ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

PROBLEMAS INVESTIGACION DE OPERACIONES IIPROBLEMA 1. Un fabricante tiene cuatro rdenes de produccin: A, B, C y D. La tabla que se incluye indica el nmero de horas-hombre que se requieren para fabricar estas rdenes en cada uno de los tres talleres (X, Y, Z) de la industria. Es posible dividir una orden entre varios talleres, por ejemplo, parte de la orden A puede ser procesada en X, parte en Y, y parte en Z. As mismo, cualquier taller puede ejecutar fracciones de varias rdenes.

Si el fabricante desea minimizar los costos de produccin, establezca el planteamiento del problema (Funcin objetivo y restricciones). Defina las variables a emplear y explique su significado.

SOLUCION

X1: X (89)

X2: Y (81)

X3: Z (84)

F.O Min= 89X1 + 81X2 + 84X3

En la cuarta fila la suma de la variable X no tiene horas hombres disponibles por eso no podemos seguir resolviendo el problema

PROBLEMA 2

Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno. Tiene espacio para 30 ovejas, o 50 cerdos, o 20 cabezas de ganado vacuno, o cualquier combinacin de stos (con la relacin siguiente: 3 ovejas, 5 cerdos o dos vacas usan el mismo espacio). Los beneficios (utilidades) dadas por animal son 5, 4, 10 pesos para ovejas, cerdos y vacas respectivamente. El granjero debe criar, por ley, al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntas.

PROBLEMA 5

Un cierto fabricante de tornillos, ha constatado la existencia de un mercado para paquetes de tornillos a granel en distintos tamaos. Los datos de la investigacin de mercados han demostrado que se podran vender cuatro clases de paquetes con mezclas de los tres tipos de tornillos (1, 2 y 3), siendo los de mayor aceptacin por el pblico. Los datos de la investigacin realizada indicaron las especificaciones y los precios de venta siguientes:

Para estos tornillos la capacidad de la instalacin y los costos de fabricacin se indican a continuacin:

Cul sera la produccin que debe programar este fabricante para obtener la ganancia mxima, suponiendo que puede vender todo lo que fabrique?

SOLUCIN

Variables de decisin

* X1 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 1 de la mezcla A* X2 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 2 de la mezcla A* X3 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 3 de la mezcla A* X4 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 1 de la mezcla B* X5 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 2 de la mezcla B* X6 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 3 de la mezcla B* X7 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 1 de la mezcla C* X8 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 2 de la mezcla C* X9 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 3 de la mezcla C* X10 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 1 de la mezcla D* X11 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 2 de la mezcla D* X12 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 3 de la mezcla D

Las variables de decisin que se presentaron anteriormente son aquellas que indicarn la cantidad de kg. de tornillos que se debern mezclar para obtener la mxima utilidad (ganancia). Esta variable la condicionaremos como positiva y continua (debido a que el resultado final puede ser un decimal). Se decidi utilizar esta cantidad de variables para poder simplificar el problema, ya que tener varias variables no significa que el ejercicio sea ms complejo.

Elaboracin de Funcin Objetivo (FO):

En el enunciado se pide encontrar una produccin que se refleje con una mxima ganancia, esto significa que se debe encontrar la funcin utilidad (ingresos costos totales). En conclusin la FO es maximizar.

El paso siguiente para encontrar la FO es lograr enlazar las variables de decisin con tal que se pueda obtener una ganancia acorde con las futuras restricciones. Como lo dije anteriormente la utilidad se obtiene de la siguiente manera:Utilidad = Ingresos CostosEn conclusin, nos queda:

Max Z = 60(X1+X2+X3) + 25(X2+X3+X4) + 35(X5+X6+X7) +20(X10+X11+X12) -50(X1+X4+X7+X10) 30 (X2+X5+X8+X11) 18(X3+X6+X9+X12)

Juntando trminos semejantes:

Max Z = 10X1+30X2+42X3-25X4-5X5+7X6-15X7+5X8+17X9-30X10-10X11+2X12

Elaboracin de restricciones

En las especificaciones nos encontramos con una serie de datos que me llevarn a concluir las restricciones. Lo primero que debo analizar es que tenemos 4 mezclas (A, B, C y D). Esto significa que debo incluir restricciones para cada una de ellas. Tambin debo restringir a que las mezclas llevarn ciertos porcentajes que me ayudaran a determinar la utilidad que obtendr con cada una de ellas. Por ltimo determinar las restricciones que tienen relacin con la capacidad mxima de produccin.

Las restricciones que tendr el problema son las siguientes:

1. X10,4(X1+X2+X3) 0,6X1-0,4X2-0,4X30 (no menos del 40%)2. Restricciones de las mezclasX20,2(X1+X2+X3) -0,2X1+0,8X2-0,2X30 (no ms del 20%)3. X40,2(X4+X5+X6) 0,8X4-0,2X5-0,2X60 (no menos del 20%) 4. X50,4(X4+X5+X6) -0,4X4+0,6X5-0,4X60 (no ms del 40%)5. X70,5(X7+X8+X9) 0,5X7-0,5X8+0,5X90 (no menos del 50%)6. X80,1(X7+X8+X9)-0,1X7+0,9X8-0,1X90 (no ms del 10%)7. Restricciones de capacidadX1+X4+X7+X10100 (capacidad mxima de produccin de tornillos del tipo 1)8. X2+X5+X8+X11100 (capacidad mxima de produccin de tornillos del tipo 2)9. X3+X6+X9+X1260 (capacidad mxima de produccin de tornillos del tipo 3)10. X1,X2,X3,X4,X5,X7,X8,X9,X10,X11,X12 0 (no negatividad)

En conclusin el planteamiento del ejercicio me queda de la siguiente manera:Max Z = 10X1+30X2+42X3-25X4-5X5+7X6-15X7+5X8+17X9-30X10-10X11+2X12SA0,6X1-0,4X2-0,4X3 0-0,2X1+0,8X2-0,2X3 0 0,8X4-0,2X5-0,2X6 0 -0,4X4+0,6X5-0,4X6 0 0,5X7-0,5X8+0,5X9 0 -0,1X7+0,9X8-0,1X9 0 X1+X4+X7+X10 100 X2+X5+X8+X11 100 X3+X6+X9+X12 60X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10,X11,X12 0

Finalmente este planteamiento lo ingresamos al programa winqsb para obtener la informacin deseada, pero tenemos un pequeo problema; el programa no acepta que las restricciones se presenten en decimales, por lo que decid multiplicar las primeras 6 restricciones por 10. Esto no afecta en nada el ejercicio, ya que en la inecuacin se encuentra con ceros en el lado izquierdo (0*10=0).

Resultados arrojados por el programa WINQSB

Por lo tanto la solucin ptima es:

X1: 100 X2: 40X3: 60 X4: 0X5: 0X6: 0X7: 0X8: 0X9: 0X10: 0X11: 0X12: 0

Esto significa que para obtener una ganancia mxima de 6.220 UM se debe utilizarla mezcla A. El ejercicio lo podemos comprobar verificando las restricciones y sus resultados de la siguiente manera:Variables que encontramos* X1 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 1 de la mezcla A (no menos del 40%)* X2 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 2 de la mezcla A (no ms del 20%)* X3 = Cantidad de kilogramos de tornillos del tipo 3 de la mezcla A (cualquier cantidad)

Y el resultado que arroja el programa es el siguiente X1 = 100 (se utiliz el 50%)X2 = 40 (se utiliz el 20%)X3 = 60 (se utiliz el 30%)

Demostracin: Max Z = 10X1+30X2+42X3-25X4-5X5+7X6-15X7+5X8+17X9-30X10-10X11+2X12= 10*100+30*40+42*60-25*0-5*0+7*0-15*0+5*0+17*0-30*0-10*0+2*0= 6.220 UM. Demostrado

Por lo tanto cumple con las restricciones.

PROBLEMA 6

En una industria pequea de fabricacin de cocinas a gas se debe programar la produccin por un periodo de seis meses. Teniendo en cuenta que la produccin es eminentemente manual, no existe gran ventaja en producir grandes cantidades, sino ms bien evitar gastos excesivos de almacenaje. Por consiguiente, se ha visto la conveniencia de acompasar, en lo posible, la produccin a las necesidades mensuales de la demanda.Se empieza en el perodo con un stock de 60 unidades y se desea que al final del periodo quede una existencia de por lo menos 50 unidades como stock de seguridad.Las ventas realizadas en promedio en los ltimos aos es mes a mes- la sealada en la tabla. Despus de estudiar las tendencias presentadas, se tiene la seguridad de que las ventas van a experimentar un 8% de incremento.El costo unitario de produccin es de $1.000 y los costos de almacenamiento por unidad y mes (teniendo en cuenta la obsolescencia, alquileres de bodega, etc.) de $100.La capacidad de produccin para cada mes se seala a continuacin.

Con los datos anteriores, establecer la programacin ptima para el perodo de seis meses y calcular el costo total.

SOLUCIN

Con los datos que nos entregan en el enunciado podemos concluir la siguiente tabla

MESDEMANDA ESTIMADACAPACIDAD DE PRODUCCINSTOCK

ENERO18015060

FEBRERO8019530

MARZO240210145

ABRIL290255115

MAYO27019080

JUNIO1302200

Variables de decisin:

xt=Cantidad de unidades a fabricar por perodo "t"it=cantidad en inventario al final del perodo "t"bt=Cantidad en atraso al final del perodo "t"

Min z=1000x1+1000x2+1000x3+1000x4+1000x5+1000x6+100i1+100i2+100i3+100i4+100i5+100i6+2000b1+2000b2+2000b3+2000b4+2000b5+2000b6

Juntando trminos

Min z=1000x1+x2+x3+x4+x5+x6+100i1+i2+i3+i4+i5+i6+2000b1+b2+b3+b4+b5+b6

SA:

Capacidad: Las siguientes restricciones sern las que se encargaran de establecer los lmites de la mxima capacidad. Cada una con un subndice que indicar de que mes estamos hablando (1: Enero, 2: Febrero, 3: Marzo, 4: Abril, 5: Mayo, 6: Junio)x1150x2195x3210x4255x5190x6220

Inventario: En el ejercicio se presenta una restriccin que nos indica un stock inicial y un stock final, por lo que debemos obligatoriamente condicionarlos con dos variables de decisin.i650i0=60

Balance de Inventario: Finalmente podemos analizar ambas restricciones juntas (capacidad, inventario), por lo que se establece que el inventario en el periodo t debe ser igual al inventario que se encuentra en el momento ms la capacidad de produccin y la cantidad de atraso al final del periodo, y a esto restndole el stock para el siguiente periodo.

i1=i0+x1+b1-180i2=i1+x1+b2-80i3=i2+x1+b3-240i4=i3+x1+b4-290i5=i4+x1+b5-270i6=i5+x1+b6-130

Ya tenemos establecidas las restricciones y su respectiva funcin objetivo, por lo que estamos en condiciones de introducirla al programa WINQSB, lo que nos arroja lo siguiente:

Debo aclarar que el programa no permite que se impongan las variables, por lo tanto las variables quedan de la siguiente manera:x1,x2,x6: variables de capacidad x7,x8,x13: cantidad de inventario al final del periodox14,x15,x19: cantidad de atraso al final del periodo

Finalmente, no queda:

El resultado final indica que:

X1: 150 unidadesX2: 0 unidadesX3: 0 unidadesX4: 0 unidadesX5: 0 unidadesX6: 0 unidades

Fabricando estas unidades se obtiene el menor costo : 735.000 UM

X7 (I1): 30X8 (12): 100X9 (I3): 10X10 (I4): 0X11 (I5): 0X12 (I6): 50X13 (I0): 60

X14 (b1): 0X15 (b2): 0X16 (b3): 0X17 (b4): 130X18 (b5): 120X19 (b6): 30

PROBLEMA 7

Un contratista est considerando una propuesta para la pavimentacin de una carretera. Las especificaciones requieren un espesor mnimo de doce pulgadas (12), y un mximo de 18. La carretera debe ser pavimentada en concreto, asfalto, gravilla, o cualquier combinacin de estos tres elementos. Sin embargo las especificaciones requieren una consistencia final igual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 9 de espesor. El contratista ha determinado que 3 de su asfalto son tan resistentes como 1 de concreto, y 6de gravilla son tan resistentes como 1 de concreto. Cada pulgada de espesor por yarda cuadrada de concreto le cuesta $10, el asfalto $3,80, y la gravilla 1,50.

Determine la combinacin de materiales que el contratista debera usar para minimizar su costo.

SOLUCIN

Variables de decisin

* X1 = Cantidad de concreto que se requiere para la pavimentacin de la carretera* X2 = Cantidad de asfalto que se requiere para la pavimentacin de la carretera* X3 = Cantidad de gravilla que se requiere para la pavimentacin de la carretera

Las variables de decisin que se describieron anteriormente son aquellas que indicarn la cantidad de material que se deber utilizar para minimizar el costo de la pavimentacin.

Elaboracin de la F.O.

La funcin objetivo de este problema es muy sencilla ya que nos pide minimizar el costo de la produccin y tambin nos informa del costo de cada uno de los materiales (por pulgada), por lo tanto nos basta con multiplicar cada una de las variables de decisin con sus respectivos costos, nos queda:Min Z = 10X1+3,8X2+1,5X3

Elaboracin de las restricciones

Los datos que pondr a continuacin servirn para establecer cada una de las restricciones.* Las especificaciones requieren un espesor mnimo de doce pulgadas (12), y un mximo de 18.* Sin embargo las especificaciones requieren una consistencia final igual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 9 de espesor.* El contratista ha determinado que 3 de su asfalto son tan resistentes como 1 de concreto, y 6de gravilla son tan resistentes como 1 de concreto.

Las conclusiones que se pueden obtener con esos datos son las siguientes:* Sumando las tres variables tienen que ser menor o igual que 18 y mayor o igual a 12.* Las variables deben ser todas mayor o igual a la de una superficie de concreto de 9 pulgadas.* Por ultimo tenemos las siguientes relaciones: 3X2=X1; 6X3=X1; 2X2=3X3Por lo tanto las restricciones nos quedan de la siguiente manera: X1+X2+X3 18X1+X2+X3 12X1 93X2 96X3 9El planteamiento del ejercicio queda de la siguiente manera:

Min Z = 10X1+3,8X2+1,5X3SAX1+X2+X3 18X1+X2+X3 12X1 93X2 96X3 9X1, X2, X3 0

Al igual que en el problema 5 tenemos un pequeo problema que debemos arreglar para poder utilizar de forma correcta el programa. Las constantes que acompaan a las variables de decisin en nuestra FO son decimales (precio por cada pulgada), por lo que la amplificamos por 10. Esto provoca que el resultado final est representando 10 veces de lo que realmente corresponde, por lo tanto tendremos que dividirlo por 10.Ingresamos los datos:

Resultados arrojados por el programa WINQSB

En conclusin se deben utilizar 9 pulgadas de concreto, 3 pulgadas de asfalto y 1,5 pulgadas de gravilla. Con esta combinacin se minimiza lo ms posible el costo, cumpliendo de igual forma el objetivo (pavimentacin).

PROBLEMA 8

Una empresa estima que la demanda de un determinado producto en los primeros cinco meses del ao ser como la que se muestra en la tabla.

El costo unitario de produccin es de $3. El costo unitario de almacenaje en un periodo es $2. La capacidad de produccin durante los cinco periodos es de:

Establecer la programacin ptima para el perodo de cinco meses y calcular el costo total.

SOLUCIN

Variables de decisin:xt=Cantidad de unidades a fabricar por perodo "t"it=cantidad en inventario al final del perodo "t"

Min z=3x1+3x2+3x3+3x4+3x5+2i1+2i2+2i3+2i4+2i5Min z=3x1+x2+x3+x4+x5+2i1+i2+i3+i4+i5SA:Como obtuvimos el stock es ms fcil de resolver las restricciones debido a que solo se deben igualar o sumar dependiendo de cada uno de los coeficientes, por lo tanto tenemos:X136X24X312 Restricciones de capacidadX44X512

I10I220I316 Restricciones de stockI48I510

X1+I116X2+I216X3+I312 Restricciones de produccinX4+I410X5+I512

Por lo tanto ingresamos los datos en el programa WINQSB y nos arroja lo siguiente:

Cabe destacar que como el programa solo acepta un tipo de variables, las nuestras quedan de la siguiente manera:

X1 (X1)X2 (X2)X3 (X3)X4 (X4)X5 (X5)X6 (I1)X7 (I2)X8 (I3)X9 (I4)X10 (I5)

Por lo tanto la solucin ptima es la siguiente:X1: 36 unidades X2: 12 unidadesX3: 4 unidadesX4: 12 unidadesX5: 10 unidadesI1: 0 unidadesI2: 20 unidadesI3: 16 unidadesI4: 8 unidadesI5: 10 unidades

Teniendo un costo total de 312 UM

Esto significa que el programa planteado al principio del ejercicio era el correcto y ms vlido.