7/28/2019 Problemas Resueltos Variables Aleatorias Bidimensionales

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA

FPP/20-06-2011

PROBLEMAS RESUELTOS VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALESESTADISTICA (523210. Seccin 4)

1.- Sea ( una variable aleatoria bidimensional discreta con la siguiente\ ] distribucin de probabilidades conjunta:

: B C - B C B " # $ C " # $\]

a) Obtener la constante para que defina de manera correcta una- :BCdistribucin de probabilidades conjunta.

i) Debe cumplirse que ( .: B C \] 0 , a B C V\] ii) En efecto:! !

BV CV\ ] :BC "

: "" : "# : "$ : #" \] \] \] \]

: ## : # $ : $" : $# : $ $ "\] \] \] \] \]

#- $- %- $- %- &- %- &- '- " $'- " - "$'

Luego:

: B C B C B " # $ C " # $\] "$'

O tambin:C

B " # $ : B

"#$

: C "

\ # $ % *$' $' $' $'$ % & "#$' $' $' $'% & ' "&$' $' $' $'

] * "# "%$' $' $'

b) Calcular las siguientes probabilidades:

i) P( 1 4 ii) P( 3 iii) P( 2 iv) P( 2 2\ ] \ ] \ ]

i) P( 1 4\ ] :" " :" # :" $*$'

ii) P( 3\ : $ \ "&$'

iii) P( 2] : # ] "#$'

iv) P( 2 2\ ] :"" #$'

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c) Calcular el valor esperado y la varianza de las variables e : \ ]

I\ !B"

$\

*$' $' $' $'B : B 1 2 3 2.167

12 15 78

Z \ I\ I\ ## # #

1 2 313 13 12 13 15$' $' $' $' $' $'* !'$*I] !B"

$] C : C2.167

Z ] I] I] # !'$*

d) Son e variables aleatorias independientes?\ ]

\ ] a B C Ve variables aleatorias independientes (: B C : B : C\] \ ] \]

Consideremos el par (2,3) V \]

: # : $ \ ] $' $' $' 12 14 7 5

54 : \] 2 3

Entonces, \ ] e son variables aleatorias dependientes.

e) Calcular el coeficiente de correlacin entre e .\ ]

< \] \]Cov

5 5\ ]

Cov \ ] I\ ] I\ I]

I\ ] ! !BV CV\ ]

B C :BC#! *' "')$' $' $' $'

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

CB " # $

"#$

! !BV CV\ ]

B C :BC

# $ % #!$' $' $' $'$ % & $' $' $' $'% & ' *'$' $' $' $'

\ ] Cov 168$'78 78$' $' 0.028

Luego:

< \] !'$* !'$*0.028

0.044

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2.- Sea , una variable aleatoria que\ denota el tiempo hasta que un servidor seconecta con un computador (en milisegundos), e , una variable aleatoria que] denota el tiempo hasta que el servidor autoriza al usuario como vlido (enmilisegundos). Cada una de estas variables aleatorias se miden a partir de untiempo comn de partida y . Suponga que la funcin de densidad de\ ] probabilidades conjunta para e est dada por:\ ]

0 B C ' "! / B C\] ' !!!"B !!!#C

a) Comprobar que cumple las condiciones exigidas a una funcin de densidad0BCde probabilidades conjunta:

i) Se verifica claramente que .0B C ! a B Cii) El rea de la superficie generada por debe ser 1. En efecto:0BC

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b) Calcular P( \ "!!!] #!!!

c) Calcular la probabilidad que el tiempo hasta que el servidor autorice al usuario

como vlido, sea mayor que milisegundos#!!!

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0.0475 0.0025 0.05

d) Obtener la distribucin de probabilidades marginal de la variable aleatoria . ]

e) Supongamos que la distribucin de probabilidades conjunta entre e est dada\ ] por:

0 B C # "! / B C\] ' !!!"B !!!#C

Mostrar que e son variables aleatorias independientes y calcular calcular\ ] P( \ "!!! ] "!!!

Las distribuciones de probabilidades marginales de e son, respectivamente:\ ]

Luego: