Problemas resueltos de Hidraulica 2002.pdf

CI41A – Hidráulica Sem. Otoño 2002 Prof. Yarko Niño Aux.: Carlos Reiher

© 2002. Prohibida la reproducción sin la autorización de la División de Recursos Hídricos y Medio Ambiente, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile

AUXILIAR 1 26 de Marzo del 2002

1. a) Determinar la distribución de caudales en un sistema de 2 bombas en paralelo, dadas las curvas

características de las bombas, despreciando pérdidas singulares en el sistema. Además, determinar los rangos de valores de alturas de elevación con que opera cada bomba y el sistema completo.

Curvas de las bombas: H1(Q1) = a - b Q1

2 a,b > 0 H2(Q2) = c - d Q2

2 c,d > 0; a > c; b > d b) Un sistema de abastecimiento de agua potable está originalmente conformado por un sistema de dos

bombas en paralelo, pero se desea complementar con otro grupo de bombas para poder efectuar el mantenimiento del sistema. Ambos grupos de bombas conformar el sistema de la figura, donde además se distinguen una serie de válvulas. Cuando el sistema funciona en forma regular, las válvulas A, B y C se encuentran completamente abiertas, en tanto que D, E y F están cerradas. Determinar las válvulas que se deben operar y cual es el número mínimo de bombas a emplear cuando:

i. La bomba 1 está fuera de servicio ii. La bomba 2 está fuera de servicio

Nota: Despreciar todo tipo de pérdidas de carga. Datos: Bomba 1: H = 130 – 350 Q2 ZI = 0 [m] Bomba 2: H = 80 – 90 Q2 Q0 = 0,75 [m3/s] Bomba 3: H = 75 – 35 Q2 Bernoulli mínimo requerido en II = 60 [m] H en [m], Q en [m3/s]

B1

B2

Q0

Q1

Q2

B1

B2

B3

B3

Hacia el centro de consumo

Estanque de almacenamiento

ZI

ZII

A

B

D

C

F

E



2. En el sistema de la figura se aprecia una conducción de agua entre dos estanques, en un recorrido que incluye una serie de singularidades (cambios de dirección, contracciones, válvulas, etc.).

a) Determinar la altura del estanque de la derecha, cuando el sistema conduce un caudal Q0 y la

válvula se encuentra completamente abierta. b) Determinar el ángulo de apertura de la válvula del sistema para que el caudal se reduzca a la mitad,

conservando el nivel de los estanques.

Datos: Q = 0,1 [m3/s] ν = 1x10-6 [m2/s] D1 = 0,40 [m] L1 = 200 [m] ε1 = 1 [mm] D2 = 0,25 [m] L2 = 160 [m] ε2 = 1 [mm] ZA = 10 [m] ZS = 15 [m] H(bomba) = 15 – 300 Q2 ( H en [m], Q en [m3/s] )

B

ZA ZB

Codos 90º R = 0.5 m

Codos 90º R = 0.5 m

Entrada con bordes redondeados R = 0.02 m

Contracción brusca

Válvula mariposa

Salida: expansión brusca

ZS

D1, L1, ε1 D2, L2, ε2

Q



AUXILIAR 2 9 de Abril del 2002

1. En el sistema de tuberías de la figura, dos estanques están conectados por una tubería de diámetro D y

largo 2L. A una distancia L del estanque 1 existe una chimenea de diámetro Dch y altura H. Inicialmente el nivel de los estanques 1 y 2 es el mismo y la chimenea está llena de agua, a punto de verter.

Considerando el fluido incompresible, la tubería indeformable, y despreciando las pérdidas friccionales y singulares en todas las tuberías y la altura de velocidad en la chimenea, se pide:

a) Determinar la velocidad inicial en cada tramo de la tubería. b) Si el nivel en el estanque 1 se mantiene constante, y el estanque 2 varía de acuerdo a la ecuación:

Z2(t) = H + α · t

donde α es una constante positiva y t denota tiempo, determinar expresiones que permitan calcular la magnitud y dirección de las velocidades en ambos tramos de tubería y en la chimenea en función del tiempo. ¿Cuánto valen las velocidades al cabo de 10 minutos?

c) Determinar el volumen de agua vertido a través de la chimenea al cabo de 10 minutos. Indicar si el

volumen resultante, en el caso de no despreciar las pérdidas friccionales en el sistema, es mayor o menor a este valor.

Datos: D = 0,1 [m]; Dch = 1 [m]; L = 500 [m]; H = 10 [m]; α = 0,0017 [m/s]

Z2 Z1

H

L L

D D

Dch



2. Un tubo de diámetro d se dobla formando un triángulo equilátero, como se muestra en la figura. En él se introducen tres líquidos de densidades ρ1, ρ2 y ρ3. Cada uno de los líquidos tiene el mismo volumen (πd2/4 · L). Si el líquido de densidad r1 ocupa completamente la rama de la izquierda del triángulo y en t=0 se le deja oscilar libremente, se pide:

a) Determinar la ecuación diferencial que permite determinar la posición de una de las interfaces. b) Graficar y discutir lo que se esperaría considerando fricción dentro del tubo.

Situación en t = 0 t > 0

L >> D ; ρ2 > ρ1 > ρ3

L

d

ρ1

ρ2

ρ3

g



AUXILIAR 3 8 de Mayo del 2002

1. Los excesos de agua de un embalse, generados cuando ocurren intensas precipitaciones en la cuenca

aportante a este reservorio, pasan por un pequeño tramo de canal rectangular, antes de llegar a un rápido de descarga. En este canal rectangular se tiene un ensanche brusco justo en la mitad de su longitud. Considerando despreciables las pérdidas del sistema, excepto en el rápido de descarga, donde existe una pérdida friccional J por unidad de largo, determine el caudal que se está virtiendo, las alturas de escurrimiento en las secciones indicadas, y la distancia a la que llega el agua al pasar por el salto de esquí ubicado en el extremo del rápido.

30 m

31,8 m

0 m

b1 = 1 m b1 = 1,5 m

40 m

r = 5 m

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

H = 3 m

J = 0.58



2. Para el canal esquematizado en la figura, de sección rectangular y ancho variable según se indica, si se sabe

que Q = 6 [m3/s] y que aguas abajo de la compuerta siempre hay escurrimiento supercrítico, se pide:

a) Suponiendo que la compuerta está completamente abierta (no controla el escurrimiento):

i. Determinar si es posible que escurra un torrente de h1 = 0.5 [m] en el tramo 1. Fundamente usando las curvas h-E.

ii. En función del análisis anterior determinar las alturas de escurrimiento del sistema,

considerando despreciable la pérdida de energía.

b) Si la compuerta se opera de modo que sí controla el escurrimiento, calcular la altura mínima de ella para que no se alteren las características del escurrimiento en el tramo 1, según lo calculado en a)

Datos: b1 = 4 [m] b2 = 2.5 [m] b3 = 3 [m] µ = 0.6 (coef. de contracción)

Q

b1 b2 b3

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3



AUXILIAR 4 28 de Mayo del 2002

1. Se pide analizar el sistema de la figura, compuesto por un canal trapecial de ancho basal bT y taludes k, que

cambia a una sección rectangular de ancho B antes de producirse el cruce de un puente. A continuación del puente, existe una grada de bajada, para ingresar a un ducto circular.

Determinar las alturas de escurrimiento en las distintas secciones, sabiendo que el ducto no está influenciado desde aguas abajo, y despreciando todo tipo de pérdidas de energía, para los siguientes casos:

a) Q = 1,0 [m3/s] b) Q = 2,5 [m3/s]

Datos: BT = 1 [m] k = 1,5 B = 1,9 [m] b = 0,5 [m] a = 0,1 [m] H = 1,2 [m] Propuestos: - Determinar el caudal máximo admisible en el sistema, considerando que la altura en la sección del

puente está acotada por la altura H a la que se encuentra éste del fondo de la conducción. - Determinar los caudales límites para los cuales ocurre crisis en más de una sección. Discrimine cual

consideraría como control hidráulico en un caso real (considerando pérdidas de energía).

BT B

b

b

b

k

Q D Q

a

H



2. Un canal de riego, que conduce un caudal Qo, posee una compuerta que permite controlar las alturas de escurrimiento, seguida más abajo por una grada de subida. Esta conducción, hacia aguas abajo, posee un aporte lateral de un caudal QA , y la altura de escurrimiento impuesta por condiciones de aguas abajo es ho.

Se pide determinar la abertura de la compuerta de modo que el resalto que se produce, ocurra al pie de ésta. Además, determinar la altura de escurrimiento aguas arriba de la compuerta en estas condiciones. Suponga que la distancia entre la compuerta y la grada de subida es tal que permite el desarrollo de un resalto completo Datos: Qo = 3 [m3/s] ho = 1,2 [m] b = 2 [m] QA = 1 [m3/s] µ = 0,6 c = 0,2 [m] Propuesto: - Analizar que pasa con las alturas de escurrimiento aguas arriba y abajo de la compuerta al operarla.

Determinar en que casos ocurre un resalto ahogado o rechazado.

c

Qo ho

a

Qo

QA



AUXILIAR 5 17 de Junio del 2002

1. Un canal de sección rectangular de ancho B, descarga un caudal Q a un embalse cuya superficie libre se

encuentra a una cota ze, a través de un túnel de largo L, de sección rectangular de ancho B y altura H. A la entrada del túnel existe una compuerta de abertura a, variable. Suponiendo que el túnel tiene una pendiente i, y que se puede estimar un factor de fricción de Darcy-Weisbach f, constante, se pide determinar la altura de escurrimiento en la sección inmediatamente aguas arriba del túnel en los siguientes casos:

a) La compuerta se encuentra totalmente abierta. (2.0 ptos.) b) La compuerta tiene una abertura a = 1.0 m. (4.0 ptos.)

Indicaciones: Suponga que el flujo en el canal es siempre subcrítico. Desprecie las pérdidas singulares a la entrada y salida del túnel. Suponga despreciable la longitud del resalto que puede ocurrir dentro del túnel.

Datos:

B = 1,5 [m] H = 2,0 [m] Q = 4 [m3/s] f = 0,03 z0 = 0,0 [m] ze = 2,2 [m] µ = 0.6 L = 500 [m] i = 0,001

Q B

L

Canal Túnel

Embalse

PLANTA:

H a

Q

Z0

Ze

i

f Compuerta PERFIL:



2. Un estero de sección aproximadamente rectangular de ancho B y altura máxima de 1,2 m, se ha desbordado durante crecidas desde que se construyó sobre él un puente. Los desbordes se han producido aguas arriba del nuevo puente, el cual está formado por 3 pilas y 2 estribos, tal como se muestra en la figura 1, separados por una distancia b en la zona de mayor estrechamiento. Con los datos presentados, se pide que analice cuantitativamente el problema, determinando las alturas de escurrimiento relevantes en torno al puente. Dé una explicación al desborde del estero y esquematice en un dibujo el comportamiento del flujo en torno al puente.

Datos: Q = 63 [m3 /s] b = 5 [m] i = 0.004 B = 25 [m] n = 0.03 Indicaciones: - Desprecie pérdidas de contracción y ensanchamiento en la zona de las pilas y estribos. - Note que el ancho de los pilotes y estribos no es despreciable.

3. El canal de la figura, de sección rectangular de ancho b y pendiente i, revestido en hormigón con un

coeficiente de rugosidad de Manning n, conduce un caudal Q en régimen permanente. En el canal existe una compuerta a1 y una grada de altura a2, ubicada hacia aguas abajo.

a) Calcule las alturas normal y crítica en este sistema. ¿Dónde esperaría encontrar escurrimiento normal en

el canal? b) Calcule las alturas de escurrimiento en las secciones inmediatamente aguas arriba y aguas abajo de la

compuerta, inmediatamente aguas arriba de la grada, sobre ella, e inmediatamente aguas abajo, y las alturas conjugadas del o los posibles resaltos que ocurren en el sistema. Defina si los resaltos son ahogados o rechazados y determine la pérdida de energía asociada. Considere los casos siguientes:

i) a2 = 0,35 [m] ii) a2 = 0,20 [m] Suponga que el tramo entre la compuerta y la grada es suficientemente largo como para que se desarrolle completamente un resalto. Desprecie las pérdidas singulares en la grada.

Datos: b = 2,5 [m] i = 0,001 n = 0,017 Q = 3,0 [m3/s] a1 = 0,4 [m] µ = 0,6

B b Q

n , i

Q

a1 a2



AUXILIAR 6 21 de Junio del 2002

1. El sistema de la figura consiste en un canal trapecial, de ancho basal b1 y taludes k, que cambia a una

conducción rectangular, de ancho b2. Los tramos trapecial y rectangular tienen pendientes i1 e i2, respectivamente, y ambos tienen la misma rugosidad, representada por un número de Manning n. Si el caudal que circula por el sistema es Q, se pide:

a) Determinar las alturas normales y críticas de ambas secciones, y clasificar la pendiente hidráulica del

tramo. b) Esquematizar los posibles ejes hidráulicos a observarse en la zona descrita.

c) Calcular las alturas de escurrimiento en el entorno de la transición, determinando cuales son los ejes

hidráulicos que realmente se verificarán en el sistema. Datos: Q = 1 m3/s k = 0,5 b1 = 1,5 m b2 = 2,5 m i1 = 0,007 i2 = 0,0005 n = 0,015

Q b2 b1

i1

i2

Planta

Perfil

k

k



2. Un canal rectangular de ancho b tiene 3 tramos, cada uno caracterizado por una pendiente i y un coeficiente de Manning n. En el cambio del tramo 1 al 2 existe una compuerta que controla el flujo, y al final del último tramo descarga a un estanque de nivel variable.

Clasifique las pendientes hidráulicas de los diferentes tramos y esquematice los posibles ejes hidráulicos.

3. En un río de sección aproximadamente rectangular de ancho b = 3 m y rugosidad n = 0,02 realiza una

extracción constante de 2 m3/s para el abastecimiento de una demanda industrial. La extracción se ha colocado en una sección del río donde éste cambia su pendiente, de i1 = 0,015 a i2 = 0,009. Determinar las alturas de escurrimiento inmediatamente aguas arriba y abajo de la extracción, y esquematizar los ejes hidráulicos, cuando el caudal que trae el río es de:

a) Q = 10 m3/s b) Q = 30 m3/s

a

Zo Tramo 3

i3 = 0.002 n3 = 0.015

Tramo 2 i2 = 0

n2 = 0.015

Tramo 1 i1 = 0.007 n1 = 0.013

Q = 4 m3/s

B = 2 m

i1 = 0,015 i2 = 0,009

B = 3 m Q

Qe = 2 m3/s

Perfil:

Planta:



EJERCICIO 1 19 de Marzo del 2002

1. Un centro turístico desea ofrecer a sus visitantes un lugar donde disfrutar un baño de aguas termales, en

forma de una ducha que descarga un cierto caudal Q3 = 20 [lt/s]. La fuente de aguas termales se ubica en una zona volcánica, donde el agua emana a una temperatura de 50 ºC. Esta temperatura resulta muy elevada para darse un baño, por lo que deberá combinarse con agua proveniente de una pequeña laguna, a una temperatura de 10 ºC, de forma que el agua resultante del paso por la cámara de mezcla instantánea se encuentre entre los 33 y 37 ºC.

Se pide diseñar el sistema de conducción, es decir, especificar los diámetros a emplear en cada uno de los tramos, de modo de lograr conducir el caudal especificado y a la temperatura deseada. Las tuberías serán todas del mismo material, cuya rugosidad es ε = 0.002 [mm]. Indicaciones: - Considere que en el rango de temperaturas del problema es válida la siguiente expresión para calcular

la densidad del agua (en Kg/m3) y la viscosidad cinemática (en cm2/s), en función de la temperatura (en ºC):

ρ = 1003 - 0.3 · T ν = 0.015 - 0.00019 · T

- Desprecie pérdidas singulares en las entradas y salidas a las tuberías. - Desprecie intercambios de calor con el exterior de las tuberías, y considere que la cámara de mezcla

instantánea es adiabática. - Elegir los diámetros de las tuberías entre dimensiones comerciales: 67, 80, 105 y 130 [mm].

B

Cámara de mezcla instantánea

Complejo Turístico

L1 = 2000 m

L3 = 1000 m

L2 = 750 m

Poza de agua caliente

Laguna de agua fría

Estación de bombeo Potencia = 2000 [W]

Q1, T1, ρ1

Q2, T2, ρ2

Q3, T3, ρ3

Z = 2541 [m]

Z = 2509 [m] Z = 2500 [m]



PAUTA EJERCICIO 1

Los datos que se entregan permiten determinar la distribución de flujo mediante la aplicación de continuidad de masa y el intercambio de calor en la cámara de mezcla:

332211 Q · Q · Q · ρρρ =+ Continuidad de masa

0 )T - (T · Cp · Q · )T - (T · Cp · Q · 32223111 =− ρρ Conservación de calor Calor entregado por la masa de agua caliente - Calor absorbido por la masa de agua fría = 0

(proceso adiabático instantáneo) Con estas dos ecuaciones se puede despejar Q1 y Q2, ya que las temperaturas son dadas (se usará T = 35 ºC en la tubería final) y las densidades quedan en función de las temperaturas. T1 = 50 [ºC] => ρ1 = 988 [Kg/m3] ; ν1 = 5,5 x 10-7 [m2/s] T2 = 10 [ºC] => ρ2 = 1000 [Kg/m3] ; ν2 = 1,3 x 10-6 [m2/s] T3 = 35 [ºC] => ρ3 = 993 [Kg/m3] ; ν3 = 8,4 x 10-7 [m2/s] Entonces Q1 = 12,6 [lt/s] y Q2 = 7,4 [lt/s] A continuación es necesario resolver el problema de los diámetros. Se debe considerar que para que los flujos circulen en las direcciones especificadas, el Bernoulli en la cámara de mezcla debe ser menor que en las pozas y/o lagunas (al menos, en el caso donde solo hay pérdidas friccionales), de otra forma el sentido del flujo estaría en contradicción con los datos y sentido de físico del problema. Iteración 1: Si suponemos que el diámetro de la tubería 3 es de 80 [mm], entonces v3 = 3,98 [m/s], Re3 = 3.8 x 105. Usando la fórmula más general para el cálculo de la fricción:

D 3.7

f · Re

2.51 log 2 - f1

3333

+= ε

se obtiene f3 = 0,0141. Con esto, la pérdida friccional en el tramo 3 quedaría expresada como:

g 2v

· D

L · f

23

3

333 f =Λ = 142,44 [m]

Esto elevaría el Bernoulli de la cámara de mezcla sobre los 2642 [m], lo que es mucho mayor que el Bernouilli de la poza de agua caliente, por ejemplo. Entonces, el diámetro es incorrecto, debemos aumentarlo para disminuir la fricción (recordemos que las pérdidas friccionales son inversamente proporcionales al diámetro elevado a la quinta potencia).



Iteración 2: Si suponemos que el diámetro de la tubería 3 es de 105 [mm], entonces v3 = 2,31 [m/s], Re3 = 2,9 x 105. Usando la misma fórmula el cálculo de la fricción, se obtiene f3 = 0,0148. Con esto, la pérdida friccional en el tramo 3 quedaría expresada como:

g 2v

· D

L · f

23

3

333 f =Λ = 38,37 [m]

Esto elevaría el Bernoulli de la cámara de mezcla sobre los 2538 [m], lo que es apenas menor que el Bernouilli de la poza de agua caliente. Sin embargo, comparando por el lado de la laguna de agua fría, vemos que el Bernoulli también es menor. Si calculamos la altura de elevación de la bomba:

Q · g · P

? H22

bb ρ

= = 25,6 [m]

y planteamos la ecuación de Bernouilli entre la laguna y la cámara de mezcla, se obtendrá aproximadamente:

[ ]m 3,4- H B B

H - B B

bc22 f

b2 fc2

<∆+−=Λ

∆Λ+=

Por lo tanto este diámetro tampoco nos sirve. Iteración 3: Si suponemos que el diámetro de la tubería 3 es de 130 [mm], entonces v3 = 1,51 [m/s], Re3 = 2,3 x 105. Usando la misma fórmula el cálculo de la fricción, se obtiene f3 = 0,0154. Con esto, la pérdida friccional en el tramo 3 quedaría expresada como:

g 2v

· D

L · f

23

3

333 f =Λ = 10,34 [m]

Este resultado ya no contradice nuestros datos ni sentido físico del problema, por lo que es la única solución posible según las limitaciones del enunciado. Aplicando ecuación de energía entre la cámara de mezcla y la descarga:

3 f3c B B Λ+= ; 3

23

3 Z g 2

v B += ; Z3 = 2500 [m]

Bc = 2510.46 [m]



Planteando ahora ecuación de energía entre la poza de agua caliente y la cámara de mezcla:

1 fc1 B B Λ+= ; 11 Z B = ; Z1 = 2541 [m]

=> g · D ·

Q · L · f · 8 g 2

v · D

L · f 5

12

2111

21

1

111 f

π==Λ = 30,54 [m]

Combinando este último resultado (con Q1 conocido) con la expresión para el factor de fricción, se llega a: f1 = 0,0148 ; D1= 105 [mm] Por último, planteando ecuación de energía entre la laguna de agua fría y la cámara de mezcla:

b2 fc2 H - B B ∆Λ+= ; B2 = Z2 = 2509 [m] ; ∆Hb = 25,6 [m]

=> g · D ·

Q · L · f · 8 g 2

v · D

L · f 5

22

2222

22

2

222 f

π==Λ = 24,14 [m]

Combinando este último resultado (con Q2 conocido) con la expresión para el factor de fricción, se llega a: f2 = 0,0185 ; D2 = 80 [mm] En resumen: D1 = 105 [mm] D2 = 80 [mm] D3 = 130 [mm] Nota: Por efecto de la adopción de diámetros comerciales (más el efecto menor de la truncación de decimales) es factible que las tuberías transporten más caudal del señalado. Sin embargo, esta situación esta cubierta, ya que esto no afectará demasiado la temperatura final de mezcla, permaneciendo dentro del rango 33 – 37 ºC.


© 2002. Prohibida la repro ducción sin la autorización de la División de Recursos Hídricos y Medio Ambiente, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile

EJERCICIO 2 2 de Abril del 2002

1. Para conducir un caudal Q = 15 [lt/s] entre dos estanques separados una distancia de 75 [m], se dispone

de:

2 tramos de tubería de 0.10 m de diámetro y 25 m de longitud cada uno. 2 tramos de tubería de 0.05 m de diámetro y 25 m de longitud cada uno. 1 reducción brusca de 0.10 m a 0.05 m de diámetro. 1 ensanche brusco de 0.05 m a 0.10 m de diámetro. 4 codos de 0.05 m de diámetro (r/D ˜ 0.5). 2 Tees de 0.05 m de diámetro (r/D ˜ 0). 1 unión entre tuberías de 0.1 m de diámetro 1 unión entre tuberías de 0.05 m de diámetro

Con estos materiales disponibles diseñe el sistema de tuberías que requiera de la menor carga posible para conducir el caudal Q entre los estanques. ¿Cuál es la carga requerida en la situación óptima? ¿Cuál es la segunda opción para el diseño?

Suponga que la conexión con los estanques es posible para cualquiera de ambos diámetros de tubería disponibles, que las tuberías son perfectamente lisas y que la viscosidad cinemática tiene un valor ν = 1.25x10-6 [m2/s].



2. Un edificio cuenta con un sistema de calefacción, consistente en una tubería que circula agua caliente por

una tubería y una serie de radiadores. Cada uno de estos últimos significa una pérdida de carga importante, con un coeficiente de pérdida KR.

a. Diseñe un sistema de bombas capaz de producir la circulación esperada, pero teniendo en

consideración que la presión no escape del rango entre 5 y 50 m.c.a. Hay 3 bombas disponibles, cuyas curvas características son conocidas. Además, se conoce la presión después del punto A (justo antes de entrar al sistema de bombas). Desprecie todo tipo de pérdidas de carga dentro del sistema de bombas.

b. Determine la magnitud de la pérdida de energía que es necesario agregar al sistema en el punto A

para que funcione adecuadamente con el sistema de bombas diseñado. Datos: Q = 50 [lt/s] D = 150 [mm] ε = 0,75 [mm] ν = 10-6 [m2/s] KR = 5 Nº radiadores = 10 Presión medida después del punto A: 10 [m.c.a.] Bombas: A: H = 22 – 1200 Q2 H en [m] B: H = 18 – 1000 Q2 Q en [m3/s] C: H = 25 – 1500 Q2

30 [m]

15 [m]

A

Sistema de bombas a diseñar

KR

KR

KR

KR

KR

KR

KR

KR

KR

KR

Q, D, ε



EJERCICIO 3 3 de Mayo del 2002

1. Se ha realizado una campaña de medición en una sección de un cauce, con el fin de analizar su distribución

de velocidades. La topografía de la sección se muestra en la figura adjunta. Se tomaron 11 mediciones de velocidades en diferentes locaciones, las cuales se muestran en la tabla a continuación. Sobre la base de estos datos, se pide:

a. Calcular el área de escurrimiento, perímetro mojado, ancho superficial y radio hidráulico de la

sección. b. Calcular el caudal y la velocidad media en la sección. c. Calcular los coeficientes de Coriolis α y Boussinesq β. d. Calcular el Bernoulli del escurrimiento en esta sección. e. Si aguas arriba de esta sección hay un puente, estrechando el escurrimiento a una sección

rectangular de 8 [m] de ancho (α = 1), calcular la(s) altura(s) de escurrimiento bajo el puente, calculada(s) suponiendo que no hay pérdidas de energía en la transición de una sección a otra.

Nota: Más adelante en el curso se explicará cual es la solución válida.

Velocidades medidas en la sección

Punto Velocidad[m/s]

1 0.52 0.83 0.54 1.45 0.86 2.17 1.28 1.89 1.3

10 0.811 0.5

8 2

3

4

5

6

7

1

9

10

11

1 m

1 m



2. Considere el flujo en la tubería de la figura, la que descarga a un estanque de cota constante y grandes dimensiones. Inicialmente la velocidad del flujo en la tubería es u0 y la cota piezométrica es H0, la cual se mantiene constante si se suponen despreciables las pérdidas friccionales en el sistema. La tubería tiene dos válvulas, una en x = 0 y la otra en x = L. Si la válvula de aguas arriba (x = 0) se cierra instantáneamente en un tiempo t = 0, y la válvula de aguas abajo (x = L) se cierra instantáneamente en t = T, se pide calcular el régimen transiente que se desarrolla al interior de la tubería a partir de t = 0. En particular, se pide graficar la variación de la cota piezométrica y velocidad del flujo en función del tiempo en los puntos x = 0, L/2, L.

Indicaciones: Utilice una discretización espacial ∆x = L/2, determine la discretización temporal ∆t y calcule para t = 0, ∆t, 2 ∆t, …, etc., hasta identificar un patrón de comportamiento regular en el sistema. Desprecie las pérdidas friccionales y singulares y suponga que la tubería es horizontal. Datos:

u0 = 0.5 [m/s] ; H

0 = 5 [m] ; L = 3000 [m] ; T = 2 [s] ; a = 1500 [m/s]

x = 0 x = Lx

Ho



EJERCICIO 4 11 de Junio del 2002

1. Se ha analizado el desborde de una canalización de aguas lluvias y se ha detectado que los principales

problemas ocurren poco antes de llegar a una zona donde la sección trapecial de conducción pasa a un acueducto circular. El escurrimiento, suficientemente aguas arriba de esta transición, es uniforme y alcanza una altura h0, cuando el caudal que circula es Q0. El acueducto circular no se encuentra influenciado desde aguas abajo.

a) Determinar las alturas y energías críticas en las secciones trapecial y circular, para un caudal Q0 (2 ptos.)

b) Señalar si es posible que el escurrimiento de altura h0 permanezca hasta llegar a la transición.

Justifique usando conceptos de energía. (1 pto.)

c) Determine cuanto valdrían las alturas inmediatamente aguas arriba (sección trapecial) y aguas abajo (sección circular) de la transición. ¿Se detecta algún tipo de problema de desborde? (1,5 ptos.)

d) Calcular el caudal máximo que podría circular por este sistema. (1,5 ptos.)

e) Calcular que diámetro debiera tener el acueducto para permitir la adecuada conducción del caudal

Q0. (1,5 ptos.)

NOTA: Se debe escoger solucionar d) o e). Indicación: despreciar pérdidas singulares en la transición.

Datos: Q0 = 18 [m3/s] h0 = 1 [m] r = 1,25 [m] b = 2,50 [m] k = 1,5 H = 2,60 [m]

r

1 k

H

b



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 5 10 15 20 25 30

Q [m3/s]

hc

/ D

D = 3,0 m

D = 2,5 m

D = 2,0 m

D = 1,5 m

D = 3,5 m

Ábaco para el cálculo de alturas críticas en secciones circulares.



2. Considere el flujo en el canal rectangular de la figura. Para los datos indicados más abajo y despreciando todo tipo de pérdidas excepto las de los posibles resaltos en el sistema, determine:

a) El máximo valor de la altura de escurrimiento en (5), tal que ella no determine la altura de

escurrimiento en (1). b) Para una altura de escurrimiento en (5): h

5 = 1.3 m, determine las alturas de escurrimiento en las

secciones (1), (2), (3) y (4). ¿Qué tipo de resalto se tiene entre las secciones (2) y (3)? ¿Cuánto vale la pérdida de energía en el resalto?

Datos:

q = 1 m3/s/m ; a1 = 0.2 m ; a

2 = 0.5 m ; µ = 0.6

a1 a2

q

(1) (2) (3) (4) (5)



TAREA 1 Fecha de entrega: 16 de Abril del 2002

El sistema de impulsión de agua potable para un grupo de casas ubicadas en la ladera de un cerro está conformado por un conjunto de tuberías que transportan el agua hasta cada vivienda, mediante un par de bombas que extraen agua desde un mismo estanque de almacenamiento. Algunas casas tienen una presión insuficiente de agua, lo que les impide gozar plenamente del suministro. Además, si la presión es inferior a 15 m.c.a., no consiguen encender sus calefonts y solo pueden emplear agua fría. Se desea estudiar el sistema, de modo de identificar los sectores conflictivos en el suministro, para poner en marcha algún tipo de solución. Los datos disponibles son la ubicación de cada una de las casas y tuberías, los caudales extraídos en cada vivienda, los diámetros de las tuberías y las curvas características de las bombas. Se pide analizar esta red mediante el método de Hardy – Cross, en particular:

a) Considerando que las tuberías son hidrodinámicamente lisas, determinar los coeficientes ri y ni que utilizará para cada tramo de tubería, recordando que de esta forma se determinarán las pérdidas friccionales como:

in Q r Q

Q ii

i

ii =Λ

Para evaluar los factores de fricción f, se sugiere ajustar en varios tramos las curvas del abaco de Moody, de modo que éste quede expresado como:

f = a Q b Por lo tanto los valores de ri y ni dependen de los valores que tome a y b en cada tramo. b) Determine la distribución de caudales de esta red. c) Determine cuáles de las casas dentro del sistema presentan los problemas descritos al comienzo. Señale

brevemente algunas posibles soluciones. El informe de esta tarea debe contener, al menos:

- Portada: nombre, RUT - Introducción teórica (fundamentos del método de Hardy – Cross) - Memoria de cálculo, incluyendo tablas (iteraciones del método) y gráficos (ajuste de curvas del abaco de

Moody) Tarea personal: la copia se sancionará con nota 1.0 Fecha de entrega: Martes 16 de Abril del 2002



Tabla 1. Características de las tuberías

Tabla 2. Coordenadas y caudales

Diámetro

Inicio Fin [mm]

A B 250B C 250

C D 300D G 300A 1 200B E 300E 1 300C F 350

F 2 350C 3 350G 3 3501 2 4002 3 400

2 4 4503 5 450

Tubería

X Y Z Q consumo[m] [m] [m] [lt/s]

CASAS:

A 50 350 44 150 + 10 · N

B 200 400 41 200 + 5 · N

C 320 380 45 350 - 5 · N

D 400 380 42 200 + 10 · N

E 150 300 34 150 - 10 · N

F 300 300 27 350 - 5 · NG 450 300 49 200 - 5 · N

UNIONES:

1 150 220 30

2 250 150 153 400 150 20

PUNTOS DE EXTRACCIÓN:

4 320 50 05 330 50 0

Curvas características de las bombas (H en mts., Q en m3/s):

(B1): H = 65 + N/2 – 7 Q2 (B2): H = 89 – N/2 – 10 Q2

Figura 1. Esquema de la red.

0

100

200

300

400

500

0 100 200 300 400 500

X [m]

Y [m

]

A

BC

G

1

2 3

4 5

D

EF

B1 B2

N corresponde al digito verificador del RUT (K=10)



TAREA 2 Fecha de entrega: 10 de Mayo del 2002

El sistema de la figura evacúa agua desde un estanque a nivel Ho constante, a través de una tubería horizontal de largo L, diámetro D, factor de fricción f y velocidad de ondas a, que desemboca en una válvula abierta a la atmósfera. Se desea analizar el comportamiento de la cota piezométrica y velocidad durante el cierre de la válvula. Para esquematizar esta operación del sistema se entrega una ley de cierre Q(t).

a) Determine el caudal del sistema en régimen permanente, cuando la válvula se encuentra completamente abierta.

b) Determine la distribución de cotas piezométricas y velocidades a lo largo de la tubería en este régimen

permanente.

c) Aplicando el método elástico (solución mediante el método de las características), estudie las variaciones de cota piezométrica y velocidad durante el transiente impuesto por el cierre de la válvula. En particular se pide:

i. Plantee las condiciones de borde, y encuentre ecuaciones para calcular la cota piezométrica

y velocidad en los extremos. ii. Graficar las variaciones de velocidad y cota piezométrica a lo largo de la tubería, V(x) y

H(x), para tiempos que ilustren las situaciones típicas dentro un ciclo de oscilación. iii. Graficar las variaciones de estas variables en función del tiempo, V(t) y H(t), en al menos 4

posiciones representativas del sistema. Analice en un intervalo que contemple al menos entre t=0 hasta t=4·to, donde to representa el tiempo de operación de la válvula para pasar de Qi (caudal inicial) a Qf (caudal final).

iv. Compare estos últimos gráficos con un cierre brusco (en ∆t, el caudal pasa de Qi a Qf).

Analice las diferencias entre ambos casos considerando factores como la magnitud de la amplitud de las oscilaciones, la forma de la onda transmitida, etc.

Indicaciones: - Discretice la tubería en tramos de largo ∆x igual al 10% de la longitud total, calculando con esto el

respectivo paso temporal ∆t. - No desprecie la pérdida singular entre el estanque y el comienzo y la tubería, considerándola con un factor

ke o ks, dependiendo si el agua entra a la tubería o sale de ésta. - Considere, por simplicidad, que el factor de fricción del régimen permanente se mantiene constante durante

el régimen impermanente. Datos: Ho = 20 [m] f = 0,02 L = 100 [m] a = 1250 [m/s] D = 0,2 [m] ke = 0,5 ks = 1



Figura 1. Esquema del sistema a analizar.

Figura 2. Esquema de la ley de cierre.

N α Qf[m

3/s

-2]

0 0.2 0,2 · Qi

1 0.3 0,2 · Qi

2 0.4 0,2 · Qi

3 0.5 0,2 · Qi

4 0.2 0,3 · Qi

5 0.3 0,3 · Qi

6 0.4 0,3 · Qi

7 0.5 0,3 · Qi

8 0.2 0,4 · Qi

9 0.3 0,4 · Qi

K 0.4 0,4 · Qi

(N corresponde al dígito verificador del RUT)

L

f, D, a

Ho

ke ó ks

Q

t

Qi

Qf

to 0

Q = Q i – α·t


© 2002. Prohibida la reproducción sin l a autorización de la División de Recursos Hídricos y Medio Ambiente, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile

TAREA 3 25 de Junio del 2002

1. Un embalse descarga sus excesos a un segundo embalse mediante un canal rectangular, de ancho b,

pendiente i1 y rugosidad n. Para controlar el escurrimiento antes de llegar a un segundo tramo del canal, de pendiente i2 e igual ancho y rugosidad, se instalará una compuerta en el punto señalado de la figura.

Se pide analizar el escurrimiento en el sistema cuando la carga en el embalse es ∆h = 1.0 m. En particular, se pide:

a. Determinar el caudal que circula por el sistema. b. Calcular alturas normales y críticas en ambos tramos del canal, clasificando la pendiente hidráulica. c. Calcular y graficar el eje hidráulico en el sistema.

Indicación: Considere despreciable la longitud de los resaltos que puedan ocurrir en el sistema. Tarea personal e intransferible, la copia se castigará con nota 1,0. Fecha de entrega: a definir en clases.

∆H

Tramo 1: b = 2 m

n = 0,015 i1 = 0,008

Tramo 2: b = 2 m

n = 0,015 i2 = 0,002

230 m 20 m 150 m



CONTROL 1 16 de Abril del 2002

1. Se desea estudiar el funcionamiento de una configuración de bombas en particular, en situaciones con

diferentes exigencias de caudales y alturas de elevación. El sistema a analizar consiste en dos bombas en serie, colocadas en paralelo con una tercera bomba (ver figura 1a). Por cada una de las ramas existen pérdidas friccionales, que se pueden calcular como Λi = αi Qi

2, donde αi es una constante y Qi es el caudal que circula por dicha rama.

a. Encuentre la curva característica del sistema de bombas (expresión analítica), incluyendo las

pérdidas friccionales mencionadas. Grafique esta función y determine los rangos de caudales o alturas de elevación para los cuales funcionan las distintas bombas (3 ptos.).

b. Aplique sus resultados para determinar si el sistema de bombas estudiado es suficiente para

impulsar el caudal entre los estanques de la figura 1b en las siguientes situaciones, señalando cuáles son las bombas que funcionan (3 ptos.):

i. Q = 250 [lt/s]; ∆h = 25 [m] ii. Q = 100 [lt/s]; ∆h = 40 [m] iii. Q = 450 [lt/s]; ∆h = 10 [m]

Datos: f = 0,02 D = 0,3 [m] L = 100 [m] Bomba A: HA = 20 – 500 QA

2

Bomba B: HB = 30 – 200 QB2 H en [m]; Qi en [m3/s]

Bomba C: HC = 40 – 400 QC2

α1 = 10 [s/m2] α2 = 20 [s/m2] Nota: Si Q > Qmax, H = 0 Desprecie pérdidas singulares.

Figura 1a. Configuración del sistema de bombas Figura 1b. Situación aplicada.

BC

BB

BA Λ1 = α1 · Q1

2

Λ2 = α2 · Q22

∆h

L

f, D

Q SB



2. En el sistema de la figura, la bomba impulsa un caudal entre dos estanques. Una válvula permite controlar

el caudal circulante. Se desea estudiar el transiente que ocurre al operar la válvula. Para ello se pide:

a. Determinar, utilizando el método inelástico, una ecuación diferencial que permita determinar la variación de caudal en el tiempo debido a una operación brusca de la válvula (apertura o cierre), tomando en cuenta la energía entregada por la bomba, la pérdida friccional en la tubería de largo L y diámetro D, y la pérdida singular en la válvula. Desprecie los efectos impermanentes de cualquier tipo en la bomba, desprecie los efectos impermanentes en la válvula. (2.5 ptos.)

b. Calcular el régimen impermanente asociado a una apertura brusca de la válvula, de modo que el

coeficiente de pérdida, kv, disminuye desde un valor inicial kvo. Suponga que la válvula se abre completamente y que en esa situación kv = 0. Desprecie las pérdidas friccionales en su análisis. Se pide:

i. Determinar el caudal impulsado en el régimen permanente inicial, Qi. (0.5 ptos.)

ii. Determinar el caudal impulsado en el régimen permanente final, Qf. (0.5 ptos.) iii. Determinar el tiempo que demora el caudal en aumentar desde Qi al 99% de Qf. (2.5 ptos.)

Datos:

L = 200 [m] ; D = 0,2 [m] ; ∆h = 10 [m] ; kvo = 10

Curva característica de la Bomba:

H = Ho 0 = Q = Qo

H = Ho – β (Q - Qo) Qo = Q = Qo + Ho/ β H = 0 Q = Qo + Ho/ β

Ho = 15 [m] ; β = 200 [s/m2] ; Qo = 0,05 [m3/s]

B

Bomba Válvula∆h



CONTROL 2 14 de Mayo del 2002

1. Se desea analizar el escurrimiento en el vertedero evacuador de crecidas de una presa. Para la geometría

indicada en la figura se pide:

a) Determinar una expresión para la energía específica del flujo en el vertedero, en función tanto del radio de curvatura del fondo, R, como del ángulo de inclinación de éste, θ. Puede suponer que para un flujo

de velocidad angular constante ω, se cumple:

∂ˆ p ∂r

= ρ ω2 r

donde, ˆ p = p + ρ g z , representa la presión motriz, con p: presión termodinámica, ρ: densidad del fluido, g: aceleración de gravedad y z: eje vertical positivo hacia arriba. En la ecuación anterior r es la distancia radial al centro de curvatura. En su análisis puede despreciar, si lo desea, términos de orden (h / R)2

. Exprese la velocidad angular ω, en términos de la velocidad media del flujo, v, como: ω ˜ v/R. (2.0 ptos).

b) A partir del resultado anterior determine la condición de energía mínima (energía crítica) en una sección

de un canal con radio de curvatura R y ángulo de inclinación θ. (1.5 ptos.) c) Para los datos indicados abajo, determine el caudal por unidad de ancho, q, que evacúa el vertedero.

(1.5 pto.)

d) Determine las alturas de escurrimiento en las secciones (1), (2) y (3), despreciando pérdidas de energía en ese tramo. (1.0 ptos.)

Datos:

R = 6 m ; θ = 45° ; ∆h = 1.2 m

q

R

θ

R

θ

θ

R

R

∆h

(1)

(2)(3)



2. Entre dos estanques de grandes dimensiones existe un canal de sección rectangular y ancho variable, que conduce un cierto caudal, dependiendo de la cota a la que se encuentren las superficies libres de estos depósitos.

Se pide, dadas las dimensiones del sistema ilustrados en la figura, determinar el caudal que circula por el sistema y las alturas de escurrimiento en cada uno de los tres tramos del canal, en los siguientes casos:

a. ZI = 0.5 [m]; ZII = 0 [m] b. ZI = 0.9 [m]; ZII = 0.8 [m]

Datos: a = 0.2 [m] c = 0.4 [m] b1 = 1.8 [m] b2 = 1.0 [m] b3 = 2.0 [m]

ZI ZII

a c

b1 b2 b3



CONTROL 3 25 de Junio del 2002

1. Un embalse descarga sus excesos mediante un canal rectangular, de ancho b, pendiente i1 y rugosidad n.

Para controlar el escurrimiento, antes de llegar a un segundo tramo del canal, de pendiente i2 e igual ancho y rugosidad, se instalará una compuerta en el punto señalado en la figura.

Se pide analizar el escurrimiento en el sistema cuando la carga en el embalse es:

i) ∆h = 0.5 m ii) ∆h = 2.0 m

En particular, se pide:

a. Determinar el caudal que circula por el sistema. b. Calcular alturas normales y críticas en ambos tramos del canal, clasificando la pendiente hidráulica. c. Esquematizar y clasificar el eje hidráulico que se verifica en el sistema

Indicaciones:

q Suponga que la distancia entre el embalse y la compuerta, así como entre la compuerta y el cambio de pendiente, es suficientemente larga como para permitir el desarrollo de un eje hidráulico completo.

q Esquematizar el eje hidráulico para distintas aberturas de la compuerta, pero suponiendo que siempre actúa como control del escurrimiento.

∆H

Tramo 1: b = 2 m

n = 0,015 i1 = 0,005

Tramo 2: b = 2 m

n = 0,015 i2 = 0,002



2. El canal muy ancho y de gran longitud, de pendiente S y coeficiente de rugosidad de Manning n, de la

figura, conduce en un tramo inicial un caudal por unidad de ancho q0. En una sección dada, se produce un aumento local de caudal unitario, ∆q, proporcionado por una descarga normal al fondo, uniformemente distribuida en la transversal. Para los datos del problema, determine las alturas de escurrimiento inmediatamente aguas arriba y aguas abajo de la descarga y esquematice y clasifique los ejes hidráulicos que se producen en el canal.

Datos:

S = 0.0023 ; n = 0.014 ; q0 = 1 m3/s/m ; ∆q = 1 m3/s/m

Indicación: No desprecie las pérdidas de energía inducidas por la descarga.

q∆q

S, n

+ •

- •

- ∞

+ ∞



EXAMEN 3 de Julio del 2002

1. Una compuerta controla el escurrimiento en un canal que desemboca a un cota Z0 en un embalse, cuyo

nivel se encuentra a una cota Ze. Suponiendo que el canal es muy largo, se pide:

a. Esquematizar los posibles ejes hidráulicos para distintas aberturas de la compuerta y distancias entre compuerta y estanque.

b. Si la abertura de la compuerta es a1, determinar la distancia máxima a la que puede ubicarse la

compuerta para no permitir la existencia de resaltos en el tramo final del canal. En ese caso, dibuje el eje hidráulico que se observará en el sistema, indicando las alturas aguas arriba y abajo de la compuerta, e inmediatamente antes de llegar al estanque.

Datos: Q = 6 m3/s; b = 2,5 m; i = 0,005; n = 0,02; a1 = 0,5 m; Z0 = 0 m; Ze = 0,95 m Indicaciones:

- Por simplicidad, realice el cálculo de ejes hidráulicos mediante solo un paso ∆x = L. - Despreciar pérdidas singulares de energía asociados a la salida del flujo al embalse.

Ze

Z0 a1

L

Q

b, n, i



2. El canal de la figura está conformado por 3 tramos. Los tramos 1 y 3 tienen igual ancho y pendiente, y el tramo 2 es una zona de estrechamiento, de pendiente i2. Las transiciones entre secciones han sido diseñadas para minimizar pérdidas singulares. Se pide:

a. Esquematizar los posibles ejes hidráulicos en este sistema, despreciando pérdidas singulares en las

transiciones. b. Si se considera que el tramo estrecho es de corta longitud, de modo que se pueden despreciar las

pérdidas friccionales en este sector, determine qué ancho debiera tener la zona intermedia para que se produzca un resalto inmediatamente después de la transición, en el tramo 3.

Datos: Q = 10 m3/s i1 = i3 = 0,0035 i2 = 0,0075

n = 0,014 b1 = b3 = 2 m b2 = 1,75 m 3. Para la situación de la figura determine el caudal que circula y las alturas de escurrimiento correspondientes

en las secciones características. Suponga y verifique que el escurrimiento está controlado desde aguas abajo. Puede suponer despreciables las pérdidas friccionales pero no las singulares, excepto la de entrada, la cual si es despreciable dado que el vertedero de entrada es de arista redondeada.

Datos: ∆h = 1 m ; a = 0.5 m ; b = 1 m ; B = 2 m

a

∆h

B b

Q b1 b2 b3

i1

i2

i3

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