Problemas resueltos de inducción Problemas resueltos sobre inducción.
Problemas Resueltos EDP (1)
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Universidad de Chile Facultad de Ciencias F´ ısicas y Matem´ aticas Departamento de Ingenier´ ıa Matem´ atica MA2001-1 - C´ alculo En Varias Variables 09 de noviembre de 2014 Problemas resueltos Problemas resueltos: E.D.P. Profesor: Marcelo Leseigneur Auxiliares: Nicolas Godoy, Donato V´ asquez P1. Sea f : R 2 → R de clase C 2 , considere la siguiente ecuaci´ on en derivadas parciales ∂ 2 f ∂x 2 = 1 v 2 ∂ 2 f ∂y 2 (1) Nos proponemos determinar todas las soluciones de la ecuaci´ on anterior (a) Sea φ : R 2 → R 2 un cambio de variable definido por φ(x, t)= x + vt x − vt = u w Muestre que la funci´on g : R 2 → R definida por g(u, w)= f ◦ φ −1 (u, w) esta bien definida y es de clase C 2 . Soluci´on: Esto se puede ver como un sistema de ecuaciones x + vt = u, x − vt = w Luego x = u + w 2 ,t = u − w 2v φ −1 (u, w)= u+w 2 u−w 2v Por lo tanto como φ −1 (u, w) es C 2 por ´ algebra de funciones C 2 , luego g esta bien definida y es C 2 porcomposici´on de funciones C 2 . (b) Usando el cambio de variables anterior, pruebe que la ecuaci´ on se transforma en ∂ 2 g ∂u∂w =0, ∀(u, w) ∈ R 2 (2) Soluci´on: En este contexto se tiene que f (x, y)= g(x + vt, x − vt) Ahora nesitamos calcular las derivadas parciales de f y luego usaremos la ecuaci´on para obenter lo pedido. ∂f ∂x (x, t)= ∂g ∂u (u, w) ∂u ∂x + ∂g ∂w (u, w) ∂w ∂x ∂f ∂x (x, t)= ∂g ∂u (u, w)+ ∂g ∂w (u, w) ya que ∂w ∂x = ∂u ∂x = 1, en los proximos pasos omitiremos en que est´ an evaluadas las derivadas, pero se seguira el mismo patr´ on. ∂f ∂y = ∂g ∂u ∂u ∂t + ∂g ∂w ∂w ∂t ∂f ∂x = ∂g ∂u v − ∂g ∂w v Este paso en general es clave, pues es f´acil equivocarse al calcular las segundas derivadas, tambien hay que tener ojo con que la func´ on dea C 2 , para poder intercambiar las derivadas, si no lo es entonces no se puede. ∂ 2 f ∂x 2 = ∂ 2 g ∂u 2 ∂u ∂x + ∂ 2 g ∂w∂u ∂w ∂x + ∂ 2 g ∂u∂w ∂u ∂x + ∂ 2 g ∂w 2 ∂w ∂x 1
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
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Universidad de ChileFacultad de Ciencias Fsicas y MatematicasDepartamento de Ingeniera MatematicaMA2001-1 - Calculo En Varias Variables09 de noviembre de 2014
Problemas resueltos Problemas resueltos: E.D.P.Profesor: Marcelo Leseigneur
Auxiliares: Nicolas Godoy, Donato Vasquez
P1. Sea f : R2 R de clase C2, considere la siguiente ecuacion en derivadas parciales
2f
x2=
1
v22f
y2(1)
Nos proponemos determinar todas las soluciones de la ecuacion anterior
(a) Sea : R2 R2 un cambio de variable definido por
(x, t) =
(x+ vtx vt
)=
(u
w
)
Muestre que la funcion g : R2 R definida por g(u,w) = f 1(u,w) esta bien definida y es de clase C2.Solucion: Esto se puede ver como un sistema de ecuaciones
x+ vt = u, x vt = w
Luego
x =u+ w
2, t =
u w
2v
1(u,w) =
(u+w2
uw2v
)
Por lo tanto como 1(u,w) es C2 por algebra de funciones C2, luego g esta bien definida y es C2 por composicionde funciones C2.
(b) Usando el cambio de variables anterior, pruebe que la ecuacion se transforma en
2g
uw= 0, (u,w) R2 (2)
Solucion: En este contexto se tiene que
f(x, y) = g(x+ vt, x vt)
Ahora nesitamos calcular las derivadas parciales de f y luego usaremos la ecuacion para obenter lo pedido.
f
x(x, t) =
g
u(u,w)
u
x+
g
w(u,w)
w
x
f
x(x, t) =
g
u(u,w) +
g
w(u,w)
ya que wx
= ux
= 1, en los proximos pasos omitiremos en que estan evaluadas las derivadas, pero se seguirael mismo patron.
f
y=
g
u
u
t+
g
w
w
t
f
x=
g
uv
g
wv
Este paso en general es clave, pues es facil equivocarse al calcular las segundas derivadas, tambien hay quetener ojo con que la funcon dea C2, para poder intercambiar las derivadas, si no lo es entonces no se puede.
2f
x2=
2g
u2u
x+
2g
wu
w
x+
2g
uw
u
x+
2g
w2w
x
1
-
2f
x2=
2g
u2+ 2
2g
uw+
2g
w2
Ya que la funcion es C2 se tiene 2g
uw=
2gwu
. Luego
2f
t2= v
(2g
u2u
t+
2g
wu
w
t
) v
(2g
uw
u
t+
2g
w2w
t
)
Ahora reemplazando ut
= v y wt
= v Se tiene
2f
t2= v
(2g
u2v
2g
wuv
) v
(2g
uwv
2g
w2v
)
2f
t2= v2
(2g
u2 2
2g
uw+
2g
w2
)
finalmente podemos reemplazar en la ecuacion (1) y nos queda
2g
u2+ 2
2g
uw+
2g
w2
y finalemte queda2g
uw= 0, (u,w) R2
(c) Determine la solucion general de la ecuacion (2) y deduzca una solucion de la ecuacion (1). Encuentre unasolucion particular para f que no sea ni la funcion nula, ni un polinomio.Solucion: De (2) podemos deducir que g
wes constante con respecto a u, por lo tanto es de la forma
g
w= C1(w)
Ya que solo es constante con respesto a u y podra tener una dependencia de w. Integrando se tiene
g(u,w) =
C1(w)dw + C2(u)
y por comodidad llamemos C3(w) =C1(w)dw, con lo cual queda
g(u,w) = C3(w) + C2(u)
y por lo tanto como u = x+ vt y w = x vt
f(x, t) = C3(x vt) + C2(x+ vt)
Una solucion podra ser C3(x) = cos(x) y C2(x) = sen(x) y queda
f(x, t) = cos(x vt) + sen(x+ vt)
P2. Sea v : (0,) R de clase C2 y definamos
u(x, y) = v(r(x, y)) con r(x, y) =x2 + y2
Pruebe que
u(x, y) = v(r) +1
rv(r)
y usea esta formula para encontrar una solucion particular de u de clase C2 del problema
P =
u(x, y) = 0 si 1 x2 + y2 4
u(x, y) = 0 si x2 + y2 = 1
u(x, y) = 1 si x2 + y2 = 4
2
-
Solucion: Recordemos que
u(x, y) =2u
x2+
2u
y2
Calculemos las derivadas parcialesu
x= v(r)
r
x= v(r)
xx2 + y2
u
y= v(r)
r
y= v(r)
yx2 + y2
Luego las segundas derivadas son2u
x2= v(r)
r
x
xx2 + y2
+2r
x2v(r)
Con2r
x2=
y2
(x2 + y2)3
2
y por lo tanto2u
x2= v(r)
x2
x2 + y2+
y2
(x2 + y2)3
2
v(r)
Analogamente2u
y2= v(r)
y2
x2 + y2+
x2
(x2 + y2)3
2
v(r)
Al sumar las dos expresiones2u
x2+
2u
y2= v(r) +
x2 + y2
(x2 + y2)3
2
v(r)
como r =x2 + y2 queda
2u
y2= v(r) +
1
rv(r)
Ahora el problema queda
(P) =
v(r) + 1
rv(r) = 0 1 r 2
v(1) = 0
v(2) = 1
Ahora si usamos p = v el problema queda
p +1
rp = 0
p
r=
p
r
dp
p=
dr
r
integrando a ambos lados
log(p) = log(r) + C,C R p =A
r,A R+
luego v(r) = Arentonces v = A log(r) +B con B R, ahora para calcular las constantes necesitamos imponer las
condiciones de borde v(1) = 0 y v(2) = 1v(1) = B B = 0
v(2) = A log(2) A =1
log(2)
por lo tanto
v(r) =log(r)
log(2)
y finalmente como r =x2 + y2 se tiene una solucion para u
u(x, y) =log(
x2 + y2)
log(2)
3
