Problemas_RESUELTOS_-1.pdf

1 PROBLEMAS RESUELTOS

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

RIGIDEZ 1GDL

El sistema mostrado en la figura consiste en una viga de concreto armado (módulo de elasticidad 250 000 kg/cm2), de 3m de luz y 0,25 x 0,30 m de sección, empotrada en un extremo y sujetada en el opuesto por un conjunto de 3 varillas lisas de acero (módulo de elasticidad 2 100 000 kg/cm2) de φ = 3/8". Las dos varillas superiores están conectadas con la inferior mediante una placa metálica que puede considerarse de gran rigidez. Calcule la rigidez del sistema para el grado de libertad señalado por la flecha. La rigidez total K = k viga + k3 varillas

Rigidez varillas. El sistema de varillas consiste de dos en paralelo y luego esas dos en serie con la siguiente.

Todas las varillas tienen una rigidez axial igual a:

ka = EA/L = 2 100 000 x 0,71/150 = 9975 kg/cm.

Las dos superiores tienen una rigidez de 2ka

El conjunto de las tres varillas: k3 varillas 3

2

2

a

aa

k

kF

kF

FF=

+=

∆

Laviga tiene una rigidez de: kviga= 3

3LEI I= bh3/12 = 56250cm4.

kviga= 33005625000050023 xx = 1 562,5 kg/cm

K= kviga + k3 varillas = 1562,5 + 2/3 x 9975 = 8 213,5 kg/cm

1.5 m

1.5 m

3.0 m

PROBLEMAS RESUELTOS 2

INGENIERÍA ANTISÍSMICA

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Y PERIODO NATURAL.-

Determine la ecuación de movimiento y el período natural de vibración del sistema de un grado de libertad, compuesto por una viga ( I = 4 000 cm4) con un peso concentrado de 500 kg. y una varilla de 5/8” de diámetro en uno de sus extremos, tal como se muestra en la figura 3. Ambos elementos son de acero (E = 2 100 000 kg/cm2 ). La viga se puede considerar sin masa. Solución .-

cmskg51,0

scm981

kg500gPm

kg500P2

2

−===

=

m

2cm98.1A8"5

=

=φ

m

L = 4m

L = 3m

s038,0T7,25314

51,02Km2T

:período el tanto lo Por

)t(fFu7,25314u51,0

)t(Fkuum

:movimiento de ecuación la Luego

cmkg7,25314860137,393K

30098,1x0001002

4000004x0001002x3K

hEA

LEI3KKK

T

1

3

3CABLEVIGA

=→π=π=

=+

=+

=+=

+=

+=+=

&&

&&

Modelo:



AMPLITUD DE VIBRACIÓN

Se tiene un sistema masa-resorte (sin amortiguamiento) de un grado de libertad sometido a la fuerza excitadora F(t) = F1 x f(t).

En la figura se muestra la variación de f(t) con el tiempo. Se pide determinar la máxima amplitud de la vibración en el tramo t > td.

El tiempo td = 1.0 s . F1 = 1.579 t. El período del sistema es de 1 s y la rigidez K es 157.91 t/m. Debe justificar debidamente su respuesta.

→> dtt Vibración Libre

( ) ( )do

do ttUttcosUU −ωω

+−ω= sen&

1er Tramo: ( ) ( ) ( )tcos1m01,0tcos1

91,157579,1tcos1

kFU 1 ω−=ω−=ω−=

π=ω→=ωπ

= 212T ( )t2cos101,0U π−= s1tt d == ( ) 02cos101,0U =π−=

( )t2sen2x01,0U ππ=& s1t = ( ) 02sen2x01,0U =ππ=&

( )[ ] ( ) 00UU

UU2

t2tmáx

d

d+=∴⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ω

+=&

0U =

M

K

F(t)

td

1

f(t)

t



PROBLEMA 1.-

Se tiene un edificio de un piso que en la dirección X está conformado por dos pórticos y dos muros. Los muros son de albañilería (Em=25000 kg/cm2) y tienen 12cm de espesor. Las dimensiones de vigas y columnas son de 25cm x 60cm (Ec=250000 kg/cm2). El peso total a la altura del techo es de 96 toneladas (incluyendo la parte correspondiente de muros y columnas). La altura es 2.80m.

Calcule el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad. SOLUCIÓN : Peso = P= 96t Em=25000 kg/cm2 Ec=250000 kg/cm2

K= 2xKmuro+2xKpórtico * Cálculo del Kmuro: h=2.8m L=8m

km2T π=

cms.kg859.97

9819600

gPm

2

===

cmkg

xx

x

Lhx

Lhx

EtKmuro 600,245

88.23

88.24

1225000

3433 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

h=2.8m Muro

L=8m

60x25C

60x25V

Muro

PLANTA8m

Muro de albañilería

Y

4m

4m

4mX

Pórticos deconcreto

Muro de albañilería



* Cálculo del KPórticos: Por lo tanto el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad será:

2.7m=3-0.60/2

7.4m

60

60

8m

3m

LIK V

V =hIK C

C =

43

VC cm00045012

60x25II ===

γ+γ+

=6461

hEI24K 3

CPórtico

cmkgKxxKK

FinalmentecmkgK

xxxxKK

EntoncesLh

hILI

kk

TTTotal

PPPórtico

c

v

C

V

5496321,6747026002452

:

1,67470365,064365,061

27000045000025024

:

365,0365.040,770,2

)/()/(

3

=→+==

=→++

==

=→===== γγ

s078,0T549632859,972

Km2T

T

=→π=π=



Muro albañilería

PLANTA

Y

4m

8m

4m

4mX

Pórticos deconcreto

Muro albañilería

VARIANTE DEL PROBLEMA 1.-

Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos y dos muros. Los muros son de albañilería (Em=25000 kg/cm2) y tienen 12cm de espesor. Las dimensiones de vigas y columnas son de 25cm x 60cm (Ec=250000 kg/cm2) y las vigas se pueden considerar de rigidez infinita. El peso total a la altura del techo es de 96 toneladas (incluyendo la parte correspondiente de muros y columnas). La altura es 2.80m. Calcule el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad . SOLUCIÓN : Peso = P= 96t Em=25000 kg/cm2 Ec=250000 kg/cm2

K= 2xKmuro+2xKpórtico * Cálculo del Kmuro: h=2.8m L=8m * Cálculo del KPórticos:

km2T π=

cms.kg859.97

9819600

gPm

2

===

cmkg600,245

88.2x3

88.2x4

12x2500

Lhx3

Lhx4

EK 33t

muro =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

60x25C

60x25V

Muro

hIK C

C =

L=8m

Muro h=2.8m



Calcularemos el periodo para h=2.20m y h=2.80m

Por lo tanto el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad será:

3C

3C

otradaColumnaEmpPPórtico hEI36

hEI12x3xK3KK ====

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] s067,0T187860859,972T

s055,0T9062511

859,972T

cmskg859,97mCon

cmkg187860K493184x2600245x2K

cmkg9062511K353380x2600245x2K

K2K2KK:Como

cmkg493184K

280000450x000250x36K

cmkg353380K

220000450x000250x36K

:Entonces

80.2h80.2h

20.2h20.2h

2

80.2hT80.2hT

20.2hT20.2hT

pmTTotal

80.2hP380.2hP

20.2hP320.2hP

=→π=

=→π=

−=

=→+=

=→+=

+==

=→=

=→=

==

==

==

==

==

==

60

60

8

2.8m2.2m



t313,1631x)2,0x24(x)4/)2x2,08((t667,312,0x4,2x)2/15()2,03(t344,422,0x4,2x)2,0x24()2,08(t255,482x4,2x2,0x)4/8(

2

2

=−−π

=π−=−π−=π

PERIODO NATURAL – MAX DESPL

Se tiene un tanque elevado como el que se muestra en la figura adjunta. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos. Si se lo somete a una fuerza bruscamente aplicada de 20 t. Calcular cuál es el máximo desplazamiento que puede producirse. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar, explique sus criterios. (E = 230 000 kg/cm2 ).

Solución.-

Lo que se desea calculares el U máx debido a una fuerza aplicada súbitamente. Luego de la teoría concluimos que:

Del modelo entonces debemos calcular:

Para el cálculo del periodo:

Calculando la masa “m=P/g” Peso de la Tapa y Fondo: Muros: Fuste: Agua:

P = 285,579 t

Por lo tanto:

s57,0T8,3542

11,292T =→π=

tFconKFUmáx 202 1

1 ==

8m

4m

15m 3m

Cuba

Fuste

cm13,1100x8,3542

202U

ximo:amiento máel desplazLuegomt8,3542K

15733,1x2300000x3K

:Entonces

m733,1I64

)6,23(64

)DD(I

hEI3K

máx

3

4444

i4

e

3

==

=→=

=→−π

=−π

=

=

KmT π2=

Modelo

-Tapa y fondo -Muros -Fuste -Agua

De

Di

e=0.20m

Vista de Planta del Fuste

m

15m

mst111,29m

2−=



PERIODO DE VIBRACIÓN (1GDL)

Se tiene un edificio de un piso constituido por cuatro pórticos en la dirección X y tres pórticos en la dirección Y (ver planta). Se desea determinar el periodo de vibración en cada dirección.

Las vigas pueden considerarse infinitamente rígidas. Todas las columnas son de (25 x 40 cm) orientadas con la mayor dimensión en la dirección X. Todos los pórticos están unidos por una losa maciza que se puede considerar de 800 kg/m2 incluyendo el peso de las vigas, acabado y columnas. Actúa una sobrecarga de 200 kg/m2 . Para estimar la masa puede considerarse el 25% de la sobrecarga. E= 230 000 kg/cm2 .

Modelo: Suponiendo que la losa se comporta como un diafragma rígido, se puede considerar un solo desplazamiento lateral para todo el piso, ya que éste es común a todos los elementos que llegan a la losa. m representa la masa del sistema y k la rigidez, en este caso la rigidez lateral del edificio, KL. El modelo se aplica a ambas direcciones de la vibración, X e Y, la rigidez será diferente en cada caso.

Cálculo de la Masa: La masa debe incluir todos aquellos elementos que se estima que se aceleran simultáneamente:

Losa más vigas: 800 x área del entrepiso (12 x 8 = 96 m2) = 76 800 kg = 76,8 t

25% de la sobrecarga: 0,25 x 200 x 96 = 4 800 kg = 4,8 t

Total Peso = 81 600 kg = 81.6 t

(Según los datos, en el peso de la losa por m2 se ha incluido ya el peso correspondiente a las vigas y columnas, de lo contrario habría que considerarlo adicionalmente)

m = P/g = 81.6 t / 9.81 m/s2 = 8.318 t-s2/m

Cálculo de la rigidez lateral del edificio, K, en la dirección X: En esa dirección son 4 pórticos. Debido a que todos ellos se desplazan por igual, la rigidez lateral total será la suma de las rigideces de cada pórtico (Por una condición de equilibrio de fuerzas).

KLX = 4 x K pórtico

K pórtico = k columna empotrada + 2 k columnas articuladas

m

k

6m 4m

12m

2m 6m

PLANTA

Y

XELEVACION X



K pórtico = 32

31 h

EI3x2hEI12

+ , E=230 000 kg/cm2 =2 300 000 t/m2

I=0.25 x 0.403/12 = 0.0013333m4

h1= 6m; h2= 4m

K pórtico = m/t87,45741

62001333,0x2300000x6 33 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

KLX= 4 x 457.87 = 1 831.47 t/m

Periodo de vibración en la dirección X: El periodo de vibración de un sistema de un grado de libertad está dado por la siguiente expresión:

km2T π=

sustituyendo los valores de m y k (KLX) calculados, se obtiene:

47.1831

318.82km2T π=π=

Para evaluar el periodo en la dirección Y, Ty, la rigidez KLY se modifica en función de la inercia de las columnas. El procedimiento es el mismo, así como el valor de la masa.

Tx=0.423 s



PER DE VIBR. – MAX. DESPL. (1GDL).- Se tiene un reservorio elevado como el que se muestra. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos, calcular cuál es el máximo desplazamiento que se produce si se le aplica un impulso que aplica instantáneamente una velocidad de 10cm/s. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar. (E = 230 000 kg/cm2 ).

8m

4m

15m 3m

m

k

Reservorio Modelo

Modelo: Se observa que la mayor parte de la masa está concentrada en la parte superior del reservorio, por lo que se puede considerar un solo desplazamiento lateral que define la posición de la masa.

Cálculo de la Masa: La masa debe incluir todo aquello que se estima que se aceleran simultáneamente:

Tapa del tanque 4,2x20,0484,2tx

4D 22 π

=π = 24,13 t

Fondo del tanque = 24,13 t

Muros o paredes del reservorio 4,2x6,3x20,02

6,784,2xhxtDprom+

π=π = 42,34 t

Medio fuste 4,2x2

15x20,02

6,234,2xhxtDpromedio+

π=π = 31,67 t

Total peso propio =122,27 t

Agua contenida en la cuba 60,34

6,7xh4

D 22eriorint π

=π =163,31 t

Peso total = 285,58 t

m = P/g =285,58 t / 9,81 m/s2 = 29,11 t-s2/m

Cálculo de la rigidez lateral del reservorio, KL, en el plano: En esa dirección el elemento resistente es el fuste que funciona como una columna empotrada en su base y libre arriba.

m

k



u máx = 0,91

KL = 3hEI3 , E=230 000 kg/cm2 =2 300 000 t/m2

( )4interior

4exterior DD

64I −

π=

( )44 6.2364

I −π

= =1.7329m4

h= 15m

KL = m/t82.354215

7329.1x2300000x33 =

KL= 3 542.82 t/m

Periodo de vibración en la dirección X: El periodo de vibración de un sistema de un grado de libertad está dado por la siguiente expresión:

km2T π=

sustituyendo los valores de m y k (KL) calculados, se obtiene:

82,3542

11,292km2T π=π=

Frecuencia Angular: T2π

=ω = 569,02π =11,04 rad/s

La máxima amplitud de la vibración cuando se aplica una velocidad inicial es: 04,11

10u0 =ω&

T =0,569



PER-FREC-FORZADO (1GDL) Se tiene una losa rectangular, maciza, simplemente apoyada en sus cuatro bordes de concreto armado (E=230,000 kg/cm2, γconcreto = 2400kg/m3) de 20cm de espesor y de 6m de luz y 4 de ancho. Se desea calcular el periodo de vibración de la losa ante una fuerza vertical de personas saltando sobre la misma. Para representar la losa se puede suponer que está constituida por dos “vigas” de 1m de ancho. También se puede suponer que la masa asociada con la vibración es la dada por la zona central de la viga (un área rectangular de 2m x 3m de lado centrada con la losa).

a) Calcular el periodo y frecuencia natural.

SOLUCIÓN : a) Nuestro modelo será:

3V

V LEI48K = ; De la figura c:

2V1VT KKKRigidez +== ; Lv1 =600 cm , Lv2 = 400 cm

cmkg5,90714K5001142,4073

40066766x000250x48

60066766x000250x48K T33T =→+=+=

4

6

3m

2m

43

V cm6676612

20x100I ==

6m

1

1m 4m

1m0.2m

fig. a fig. b: Planta fig. d : Modelo

fig. c: Secc. viga

masa Viga



De la figura b:

21

2

mmcm

skg936,2m981

)4002x)2,0x3x2((gPm ==

−=→==

Calculando lo solicitado, tenemos que:

srad256,71

936,25,90714

mKT =ω→==ω

s088,0T256,71

22T =→π

=ωπ

=

Hz34,11f088,01

T1f =→==



FREC-NAT (1GDL)

La viga doblemente empotrada de la figura es de acero, E= 2 100 000 kg/cm2, I= 4000 cm4. La viga sola es muy flexible y para comodidad de los que transitan sobre ella se desea que tenga una frecuencia natural mayor o igual a 20 Hertz. Para reducir la vibración se puede colocar una varilla de acero al centro de la luz. Determine el diámetro de la varilla (en los valores comerciales usados en nuestro medio) necesario para cumplir con esta condición. El peso colocado al centro es de 2t.

SOLUCIÓN:

Debido a que se debe usar un diámetro comercial y φ 1”=2.54cm > 2.36

3

10 m

P Hz20fkg2000t2P

cm40000Icmkg250000E

TOTAL

4V

2

≥==

=

=

(Condición)

( ) ( ) [ ]

cm362D374x4A4DDDespejando

4DAcircularesbarralaComo

cm374A2100000

LKAAdespejando

LEAKqueYa

cmkg630581K81612432194K

emplazandocmkg81612K

10004000x2100000192

LEI192K

Como

KKKdespejandoKKKqueSabenoscmkg432194K

cmkg432194K0392x2x20m2x20K

tieneseKDespejando

Hz20m

K21

2

Hz20fcondiciónlaDecm

skg0392981

2000gPm

2

2VarillaVarilla

VarillaVarilla

VigaSola33VigaSola

VigaSolaTVarillaVarillaVigaSolaT

mínTT22

T

T

T

TOTAL

2

..:""

:

.:"":

...

:Re

.

:

:

...

:

:

.

=→==

=

=→==

=→−=

=→==

−=+=

=→≥→=≥

≥=

≥

−===

ππ

π

ππ

ππω



Entonces: φ 1”=2.54cm [Es el diámetro a usar]

PERIODO DE VIBRACIÓN Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos a los extremos y otros dos que están conformados por una columna y un muro de albañilería Los muros tienen 25cm de espesor y un módulo de elasticidad de 25 000 kg/cm2. Las columnas son de concreto armado y tienen 25cm x 40cm (E=250 000 kg/cm2). Para facilitar los cálculos se puede suponer que las vigas son de rigidez infinita y las columnas están empotradas en ambos extremos. El peso total a la altura del techo se puede considerar 96 toneladas. La altura total es de 2,4m y la losa del techo tiene 20cm de espesor.

PLANTA

X

4m

8m

4m 4mY

2m

2m

Se desea determinar el periodo de vibración en la dirección Y.

* Calculando la Rigidez Total ( KT ) :

KT = 8xKColumna + 2xKmuro

- Cálculo de KColumna = KC :

- Cálculo de KMuro = KM :

X

Y

2m

2m

Columna Viga

m42TotalAlturam200eespesor

kg96000t96P40x25C

cmkg25000E

m250tespesorcmkg25000E

Losa

2Columnas

Muros

2Muros

.:.

.

====

=

==

=

cmkg6537565K

20240133333x250000x12K

4cm13333312

40x25IcomohEI12

K

C3C

3

C3C

C

.)(

=→−

=⇒

===



COCIENTE DE RAYLEIGH

Considere un sistema de cuatro grados de libertad. Estime el período fundamental utilizando el cociente de Rayleigh.

Nivel Pesos

(t) Rigidez (t/cm)

1 50 60 2 50 60 3 50 60 4 40 50

Cálculo del período fundamental usando el Cociente de Rayleigh Nive

l Pesos

(t) Masas (t-s2/m)

Rigideces(t/m)

Fuerzas Cortantes Distorsión Desplaz. F x d M d2

4 40 4.077 5000 40000 40000 8.0000 51.3333 2053333.33 10744.592

3 50 5.097 6000 30000 70000 11.6667 43.3333 13000000.00 9570.733

2 50 5.097 6000 20000 90000 15.0000 31.6667 633333.33 5110.998

1 50 5.097 6000 10000 100000 16.6667 16.6667 166666.67 1415.789

Σ 4153333.33 26842.11

Periodo ( T ): 0.505 s

Frecuencia: 12.439 r/s

K4

K3

K2

K1

M4

M3

M2

M1

cmkg1772472K

22042x3

22042x4

25x2500

Lhx3

Lhx4

EK muro33

tMuro .

....=→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

s0930T5445469

859972T

cmskg85997

98196000

gPmcon

Km2T

cmkg5445469K1772472x26537565x8K

2

T

TT

..

.

..

...

=→=⇒

====

=→+=∴

π

π

La fórmula para el cociente de Rayleigh aplicable es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π=∑

∑

=

=

i

n

1ii

2i

n

1ii

DF

DM2T

Incluida en la Norma E-030, con la variante Pi=Mig

K4

K3

K2

K1

M4

M3

M2

M1

Problemas_RESUELTOS_-1.pdf

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