problemas y cuestiones de álgebra lineal y cálculo infinitesimal

PROBLEMAS Y CUESTIONESDE

ÁLGEBRA LINEALY

CÁLCULO INFINITESIMAL

2

(RESOLUCIÓN DE EXÁMENES DESDE 1999 HASTA 2006)

PROBLEMAS Y CUESTIONES DE

ÁLGEBRA LINEAL Y

CÁLCULO INFINITESIMAL

2

(RESOLUCIÓN DE EXÁMENES DESDE 1999 HASTA 2006)

ANTONIO PÉREZ CARRIÓ

FERNANDO GARCÍA ALONSO JOSÉ ANTONIO REYES PERALES

Profesores Titulares

de la Escuela Politécnica Superior

de la Universidad de Alicante

Título: Problemas y cuestiones de álgebra lineal y cálculo infinitesimal (exámenes)

Autores: © Antonio Pérez Carrió José Antonio Reyes Perales Fernando García Alonso

ISBN: 978-84-8454-650-4Depósito legal: A-1145-2007

Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)www.ecu.fm

Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)[email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

A nuestros padres

v

Prólogo

El objetivo de este libro es el de ser un complemento de la obra “Ampliación de Fundamentos de Matemática Aplicada”, ofreciendo una nueva colección de problemas resueltos que fueron propuestos en exámenes de distintas convocatorias, los cuales permiten profundizar en los conocimientos ya adquiridos e incluso autoevaluar destrezas. Además, las cuestiones teóricas, que también aparecen resueltas, inciden en la mejora del grado de comprensión de la teoría de los distintos temas e inducen al planteamiento de un estudio más crítico de la misma.

Por otro lado, se pretende no sólo proporcionar una guía del nivel de

conocimientos que se exige en los exámenes sino también modelos de cómo exponer y desarrollar con claridad, precisión y rigor las cuestiones teóricas y los problemas, todo esto con la comodidad que supone la recopilación de los ejercicios, tanto teóricos como prácticos, de distintas convocatorias en un solo volumen.

Dada la variedad de problemas y cuestiones teóricas que se resuelven en la

presente obra, ésta constituye una valiosa y práctica recopilación, utilizable en cualquier disciplina afín impartida en las titulaciones de Escuelas Técnicas o Facultades de Ciencias.

La estructura de capítulos ha sido desarrollada por años y no por cursos debido a que, en cada uno de estos últimos, los contenidos de los programas se utilizan en las convocatorias del año natural. Esta distribución facilita en gran manera la identificación de los modelos de exámenes y la localización de la tipología de los mismos con el fin de poder acceder rápidamente a aquellas cuestiones o problemas específicos según el año en que fueron propuestos. El libro contiene la resolución de problemas, cuestiones y test propuestos en los exámenes de la Titulación de Arquitectura Técnica de la Escuela Politécnica Superior de la Universidad de Alicante, durante los años 1999 a 2006 inclusive.

vi

Tanto en las cuestiones teóricas como en los problemas se ha marcado la separación entre la parte de álgebra y la de cálculo, respetando el orden de aparición en los exámenes, cuyos modelos aparecen con el formato original para que se opte entre la autoevaluación , el análisis o la profundización según las necesidades . Al final del libro aparece un cuadro descriptivo de las convocatorias con las respectivas modalidades de examen, valoraciones de las cuestiones y de los problemas, peso respectivo en la nota final, opciones en la entrega, y ubicación en el libro.

Finalmente, los autores quieren expresar su agradecimiento a los profesores:

Juan Francisco Navarro Llinares, Alberto Escapa García y María Salud Berbegal Rico, por su valiosa colaboración en la elaboración de los exámenes que aparecen resueltos en esta obra.

Los autores

vii

Índice Año 1999 .......................................................................................................................... 1 Convocatoria de febrero - Examen parcial (álgebra lineal y geometría).................... 3 Convocatoria de junio - Examen parcial (cálculo en varias variables) .....................21 Convocatoria de junio - Examen final.......................................................................31 Álgebra lineal y geometría ..................................................................................34 Cálculo en varias variables.................................................................................43 Convocatoria de septiembre ......................................................................................51 Álgebra lineal y geometría ..................................................................................52 Cálculo en varias variables.................................................................................57 Convocatoria de diciembre........................................................................................61 Álgebra lineal y geometría ..................................................................................62 Cálculo en varias variables.................................................................................68 Año 2000 .........................................................................................................................73 Convocatoria de febrero - Examen parcial (álgebra lineal y geometría)...................75 Convocatoria de junio - Examen parcial (cálculo en varias variables) .....................87 Convocatoria de junio - Examen final.......................................................................95 Álgebra lineal y geometría .................................................................................96 Cálculo en varias variables.............................................................................. 104 Convocatoria de septiembre ................................................................................... 109 Álgebra lineal y geometría ............................................................................... 110 Cálculo en varias variables.............................................................................. 116 Convocatoria de diciembre..................................................................................... 121 Álgebra lineal y geometría ............................................................................... 122 Cálculo en varias variables.............................................................................. 126

viii

Año 2001 ...................................................................................................................... 131 Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 133 Parte I: Álgebra lineal...................................................................................... 135 Teoría.................................................................................................... 135 Práctica ................................................................................................. 135 Parte II: Cálculo en varias variables ............................................................... 145 Teoría.................................................................................................... 145 Práctica ................................................................................................. 147 Convocatoria de junio - Examen extraordinario..................................................... 151 Parte I: Álgebra lineal...................................................................................... 152 Teoría.................................................................................................... 152 Práctica ................................................................................................. 153 Parte II: Cálculo en varias variables ............................................................... 158 Teoría.................................................................................................... 158 Práctica ................................................................................................. 159 Convocatoria de septiembre ................................................................................... 161 Teoría (cuestiones) ........................................................................................... 162 Álgebra lineal ....................................................................................... 162 Cálculo en varias variables.................................................................. 163 Práctica (problemas) ......................................................................................... 163 Álgebra lineal ....................................................................................... 163 Cálculo en varias variables.................................................................. 168 Convocatoria de diciembre..................................................................................... 171 Teoría (cuestiones) ........................................................................................... 172 Álgebra lineal ....................................................................................... 172 Cálculo en varias variables.................................................................. 172 Práctica (problemas) ......................................................................................... 174 Álgebra lineal ....................................................................................... 174 Cálculo en varias variables.................................................................. 179 Año 2002 ...................................................................................................................... 183 Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 185 Teoría (cuestiones tipo test)-Modelo de examen.............................................. 185 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 187 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 194 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 201 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 202 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 207 Convocatoria de septiembre .................................................................................. 211 Teoría (cuestiones tipo test)-Modelo de examen.............................................. 211 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 213 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 221 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 229 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 230 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 235

ix

Convocatoria de diciembre .................................................................................... 239 Teoría (cuestiones tipo test)-Modelo de examen.............................................. 239 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 241 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 245 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 251 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 252 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 235 Año 2003 ...................................................................................................................... 259 Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 261 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 261 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 262 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 263 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 269 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 270 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 278 Convocatoria de junio - Examen extraordinario..................................................... 283 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 283 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 284 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 287 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 293 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 294 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 300 Convocatoria de septiembre ................................................................................... 305 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 305 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 306 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 309 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 313 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 314 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 319 Convocatoria de diciembre..................................................................................... 325 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 325 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 326 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 328 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 333 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 334 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 342 Año 2004 ...................................................................................................................... 347 Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 349 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 349 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 350 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 353

x

Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 359 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 360 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 365 Convocatoria de junio - Examen extraordinario..................................................... 371 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 371 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 372 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 375 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 381 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 382 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 388 Convocatoria de septiembre ................................................................................... 393 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 393 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 394 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 396 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 401 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 402 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 406 Convocatoria de diciembre..................................................................................... 411 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 411 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 412 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 415 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 421 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 422 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 430 Año 2005 ...................................................................................................................... 433 Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 435 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 435 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 436 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 439 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 445 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 446 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 454 Convocatoria de septiembre ................................................................................... 457 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 457 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 458 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 467 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 467 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 468 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 475 Convocatoria de diciembre..................................................................................... 479 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 479 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 480 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 482 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 485 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 486 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 493

xi

Año 2006 ...................................................................................................................... 497 Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 499 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 499 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 500 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 502 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 509 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 510 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 515 Convocatoria de septiembre ................................................................................... 519 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 519 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 520 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 524 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 531 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 532 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 539 Convocatoria de diciembre..................................................................................... 543 Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 543 Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 544 Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 547 Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 553 Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 554 Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 559 Bibliografía.................................................................................................................. 563 Cuadro de información .............................................................................................. 565

Año 1999

Convocatoria de febrero -Examen parcial

3

AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA LAS

CONSTRUCCIONES ARQUITECTÓNICAS ARQUITECTURA TÉCNICA

PRIMER EXAMEN PARCIAL (01 – 02 – 1999) 1.- Sean las matrices:

1 1 35 2 62 1 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

y B A I= + .

a) Halle ,nB n∈ . b) Calcule 1B− utilizando el método que considere oportuno.

2.- Discuta la regularidad de la matriz 1 1

1 2 11 1 0

xM x

x

⎛ − ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

según los valores reales de x.

3.- En el espacio vectorial ( )3R R se consideran los siguientes conjuntos:

( ) ( )31 , ,U x y z= ∈R R{ }0x y z+ + = y ( ) ( )3

2 , 2 ,3U t t t= ∈R R{ }t∈R

Se pide que:

a) Pruebe que son subespacios vectoriales de ( )3R R . b) Halle una base de 1 2U U+ y de 1 2U U∩ c) Obtenga unas ecuaciones implícitas de 1 2U U+ y de 1 2U U∩ . d) ¿Cualquier vector de ( )3R R se puede expresar de forma única como suma

de un vector de 1U y otro de 2U ?

4.- Estudie, según los valores reales de m, la posición relativa de los planos:

( )1 2 32 1 ; 2;x y mz m x my z m mx y z mπ π π≡ + + = − + ≡ + + = + ≡ + + =

Si para algún valor de m, la intersección de los tres planos es una recta, halle la ecuación de ésta en forma continua.

Año 1999

4

5.- En el espacio vectorial ( )3R R definimos el producto:

( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3, , , , 4 2 2 2 2x x x y y y x y x y x y x y x y x y x x= − − + + + + Se pide que:

a) Compruebe que se trata de un producto escalar. b) Obtenga la matriz de Gram respecto de la base ( ) ( ) ( ){ }1,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1B = . c) Halle una base ortonormal a partir de la base anterior. d) Calcule la proyección ortogonal del vector ( )1,3, 2− sobre el subespacio

( ) ( )1,1,0 , 2,1,3H = ⟨ − ⟩ 6.- Resuelva los siguientes apartados:

a) Dado el plano 4 3 2 0x y zπ ≡ − + + = , halle la recta de máxima pendiente, respecto del plano XOY, que pasa por el punto P, punto de corte de π con la recta r, siendo:

00

xr

y=⎧

≡ ⎨ =⎩

b) Determine la ecuación del plano que pasa por la recta r anterior y que dista

una unidad del punto ( )3, 2,1Q . c) Si el plano π contiene 4 vértices de un cubo de forma que éstos no

pertenezcan a una misma cara y el punto Q es otro de los vértices, calcule el volumen del cubo y el vértice 'Q , opuesto a Q, que se halla en la misma cara pero en distinto semiespacio que Q respecto al plano π .

NOTA: El/la alumno/a deberá resolver 5 de los 6 ejercicios. Cada ejercicio se efectuará en un folio o grupo de folios, sin mezclar dos ejercicios en un mismo folio. El D.N.I. del/la alumno/a estará sobre la mesa en un lugar visible. Los folios se acumularán unos encima de otros conforme se vayan utilizando, de manera que no se queden dispersos por la mesa.


5

1. Sea ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 3A = 5 2 6

-2 -1 -3 y B = A+I. Halla ∈nB n . Calcula -1B , utilizando el

método que consideres oportuno. SOLUCIÓN: Empezaremos estudiando las potencias de A:

2

1 1 3 1 1 3 0 0 05 2 6 5 2 6 3 3 92 1 3 2 1 3 1 1 3

A A A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

0 0 0 1 1 3 0 0 03 3 9 5 2 6 0 0 01 1 3 2 1 3 0 0 0

A A A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Luego la matriz A es nilpotente de orden 3 A continuación calculamos las potencias de B mediante el desarrollo del binomio de Newton, es decir:

( ) 1 2 2 2( 1)0 1 2 2

nn n n nn n n n nB A I I I A I A I nA A− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −= + = + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

pues (matriz nula) para 3kA O k= ≥ . Y sustituyendo las distintas potencias resulta:

2 2 2

2 2 2

1 33 7 3 2 3 9

2 2 23 3 3 2

2 2 2

n

n n nn n n n n nB

n n n n n n

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟

+ + + +⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟

+ + + −⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Para hallar la matriz inversa de la matriz regular B, se puede proceder de varias formas:

a) Mediante la expresión conocida :

( )1 1 ( ) tB Adj AB

− =

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b) A través de operaciones elementales sobre las filas de B c) Usando la nilpotencia de A.

Utilizaremos el último método: Puesto que A B I= − y 3A O= resulta que ( )3B I O− = con lo que si desarrollamos dicha potencia obtenemos la siguiente expresión:

3 23 3B B B I O− + − = Se pasa la matriz identidad al segundo miembro de la igualdad y descomponemos en factores el primer miembro:

( )2 3 3B B B I I− + = De donde claramente se llega a que:

1 2 2 23 3 2 (3 3 ) 3B B B I A A I A I I A A I− = − + = + + − + + = − +

1 2

0 0 0 1 1 3 1 0 0 0 1 33 3 9 5 2 6 0 1 0 2 2 31 1 3 2 1 3 0 0 1 1 0 1

B A A I−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + = − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≈≈≈≈≈≈≈

2. Discute la regularidad de la matriz M según los valores reales de x, siendo :

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x 1 -1M = x - 1 2 1

x + 1 -1 0

SOLUCIÓN: Dado que M es regular si su determinante es distinto de cero, debemos estudiar las soluciones de la ecuación det(M) = 0 .

1 11 2 1 0 3 1 1 01 1 0

xx x x xx

−− = → + + − + =+ −

(1)


7

Dado que si 0 si 0

x xx

x x≥⎧

= ⎨− <⎩ resulta que la ecuación 1 se transforma según el intervalo

en que sea estudiada, con lo que:

Si 21 3( 1) ( 1) ( ) 0 5 2 05

x x x x x x< − → − − + − + + − = → − − = → = − (absurdo)

Si 1 0 3( 1) ( 1) ( ) 0 4 0 4x x x x x x− ≤ < → + + − + + − = → + = → = − (absurdo)

Si 40 1 3( 1) ( 1) ( ) 0 3 4 03

x x x x x x≤ < → + + − + + = → + = → = − (absurdo)

Si 20 1 3( 1) ( 1) ( ) 0 5 2 05

x x x x x x≤ < → + + − + = → + = → = − (absurdo)

Por lo tanto la matriz M es regular para todo valor real de x ya que ningún valor real es solución de la ecuación 1. Nota: Si estudiamos la función asociada al primer miembro de la ecuación 1:

⎧⎪ ≤⎪⎨ ≤⎪⎪ ≤⎩

-5x - 2 x < -1x + 4 - 1 x < 0

f(x) = 3 x + 1 + x - 1 + x =3x + 4 0 x < 15x + 2 1 x

Y la representamos gráficamente

Observamos que no corta al eje de abscisas lo que corrobora el análisis realizado.

≈≈≈≈≈≈≈

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3. En el espacio vectorial ( )3 , se consideran los siguientes conjuntos:

( )

( )

∈

∈ ∈ .

R R

R R R

31

32

U = {(x, y,z) : x + y + z = 0} ,U = {(t,2t,3t) :t }

Se pide:

a) Pruebe que son subespacios vectoriales de ( )3 . b) Halle una base de +1 2U U y de ∩1 2U U . c) Obtenga las ecuaciones implícitas de los s.e.v. del apartado anterior.. d) ¿Cualquier vector de ( )3 puede expresarse de forma única como suma de

un vector de 1U y otro de 2U ? SOLUCIÓN: a) Vamos a utilizar el teorema de caracterización de subespacios vectoriales, es decir dado el espacio vectorial U sobre el cuerpo k y H un subconjunto de éste , con

H U∅ ≠ ⊆ , resulta que:

H es subespacio vectorial de U ⇔ u v H u v Hλ µ λ µ∀ , ∈ , ∀ , ∈ : ⋅ + ⋅ ∈k que se puede expresar de la siguiente forma:

H es subespacio vectorial de U ⇔

u v H u v H

u H u Hλ λ

⎧∀ , ∈ : + ∈⎪⎨∀ ∈ , ∀ ∈ : ⋅ ∈⎪⎩ k

Pasemos pues a estudiar los distintos casos:

{ } 31 ( , , ) / 0 ( )U x y z x y z= + + = ⊆ , además 1U ≠ ∅ pues 1(0,0,0) U∈

Sean 1 1 1( , , )u x y z y 2 2 2( , , )v x y z elementos de 1U 1 1 1

2 2 2

0(1)

0x y zx y z+ + =⎧ ⎫

⇒ ⎨ ⎬+ + =⎩ ⎭

i) Veamos que u v+ ∈ 1U

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 (1)

( , , ) ( , , ) ( , , );( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0u v x y z x y z x x y y z zx x y y z z x y z x y z+ = + = + + ++ + + + + = + + + + + = + =

por lo que:

1u v U+ ∈


9

ii) Comprobemos que uλ ⋅ ∈ 1U con λ ∈ En efecto,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1)( , , ) ( , , ) ( ) 0 0u x y z x y z x y z x y z u Uλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ⋅ = ⋅ = → + + = + + = = → ⋅ ∈

Luego 1U sí es subespacio vectorial de 3( ) . El conjunto 2U es claramente:

( ){ } ( ){ } ( ), 2 ,3 / 1,2,3 / 1,2,3t t t t t t∈ = ∈ =R R Que es el conjunto de todas las combinaciones lineales del vector (1,2,3), es decir, un subespacio vectorial de 3( ) . b) Para determinar los subespacios suma e intersección, previamente, hallaremos los sistemas mínimos generadores de éstos por separado.

{ } { } { }1 ( , , ) / 0 ( , , ) / ( , , ) / ,U x y z x y z x y z x y z y z y z y z= + + = = = − − = − − ∈R

{ }1 ( 1,1,0) ( 1,0,1) / , ( 1,1,0), ( 1,0,1)U y z y z= − + − ∈ = − −R Y

( )2 1, 2,3U = como hemos visto en el anterior apartado. Una base de 1U es { }1 ( 1,1,0), ( 1,0,1)B = − − y una base de 2U es ( ){ }2 1, 2,3B = Para determinar el subespacio suma 1 2U U+ basta hallar un sistema mínimo de generadores a partir del sistema { }1 2 ( 1,1,0), ( 1,0,1), (1, 2,3)B B∪ = − − . Puesto que es libre coincide con el sistema mínimo buscado y es base de 1 2U U+ , por lo que

( )31 2U U+ = R R

Además, dado que ( ) { }31 2

0( , , ) / 2 0 (0,0,0)

3 0

x y zU U x y z y x

z x

+ + =⎧ ⎫⎪ ⎪∩ = ∈ − = =⎨ ⎬⎪ ⎪− =⎩ ⎭

R R , la inter-

sección de 1U y 2U no tiene base. c) Como consecuencia de los resultados precedentes 1 2U U+ no tiene ecuaciones implícitas mientras que las ecuaciones implícitas de 1 2U U∩ son:

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10

0000

xyzt

====

Es claro, por tanto, que 1U y 2U son subespacios suplementarios respecto de 3( ) .

d) Puesto que 1U y 2U son subespacios suplementarios ( )31 2 ( )U U⊕ = cada vector

de 1 2U U⊕ , es decir, cada vector de 3 ( ) se puede expresar de forma única (véase la definición de suma directa) como suma de vectores de los subespacios sumandos. Lo que responde a este último apartado.

≈≈≈≈≈≈≈

4. Estudie la posición relativa de los planos:

≡ ≡ ≡1 2 3π x + y + mz = -2(m+ 1);π x + my + z = m+ 2;π mx + y + z = m según los valores reales del parámetro m. Si, para algún valor de m, la intersección de los tres planos es una recta, halle la ecuación de ésta en forma continua. SOLUCIÓN: Estudiaremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y sus soluciones según los valores de m . Procederemos mediante el método de Gauss:

2 2

2 2

1 1 2( 1) 1 1 2( 1)1 1 2 0 1 1 3 4

1 1 0 1 1 2 3

1 1 2( 1)0 1 1 3 40 0 2 2 6 4

m m m mm m m m m

m m m m m m

m mm m m

m m m m

⎛ − + ⎞ ⎛ − + ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ − + ⎞⎜ ⎟− − +⎜ ⎟⎜ ⎟− − + +⎝ ⎠

∼ ∼

∼

Puesto que 22 (1 )( 2)m m m m− − = − + estudiamos los siguientes casos: Caso 1: 1m = La ecuación 3ª en el sistema de Gauss (el último equivalente al primero) se convierte en 0 12= , lo que resulta absurdo, por lo que el sistema es incompatible y los tres planos no tienen ningún punto en común, tratándose de tres planos paralelos:


11

1

2

3

431

x y zx y zx y z

πππ

≡ + + = −≡ + + =≡ + + =

Caso 2: 1m ≠

Caso 2.1: 2m = − → La ecuación 3ª es redundante ( 0 0= ), y no se produce ninguna incompatibilidad en la 1ª y 2ª, con lo que estamos ante un sistema compatible indeterminado simple. De esta forma los tres planos tienen infinitos puntos en común contenidos en una recta. El sistema equivalente obtenido es el siguiente:

3 4 3

2 2 3 3 6 6 3 4 33 2 3

3 3 2 0 3 2 3 3 2 33 0 3

x zx y z x y z x z

y zy z x y z y z

z z

= +⎧ ⎫+ − = + = + = +⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪≡ ≡ ≡ = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬− + = − + = + = +⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪= +⎩ ⎭

Tomando z como parámetro. Una ecuación de la recta, en forma continua, puede ser la siguiente:

4 203 3

1 1 1

x y z− − −= =

Caso 2.2: 2m ≠ − → Este caso nos permite obtener tres ecuaciones

independientes con tres incógnitas, o sea , un sistema compatible determinado cuya única solución es el vértice del triedro que forman los tres planos para cada valor de

1m ≠ y 2m ≠ − Nota: En otro ejercicio de características similares se utilizará el teorema de Rouché.

≈≈≈≈≈≈≈

5. En el espacio vectorial 3 ( ) definimos el siguiente producto:

( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3x ,x ,x y , y , y = 4x y - 2x y - 2x y + 2x y + x y + x y + 2x y a) Compruebe que se trata de un producto escalar. b) Obtenga la matriz de Gram respecto de la base { }B = (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) . c) Halle una base ortonormal a partir de B. d) Calcule la proyección ortogonal del vector (-1,3,2) sobre el SEV

H = (-1,1,0),(2,1,3) .

Año 1999

12

SOLUCIÓN: a) Si queremos probar este apartado en los mismos términos que en la definición de producto escalar que aparece en la bibliografía de los autores, consideramos la expresión del producto anterior mediante la aplicación:

3 3:ϕ × →R R R Tal que: ( )1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3( , , ), ( , , ) 4 2 2 2 2x x x y y y x y x y x y x y x y x y x yϕ = − − + + + +

Para determinar si la aplicación ϕ es un producto escalar debemos comprobar si se cumple 3, ( ) ,u v w y α β∀ , ∈ ∀ ∈ que:

1. ϕ es simétrica ( ( ) ( )u v v uϕ ϕ, = , )3( )u v∀ , ∈

2. ϕ es bilineal ( )( ) ( ) ( ),u v w u w v wϕ α β αϕ βϕ+ = , + ,

3. ϕ es definida positiva ( ( ) 0u uϕ , > )0u∀ ≠

a) Veamos pues si se verifican las condiciones anteriores 3, ( ) ,u v w y α β∀ , ∈ ∀ ∈ Simetría:

( )1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3( ) ( , , ), ( , , ) 4 2 2 2 2u v x x x y y y x y x y x y x y x y x y x yϕ ϕ, = = − − + + + + =

( ) ( )1 1 3 1 1 3 2 2 3 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 34 2 2 2 2 ( )y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x v uϕ ϕ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= − − + + + + = , , , , , = , Bilinealidad:

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3

( ),u v w x x x y y y z z z

x y x y x y z z z

ϕ α β ϕ α β

ϕ α β α β α β

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

+ = , , + , , , , , =

= + , + , + , , , =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 3 3 3 1

2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3

4 2 2

2 2

x y z x y z x y z

x y z x y z x y z x y z

α β α β α β

α β α β α β α β

= + − + − + +

+ + + + + + + + =

1 1 1 1 1 3 1 3 3 1 3 1

2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3

4 4 2 2 2 22 2 2 2

x z y z x z y z x z y zx z y z x z y z x z y z x z y zα β α β α βα β α β α β α β

= + − − − − ++ + + + + + + + =

1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3

1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3

4 2 2 2 24 2 2 2 2

x z x z x z x z x z x z x zy z y z y z y z y z y z y z

α α α α α α αβ β β β β β β

= − − + + + + ++ − − + + + + =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( )x x x z z z y y y z z z u w v wαϕ βϕ αϕ βϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= , , , , , + , , , , , = , + ,


13

Definida positiva: Para probar esta condición se utilizan habitualmente dos pasos. 1º Dado un vector 3( ) u∈ se prueba que ( ) 0u uϕ , ≥ ( es decir , que ϕ es no negativa)

( )1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3( ) ( , , ), ( , , ) 4 2 2 2 2u u x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xϕ ϕ, = = − − + + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 3 2 3 1 3 2 31 2 3 1 3 2 2 34 4 2 2 2 4 24x x x x x x x xx x x x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + + + = − + + + + + =

( ) ( ) ( )2 2 21 3 2 2 3 02x x x x x= + + ≥− + (por ser suma de cuadrados)

2º ( ) 0 0u u uϕ , = ⇐⇒ =

( )⇐ Resulta evidente

( )⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3

1 3

2 1 2 3

2 3

( ) 0 0 02

2 00 (0 0 0)

0

u u x x x x x x x x x x x

x xx x x xx x

ϕ ϕ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, = → , , , , , = → + + = →− +

− =⎧ ⎫⎪ ⎪= → , , = , ,⎨ ⎬⎪ ⎪+ =⎩ ⎭

De 1º y 2º se sigue que ( ) 0 0u u uϕ , > , ∀ ≠ Luego ϕ es un producto escalar y en consecuencia el producto definido dota al espacio vectorial 3 ( ) de estructura de espacio vectorial euclídeo. b) En general en un espacio vectorial euclídeo ( )( ),n si calculamos el elemento

) )

(0,...,1,...0) (0,..., 1,...0)i j

ijg = , de la matriz de Gram en la base canónica, coincidirá con el coeficiente del término i jx y . Por lo tanto la matriz de Gram de dicho producto escalar respecto de dicha base está formada por los respectivos coeficientes de los términos que lo definen. Puesto que ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 34 2 2 2 2x x x y y y x y x y x y x y x y x y x y, , , , = − − + + + + , los ijg son los coeficientes de los términos i jx y , por lo que

4 0 20 2 12 1 2

CG−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Lógicamente dado que los términos 2 1x y y 1 2x y no aparecen en la expresión del producto escalar , sus coeficientes son nulos. Para hallar la matriz de Gram en otra base distinta a la hallada anteriormente podemos proceder de dos formas:

Año 1999

14

Forma 1: Usando la definición del producto escalar La nueva base es { }1 2 3 (1 0 0) (1 1 0) (1 1 1)B u u u⎧ ⎫⎪ ⎪

⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

= , , = , , , , , , , , , entonces:

11 1 1

12 1 2

13 1 3

22 2 2

23 2 3

(1 0 0) (1 0 0) 4 0 0 0 0 0 0 4

(1 0 0) (1 1 0) 4 0 0 0 0 0 0 4

(1 0 0) (1 1 1) 4 2 0 0 0 0 0 2

(1 1 0) (1 1 0) 4 0 0 2 0 0 0 6

b u u

b u u

b u u

b u u

b u u

= = , , , , = − − + + + + =

= = , , , , = − − + + + + =

= = , , , , = − − + + + + =

= = , , , , = − − + + + + =

= =

33 3 3

4 4 24 6 52 5 6

(1 1 0) (1 1 1) 4 2 0 2 1 0 0 5

(1 1 1) (1 1 1) 4 2 2 2 1 1 2 6

BG

b u u

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎜ ⎟→ =⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪, , , , = − − + + + + =⎪ ⎪⎪ ⎪= = , , , , = − − + + + + =⎩ ⎭

Forma 2: Mediante la congruencia de matrices de Gram de un mismo p.e. respecto de distintas bases. Si P es la matriz de cambio de base de B a la canónica C , entonces : = t

B CG P G P Resulta claro que

1 1 1 1 0 0 4 0 2 1 1 1 1 0 0 4 4 20 1 1 1 1 0 0 2 1 0 1 1 1 1 0 0 2 30 0 1 1 1 1 2 1 2 0 0 1 1 1 1 2 1 1

BP G−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= → = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

4 4 24 6 52 5 6

BG⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Usaremos el método de Gram-Schmidt a partir de la base B por el procedimiento de los ijg (en este caso los ijb )

1 1 (1,0,0)t u= =

2 2 1t u uλ= + 12 11 0 4 4 0 1b bλ λ λ→ + = → + = → = −

( )2 2 1( 1) (1,1,0) (1,0,0) 0 1 0t u u= + − = − = , , Luego ( )2 0 1 0t = , ,


15

3 3 2 1t u u uα β= + + 13 12 11

23 22 12

0 2 4 4 00 5 6 4 0

b b bb b b

α β α βα β α β

+ + = + + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫→ → →⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + = + + =⎩ ⎭⎩ ⎭

3 12

α β⎧ ⎫= − , =⎨ ⎬⎩ ⎭

( )3 3 2 13 3 1 1 21 (1 1 1) (1,1,0) (1,0,0)2 2 2 2 2

t u u u⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + = , , − + = ,− ,⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

31 1 22 2 2

t ⎛ ⎞= ,− ,⎜ ⎟⎝ ⎠

La base 1 2 3t t t⎧ ⎫⎪ ⎪

⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭, , es ortogonal. Para poder trabajar con más comodidad en la

normalización de los vectores podemos buscar otra base cuyos vectores sean proporcionales a los de 1 2 3t t t⎧ ⎫⎪ ⎪

⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭, , y cuyas coordenadas sean enteras. Sea pues la

siguiente base ortogonal de coordenadas enteras: { }1 2 3' ' ' (1,0,0) (0,1,0) (1, 1,2)t t t⎧ ⎫⎪ ⎪

⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

, , = , , −

Normalización:

1 1 1 1 1 1 1 11' ' ' 4 2t t t t t u u b= = = = = =

ahora podemos usar el hecho de que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 2 32x x x x x x x x x x x, , , , = + +− +

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2' ' ' (0 1 0) (0 1 0) 0 1 1 2t t t= = , , , , = + + =

( ) ( ) ( )2 2 23 3 3' ' ' (1, 1, 2) (1, 1, 2) 0 1 1 2t t t= = − − = + − + =

Finalmente la base ortonormal obtenida, siendo ''i

ii

twt

= con 1 2 3= , ,i , es la

siguiente:

1 2 31 1 1(1,0,0) (0,1,0) (1, 1,2)2 2 2

w w w⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫, , = , , −⎨ ⎬⎩ ⎭

d) Para obtener la proyección ortogonal del vector ( 1,3,2)u − sobre el SEV

( 1 1 0) (2,1,3)H = − , , , se puede proceder de la siguiente forma (véase la nota 2, al final del ejercicio): Puesto que 3 ( ) H H ⊥= ⊕ , el vector 3( )u∈ puede descomponerse de forma única como suma de un vector de H más otro de ⊥H , es decir,

Año 1999

16

H H

u u u ⊥= + lo que nos lleva a :

( 1,3,2) ( 1 1 0) (2,1,3)H

u uα β ⊥− = − , , + + donde ( 1 1 0) (2,1,3)α β− , , + es la proyección ortogonal de u sobre el subespacio vectorial H ( 1,3,2) ( 1 1 0) ( 1 1 0) ( 1 1 0) (2,1,3) ( 1 1 0) ( 1 1 0)

Huα β ⊥− − , , = − , , − , , + − , , + − , ,

( 1,3,2) (2,1,3) ( 1 1 0) (2,1,3) (2,1,3) (2,1,3) (2,1,3)H

uα β ⊥− = − , , + + Los últimos términos son nulos pues son producto de un vector por un ortogonal a él.

( ) ( )4 0 2 1 4

( 1,3, 2) ( 1 1 0) 1 3 2 0 2 1 1 1 3 2 2 162 1 2 0 3

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − , , = − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )4 0 2 1 4

( 1 1 0) ( 1 1 0) 1 1 0 0 2 1 1 1 1 0 2 62 1 2 0 3

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− , , − , , = − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )4 0 2 1 4

(2,1,3) ( 1 1 0) 2 1 3 0 2 1 1 2 1 3 2 32 1 2 0 3

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− , , = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )4 0 2 2 2

( 1,3, 2) (2,1,3) 1 3 2 0 2 1 1 1 3 2 5 192 1 2 3 3

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )4 0 2 2 2

(2,1,3) (2,1,3) 2 1 3 0 2 1 1 2 1 3 5 182 1 2 3 3

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y sustituyendo en las dos ecuaciones anteriores:

16 6 319 3 18

α βα β

= +⎧ ⎫→⎨ ⎬= +⎩ ⎭

7 23 3

α β⎧ ⎫= , =⎨ ⎬⎩ ⎭

luego el vector buscado es:

( )7 2( 1 1 0) (2,1,3) 1 3 23 3− , , + = − , ,


17

Nota 1: Podemos observar que la proyección ortogonal coincide con el vector que queríamos proyectar. Esto es debido, lógicamente, a que dicho vector pertenece al subespacio vectorial H. Nota 2: La resolución de este ejercicio se puede realizar por distintos métodos, por lo que en los sucesivos ejercicios de otros exámenes utilizaremos otros métodos con el fin de explorar todas las modalidades y enriquecer de esta forma la capacidad de procedimiento del/la alumno/a.

≈≈≈≈≈≈≈ 6. Resuelva los siguientes apartados:

a) Dado el plano π : 4x - 3y + z + 2 = 0 , halle la recta de máxima pendiente de éste respecto del plano XOY que pasa por P, punto de corte de π con la recta r, siendo:

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

z = 0r :x = y

b) Determine la ecuación del plano que pasa por la recta r, anterior y que dista una

unidad del punto Q(3,2,1). c) Si el plano π contiene cuatro vértices de un cubo de forma que éstos no

pertenezcan a una misma cara y el punto Q es otro de los vértices, calcule el volumen del cubo y el vértice Q’, opuesto a Q, que se halla en la misma cara pero en distinto semiespacio que Q respecto al plano π .

SOLUCIÓN:

Año 1999

18

a) En primer lugar hallamos el punto P

4 3 2 0 2 00 0 ( 2, 2,0)

x y z xP r z z P

x y x yπ

− + + = + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ∩ ≡ = ≡ = → − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Para determinar la recta de máxima pendiente según las condiciones del ejercicio seguiremos el siguiente proceso: 1º) Llamamos α al plano 0z = y hallamos la recta s π α= ∩

4 3 2 0 4 2 6 3 60 0

4( 2) 3( 2) 2 20 3 4 0

x y z x ys

z z

x y x y zz

π α− + + = + + = +⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= ∩ = ≡ ≡⎨ ⎬ ⎨ ⎬= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭+ = +⎧ ⎫ + +

≡ ≡ = =⎨ ⎬=⎩ ⎭

Nota 1: En realidad sólo nos interesa la dirección de la recta s , con lo que podríamos haber simplificado calculando ( ) ( )4,-3,1 × (0,0,1) = 3,4,0 2º) Obtenemos ahora un plano auxiliar β que es perpendicular a s y pasa por .P

3 4 0 0x y z Dβ ≡ + + + =

como pasa por P ( )3 ( 2) 4 2 0 0 0 14D D→ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ + = → = → 3 4 14 0x yβ ≡ + + = 3º) La recta, t , de máxima pendiente de π respecto al plano α , que pasa por el punto P , es la intersección de los planos π y β

4 3 2 0 2 23 4 14 0 4 3 25x y z x y ztx y

π β− + + =⎧ ⎫ + +

≡ ∩ ≡ ≡ = =⎨ ⎬+ + = −⎩ ⎭

NOTA 2: Otra forma de obtener la forma continua de la recta es forzando un punto de β por ejemplo (2,-5,z) y obtener z mediante π → z = -25 y buscar la dirección mediante el producto vectorial de los vectores característicos de π y ( ) ( )β → 4,-3,1 × 3,4,0 ( )= -4,3,25

b) Dada la recta 0

01 1 0x yx y zrz− =⎧ ⎫

≡ = = ≡ ⎨ ⎬=⎩ ⎭ consideramos el haz de planos

concurrentes, es decir,

( ) 0x y zγ λ≡ − + =


19

De todos los planos del haz buscamos aquel cuya distancia al punto Q sea una unidad, o sea,

2 2 2

3 2( , ) 1

1 1d Q

λγ

λ

− += =

+ +

Y entonces ( )2

2

1 112 2λ

λλ+

= → =+

con lo que 1( ) 0 2 2 02

x y z x y zγ ≡ − + = ≡ − + =

c) c.1) Volumen del cubo Sea a la longitud de la arista del cubo. Por lo tanto la diagonal de una de sus caras mide 2a

Dada la posición del plano π respecto del cubo, la del punto Q respecto de π y del cubo, resulta que:

2( , ) 2 ( , )2

ad Q a d Qπ π= → =

Entonces, como:

2 2 2

4 3 3 2 1 1 2 9 9( , )26 134 ( 3) 1

d Q aπ⋅ − ⋅ + ⋅ +

= = → =+ − +

el volumen es :

339

13 13V u=

Año 1999

20

c.2) Cálculo del punto Q’ El punto Q’ es el simétrico de Q respecto de π , así que para su obtención seguiremos los pasos relativos a los problemas de este tipo. 1º) Hallamos la ecuación de la recta r’ perpendicular a π que pasa por Q:

3 43 2 1' 2 3

4 3 11

xx y zr y

z

λλ

λ

= +⎧ ⎫− − − ⎪ ⎪≡ = = ≡ = −⎨ ⎬− ⎪ ⎪= +⎩ ⎭

2º) Calculamos el punto medio, M, del segmento 'QQ , siendo 'M rπ= ∩ Sustituyendo las coordenadas genéricas de un punto de la recta r’ en π , obtenemos el valor del parámetro que determina el punto M:

9 42 79 174(3 4 ) 3(2 3 ) 1(1 ) 2 0 26 9 0 , ,26 26 26 26

Mλ λ λ λ λ ⎛ ⎞+ − − + + + = → + = → = − → ⎜ ⎟⎝ ⎠

3º) Obtención del punto Q’ a partir de la relación ( )1 '2

OM OQ OQ= +

Sea ( )1 2 3' , ,Q q q q′ ′ ′ , entonces:

( ) ( )( ) ( )1 2 3 1 2 342 79 17 1 3 53 4, , 3,2,1 , , ' , , , ,26 26 26 2 13 13 13

q q q Q q q q⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′= + → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≈≈≈≈≈≈≈

Convocatoria de junio - Examen parcial

21

2º EXAMEN PARCIAL

AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ( A.T. ) ( 08 - 06 - 1999 )

1. Sea f(x,y) =x

x y

4

2 2+≠

⎧⎨⎪

⎩⎪

(x, y) 0,0)

0 (x, y) = (0,0)

( . Estudie :

a) La continuidad de la función . b) ¿ Se verifica que fxy (0,0) = fyx (0,0) ?

2. Dada la función f(x,y) = ln (3x+4y) , halle ∂

∂ ∂

x y

n

n-k

fk

3. Usando el cálculo diferencial, calcule de forma aproximada el valor de la expresión :

( ) ( )3 32,01 1,01+e

tomando 20’09 como valor de e3 4. Integre la ecuación diferencial (2xy2 - 3y3) dx + (7 - 3xy2) dy = 0 5. Dada la familia uniparamétrica de curvas y2 = 2x2(1- a x) .

a) Obtenga la ecuación diferencial asociada a dicha familia. b) Halle la familia de trayectorias ortogonales a la mencionada familia de

curvas. 6. Resuelva la Ec. Diferencial Lineal Completa de 3er orden: 8 cosxy y e x′′′ − = Notas :

CADA EJERCICIO se resuelve en UN FOLIO O GRUPO DE FOLIOS. Los ejercicios 1, 2 y 3 son OBLIGATORIOS y de los 3 restantes se ELIGEN DOS.

NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORAS DE NINGÚN TIPO. Cualquier verificación o sospecha de copia emplazará directamente a los alumnos/as implicados a la convocatoria de septiembre.

Cada alumna/o situará su D.N.I u otro documento identificativo (carnet de conducción) en el ángulo superior derecho de su espacio en la mesa.

Cada ejercicio será puntuado sobre 2 puntos. Las notas provisionales saldrán el miércoles 9 de junio por la tarde y la revisión se efectuará entre jueves,10 de junio, por la tarde y viernes, 11 de junio, por la mañana según las indicaciones que aparecerán hoy , después del examen , en el tablón de anuncios.

Año 1999

22

1. Sea ≠

⎧⎪⎨⎪⎩

4

2 2x si (x, y) (0,0)

f(x, y) = x + y0 si (x, y) = (0,0)

.

Estudie: a) La continuidad de la función b) ¿Se verifica que fxy(0,0) = fyx(0,0)? SOLUCIÓN: a) Como 2 2 0 0x y x y+ = ⇒ = = , el único punto de posible discontinuidad del campo escalar, es el origen de coordenadas. Para estudiar la continuidad del campo en el origen veamos que:

4

2 2( , ) (0,0)lim (0,0) 0

x y

x fx y→

= =+

Pasando a coordenadas polares cossin

xy

ρ θρ θ

=⎧⎨ =⎩

se tiene:

( )4 4

2 42 2 2 2

coscos , sin coscos sin

f ρ θρ θ ρ θ ρ θρ θ ρ θ

= =+

y como ( ) 2 4 2

0, cos 0f

ρρ θ ρ θ ρ

→= ≤ → , el campo escalar es continuo en el origen.

b) Veamos las derivadas parciales en el origen.

4

2

0 0 0

( ,0) (0,0)(0,0) lim lim lim 0x h h h

hf h f hf h

h h→ → →

−= = = =

0 0 0

(0, ) (0,0) 0(0,0) lim lim lim 0 0y h h h

f h ffh h→ → →

−= = = =

Si ( ) ( ), 0,0x y ≠ entonces:

( )( ) ( )

3 2 2 4 5 3 2

2 22 2 2 2

4 2 2 4( , )x

x x y xx x x yf x yx y x y

+ − += =

+ + ;

( )4

22 2

2( , )yx yf x y

x y= −

+

luego:

( )( ) ( )

( ) ( )

5 3 2

22 2

2 4 si , 0,0( , )

0 si , 0,0x

x x y x yx yf x y

x y

⎧ +≠⎪⎪ += ⎨

⎪=⎪⎩

; ( )( ) ( )

( ) ( )

4

22 2

2 si , 0,0( , )

0 si , 0,0y

x y x yx yf x y

x y

⎧− ≠⎪⎪ += ⎨⎪

=⎪⎩

Como:


23

( )2

0 0

(0, ) (0,0) 0(0,0) (0,0) (0,0) lim lim 0x xxy x h h

f h fff fy x y h h→ →

−∂ ∂= = = = =∂ ∂ ∂

( )2

0 0

( ,0) (0,0) 0(0,0) (0,0) (0,0) lim lim 0y yyx y h h

f h fff fx y x h h→ →

−∂ ∂= = = = =∂ ∂ ∂

Se verifica la igualdad (0,0) (0,0)xy yxf f=

≈≈≈≈≈≈≈

2. Dada la función f(x,y)=ln(3x+4y) con x, y > 0, halle ∂∂ ∂

n

k n-kf(x,y)

x y

SOLUCIÓN: Si ( , ) ln(3 4 )f x y x y= + , se tiene:

11 0!3 33 4 3 4

fx x y x y∂

= ⋅ = ⋅∂ + +

( )( )( )

122

2 22

1 1!13 3 33 4 3 4

fx x y x y

− ⋅∂ −= ⋅ ⋅ =

∂ + +

( ) ( )( )

( )( )

232 3

3 33

2 1 1 2!3 3 3

3 4 3 4f

x x y x y− ⋅ − − ⋅∂

= ⋅ ⋅ = ⋅∂ + +

( ) ( ) ( )( )

( )( )

343 4

4 44

3 2 1 1 3!3 3 3

3 4 3 4f

x x y x y− ⋅ − ⋅ − − ⋅∂

= ⋅ ⋅ = ⋅∂ + +

( )

1( 1) ( 1)!33 4

k kk

kk

f kx x y

−∂ − −= ⋅

∂ + (1)

Veamos ahora que el ensayo de la expresión genérica (1) es cierto para cualquier valor de k ∈ . Para ello procederemos por inducción completa sobre k: 1. Base de inducción: Comprobamos que se cumple para 1k = . En efecto:

( ) ( )1 1 1

111

( 1) (1 1)! 0!3 33 43 4

fx x yx y

−∂ − −= ⋅ = ⋅

∂ ++

2. Hipótesis de inducción: Suponemos que se cumple hasta k p= , es decir, suponemos que:

Año 1999

24

( )

1( 1) ( 1)!33 4

p pp

pp

f px x y

−∂ − −= ⋅

∂ +

3. Paso de inducción: Veamos que la expresión (1) se cumple para el siguiente valor de k, es decir, para 1k p= + . En efecto:

( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 1

1

1

11

1 11

( 1) ( 1)!33 4

13 ( 1) ( 1)!3 4

3 ( 1) ( 1)! 33 4

1 (3 ( 1) ( )! 33 4

p p pp

pp pHipótesis

deinducción

p pp

p pp

p p pp

f f px x x x x y

px x y

ppx y

px y

+ −

+

−

−+

+ ++

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ − −= = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂= ⋅ − ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟

⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠⎛ ⎞−

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅⎜ ⎟

⎜ ⎟+⎝ ⎠ ( ) 11) ( )!

3 4

p

pp

x y +

−

+

Lo que nos asegura que la expresión (1) se cumple k∀ ∈ (el cambio de variable en la derivación parcial sólo cambia la expresión respecto al factor que origina el coeficiente de la misma)

( ) ( )

1

1 1( 1) ! ( 1) !3 4 3 4

3 4 3 4

k k kk k

k kk

f k kx y x y x y

+

+ +

∂ − −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∂ ∂ + +

( )( )

( )( )

1 122

2 22

( 1) 1 ! ( 1) 1 !3 4 4 3 4

3 4 3 4

k kkk k

k kk

k kfx y x y x y

+ ++

+ +

− + − +∂= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∂ ∂ + +

( )( )

( )( )

2 232 3

3 33

( 1) 2 ! ( 1) 2 !3 4 4 3 4

3 4 3 4

k kkk k

k kk

k kfx y x y x y

+ ++

+ +

− + − +∂= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∂ ∂ + +

( )

( )( )

( )

1 11 ( 1) 1 ! ( 1) 1 !( , ) 3 4 4 3 4

3 4 3 4

k m k mk mk m k m

k m k mk m

k m k mf x yx y x y x y

+ − + −+−

+ +

− + − − + −∂= ⋅ ⋅ = ⋅

∂ ∂ + +

Y haciendo n k m= + resulta: ( )( )

1( 1) 1 !3 4

3 4

nnk n k

nk n k

nfx y x y

−−

−

− −∂= ⋅

∂ ∂ +

≈≈≈≈≈≈≈


25

3. Usando el cálculo diferencial, calcule de forma aproximada el valor de la expresión:

( ) ( )3 32.01 + 1.01e tomando 20.09 como valor de e3. SOLUCIÓN: Aplicando el concepto de diferencial de una función en un punto, tenemos:

( )0 1 0 2 0 0 0 0 1 2

0 0 0 0 1 0 0 2

( , ) ( , ) ( , ) ,( , ) ( , ) ( , )x x

f x h y h f x y df x y h hf x y f x y h f x y h

+ + + =

= + +

Consideramos la función 3 3

( , ) x yf x y e += , diferenciable en el punto 0 0( , ) (2,1)x y = y el vector de incrementos ( )1 2, (0.01,0.01)h h = , calculamos:

8 1 3(2,1) 20.09f e e+= =

3 32

3 3

3 3

3 12(2,1) 2 40.182 92

x yf x fe e ex xx y

+∂ ∂= ⇒ = = =

∂ ∂+

3 32 3

3

3 3

3 3(2,1) 10.04522 92

x yf y f ee ey xx y

+∂ ∂= ⇒ = = =

∂ ∂+

Resultando:

3 32.01 1.01 (2 0.01,1 0.01) (2,1) (2,1) (2,1) 0.01f fe f fx y

+ ⎛ ⎞∂ ∂= + + + + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

20.09 (40.18 10.045)0.01 20.59225= + + = .

≈≈≈≈≈≈≈

4. Integre la ecuación diferencial ( ) ( )2 3 22xy -3y dx + 7 -3xy dy = 0 . SOLUCIÓN: Sea 2 3( , ) 2 3P x y xy y= − y sea 2( , ) 7 3Q x y xy= − . La ecuación diferencial no es exacta, ya que:

2 24 9 3y xP xy y Q y= − ≠ = −

Estudiemos el tipo de factor integrante ( , )x yµ que podemos utilizar para reducir a exacta la ecuación diferencial dada. Para ello analizaremos los tipos usuales de factores integrantes:

Año 1999

26

Como el cociente 2

2

4 67 3

y xP Q xy yQ xy− −

=−

no depende sólo de x, entonces ( )xµ µ≠ .

Como el cociente ( )( )

2

2 3 2

2 2 34 6 22 3 2 3

y xP Q y x yxy yP xy y y x y y− −−

= = =− −

sólo depende de y, entonces

( )yµ µ= y el factor integrante viene dado por :

( )2

2

1dyyy e

yµ

−∫= =

Con lo que la siguiente ecuación es diferencial exacta:

2 3 2

2 2

2 3 7 3( , ) ( ) ( , ) ( ) 0xy y xyP x y y dx Q x y y dy dx dyy y

µ µ − −+ = + =

Al ser exacta existe una función ( ),F x y tal que

2 3 2

2 2

2 3 7 3F F xy y xydF dx dy dx dyx y y y

∂ ∂ − −= + = +∂ ∂

Es decir 0dF = , por lo que la solución general de la ecuación diferencial es .F cte= Para hallar la solución general seguiremos 4 pasos (en cualquiera de los dos métodos que vamos a emplear)

Método 1: Partimos de Fx

∂∂

Paso 1: Expresión inicial de ( ),F x y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

22

2 3, , 3F xy yF x y dx y F x y dx y x xy yx y

ϕ ϕ ϕ∂ −= + → = + = − +

∂∫ ∫

Donde ( )yϕ es una función que depende sólo de y. Paso 2: Determinación de ( )yϕ

Puesto que ( )( ) ( )2

22 2

7 3 73 3 3xy F x xy y x x yy y y y

ϕ ϕ− ∂ ∂ ′= = − + → − = − +∂ ∂

Resulta ( ) ( )2

7 7y yy y

ϕ ϕ′ = → = −

problemas y cuestiones de álgebra lineal y cálculo infinitesimal

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