RIMAK Inc

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS

SEPARATA

INVESTIGACIN DE OPERACIONES I

DUALIDAD Y ANALISISDE SENSIBILIDAD

Profesor :Ing. Luis Medina Aquino

2014-1

DUALIDAD

Asociado con cualquier problema de programacin lineal (PPL) existe otro llamado DUAL. Conocer la relacin de un PPL y su dual es vital para entender el anlisis de sensibilidad.

Cuando se habla del dual de un PPL entonces este ltimo se denomina PRIMAL. Si el PPL primal es un problema de maximizacin, entonces su dual ser un problema de minimizacin y viceversa. Por conveniencia la variable de la funcin objetivo del primal se denomina Z, y sus variables primales de decisin se denominan Xi. En el caso del dual la variable de la funcin objetivo se denomina W, y sus variables duales se denominan Yj.

Primero aprenderemos como hallar el programa dual de un problema primal de maximizacin, con todas sus variables no negativas y cuyas restricciones son todas del tipo menor o igual (Problema estndar de maximizacin).

Un problema estndar de maximizacin se puede escribir como:

Maximizar Z = C1 X1 + C2 X2 + ...... + Cn XnSujeto a:a11 X1 + a12 X2 + ..... + a1n b1a21 X1 + a22 X2 + ..... + a2n b2 .... ...... ..... .... ... am1 X1 + am2 X2 + ..... + amn bm

Xi 0 (i = 1, 2, ... , n)

El dual de un problema de maximizacin se define como:

Minimizar W = b1 Y1 + b2 Y2 + ..... + bm YmSujeto a:a11 Y1 + a21 Y2 + .... + am1 Ym C1a12 Y1 + a22 Y2 + .... + am2 Ym C2 .... ...... ..... .... ...a1n Y1 + a2n Y2 + .... + amn Ym C2

Yj 0 (j = 1, 2, ... , m)

Encuentre el dual de:

Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 Sujeto a: X1 + 2 X2 10003 X1 + 2 X2 1800X2 400X1 0, X2 0

Maximizar Z = 3 X1 + 2 X2 + X3 Sujeto a: X1 + 2 X2 + X3 10X1 + X2 + 2 X3 92 X1 + 3 X3 12X1, X2, X3 0

Dual de un problema no estandarNo todos los problemas de programacin lineal tienen la forma del problema de maximizacin estndar.Pasos:a) Identifique las variables correspondientes en el dual de su problema primal.b) Aplique el mismo anlisis del problema estndar para hallar los coeficientes de la funcin objetivo, restricciones y de sus respectivos lados derechos.c) Aplique la siguiente tabla de signos: Modelos maxModelo minXi la isima restriccin es Xi la isima restriccin es Xi srsla isima restriccin es =la isima restriccin es Yj la isima restriccin es Yj la isima restriccin es Yj srs

OBSERVACIN: EL DUAL DEL PROBLEMA DUAL ES OTRA VEZ EL PROBLEMA PRIMAL

TEOREMA DEL DUAL: EL VALOR OPTIMO Z DEL PROBLEMA PRIMAL ES IGUAL AL VALOR OPTIMO W EN EL DUAL

Maximizar Z = 2 X1 + 4 X2 Sujeto a: X1 + X2 22 X1 - X2 3X1 - X2 1X1 0, X2 srs

Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 2 X3 Sujeto a: 4 X1 - 2 X2 + 3 X3 12-2 X1 + 3 X2 + X3 6-5 X1 + X2 - 6 X3 43 X1 + 4 X2 2X3 = 10X10X2 0, X3 srs

Cmo leer la solucin ptima del Dual desde la tabla ptima del primal de un problema de maximizacin? Valor en el ptimo de la variable yj del Dual es: Si la restriccin j en el primal esbuscar en la tabla ptima del primal

(zj) de la variable de holgura sj

(zj) de la variable artificial aj

=(zj) de la variable artificial aj

ANLISIS DE SENSIBILIDAD

El objetivo de este anlisis es determinar los cambios en el valor de la funcin objetivo al variar:a) los coeficientes de las variables de decisin en la funcin objetivo, yb) los valores en el lado derecho de las restricciones.Estos cambios de valor se analizarn en el reporte de anlisis de sensibilidad que se obtiene del programa SOLVER.

A continuacin se dar una explicacin y anlisis de este reporte.

Gradiente Reducido.- Tambin llamado costo reducido. Indica cunto tendra que mejorar el coeficiente de la funcin objetivo de cada variable de decisin antes de que sea posible que tal variable asuma un valor positivo en la solucin ptima.El costo reducido ser cero si la variable correspondiente es bsica, y ser negativo si la variable es no bsica.

Precio Sombra.- Tambin llamado precio dual. Cada restriccin tiene un precio dual cuyo valor puede ser positivo, negativo o cero. Si es positivo indica el mejoramiento en el valor ptimo de la funcin objetivo por cada aumento unitario en el lado derecho de la restriccin. Si el valor es negativo indica lo contrario de lo anterior. Si el valor cero no afecta ningn cambio en el valor ptimo de la funcin objetivo.

Signo delPrecio dualMaximizacin o MinimizacinEfecto del aumento de una unidad en el valor del lado derecho

+MaximizacinAumento en los beneficios

-MaximizacinDisminucin en los beneficios

+Minimizacin Aumento en los costos

-MinimizacinDisminucin en los costos

Anlisis de rango para los coeficientes de la Funcin ObjetivoRango en el que la solucin ptima no cambie, es decir se encuentra en el mismo punto (se mantiene la misma solucin).Al cambiar un coeficiente, cambia nicamente la pendiente de la funcin objetivo, por lo que el polgono de soluciones factibles se mantiene sin cambio.

Anlisis de rango para el Lado Derecho de las RestriccionesMientras los lados derechos de las restricciones se mantengan dentro de estos intervalos, el precio dual correspondiente nos indica el mejoramiento del valor de la funcin objetivo por aumento unitario en el valor del lado derecho.La base no cambia en este rango, es decir, las variables bsicas siguen siendo bsicas, aunque sus valores si pueden cambiar.

Cambios Simultaneos

Se aplica la regla del 100% en dos casos:a) para cambios simultneos en la funcin objetivo y,b) para cambios simultneos en el lado derecho de las restricciones.

a) Para todos los coeficientes de la funcin objetivo que se modifican sume los porcentajes tanto de los incrementos como de los decrementos permisibles representados por los cambios. Si la suma de los cambios porcentuales no excede del 100%, la solucin ptima no se modificar.Sin embargo, la regla del 100% no nos dice si la solucin ptima cambiar si la suma de los cambios porcentuales excede a 100%. La solucin ptima pudiera no cambiar, incluso si la suma de los cambios porcentuales excede a 100%. Cuando no se satisfaga la regla del 100%, deberemos resolver el problema y determinar los efectos que tendrn estos cambios en la solucin ptima.

b) Una versin similar a la regla del 100% tambin es aplicable a cambios simultneos en los lados derechos de las restricciones. Para todos los lados derechos que se modifiquen, sume los porcentajes tanto de los incrementos como de los decrementos permisibles. Si la suma de los porcentajes no excede de 100%, los precios duales no se modificarn.

EjemploUna compaa elabora los productos A, B y C. Cada producto se procesa en tres departamentos: I, II y III. El total disponible de horas de trabajo por semana por cada departamento es de 900, 1080 y 840 horas, respectivamente. Los requisitos de tiempo (en horas por unidad) y la ganancia por cada unidad del producto son:Producto Producto Producto

ABC

Departamento I212

Departamento II312

Departamento III221

Ganancia$16$12$15

Cuntas unidades de cada producto debe fabricar la compaa para maximizar las ganancias? El programa lineal respectivo ser la siguiente:Maximizar Z = 16 x1 + 12 x2 + 15 x3Sujeto a:2 x1 + x2 + 2 x3 9003 x1 + x2 + 2 x3 10802 x1 + 2x2 + x3 840 x1, x2, x3 0

Resolviendo por el programa SOLVER, obtenemos los resultados del reporte de Anlisis de Sensibilidad:

Microsoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad

Hoja de clculo: [Libro1]Hoja1

Informe creado: 06/12/02 04:47:00 p.m.

Celdas cambiantes

ValorGradienteCoeficienteAumentoDisminucin

CeldaNombreIgualreducidoobjetivopermisiblepermisible

$B$5Cantidad a producir A0-21621E+30

$C$5Cantidad a producir B260012183

$D$5Cantidad a producir C32001593

Restricciones

ValorSombraRestriccinAumentoDisminucin

CeldaNombreIgualpreciolado derechopermisiblepermisible

$E$7Departamento 19006900180480

$E$8Departamento 2900010801E+30180

$E$9Departamento 38403840960390

El anlisis de sensibilidad nos sirve para responder a las preguntas Qu pasa si?Preguntas:1. Conviene programar horas extras en el Departamento 1? Si su respuesta es afirmativa hasta cuantas horas extras conviene programar? Cunto aumenta la utilidad por cada hora extra que se programe?2. Conviene programar horas extras en el Departamento 2? Si su respuesta es afirmativa hasta cuantas horas extras conviene programar? Cunto aumenta la utilidad por cada hora extra que se programe?3. Debido a problemas laborales, en la empresa se pierden 150 horas en el departamento 2, por lo cual esas horas se dejan de trabajar. Cunto deja de ganar la empresa?4. Debido a problemas laborales, en la empresa se pierden 150 horas en el departamento 3, por lo cual esas horas se dejan de trabajar. Cunto deja de ganar la empresa?5. Debido a la mayor demanda la ganancia del producto B aumenta $2. Vara el plan de produccin ptimo? Cul es la nueva utilidad?6. Debido a la menor demanda la ganancia del producto B disminuye $2. Vara el plan de produccin ptimo? Cul es la nueva utilidad?7. Debido a la mayor demanda la ganancia del producto C aumenta $10. Vara el plan de produccin ptimo? Cul es la nueva utilidad?8. Debido a la menor demanda la ganancia del producto C disminuye $5. Vara el plan de produccin ptimo? Cul es la nueva utilidad?9. Cunto debe ser la ganancia mnima del producto A para que sea rentable producirlo?

PRACTICA DIRIGIDA

CURSO: OPTIMIZACION DE SISTEMAS ITEMA : ANLISIS DE SENSIBILIDADPROFESOR: M. A. LUIS MEDINA AQUINO

1. Qumica del Pacfico es una pequea empresa que produce diversos productos qumicos. En un proceso de produccin en particular se utilizan tres materias primas para elaborar dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la produccin de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias empresas qumicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base disolvente se mezclan tres materias primas, cuya composicin y disponibilidad se muestran en la siguiente tabla:MateriaMateriaMateria

Prima 1Prima 2Prima 3

Aditivo para combustible2/503/5

Base disolvente1/21/53/10

Disponibilidad20 ton5 ton21 ton

Esta tabla muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 2/5 de tonelada de materia prima 1 y 3/5 de tonelada de la materia prima 3. Una tonelada de base disolvente es una mezcla de tonelada de la materia prima 1, 1/5 de tonelada de la materia prima 2 y 3/10 de tonelada de la materia prima 3.Debido al deterioro y la naturaleza del proceso de produccin, cualquier materia prima que no se utilice para produccin actual resulta intil y debe descartarse.La contribucin a la utilidad se determin en 40 dlares por cada tonelada de aditivo para combustible y 30 dlares por cada tonelada de base disolvente producida. Segn la administracin de la empresa, estos precios asegurarn la venta de todo el aditivo para el combustible y de toda la base disolvente que se produzca.a. Cuntas toneladas de cada producto deber producir Qumica del Pacfico para maximizar la contribucin total a la utilidad? b. Una reduccin en precio hace que la contribucin a la utilidad para el aditivo para combustible se reduce de 40 a 35 dlares por tonelada Cambiar los valores de la cantidad a producir de ambos productos? Cul es la nueva contribucin total a la utilidad?c. Se llega a utilizar toda la disponibilidad de materia prima? En cul de las materias primas queda disponibilidad? Cunto?d. Suponga que usted tiene dinero para comprar una tonelada de materia prima. Basndose en la contribucin a la utilidad, qu materia prima comprara para aumentar los beneficios?e. La materia prima 1 est escasa y el proveedor le ofrece cambiarle 1 tonelada de materia prima 3 por una tonelada de materia prima 1. Usted hara ese cambio? Justifique su respuesta con clculos.

Microsoft Excel 8.0 Informe de sensibilidad

Hoja de clculo: [Libro2]Hoja1

Informe creado: 9/07/00 09:09:05 PM

Celdas cambiantes

ValorGradienteCoeficienteAumentoDisminucin

CeldaNombreIgualreducidoobjetivopermisiblepermisible

$C$5X1250402016

$D$5X2200302010

Restricciones

ValorSombraRestriccinAumentoDisminucin

CeldaNombreIgualpreciolado derechopermisiblepermisible

$E$7MP12033.33333333201.56

$E$8MP24051E+301

$E$9MP32144.444444442192.25

2. Financiera Orin administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de inversin se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Orin se le ha autorizado invertir 1.2 millones de dlares en dos fondos de inversin: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dlares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo del mercado de dinero cuesta 100 dlares, con una tasa de rendimiento anual de 4%.El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversin de por lo menos 60,000 dlares. De acuerdo con el sistema de medicin de riesgo de Orin, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un ndice de riesgo de 8, y cada unidad adquirida en el fondo del mercado de dinero tiene un ndice de riesgo de 3. El ndice de riesgo ms elevado asociado con el fondo de acciones indica, simplemente, que se trata de la inversin ms riesgosa. El cliente de Orin tambin ha especificado que se inviertan por lo menos 300,000 dlares en el fondo del mercado de dinero. a) Cuntas unidades de cada uno de los fondos deber adquirir Orin para el cliente, si el objetivo es minimizar el ndice de riesgo total para esta cartera? Cul es el valor del riesgo total?Para las preguntas de b) a d) contestar como casos independientes. b) Si el monto de inversin de Orin aumenta de $1.2 a $1.4 millones de dlares Cmo afecta el riesgo total? Variar el ingreso anual mnimo sobre la inversin de $60,000?c) Si el ingreso anual mnimo sobre la inversin que pide el cliente es de $100,000 en vez de $60,000 Cmo afecta el riesgo total?d) El valor del riesgo de las unidades adquiridas en el fondo de acciones ha bajado a 6, y el valor del riesgo de las unidades adquiridas en el fondo del mercado de dinero ha aumentado a 4. En cunto aumentar o disminuir el valor total del riesgo? O no se puede afirmar nada con la informacin actual?

Microsoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad

Hoja de clculo: [Libro1]Hoja1Minimizar Z = 8 X1 + 3 X2

Informe creado: 24/07/00 01:30:31 p.m.Sujeto a:

50 X1+100 X2= 60000

Celdas cambiantes X2>= 3000

ValorGradienteCoeficienteAumentoDisminucin

CeldaNombreIgualreducidoobjetivopermisiblePermisible

$C$5Inversin X14000081E+304.25

$D$5Inversin X210000033.41E+30

Restricciones

ValorSombraRestriccinAumentoDisminucin

CeldaNombreIgualpreciolado derechopermisiblepermisible

$E$7Fondos disponibles Valor1200000-0.0566666671200000300000420000

$E$8Ingresos anuales Valor600002.166666667600004200012000

$E$10el mercado de dinero Valor100000300070001E+30

3. Maquinarias S.A. es una empresa importadora de autos que opera en la ciudad de Lima. Los recientes cambios en la competencia estn preocupando a sus propietarios por lo que han credo conveniente replantear toda su estrategia de marketing. En este sentido, se decidi la contratacin de una empresa de consultora en Marketing para que elabore una estrategia publicitaria. Los propietarios pensaban que el mensaje deba girar en torno a su sistema de financiamiento directo, atributo que la empresa consideraba como su mejor arma para enfrentar la actual situacin competitiva del mercado.Los consultores recomendaron usar anuncios tanto de radio como de televisin; manifestaban que stos eran los medios idneos para llegar al pblico objetivo planteado para Maquinarias. Los lineamientos generales de la estrategia publicitaria planteada la expresaron de la siguiente manera:a) Para una cobertura combinada, utilizar anuncios en radio y televisin.b) No se deben programar ms de 25 anuncios de radio.c) El nmero de anuncios que se programen por radio no debe ser menor que el nmero de anuncios que se programen por televisin.La estacin de televisin seleccionada, ha cotizado un costo de $1,200 por anuncio, mientras que la radiodifusora ha cotizado uno de $300 por anuncio. El presupuesto total para esta campaa se ha establecido en $25,500. Los consultores tienen una evaluacin global de los diferentes medios de publicidad en trminos de la capacidad de recordacin de los anuncios y de la audiencia que cubren. Para el caso de los medios seleccionados, las calificaciones son de 600 puntos para el anuncio en televisin propuesto y 200 puntos para el de la radio.Al propietario de Maquinarias le interesa saber cuntos anuncios de televisin y cuntos de radio debern contratar de modo que obtengan la mxima calificacin global de la campaa publicitaria.

Responda a las siguientes preguntas:a) El nmero de anuncios de radio y de televisin recomendados.b) Qu es lo que limita el uso de ms anuncios por radio?c) Qu es lo que limita el uso de ms anuncios por televisin?d) Qu calificacin debera tener el programa de radio a fin de que tuviera sentido incrementar el nmero de anuncios por este medio?e) Qu calificacin debera tener el programa de televisin a fin de que tuviera sentido incrementar el nmero de anuncios por este medio?f) Qu restricciones recomendara a Maquinarias alterar?g) Cul es el mejor uso que dara a cualquier aumento en el presupuesto?

Microsoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad

Hoja de clculo: [Libro1]Hoja2Maximizar Z=200 RADIO+ 600 TV

Informe creado: 24/07/00 04:13:53 p.m.Sujeto a:

RADIO = 0

Celdas cambiantes300 RADIO +1200 TV