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PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA. CAPÍTULO 2 : CUERPOS RÍGIDOS. SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL PLANO. Ing. Willians Medina. Maturín, octubre de 2017.

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PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

MECÁNICA VECTORIAL

(ESTÁTICA). PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA

Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 2: CUERPOS RÍGIDOS.

SISTEMAS EQUIVALENTES DE

FUERZAS. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO

A UN PUNTO EN EL PLANO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, octubre de 2017.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 2

CONTENIDO.

CONTENIDO. .................................................................................................................. 2

PRESENTACIÓN. ........................................................................................................... 4 ACERCA DEL AUTOR. ................................................................................................. 6

2.1.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL PLANO. 8 Ejemplo 2.1. Problema 4.16 del Hibbeler. Décima Edición. Página 130. .................... 10

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 10 Ejemplo 2.2. Problema 4.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 129. .................... 12

Ejemplo 2.3. Problema 4.9 del Hibbeler. Décima Edición. Página 129. ...................... 12 Ejemplo 2.4. Problema 4.21 del Hibbeler. Décima Edición. Página 132. .................... 13

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 13 Ejemplo 2.5. Ejemplo 4.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página128. ........................ 16

Ejemplo 2.6. Problema resuelto 3.2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 86.

Problema resuelto 3.2 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 72. .................... 16

Ejemplo 2.7. Ejemplo 4.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página127. ........................ 17 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 17

Ejemplo 2.8. Problema 4.23 del Hibbeler. Décima Edición. Página 132. .................... 18 Ejemplo 2.9. Problema 4.17 del Hibbeler. Décima Edición. Página 131. .................... 19

Ejemplo 2.10. Problema 3.3 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 20 Ejemplo 2.11. Problema 3.4 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 20

Ejemplo 2.12. Problema 3.5 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 21 Ejemplo 2.13. Problema 3.5 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 21

Ejemplo 2.14. Problema 3.6 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 22 Ejemplo 2.15. Problema 3.7 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 22

Ejemplo 2.16. Problema resuelto 3.3 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 86.

Problema resuelto 3.3 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 73. .................... 23

Ejemplo 2.17. Problema resuelto 3.1 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 85.

Problema resuelto 3.1 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 71. .................... 23

Ejemplo 2.18. Problema 3.1 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 24 Ejemplo 2.19. Problema 3.2 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 24

Ejemplo 2.20. Problema 3.2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 25 Ejemplo 2.21. Problema 3.1 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 25

Ejemplo 2.22. Problema 3.149 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 151. ..... 26 Ejemplo 2.23. Problema 3.12 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90.

Problema 3.148 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 124. ........................... 26 Ejemplo 2.24. Problema 3.13 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 90.......... 27

Ejemplo 2.25. Problema 3.9 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90. .......... 28 Ejemplo 2.26. Problema 3.10 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90. ........ 28

Ejemplo 2.27. Problema 3.11 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90. ........ 29 Ejemplo 2.28. Problema 3.10 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90. ........ 29

Ejemplo 2.29. Problema 3.14 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 91........... 30 Ejemplo 2.30. Problema 4.41 del Bedford. ................................................................. 30

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 3

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 31 Ejemplo 2.31. Problema 3.147 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 151.

Problema 3.4 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 76. ................................. 32 Ejemplo 2.32. Problema 3.3 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89.

Problema 3.147 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 124. ........................... 32 Ejemplo 2.33. Problema 3.4 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 33

Ejemplo 2.34. Problema 3.6 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 33 Ejemplo 2.35. Problema 3.7 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 34

Ejemplo 2.36. Problema 3.8 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89.

Problema 3.8 del Beer – Jhonston. Décima Edición. Página 76. ................................. 34

Ejemplo 2.37. Problema 3.8 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 90. ........... 35 Ejemplo 2.38. Problema 4.31 del Hibbeler. Décima Edición. Página 133. .................. 36

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 36 Ejemplo 2.39. Problema 4.11 del Bedford. ................................................................. 40

Ejemplo 2.40. Problema 4.50 del Bedford. ................................................................. 40 Ejemplo 2.41. Problema 4.27 del Bedford. ................................................................. 41

BIBLIOGRAFÍA. .......................................................................................................... 41

TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). .................................................................. 42 OBRAS DEL MISMO AUTOR..................................................................................... 43

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 4

PRESENTACIÓN.

El presente es un Manual de Ejercicios de Mecánica Vectorial para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería, Civil, Industrial,

Mecánica y de Petróleo de reconocidas Universidades en Venezuela y Latinoamérica.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de

algunos ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del

estudiante así como la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su

compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad

de los mismos.

Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada

en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor

sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente

en la literatura.

Este manual, cuyo contenido se limita al estudio del momento de una fuerza con

respecto a un punto en el plano, contiene los fundamentos teóricos, 41 ejercicios resueltos

paso a paso y 18 ejercicios propuestos para su resolución, y es ideal para ser utilizada por

estudiantes autodidactas y/o de libre escolaridad (Universidad Abierta) y por estudiantes

que están tomando un curso universitario de Mecánica Vectorial, así como por profesores

que estén impartiendo clases en el área de enseñanza de Mecánica Vectorial para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología.

Los conocimientos previos requeridos para abordar los temas incluidos en este

manual son: dimensiones y unidades relativas a fuerza, conversión de unidades, prefijos

para potencias de diez (mili, kilo, etc), teorema de Pitágoras, fórmulas básicas de

trigonometría (definición de las funciones seno, coseno, tangente y sus recíprocas), valor de

las funciones trigonométricas en ángulos notables (0°, 30°, 45°, 60°, etc) y fuerzas en el

plano.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 5

El concepto de momento de una fuerza es fundamental en el estudio de la Mecánica

Vectorial, pues es la base de algunas definiciones involucradas en el estudio de esta materia

(reducción de un sistema de fuerzas, equilibrio de cuerpos rígidos, cargas distribuidas en

vigas y análisis de estructuras), y en este manual el autor presenta de manera clara y

rigurosa el espectro de situaciones involucradas en el manejo de momento de una fuerza

con respecto a un punto en el plano mediante el enfoque tanto escalar como vectorial.

Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante

puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente a momento de una fuerza con

respecto a un punto en el espacio.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Mecánica Vectorial, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través del teléfono: +58-424-9744352, correo electrónico:

[email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en

la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.

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ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la

Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó

sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas

mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por

LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios

universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó

como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica

Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a

la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de

Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado

Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma

corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte

del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan

Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de

preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando

finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad

de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos

de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,

forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,

Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),

cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),

Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV

(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Es autor de video tutoriales para la

enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a

través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de

ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física,

Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de

Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica.

En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración

de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso

y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda,

siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a

los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como

una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017)

ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a

través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con

privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual

cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa)

mediante la corporación http://www.amazon.com/ y su página académica

http://www.tutoruniversitario.com. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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2.1.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL

PLANO.

El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F.

FrM 0 (Enfoque vectorial) (1)

donde r es el vector de posición que une al punto de referencia fijo O con cualquier punto

sobre la línea de acción de F.

0

0

yx

yxO

FF

rr

kji

M (Enfoque vectorial) (2)

rx,ry: Componentes x, y del vector posición trazado desde el punto B hasta cualquier punto

sobre la línea de acción de la fuerza.

Fx, Fy: Componentes x, y, del vector fuerza F.

Si es el ángulo entre las líneas de acción del vector de posición r y la fuerza F, la

magnitud del momento de F con respecto a O está dada por

sen 0 FrM (Enfoque escalar) (3)

donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F.

En la práctica, el momento es igual al producto de la fuerza por la distancia perpendicular

entre el punto de referencia para el cálculo del momento y la línea de acción de la fuerza.

Físicamente la magnitud de MO mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar al cuerpo

rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de MO.

Una forma de definir el sentido de MO se logra por medio de la regla de la mano derecha:

cierre su mano derecha y manténgala de manera que sus dedos estén doblados en el mismo

sentido de la rotación que F le impartiría al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a

lo largo de la línea de acción de MO; su dedo pulgar indicará el sentido del momento MO.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Convención de signos para el momento.

Se considera positivo el momento cuando la fuerza tiende a hacer rotar al cuerpo rígido en

sentido antihorario, y el momento se considera negativo cuando la fuerza tiende a hacer

rotar al cuerpo rígido en sentido horario.

Para un momento positivo, su sentido es saliendo del papel, mientras que un momento

negativo tiene sentido entrando al papel.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Ejemplo 2.1. Problema 4.16 del Hibbeler. Décima Edición. Página 130.

El poste soporta las tres líneas, cada línea ejerciendo una fuerza vertical sobre el poste

debido a su peso, como se muestra. Determine el momento resultante en la base D debido a

todas esas fuerzas. Si es posible que el viento o el hielo rompan las líneas, determine qué

línea (o líneas) al ser removida genera una condición de momento máximo con respecto a

la base. ¿Cuál es el momento resultante?

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos.

1. El cubo de la rueda puede ser unido al eje con excentricidad negativa (izquierda) o

positiva (derecha). Si el neumático está sometido a una carga normal y radial como se

muestra, determine el momento resultante de esas cargas con respecto al punto O en ambos

casos.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Respuesta: –MO =120 N.m, MO =520 N.m.

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Ejemplo 2.2. Problema 4.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 129.

La llave se usa para aflojar el perno. Determine el momento de cada fuerza con respecto al

eje del perno que pasa por el punto O.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.3. Problema 4.9 del Hibbeler. Décima Edición. Página 129.

Determine la magnitud y el sentido direccional del momento resultante de las fuerzas con

respecto al punto P.

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Ejemplo 2.4. Problema 4.21 del Hibbeler. Décima Edición. Página 132.

La herramienta localizada en A se usa para mantener estacionaria la hoja de una podadora

de césped de potencia mientras se afloja la tuerca con la llave. Si se aplica una fuerza de 50

N a la llave situada en B en la dirección mostrada, determine el momento que produce

dicha fuerza con respecto a la tuerca localizada en C. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza F

en A que produce el momento opuesto con respecto a C?

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos.

2. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento de la fuerza presente en A

a) con respecto al punto O, b) con respecto al punto P.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Respuesta: b) 2.37 kN.m.

3. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento de la fuerza presente en A

a) con respecto al punto O, b) con respecto al punto P.

Respuesta: a) 2.88 kN.m; b) 3.15 kN.m

4. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento resultante de las fuerzas con

respecto al punto O.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Respuesta: 2.42 kip.pie

5. Los dos jóvenes empujan la reja con fuerzas FA = 30 lb y FB = 50 lb como se muestra.

Determine el momento de cada fuerza con respecto a C. ¿En qué sentido rotará la reja, en el

de las manecillas del reloj o al contrario? Ignore el espesor de la reja.

Figura Problemas 5 y 6.

6. Dos jóvenes empujan la reja como se muestra. Si el joven situado en B ejerce una fuerza

de FB = 30 lb, determine la magnitud de la fuerza FA que el joven ubicado en A debe ejercer

para impedir que la reja gire. Ignore el espesor de la reja.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Ejemplo 2.5. Ejemplo 4.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página128.

La fuerza F = 400 N actúa en el extremo de la ménsula mostrada en la figura. Determine el

momento de la fuerza con respecto al punto O.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.6. Problema resuelto 3.2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 86.

Problema resuelto 3.2 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 72.

Una fuerza de 800 N actúa sobre la ménsula como se muestra en la figura. Determine el

momento de la fuerza con respecto a B.

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Ejemplo 2.7. Ejemplo 4.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página127.

Una fuerza de 200 N actúa sobre la ménsula mostrada en la figura. Determine el momento

de la fuerza con respecto al punto A.

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos.

7. Determine el momento de cada una de las tres fuerzas que actúan sobre la viga a)

respecto al punto A y b) respecto al punto B.

Respuesta: kip.pie 125.4)(1

BFM , kip.pie 2)(2

BFM , kip.pie 40)(3

BFM

8. Determine el momento de cada una de las tres fuerzas con respecto al punto A. Resuelva

el problema usando primero cada fuerza como un todo, y luego aplicando el principio de

momentos.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Respuesta: N.m 433)(1

AFM , N.m 1300)(2

AFM , N.m 800)(3

BFM

Ejemplo 2.8. Problema 4.23 del Hibbeler. Décima Edición. Página 132.

Como parte de un acto acrobático, un hombre soporta una muchacha que pesa 120 lb y está

sentada en una silla situada en la parte superior de un poste. Si el centro de gravedad de la

chica está en G, y el máximo momento en sentido contrario al de las manecillas del reloj

que el hombre puede ejercer sobre el poste en el punto A es de 250 lb.pie, determine el

ángulo máximo de inclinación, , que no permitirá que la muchacha caiga, esto es, que su

momento en el sentido de las manecillas del reloj con respecto a A no exceda de 250 lb. pie.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.9. Problema 4.17 del Hibbeler. Décima Edición. Página 131.

Una fuerza de 80 N actúa sobre el mango del cortador de papel en el punto A. a) Determine

el momento producido por esta fuerza con respecto a la articulación en O, si º60 . b) ¿A

qué ángulo debe aplicarse la fuerza para que el momento que produce con respecto al

punto O sea máximo (en el sentido de las manecillas del reloj? ¿Cuál es ese momento

máximo?

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Ejemplo 2.10. Problema 3.3 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89.

Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de

nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando es igual a 30º.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.11. Problema 3.4 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89.

La fuerza P se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve.

Determine la magnitud y la dirección de la fuerza P mínima que tiene un momento de 19.5

lb.in en sentido contrario de las manecillas del reloj respecto a A.

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Ejemplo 2.12. Problema 3.5 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89.

Una fuerza P de 2.9 lb se aplica a la palanca que controla la barrena de una barredora de

nieve. Determine el valor de si el momento de P respecto a A es en sentido contrario al

de las manecillas del reloj y tiene una magnitud de 17 lb.in.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.13. Problema 3.5 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89.

Una fuerza P de 8 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el momento de P

alrededor de B cuando º25 .

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Ejemplo 2.14. Problema 3.6 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89.

Para la palanca de cambios que se muestra en la figura, determine la magnitud y la

dirección de la fuerza mínima P, que debe tener un momento de 210 lb.in en el sentido de

las manecillas del reloj alrededor de B.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.15. Problema 3.7 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89.

Una fuerza P de 11 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el valor de . Si se

sabe que el momento de P alrededor de B es en el sentido de las manecillas del reloj y que

tiene una magnitud de 250 lb.in.

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Ejemplo 2.16. Problema resuelto 3.3 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 86.

Problema resuelto 3.3 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 73.

Una fuerza de 30 lb actúa sobre el extremo de una palanca de 3 ft, como se muestra en la

figura. Determine el momento de la fuerza con respecto a O.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.17. Problema resuelto 3.1 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 85.

Problema resuelto 3.1 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 71.

Una fuerza vertical de 100 lb se aplica en el extremo de una palanca que está unida a una

flecha en el punto O. Determine: a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O; b)

la fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O; c) la

fuerza mínima aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O; d) qué tan

lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 240 lb para originar el mismo momento

con respecto a O, y e) si alguna de las fuerzas obtenidas en los incisos b), c) y d) es

equivalente a la fuerza original.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.18. Problema 3.1 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89.

Una fuerza de 90 N se aplica a la varilla de control AB como indica la figura. Si la longitud

de la varilla es de 225 mm, determine el momento de la fuerza respecto al punto B

descomponiendo la fuerza en sus componentes a lo largo de AB y en una dirección

perpendicular a AB.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.19. Problema 3.2 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89.

Una fuerza de 90 N se aplica a la varilla de control AB como indica la figura. Si la longitud

de la varilla es de 225 mm, determine el momento de la fuerza respecto al punto B

descomponiendo la fuerza en sus componentes horizontal y vertical.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 25

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.20. Problema 3.2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89.

El pedal para un sistema neumático se articula en B. Si se sabe que º28 , determine el

momento de la fuerza de 16 N alrededor del punto B descomponiendo la fuerza en sus

componentes a lo largo de ABC y en la dirección perpendicular a ABC.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.21. Problema 3.1 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89.

El pedal para un sistema neumático se articula en B. Si se sabe que º28 , determine el

momento de la fuerza de 16 N alrededor del punto B descomponiendo la fuerza en sus

componentes horizontal y vertical.

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 26

Ejemplo 2.22. Problema 3.149 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 151.

Se sabe que la biela AB ejerce sobre la manivela BC una fuerza de 1.5 kN dirigida hacia

abajo y hacia la izquierda a lo largo de la línea central de AB. Determine el momento de esa

fuerza alrededor de C.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.23. Problema 3.12 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90.

Problema 3.148 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 124.

La ventanilla trasera de un automóvil se sostiene mediante el amortiguador BC que se

muestra en la figura. Si para levantar la ventanilla se ejerce una fuerza de 125 lb cuya línea

de acción pasa por el soporte de rótula en B, determine el momento de la fuerza alrededor

de A.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 27

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.24. Problema 3.13 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 90.

La ventanilla trasera de un automóvil se sostiene mediante el amortiguador BC que se

muestra en la figura. Si para levantar la ventanilla se ejerce una fuerza de 125 lb cuya línea

de acción pasa por el soporte de rótula en B, determine el momento de la fuerza alrededor

de A.

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 28

Ejemplo 2.25. Problema 3.9 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90.

Un malacate AB se usa para tensar cables a un poste. Si se sabe que la tensión en el cable

BC es de 1040 N y que la longitud d es de 1.90 m, determine el momento respecto de D de

la fuerza ejercida por el cable C. Para ello descomponga en sus componentes horizontal y

vertical la fuerza aplicada en a) el punto C y b) el punto E.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.26. Problema 3.10 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90.

Un malacate AB se usa para tensar cables a un poste. Se sabe que es necesario aplicar una

fuerza que produzca un momento de 960 N.m alrededor de D para tensar el cable al poste

CD. Si d = 2.80 m, determine la tensión que debe desarrollarse en el cable del malacate AB

para crear el momento requerido alrededor de D.

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 29

Ejemplo 2.27. Problema 3.11 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90.

Un malacate AB se usa para tensar cables a un poste. Se sabe que es necesario aplicar una

fuerza que produzca un momento de 960 N. m alrededor de D para tensar el cable al poste

CD. Si la capacidad del malacate AB es de 2400 N, determine el valor mínimo de la

distancia d para generar el momento especificado respecto de D.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.28. Problema 3.10 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90.

El pescante tiene longitud de 30 pies, peso de 800 lb, y centro de masa en G. Si el momento

máximo que puede ser desarrollado por el motor en A es M = 20000 lb.pie, determine la

carga máxima W, con centro de masa en G´, que puede ser levantada. Considere º30 .

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 30

Ejemplo 2.29. Problema 3.14 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 91.

Un seguidor B circular con diámetro de 64 mm se sostiene contra la leva A como se

muestra en la figura. Si la leva ejerce una fuerza con magnitud de 80 N sobre el seguidor a

lo largo de la normal común BC, determine el momento de la fuerza respecto a la

articulación colocada en D.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.30. Problema 4.41 del Bedford.

El cilindro hidráulico BC ejerce una fuerza de 2200 lb en la pluma de la grúa en C. La

fuerza es paralela al cilindro. El ángulo es º40 . ¿Cuál es el momento de la fuerza sobre

A?

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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Ejercicios propuestos.

9. Determine el momento de cada fuerza con respecto al perno localizado en A. Considere:

a) FB = 40 lb y FC = 50 lb, b) FB = 30 lb y FC = 45 lb.

Respuesta: a) lb.pie 63.90)( AFBM , lb.pie 73.140)( AFC

M ; b) lb.pie 97.67)( AFBM ,

lb.pie 66.126)( AFCM

10. Un mecánico automotriz usa un tramo de tubo AB como palanca para tensar la banda de

la polea de un alternador. Cuando el técnico presiona hacia abajo en A, se ejerce una fuerza

de 485 N sobre el alternador en B. Determine el momento de la fuerza respecto del perno C

si su línea de acción debe pasar por O.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 32

Ejemplo 2.31. Problema 3.147 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 151.

Problema 3.4 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 76.

Una caja de madera de 80 kg de masa se sostiene en la posición mostrada en la figura.

determine a) el momento alrededor de E generado por el peso W de la caja de madera y b)

la fuerza mínima aplicada en B que produce un momento alrededor de E de igual magnitud

pero con sentido opuesto.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.32. Problema 3.3 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89.

Problema 3.147 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 124.

Una fuerza de 300 N se aplica en A como se muestra en la figura. Determine a) el momento

de la fuerza de 300 N alrededor de D y b) la fuerza mínima aplicada en B que produce el

mismo momento alrededor de D.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 33

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.33. Problema 3.4 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89.

Una fuerza de 300 N se aplica en A como se muestra en la figura. Determine a) el momento

de la fuerza de 300 N alrededor de D y b) la magnitud y el sentido de la fuerza horizontal

en C que produce el mismo momento alrededor de D, c) la fuerza mínima aplicada en C

que produce el mismo momento alrededor de D.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.34. Problema 3.6 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89.

Un rótulo está suspendido de dos cadenas AE y BF. Si la tensión en BF es 200 N, determine

a) el momento de la fuerza ejercida por la cadena en B respecto a A, b) la fuerza mínima

aplicada en C que produce el mismo momento respecto a A.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 34

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.35. Problema 3.7 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89.

Un rótulo está suspendido de dos cadenas AE y BF. Si la tensión en BF es 200 N, determine

a) el momento de la fuerza ejercida por la cadena en B respecto a A, b) la magnitud y el

sentido de la fuerza vertical aplicada en C que produce el mismo momento respecto de A, c)

la fuerza mínima aplicada en B que produce el mismo momento respecto a A.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.36. Problema 3.8 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89.

Problema 3.8 del Beer – Jhonston. Décima Edición. Página 76.

Se sabe que es necesaria una fuerza vertical de 200 lb para remover, de la tabla mostrada, el

clavo que está en C. Un instante antes de que el clavo comience a moverse, determine a) el

momento respecto de B de la fuerza ejercida sobre el clavo, b) la magnitud de la fuerza P

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 35

que genera el mismo momento respecto de B si º10 y c) la fuerza P mínima que genera

el mismo momento respecto de B.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.37. Problema 3.8 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 90.

Un atleta se está ejercitando mientras carga en el tobillo, A, un peso de 5 lb, como indica la

figura. Determine a) el momento del peso respecto a la flexión de la rodilla en el punto B,

b) la magnitud de la fuerza P muscular que forma un momento de igual magnitud respecto a

B, c) la fuerza mínima aplicada en C que crea el mismo momento que el peso respecto a B.

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 36

Ejemplo 2.38. Problema 4.31 del Hibbeler. Décima Edición. Página 133.

La grúa puede ser ajustada a cualquier ángulo º900 y a cualquier extensión

m 50 x . Para una masa suspendida de 120 kg, determine el momento desarrollado en A

como una función de x y . ¿Qué valores de x y desarrollan el máximo momento posible

en A? Ignore el tamaño de la polea ubicada en B.

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos.

11. Una caja de madera con masa de 80 kg se sostiene en la posición mostrada en la figura.

Determine a) El momento respecto de E generado por el peso W de la caja de madera, b) la

fuerza mínima aplicada en A que produce un momento alrededor de E de igual magnitud

pero con sentido opuesto, y c) la magnitud, sentido y punto de aplicación sobre la base de la

caja de madera de la fuerza vertical mínima que produce un momento respecto de E de

igual magnitud pero con sentido opuesto.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 37

12. Determine la dirección para º1800 de la fuerza F de manera que produzca a) el

momento máximo con respecto al punto A, y b) el momento mínimo con respecto al punto

A. Calcule el momento en cada caso.

Figura Problemas 34 y 35.

13. Determine el momento de la fuerza F con respecto al punto A como función de .

Grafique los resultados de M (ordenada) vesus (abcisa) para º1800 .

Respuesta: sen 800cos1200 AM

14. Determine la dirección , º180º0 de la fuerza F = 40 lb para que produzca a) el

máximo momento con respecto al punto A, y b) el mínimo momento con respecto al punto

A. calcule el momento en cada caso.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 38

Respuesta: a) lb.pie 330)( máxAM , º0.76 ; b) 0)( mínAM , º166

15. Determine el ángulo a que la fuerza de 500 N debe actuar en A para que el momento

de esta fuerza con respecto al punto B sea igual a cero.

16. El cable de remolque ejerce una fuerza de P = 4 kN en el extremo del aguilón de 20 m

de longitud de la grúa. Si º30 , determine la posición x del gancho localizado en A de

modo que esta fuerza produzca un momento máximo con respecto al punto O. ¿Qué valor

tiene este momento?

Respuesta: x = 24.0 m ; kN.m0.80)( max OM

Figura Problemas 24 y 25.

17. El cable de remolque ejerce una fuerza de P = 4 kN en el extremo del aguilón de 20 m

de longitud de la grúa. Si m 25x , determine la posición del aguilón de modo que esta

fuerza produzca un momento máximo con respecto al punto O. ¿Qué valor tiene este

momento?

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 39

Respuesta: º6.33 ; kN.m0.80)( max OM

18. Los segmentos de tubo D para un pozo petrolero son apretados una cantidad prescrita

usando un juego de tenazas T, que agarran el tubo, y un cilindro hidráulico (no se muestra)

para regular la fuerza F aplicada a las tenazas. Esta fuerza actúa a lo largo del cable que

pasa alrededor de la pequeña polea situada en P. Si originalmente el cable es perpendicular

a las tenazas como se muestra, determine la magnitud de la fuerza F que debe ser aplicada

de manera que el momento alrededor del tubo sea de M = 2000 lb.pie. Para mantener este

mismo momento, ¿qué magnitud de F se requiere cuando las tenazas giran 30º hacia la

posición punteada? Nota: El ángulo DAP no es de 90º en esta posición.

Respuesta: F = 1.33 kip; F´ = 1.63 kip

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 40

Ejemplo 2.39. Problema 4.11 del Bedford.

La longitud de la barra AB es 350 mm. Los momentos ejercidos sobre los puntos B y C por

la fuerza vertical F son MB = –1.75 kN.m y MC = –4.20 kN.m. Determinar la fuerza F y la

longitud de la barra AC.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.40. Problema 4.50 del Bedford.

La línea de acción de F está contenida en el plano x y. El momento de F sobre O es 140

N.m, y el momento de F sobre A es 280 N.m. ¿Cuáles son las componentes de F?

VER SOLUCIÓN.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 41

Ejemplo 2.41. Problema 4.27 del Bedford.

La fuerza F ejerce un momento anti horario de 2000 lb.ft alrededor de A y un momento en

sentido horario de 1000 lb.ft alrededor de B. ¿Cuáles son F y ?

VER SOLUCIÓN.

BIBLIOGRAFÍA.

Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para

ingenieros. Estática, 8a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,

2007.

Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para

ingenieros. Estática, 9a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,

2010.

Beer, F., E. R. Johnston y D. F. Mazurek, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática,

10a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, 2013.

Hibbeler, R. C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10 ed., Pearson Education de

México, S.A de C.V. México, 2004.

Hibbeler, R.C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 11 ed., Pearson Education de

México, S.A de C.V. México, 2010.

Meriam, J. L y L. G. Kraige. Statics. Seventh Edition. John Wiley & Sons, Inc. Estados

Unidos. 2012.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 42

TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y

PROPUESTOS DE MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA).

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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OBRAS DEL MISMO AUTOR.

Serie Problemas Resueltos y Propuestos de:

- Electricidad (Física II).

- Química.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas. Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

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- Cálculo Diferencial.

- Cálculo Integral.

- Cálculo Vectorial.

- Ecuaciones Diferenciales.

- Métodos Numéricos.

- Estadística.

- Termodinámica Básica.

- Termodinámica Aplicada.

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- Fenómenos de Transporte.

Videotutoriales.

Cálculo diferencial: Límites de funciones.

Cálculo diferencial: Derivadas de funciones.

Ecuaciones diferenciales de primer orden.