ProblemaspropuestosyresueltoscirculardinámicaElaboradopor:ProfesoraPilarCristinaBarreraSilvaFísica,TiplerMosca,sextaedición,volumen15.96…Aplicaciónaingeniería.Uningenierodecaminosrecibelasiguienteconsulta.Hayquediseñarunaseccióncurvadecarreteraquecumplalassiguientescondiciones:conhielosobrelacarretera,cuandoelcoeficientederozamientoestáticoentrelacarreterayelcauchoes0,080,uncocheenreposonodebedeslizarsehacialacuneta,yuncochequecirculeamenosde60km/hnodebedeslizarsehaciaelexteriordelacurva.¿Cúaldebeserelradiomínimodecurvaturadelacurvayelángulodeperaltedelacarretera?Solución:Yaqueesunejerciciodefuerzacentrípeta,seaplicasegundaleydeNewton.Loprimeroesplanteareldiagramadecuerpolibresobreelcoche:

Enestediagramadecuerpolibrelafuerzadefricciónevitaqueelcochesedeslicehacialacunetaypuedepermanecerenrepososobrelacarretera,entonces:Laecuaciónvectorialsobreelcochees:

𝑁 + 𝐹𝑓 +𝑊 = 0aplicandosumadefuerzasendirecciónhorizontal(coincideconladirecciónradial)y

verticalsetienedeacuerdoalsistemadecoordenadas:

𝐹𝑥:𝑁𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐹𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

𝐹! = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐹𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑚𝑔 = 0

Conestasdosecuaciones,utilizosololaprimeraparahallarelángulodelperalte,teniendoencuentaquelafuerzadefricciónlapuedoreemplazarpor:𝐹𝑓 = 𝜇!𝑁:𝑁𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇!𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0eliminolafuerzanormalydespejoelángulo𝜃:𝜃 = 𝑡𝑔!!0,080 = 4,57!Ahorahalloelradiodelacurvaapartirdelsiguientediagramadefuerzassobreelcoche,enelcualvemosquelafuerzaderozamientosedibujaahoraendireccióncontrariaconelfinqueéstaevitequeelcochesedeslicehacieelexteriordelacurva.

AplicandolasegundaleydeNewton:laecuacionvectorialdefuerzases:

𝑁 + 𝐹𝑓 +𝑊 = 𝑚𝑎! Ahoraexpresolasecuacionesescalaresdemovimientoendirecciónhorizontal(quecoincideconladirecciónradial)yendirección

vertical:

𝐹𝑥:𝑁𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐹𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑣!

𝑅

𝐹! = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐹𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑚𝑔 = 0

Resolvemosestasecuacionesteniendodenuevoencuentaque𝐹𝑓 = 𝜇!𝑁,combinandolasecuacionesyreemplazandovaloresnuméricosdelejercicioseobtieneR=177m.Sesugierealestudianteprimeroreemplazarlafuerzadefriccióncomo𝐹𝑓 = 𝜇!𝑁entérminosdelcoeficientederozamientoestáticoylanormalyluegodelasegundaecuacióndespejarlanormalconelfindereemplazaraenlaprimerayasídespejarluegoelradiodelacurva.TiplerMosca,quintaedición5.83Elradiodecurvaturadelrizoverticaldeunamontañarusaesde120m.enloaltodelrizo,lafuerzaqueelasientoejercesobreunpasajerodemasa𝑚es0,4𝑚𝑔.Determinelavelocidaddelavagonetaenesepunto.TiplerMosca,quintaedición5.67Unapiedrade0,75kgatadaaunacuerdagiraenuncírculohorizontalde35cmcomounpéndulocónico,lacuerdaformaunángulode30°conlavertical.(a)hallelavelocidadinstantáneaenmagnituddelapiedra.(b)hallelatensióndelacuerda.TiplerMosca,quintaedición5.74Lacuerdadeunpéndulocónicotiene50cmdelongitudylamasadelcuerpopendulares0,25kg.Halleelánguloqueformanlacuerdaylahorizontalcuandolatensiónenlacuerdaesseisvecesmayorqueelpesodelcuerpopendular.Enestascondiciones¿cuáleselperiododelpéndulo?TiplerMosca,quintaedición5.75Unamonedade100gsecolocasobreunaplataformagiratoriahorizontalquegiraarazóndeunarevoluciónporsegundo.Lamonedaestásituadaa10cmdelejederotacióndelaplataforma.(a)¿Quéfuerzaderozamientoactúasobrelamoneda?(b)Lamonedadeslizaysaledespedidade

laplataformacuandosecolocaaunadistanciaradialsuperiora16cmdelejederotación.Halleelcoeficientederozamientoestáticoentrelamonedaylaplataforma.(a)diagramadecuerpolibresobrelamoneda:

endirecciónvertical:N-mg=0endirecciónradial:-Ffe=-mv2/r,lavelocidadlineales:v=2πR1/T,entonceslafuerzadefricciónestáticaes:Ffe=4π2mR1/T2

reemplazandovaloresnuméricosFfe=0,395N(b)Conelmismodiagramadecuerpolibre:ahoraseplanteaconlafuerzaderozamientomáximasobrelamoneda:µeN=mv2/rreemplazolanormalydespejoµe:

µe=4π2R2/gT2reemplazandovaloresnuméricos:µe=0,644Física,Serway,volumen1,cuartaedición.

6.44Undispositivosecomponedeunapequeñacuñacomoseveenlafigura.Elladodelapendientedelacuñanopresentarozamientoysehacegirararapidezconstantealrotarunabarraqueestáunidaaella.Hallelarapidezdelamasamqueasciendeporlacuñaentérminosdelagravedad,Lyθ

Solución:Diagramadecuerpolibresobrem:

ecuacionesdemovimientosobrem:ejeradial:-Nsenθ=-mv2/Rejevertical:Ncosθ-mg=0EneltriángulodelongitudesdeterminoelradiodegiroR:

cosθ=R/L

Despejolarapidezdem:v= 𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃

Física,Serway,volumen1,cuartaedición.6.49Unjuegodeunparquedediversionessecomponedeuncilindroverticalquegiraentornoasuejelosuficientementerápidoparaquecualquierpersonaensuinteriorsemantengacontralaparedinclusocuandosequitaelpiso,verfigura.ElcoeficientedefriciónestáticoentrelapersonaylaparedesµsyelradiodelcilindtoesR.Halleelperíodode

revoluciónmáximoparaevitarquelapersonacaigaentérminosdeR,µs,g.Solución:diagramadecuerpolibresobrelapersona:

ecuacionesdemovimiento:ejevertical:µeN-mg=0ejeradial:-N=-mv2/R,lavelocidadlineales:v=2πR/Tcombinolasecuacionesydespejoelperíodo:

T= !!!!!!!

TiplerMosca,quintaedición5.88Unacurvaderadio150mtieneunperalteconunángulode10°.Uncochede800kgtomalacurvaa85Km/hsinpatinar.Halle(a)lafuerzanormalqueactúasobrelosneumáticosejercidaporelpavimento.(b)lafuerzaderozamientoejercidaporelpavimentosobrelosneumáticosdelcoche,y(c)elcoeficientederozamientoestáticomínimoentreelpavimentoylosneumáticos.TiplerMosca,quintaedición5.91Unacarreteraestáperaltadademodoqueuncochede950kgquesedesplazaa40km/hpuedatomarunacurvade30mderadioinclusocuandolacarreteraestétanheladaqueelcoeficientederozamientoseaaproximadamentecero.Halleelintervalodevelocidadesaqueuncochepuedetomarestacurvasinpatinar,sielcoeficientederozamientoestáticoentrelacarreteraylasruedasesde0,3.