, demos algunos términos :

Y 32 Se trata de una Serie Aritmético-Geométrica, Apliquemos la técnica adecuada.

[ Para no abusar de notación fraccionaria, llamaremos a = 5/2 ]

[ ¿ Bonita suma, eh ? ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


2n es PAR, œ n 0 ù Y (-1)2n = 1, œ n 0 ù Y

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CARACTER es una Serie de términos positivos.

Por D'Alembert :

Y La Serie

CONVERGE

SUMA. Serie Aritmético-Geométrica

Tomando límites :

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S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARACTER La Serie dada, se puede descomponer como una resta de dos series así :

Estudiemos cada una de ellas por separado :

Serie de términos positivos. Por D'Alembert :

Y La Serie CONVERGE

SUMA. Apliquemos la técnica adecuada para sumar la Serie Aritmético-Geométrica

Tomando límite :

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Serie de términos positivos. Apliquemos el criterio de Pringsheim

Y La Serie CONVERGE

Propongamos una descomposición del término general en SUMA de fracciones según las raíces del

denominador

Asignando valores a "n" ( Inteligentemente seleccionados )

6 Si n = -21 = AY A = 1

6 Si n = -31 = -BY B = -1

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Refundiendo los resultados :

CARACTER es CONVERGENTE

SUMA

NOTA : La serie también es Hipergeométrica pues

Y al ser CONVERGENTE su suma es

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