1

h

r

r

EXAMEN DE ADMISIÓN I - 2005 SOLUCIÓN DE ALGUNOS PROBLEMAS DE LAS ÚLTIMAS PRUEBAS APLICADAS

MATEMÁTICAS

PROBLEMA 1

Esta pregunta se inscribe dentro del Dominio de la Geometría e indaga por el conocimiento del volumen de algunos sólidos. Un laboratorio farmacéutico quiere sacar una nueva presentación de un medicamento que actualmente vende en pastillas de 6 milímetros de diámetro y 2 milímetros de alto. La nueva presentación será una cápsula formada por un cilindro rematado en sus extremos por semiesferas. Si r es el radio de las semiesferas, la altura total de la cápsula se expresa en la forma

A. 3 50 r

B. 2

3

3 454

rr−

C. 2

3

3 254

rr+

D. 3 56 r

Para hallar la solución al problema se requiere interpretar las condiciones y relaciones que se expresan en el enunciado, plantear una ecuación y transformarla. Los porcentajes de elección entre las diferentes opciones se muestran en la siguiente figura:

C37%

A19%

D17%

B27%

En esta pregunta la opción correcta es la C que reúne el 37% de los aspirantes evaluados; considerando este porcentaje el ítem se considera de dificultad alta. A continuación se ilustran los procedimientos y razonamientos que permiten llegar a su solución.

SOLUCIÓN

La altura total de la cápsula es la suma de la altura de su parte cilíndrica y las alturas de las semiesferas que la rematan, es decir, los radios de las mismas. Si r es el radio de las semiesferas, se tiene que también r es el radio de la parte cilíndrica. Si además se llama h a la altura de esta parte, entonces la altura total de la cápsula es rh 2+ Así, para expresar la altura total de la cápsula en términos de r, basta

expresar h en términos de r. Para hacerlo, se busca relacionar h y r. Estas dos medidas intervienen en la expresión del volumen de la parte cilíndrica, puesto que ese volumen es igual a hr 2 π y el volumen de la cápsula es la suma de los volúmenes de la parte cilíndrica y de las semiesferas, es decir,

( ) 32 34 rhr ππ +

r

h

2

Por otra parte, de acuerdo con el enunciado, cambia la presentación del medicamento y no se menciona que cambie la cantidad que debe llevar la cápsula, de modo que el volumen de esta debe ser igual al de la pastilla. Esta posee la forma de un cilindro de 2 mm de altura y 6 mm de diámetro, es decir, 3 mm de radio. En consecuencia, su volumen es ππ 1823 2 = y es igual al volumen que ya se ha calculado, es decir, se tiene la igualdad

( ) πππ 18 34 32 =+ rhr

Despejando h de esta igualdad se tiene

( ) 32 34 18 rhr πππ −=

Haciendo denominador común en el segundo miembro,

( )3

43 18 3

2 rhr πππ −⋅=

( )3

4 45 3

2 rhr πππ −=

( )2

3

3

4 45

r

rh

π

ππ −=

( )2

3

3 4 45

rrh

πππ −

=

( )2

3

3 4 45

rrh

ππ −

=

Cancelando π se tiene

( )2

3

3 4 45

rrh −

=

Así se obtiene h expresado en términos de r. En consecuencia, la altura total de la cápsula es

( )rr

rrh 2 3

4 45 2 2

3

+−

=+

( )2

33

3 6 4 45 2

rrrrh +−

=+

( )2

3

3 2 45 2

rrrh +

=+

23

3

PROBLEMA 2

Esta pregunta se inscribe dentro del Dominio de la Geometría e indaga por el conocimiento del volumen de algunos sólidos. Un cono que tiene cinco centímetros de diámetro en su base contiene una bola de helado que tiene el mismo diámetro del cono. El helado se derrite en el cono y lo llena completamente. La altura del cono, medida en centímetros es: A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 Para hallar la solución al problema se requiere interpretar las condiciones y relaciones que se expresan en el enunciado, plantear una ecuación y transformarla.

Los porcentajes de respuestas por opción dadas por los aspirantes evaluados se observa en la siguiente gráfica:

A9%

D30%

C38%

B23%

Esta pregunta fue respondida correctamente por el 38% de los evaluados. El ítem muestra que es de alta dificultad. A continuación se ilustra su adecuada solución.

SOLUCIÓN

El volumen de la bola de helado es igual al volumen del cono que la contiene. Tanto la bola como la base del cono tienen 2,5 centímetros de radio, de modo que el volumen de la

primera es ( )35,234 π

y, si se denota con h la

altura del cono, el volumen de éste es

( ) h25,231 π

.

Así, la mencionada igualdad entre los volúmenes corresponde a la ecuación

( ) ( ) h23 5,2315,2

34 ππ

=

Despejando h de esta ecuación se tiene

( )

( )h=

2

3

5,231

5,234

π

π

esto es

( ) h=5,24

es decir,

h=10

rr

4

PROBLEMA 3 El siguiente problema se encuentra inscrito dentro de la parte de la prueba que esta referida a Textos, en este caso la lectura en mención es RENDIMIENO DEPORTIVO EN ALTITUDES. Esta pregunta se encuentra inscrita dentro del Dominio de la Aritmética. Si la intensidad de radiación solar en un lugar situado a nivel del mar es de 100 W/m2, la intensidad a 500 m de altitud estará entre: A. ( )( )502,0100 + y ( )( )504,0100 + B. ( )02,05100 ×+ y ( )04,05100 ×+

C. ( )502,1100 × y ( )504,1100 × D. 2,0500 × y 04,0500 × A través del problema se espera evaluar el reconocimiento de patrones, la interpretación de porcentajes y el manejo de desigualdades. En términos operativos el problema requiere efectuar operaciones con números decimales.

Los porcentajes de respuestas por cada una de las opciones del ítem se muestran en la siguiente gráfica:

A19%D

28%

C22%

B31%

Esta pregunta fue respondida correctamente por el 22% de evaluados, lo cual muestra que es una pregunta difícil, a continuación se muestra los procedimientos que permiten llegar a su respuesta.

SOLUCIÓN

En la lectura se afirma que la intensidad se aumenta de 2 a 4 por ciento cada 100 metros, hasta llegar a los 2000 metros. Esta será la forma de variación para un lugar que esté a 500 metros de altitud. Para un lugar que se halla a 100 metros de altitud, la intensidad mínima será la suma de la intensidad al nivel del mar con el 2% de dicha intensidad; la máxima, la suma de la intensidad al nivel del mar con el 4% de dicha intensidad. Lo anterior es: Si I1 es la intensidad para una altura h1= 100 m, entonces:

( )10002,01001 +≥I (Hipótesis) ( )2,011001 ++≥I (Factorización) ( )02,11001 +≥I

( )10004,01001 +≤I (Hipótesis)

( )04,011001 ++≤I (Factorización) ( )04,11001 ≤I

De lo anterior

( ) ( )04,110002,1100 1 ≤≤ I

Para calcular el rango de variación de la intensidad de radiación ( )2I en un lugar que está a 200 m de altitud ( )2h , hay que tener en cuenta que 10012 += hh , lo que implica que la altura se ha aumentado en 100 m y según el texto: la intensidad se aumenta entre 2 y 4 por ciento de

1I .

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )222

2

2

04,110002,1100

04,0104,110002,0102,110004,004,110004,110002,02,110002,1100

≤≤

+≤≤++≤≤+

I

II

Al hacer un análisis similar para h = 300 m, 400 m, 500 m se concluye que a una altitud h = 500 m, la intensidad I satisface la desigualdad ( ) ( )55 04,110002,1100 ≤≤ I

5

PROBLEMA 4

La siguiente pregunta forma parte de las preguntas referidas a textos, en este caso el texto en mención es el de RENDIMIENTO DEPORTIVO EN ALTITUDES. La pregunta se inscribe dentro del Dominio del Álgebra y en el tema Función Exponencial y Logarítmica. Si la presión atmosférica en un sitio de altitud h se puede determinar usando la expresión

heP 31000 −= , la altitud de un lugar cuya presión es de 540 mb es

A. 350027ln

B.

50027ln

C.

−

5027ln3

D. 35027ln

−

Indaga por el uso de las funciones exponencial y logarítmica en la solución de un problema simple, para resolverlo se requiere reconocer la relación inversa entre las dos funciones.

Los porcentajes de respuesta se muestran en la siguiente gráfica

A18%

D20%

C46%

B16%

En la pregunta sólo el 20% de evaluados la responde correctamente, hay un 46% que se inclina por la opción C, lo cual podría explicarse por algún error operatorio. A continuación se muestra la solución del problema.

SOLUCIÓN

Para determinar h se considera en primer lugar la expresión planteada para la presión P,

heP 31000 −= . Al sustituir el dato dado mbP 540= se obtiene

he 31000540 −=

Se divide por 1000 he 3

1000540 −= y simplificando

queda he 3

5027 −=

Tomando logaritmo natural en los dos lados de la ecuación

h35027ln −= (Pues he h 3ln 3 −=− )

Si se divide por 3− se obtiene

h=−5027ln

31 , ó,

35027ln

−=h

6

PROBLEMA 5

El siguiente problema se inscribe en el Dominio del Álgebra y hace referencia al tema Función Cuadrática.

La siguiente gráfica corresponde a una función cuadrática cuya ecuación es de la forma

( ) .2 cbxaxxfy ++==

Respecto a la función f, NO es posible afirmar que A. 0<a B. 6−=c C. 5=b D. ( ) 11 −>f Para resolver la pregunta debe interpretarse las condiciones dadas en la gráfica y usarlas para determinar los coeficientes de la ecuación. Requiere además reconocer que se indaga por la afirmación incorrecta respecto a la función propuesta.

A continuación se muestran los porcentajes de respuestas para cada una de las opciones propuestas en la pregunta.

A25%

D28%

C30%

B17%

Sólo el 25% de los evaluados respondió correctamente la pregunta. Es importante destacar que en la pregunta se inquiría por la afirmación que NO se puede asegurar de las condiciones presentadas en el problema, lo que imprime un mayor grado de atención sobre la pregunta. A continuación se presenta su solución.

SOLUCIÓN Para comenzar se debe considerar la función y su correspondiente ecuación:

( ) cbxaxxfy ++== 2 (1)

También se deben analizar las condiciones presentadas en la gráfica: la curva pasa por los puntos ( ) ( ) ( )6,0 ,0,1 ,0,6 −− , lo que significa que:

( ) ( ) ( ) 60 ,01 ,06 −===− fff .

Sustituyendo en (1) la última condición se tiene

corrrecta es B opción la 6decir es 006 2

−=+⋅+⋅=−

ccba

La ecuación (1) queda entonces

( ) 62 −+== bxaxxfy .

Falta determinar a y b, para ello se usan las otras condiciones. Reemplazando en (1) ( ) 06 =−f ( ) ( ) ( )

(2) 61 66360

06666 2

ba ba

baf

−=−−=

=−−+−=−

Ahora

( )( ) ( ) ( )

(3) 606111

012

=+=−+=

=

babaf

f

Se tiene ahora un sistema formado por (2) y (3)

616

=+=−

baba

simplificando y transponiendo

7

Combinando estas ecuaciones se obtiene

177

==

aa

Es decir la opción A es falsa porque 0>a

Se sustituye el valor de a en

verdadera es C opción la 5bentonces 61

6

==+=+

bba

Es claro que también ( ) 11 −>f pues 10 −>

PROBLEMA 6

La siguiente pregunta forma parte del Dominio de la Aritmética y se encuentra dentro del tema de Orden de los Número Reales. Si yx e son números reales cualesquiera,

yx < , entonces es posible afirmar que, A. yx −<−

B. yx11

<

C. 22 yx < D. xy −<− En esta pregunta se deben usar las propiedades de la relación de orden en el conjunto de los números reales. Se pueden explorar ejemplos y contraejemplos para determinar si los enunciados propuestos son verdaderos o falsos.

Los porcentajes de respuestas para cada una de las opciones se muestran a continuación.

A21%

D21%

C38%

B20%

Aunque la opción correcta es elegida por un 21% de evaluados, opción D, la tendencia más fuerte se registra en la opción C, es probable que esto suceda porque al resolver el problema consideraron un caso especial y supusieron válida la afirmación en general. A continuación se expone su solución.

SOLUCIÓN

Como yx e son números reales cualesquiera, se debe cumplir la afirmación para todos los números, si es posible encontrar un contraejemplo la afirmación es falsa. La opción A es falsa pues por ejemplo si

3 ,2 =−= yx se tiene que 32 <− pero

( ) 32 −>−− 3- que menor es no 2 32 −> La opción B es falsa pues si 5=x y 7=y es cierto que

75 < pero 71

51>

La opción C es falsa pues si 3−=x y 2−=y se tiene que 23 −<− pero

( ) ( )22 23 −>− esto es 49 > La afirmación correcta es D pues si se multiplica por un número negativo los dos miembros de una desigualdad, la desigualdad cambia de sentido. Al considerar yx < se multiplica por 1− se tiene

( ) ( )yx −>− o lo que es equivalente

xy −<−

8

PROBLEMA 7

El siguiente problema pertenece al Dominio de la Aritmética y forma parte del tema de Secuencias. Observe la siguiente cadena de igualdades:

( ) ?12...531................... ...................

25975311675319531431

=−++++

=++++=+++=++=+

n

Si n es cualquier número natural, la suma

12...531 −++++ n es igual a A. 2n B. ( )21+n

C. ( )212 −n

D. ( )22n La pregunta indaga por el reconocimiento de un patrón (regularidad) y el establecimiento de una generalización. Al analizar la cadena de igualdades y comprobarlas se puede identificar la repuesta correcta.

En seguida se muestran los porcentajes de respuestas por opción.

A18%

D14%

C45%

B23%

El mayor número de escogencias se encuentra en la opción C, al parecer quienes eligen esta opción toman un sumando de la secuencia ( )( )12 −n y la elevan al cuadrado, pero no

analizan la secuencia. A continuación se ilustran dos caminos posibles para llegar a la respuesta correcta.

SOLUCIÓN Un dibujo como el que se presenta a continuación permite reconocer el patrón.

22431 ==+

339531 ==++

24167531 ==+++

La expresión correcta sería ( ) 212...7531 nn =−+++++

2

2

3

3

4

4

9

Formalmente, se podría utilizar inducción para demostrarlo. Es válido para

1=n 11= Es válido para

2=n ( ) 224311221 ==+=−+ x Se supone válido para

( )inducción de Hipótesis kn =

( ) 212...531 kk =−++++ Verificando si se cumple para

1+= kn

( ) ( )( ) =−++−++++ 11212...531 kk Aplicando la hipótesis se tiene que

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )2

2

2

2

112...531

1212...53112212...53111212...531

11212...531

+=−++++

++=−++++

−++=−++++

−++=−++++

=−++−++++

kk

kkkkkkkkk

kk

10

PROBLEMA 8 La siguiente pregunta pertenece al Dominio de la Geometría y se encuentra dentro del tema de Noción de perímetro y área. Un campo rectangular, cuyo largo es el doble del ancho, está encerrado por x metros de cerca. El área del campo, en términos de x, es

A. 18

2x

B. 22x

C. 9

2 2x

D. 2

2x

Para resolver el problema se requiere traducir las condiciones que se expresan en el problema respecto a las dimensiones de la figura y utilizar una expresión para el perímetro y el área.

La siguiente gráfica muestra los porcentajes de respuesta para cada una de las opciones de pregunta.

A10%D

26%

C9% B

55%

La pregunta fue respondida correctamente por el 26% de aspirantes, es notable que un 55% decidieran por la opción B, siendo el tema de la pregunta de un nivel básico. A continuación se muestran los pasos para llegar a su solución.

SOLUCIÓN Primero se escribe una expresión para el perímetro xP = por condición inicial. Si una de las dimensiones es l y la otra a,

xPal ==+ 2 2 (1)

Pero el largo es el doble del ancho, esto es

al 2= Al reemplazar en (1) se tiene

( )

6

6 2 22

xa

xaxaa

=

==+

y

=

=

362 xxl

El área

1836

2xxxlaA =⋅=⋅=

11

FÍSICA

12

Las anteriores preguntas se refieren a dos bloques sobre un plano a los que se les hace una fuerza. Estas preguntas pertenecen al dominio de la Física particularmente al tema de las Leyes de Newton. Para llegar a las respuestas correctas se requiere comprender los conceptos de fuerza, masa, aceleración y las leyes de movimiento de Newton y saberlas aplicar a situaciones sencillas. Los porcentajes de respuesta por opción de las anteriores preguntas se muestran en las siguientes figuras: Pregunta 51 Pregunta 52 Pregunta 53

D44%

A12%

C33%

B11%

D54%

A16%

C9%

B21%

D17%

A33%

C6%

B44%

Pregunta 54 Pregunta 55

D5%

A49%

C19%

B27%

D6%

A5%

C82%

B7%

Estas cinco preguntas que se encontraban referidas a una misma situación fueron de gran complejidad para el grupo evaluado. A excepción de la pregunta 54 que fue respondida correctamente por el 49% de aspirantes en las demás este porcentaje no supera el 10%. A continuación se explica el procedimiento que permite resolver cada una de las preguntas de manera adecuada.

SOLUCIÓN Pregunta 51 Para analizar la situación de los dos bloques se debe empezar por calcular la aceleración del conjunto. Para ello se aplica al conjunto de los dos bloques la segunda ley de Newton: F = Ma En este caso, F es la fuerza externa aplicada y M es la masa total. Entonces la aceleración del conjunto es:

24312 sm

kgN

mFa ===

Pregunta 52 El bloque B se mueve con esta aceleración, su masa es de kgmB 2= , entonces la magnitud de la fuerza ejercida por el bloque A sobre el bloque B, FAB es:

NsmkgamF BAB 842 2 =⋅== Pregunta 53 La tercera ley de Newton establece que si A ejerce una fuerza sobre B, entonces B ejerce una fuerza sobre A de igual magnitud y sentido opuesto. Por lo tanto, BAAB FF =

NFF BAAB 8==

13

Pregunta 54 Si los bloques en t = 0 están en reposo, la velocidad del conjunto en t = 3 s será

tav ⋅= luego smssmv /1234 2 =⋅= Pregunta 55 La distancia que recorren los bloques durante 5 s iniciando con velocidad 4 m/s se puede calcular teniendo en cuenta que la velocidad final es:

tavv f ⋅+= 0 smssmsmvf 24544 2 =⋅+=

Que es la velocidad al chocar contra el muro, entonces la velocidad media en el intervalo de 5 s es:

( ) smsmsmvmed 142244

=+

=

Luego el espacio recorrido v∆ , en metros, será de:

tvx med∆=∆

Reemplazando valores se tiene

mssmx 705/14 =⋅=∆

14

15

Las preguntas anteriores están referidas al movimiento de un carrito sobre unos planos inclinados sin fricción. Las preguntas se inscriben en el tópico de cinemática en una dimensión. Para llegar a las respuestas correctas se requiere manejar los conceptos de velocidad media e instantánea, y los de aceleración media e instantánea. Igualmente se requiere que más que el manejo de fórmulas el estudiante esté en capacidad de aplicar un razonamiento por proporciones a una situación concreta. Los porcentajes de respuesta por opción de las anteriores preguntas se muestran en la siguiente figura: Pregunta 51 Pregunta 52 Pregunta 53

D15%

A14%

C47%

B24%

D21%

A11%

C22%

B46%

D24%

A11%

C21%

B44%

Pregunta 54 Pregunta 55

D19%

A38%

C30%

B13%

D6%

A45%

C21%

B28%

Estas cinco preguntas que se encontraban referidas a una misma situación resultaron complejas para el grupo evaluado. La pregunta 54 fue respondida correctamente por el 30 % que representa el porcentaje más alto de acierto, en las demás preguntas este porcentaje oscila entre 14 y 28 %. A continuación se explica el procedimiento que permite resolver cada una de las preguntas de manera adecuada.

SOLUCIÓN Hay tres planos, uno horizontal y dos inclinados. La velocidad media en los planos inclinados es igual al promedio de la velocidad en el nivel superior (0) y la velocidad en el nivel inferior vCE Por lo tanto: Pregunta 51

Velocidad media 2

ofm

vvv +== por lo tanto como 0== HA vv , EC vv = porque en este intervalo la

velocidad es constante. Se tiene

22CAc

ACvvvV =

+= , C

CCECE VvvvV ==

+=

22

2 y

222CEEH

EHvvvvV ==

+=

Igualando se tiene:

CAC vV =⋅2 , CEH vV =⋅2 y CCE vV = por lo tanto CEEHAC VVV =⋅=⋅ 22

16

Pregunta 52 Aplicando las leyes de Newton a un objeto que se desliza sobre un plano inclinado sin fricción se tiene que ( ) amsengm ⋅=⋅⋅ α luego ( )αsenga ⋅= es decir que sobre cada plano la aceleración es constante y a mayor ángulo mayor aceleración, luego:

BAHGFD aaaaaa =<==<

Pregunta 53 La aceleración en el plano horizontal es cero. Como la velocidad media en los planos inclinados es la misma, los tiempos que el carrito gasta en recorrerlos son directamente proporcionales a sus longitudes:

21

=EH

AC

tt y EHAC tt

21

=

La velocidad media en el plano horizontal CE es el doble que la velocidad en los planos inclinados, por lo tanto

EHACCE ttt41

21

==

Pregunta 54 En el punto D, sobre el plano horizontal, el carro rueda sin fricción y por lo tanto la fuerza neta sobre él es cero y mantiene una velocidad constante. Es interesante señalar que en la mayoría de los aspirantes persiste el error aristotélico de asociar fuerza con movimiento y no con cambio de velocidad. Pregunta 55 Cuando el móvil sube por la pendiente la fuerza neta, que es la resultante del peso y la normal, no se dirige hacia delante sino hacia abajo paralela al plano.

17

Las anteriores tres preguntas tienen como propósito evaluar la interpretación de una gráfica de calentamiento de una sustancia que cambia de fase. Los porcentajes de respuestas por opción para cada pregunta se muestran en las siguientes gráficas. Pregunta 69

D44%

A31%

C12%

B13%

Pregunta 70

D45%

A9%

C25%

B21%

Pregunta 71

D17%

A50%

C12%

B21%

Las preguntas 69 y 70 fueron de dificultad alta para el grupo evaluado, se encontraron los siguientes porcentajes: pregunta 69 el 31%; pregunta 70 el 21%. La pregunta 71 fue de dificultad media siendo respondida por el 50% de evaluados. A continuación se explica su solución.

0 < t < 15

18

SOLUCIÓN

Es necesario analizar la gráfica del calentamiento del agua en los diferentes intervalos. Primer intervalo: 0 < t < 10 (t en minutos). El agua permanece en estado sólido y se calienta desde

°−= 30T hasta °= 0T . Segundo intervalo: 10 < t < 15. En este intervalo la temperatura permanece constante ( )°= 0T , mientras ocurre el cambio de fase de hielo a agua líquida, por lo tanto coexisten las fases sólida y líquida del agua durante este intervalo. Tercer intervalo: 15 < t < 25. El agua líquida aumenta su temperatura desde 0° hasta 100°. Cuarto intervalo: 25 < t < 40. La temperatura permanece constante durante el cambio de fase de líquido a gas. El agua está parcialmente en estado líquido, parcialmente en estado gaseoso. Quinto intervalo: 40 < t < 45. El agua, toda en estado gaseoso, aumenta su temperatura desde 100° hasta 130°.

19

QUÍMICA

20

Las anteriores preguntas están inscritas dentro del área de Química y forman parte de varios dominios y tópicos o temas. Para resolver las preguntas deben ponerse en juego habilidades y conocimientos como los que se indican en cada ítem. Los porcentajes de respuestas por opción para las anteriores seis preguntas se muestran en las siguientes gráficas. Pregunta 56 Pregunta 57 Pregunta 58

D7%

A39%

C47%

B7%

D19%

A30%

C40%

B11%

D23% A

31%

C13%

B33%

Pregunta 59 Pregunta 60 Pregunta 61

D33%

A14%

C19%

B34%

D19% A

23%

C27%

B31%

D45%

A23%

C15%

B17%

Las anteriores preguntas tuvieron porcentajes de respuestas correctas que oscilaron entre 23% y 45%, puede considerarse que este conjunto de preguntas fue de dificultad alta y media para el grupo evaluado. A continuación se exponen los argumentos que sustentan las respuestas correctas.

21

SOLUCIÓN

Pregunta 56 Dominio: Química general, fisicoquímica Tema específico: ecuación de estado de gases ideales Habilidades requeridas: reconocimiento de condiciones variables y constantes entre dos estados de un gas ideal, planteamiento de relaciones de proporcionalidad inversa entre la presión y el volumen de un gas ideal, despeje de ecuaciones de primer grado con una variable. A partir de la ecuación de estado de los gases ideales, los dos estados del helio (en la costa y en el otro sitio) se relacionan mediante la ecuación:

2211 VPVP = (1)

Esto es, porque la temperatura y el número de moles permanece constante en uno u otro sitio. La presión en el sitio lejos de la costa, P2, se relaciona con la presión en la costa, P1, según el problema, mediante la equivalencia:

31

2

PP = (2)

De tal modo que sustituyendo P2 en (1), desde (2), y despejando V2, se obtiene:

V2 = 3V1 (3) El volumen del helio se triplica cuando la presión disminuye a un tercio de la existente en la costa. Pregunta 57 Dominio: Química general, Química inorgánica Tema específico: Nomenclatura química inorgánica Habilidades requeridas: reconocimiento de fórmulas de oxácidos, observación del número de oxidación de los elementos en la fórmula, asignación del nombre correcto. El hidrógeno tiene como número de oxidación más común +1, el oxígeno, por su parte, tiene –2, el mayor número de oxidación del nitrógeno es +5, entonces el ácido nítrico debe tener la fórmula condensada HNO3. Pregunta 58 Dominio: Química general, Química inorgánica Tema específico: reacciones redox Habilidades requeridas: reconocimiento de la especie fácilmente oxidable en la aleación (serie electroquímica), balanceo de ecuaciones de reacción, identificación de las especies participantes en la corrosión. De los dos elementos componentes de la aleación, el más fácilmente oxidable es el cobre. Para que haya corrosión en el metal participan activamente el agua y el oxígeno. Esto descarta las opciones C y D. Los números de oxidación que presenta el cobre naturalmente son +1 y +2. Prácticamente no se habla de cobre +3. En la opción A, el cobre aparece en el producto de la reacción como una especie donde tendría número de oxidación +3. En consecuencia esto descarta la opción A y deja como opción válida la B.

22

Pregunta 59 Dominio: Química general, fisicoquímica Tema específico: estequiometría de partículas, soluciones Habilidades requeridas: comprensión del concepto de solubilidad, miscibilidad, concentración, dilución saturación, reconocimiento, en la práctica, de la diferencia entre solución verdadera y solución coloidal. Cuando se mira la etiqueta de una botella de vinagre comercial se puede ver que expresa la concentración en porcentaje con valores inferiores al 6 %. El ácido acético es miscible con el agua en todas las proporciones, en consecuencia no es fácil tener una solución saturada o sobresaturada de este en agua. Obviamente, la concentración indicada en la etiqueta corresponde a la de una solución diluida. No es una solución coloidal, porque es claro que un rayo de luz atravesando el vinagre no presenta efecto Tyndall. Pregunta 60 Dominio: Química general Tema específico: estequiometría de partículas, soluciones Habilidades requeridas: comprensión del concepto de mol y de molaridad, establecimiento de relaciones de proporcionalidad entre variables asociadas por la expresión de concentración en una solución, despeje de ecuaciones de primer grado con una incógnita, sustitución de variables por valores discretos conocidos.

aguaLCaClmoles

CaClgCaClmol

aguaLaguamL

aguamLCaClg 2

2

22

111100100005,0

1111

11000

10005,0

××

=

Pregunta 61 Dominio: Química orgánica Tema específico: estructura molecular, nomenclatura química orgánica Habilidades requeridas: reconocimiento de símbolos de escritura en fórmulas estructurales, conocimiento de grupos funcionales y funciones químicas orgánicas en compuestos comunes En esta pregunta solo debe reconocerse el grupo funcional característico de cada clase de compuesto o función química por ejemplo:

O

OC

RC

O

H

O H

O

CO

OH

NH2

aldehido

alcohol

éter

ácido carboxílico

éster carboxílico

amina

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24

Las anteriores preguntas están inscritas dentro del área de Química y forman parte de varios dominios y tópicos o temas. Para resolver las preguntas deben ponerse en juego las habilidades y conocimientos como los que se indican en cada ítem. Los porcentajes de respuestas por opción para las anteriores seis preguntas se muestran en las siguientes gráficas. Pregunta 56 Pregunta 57 Pregunta 58

D11% A

35%C16%

B38%

D21%

A39%

C23%

B17%

D11%

A33%

C48%

B8%

Pregunta 59 Pregunta 60 Pregunta 61

D17%

A15%

C27%

B41%

D19%

A31%

C37%

B13%

D9%

A31%

C39%

B21%

Las anteriores preguntas tuvieron porcentajes de respuestas correctas que oscilaron entre 21% y 41%, puede considerarse que este conjunto de preguntas fue de dificultad alta para el grupo evaluado. A continuación se exponen los argumentos que sustentan las respuestas correctas.

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SOLUCIÓN Pregunta 56 Dominio: Química general, Química inorgánica Tema específico: Nomenclatura química inorgánica Habilidades requeridas: reconocimiento de fórmulas de sales, observación del número de oxidación de los elementos en la fórmula, asignación del nombre correcto El magnesio, elemento del grupo II, tiene como número de oxidación más estable +2. El ion cloruro es cloro con número de oxidación –1. La molécula es eléctricamente neutra. Entonces, cloruro de magnesio es MgCl2. Pregunta 57 Dominio: Química general, Química inorgánica Tema específico: reacciones redox Habilidades requeridas: reconocimiento de la especie fácilmente oxidable en la aleación (serie electroquímica), balanceo de ecuaciones de reacción, identificación de las especies participantes en la corrosión. El hierro naturalmente en forma de ion estable no tiene número de oxidación +4, +1, o +1/2. En las ecuaciones dadas en A y en C, no participa el agua, una de las sustancias que, junto con el oxígeno ocasionan la corrosión de estos materiales. Entonces la opción válida es la oxidación de hierro elemental hasta hierro (II) para formar hidróxido ferroso, en primera instancia. Pregunta 58 Dominio: Química general, fisicoquímica Tema específico: ecuación de estado de gases ideales Habilidades requeridas: reconocimiento de condiciones variables y constantes entre dos estados de un gas ideal, planteamiento de relaciones de proporcionalidad inversa entre la presión y el volumen de un gas ideal, despeje de ecuaciones de primer grado con una variable.

Se indica que la presión del nuevo lugar, P2, equivale a la mitad de la presión a la orilla del mar, 2

1P , y se

mantienen la temperatura y el número de moles del gas constantes. Entonces

221

2211

VPVPVP ==

Por consiguiente 12 2VV = ; el volumen ocupado por el helio en el nuevo lugar equivale al doble del que ocupaba en la costa, en esas condiciones, siempre que se comporte como gas ideal. Pregunta 59 Dominio: Química general Tema específico: estequiometría de partículas, ecuación de estado de los gases Habilidades requeridas: comprensión del concepto de mol, establecimiento de relaciones de proporcionalidad entre las variables en la ecuación de estado de los gases ideales, despeje de ecuaciones de primer grado con una incógnita, sustitución de variables por valores discretos conocidos. El número de moles de helio, n, multiplicado por la masa molar del helio, 4 g/mol, será la masa de helio en el globo en cualquier situación.

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A orillas del mar, ( ) ( )111 RTVPn ÷= , y en el nuevo lugar, ( ) ( )212 RTVPn ÷= de modo que

( ) ( )22111 RTnVPRTn == es decir ( ) ( )

=÷=

2

112112 T

TnRTRTnn por consiguiente la masa de helio

necesaria para mantener el mismo volumen del globo en el nuevo lugar está dada por 2

114TTnm ⋅= , que

se traduce en la expresión de la opción B. Pregunta 60 Dominio: Química general, fisicoquímica Tema específico: estequiometría de partículas, soluciones Habilidades requeridas: comprensión del concepto de solubilidad, miscibilidad, concentración, dilución saturación, reconocimiento, en la práctica, de diferencia entre solución verdadera y solución coloidal. Cuando se mira la etiqueta de una botella de vinagre comercial se puede ver que expresa la concentración en porcentaje con valores inferiores al 6 %. El ácido acético es miscible con el agua en todas las proporciones, en consecuencia no es fácil tener una solución saturada o sobresaturada de este en agua. Obviamente, la concentración indicada en la etiqueta corresponde a la de una solución diluida. No es una solución coloidal, porque es claro que un rayo de luz al atravesar el vinagre no presenta efecto Tyndall. Pregunta 61 Dominio: Química orgánica Tema específico: estructura molecular, nomenclatura química orgánica Habilidades requeridas: reconocimiento de símbolos de escritura en fórmulas estructurales, conocimiento de grupos funcionales y funciones químicas orgánicas en compuestos comunes. En esta pregunta solo debe reconocerse el grupo funcional característico de cada clase de compuesto o función química, por ejemplo:

O

OC

RC

O

H

O H

O

CO

OH

NH2

aldehido

alcohol

éter

ácido carboxílico

éster carboxílico

amina