Problemas propuestos y resueltos dinámica de Rotación Elaborado por: Profesora Pilar Cristina Barrera Silva

Energía mecánica:

Ejercicio: Se libera del reposo en la parte superior de un plano inclinado rugoso a una altura h un cilindro, éste desciende a lo largo del plano inclinado, determine la rapidez del cilindro al llegar a la parte inferior del plano. (asumir conocido: h, M (masa del cilindro) y R (radio del cilindro) )

Solución: La energía mecánica se conserva ya que al ser rugosa la superficie el cilindro rueda sin deslizar y se presenta en consecuencia energía

cinética de rotación: (𝐸!" =#$!

%)

Teniendo el cuenta el cero de referencia en la base del plano aplico: 𝐸&'&()+,- = 𝐸&'&()+,. (1)

𝑀𝑔ℎ =/0!

% + #$

!

% (2)

Explicación de la ecuación: ya que el cilindro parte del reposo en A su energia cinética de traslación y rotación en este punto es nula, solo presenta energia potencial mgh con respecto al punto B. En el punto B el cilindro presenta energía cinética de tralación 𝐸!1 = 𝑀𝑣%/2 y como llega a la

base del plano girando tambien presenta energía cinética de rotación 𝐸!" =#$!

% , en B la altura es

igual a cero. para hallar la rapidez del cilindro en el punto B, tengo en cuenta que 𝑣 = 𝑤𝑅, reemplazando:

𝑀𝑔ℎ =/0!

% + #0

!

%"! ahora despejo la rapidez del cilindro:

𝑀𝑔ℎ = /0!

%(1 + #

/"!) simplifico la masa M y despejo la rapidez al cuadrado:

𝑣% = %23

45 "#$!

ahora reemplazo el momento de inercia del cilindro: 𝐼 = /"!

% y determino la

rapidez del cilindro en la parte inferior del plano:

𝑣 = 12𝑔ℎ

1 + 𝑀𝑅%2𝑀𝑅%

Continuo: 𝑣 = 2%2345%!

= 2%236/%=2823

6 finalmente: 𝑣 = 23𝑔ℎ/3

Ejercicio de clase.

Para el sistema indicado, asumiendo que parte del reposo en t=0 y conociendo la masa m, el radio de la polea R, el coeficiente de rozamiento cinético 𝜇9, nos piden determinar: (a) la rapidez de 3m al descender la altura d (b) la rapidez angular de la polea. (c) la aceleración angular en la polea. Asumir conocido: m, 𝜇9 , 𝑅, d. Solución: en esta situación la fuerza disipativa que actúa sobre m genera calor, en consecuencia debemos plantear:

𝑸 = ∆𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 Ubicando el cero de referencia en donde está 3𝑚 justo al inicio del movimiento:

−𝝁𝒌𝒎𝒈𝒅 =(𝒎5𝟑𝒎)𝒗𝟐

𝟐+ 𝑰𝒑𝒐𝒍𝒆𝒂𝒄𝒎𝒘𝟐

𝟐− 𝟑𝒎𝒈𝒅

Recordando que 𝒗 = 𝒘𝑹 y 𝐼!"#$%'( =(!" )+

"

, elimino 𝒘

Despejo la rapidez 𝑣:

𝑣 = '8𝑔𝑑(3 − 𝜇-)17

(b) Se sabe: 𝑣 = 𝑤𝑅 hallo la rapidez angular:

𝑤 = .+5/01(234#)

.5

(c) Se sabe: 𝑎6%70$78%# = 𝑅𝛼 Hallo la aceleración tangencial sabiendo que m y 3m tienen movimiento uniformemente acelerado a partir de: 𝑣, = 𝑣", + 2𝑎ℎ

Despejando: 𝑎 = !G

"#= $%('()H)

+,

Entonces 𝛼 = -.= $%('()H)

+,.

Física, volumen1, Serway, cuarta edición Para el sistema indicado m1=15,0 kg, m2= 10,0 kg, M= 3,00 kg y R= 10,0 cm, se puede considerar que la masa de la cuerda es despreciable y hace que la polea gire sin deslizar. La polea gira si fricción, las masas m1 y m2 se mueven a partir del reposo cuando están separadas por una distancia d= 3,00 m. Trate la polea como un disco uniforme y determine (a) la rapidez de las dos masas cuando pasan frente a frente. (b) la aceleración de las masas m1 y m2

Solución: (a) Se puede asumir que la energía mecánica se conserva, ya que la energía de rotación en la polea no se transforma en calor. Aplicando conservación de energía para el sistema y ubicando el cero de referencia en el momento que se cruzan las masa m1 y m2: (m1 y m2 se cruzan en d/2)

𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍

𝒎𝟏𝒈(𝒅𝟐) −𝒎𝟐𝒈(

𝒅𝟐) =

(𝒎𝟏 +𝒎𝟐)

𝟐𝒗𝟐 +

𝑰𝒑𝒐𝒍𝒆𝒂𝒄𝒎𝒘𝟐

𝟐

Recordando que 𝒗 = 𝒘𝑹 y 𝐼!"#$%'( = 9+"

, elimino 𝒘

y reemplazo el momento de inercia de la polea, para finalmente despejar la rapidez de las dos masas:

𝑣 = %2(𝑚+ −𝑚")𝑔(

𝑑2)

𝑚+ +𝑚" +𝑀2

Reemplazando valores numéricos: 𝑣 = 2,36𝑚/𝑠 (b) Para hallar la aceleración es posible aplicar: 𝑣, = 𝑣", + 2𝑎ℎ Ya que el movimiento de las masas es uniformemente acelerado, notemos que ℎ =1,50𝑚:

𝑎 =𝑣"

2ℎ= 1,85𝑚/𝑠"

Torques y fuerzas: Física, volumen 1, Serway, tercera edición

10.24 Para el sistema indicado, asumir conocido m, M, R, la superficie del plano inclinado es lisa, y se asume que en t=0 se libera la masa m del reposo. (a) determinar la aceleración de m en su movimiento descendente (b) la tensión en la cuerda (c) la aceleración angular de la polea. (expresar respuestas en términos de los valores conocidos) Solución: (a) El movimiento de m es uniformemente acelerado, se puden plantear los diagramas de cuero libre en m y en la polea:

Ecuaciones de movimiento: Para la masa m: ∑𝐹P :− 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑇 = −𝑚𝑎 (1) Para la polea:

N𝜏QR:𝑇𝑅 = 𝐼QR𝛼

Reemplazo: 𝛼 = 𝑎/𝑅: 𝑇𝑅 = 𝐼QR𝑎/𝑅 (2) A partir de (1) y (2) determino la aceleración de m:

𝑎 =𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑀2 +𝑚

(b) Para hallar la tensión uso (2):

𝑇 = 𝑀𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

2(𝑀2 +𝑚)

(c) La aceleración angular en la polea es:

𝛼 = /%0123.(SG4/)

Ejercicio

Para el sistema indicado, asumiendo que parte del reposo en t=0 y conociendo la masa m, el radio de la polea R, el coeficiente de rozamiento cinético 𝜇9, y el ángulo 𝜃,nos piden determinar: (a) la aceleración de 2m (b) las tensiones 𝑇4𝑦𝑇% (c) la aceleración angular de la polea (d) graficar posición como función de tiempo para 2m

Solución: Ya que el sistema está acelerado aplicamos leyes de Newton: (a)Primero elaboro diagramas de cuerpo libre para cada masa y la polea:

Planteo ecuaciones de movimiento: para las masas 2m y m:∑ �⃑� = 𝑚�⃑� y en la polea: ∑𝜏 = 𝐼�⃑�: Para 2m: 𝐹P :− 2𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑇4 + 𝜇9𝑁%R = −2𝑚𝑎;𝐹T: 𝑁%R − 2𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 Despejo la normal y la reemplazo en la fuerza de rozamiento: −2𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑇1 + 𝜇92𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = −2𝑚𝑎 (1) Para m: 𝐹T:𝑇% −𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 (2) polea: 𝑇4𝑅 − 𝑇%𝑅 = 𝐼𝛼 (3)

ya que 𝐼U')+( =/"!

%; hallo este valor de acuerdo a la masa de la polea: 𝐼U')+( =

R"!

8; y tengo en

cuenta que 𝑎 = 𝑅𝛼 , reemplazo estos valores en (3) y simplifico términos: 𝑇4 − 𝑇% =

R8𝑎 (3’) ahora de (1) y (2) despejo las tensiones y reemplazo en (3’) entonces:

−2𝑚𝑎 − 𝜇92𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑚𝑎 −𝑚𝑔 =𝑚4𝑎

Finalmente despejo la aceleración:

𝑎 = R2(%V+,WX%Y/Q'VWX4)%R5R5R/8

simplificando: 𝑎 = 82(%V+,WX%Y/Q'VWX4)46

b) las tensiones son: 𝑇4 = 2𝑚(− 82(%V+,WX%Y/Q'VWX4)46

− 𝜇9𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑇% = 𝑚Y𝑔 +4𝑔(2𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2𝜇9𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1)

13 Z

c)𝛼 = ("= 82(%V+,WX%Y/Q'VWX4)

46"

d) para 2m la ecuación de posición como función de tiempo es: 𝑥 = − (&!

% en consecuencia:

𝑥 = − %2(%V+,WX%Y/Q'VWX4)46

𝑡% el signo negativo indica que 2m se mueve en dirección negativa del

eje x. veamos el gráfico :

Ejercicio de clase.

Para el sistema indicado, asumiendo que parte del reposo en t=0 y conociendo la masa m, el radio de la poleaR, el coeficiente de rozamiento cinético 𝜇9, nos piden determinar: (a) la aceleración de 3m (b) las tensiones 𝑇4𝑦𝑇% (c) la aceleración angular de la polea (d) graficar posición como función de tiempo para 3m. Solución: (a) Ya que el sistema es acelerado se pueden aplicar leyes de Newton, primero dibujamos los diagramas de cuerpo

libre en cada masa y en la polea. el sistema de coordenadas es común para las masas y la polea. Ahora expresamos las ecuaciones de movimiento de cada elemento: para m y 3m aplico: ∑ �⃑� = 𝑚�⃑�: 𝐹P:𝑇4 − 𝜇9𝑁 = 𝑚𝑎; 𝐹T:𝑁 − 𝑚𝑔 = 0 Reemplazo la normal en la suma de fuerzas en

dirección horizontal: 𝑇4 − 𝜇9𝑚𝑔 = 𝑚𝑎(1) para 3m: 𝐹T:𝑇% − 3𝑚𝑔 = −3𝑚𝑎 (2) En la polea: aplicamos ∑𝜏 = 𝐼𝛼:

𝑇%𝑅 − 𝑇4𝑅 = 𝐼QRU')+(𝛼 tengo en cuent que 𝐼QR = /"!

%;

Reemplazando el valor de la masa de la polea tenemos: 𝐼QR = 𝑚𝑅%/4 y recuerdo que 𝑎 = 𝑅𝛼 entonces la ecuación de torques queda: 𝑇% − 𝑇4 =

R8𝑎 (3)

Ahora resuelvo el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3). De la ecuación (1) despejo 𝑇4, y de la ecuación (2) despejo 𝑇% y luego reemplazo estos valores en (3):

3𝑚𝑔 − 3𝑚𝑎 −𝑚𝑎 − 𝜇9𝑚𝑔 =R(8

despejo la aceleración: 𝑎 = 6R2XY/01

6R5R54/8 simplifico:

𝑎 =4𝑔(3 − 𝜇9)

17

(b) ahora determino las tensiones de (1) y (2): 𝑇4 = 𝑚(82(6XY/)4Z

+ 𝜇9𝑔)

𝑇% = 3𝑚^𝑔 −4𝑔(3 − 𝜇9)

17_

(c) la aceleración angular de la polea es: 𝛼 = 82(6XY/)4Z"

(d) el gráfico de posición como función de tiempo para 3m corresponde a un movimiento uniformemente acelerado con velocidad inicial igual a cero: 𝑦 = −𝑎𝑡%/2

Reeplazando la aceleración: 𝑦 = − %2(6XY/)&!

4Z el signo

negativo indica que 3m se mueve en dirección negativa del eje vertical. El gráfico correspondiente es:

Física Tipler, Mosca, quinta edición. Volumen 1 9-115.. Una barra de 0,25 kg y longitud 80 cm está suspendida de un pivote por uno de sus extremos. Se considera que el pivote no tiene rozamiento. La barra se mantiene horizontal y se deja caer. Inmediatamente después de su liberación(a) determine la aceleración del centro de la barra (b) halle la aceleración inicial de un punto del extremo de la barra (c) determine la velocidad lineal del centro de masa de la barra cuando esté en posición vertical. Solución:

a) Aplico segunda Ley de Newton para rotación con asumiendo que la masa de la barra se concentra en su centro de masa: a) aplico segunda Ley de Newton para rotación sobre la barra con respecto a 0’, asumiendo que la masa de la barra se concentra en su centro de

masa: ∑𝜏[\ = 𝐼[\𝛼; R2]%= 𝑚𝐿%𝛼/3 ; despejo

la aceleración angular: 𝛼 = 3𝑔/2𝐿, su valor numérico es: 18,4 rad/𝑠% entonces la aceleración lineal de la barra con respecto al centro de masa

de la barra es: 𝑎QR = 𝑅𝛼 = ]%a62%]b = 62

8, su valor

numérico es: 7,4m/s2 . b) la aceleración inicial de un punto en el extremo inferior de la barra es:

𝑎+P&^+R' = 𝑅𝛼 = 𝐿 62%]= 3𝑔/2 Donde su valor numérico es: 14,7 m/s2

c) para hallar la velocidad lineal del centro de masa aplico conservación de energía para la

barra con respecto a 0’: 𝑚𝑔 ]%= R]!

6$!

% despejo la velocidad angular: 𝑤 = 262

] entonces la

velocidad lineal es: 𝑣 = 𝑤𝑅 =262]∗ ]

% donde su valor numérico es: 2,43 m/s

Física Tipler, Mosca, quinta edición. Volumen 1 9-92.. Un cilindro hueco de paredes delgadas, y una esfera sólida parten del reposo y ruedan sin deslizamiento por un plano inclinado de longitud 3 m. el cilindro llega a la base del plano 2,4 s después de la esfera. Halle el ángulo que forma el plano inclinado con la horizontal.

Física Tipler, Mosca, quinta edición. Volumen 1 9-73 .. Una esfera uniforme de masa M y radio R puede girar libremente respecto a un eje horizontal que pasa por su centro. Se enrolla una cuerda alrededor de la esfera y se une a un cuerpo de masa m como se muestra en la figura. (a) halle la aceleración de m (b) la tensión en la cuerda (c) grafique la velocidad angular de la polea como función del tiempo, indicando que consideración debe realizar.

Física Tipler, Mosca, quinta edición. Volumen 1 9.102 Una bola de billar de radio r se encuentra inicialmente en reposo sobre una mesa de billar horizontal (ver figura) . Se la golpea mediante un taco que desarrolla una fuerza de modulo Po durante un tiempo muy corto ∆𝑡. El taco golpea la bola en un punto situada a una distancia h del

punto de contacto con la mesa. Demuestre que la velocidad angular 𝑤' está relaciona con la

velocidad lineal inicial del centro de masas 𝑣' por 𝑤' =_` %a b02(3X^)

^!.

El impulso inicial que recibe la bola es: 𝐼𝑜 = 𝑃'∆𝑡 = 𝑚𝑣' (1) El torque externo que recibe la bola con respecto al centro de masa y teniendo en cuenta que la fuerza de fricción es pequeña:

𝜏 = 𝑃'(ℎ − 𝑟) = 𝐼QR𝛼(2); el momento de inercia de la bola es𝐼QR = %R^!

`

El golpe en la bola genera un giro inmediato con velocidad angular inicial igual a: 𝑤[ = 𝛼∆𝑡 (3)

Reemplazo (2) en (3): 𝑤' =c2(3X^)#30

∆𝑡=`c2(3X^)%R^!

∆t, ahora reemplazo (1) en (3): 𝑤' =`R02(3X^)

%R^!

Simplifico: 𝑤' =`02(3X^)

%^!