Problemas Teorıa de Grafos

1 Dado el conjunto de vertices V = {a, b, c, d} y el conjunto de aristas A = {ab, ac, ad, bc},representar dicho grafo.

2 Escribir el conjunto de vertices y aristas del siguiente grafo.

3 Probar, mediante algun razonamiento convincente, que los grafos G1 y G2 no sonisomorfos.

4 Encontrar todos los subgrafos del siguiente grafo.

5 Demostrar que todo grafo completo Kn es regular (¿cual es el grado de sus vertices?).Dar un ejemplo de grafo regular que no sea completo.

6 Encontrar un subgrafo 2-regular de K4 que no sea isomorfo a K3.

7 Encontrar dos grafos de 6 vertices cada uno, que ambos sean 2-regulares y sin embargono sean isomorfos.

8 Dibujar un grafo de 5 vertices cuyos grados sean el conjunto {4, 3, 2, 2, 1}.

9 Construir, si es posible, un grafo simple con 5 vertices y 8 aristas.

10 Construir, si es posible, un grafo simple con 5 vertices y 12 aristas. Un grafo con5 vertices, ¿cuantas aristas, como mucho, puede tener? ¿Y si el grafo tiene 7 vertices?Intentar encontrar una formula general para el numero maximo de aristas que puedetener un grafo con n vertices.

11 Dados 7 vertices, ¿cuantas aristas, como mınimo, debe tener el grafo para ser conexo?Intentar razonar el caso de n vertices.

12 Un grafo 3-regular con 10 vertices, ¿cuantas aristas tiene? Y si el grafo tiene n vertices.Explicar razonadamente esta ultima cuestion.

13 Encontrar los vertices de corte y las aristas puente del siguiente grafo.

14 En el ejercicio 13, encontrar, si es posible, un camino de longitud 6 que una losvertices A y D.

15 En el ejercicio 13 construir el grafo generado por el conjunto de vertices {A,D, F,G}.

16 Construir el grafo complementario del siguiente grafo.

17 Si se sabe el numero de vertices y el de aristas de un grafo, ¿se puede saber el numerode aristas de su complementario? Razonar sobre grafos con un numero pequeno de verticese intentar inducir el resultado.

Nota. Para realizar los tres ejercicios siguientes se debe tener claro el concepto de matrizde adyacencia asociada a un grafo. Se puede buscar en internet, preguntar al profesor over la explicacion en alguno de los videos sobre el manejo del programa Algraf.

18 Escribir la matriz de adyacencia asociada al grafo del ejercicio 2.

19 Dibujar un grafo que tenga la siguiente matriz de adyacencia.0 1 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 10 1 0 0 10 0 1 1 0

20 Comprobar que el grado de un vertice es la suma de todos los numeros que aparecen

en la fila correspondiente de la matriz de adyacencia.

21 Demostrar que el siguiente grafo no es euleriano, pero que aun ası se puede encontrarun camino (por supuesto no cerrado) que recorra todas las aristas.

22 Encontrar, si es posible, un camino hamiltoniano en el siguiente grafo.

A

B

CD

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

23 Encontrar, si es posible, un circuito euleriano en el siguiente grafo.

24 Encontrar, si es posible, un camino euleriano en el siguiente grafo.

25 Encontrar, si es posible, un camino hamiltoniano en el siguiente grafo.

A

B

CD

E

F

G

HI

J