Problemas Economica
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¿Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $1.000 al 30% de interés simple
anual durante dos años?
0 1 2
....|_______________________|_______________|
$1.000...........................$1.000 + $300................$1.000 + $300 + $300
Al final del primer año se tiene los $1.000 más los $300 por interés; y al final del segundo
año se tendrá los $1.000 iníciales, $300 por interés del primer año y $300 por interés del
segundo año ($1.600).
Interés compuesto. El interés se calcula con base en el capital inicial más cualquier suma de
interés acumulado al principio del periodo. ¿Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $1.000 al 30% de interés
compuesto anual durante dos años?
Ecuación sintética usada
F=P (F/P, i, n)
F=1000*(1.69)=1690
EJEMPLO 1.2 INTERÉS SIMPLE
EJEMPLO 1.3 INTERÉS COMPUESTO
EJEMPLO 2.3.1
Se dispone de $1'000.000 de pesos que se deposita en una entidad financiera que le pagará
un interés mensual del 2.5% sobre la cantidad inicial acumulada cada mes. ¿Cuánto se
tendrá al final de 1 año?
DATOS:
P=1'000.000
i= 2,5% mensual
n= 12 meses
F= ?
$1'000.000
F = ?
1 2 121110
Ecuación sintética usada
F=P (F/P, i, n)
F=1 000 000 * (1.34)=1 344 888.82
EJEMPLO 2.3.2
Cuánto deberá depositarse hoy en una entidad financiera que paga un interés trimestral del
8,5%, para tener $4'000.000 dentro de 2 años?
DATOS:
F= $4'000.000
i= 8.5% trimestral
n= 8 trimestres (2 años)
P=?
P = ?
F = $4'000.000
1 2 876
P=F (P/F, i, n) F=4 000 000 * (0.52)=2 082 677.79
EJEMPLO 2.3.3
Una entidad financiera ofrece duplicar el dinero invertido en cinco años. ¿Cuál será la
tasa de interés efectiva mensual y anual obtenida en dicha inversión?
P = Cantidad inicial
F = 2P (Cantidad final)
n = 5 años = 60 meses
i (mensual)= ?
i (anual)=?
P
F = 2P
1 2 n =5 años
= 60 meses n-1n- 2
i = ?
Utilizando la fórmula:
F =P*(F/P; ip ,n) Se tiene:
2P=P(F/P, ip , n)
2=(F/P, ip , n)
2=(1+ip)60
Donde ip= 1.16 %
Ejemplo 2.3.4
Una entidad financiera ofrece que, por cualquier monto que se le entregue, devolverá el
doble al cabo de 30 meses. ¿Qué interés está pagando?
DATOS:
P = Cantidad inicial
F = 2P (Cantidad final)
n = 30 meses
i = ?
P
F = 2P
1 2 302928
i = ?
Utilizando la fórmula
F = (F/P; ip, n) 2P = P (1+i)^30
2= (1+i)^30
i = (F/P)1/n
- 1
i = (2)1/30
– 1 i= 0.023 (2.3% mensual)
EJEMPLO 2.3.5
Su familia adquirió un lote al inicio del año 1974 por el valor de $10’000.000 e hizo un
negocio para venderlo al final del año 2009 por $640’000.000. ¿Cuál fue la rentabilidad
mensual y anual del negocio?
P = $10’000.000
F = $640’000.000
n = 36 años = 432 meses “del inicio de 1974 al final de 2009”
i (mensual) = ?
i (anual) =?
$10'000.000
F = $640'000.000
1 2 36 años3534
i = ?
1/
1/36
1/ 432
( / ) 1
(640 /10) 1 0.1224 (12.24% anual)
(640 /10) 1 0.00967 (0.967% mensual)
ni F P
i
i
EJEMPLO 2.3.6
Cada cuánto se duplica el dinero invertido al 2%?
DATOS:
P= Cantidad inicial
F= 2P (cantidad duplicada)
n=?
P
F = 2P
1 2 nn-1n-2
i = ?
n = [log(F/P) ] / [ log(1+i) ]
2P = P * (1+0.02)^n
log2 = n*log(1.02) n = 35 periodos de tiempo si el 2% es mensual; tomará casi 3 años y si es trimestral aproximadamente 9 años.
EJEMPLO 2.3.7
$1’000.000 es invertido durante 6 meses en una entidad que ofrece un interés del 21%
anual. ¿Cuál será el monto final acumulado al cabo de este tiempo?
DATOS:
P=1'000.000
ii= 21% anual
n= 6 meses
F= ?
Utilizando la fórmula
⁄
isemestral=0,1=10%
P
F = ?
1 2 654
i = 21% anual = 10% semestral
Utilizando ahora la fórmula
F = P * ( 1+i )n
F=1'000.000 (1+0,1)1
F = 1’100.000
Ejemplos Serie Uniforme
EJEMPLO 2.4.1
Usted decide invertir durante un año, al final de cada trimestre $100.000. ¿Cuánto habrá
acumulado al final del año si los depósitos obtienen un interés del 2,5% trimestral?
DATOS:
F =?
n = 4 trimestres
ip = 2,5% trimestral
0 21 3
100.000 100.000 100.000 100.000
F
Ecuación sintética:
F=A(F/A,ip,n)
F=100 000 * (4.152515625)=415 251.56
¿Cuánto debería haberse depositado para obtener el mismo valor final, si el momento del
depósito hubiera sido al principio y no al final de cada trimestre?
0 21 3
F
A ant A antA antA ant
Ecuación sintética:
Dado
Ai (1+i) = A
Ai = A / (1+i)
Entonces
F=A(F/A, ip, n)
F= Ai (1+i) (F/A ,ip ,n)
415 251.56 = A * 1.025 * (4.152515625)
A= 97.560,97
EJEMPLO 2.4.2
Usted decide ahorrar mensualmente $10.000 los cuales depositará al final de cada mes en
una entidad financiera que paga un interés del 2.5% mensual. ¿Cuánto habrá acumulado al
cabo de dos años?
A = $10.000
i = 2.5% mensual
n = 24 meses F=?
1 2 30 2223 24
10.000
Formula sintética:
F=A(F/A , ip , n)
F=10 000 * (32.34904) = 323 490.37
EJEMPLO 2.4.3
Cuánto debe ahorrar mensualmente un estudiante que desea reunir $2'000.000 al final de
sus cinco años de carrera con el fin de montar su propia empresa, si los ahorros le rentan el
3% mensual?
A = ?
F = 2'000.000
n = 60 meses
i = 3% mensual 2`000.000
1 2 30 5958 60
A
Formula sintética:
A=F(A/F, ip, n)
A=2 000 000 * (0.006133) = 12 265.917
EJEMPLO 2.4.4
Usted va a comprar un carro que vale $50'000.000 bajo las siguientes condiciones:
Cuota inicial: 40%
Saldo financiado a cinco años al 2% mensual con cuotas mensuales iguales.
¿Cuánto pagará mensualmente?
P = $30'000.000
n = 60 meses
i = 2% mensual
A = ? 30`000.000
1 2 30 5958 60
A
Formula sintética:
A=P (A/P , i , n)
A = 30 000 000 * (0.0287680)= 863 038.97
EJEMPLO 2.4.5 Usted decide depositar al final de cada semestre $100.000 en una entidad financiera que
ofrece un interés del 21% anual. ¿Cuánto habrá acumulado dentro de dos años?
DATOS:
F =?
n = 4 semestres
i = =10% semestral
A=$100.000
0 21 3
100.000 100.000 100.000 100.000
F
Formula sintética:
F=A ( F/A ,i ,n)
F=100 000 * (4.641000)= 464 100
EJEMPLO 2.4.6
Usted logra ahorrar $200.000 semestrales durante su carrera y los deposita en una entidad
financiera que paga un interés del 4%trimestral. ¿Cuánto habrá acumulado al cabo de los
cinco años de carrera?
DATOS:
A =$200.000
n = 10 semestres
i = 4% trimestral
F=? F=?
1 2 30 98 10
200.000
Formula sintética:
F=A ( F/A , ip , n)
F= 200 000 * (14.59710) = 2 919 419.46
¿Cuánto debió haber ahorrado semestralmente durante su carrera si su propósito era
acumular $5’000.000 para pagar la matrícula de un curso de idiomas en el exterior?
DATOS:
F=$5’000.000
isem=8,16%
n=10 semestres
A=? F
1 2 30 98 10
A=?
Formula sintética:
A=F (A/F, ip, n)
A=5 000 000 * (0.068506771)= 342 533.85
EJEMPLO 2.4.7
Usted toma un crédito para sostenerse durante los seis meses que dura el curso de idiomas,
el crédito será de $10’000.000 y se pagará mediante cuotas semestrales vencidas durante
tres años. Si el interés semestral es del 12%, determine el valor de las cuotas a pagar.
DATOS:
P=$10’000.000
isem=12%
n=6 semestres
A=? 10'000.000
10 6
A
i=12%
Formula sintética:
A=P (A/P, ip, n)
A=10 000 000 * (0.2432257)= 2 432 257.18
EJEMPLO 2.4.8
Hace cuatro años una empresa adquirió un lote para futuros ensanches por valor de
$75’250.000 mediante un crédito hipotecario a 25 años, con una tasa de interés mensual del
2% y un esquema de cuotas fijas mensuales vencidas. Hoy se tomó la decisión de vender el
lote, para ello debe liquidarse el préstamo con un pago final. Cuál será el monto de este
pago final?
75`250.000
10 300
A
i=2%
Formula sintética:
Pago final = P (F/P ,ip , n) - P (A/P, ip, n) (F/A , ip , n)
Pago final =75 250 000 * (2.587070) – (75 250 000)(0.0200527)(79.35352)= 74 935 279.63
EJEMPLO 2.4.9
Una empresa requiere $2'000.000, los cuales va a recibir como préstamo bancario con las
siguientes condiciones:
Plazo: 1 año
Interés: 8% trimestral
Forma de pago: cuotas trimestrales iguales vencidas, las cuales incluyen intereses y abonos
a capital.
a. Determine el valor de la cuota.
n = Cuatro trimestres
i = 8% trimestral
P = 2'000.000
A =?
1 2 30 4
A
2`000.000
Formula sintetica:
A= P (A/P , ip, n)
A=2 000 000 (0.3019208) = 603 841.60
b. Ilustre mediante un cuadro periodo a periodo los siguientes conceptos:
- Saldo inicial
- Intereses causados
- Cuota a pagar
- Abono a capital
- Saldo final
Tabla FLUJO DE CAJA
PERIODO SALDO
INICIAL
INTERÉS
CAUSADO
CUOTA
A
PAGAR
ABONO
A
CAPITAL
SALDO
FINAL
I 2,000,000.00 160,000.00 603,841.61 443,841.61 1,556,158.39
II 1,556,158.39 124,492.67 603,841.61 479,348.94 1,076,809.45
III 1,076,809.45 86,144.76 603,841.61 517,696.85 559,112.60
IV 559,112.60 44,729.01 603,841.61 559,112.60 -
Los intereses son causados por el saldo inicial de cada periodo. Los abonos a capital se
calculan como la cuota a pagar menos los intereses causados. El saldo final se obtiene
restando el abono a capital del saldo inicial. Este saldo final será el saldo inicial para el
próximo periodo.
c. Compruebe que el total de los abonos a capital es exactamente el préstamo recibido, y
que el saldo al final del año es exactamente cero.
El cuadro nos muestra que la suma de abonos a capital:
443,841.61
479,348.94
517,696.85
559,112.60
Totaliza exactamente los $2'000.000 recibidos, y que el saldo al final del año (cuarto
periodo) es cero.
d. Analice los saldos periodo a periodo y la relación interés-abono a capital durante los
diferentes periodos. Los saldos van disminuyendo cada periodo más rápidamente, dado que
el abono a capital aumenta periodo a periodo, mientras que los intereses sobre el saldo
inicial del periodo correspondiente van disminuyendo.
Figura 41
EJEMPLO 2.4.10
Para comprar maquinaria su empresa ha recibido un préstamo de $65’000.000 por dos años,
con un interés semestral del 16%, pagadero en cuotas semestrales iguales vencidas las
cuales incluyen interés y abonos a capital. Calcule el valor de la cuota y haga un cuadro
donde se ilustre: saldo inicial, interés, abono a capital y saldo final.
65`000.000
10 4
A
i=16%
Formula sintética
A= P (A/P , ip, n)
A=65 000 000 (0.3573751) = 23 229 379.51
PERIOD
O
SALDO
INICIAL
INTERÉS
CAUSADO
CUOTA A
PAGAR
ABONO A
CAPITAL
SALDO
FINAL
1 65’000.000,0
0
10’400.000,0
0
23’229.379,5
1
12’829.379,5
1
52’170.620,4
8
2 52’170.620,4
8
8’347.299,27 23’229.379,5
1
14’882.080,2
3
37’288.540,2
4
3 37’288.540,2
4
5’966.166,43 23’229.379.5
1
17’263.213,0
7
20’025.327,1
6
4 20’025.327,1
6
3’204.052,34 23’229.379.5
1
20’025.327,1
6 -0-
65’000.000,0
EJEMPLO 2.4.11
Usted tiene una empresa y solicita un préstamo para capital de trabajo. Durante el primer
año usted sabe que no será posible hacer desembolsos y pacta con el banco una forma de
pago que consiste en cuotas iguales trimestrales durante el año 2 y el año 3. Si el préstamo
fue de $20’000.000 y los intereses de 5% trimestral
a. Determine el valor de las cuotas a pagar.
b. Suponga ahora que el esquema de pago planteado implica unas cuotas un poco más
bajas durante el segundo año y un poco más altas durante el tercer año de manera que las
cuotas del tercer año serán superiores un 20% a las del segundo año. Determine el nuevo
valor de las cuotas.
a. DATOS:
P=$20’000.000
itrim=5%
n=12 trimestres
A=?
P=20'000.000
A=?
0 8
i=5%
A=?
124
Formula sintética
F(1)=P(F/P ,i ,n)
P(1)= F(1)
A=P(1)(A/p , i , n)
A= P*(F/P ,i ,n)* (A/p , i , n)
A=20 000 000 (1.215506)*(0.1547218) = 3 761 306.63
b. DATOS:
P=$20’000.000
itrim=5%
n=12 trimestres
A3=1.2A2
P=20'000.000
A2
0 8
i=5%
A3
124
Resolviendo
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
EJEMPLO 2.4.12
Su empresa recibe un préstamo a corto plazo (un año) el cual deberá ser cancelado
mediante cuotas trimestrales fijas (cuota trimestral vencida) si el préstamo es de
y la tasa de interés es del 3% trimestral, determine el valor de la cuota a
pagar.
P=10'000.000
A=?
0 4
i=3%
A=P(A/P , i , n)
A=10 000 000 * (0.2690270) = 2 690 270.45
¿Cuál hubiera sido el valor de las cuotas si paga anticipado?
Aplicando la fórmula
Se obtiene
EJEMPLO 2.4.13
¿Cuál será el valor de la cuota a pagar en el préstamo anterior si el plazo hubiera sido dos
años y las cuotas del segundo año fueran planeadas para incrementarse en un 10% respecto
al primer año?
Resolviendo
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Obtenemos
Como
TABLA 2. Datos
Ítem Valor
Préstamo 10.000.000,00
Plazo años 2
Periodos 4
Interés trimestral 0,030
TABLA Flujo de caja
Periodo
Trimestral
Saldo
inicial
Interés
causado
Cuota a
pagar
Abono a
capital
Saldo
final
1 10,000,000.00 300,000.00 1,360,553.18 1,060,553.18 8,939,446.82
2 8,939,446.82 268,183.40 1,360,553.18 1,092,369.78 7,847,077.04
3 7,847,077.04 235,412.31 1,360,553.18 1,125,140.87 6,721,936.17
4 6,721,936.17 201,658.09 1,360,553.18 1,158,895.10 5,563,041.07
5 5,563,041.07 166,891.23 1,496,608.50 1,329,717.27 4,233,323.80
6 4,233,323.80 126,999.71 1,496,608.50 1,369,608.79 2,863,715.01
7 2,863,715.01 85,911.45 1,496,608.50 1,410,697.05 1,453,017.96
8 1,453,017.96 43,590.54 1,496,608.50 1,453,017.96 0.00
¿Cuál será el saldo al cabo del primer año, una vez pagado la cuota del cuarto trimestre?
P=10'000.000
1'496.608,5
04
i=3%
8
1'360.553,18
El saldo en un determinado periodo se puede calcular de dos maneras:
1. El saldo desde el punto de vista de lo que falta por pagar
2. El saldo desde el punto de vista de lo que se adeudaría si no se hubieran hecho pagos
menos lo que se ha pagado
Saldo desde el punto de vista de lo que falta por pagar:
[ ]
[ ]
Saldo desde el punto de vista de lo que se adeudarían si no se hubieran hecho pagos menos
lo que se ha pagado:
[ ]
[ ]
EJEMPLO 2.4.14
De acuerdo al ejemplo anterior, si la modalidad del pago se mantuviera a dos años con
cuotas fijas trimestrales vencidas y en lugar de aumentar en el segundo año tuviéramos unas
cuotas extraordinarias al final de cada semestre por valor de $140.000 ¿Cuál sería el valor
de las cuotas a pagar?
P=10'000.000
A
04
i=3%
8
140.000
Resolviendo
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Se obtiene
TABLA 4. Datos
TABLA 5. Flujo de caja
Periodo
Trimestral
Saldo
Inicial
Interés
causado
Cuota a
pagar
Abono a
capital
Saldo
Final
1 10,000,000.00 300,000.00 1,355,598.37 1,055,598.37 8,944,401.63
2 8,944,401.63 268,332.05 1,495,598.37 1,227,266.32 7,717,135.31
3 7,717,135.31 231,514.06 1,355,598.37 1,124,084.31 6,593,050.99
4 6,593,050.99 197,791.53 1,495,598.37 1,297,806.84 5,295,244.15
5 5,295,244.15 158,857.32 1,355,598.37 1,196,741.05 4,098,503.11
6 4,098,503.11 122,955.09 1,495,598.37 1,372,643.28 2,725,859.83
7 2,725,859.83 81,775.79 1,355,598.37 1,273,822.58 1,452,037.25
8 1,452,037.25 43,561.12 1,495,598.37 1,452,037.25 0.00
Ítem Valor
Préstamo 10’000.000
Plazo años 2
Periodos
trimestrales 8
Interés trimestral 0,03
Cuota extraordinaria 140.000
Interés semestral 0,0609
Periodos
semestrales 4
Ejemplos adicionales Serie Uniforme usando notación simplificada de Equivalencia
EJEMPLO 2.4.15
¿Cuánto deberá invertirse hoy, 1° de Julio de 2008, para hacer cuatro retiros trimestrales
vencidos iguales por $500.000 cada uno el día siguiente al fin de cada trimestre del año
2010, si los depósitos obtienen un interés del 8% trimestral?
Jul 1
08
0 10987654321
Ene 1
11
Oct 1
08
Ene 1
09
Abr 1
09
Jul 1
09
Oct 1
09
Ene 1
10
Abr 1
10
Jul 1
10
Oct 1
10
Existen dos formas de resolver este problema:
a. Utilizando la relación de equivalencia entre la serie uniforme ($500.000) y un valor
presente situado un periodo atrás del primer flujo de la serie, en este caso en el periodo 6.
0 10987654321
PP`
F $500.000
Hasta el momento: P '= A ( P/A , i , n ) [6]
donde:
P ': Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el punto 6.
A: $500.000
P: Es P'
i : 8% trimestral
n : 4 (porque la serie uniforme es de cuatro flujos)
Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor presente situado en el periodo 6
(P'), es necesario llevarlo ahora al periodo cero que es el momento en el cual hacemos el
depósito.
Para hacer este traslado consideramos a P' como un valor futuro (F) con respecto a P (en el
periodo cero), por lo tanto tenemos:
P= P' (P/F,i,n) [2]
Donde:
P: Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo cero
P' = A(P/A,i,n)
F = P'
i = 8% trimestral
n = 6 (porque P' está situado exactamente en el periodo 6 y es necesario llevarlo al periodo
cero).
En definitiva: P = A ( P/A , i , n ) ( P/F , i , n )
[
]
[
]
b. Utilizando la relación de equivalencia entre la serie uniforme ($500.000), y un valor
futuro situado exactamente al final de la serie, en este caso en el periodo 10.
1098765
P
$500.000
F
0 4321
0 4321
Hasta el momento: F = A ( F/A , i , n ) [3]
Donde:
F : Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10
A : $500.000
i : 8% trimestral
n : 4 (porque la serie es de cuatro flujos)
Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor futuro situado en el periodo 10
(F), es necesario llevarlo al periodo cero, siendo F un valor futuro respecto a P (en el
periodo cero).
Entonces :
P = F (P/F, i, n)
Donde:
P: Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 0
F: Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10
i : 8% trimestral
n : 10 (porque F está situado en el periodo 10 y es necesario llevarlo a cero)
En definitiva: P = A ( F/A , i , n ) ( P/F , i , n )
[
]
[
]
EJEMPLO 2.4.16
Usted recibe un préstamo de $2'000.000, el cual deberá pagar de la siguiente forma:
Plazo: 2 años
Interés: 2.5% mensual
Pagos mensuales vencidos por un valor A durante el primer año, y por un valor 2A durante
el segundo año.
Determine el valor de la cuota.
a) Primera forma de solución:
A2A
Primer año
Segundo año
2`000.000
11 12 131 24
Llevamos la serie A al periodo cero (P1)
P1= A(P/A,i,n) [6]
P1= A(P/A,2.5%,12)
* Llevamos la serie 2A al periodo 12
P2= 2A(P/A,i,n)
P2= 2A(P/A,2.5%,12)
* Llevamos el valor P2 al periodo cero (P2'). P2 es con respecto a P2' un valor futuro, por
tanto:
P2'= P2(P2/F,i,n) [2]
P2'= 2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12)
* Hacemos P igual al valor equivalente de la serie A (retiros hechos en el primer año) en el
periodo cero (P1), más el valor equivalente de la serie 2A (retiros hechos en el segundo
año) en el periodo cero.
P= P1+P2'
P= A(P/A,2.5%,12)+2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12)
2'000.000 = A(10,2577646)+2A(10,2577646)(0,74355585) A= $78.393,84695
b) Segunda forma de solución
Tenemos dos series, cada una de valor A, la primera con 24 flujos (del 1 al 24), la cual
llamaremos serie I y la segunda con 12 flujos (del 13 al 24), que llamaremos serie II.
* Llevamos la serie I al periodo 24 (F1)
F1= A(F/A,i,n)
F1= A(F/A,2.5%,24)
* Llevamos la serie II al periodo 24 (F2)
F2= A(F/A,i,n)
F2= A(F/A,2.5%,12)
* Llevamos F1 al periodo cero (P1)
P1=F1(P/F,i,n)
P1=A(F/A,2.5%,24)(P/F,2.5%,24)
* Llevamos F2 al periodo cero (P2)
P2=F2(P/F,i,n)
P2=A(F/A,2.5%,12)(P/F,2,5%,24)
* Hacemos P igual al valor equivalente de la serie I en el periodo cero (P1), más el valor
equivalente de la serie II en el periodo cero (P2)
P=P1+P2
P=(A(F/A,2.5%,24)+A(F/A,2.5%,12))(P/F,2.5%,24)
2'000.000=A(17.885)+A(7.627) A = $78.394,48
c) Tercera forma de solución
Se aplica el mismo procedimiento, pero esta vez llevando cada una de las series a un valor
presente, es decir, llevar la serie I al punto cero; la serie II al punto 12 y luego a valor
presente cero. Debemos obtener el mismo resultado.
* Llevando la serie I al periodo cero (P1)
P1=A(P/A,2.5%,24)
P1=17,885A
* Llevando la serie II al periodo 12 (P2)
P2=A(P/A,2.5%,12)
P2=10,2577
* Llevando P2 (tomándolo como F y llevándolo al periodo cero)
P2=F(P/F,2.5%,12)
P2=7,627A
* Hacemos P igual al periodo equivalente de la serie I en el periodo cero(P1),mas el valor
equivalente de la serie II en el periodo cero (P2)
P=P1+P2
2'000.000=A(17.885)+A(7.627) A = $78.394,48 EJEMPLO 2.4.17
Usted requiere saber de cuánto dinero debe disponer hoy 1° de enero 2009, generando un
interés del 2% mensual para poder hacer retiros mensuales vencidos durante el año 2010 de
$20.000 cada uno, al final del 2010 $100.000 adicionales; durante el año 2011 $30.000
mensuales, y al final del 11 $150.000 adicionales.
13 24 25 36
0$20.000 $30.000
$150.000
$100.000
P=?
P=[100.000+20.000(F/A,2%,12)](P/F,2%,24)+
[150.000+30.000(F/A,2%,12)](P/F,2%,36) P = $ 499.724,79
EJEMPLO 2.4.18
Usted va a comprar un equipo de sonido en un almacén de electrodomésticos, el cual ofrece
un crédito cooperativo al 2.5% mensual. La forma de pago es con cuotas mensuales
vencidas iguales durante dos años. Al cabo de seis meses se podría finalizar la deuda
cancelando el saldo, el cual sería de $120.000. ¿Cuál es el valor de compra del equipo de
sonido?
24
P=?
1
A
Inicialmente se tiene que el precio del equipo de sonido “P” equivale al valor presente de
las 24 cuotas iguales “A”:
P= A (P/A,2.5%,24)
Dado que el saldo al cabo de seis meses es $120.000, el valor presente de las 18 cuotas
restantes debe ser equivalente al saldo de $120.000:
18
120.000
1
A
120.000= A (P/A,2.5%,18)
120.000= A (14,353363)
Entonces el valor de las cuotas mensuales es: A= $8.360,41
Reemplazando el valor de de las cuotas mensuales “A” en la expresión inicial:
P = 8.360,41(P/A,2.5%,24)
Se obtiene el precio del equipo de sonido “P”:
P = $149.525,81 EJEMPLO 2.4.19
Un almacén vende cualquiera de sus electrodomésticos de contado o a crédito. Si es de
contado, el valor pagado es el precio de lista menos un 30% de descuento. Si es a crédito,
debe cancelarse como cuota inicial el 20%, y el resto se pagará en 10 meses con cuotas
iguales cada una de ellas por un valor igual al 80% del precio en lista dividido por 10.
¿Cuál es el interés mensual implícito al comprar a crédito?
PL: Precio de lista
Al hallar el flujo neto equivalente a la diferencia entre las dos formas de pago tenemos:
0,08PL
1 10
0,5 PL
Donde 0.5 PL representa el dinero que realmente está siendo financiado ya que a crédito de
todas formas debe darse 0.2 PL como cuota inicial y si el comprador dispusiera de 0.5 PL
adicionales completaría el precio de compra de contado que es 0.7 PL y se evitaría el pago
de las diez cuotas adicionales. En otras palabras, el comprador paga diez cuotas mensuales
equivalentes al 8% del precio de lista a cambio de no tener que pagar hoy un 50% del
precio de lista (precio de contado menos cuota inicial), lo que puede ser interpretado como
un préstamo.
0.7PL=0.2PL + 0.08PL(P/A,i%,10)
0.5PL=0.08PL(P/A,i%,10)
(P/A,i%,10)=6,25
Debemos hallar un valor de i despejando la fórmula y con calculadora hallamos que :
iLuego el comprador está pagando un interés mensual cercano al 10%
0,08PL
1 10
0,2 PLO,7PL
PAGO A CRÉDITOPAGO DE CONTADO
2.6 Gradiente Geométrico (C).
EJEMPLO 2.6.1
Usted ingresa a laborar con un salario mensual de $4’000.000. La empresa depositará al
final de cada año en un fondo de cesantías un salario mensual. Suponga que no se hacen
retiros parciales y que el fondo le genera una rentabilidad anual del 15%. Si su salario crece
un 8% anualmente, ¿Cuánto habrá acumulado al cabo de 25 años de servicio?
DATOS:
F=?
4'000.000
025
F=? F=C(F/C, i, n, )
F= 4 000 000 * (372.44)=1 489 741 567.06
EJEMPLO 2.6.2
Un profesor saldrá en comisión de estudios de doctorado durante cinco años, el desea viajar con su familia, pero el nivel de ingresos no se lo permite y decide dejar depositado en una cuenta lo suficiente para asegurar el dinero necesario para realizar el mercado de su familia, si actualmente el mercado mensual tiene un valor de $5´000.000 y mensualmente crece un 1% cual será el depósito requerido si sobre el saldo se obtiene un interés de: a). 0,8% mensual b). 1% mensual c). 1,2% mensual n=60 Δ=1% C=$500.000
0 60%1
500.000
P=?
1
a). imensual=0,8% P=C (P/C, i , n, Δ)
P= 500* (63.15) = 31 572 676.50
b). imensual=1% Dado que en b) i = la fórmula para el valor presente es:
[
]
*
+= 29 702 970,3
c). imensual=1,2%
P=C (P/C, i , n, Δ)
P= 500 000* (55.96) = 27 980 211.09
FACTOR INTERÉS
MENSUAL PERIODOS VALOR
PRESENTE
P=C(P/C,Δ,i,n)
0.80%
60
$ 31´572.676,5
1% $ 29´702.970,3
1.20% $ 27´980.211,1
EJEMPLO 2.6.3
La instalación de un sistema de calefacción de agua mediante un calentador a gas de paso
directo vale $800.000 y se espera que dure cuatro años con un valor de salvamento de
$50.000. Se espera que el costo de operación y mantenimiento sea $80.000 el primer año,
aumentando en 11% anualmente. Utilice el análisis de hoja de cálculo para determinar el
valor presente o costo presente equivalente si la tasa de interés es de 8% anual.
=+B1+(B4*((((1+B5)/(1+B6))^B2)-1)/(B5-B6))-(B3/(1+B6)^B2)
Nota: El valor de salvamento será un valor que estará al final de los periodos y al traerlo a
presente se hará con la fórmula de interés compuesto, considerando este valor como un
valor futuro.
EJEMPLO 2.6.4
Un profesor se va en comisión de estudios al exterior durante dos años y desea saber cuánto debería dejar en una cuenta bancaria para que su familia pueda cubrir los gastos mensuales que están estimados en y que crecen mensualmente en un
Suponga que el dinero en la cuenta recibirá un interés mensual de a) 2% y b) 1,5% a)
P=?
024
2'000.000
P=C (P/C, i, n, )
P= 2 000 000* (22.25) = 44 498 953.90
b)
Aplicando la fórmula:
*
+
Reemplazando:
Obtenemos:
EJEMPLO 2.6.5
Diez estudiantes de primer semestre deciden asociarse y crear un fondo de ahorros
mensuales de tal forma que al culminar sus cinco años de estudios posean un capital de
$100'000.000, destinados a fundar su propia empresa. Sus ingresos les permiten
incrementar el ahorro mensual en un 2% y la entidad financiera les ofrece un interés
mensual del 2.5%. ¿Cuánto deberá ser el ahorro mensual inicial de cada uno de los
estudiantes?
F = $100'000.000
D = 2% mensual
i = 2.5% mensual
n = 60 meses
C =?
10
10`000.000
60
[
]
Cuota individual inicial = C/10 = $44.692,4
F= C (F/C, i, n, )
10 000 000 = C * ( 223.75)
C= 44 692.38
EJEMPLO 2.6.6
El montaje de una empresa requiere hoy una inversión de $100'000.000. En dicha empresa
se producirán y venderán mensualmente 10.000 unidades de un producto "J". Producir cada
"J" cuesta el primer mes $200 y este valor crecerá mensualmente 2%. Dicho producto se
podrá vender el primer mes por un valor $V y reajustar su precio en 1.5% mensual. Si el
producto "J" tiene una vida de cinco años, ¿cuál será el precio de venta que hace que el
proyecto genere una rentabilidad bruta mensual del 3%?
V
0 60%5,1
%22`000.000
10.000V
$100.000.000
P= CV(P/C, i ,n , ∆ ) - C´ (P/C, i ,n , ∆ )
P= 10 000* V- 78 040 634.38
[
]
[
]
100'000.000 = 10.000V (39,02) - 2'000.000(44,31)
V= $483,40
EJEMPLO 2.6.7
Usted ingresa a laborar con un salario de $3`000.000 mensuales. Al final de cada año su
empleador depositará salarios en un fondo de cesantías. Suponga que su salario se
incrementará anualmente en un y que la rentabilidad anual del fondo de cesantías es del
¿Cuánto habrá acumulado al cabo de años sin retiros y a cuantos equivaldrá dicho
monto expresado en salarios de ese momento?
3'360.000
030
F=? F= C (F/C, i, n ∆)
F= 3 360 000 * (369.34) = 1 240 973 223.81
EJEMPLO 2.6.8
Una empresa desarrolló un nuevo producto y de acuerdo al estudio de mercadeo y de costos
dicho producto tendrá una vida útil de 10 años. El primer año generaría unos ingresos netos
para la empresa de $5’000.000, este valor crecerá un 20% anual durante los siguientes tres
años, momento en el que alcanzará su madurez en el mercado y permanecerá allí hasta el
séptimo. Durante el año octavo, noveno y décimo los ingresos netos se reducirán
anualmente en un 25% debido al ingreso de nuevos productos, hasta que en el año décimo
se retira del mercado.
Si la empresa requiere un rendimiento del 18% anual sobre la inversión. ¿Cuánto sería el
monto máximo que se podría invertir para implementar el montaje requerido en la planta de
producción y otros egresos necesarios para la puesta en marcha y la campaña inicial de
lanzamiento del producto?
1 74 10
%25%20
Inversión
i=18%
Se halla el valor del monto máximo que se puede invertir:
P=C (P/C,i ,n, ∆)+C
[
] [
] [
]
[
] [
]
2.7 Gradiente Escalonado - SERIES UNIFORMES CONSECUTIVAS CON CRECIMIENTO GEOMÉTRICO
EJEMPLO 2.7.1
Recuerde el ejercicio en el que usted ingresaba a laborar con un salario de $4’000.000. Se
examina ahora lo que sucedería en su fondo de pensiones.
Usted, mediante un descuento de su salario, cotiza un 4% de su salario mensualmente y el
empleador aporta un 12% para un total de un 16% de su salario. Suponiendo nuevamente
que el incremento anual salarial es del 8% y el dinero en su cuenta de ahorros individual
tiene un rendimiento del 15% anual. ¿Cuál será el valor acumulado al cabo de los 25 años
de servicio?
DATOS:
Salario inicial: $4’000.000
Aporte total porcentual: 16%
Aporte mensual inicial (B): 640.000
Incremento anual salario (Δ): 8%
Rentabilidad neta anual (ii): 15%
Meses por año (m): 12
Total años (n): 25
Para hallar el i mensual se aplica:
Reemplazando:
Obtenemos:
Aplicando la fórmula: F=B( F/B, Δ i, ii, n*m)
Reemplazando:
[
]
Obtenemos:
EJEMPLO 2.7.2
Si usted acumuló $3’052.000 y recibirá pensión durante 20 años, ¿cuál sería el monto
inicial de su pensión que continuaría creciendo al 8% anual, suponiendo que el saldo en su
cuenta sigue obteniendo una rentabilidad del 15% anual?
DATOS:
Aplicando la fórmula sintética:
B=P(B/P, Δ, i, ii, n*m)
[
] [
]
Reemplazando:
[
]
EJEMPLO 2.7.3
Con los datos del ejercicio anterior sobre cesantías se desea conocer ahora cuanto es el
monto acumulado en pensiones si para ello el empleador deposita mensualmente en un
fondo de pensiones de su salario. Recuerde que el salario inicial es de 3’000.000, el
incremento anual es del y el interés del fondo de pensiones es del
Para hallar el i mensual aplicamos:
Reemplazando:
Obtenemos:
Aplicando la fórmula sintética F=B( F/B, Δ i, ii, n*m)
[
]
Reemplazando:
[
]
Obtenemos:
EJEMPLO 2.7.4
Del ejercicio anterior, suponiendo que usted disfrutará de la pensión durante 15 años, ¿cuál
sería el porcentaje mensual del salario que se tendría si hubiera seguido trabajando.
¿Cuánto recibiría como pensión?
2.154'000.000
015
B
B+delta
Aplicando la fórmula sintetica: B=P(B/P, Δ, i, ii, n*m)
[
] [
]
Reemplazando:
’
[
]
Obtenemos:
Aplicando la fórmula:
Reemplazando:
Obtenemos:
`187.970,67
El monto de pensión equivaldrá a:
= 47,3 % del salario del año 31
2.10 EJEMPLOS MIXTOS
EJEMPLO 2.10.1
Su familia decidió adquirir una vivienda que vale para ello dispone de
en ahorros y el resto será financiado a 20 años con una tasa del
mensual. Determine el valor de las cuotas mensuales a pagar en las siguientes
modalidades:
a. Cuotas fijas
b. Cuota creciente $5000 mensuales
c. Cuota creciente 0.5% mensual
d. Cuota fija mensual con crecimiento anual del 6%
Cuotas fijas:
60'000.000
0240
i=1.1%
Aplicando la fórmula sintética: A= P( A/P, i, n)
A=60 000 000*(0.0118585) = 711 511.54
Cuota creciente $5000 mensual; gradiente aritmético:
60'000.000
0240
A
A+1'200.000
A+10000
A+5000
Utilizando la formula sintética se tiene que:
A=G(A/G, i, n)
A= 5000* (72.18)= 360 888.09
Cuota creciente 0.5% mensual; gradiente geométrico:
60'000.000
0240
Aplicando la fórmula: P=C( P/C, i, n, )
60 000 000 = C* 126.72
C= 473 466.18
Crecimiento anual 6%; cuota fija:
Aplicando la fórmula sintética. B=P(B/P, Δ, i, ii, n*m)
[
] [
]
Reemplazando:
[
] [
]
Obteniéndose:
EJEMPLO 2.10.2 GRADIENTE ARITMÉTICO DECRECIENTE (NEGATIVO)
¿Cuánto debería depositarse hoy al 10% mensual para obtener los flujos representados en la
siguiente grafica?, los valores de la gráfica se encuentran en millones de pesos.
1.0 1.0 1.0 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.51.5 1.5 1.5
1.1
0.7
0,4
0.1
0.5
0.9
1.1P
Un posible planteamiento con su solución sería:
P = 1'000.000(P/A,10%,12) + 100.000(P/G,10%,5)(P/F,10%,3)+
500.000(P/A,10%,4)(P/F,10%,8)+[1'100.000(P/A,10%,7) –
400.000(P/G,10% ,7)](P/F,10%,12) P = $8'148.273,705
A=1`000.000
G=400.000
A=1`100.000
A=500.000
P
G=100.000
1 12 13 19
Otro planteamiento podría ser:
P = 1'000.000(P/A,10%,4)+[100.000(P/G,10%,4)+1'100.000(P/A,10%,9)]* (P/F,10%,4) +
[400.000(P/A,10%,4)*(P/F,10%,8)] + 700.000 (P/A,10%,6)-
400.000(P/G,10%,6)]*(P/F,10%,13) P= $8'148.273,05
A=1`000.000
G=400.000
A=700.000
A=400.000
P
G=100.000
1 12 13 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A=1`100.000
EJEMPLO 2.10.3
Una empresa requiere unas instalaciones para ampliar su planta de producción y para ello
está tramitando un crédito hipotecario a 20 años con una tasa de interés del 1.15% mensual.
Determine la cuota a pagar para un crédito de $200’000.000 en cada una de las siguientes
modalidades de pago:
a) Cuota fija mensual vencida
b) Cuota fija mensual anticipada
c) Cuota mensual vencida creciente en $10.000 mensuales
d) Cuota mensual vencida creciente en 0.6% mensual
e) Cuota mensual fija creciendo anualmente en un 8%
a) DATOS:
n=20 años= 240 meses
i=0,0115
P=$200’000.000
A=?
200'000.000
10 240
A
i=1,15%
Con la fórmula sintética: A=P(A/P, i, n)
A=200 000 000* (0.0122902)=2 458 043.50
b) Sabiendo que:
Tenemos que:
c) Usando la fórmula sintetica: A=G(A/G, i, n )
A= 10 000 (70.47) = 704 650.25
Reemplazando:
Ahora restamos del valor obtenido para una cuota fija mensual vencida
d) DATOS:
n=20 años= 240 meses
i=0,0115
P=$200’000.000
Δ=0.006
C=?
C
0
240
200'000.000
Con la fórmula sintética tenemos: P=C( P/C, i, n, )
200 000 000 = C (132.69)
C=1 507 284.27
e) DATOS:
Δ =8% anual
i=1,15% mensual
ii=(1+0.0115)12
-1= 0,14707
n=20 años
m=240 meses
0 12 24 36 240
)1( B
21 B
1
1
n
B
B
200`000.000
Aplicando la fórmula sintética B=P(B/P, Δ, i, ii, n*m)
(
) [
]
EJEMPLO 2.10.4
Una modista entra a trabajar en una fábrica de confección, pero su deseo es crear su propia
empresa dentro de 10 años. Para ello piensa utilizar las cesantías acumuladas al final, y
además ahorrar semestralmente la prima de servicios (medio salario cada semestre) en una
entidad financiera que paga un interés efectivo anual del 35%. Si el salario del primer año
es de $2´500.000 y crecerá anualmente al ritmo de la inflación esperada (20% anual),
determine:
a. Capital acumulado al final de 10 años de trabajo:
Capacum= Cesacum + Fprimas (1)
Cesantías acumuladas:
F=P(F/P ,i, n)
F = P ( 1 + i ) n
F = 2´500.000 ( 1 + 0, 20 )10
F = $ 15’479.341
Cesacum = (1’547.934,10) ( 10 ) Cesacum = $ 154’793.410
El valor futuro de las primas de servicio genera un gradiente geométrico, pues el salario
aumenta en un delta igual a la inflación:
Aplicando la fórmula sintética B=P(B/P, Δ, i, ii, n*m)
F = B ( i / ii ) [ ( 1 + i )n - ( 1 + D )
n ] / ( i - D )
ii = 35% anual
B = 1’250.000
D = 20%
n = 10 años
m = 2 semestres
i = ( 1 + ii )(1/m)
- 1
i = (1 + 0,35 )(1/2)
- 1
i = 0,1619 = 16,19% semestral.
F = 1’250.000 ( 0,35 / 0,1619 ) [ ( 1 + 0,35 )10
- ( 1 + 0,20 )10
] / ( 0,35 - 0,20 )
F = $ 250’678.755,3
Reemplazando los valores en (1):
Capacum = 154’793.410 + 250’678.755,3
Capacum = $ 405’472.165,3
b. ¿A cuánto asciende el patrimonio (capital) de la empresa?
P = [ F / ( 1 + i )n )
donde:
F = Capacum
i = 20% anual
n = 10 años
P = [405’472.165,3 / ( 1 + 0,20 )10
]
EJEMPLO 2.10.5
El empresario Carlos Suárez decide comprar un lote para el montaje de su fábrica por valor
de $20'000.000, los cuales deberán ser pagados así: 30% contado y 70% financiado por una
entidad financiera durante 15 años. ¿Cuál sería la cuota a pagar en cada uno de los
siguientes casos?
a) Cuota fija mensual vencida
b) Cuota fija mensual creciendo anualmente en un 10%
c) Cuota variable mensual creciendo mensualmente en 0.75%
Dado un interés del 2% mensual.
a) Cuota fija mensual vencida
n =1
m =180 meses
D = 0
P = $14'000.000
i = 2% mensual
ii = [(1+0.02)180
-1] entonces ii=3432.08 % 14`000.000
1 180
P = $ 65’486.018,4 Aplicando la fórmula sintética B=P(B/P, Δ, i, ii, n*m)
B=14 000 000* (0.0206) = 288 158.31
b = $288.158,32 b) Cuota fija mensual creciendo anualmente en un 10%
D =10% anual
i=2% mensual
ii=(1+0.02)12
-1= 0.2682
n=15 años
m=12 meses
0 12 24 36 180
)1( b 21 b
11
nb
b
6`000.000
20`000.000
B=P(B/P, Δ, i, ii, n*m)
B= 20 000 000* (0.0142) = 284 523.63
EJEMPLO 2.10.6*
En una empresa, con la aprobación de los trabajadores y con el propósito de acumular una
buena jubilación, se decide depositar en un solo fondo individualizado para cada empleado
los siguientes montos: mensualmente el 10% del salario, semestralmente las primas (½
salario) y anualmente las cesantías.
¿Cuánto recibiría mensualmente como jubilación en el 2039 (expresado como porcentaje
del salario que tendría en dicho año) un trabajador que ingresa al inicio de 2009 con un
salario de $1’000.000 y recibe incrementos anuales del 20%, si el dinero depositado obtiene
una rentabilidad anual del 32% y la pensión de jubilación se recibirá durante 15 años con
incrementos anuales del mismo 20%.
El problema se puede interpretar como un conjunto de tres tipos de flujo:
Series uniformes con crecimiento geométrico (para el 10% del salario):
0,1
0,5 0,50,6 0,6
1,21,0
1 6 1213 18 24
2009 2010
Dic. 2039
B= 100.000 ii= 0.32; ∆ = 0.2; m= 12; n=30
i= (1+ii)1/m
-1 = (1+0.32)1/12
-1 = 0.023405691
Hallando el futuro de esta serie al final del año 2026
F1= 100.000 (F/B, ∆ = 0.2, i= 0.023405691, ii= 0.32, (12*30))
F1= $44.487’169.210
0,1
0,5 0,50,6 0,6
1,21,0
1 6 1213 18 24
2009 2010
Dic. 2039
Salario
Prima
Cesantias
Series uniformes con crecimiento geométrico, para las primas:
b= 500.000 ∆ = 0.2 n= 30 ii=0.32
i= (1+0.32)½ -1 = 0.148913
Calculando el futuro para el final del 2026:
F2= 500.000 (F/b, ∆ = 0.2, i= 0.148913, ii= 0.32, (2*30))
F2= $34’961.897,81
Un gradiente geométrico para las cesantías:
c= 1’000.000; ∆ = 0.2; n= 30; i= 0.32
F3= 1’000.000 (F/C, ∆ = 0.2, i= 0.32, 30)
F3= $32.539’153.950
El total acumulado al final año 2026 es:
F= F1 + F2 + F3 = $111.988’220.970
El salario en ese momento sería: SF = 1’000.000 (1+0.2)30
SF= $237’376.313,80
Para el tiempo que recibe la jubilación:
1 6 1213 18 24 36 48
$111.988`220.970
?b 2)2,1(b3)2,1(b
4)2,1(b
Series uniformes con crecimiento geométrico:
b=? P= 11.988’220.970 m=12 n=15
∆ = 0.2 ii= 0.32 i= 0.023405691
b= 111.988’220.970 (b/P, ∆ = 0.2, i= 0.023405691, ii= 0.32, (12*15))
b= $1.292’302.593 Þ Primera jubilación, en el 2040.
Expresado como porcentaje del salario de ese año:
EJEMPLO 2.10.7
Industriales de Santander Ltda. decide construir un fondo para reemplazar equipos de
acuerdo a las proyecciones de la misma, los depósitos se harán por un periodo de tres años
y tendrán un rendimiento del 1,5% se podrá depositar al final de cada mes un monto que
inicialmente es de $1`000.000, el segundo mes es de $990.000 y el tercer mes es de
$980.000 y así sucesivamente hasta depositar en el mes sólo $650.000. ¿Cuál será el saldo
acumulado al cabo de los tres años?
1 6 12 18 24 30 36
1`000.000
650.000
F=?
F= 1`000.000(F/A;1,5%;36)-10.000(F/G;1,5%;36)
{
} [
] [
]
{ ⁄ }
{
} [
] [
]
{
}
EJEMPLO 2.10.8*
Una empresa va a lanzar un nuevo producto al mercado de acuerdo a las proyecciones, los
ingresos netos anuales de este producto se estiman de la siguiente manera:
1er año: $10'000.000
2do año: $11'000.000
3er año: $12'100.000
y así sucesivamente hasta el décimo año, posteriormente el ingreso se estabilizará durante
cinco años y luego iniciará un decrecimiento anual del 5% hasta el vigésimo año, en el cual
se retirará del mercado. Si La empresa desea obtener una rentabilidad del 25% anual.
¿Cuál sería el monto máximo que se podría invertir para el lanzamiento de este producto?
1 11 12 13 14 15 20
%5%10
Inversión
i=25%
Se halla el valor del monto máximo que se puede invertir:
[
]
[
] [
]
[
] [
]
Inversión máxima = 16`102.925,92
EJEMPLO 2.10.9
Usted está estudiando un proyecto para lanzar un nuevo producto al mercado. De acuerdo a
sus pronósticos, es posible vender 5.000 unidades mensuales del nuevo producto. Los
costos de producción, administración y ventas serán los siguientes:
Materiales: $ 2.000 por unidad
Mano de obra: Un salario con una porción fija de $3’000.000 más $ 500 por unidad
Costos indirectos de fabricación (CIF): $ 2’000.000
Gastos de administración y ventas: 10% del valor de las ventas
Los empleados recibirán adicional al salario, una prima semestral de medio salario mensual
y un depósito en un fondo de cesantías de un salario a final de cada año.
Se espera que todos los costos, gastos y precio de venta crezcan anualmente en un 5%.
Si la inversión inicial es de $ 100’000.000 y se espera una rentabilidad mensual del 1,2%,
¿cuál sería el precio de venta que permita que el proyecto sea factible en un horizonte de 10
años, suponiendo que la empresa pudiera ser vendida a final de dicho periodo por $
130’000.000?
Para resolver el ejercicio planteado, se deben analizar los costos de producción de la
siguiente manera:
Costos:
Materiales (mes): 2.000 * 5.000 = 10’000.000
Mano de obra (mes): 3’000.000 + (500 * 5000) = 5’500.000
CIF (mes): = 2’000.000
Subtotal costos = 17’500.000
Δ: 0.05
n*m : 120
i: .012 mensual
ii : (1+0.012)^12 -1= 0,153895 anual
0 1 12 13 24 25 36 120
Usando la formula sintética se tiene que:
F=B(F/B, Δ, i, ii, n*m) F= 175 000 000* (315.48) = 5 520 928 576.21
De igual forma se analizan la prima y las cesantías:
Prima (semestral):
5`500.000/2 = 2`750.000
Δ: 0.05
n : 10
isemestral : (1+0.153895)1/2
-1= 0.074195 semestre
0 1 2 3 4 5 6 20
Usando la formula sintética se tiene¨:
F=B (F/B, Δ, i, ii, n*m) F= 2 750 000* (51.02) = 140 317 998.34
Fondo de cesantías (anual):
5`500.000
Δ : 0,05
n : 10
ianual : 0,153895
0 1 10
Usando las formulas sintéticas se tiene que : F=C(F/C; i, n , Δ)
F = 5 500 000 * (24.5998) = 135 298 663.20
Ingresos, siendo X= Precio de venta
Ingresos netos iniciales descontando el 10% de gastos de ventas:
5.000*X – (5.000*X)10% = 4.500*X
Donde: Δ : 0.05
n : 120 meses
i : 0.012 mensual
ii : (1+0.012)^12 -1= 0,153895 anual
Reemplazando las variables respectivas para llevar los ingresos netos a futuro se obtiene:
[
]
F= 1’419.661 X
Como se espera vender el negocio en $130`000.000 y tomando ingresos (+)y egresos (-)
entonces:
130`000.000 = 1’419.661 X - 5.520’905.623 - 157’395.893 - 269’969.462
Despejando la X se obtiene el precio inicial mínimo de las unidades a vender para que el
negocio sea rentable:
X= $4.286,23
EJEMPLO 2.10.10*
Se está estudiando un proyecto para lanzar un nuevo producto y se tiene la siguiente
información:
La vida total será de 15 años, durante los primeros cinco años se tendrá un
incremento en ventas del 20% anual, durante los siguientes cinco años se
estabilizarán las ventas y posteriormente habrá una disminución anual de un 25%.
Los costos ascenderán a 10’000.000 mensuales más un costo variable igual al 40%
de las ventas.
La inversión total será de 100 millones en activos varios y 400 millones en activos
fijos. Los activos fijos podrán ser financiados mediante un contrato leasing a 10
años con las siguientes características:
Interés mensual 2.1%
Cuotas fijas vencidas mensuales con un incremento anual del 5%
La empresa leasing deberá recuperar el valor de los activos en los 10 años de
cuotas a pagar junto con un pago final denominado opción de compra por un
valor igual al 10% del valor de los activos.
¿Determinar el valor de las ventas que generaría un punto de equilibrio financiero si la
empresa desea recuperar los 100 millones netos de fondos propios junto con una
rentabilidad del 3% mensual?
Analizando el valor de la cuota leasing:
0 10 años
400'000.000
%5
40'000.000
%1,2i
Aplicamos la fórmula:
[
] [
]
[
] [
]
[
]
Analizando el proyecto:
0 15 años
500'000.000
%252
...
%201
V1 V2
10'
0,4V10,4V2
0,4V
%3i
El valor presente de los ingresos sería:
(
) [
] [
] (
)
(
) [
] (
)
Reemplazando:
{(
) [
]
[
] (
)
(
) [
] (
)}
El presente de los egresos:
[
] (
) [
]
[
]
(
) [
]
Hacemos:
Despejando se tiene que:
EJEMPLO 2.10.11*
Una empresa decide realizar un proyecto de expansión de su planta con el propósito de
montar una línea de exportación. Acorde a un contrato con una empresa internacional, el
cual consiste en proveer cada trimestre 60.000 unidades durante cinco años. Para ello
producirá mensualmente 20.000 unidades incurriendo en unos costos fijos mensuales de
$50’000.000 y unos costos variables de $2.000 por unidad.
Trimestralmente recibirá el valor de la exportación pactado en USD 5 por unidad a una tasa
de cambio de $2.400 por dólar el día de la primera exportación y un incremento trimestral
de un 2% sobre esta tasa. Los costos crecerán anualmente en un 7%. De los $50’000.000 de
costos fijos la mitad corresponde a la nómina y sobre ella se debe pagar adicionalmente una
prima semestral total de $12’500.000 (media nómina) y al final de cada año cesantías e
intereses a las cesantías por un valor de $30'000.000. Estos valores igualmente se
incrementan un 7% anual. Determine el monto máximo que se podría invertir para el
montaje de la nueva línea si la empresa espera recuperar la inversión, junto con una
rentabilidad del 2% mensual durante los cinco años del contrato.
Ingresos:
Ingresos trimestrales: 60000unidades*5USD*$2400=$720’000.000
Δtrim=2%
Egresos:
Costos fijos mensuales: $50’000.000
Costos variables mensuales: 2000*20000= $40’000.000
Prima semestral: $12’500.000
Cesantías e intereses anuales: $30’000.000
Δ=7%
imes=2% n=60 meses
itrim=(1,02)3-1=6,1202% n=20 trimestres
isem=(1,02)6-1=12,6162% n=10 semestres
ianual=(1,02)12
-1=26,8242% n=5 años
50'000.000
1 6 12 13 18 24
C fijos
Prima
Cesantias
Fingresos
3
Año 1 Año 2
d= 2%
Inversion
C variables
40'000.000
12'500.000
30'000.000
60 meses
Fcesantias
Fprimas
F Cfijos+ Cvariables
d= 7%
Los ingresos futuros se calculan con la fórmula:
[
]
[
]
Ahora calculamos el futuro para los costos fijos y variables así:
(
) [
]
(
) [
]
Calculamos ahora el futuro para las primas:
(
) [
]
(
) [
]
El futuro de las cesantías:
[
]
[
]
Para el futuro de la inversión:
Haciendo:
EJEMPLO 2.10.12*
Si la inversión requerida en el ejercicio anterior fuera de 4.000’000.000, ¿cuál será el precio
de la venta mínimo que haría atractiva la inversión?
Se tiene que el futuro de la inversión es:
Entonces:
Sabemos que:
[
]
Reemplazando:
[
]
Obtenemos:
Reemplazando y despejando tenemos que:
EJEMPLO 2.10.13*
Se espera que la tasa de cambio solo se incremente un 1% trimestral y que el precio de
venta se estableciera en 4 USD. Si la inversión se mantiene en $4.000’000.000, ¿cuál sería
el máximo costo variable por unidad que se podría tener y que haría atractivo el negocio?
Al cambiar el incremento trimestral en la tasa de cambio a Δ= 1% y estableciendo el precio
de venta en 4 USD, tendremos que el futuro de los ingresos será ahora:
[
]
Reemplazando:
[
]
El futuro de la inversión, el futuro de las primas y el futuro de las cesantías se mantienen:
Tenemos que:
Sabemos que:
( ) (
) [
]
Reemplazando:
(
) [
]
Despejando:
Ahora:
Entonces:
EJEMPLO 2.10.14
Una empresa exportadora de aceite adquiere una finca sembrada de palma por un valor de 3.000 millones de pesos. La palma fue sembrada hace ocho años y se encuentra ya en su etapa de plena producción. El propósito es la producción y exportación de aceite de palma durante 20 años. De acuerdo al estudio realizado se dispone de la siguiente información:
En la etapa de operación se incurrirá en egresos mensuales por concepto de recolección y transporte del fruto, así como en la producción de aceite. Dichos costos para el primer año de producción se estiman en $40’000.000 / mes más un costo variable de $2.000 por litro de aceite.
El volumen de producción mensual será de 80 mil litros para acumular el volumen a exportar de 240 mil litros al final de cada trimestre
Las exportaciones trimestrales implican un costo adicional de $10’000.000 por concepto de documentación, trámite, embalaje y transporte
Se estima que todos los costos de producción y exportación crecerán 4.5% anualmente
El cliente en el exterior depositará al momento de la exportación el valor pactado de “X” dólares por litro y el banco de la empresa exportadora convertirá dichos dólares a una tasa de cambio estimada de 1.700 pesos por dólar al momento de la primera exportación. Se estima que posteriormente la tasa de cambio crecerá 1.1% trimestralmente.
Si se espera obtener 2.5% de rentabilidad mensual en este proyecto, determine el precio de venta por litro de aceite requerido para recuperar totalmente la inversión y librar la finca (es decir que la finca quede como una utilidad final extra en el proyecto). n producción=20 años; 80 trimestres; 240 meses
i= 0,025 mensual
=0,045 anual
i anual= (1+0,025)12
-1=0,345
B1= egresos fijos + egresos variables
Egresos fijos= $40`000.000
Egresos variables= $2.000/litro de aceite, teniendo en cuenta que la producción mensual
será de 80.000 litros de aceite, los egresos variables equivaldrían a $160`000.000
B1 = $200`000.000
2010
C=408`
trim01,0
anual045,0
Inversión
F`
FT
En la gráfica se puede observar que el comportamiento de los egresos sigue un patrón de
gradiente escalonado con un anual, sin embargo se debe tener en cuenta que los egresos
por producción se realizan cada mes y los egresos por exportación cada trimestre, por ende
es necesario analizarlos por separado, también se puede ver que los ingresos por
exportación siguen el patrón del gradiente geométrico.
Los egresos de producción a lo largo de los 20 años se denotarán como F1:
Usando la formula sintética:
F1=B( F/B, Δ i, ii, n*m)
F1= 200 000 000* (3.421148053514.334) = 3 421 148 053.34
Ahora analizaremos los egresos por exportación F2 teniendo en cuenta lo siguiente:
F2=B( F/B, Δ i, ii, n*m)
F2= 10 000 000 * (5.561.76) = 55 617 571 425.32
Se calcula el valor de la inversión en futuro:
Con los datos anteriores se puede calcular el valor de los egresos para el año 20:
Después de haber analizado los egresos del proyecto se analizan los ingresos recibidos por
las exportaciones teniendo en cuenta que la tasa de cambio crecerá trimestralmente y que se
busca establecer un precio en dólares que permita recuperar toda la inversión y salvar la
finca como utilidad extra.
El comportamiento de los ingresos es caracterizado por un gradiente geométrico y
caracterizado por la siguiente fórmula:
[
]
Donde:
C= primer ingreso
C= 240.000(litros de aceite)*X(precio en dólares)*1700(tasa de cambio)
C=$408`000.000X
n= 80 trimestres
i=0,07689 trimestral
=0,011 trimestral
[
]
F`=F
X
X=1,9976 dólares.
EJEMPLO 2.10.15*
Hace 36 meses, una empresa transportadora incorporó un vehículo a su flota de camiones mediante un contrato leasing a cinco años. Dicho contrato estipula que la empresa transportadora pagará mensualmente a la entidad financiera una cuota que se incrementará 3% semestralmente y al final de los cinco años hará un último pago (denominado opción de compra) por un monto igual al 10% de valor inicial del vehículo. El valor de adquisición del vehículo fue 300 millones de pesos. El cálculo de las cuotas se realiza de manera que la entidad financiera recupere (entre las cuotas mensuales y la opción de compra) el valor de adquisición del vehículo incluyendo un interés de financiamiento del 2% mensual. En la actualidad, la empresa transportadora desea cambiar el vehículo por uno más moderno que vale $250’783.374 y para ello cuenta con 50 millones en caja y con un cliente que ofrece pagar 140 millones de pesos de contado por el actual. Para concretar la transacción la empresa transportadora debe pagar anticipadamente el valor equivalente a las cuotas restantes y el monto de la opción de compra. Para financiar el faltante, la empresa transportadora tomará un crédito bancario a cuatro años con un interés del 1.8% mensual, el cual se pagará mediante cuotas mensuales vencidas que crecen $100.000 cada mes. Determine, el valor de la primera cuota a pagar en el crédito bancario:
F2’=?
P=300’ F2=? F’=?
n =6. n =10.
0
F1+OC.
La gráfica corresponde a series uniforme con crecimiento geométrico.
i = 0.02 mensual
ii = (1+0,02)6 -1= 0.126162
n=6 para F2
n = 10 para F1.
∆ =0.03 semestral.
Donde:
F1: corresponde al valor total pagado en las cuotas.
F2: corresponde al valor total pagado en la actualidad después de tres años.
OC: opción compra que equivale a $30’000.000
Se calcula el futuro de los pagos del gradiente escalonado F1, con el fin de despejar B
F=B( F/B, Δ i, ii, n*m)
[
] [
]
[
] [
]
F1=127,0713416B
Se calcula F’ que corresponde al valor en futuro de P, que será igual a la suma de F1 y de la
opción de compra.
F’= 300.000.000
F’= 984’309.236,5
F’=F1+OC.
984’309.236, 5= 127,0713416B +30’000.000
B= 7’510.027, 24
Conociendo B calculo F2.
[
] [
]
F2=416’696.575
Ahora se lleva P hasta la actualidad.
F2’= 300.000.000
F2’=611’966.203
Ahora se puede calcular cuánto se debería en la actualidad
Deuda=F2’+ OC -F2.
Deuda= 611’966.203+ 30’000.000-416’696.575
Deuda= $225’269.628
Ahora se analiza el crédito bancario que se tendrá que adquirir para el cambio de vehículo,
teniendo en cuenta lo siguiente:
Valor del nuevo carro= $250’783.374
Saldo del leasing= $225’269.628
Dinero con el que se cuenta:
En caja= 50’000.000
Pago que se recibe por venta del carro actual=$140’000.000
Total= $190’000.000
Saldo a financiar en el crédito bancario=$286’053.002,2
i = 0.018 mensual.
n = 48 meses. G= $100.000
A
F1
FA
F2
P
0 481
Este grafico corresponde a un gradiente geométrico y la primera cuota equivale a la serie
uniforme A.
Se lleva a futuro el valor del crédito para calcular F1.
F1= 286’053.002,2 = 673’503.495
Se calcula lo pagado por el gradiente en los 48 meses F2 tomando como primera cuota el
incremento correspondiente a $100.000.
[
]
[
]
F2=151’379.936
Ahora se calcula el valor que se paga mediante la serie uniforme A con el fin de despejar
esta misma.
[
]
FA=75,25A
Se despeja A de F1=F2+FA.
602’8669.366= 151’379.936 +75,25A.
A= $6’938.519
Finalmente se encuentra el valor de la primera cuota que se debe pagar a la hora de tomar la
decisión de cambiar de vehículo, la cual equivale a $6’938.519
EJEMPLO 2.10.16*
Una empresa exportadora de aceite adquiere una finca sembrada de palma por un valor de 3.000 millones de pesos. La palma fue sembrada hace varios años y se encuentra ya en una buena etapa de producción. Adicionalmente se adquiere una planta procesadora de aceite por valor de 2.000 millones de pesos. El propósito de estas adquisiciones es la producción y exportación de aceite de palma durante 20 años. La empresa dispone de 3.500 millones para realizar esta inversión. El resto será financiado por un banco a 15 años con un interés del 1.5% mensual y se pagará mediante cuotas semestrales vencidas que se incrementan $5’000.000 cada semestre. De acuerdo al estudio realizado se dispone de la siguiente información:
Durante el primer trimestre de operación, el volumen de producción mensual será de
“Q” litros para acumular el volumen a exportar de 3*Q litros al final del trimestre.
Durante los primeros cinco años, el volumen de producción se incrementará en un
2% cada trimestre. El volumen de producción permanecerá constante durante los
siguientes 10 años. Finalmente, la producción disminuirá 3% cada trimestre durante
los últimos cinco años.
Para el primer año de producción, los egresos por concepto de recolección y
transporte de fruto, así como los incurridos en la producción de aceite se estiman en
$65’000.000 fijos cada mes más, un egreso trimestral variable igual al 70% de los
ingresos de exportación.
Las exportaciones trimestrales implican un costo fijo adicional de $10’000,000 por
concepto de documentación, trámite, embalaje y transporte durante el primer año.
Se estima que los costos fijos mensuales de $65’000.000 y trimestrales de
$10’000.000 crecerán 5% anualmente.
El cliente en el exterior depositará, al momento de la exportación, el valor pactado
de dos dólares por litro y el banco de la empresa exportadora convertirá dichos
dólares a una tasa de cambio estimada de 2.300 pesos por dólar al momento de la
primera exportación.
Se estima que posteriormente la tasa de cambio crecerá 1% trimestralmente, esto
implicará que los ingresos totales por exportación tengan un doble incremento. Esto
quiere decir que el 1% por incremento en la tasa de cambio será algo adicional a los
incrementos o disminuciones causados por los cambios en el volumen de
producción.
Al final de los 20 años el valor comercial total de la finca y la planta procesadora se
estima en 10.000 millones de pesos.
Si se espera obtener 2.5% de rentabilidad mensual sobre el dinero que la empresa ha invertido por este proyecto. ¿Determinar la cantidad mínima requerida de litros de aceite “Q” para recuperar totalmente la inversión.
Analicemos primero el préstamo que se realiza para cubrir la inversión:
Monto: $1’500.000.000
Interés: 1.5% mensual (9.34% semestral)
Modalidad: Cuotas semestrales vencidas que se incrementan $5.000.000 cada semestre.
Tiempo: 15 años (30 semestres)
P=1.500'000.000
0
i=9,34% semestral
A
A+5'000.000
A+10'000.000
30
semestres1 2 3 4
Este préstamo presenta el comportamiento de un gradiente aritmético, y de aquí
necesitamos hallar la cuota A.
Si utilizamos la fórmula para valor presente:
[
]
Ahora hallamos la cuota A relacionándola con el monto a pagar:
[ ] [
]
Ahora miremos el proyecto como tal en sus diferentes etapas, pero antes dejemos en claro
que nuestro objetivo es encontrar la cantidad inicial de litros de aceite Q requerida para
satisfacer las condiciones de rentabilidad de 2.5% mensual; esta cantidad se halla si se tiene
en cuenta que por cada litro vendido el cliente consigna inicialmente dos dólares con tasa
de cambio de $2.300, y sabiendo que por cada venta Vn se exportan 3Q litros de aceite:
Observando los ingresos:
En la primera venta V1:
V1=2.300*2*3*Q=13.800*Q
Por tanto: Q=V1/13.800
Etapa 1 (primeros cinco años)
p es el incremento en la producción, que en este caso es del 2%.
d es el incremento por divisas entrantes, que es del 1% y es permanente para las tres
etapas.
Es necesario calcular el incremento de la etapa 1 (1):
1=((1+p)*(1+d)-1)=0.0302=3.02%
Aquí:
V20=(1+1) 19
*V1=1.7599*V1
Etapa 2 (siguientes 10 años):
En esta etapa 2=d=0.01=1%, ya que la producción permanece constante.
En este caso:
V60=(1+2)40
*V20=(1.01)40
*1.7599*V1=2.6204*V1
Etapa 3 (últimos cinco años):
Aquí la producción empieza a decaer 3% cada trimestre (p=-3%), lo cual provoca cambios
en el incremento total:
3=((1+p)*(1+d)-1)=-0.0203=-2.03%
1 105 20 años
%03,2
%02,3
imes=2.5%
V1
0
%1
2,6204V1
10.000'000.000
1,7599V1
Observemos el comportamiento de los egresos:
65'000.000
1 6 12 13 18 243
10'000.000
9 15 21
3.500'000.0000%5
%5.2imes
240
Ahora se trasladan al presente todos los ingresos y egresos:
Primero con los ingresos, podemos descontar de los valores de las ventas el egreso
constante de 0.7*Vn. También debemos tener en cuenta que la venta final de la planta debe
trasladarse igualmente al presente, aunque éste no se ve afectado por el egreso variable.
Utilizando la fórmula para trasladar gradientes geométricos al presente, tenemos:
{[
]
[
] (
)
[
] (
)}
(
)
Resolviendo, nos queda:
Ahora para los egresos, debemos tener cuidado con los costos fijos que presentan
periodicidad diferente (en nuestro caso se comportan como gradientes escalonados con
incremento geométrico). Esto hace que se deban tratar por separado. También debe
trasladarse a presente el valor A hallado como cuota de préstamo. Procediendo:
imensual=2.5%
itrimiestral=7.689%
isemestral=15.969%
ianual=34.489%
g=5%
(
) *
++
(
) *
+ *
+
Resolviendo queda:
Ahora, como la empresa posee inicialmente 3.500’000.000 para invertir:
3.500’000.000=Ping-Peg
3.500’000.000=5.51408*V1+ 685.313 – 3.575’866.584,55
Es fácil despejar V1:
Sabemos que:
V1=13.800*Q
Por tanto ya tenemos Q:
¿A cuánto equivale en términos anuales un interés del 3% mensual? En este caso el periodo
menor es el mes, y el periodo mayor es el año.
Datos:
i: 3% mensual
n: 12 ( dado que el periodo mayor, año, consta de 12 periodos menores, meses)
ii: ?
ii = (1+0,03)^12 - 1 = 42,576%
EJEMPLO 3.1.2.
Compruebe que invertir $1'000.000 al 36% anual durante cinco años es aproximadamente
igual que invertirlo al 2.5955% mensual durante 60 meses.
P= $1'000.000
ii= 0,36 anual : i= 0,025955 mensual
n1= 5 años: n2=60 meses
F = P (F/P, ii; n1); F = P (F/P, i; n2)
F = $1'000.000(1+0,36)5;
F=$1'000.000(1+0,02595)60
F = $4'652.587,417; F=$4'651.272,123
EJEMPLO 3.1.3.
Un millón de pesos es invertido durante seis meses en una entidad que ofrece una tasa de
interés del 21% anual, ¿cuál será el monto final acumulado?
Usando la formula sintética: F = P (F/P, i; n)
EJEMPLO 3.1.4.
Usted logra ahorrar $200.000 semestrales durante su carrera y los deposita en una entidad
financiera que paga un interés del 4% trimestral. ¿Cuánto habrá acumulado al cabo de los
cinco años de carrera?
Usando la formula sintética tenemos que: F=A(F/A, i, n)
[
]
EJEMPLO 3.1.5.
Usted recibe un préstamo de un fondo de empleados por un monto de $1'000.000 pagaderos
en tres años de la siguiente forma: cuotas mensuales iguales por un valor A, y cuotas
semestrales extraordinarias por un valor de $50.000 cada una. Si el fondo le presta a un
interés del 2% mensual, ¿cuál será el valor real de A?
1 6 12 18 24 30
1 2 3 4 5
36
6
Meses
Semestres
1`000.000
50.000
A
Los pagos mensuales generan una serie uniforme de valor desconocido A, a un interés del
2% mensual durante 36 periodos. Los pagos semestrales generan otra serie uniforme de
$50.000 a un interés semestral desconocido ii durante seis periodos.
P= $1'000.000
i= 0,02 mensual
ii=?
n=6 Dado que un semestre consta de 6 meses
ii= (1+i)n-1
ii= (1+0,02)6-1 = 0,12616
Cálculo de A
1'000.000= A(P/A,2%,36)+50.000(P/A,12.616%,6)
1'000.000= A(25,4888) + 50.000 (4,0406)
A= $31.306,56
EJEMPLO 3.1.6.
Usted decide comprar un vehículo que deberá ser cancelado de la siguiente forma: con
cuota inicial del 25% de su valor y el resto financiado al 39,29% anual. Deberá cancelar 24
cuotas mensuales vencidas y cuatro cuotas semestrales vencidas. Teniendo en cuenta que el
valor de una cuota semestral vencida es igual al valor de tres cuotas mensuales y que el
saldo después del primer pago semestral es de $1'212.478,60, calcule el valor de compra
del carro.
1 6 12 18 24
1 2 3 4
Meses
Semestres
0,75P
A
3A
Sabiendo que i = (1+ii)^(1/n)-1 podemos calcular el interés mensual
i MENSUAL= (1+ 0.3929)^(1/12) - 1
i MENSUAL= 2.8%
Podemos calcular el interés semestral así:
i SEMESTRAL = (1+i)^n-1=(1,028)^6-1
i SEMESTRAL = 18.02% .
0,75 P=A(P/A,28%,24) + 3A(P/A,18.02%,4)
0,75 P=17.30626A + 3(2.689)A
P=33.83A [1]
Dado que el saldo presentado en el enunciado para el sexto mes fuera pagado, el diagrama
de flujo sería el siguiente:
0
0,75P
A
3A+1`212.478,60
Trayendo el valor de todos los flujos al momento cero tenemos:
0,75P=3A(P/F,18.02%,1) + 1'212.478(P/F,18.02%,1) + A(P/A,2.8%,6)
0,75P=2,542A+1'027.350 + 5,453A [2]
Reemplazando la ecuación [1] en la [2]
0,75(33.83A)= 7,995A +1'027.350
A = $59.117
El valor del carro es:
P=33,83(59.117)
P = $2'000.000
EJEMPLO 3.1.7.
Usted quiere obtener una rentabilidad sobre su dinero del 35% anual. Si las entidades que
ha consultado pagan los intereses mensualmente, ¿cuál será la tasa de interés mensual que
equivale al 35% anual?
ii=35% anual i= ? mensual
i=(1+0,35)1/12
- 1= 0,025324
i=2.53% mensual
EJEMPLO 3.2.1.
INSA Ltda. requiere $1'000.000 durante 1 año y para ello acude a los bancos comerciales,
los cuales están prestando dinero a una tasa del 32% nominal anual pagadero
trimestralmente vencido.
Como INSA requiere el $1'000.000 durante todo el año, cada vez que requiera pagar
intereses, acudirá a otro banco por un nuevo préstamo y al final del año cancelará todas las
deudas ocasionadas por el $1'000.000 solicitado.
Construya un diagrama para cada transacción con cada banco y uno final en el que se
resuman dichas transacciones. Encuentre a partir de ello el interés efectivamente pagado
por INSA, el cual será lo que pague por encima del $1'000.000 al final del año expresado
como un porcentaje (%) del $1'000.000 que recibió.
Compare dicho resultado con el que se obtiene utilizando la fórmula desarrollada.
r=0,32 anual
n= 4 trimestres
⁄ =0,08 (interés efectivo trimestral
Inicialmente INSA acude al banco A para solicitar el $1'000.000 requerido El pago de
intereses al banco A genera una serie uniforme con un valor de $80.000, es decir el 8% de
$1'000.000 durante cuatro trimestres.
1 2 3 4
A 80.000
1`000.000
1`000.000
Una vez transcurrido el primer trimestre del año, INSA acude al banco B para solicitar los
$80.000 que debe pagar de intereses en el banco A.
2 3 4
B 6.400
80.000
80.000
0
El pago de intereses al banco B genera una serie uniforme con un valor de $6.400 (8% de
$80.000) durante los tres trimestres que restan del año.
Ya han pasado dos trimestres e INSA acude al banco C para solicitar los $80.000 que debe
pagar al banco A, más los $6.400 de intereses a pagar en el banco B
1 3 4
C 6.912
86.400
86.400
0
El pago de intereses al banco C genera una serie uniforme de dos flujos con un valor de
$6.912 (8% de $86.400).
Transcurridos tres trimestres, INSA acude al banco D para solicitar el dinero que debe
pagar por intereses: $80.000 al banco A, más $6.400 al banco B, más $6.912 al banco C.
1 2 4
D
93.312
93.312
0
7.464,96
El pago de intereses al banco D genera un flujo de $7.464,96.
Al finalizar el año INSA debe cancelar todos los préstamos más los intereses causados en el
último trimestre en cada uno de los bancos.
1 2 4
A
1`000.000
360.488,56
0 3
Lo que INSA efectivamente pagó por intereses fueron $360.488,96, es decir, el
36.048896% del $1'000.000. Utilizando la fórmula desarrollada obtenemos:
E = 0,36048896
E = 36.048896%
EJEMPLO 3.2.2.
Usted está pensando en abrir una cuenta en uno de tres bancos. ¿Cuál de ellos ofrece la
mejor tasa de interés?
Banco N°1 Interés anual del 6.7% capitalizado trimestralmente vencido.
Banco N°2 Interés anual del 6.65% capitalizado mensualmente vencido.
Banco N°3 Interés anual del 6.65% capitalizado continuamente.
Para el banco N.1 : r = 6.7%, n=4
E1 = (1 + r / n )n -1
E1 = (1 + 0.067 / 4 ) 4
- 1
E1 = 6.87% efectivo
Para el banco N°2: r = 6.65%, n= 12
E2 = ( 1 + 0.0665 / 12 )12
- 1
E2 = 6.856% efectivo
Para el banco N°3: r = 6.65%, n=365
E3 = (1 + 0.0665 / 365 )365
- 1
E3 = 6.875% efectivo
Entonces el banco N°3 es el que ofrece una tasa de interés más favorable.
IINNTTEERRÉÉSS AANNTTIICCIIPPAADDOO VVSS IINNTTEERRÉÉSS VVEENNCCIIDDOO ((EEFFEECCTTIIVVOOSS))
EJEMPLO 3.2.3.
Usted solicita un préstamo de $600.000 a un año y a una tasa de interés anticipado del 20%.
¿Cuál es el interés efectivamente pagado por el dinero?
480.000
600.000
600.000 600.000
20.000
i = 25%
Note que usted sólo recibe $480.000 y al pagar $600.000 está pagando $120.000 más de lo
que recibió lo cual representa un 25% de interés:
EJEMPLO 3.2.4.
Si un banco quiere obtener una tasa efectiva anual del 36%, ¿cuánto deberá cobrar en forma
anticipada anual para obtenerla?
ia=26.47% anual
RREELLAACCIIÓÓNN DDEE EEQQUUIIVVAALLEENNCCIIAA EENNTTRREE NNOOMMIINNAALL YY EEFFEECCTTIIVVOO CCUUAANNDDOO LLAA FFOORRMMAA DDEE
CCAAPPIITTAALLIIZZAACCIIÓÓNN DDEELL SSUUBBPPEERRIIOODDOO EESS AANNTTIICCIIPPAADDAA
EJEMPLO 3.2.5.
INSA Ltda. requiere $1'000.000 durante un año, y para ello acude a la banca comercial, la
cual está prestando a una tasa de interés del 30% nominal anual pagadero semestralmente
anticipado.
Como INSA requiere del $1'000.000 durante todo el año, deberá inicialmente solicitar un
monto lo suficientemente adecuado para que al descontarle los intereses reciba el millón
completo, y cada vez que requiera pagar intereses, efectuará una operación similar con otro
banco, de forma que no requiera hacer desembolsos de sus propios fondos.
Realice diagramas que ilustren la operación con cada banco y el resultado neto. Compare
los resultados de los diagramas con el obtenido mediante la fórmula desarrollada.
1 2
1`000.000
semestres
r =0,30 ; n =2
(interés semestral anticipado)
P = 1'176.470,588
Inicialmente INSA acude al banco A con el fin de solicitar $1'176.470,588 para poder
disponer durante el año del millón de pesos, ya que la suma de $176.470,588 se emplea en
el pago adelantado de intereses por el primer semestre.
1 2
1`176.470,58
1`176.470,58
176.470,58
1 2
1`000.000
semestres
1`176.470,58
176.470,58
A
La equivalencia entre los diagramas se interpreta así:
Pagar el 15% semestral anticipado por $1'176.470,588 (diagrama 1), es igual que pagar el
17,6470588% semestral vencido por el $1'000.000 (diagrama 2).
Para pagar los intereses del banco A del segundo semestre INSA acude al banco B.
Ya que INSA debe pagar $176.470,588 al banco A más los interés adelantados por el
segundo semestre del año al banco B, el préstamo a solicitar en éste ultimo es de
$207.612,4565.
0 2
207.612,45
207.612,45
31.144
0 2
176.470,58
207.612,45
B
De igual manera, pagar el 15% semestral anticipado por $207.612,4565, es igual que pagar
el 17,6470588% semestral vencido por $176.470,588. Al finalizar el año, INSA debe
cancelar los préstamos a los bancos A y B.
1 2
1`000.000
1`384.083,04
INSA efectivamente pagó por interés $384.083,045, es decir el 38,4083045% del
$1'000.000.
Utilizando la fórmula desarrollada se tiene:
⁄
EJEMPLO 3.2.6.
Se constituye un CDT a 180 días por $650.000, a una tasa del 26% NT. Teniendo en cuenta
que la retención en la fuente es del 7% determinar:
1 trimestre= 90
días
180 días= dos
trimestres
a) La rentabilidad antes de impuestos:
i=(26%)/4 = 6.5% efectivo trimestral
(1 + 0.065)4 = (1+i)
1
i = 28.64% EA
b) La rentabilidad después de impuestos:
F=P(F/P, i, n)
F = 650.000*(1 + 0.065)144/73
F = 735.975,3485
Intereses = 735.975,3485 – 650.000
Intereses = 85.975,3485
Retención en la fuente:
0.07*85.975,3485 = 6.018,2744
735.975,3485-6.018,2744= 729.957,0741
729 957.0741=(1+i)144/73
i = 6.057% efectivo trimestral
(1 + 0.065)4 = (1+i)
1
iR = 26.53% efectivo anual
c) El valor que le entregan al vencimiento:
$729.957,0741
d) Suponiendo una inflación del 18% determinar la tasa real obtenida
0722.018.01
18.02652.0
i
i = 7.224%
EJEMPLO 3.3.1
Un banco busca obtener un interés efectivo anual equivalente para sus diferentes formas de
presentación de tasas a cobrar. Si una de dichas tasas es del 34% trimestre anticipado, ¿cuál
será la tasa nominal que pagada trimestralmente vencida sea equivalente?
ra = 34% trimestral
n = 4
[
]
rv = 0,3715846995 trimestral
rv = 37,15846995% trimestral
b. Si los periodos (n) son diferentes:
[
]
[
⁄
]
Igualando Ev y Ea se obtiene:
[ (
)
]
[(
)
]
EJEMPLO 3.3.2.
Un banco ofrece a sus clientes varias modalidades de pago e intereses en sus diversas líneas
de crédito para industrias ya establecidas, pero desde el punto de vista del banco son
equivalentes. Una de ellas, por ejemplo, para el préstamo de $2’000.000 a dos años y con
intereses del A% nominal anual pagadero trimestralmente vencido, genera cuotas (que
incluyen capital e intereses) trimestrales por un valor de $ 348.029,52 cada una.
¿Cuál sería la cuota uniforme semestralmente anticipada a pagar con intereses nominales
anualmente pagaderos semestralmente anticipados? P = A (P/A, i, n)
*
+
P = $ 2’000.000
A = $ 348.029,52
n = 8 trimestres
i = interés trimestral efectivo
1 2 3 4 5 6 7 8
2`000.000
A=348.029,52
Reemplazando:
[
]
por calculadores i = 8%
por prueba y error i = 8% efectivo trimestral.
El interés nominal anual será:
Nominal anual
La cuota uniforme semestralmente anticipada con intereses nominales anuales la
encontramos así:
[
]
P = $2’000.000
n = 3 meses
A = valor de la cuota
isem = ( 1 + itrim )n -1
isem = ( 1 + 0,08 )2 - 1
isem = 0,1664 = 16,64%
Reemplazando:
[
]
A = $620.628,78 cuota semestral anticipada.
EJEMPLO 3.3.3.
Una compañía de crédito anuncia que su tasa de intereses para préstamo es del 1% mensual.
Calcule una tasa de interés efectivo y encuentre el factor P/F correspondiente para n=8
Solución:
Para encontrar el factor P/F, es necesario interpolar entre i = 12% e i =15%. De esta manera
Entonces:
12%
12.68%
15%
0.403
P/F
0.326
b
a c d
EJEMPLO 3.3.3.
Una compañía de crédito anuncia que su tasa de intereses para préstamo es del 1% mensual.
Calcule una tasa de interés efectivo y encuentre el factor P/F correspondiente para n=8
Solución:
Para encontrar el factor P/F, es necesario interpolar entre i = 12% e i =15%. De esta manera
Entonces:
EJEMPLO 3.4.1.
Imagine que en el pasado su empresa recibió de una entidad financiera un préstamo
hipotecario de $10'000.000 en un momento en que el valor de la UPAC era $5.000. La
entidad financiera estableció las siguientes condiciones:
Plazo: Un año
Interés: Corrección monetaria del 21% anual y un interés adicional del 10% efectivo anual
sobre saldo corregido.
En pesos:
1
10`000.000
F
Sobre los $10'000.000 se hace la corrección monetaria que es del 21% anual:
10'000.000(1+0.21) = $12'100.000
12%
12.68%
15%
0.403
P/F
0.326
b
a c d
Es decir, los $10'000.000 equivaldrían a $12'100.000 dentro de un año, siendo éste el saldo
corregido. Sobre dicho saldo se aplica ahora el interés adicional del 10% efectivo anual en
el mismo año:
12'100.000(1+0.1) = $13'310.000
Esta cantidad, $13'310.000 es lo que debió pagar al final del año de plazo, y por tanto en
este momento la UPAC debe ser también corregida:
Valor de la UPAC: $5.000
5000(1+0,21)= $6.050
0______________1
Entonces, una UPAC vale $6.050.
Si se observa los $10'000.000 en términos de UPAC en el momento del préstamo y al
término de un año, se tiene entonces mediante la aplicación de la corrección monetaria:
Pesos:
1
10`000.000
12`100.000
5.000 6.050
Valor del UPAC:
UPAC
1
2.000
2.000 Como se observa, la UPAC conserva su poder adquisitivo, es decir, tanto en el momento
del préstamo como al finalizar el año de plazo, ésta equivale a 2.000 UPAC. Aplicando
ahora el interés adicional del 10% sobre el saldo corregido del préstamo, obtenemos la
cantidad total a pagar tanto en pesos como en UPAC.
Pesos: $12'100.000(1+0.1) = $13'310.000
UPAC: 2.000(1+0.1) = 2.200 (UPAC de ese momento)
Se sabe que el valor final del UPAC es $6.050, luego:
2.200($6.050) = $13'310000
Suma que coincide con la cantidad calculada inicialmente.
De conformidad con el análisis del ejemplo anterior, se puede concluir fácilmente que si
tenemos:
i1= tasa de interés efectiva del tipo 1
i2= tasa de interés efectiva del tipo 2
it= tasa de interés efectiva total (Reúne los tipos de interés)
Se obtiene entonces:
[ ]
En el Ejemplo 3.4.1:
i1= tasa por corrección monetaria (21%)
i2= tasa de interés adicional (10%)
it= (1+0.21) (1+0.1) - 1 = 33,1%
Con este interés efectivo total podemos directamente obtener el saldo final:
$10'000.000 (1+0.331) = $13'310.000
NOTA IMPORTANTE: Debe tenerse en cuenta que i1 e i2 sean tasas de interés efectivas
en su tipo, y que correspondan al mismo periodo de tiempo.
El anterior ejemplo no es el único caso en el que se presentan intereses en cadena, también
los hay cuando por ejemplo, se hace una inversión en el exterior en moneda de ese país,
supongamos Estados Unidos cuya moneda es el dólar.
Por ello, habrá que convertir, inicialmente, los pesos en dólares, invertir los dólares (en
Estados Unidos) sobre los cuales se recibe un interés por rentabilidad de la inversión,
generándose un nuevo monto en dólares. Al convertir en pesos estos "nuevos" dólares,
reportarán un mayor número de pesos por cada dólar, esto por efecto de la devaluación.
EJEMPLO 3.4.2.
Un inversionista colombiano va a realizar un proyecto en USA que consiste en invertir
US$10.000, para recibir al cabo de un año US $11.200. Si al momento de realizar la
inversión la tasa de cambio es $2.100 por cada dólar y al final del año será un 25% mayor
por efecto de la devaluación. ¿Cuál será la rentabilidad lograda en pesos colombianos?
Tenemos:
i1= Interés en USA en dólares
i2= Devaluación del peso respecto al dólar (debido a la devaluación, al cambiar un dólar
por pesos, se debe recibir una mayor cantidad de pesos)
it= Interés total recibido en pesos colombianos
Periodo: 1 año
i1= (11.200-10.000)/10.000 = 12%
i2= 25%
it= (1+0.12) (1+0.25) - 1 = 40%
Observemos el movimiento en dólares, pesos y la tasa de cambio:
1
10.000
11.200
0
1
21`000.000
29`400.000
0
26252100
0 1
Dolares
Tasa de
cambio
($/USD)
Pesos
Es equivalente al hacer el cálculo:
21'000.000*(1+0.4)= $29'400.000
EJEMPLO 3.4.3.
Un inversionista colombiano piensa invertir $20'000.000 en un proyecto mexicano, el cual
requiere exactamente esa cantidad de dinero a la tasa de cambio actual. Este dinero rentará
en México un equivalente al 2,5% mensual, y al cabo de dos años se obtendrán 180.872,60
pesos mexicanos.
Si el peso colombiano, tomando como base una devaluación del 20% anual respecto al peso
mexicano (MEX$), tiene al cabo de dos años una tasa de $288 pesos colombianos (COL$)
por cada peso mexicano ($288/MEX$), ¿cuál será la rentabilidad anual obtenida por el
inversionista colombiano y cuál será el flujo tanto en pesos colombianos como en pesos
mexicanos?
Se calcula inicialmente la tasa de cambio actual, sabiendo que dentro de dos años la tasa de
cambio será COL$288/MEX$ y la devaluación será del 20%:
0 1 2
TC0 TC2
Conociendo TC0 y aplicando la devaluación tendríamos:
TC1= TC0(1+0.2)2
Luego:
COL$288/MEX$= TC0 (1,44)
TC0 = COL$200 / MEX$
i1= Interés anual en nuevos pesos mexicanos
i2= Devaluación anual del peso colombiano respecto al nuevo peso mexicano
it= Interés anual en pesos colombianos
i1 = (1+0,025)12
- 1 = 34,488%
i2 = 20%
it = (1,34488) (1,2)- 1 = 61,386%
Por los dos años, el inversionista obtendría:
F= 20'000.000 (1+0,61386)2 = $52'090.623,78
Los flujos serían entonces:
2
20`000.000
52.090,623,78
0
2
100.000
180.872,60
0
288200
0 2
COL $
Tasa de
cambio
($/MEX$)
MEX $
1
1
1
EJEMPLO 4.3.1
Un inversionista estadounidense está realizando un proyecto de inversión en Colombia que
ofrece una rentabilidad en pesos colombianos de 35% anual. Si él en su país logra una
rentabilidad del 10% anual, ¿cuál será la tasa de devaluación del peso respecto al dólar, por
encima o por debajo de la cual se hará atractivo el proyecto?
iCol=35%
iUSA=10%
DEV=?
EJEMPLO 4.3.2
Si una rentabilidad del 15% en Colombia está acompañada de una inflación del 8%, cuál
sería la tasa de inflación en Estados Unidos que generaría un interés libre de inflación
equivalente al obtenido en Colombia, si la rentabilidad de dicho país es del 10%?
INFCol = 8%
iCol =15%
iUSA =10%
iD=?
Hallemos primero el valor de la inflación en Estados Unidos:
Podemos ahora calcular el valor del iD:
4.4 EJEMPLOS MIXTOS
EJEMPLO 4.4.1
La tasa de cambio del peso colombiano respecto al dólar es $2000/US$, y la tasa de cambio
del bolívar fuerte respecto al dólar es Bs$3/US$; durante el próximo año se espera una
inflación en Colombia del 8% y en Venezuela del 25%.Suponiendo que se parte del
equilibrio cambiario y con una inflación en Estados Unidos del 4%, ¿cuál será dentro de un
año la tasa de cambio del peso respecto al bolívar que genera equilibrio cambiario?
INFCol=8%
INFUsa=4%
INFVen=25%
TCCol=$2.000/US$
TCVen=Bs$3/US$
TCCol/Ven=?
Hallamos las futuras tasas de cambio de Venezuela y Colombia:
⁄
( ⁄ )
⁄
Igualmente para Venezuela:
( ⁄ )
⁄
Calculemos ahora la tasa de cambio Colombia - Venezuela:
⁄
(
⁄ )
(
⁄ )
⁄
EJEMPLO 4.4.2
Un inversionista estadounidense está acostumbrado a obtener una tasa en dólares constante
del 4%. Durante el próximo año espera una inflación en su país del 5%. Está pensando en
invertir en Colombia y sabe que dicho país actualmente tiene una tasa de cambio en
equilibrio, y piensa mantenerla devaluando mensualmente un 1%. ¿Cuál será la tasa de
interés en pesos que hace equivalente para dicho inversionista invertir en Colombia?
iD=4%
DEV=1% mensual
INFUsa=5%
iCol= ?
Puesto que los datos están dados para un año, hallemos entonces la devaluación anual:
DEVanual=(1 + DEVmensual)12
- 1
DEVanual=(1 + 0,01)12
- 1 = 12,6825%
Como se dice que hay una tasa de cambio en equilibrio, el iD en los dos países será igual:
Necesitamos entonces la inflación en Colombia:
Ahora sí, calculemos el interés corriente en Colombia:
(
)
EJEMPLO 4.4.3
Hace dos décadas un profesor ganó una beca para estudiar en Estados Unidos y tenía un
año para ahorrar el dinero que le costaba el curso de inglés cuyo valor era de us$3.000 (no
incluido en la beca). Para esto fue a una corporación de ahorro y vivienda que pagaba un
interés del 24% anual por corrección monetaria con un interés adicional del 8% anual
capitalizable mensualmente vencido. Si se conoce que la inflación en Colombia el año
anterior había sido del 28%, y en USA del 5,35% y que la tasa de cambio en ese momento
era $700/US$. Calcular:
a) ¿Qué cantidad en pesos colombianos debió ahorrar mensualmente el profesor para
tener al cabo de un año el equivalente a los US$3.000?
b) ¿Cuál sería la cantidad que debería haber ahorrado el profesor en UPAC, teniendo en
cuenta que el valor del UPAC era $5,000
c) ¿Cuál sería la cantidad que debería haber ahorrado si el monto mensual fuera el
mismo en pesos de ese momento?
Datos
ii=24% anual
INFCol=28%
i adicional=8% M.V.
INFUsa=5,35%
TC0=TC(Enero 1/92)=$700/us$
0 1 12
Us$3.000
X
a) X=F(A/F,i,12)
Calculamos la devaluación:
Hallamos la TC1
TC1=TC0(1+DEV)
TC1=$700/us$(1+0,215)
TC1=$850,5/us$
Ahora calculamos el interés total mensual efectivo:
⁄
⁄
Ahora podemos calcular el costo del curso de inglés en pesos colombianos:
Us$3000*$850,5 = $2'551.500
Reemplazando en el factor obtenemos:
X=2'551.500(A/F,2.4875%,12)=$185.081,80
b) Al valor del UPAC le aplicamos el ii=24% anual y obtenemos:
$5.000(1+0,24)=$6.200
Si el valor del UPAC hoy es de $5.000 el costo del curso en UPAC será:
$2'551.500/($5.000/UPAC)=510,3 UPACS
0 1 12
510,3 UPACs
X
X=F(A/F,0,6666%,12)
X=40,988 UPACS
Lo que equivale a:
40,988UPAC*$6.200/UPAC=254.127,75
a) Calculamos en pesos constantes el valor del curso:
Conocida la inflación anual obtenemos la inflación mensual:
INF mensual = (1+0,28)1/12
-1
INF mensual = 2,0785% mensual
Entonces el interés duro (iD) será:
0 1 12
1`993.359,40
X
X=1'993.359,40(A/F,0,40165%,12)
X=$162.475,60
EJEMPLO 4.4.4
Una empresa colombiana va a comprar una máquina a un proveedor de Estados Unidos y
este ofrece dos sistemas de pago que para él son equivalentes. El primero, consiste en ocho
pagos trimestrales de US$2.849,13 y el segundo en cuatro pagos semestrales de
US$5.783,73. El interés trimestral es del 3%. El valor de la máquina es de US$20.000. Si la
tasa de cambio en el momento de la compra es de $1.055/US$ y dos años después será de
$1559/US$ con una devaluación constante, determinar:
a) Interés a pagar si se toma el sistema de cuotas semestrales.
b) Interés efectivo anual de financiación.
c) Saldo en pesos de la deuda, transcurrido un año.
a) Para hallar el interés semestral utilizamos la siguiente fórmula:
isem = ( 1 + itrim )n - 1 donde n = 2
isem = ( 1 + 0.03 )2 - 1
isem = 0.0609 = 6,09%
b) El interés efectivo anual depende de dos tasas de interés:
El interés que cobra el proveedor estadounidense y el interés de la devaluación de nuestra
moneda, por lo que tenemos un interés en cadena.
ITRIM pesos = (1 + DEVTRIM) (1 + ITRIM en US$) - 1
Para saber el valor porcentual de la devaluación de nuestra moneda lo hacemos de la
siguiente manera:
TC1 = TC0 + Dev * TC0
(TC1 - TC0) / TC0 = Dev
(1559 - 1055) / 1055 = 0,47777 (Dev en 2 años)
Ahora calculamos la devaluación en un año:
⁄
⁄
Reemplazando en:
itrim pesos = ( 1,05 ) ( 1,03 ) - 1
itrim pesos = 0,0815
Para conocer el interés efectivo anual usamos nuevamente la fórmula que relaciona las
unidades periódicas:
Ipesos-anual = ( 1 + 0,08135 )4 - 1
Ipesos-anual = 0,368 = 36,8% anual
c)
1 2 3 4 5 6 7 8
A=US $2849,13
Nos trasladamos al cuarto trimestre
Esto es lo que hasta ahora se ha pagado, pero como estamos situados en la mitad de un flujo
uniforme, este valor es el saldo de la deuda. Hallamos la devaluación anual:
DEVANUAL = (1,05)4 - 1
DEVANUAL = 0.2155 = 21,55% anual
Con la relación básica de equivalencia sabremos el valor de la tasa de cambio dentro de un
año, pues vamos a llevar un valor presente a un valor futuro conocido.
(El interés será la devaluación en este caso)
F = P (1 + DEV)n
F = 1055 (1.2155)1
F = $ 1.282,3525 / US$
Luego el saldo en pesos es:
S = (US$ 10.595,50) ($ 1.282,3525 /US$)
S = $ 13’587.165,91
EJEMPLO 4.4.10.
Se hace una inversión de un dólar; al momento de la inversión el dólar tenía un valor de
$750. Sobre esta inversión se reconoce una tasa del 9,5% anual. La tasa anual de
devaluación del peso frente al dólar se estima en el 23%.
¿Cuál es la tasa efectiva en pesos colombianos de la inversión?
En dólares:
En pesos colombianos:
De manera que:
EJEMPLO 4.4.11.
Se tienen las siguientes inversiones:
En Paraguay: 150.000 guaraníes
En Venezuela: 210.000 bolívares
En Brasil: 300.000 reales
Cuál es el valor total de las inversiones si el dólar se ha cotizado de la siguiente manera:
1 dólar=4450 guaraníes
=744,750 bolívares
=2,7070 reales
Inversión en dólares
EJEMPLO 4.4.12.
Una persona tiene la oportunidad de hacer una inversión en Brasil, Perú o Venezuela.
En Brasil reconocen el 3% efectivo anual; en Perú, el 8,1% efectivo anual y en Venezuela,
el 10% efectivo anual.
1 D
F
La tasa de cambio final del peso frente al dólar fue de $2.820,20 y la devaluación fue del
0,0431161 anual. La tasa de cambio final del real frente al dólar fue de 2,8950 y la inicial
fue de 3,1470.
La tasa de cambio inicial del sol frente al dólar fue de 3,6050 y la devaluación del mismo
fue del -0,0355062 anual.
La tasa de cambio final del bolívar frente al dólar fue de 1.596 y la inicial de 1.496,50.
¿Dónde debería invertir?
Brasil
Monedas Tco DEV TC1
$/D 2703,63 0,0431161 2.820,20
D/R 1/3,1470 1/2,8950
$/R 859,1143 0,133915 974,1623
Perú
Monedas Tco DEV TC1
$/D 2703,63 0,0431161 2.820,20
D/Sol 1/3,6050 0,0368133 1/3,4770
$/Sol 749,9667 0,081516 811,1015
Venezuela
Monedas Tco DEV TC1
$/D 2703,63 0,0431161 2.820,20
D/B 1/1.196,50 1/1,596
$/B 1,8066 -0,021919 1,767
Brasil:
Perú:
Venezuela:
La mayor rentabilidad se tiene en Perú.
EJEMPLO 4.4.13.
Un inversionista de Estados Unidos visitó Colombia en 1990 y decidió comprar una
vivienda para disfrutarla en su etapa de jubilado. Mientras tanto, sería arrendada por un
canon mensual equivalente a 500.000 pesos constantes del momento de la compra.
El valor de adquisición fue 100 millones de pesos, de los cuales el 30% constituía la cuota
inicial y el saldo lo financiaba una corporación de ahorro y vivienda a 20 años con un
interés por corrección monetaria más un interés adicional del 15% anual, y se amortizaría
mediante cuota fija en UPAC. O mediante otra alternativa de financiación que le ofrece el
First Bank of America con un sistema de pago de cuota fija, también a 20 años y con un
interés del 9% M.V. en dólares. Si el valor inicial tanto de la UPAC como del dólar es
$1.000, el DTF promedio esperado 30.297%, la inflación anual esperada en Colombia es
23.872% y Estados Unidos es 3.605%, con una devaluación que corrija las diferencias entre
dichas devaluaciones, determinar para cada sistema de financiación el precio de venta que
haría obtener al inversionista una rentabilidad del 1.5% mensual en dólares sobre toda la
inversión realizada, si decidiera vender 10 años más tarde.
Financiación en la CAV:
C.M.= 0.74 DTF= 0.74 * 0.30297= 0.2241978
C.M.mensual= (1+0.2241978)1/12
-1
C.M.mensual= 0.017 = 1.7%
Interés adicional:
iad= 15% anual
iad= (1+0.15)1/12
-1 = 0.011714917 mensual
iad= 1.1714917% mensual.
Inflación en Colombia:
INFCol= 23.872% anual
INFCol= (1+0.23872)1/12
-1 = 0.018 mensual
INFCol= 1.8% mensual
Inflación en Estados Unidos: INFEU= 3.605% anual
INFEU= (1+0.03605)1/12
-1 = 0.00295564 mensual
INFEU= 0.295564% mensual
Entonces, la devaluación sería:
⁄
La rentabilidad en pesos equivalente al 1.5% mensual en dólares es:
Los 30 millones inicialmente invertidos por el estadounidense tendrían un valor en 10 años
igual a:
F30= 30’000.000 (1+iCol)120
= 30’000.000 (1+0.03225)120
F30= $1068’984.467
Se recibe mensualmente un arriendo de 500000 pesos constantes. En 10 años se habría
recibido una cantidad FA, según el flujo de la siguiente figura:
0 1 120
500.000 pesos constantes
FA
Como la cuota está en pesos constantes se necesita un interés libre de inflación:
iD= 1.2008841% mensual
FA= 500.000 (F/A, 1.20088%, 120)
FA= 132’779.756 pesos constantes del periodo cero
En pesos corrientes: FA= (1+INF)120
= (1+0.018)120
FA= $1129’445.361
El valor inicial del crédito en UPAC:
P= $70’000.000 = $70’000.000 / ($1.000/UPAC)
P= 70.000 UPACs
1 240
A = ?UPACs
70.000
La cuota a pagar en UPAC es: A= 70.000 (A/P, 1.1714917%, 240)
A= 873.409764 UPAC.
Transcurridos 10 años, se ha pagado del crédito la siguiente cantidad:
1 120
A = 873,409754 UPACs
Pagado
Pagado = 873.409764 (P/A, 1.1714917%, 120) = 56162.40986 UPAC del periodo cero.
Aplicando a cada cuota del crédito el interés deseado (rentabilidad), se obtiene: 1/12
_ (1 ) 1 1.300393% adc m adci i
Pagado = 873.409764 (F/A, 1.300393%, 120) = 249411.768 UPAC en el año 10
EJEMPLO 5.4.1
Se tiene la oportunidad de hacer una inversión de $15’000.000 en un proyecto sin valor de
salvamento, que producirá ingresos anuales uniformes de $ 5.900.000 durante 10 años y se
espera que tenga costos de operación y mantenimiento de $ 2’500.000.
Si el interés de oportunidad del inversionista interesado es del 10 %, determine mediante el
VPN (valor presente neto) si el inversionista aceptará el proyecto.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5'900.000
2'500.000
15'000.000
VPN = A (P/A, 10%,10) – (15’000.000) A = 5’900.000 – 2’500.000 n = 10 i = 0.1 A = 3’400.000
P = A *
+ = (3’400.000) (6.1445) – (15’000.000)
VPN = $5’891.300
Debido a que el VPN es mayor que cero se acepta el proyecto debido a que crea valor.
5.4.2 VALOR FUTURO NETO (VFN)
Este criterio se refiere a la diferencia entre ingresos y egresos, desplazados hasta el
último periodo de vida del proyecto usando el interés de oportunidad para desplazar cada
uno de los ingresos y egresos.
VFN = VFI - VFE
Recordando:
F = P (1 + i)n
VFI = 550.000(1+i*)2+ 580.000(1+i*) + 675.000
VFE = 1.000.000(1+i*)3
TABLA 31. Valor Presente Neto
INVERSIONISTA i* VFI VFE VFN
A 30% 2.358.500 2.197.000 161.500
B 35% 2.460.375 2.460.375 0
C 40% 2.565.000 2.744.000 -179.000
IINNTTEERRPPRREETTAACCIIÓÓNN DDEE LLOOSS RREESSUULLTTAADDOOSS
El inversionista A, al cabo de los tres años que dura el proyecto, tendrá una utilidad
adicional de $161.500 a la cantidad que hubiera obtenido en los proyectos ya conocidos.
Para el inversionista B resulta indiferente invertir en este proyecto o en los ya conocidos. El
inversionista C, si decidiera invertir en este proyecto, al final de los tres años obtendría
$179.000 menos en comparación con lo que podría obtener en los otros proyectos.
Como regla para toma de decisiones tenemos:
$1'000.000
Ingresos obtenidos por A en proyectos conocidos
Ingresos obtenidos con i*=30% = Ingr. B en P. conocidos
Ingresos obtenidos por C en proyectos. conocidos
1 año
$161.500 adicionales para A
$179.000 menos para C
NO ATRACTIVO
ATRACTIVOINDIFERENTEVFN=0
=
<
>
Figura 26
Se compara el VFN contra cero:
Si es mayor (+) el proyecto en estudio es atractivo
Si es menor (-) el proyecto no es atractivo
Y si el VFN es igual a cero, el proyecto es indiferente
5.4.3 VALOR ANUAL NETO (VAN) O
VALOR UNIFORME NETO (VUN)
Este criterio convierte los ingresos y/o egresos en anualidades, y luego toma la diferencia
entre el Valor anual de ingresos (VAI) y el Valor anual de egresos (VAE).
VAN = VAI - VAE
Para calcular el VAI pasamos todos los ingresos a futuro y luego a la serie A.
VAI = [550.000(1+i*)2 + 580.000(1+i*) + 675.000] ( A/F,i*,3)
TABLA 32. Valor Anual Neto
INVERSIONISTA i* VAI VAE VAN
A 30% 591.102,756 550.626,56 40.476,19
B 35% 589.664,46 589.664,46 0
C 40% 588.302,75 629.357,79 -
41.055,04
Para A
VAE
VAN (+)
VAI
Para B
VAE
VAN =0
VAI
Para C
VAEVAN (-)
VAI
z
Como regla para toma de decisiones utilizando este criterio, tenemos:
NO ATRACTIVO
ATRACTIVOINDIFERENTEVAN=0
=
<
>
Regla de decisión:
NO ATRACTIVO
ATRACTIVOINDIFERENTEB/C=1
=
<
>
Figura 28
Se compara el B/C contra uno:
Si es mayor a 1 el proyecto en estudio es atractivo.
Si es menor a 1 el proyecto no es atractivo.
Y si el VPN es igual a 1, el proyecto es indiferente.
Ejemplo 5.5.1
La Tabla 34 nos muestra la información necesaria para este ejercicio, teniendo en cuenta
que se asume una tasa de interés de oportunidad (i*) del 20%
∑
⁄
F0 = inversión
INVERSIÓN Y UTILIDADES (pesos $)
AÑO PROYECTO 1 PROYECTO 2 PROYECTO 3
0 F0= -5’000.000.oo F0= -7’000.000.oo F0= -5’000.000.oo
1 2’000.000.oo 2’500.000.oo 2’300.000.oo
2 2’000.000.oo 2’500.000.oo 2’300.000.oo
3 2’000.000.oo 2’500.000.oo 2’300.000.oo
4 2’000.000.oo 2’500.000.oo 2’300.000.oo
5 2’000.000.oo 2’500.000.oo 2’300.000.oo
6 2’000.000.oo 2’500.000.oo 2’300.000.oo
7 2’000.000.oo 2’500.000.oo 2’300.000.oo
8 2’000.000.oo 2’500.000.oo 2’300.000.oo
9 2’000.000.oo 2’500.000.oo 2’300.000.oo
10 2’000.000.oo 2’500.000.oo 2’300.000.oo
Valor actual neto
(beneficio)
$ 8’384.944,171 $ 10’481.180,21 $ 9’642.685,797
B/C 1.68 1.5 1.92
1. CÓDIGO FUENTE DEL PROGRAMA
economía()
Prgm
© Fecha: 03-03-2008
© Título: Ingeniería Económica
© Versión: 1.2
© Autor: Froilán Andrés Morales Sanabria <[email protected]>
© http://www.ticalc.org/archives/files/authors/95/9551.html
© UIS, Ingeniería Mecánica.
© Creado usando Daisuke-Edit http://www.daisuke.tk
Local
fór,pf,ti,lvar,tx,ltx,nvar,dlogs,k,vark,var,vars,cont,desp,ex,ps,fs,is,ns,iis,ms,ias,as,gs,cs,ds,bs,vi,ve,mg,me,md,
gr,ax,lb,pic
Try
NewFold economía
Else
setFold(economía)
EndTry
setMode("Graph","FUNCTION")→mg
setMode("Exact/Approx","APPROXIMATE")→me
setMode("Display Digits","FLOAT 12")→md
PlotsOff
($ 800,000.00)
($ 600,000.00)
($ 400,000.00)
($ 200,000.00)
$ 0.00
$ 200,000.00
$ 400,000.00
$ 600,000.00
$ 800,000.00
$ 1,000,000.00
20% 22% 24% 26% 28% 30% 32% 34% 36% 38% 40%
VPN
VPN
FnOff
ClrDraw
setGraph("Grid","Off")→gr
setGraph("Axes","Off")→ax
setGraph("Labels","Off")→lb
{"p","f","i","n","ii","m","ia","a","g","c","d","b"}→lvar
For k,1,12
lvar[k]→vark
If getType(#vark)="NUM"
string(#vark)→#(vark&"s")
EndFor
ClrIO
Loop
Dialog
Title "INGENIERÍA ECONÓMICA v1.2"
Text "Seleccione la Ecuación:"
DropDown " ",{"Interés Compuesto","Tasas","Anticipada-Vencida","Serie Uniforme","Grad.
Aritmético","Grad. Geométrico","Grad. Escalonado","Flujos Combinados"},fór
Text ""
DropDown "Ver Imagen ",{"No","Si"},vi
DropDown "Ver Ecuación",{"No","Si"},ve
Text ""
Text " Por: Froilán A. Morales S."
Text " <[email protected]>"
Text " UIS, Ingeniería Mecánica."
EndDlog
If ok=0
Exit
If vi=2 Then
If fór=1 Then
"inte"→pic
ElseIf fór=2 Then
"tasa"→pic
ElseIf fór=3 Then
"vean"→pic
ElseIf fór=4 Then
"seru"→pic
ElseIf fór=5 Then
"arit"→pic
ElseIf fór=6 Then
"geom"→pic
Else
"esca"→pic
EndIf
If getType(#pic)="PIC" Then
ClrDraw
RclPic #pic
Pause
EndIf
EndIf
If fór≥4 and fór≠8 Then
0→pf
PopUp {"Presente","Futuro"},pf
If pf=0
Cycle
EndIf
If fór=1 Then
"INTERÉS COMPUESTO"→ti
{"P","F","i","n"}→lvar
"F=P*(1+i)^n"→tx
ElseIf fór=2 Then
"TASAS"→ti
{"ii","i","m"}→lvar
"i=(ii+1)^(1/m)-1"→tx
ElseIf fór=3 Then
"TASA ANTICIPADA"→ti
{"i","ia"}→lvar
"i=ia/(1-ia)"→tx
ElseIf fór=4 Then
"SERIE UNIFORME"→ti
If pf=1 Then
{"P","A","i","n"}→lvar
"P=A*(1-(1+i)^¯n)/i"→tx
Else
{"F","A","i","n"}→lvar
"F=A*((1+i)^n-1)/i"→tx
EndIf
ElseIf fór=5 Then
"GRADIENTE ARITMÉTICO"→ti
If pf=1 Then
{"P","G","i","n"}→lvar
"P=G*((1+i)^n-1-n*i)/(i^2*(1+i)^n)"→tx
Else
{"F","G","i","n"}→lvar
"F=G*((1+i)^n-1-n*i)/i^2"→tx
EndIf
ElseIf fór=6 Then
"GRADIENTE GEOMÉTRICO"→ti
If pf=1 Then
{"P","C","d","i","n"}→lvar
{"P=C*(1-((1+d)/(1+i))^n)/(i-d)","P=n*C/(1+i)"}→ltx
Else
{"F","C","d","i","n"}→lvar
{"F=C*((1+i)^n-(1+d)^n)/(i-d)","F=n*C*(1+i)^(n-1)"}→ltx
EndIf
ElseIf fór=7 Then
"GRADIENTE ESCALONADO"→ti
If pf=1 Then
{"P","B","d","i","m","n"}→lvar
{"P=B*((1+i)^m-1)/i*(1-((1+d)/(1+i)^m)^n)/((1+i)^m-1-d)","P=n*B*(1-(1+i)^¯m)/i"}→ltx
Else
{"F","B","d","i","m","n"}→lvar
{"F=B*((1+i)^m-1)/i*((1+i)^(m*n)-(1+d)^n)/((1+i)^m-1-d)","F=n*B*(1-(1+i)^¯m)/i*(1+i)^(m*n)"}→ltx
EndIf
ElseIf fór=8 Then
"FLUJOS COMBINADOS"→ti
{"P","F","B","d","i","m","n"}→lvar
{"P*(1+i)^(m*n)+B*((1+i)^m-1)/i*((1+i)^(m*n)-(1+d)^n)/((1+i)^m-1-d)+F=0","P*(1+i)^(m*n)+n*B*(1-
(1+i)^¯m)/i*(1+i)^(m*n)+F=0"}→ltx
EndIf
If ve=2 Then
If fór≤5 Then
Pause tx
Else
If fór=8
Disp "*Colocar signos adecuados"
Pause ltx
EndIf
EndIf
dim(lvar)→nvar
""→dlogs
For k,1,nvar
lvar[k]→vark
dlogs&":Request """&vark&""","&vark&"s,0"→dlogs
EndFor
"Dialog:Title """&ti&""""&dlogs&":EndDlog"→dlogs
Loop
expr(dlogs)
If ok=0
Exit
0→cont
For k,1,nvar
lvar[k]→var
lvar[k]&"s"→vars
If #vars="" Then
DelVar #var
cont+1→cont
k→desp
Else
Try
expr(#vars)→#var
Else
Pause "Error: Revise los valores ingresados ("&var&")."
0→ok
Exit
EndTry
EndIf
EndFor
If ok=0
Cycle
If cont=1 Then
If fór=6 Then
ltx[1]→tx
If desp≠3 and desp≠4 Then
If i=d Then
ltx[2]→tx
EndIf
EndIf
ElseIf fór=7 Then
ltx[1]→tx
If desp≠3 and desp≠4 and desp≠5 Then
If (1+i)^m-1=d Then
ltx[2]→tx
EndIf
EndIf
ElseIf fór=8 Then
ltx[1]→tx
If desp≠4 and desp≠5 and desp≠6 Then
If (1+i)^m-1=d Then
ltx[2]→tx
EndIf
EndIf
EndIf
expr(tx)→ex
lvar[desp]→var
lvar[desp]&"s"→vars
If fór≥4 and fór≠8 and desp≥3 Then
If fór≥6 and desp=3 Then
nSolve(ex,d)|d>¯1 and d<1→d
Else
nSolve(ex,#var)|#var>1.
EndIf
ElseIf fór=8 and desp≥4 Then
If desp=4 Then
nSolve(ex,d)|d>¯1 and d<1→d
Else
nSolve(ex,#var)|#var>1.
EndIf
Else
right(solve(ex,#var))→#var
EndIf
string(#var)→#vars
ElseIf cont=0 Then
Pause "Error: Se debe dejar una variable indefinida (en blanco)."
Else
Pause "Error: Se admite únicamente una variable indefinida (en blanco)."
EndIf
EndLoop
EndLoop
setMode("Graph",mg)
PlotsOn
FnOn
setGraph("Grid",gr)
setGraph("Axes",ax)
setGraph("Labels",lb)
setMode("Exact/Approx",me)
setMode("Display Digits",md)
DispHome
EndPrgm
1. INGRESO AL PROGRAMA
Primero hay que ir a VAR-LINK del la calculadora y seleccionar la carpeta “ Economía” como se muestra a continuación
Se selecciona el archivo “Tipo programa” como se muestra a continuación
Se oprime [Enter] y aparece la siguiente ventana:
Se cierra el paréntesis y se oprime [Enter], de esta manera se accede al programa y se ve la siguiente ventana
Se selecciona la opción deseada y se procede a ingresar los datos
2. VARIABLES UTILIZADAS
Los datos que se ingresan a la calculadora deben corresponder con los datos esperados por cada una de las variables que maneja la calculadora para los correspondientes cálculos, estas variables son:
n: Número de periodos, Ej. meses, trimestres, años, etc.
i: Tasa de interés para un periodo menor, se puede ingresar en por unidad o porcentual
ii: Tasa de interés para un periodo mayor.
m: Numero de periodos menores de que consta un periodo mayor, esto para las conversiones de tasas de interés; también significa el numero de periodos mayores en un gradiente escalonado
P: Valor presente
F:Valor futuro
A: Serie de pagos uniformes durante n periodos
G: Crecimiento lineal para una serie de pagos
C: Valor base en un gradiente geométrico
d: Crecimiento porcentual de un flujo sobre una base inicial (C)
B: Base del gradiente escalonado, son los pagos que se hacen en el primer periodo mayor de manera uniforme distribuida en periodos menores
3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN CON LA CALCULADORA
1.) ¿Cuál será la tasa de interés aplicada al prestar $1.000 hoy, para cancelar $1.200 al final de 1 año? Solución: Se ingresa en la opción 1 (interés compuesto), se ingresan los datos conocidos dejando vacía la casilla correspondiente a la variable que se desea calcular, en este caso el interés
Se oprime [Enter] y el programa llena la casilla vacía con el valor calculado:
Podemos ver que el programa calculó el interés y lo puso en la casilla correspondiente. La solución es 0.2 en por unidad que es equivalente a 20% R//
2.) ¿Invertir $1’000.000 al 3% mensual en 60 meses es equivalente a invertir $1’000.000 a qué interés anual en cinco años? Solución: Como me hablan en distintos periodos de tiempo, se debe elegir un periodo para trabajar y llevar todas las tasas de interés a ese periodo de tiempo escogido, en este caso se elige trabajar con periodos anuales, luego debe pasar la tasa de interés mensual a anual, esto se hace con el programa en la opción 2(tasas), Ahora llevemos la tasa de 3% mensual a anual. Para este cálculo m=12, ya que hay 12 meses en un año, veamos:
Se oprime [Enter] y se calcula el interés anual equivalente a 3%mensual
Ahora ya tenemos que el interés del 3% mensuales equivalente a 42.6% anual aproximadamente, como cinco años es equivalente a 60 meses y en ambas
alternativas se invierte el mismo dinero, esto significa que el interés calculado es la respuesta que se está buscando, entonces i=42.6% R// 3.) Si logra ahorrar $200.000 semestrales durante su carrera, y los deposita en una entidad financiera que paga un interés del 4% trimestral, ¿cuánto se acumulará al cabo de los cinco años de carrera? Solución: Como los depósitos son semestrales y el interés que paga la entidad financiera es trimestral, se pasará esta tasa de interés trimestral a semestral, para este cálculo m=2, ya que hay dos trimestres en un semestre, utilizamos el programa en la opción 2 (tasas).
Le damos [Enter] y obtenemos el interés semestral:
Entonces tenemos que i=8.16% semestral Ahora que tenemos la tasa de interés en el mismo periodo de tiempo de los depósitos, procedemos a calcular valor acumulado al cabo de los cinco años. Ingresamos al programa en la opción 4 (serie uniforme), e ingresamos los datos necesarios:
Se selecciona futuro, ya que éste es el valor que se está buscando:
El valor de número de periodos que se ingresa es 10 por que hay 10 semestres en cinco años, y se debe ingresar en número de semestres ya que se trabajo con la tasa de interés semestral: Entonces tenemos el valor acumulado en 10 semestres: $2’919.419 R// 4.) En el ejercicio anterior ¿cuánto debió haber ahorrado semestralmente durante su carrera si su propósito era acumular $5’000.000 para pagar la matrícula de un curso de idiomas en el exterior? Solución: A diferencia del ejercicio anterior se conoce el futuro y se desea calcular la cuota necesaria para obtener ese futuro en el tiempo dado de 10 semestres. Utilizamos el programa en la opción 4 (serie uniforme):
Tenemos que se debe ahorrar semestralmente $342.534 R// 5.) Una empresa desea establecer un fondo para reposición de activos, para ello hace un primer deposito dentro de un mes por valor de $500.000, dentro de dos meses por valor de $510.000, en tres meses por valor de $520.000 y así sucesivamente, ¿Cuánto abra acumulado al cabo de dos años si los depósitos generan un interés del 1% mensual? Tenemos que en dos años hay 24 meses, luego n=24, ahora vamos a la opción 5 (gradiente aritmético):
Tenemos que el futuro para el gradiente aritmético es F1=$2’973.465, ahora falta calcular el futuro para la serie uniforme que hace parte del gradiente aritmético con A=$500.000, ahora utilizamos la opción 4 (serie uniforme) del programa.
Tenemos que F2=$13’486732. Este es el futuro de la serie uniforme. Ahora el futuro total es F=$16’460.197 R// 6.) Un profesor saldrá en comisión de estudios durante cinco años, su deseo es viajar con su familia pero su nivel de ingresos no se lo permite, por lo que decide dejar un depósito en una cuenta para asegurar el dinero necesario para realizar el mercado de su familia. Si actualmente el mercado mensual tiene un valor de $500.000, y mensualmente crece un 1%, cuál será el depósito requerido, si sobre el saldo se obtiene un interés de: a.) 0.8% mensual b.)1%mensual c.)1.2% mensual Solución: Como cinco años equivalen a 60 meses, entonces n=60 meses, también tenemos que d=1%mensual, Ahora para el i=0.8% mensual podemos calcular el valor del presente, o sea, el depósito requerido, utilizamos el programa en la opción 6 (gradiente geométrico):
Para un i=0.8% mensual tenemos un P=$31’572.676 Ra//
Para un i=1% mensual tenemos un P=$29’702970 Rb//
Para un i=1.2% mensual tenemos un P=$27’980.211 Rc// 7.) Una persona que devenga un salario de $150.000 mensuales el primer año decide depositar cada mes la décima parte de su salario mensual en una cuenta de ahorros que paga un interés del 2.5% mensual. Si le incrementan el salario cada año el 24%, ¿cuánto tendrá ahorrado al cabo de doce años? Solución: Cada mes durante el primer año deposita $150.000/10= $15.000 Entonces tenemos que B=$15.000; m=12años; n=12meses; i=2.5%mensual; d=24% Ingresamos al programa en la opción 7 (gradiente escalonado)
Tenemos entonces que F=$43’006.463 R//
4. SOLUCIÓN DE UN PRIMER EXAMEN PARCIAL
A modo de ejemplo se resolverán los siguientes ejercicios para conocer la
funcionalidad del programa. Tenga en cuenta que el usuario debe realizar el
análisis del problema y dar solución esquemática, pues el programa sólo hace
operaciones, no planteamientos.
4.1 Ejercicio 1:
Universidad Industrial de Santander
Escuela de Estudios Industriales y Empresariales
Economía para Ingenieros - Primer examen parcial
Enero 29, 2008 Profesor: Carlos Enrique Vecino Arenas, Ph.D.
1. (Valor 40%) Una empresa fabricante de calzado requiere reemplazar varias
máquinas para tecnificar su proceso productivo. Para su adquisición se tramita un
préstamo de 100 millones de pesos a 10 años con un interés del 1.5% mensual, el cual
deberá pagarse mediante una cuota mensual vencida que crece 2% cada mes respecto
a la cuota anterior.
Según los cálculos del crédito, al final del quinto año, momento en el que la cuota
mensual supera lo que la empresa tiene especificado como presupuesto mensual para el
pago de créditos, el gerente financiero de la empresa decide hacer un abono
extraordinario de $61’280.140,3 con el propósito de que la modalidad de pago pase a
cuota fija.
4.1.1 Solución:
Análisis y planteamiento del problema:
La empresa fabricante de calzado, en el instante del préstamo, pensaba pagar sus
cuotas siguiendo las condiciones iníciales de éste. Por ello el esquema sería:
Este comportamiento es de un gradiente geométrico, así que utilizando el
programa de la calculadora Texas Instruments se deben seguir los siguientes
pasos:
1. La calculadora debe trabajar en HOME.
Estando allí se busca el programa en VAR-LINK, carpeta “Economía”, programa
“Economía”, (la ubicación de la carpeta y nombre del programa son modificables)
[ENTER]. Aparece algo así:
Se cierra el paréntesis y de nuevo se
da [ENTER].
A partir de éste momento el programa lo guiará realizando preguntas que permiten
seleccionar el tipo correcto de ecuación, además si desea ver la gráfica para el
tipo de problema, las variables y su significado en la ecuación, entre otras.
Para la primera parte del problema se necesita un gradiente geométrico, para ello
seleccionemos la ecuación adecuada. Si deseo ver la gráfica y la ecuación
selecciono la opción “si” para cada una, (estas dos últimas opciones no son
requisito para el desarrollo del programa) pero en cambio le permiten al usuario
visualizar el tipo de problema a solucionar y los valores a reemplazar. Si le he
asignado la opción de gráfica, la calculadora mostrará la siguiente imagen:
Oprimo [ENTER]:
De nuevo [ENTER] y me da dos opciones Presente y Futuro. Esto se debe tener
en cuenta dependiendo de las variables conocidas y la incógnita. En este caso las
variables conocidas son: d, i, P, n; y se desconocen F y C. Como necesito calcular
C a partir de P → utilizo la fórmula de presente.
Para un valor de:
Para asignar valores en porcentajes se selecciona [CHAR] → Puntuation → %.
Una vez ingresados los valores, se deja en blanco el valor desconocido (el
programa sólo admite un valor desconocido) y se presiona de nuevo la tecla
[ENTER], en cuanto se ha despejado o calculado la incógnita se muestra de nuevo
el cuadro de diálogo anterior pero con el valor de la incógnita.
(Este sería el valor de la primera cuota y a partir de la cual
se realizaran incrementos del 2%).
Como el préstamo se interrumpe al finalizar el quinto año, es decir en el final del
periodo N° 60, se realiza un abono extraordinario y además se cambia la
modalidad de pago a una cuota fija hasta el final del préstamo.
Gráfica real del préstamo
Transcurridos cinco años el saldo será:
El valor futuro de la deuda sin abonos (–) el valor futuro de los abonos en ese
mismo período
→ Para el valor futuro de la deuda sin abonos se trabaja con la fórmula de interés
compuesto en el programa. Con los valores de:
Siendo así
El valor futuro de los abonos se calcula con la fórmula de gradiente geométrico.
→ Para valores de:
El programa conserva tanto los valores de ingreso como los calculados, en éste
ejemplo ya habíamos calculado el valor de , por ello no aparece en cuadro de
diálogo su valor y no se requiere ingresarlo de nuevo.
Oprimo [ENTER] y se calcula así el valor de F.
Realizando la diferencia entre F Y Fg obtengo:
La empresa decide abonar $61’280.140,3 para que la cuota no supere lo
estipulado por la empresa mensualmente para pago de créditos, con este abono la
deuda sería de:
El saldo será
Para la nueva forma de pago ó nuevo sistema de crédito, (cuota fija) el saldo en
ese instante sería el mismo presente.
Aplicando el programa para serie uniforme con valores de:
Cuando se suministran más datos de los requeridos el programa indica el error.
Obtengo el valor de la cuota fija que a su vez es la pregunta del problema.
4.2 Ejercicio 2:
2. (Valor 60%) Dado que la relación del precio de la pechuga de pollo respecto al de
la pierna-pernil es superior en el exterior, una empresa avícola en Bucaramanga firma un
contrato para exportar mensualmente 80 mil libras de pechuga durante cinco años. De
acuerdo al estudio realizado se dispone de la siguiente información:
• La inversión requerida para la adecuación, implementación y puesta en marcha del
proceso productivo y la logística de exportación asciende a $200’000.000 y toma
poco tiempo (menos de un mes).
• Para la exportación se incurrirá en unos egresos mensuales incrementales, es decir,
por encima de los costos que se tendrían si se vendiera las pechugas en Colombia.
Dichos egresos incrementales por concepto de control de producción,
documentación, trámite, embalaje, transporte y logística internacional están
conformados por un monto fijo de $10’000.000 más un egreso de $500 por cada libra
de pechuga.
• Se estima que todos los costos incrementales de producción y exportación crecerán
5% anualmente.
• Dado que la pechuga podría ser vendida en Colombia, obteniéndose un ingreso por
libra de pechuga de 2000 pesos que crecería anualmente un 5%, los ingresos por
exportación deberían ser suficientes para cubrir tanto los costos mencionados
previamente como estos ingresos que se dejarían de percibir.
• El cliente en el exterior depositará al momento de la exportación el valor pactado de
“X” dólares por libra de pechuga y el banco de la empresa avícola convertirá dichos
dólares a una tasa de cambio estimada de 2.000 pesos por dólar al momento de la
primera exportación. Se estima que posteriormente la tasa de cambio crecerá
mensualmente a un ritmo equivalente al 4,907021% anual.
Si se espera obtener mínimo 3% de rentabilidad mensual en la inversión en este
proyecto, determine el valor mínimo por libra de pechuga “X” requerido para cubrir
los ingresos que se dejan de recibir en Colombia, los costos incrementales (control de
producción, embalaje y exportación) y para adicionalmente recuperar totalmente la
inversión en cinco años (incluyendo obviamente la rentabilidad esperada).
4.2.1 Solución:
La idea para solucionar el problema es igualar todos los egresos generados por la
exportación con los ingresos producidos por el pago de las pechugas en dólares,
en el mismo instante de tiempo. Por eso se dividirá el problema analizando lo
concerniente a la logística de exportación y luego los ingresos recibidos en la
exportación.
Para la primera parte: (inversión inicial, costos de embalaje, logística, ingresos que
se dejan de recibir en Colombia por libra de pechuga).
Gráfica de egresos para la exportación
Llevando todo al futuro del periodo 60.
Para el gradiente escalonado en rojo usando el programa con valores de:
Para el gradiente escalonado en negro con valores de:
Para la inversión inicial de $200’000.000 el futuro por la ecuación de interés
compuesto para valores de:
El futuro total que se espera obtener con la exportación de las pechugas es:
El cálculo del valor mínimo en pesos al cual se debe vender las pechugas en el
exterior, se realizará mediante un gradiente geométrico. El incremento mensual
equivalente al 4.907021% anual (de la tasa de cambio), será igual a:
En este caso tenemos , y por ello utilizamos esta ecuación, para
hallar , pero en la calculadora se toman como e ya que se usa la fórmula
.
Para este gradiente geométrico con los valores de la gráfica mostrada a
continuación, y usando el programa de la T.I. en la ecuación de gradiente
geométrico:
Tengo como resultado un valor de
Este valor es el equivalente al de 80.000 lbs. de pechuga, por tanto el valor por
libra de pechuga será:
La tasa de cambio en el mercado es de $ 2.000,00 / US$.
→
Cuando se desarrollan o se intentan resolver problemas se deben buscar medios que
faciliten la solución. Este programa agiliza e ilustra problemas claves y básicos, que
complementado con algunos conceptos de Ingeniería Económica permite el
desarrollo de cualquier problema planteado en esta materia.
El programa está diseñado para que el usuario interactué y navegue fácilmente. Es
muy práctico y además indica los pasos a seguir.
Esta aplicación fue creada con la colaboración de Froilán Morales y se encuentra
disponible en el siguiente enlace:
http://www.ticalc.org/archives/files/authors/95/9551.html
5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN CON MICROSOFT OFFICE EXCEL
EJERCICIO 2.10.1
Su familia decidió adquirir una vivienda que vale para ello dispone de en ahorros y el resto será financiado a 20 años con una tasa del mensual. Determine el valor de las cuotas mensuales a pagar en las siguientes modalidades e. Cuotas fijas f. Cuota creciente $5000 mensuales g. Cuota creciente 0.5% mensual h. Cuota fija mensual con crecimiento anual del 6% a) Cuotas fijas: Para la realización del presente ejercicio utilizaremos la hoja electrónica de cálculo Excel de Microsoft; en las direcciones de celda A7, A8 y A9 se podrán las etiquetas Monto a prestar, Número de cuotas, y tasa de interés mensual respectivamente; y en las direcciones de celda B7, B8 y B9 los valores respectivos para el desarrollo del ejercicio.
TABLA DE Datos
Ítem Valor Variable
Monto a prestar $60.000.000 P
Número de cuotas 240 n
Tasa de interés mensual 1,10% i
Valor de la cuota $ 350.623,46 Valor mensual aumento cuota $5.000 GA
Valor porcentual mensual aumento cuota 0,5% GG
Crecimiento anual 6% CA
Cuota creciente $5.000 mensuales $350.623,46
Cuota creciente 0,5% mensual $473.466,18
Para realizar el presente ejercicio utilizaremos la hoja electrónica de calculo Excel de Microsoft; en las direcciones de celda A7, a la A18 se pondrán las etiquetas Monto a prestar, Número de cuotas, Tasa de interés mensual, Valor de la cuota, Valor mensual aumento de la cuota, Valor porcentual mensual aumento de la cuota, Crecimiento anual, Cuota creciente $50.000 mensuales, cuota creciente 0.5% mensuales, Cuota fija mensual con crecimiento anual del 6%, Cuota fija, respectivamente, y en las direcciones de celda B7, a B18 los valores y las formulas respectivas para el desarrollo del ejercicio. Para una mejor comprensión de las fórmulas se da nombre a las celdas en donde irán los datos variables que intervienen en la solución del problema planteado así: Utilizando la barra de menús se ubica en el menú de Fórmulas y en el botón Asignar nombre a un rango se entra por la opción Definir nombre.
Cuota fija mensual con crecimiento anual del 6% $491.943,29
Cuota fija $711.511,55
Se hace igual para dar nombre a todas las variables que intervienen en el cálculo de la cuota, los nombres asignados para este ejercicio son los siguientes: Una vez se tienen definidos los nombres de las variables procedemos a realizar la fórmula teniendo en cuenta lo siguiente:
Barra de Menús Formulas
Botón Agregar nombre a un rango
En este sitio se le asigna el nombre a la variable
En este espacio se busca la dirección de celda en donde se va a ubicar el monto del préstamo.
60'000.000
0240
i=1.1%
Aplicando la fórmula:
[
]
Reemplazando:
[
]
Obtenemos: Luego en la dirección de celda correspondiente al Cálculo de la cuota fija se introduce la fórmula de la siguiente manera:
=P*(i*((1+i)^n))/(((1+i)^n)-1) La cual nos dará como resultado el valor de $711.511,55 correspondiente al valor de la cuota que se pagará durante cada uno de los periodos que dure la amortización del crédito. Para una mejor ilustración y para verificar los valores de los resultados puede visitar la siguiente página http://albatros.uis.edu.co/cvecino/anualidades.jsp Una vez hecho el cálculo de la cuota procedemos a realizar la tabla de pagos, la cual tiene la siguiente forma:
Tabla de Pagos para el Cálculo de un Prestamo utilizando Cuota Fija
Periodo Saldo Inicial Interés Causado Cuota a Pagar Abono a Capital Saldo Final
0 $ 60.000.000,00
1 $ 60.000.000,00 $ 660.000,00 $ 711.511,55 $ 51.511,55 $ 59.948.488,45
2 =F4 =F4*i =C5+E5 =$B$18-C5 =F4-E5
Estas fórmulas se copian hasta la cuota 240 teniendo como resultado la siguiente tabla:
Tabla de Pagos para el Cálculo de un Préstamo utilizando Cuota Fija
Periodo Saldo Inicial Interés Causado Cuota a Pagar Abono a Capital Saldo Final
0 $ 60.000.000,00
1 $ 60.000.000,00 $ 660.000,00 $ 711.511,55 $ 51.511,55 $ 59.948.488,45
2 $ 59.948.488,45 $ 659.433,37 $ 711.511,55 $ 52.078,18 $ 59.896.410,27
3 $ 59.896.410,27 $ 658.860,51 $ 711.511,55 $ 52.651,04 $ 59.843.759,24
4 $ 59.843.759,24 $ 658.281,35 $ 711.511,55 $ 53.230,20 $ 59.790.529,04
5 $ 59.790.529,04 $ 657.695,82 $ 711.511,55 $ 53.815,73 $ 59.736.713,31
6 $ 59.736.713,31 $ 657.103,85 $ 711.511,55 $ 54.407,70 $ 59.682.305,61
7 $ 59.682.305,61 $ 656.505,36 $ 711.511,55 $ 55.006,19 $ 59.627.299,42
8 $ 59.627.299,42 $ 655.900,29 $ 711.511,55 $ 55.611,26 $ 59.571.688,16
9 $ 59.571.688,16 $ 655.288,57 $ 711.511,55 $ 56.222,98 $ 59.515.465,19
10 $ 59.515.465,19 $ 654.670,12 $ 711.511,55 $ 56.841,43 $ 59.458.623,75
11 $ 59.458.623,75 $ 654.044,86 $ 711.511,55 $ 57.466,69 $ 59.401.157,06
12 $ 59.401.157,06 $ 653.412,73 $ 711.511,55 $ 58.098,82 $ 59.343.058,24
13 $ 59.343.058,24 $ 652.773,64 $ 711.511,55 $ 58.737,91 $ 59.284.320,33
14 $ 59.284.320,33 $ 652.127,52 $ 711.511,55 $ 59.384,03 $ 59.224.936,31
15 $ 59.224.936,31 $ 651.474,30 $ 711.511,55 $ 60.037,25 $ 59.164.899,06
16 $ 59.164.899,06 $ 650.813,89 $ 711.511,55 $ 60.697,66 $ 59.104.201,40
17 $ 59.104.201,40 $ 650.146,22 $ 711.511,55 $ 61.365,33 $ 59.042.836,07
18 $ 59.042.836,07 $ 649.471,20 $ 711.511,55 $ 62.040,35 $ 58.980.795,71
19 $ 58.980.795,71 $ 648.788,75 $ 711.511,55 $ 62.722,80 $ 58.918.072,92
20 $ 58.918.072,92 $ 648.098,80 $ 711.511,55 $ 63.412,75 $ 58.854.660,17
21 $ 58.854.660,17 $ 647.401,26 $ 711.511,55 $ 64.110,29 $ 58.790.549,88
22 $ 58.790.549,88 $ 646.696,05 $ 711.511,55 $ 64.815,50 $ 58.725.734,38
23 $ 58.725.734,38 $ 645.983,08 $ 711.511,55 $ 65.528,47 $ 58.660.205,91
24 $ 58.660.205,91 $ 645.262,27 $ 711.511,55 $ 66.249,28 $ 58.593.956,63
25 $ 58.593.956,63 $ 644.533,52 $ 711.511,55 $ 66.978,03 $ 58.526.978,60
26 $ 58.526.978,60 $ 643.796,76 $ 711.511,55 $ 67.714,78 $ 58.459.263,81
27 $ 58.459.263,81 $ 643.051,90 $ 711.511,55 $ 68.459,65 $ 58.390.804,17
28 $ 58.390.804,17 $ 642.298,85 $ 711.511,55 $ 69.212,70 $ 58.321.591,46
29 $ 58.321.591,46 $ 641.537,51 $ 711.511,55 $ 69.974,04 $ 58.251.617,42
30 $ 58.251.617,42 $ 640.767,79 $ 711.511,55 $ 70.743,76 $ 58.180.873,66
31 $ 58.180.873,66 $ 639.989,61 $ 711.511,55 $ 71.521,94 $ 58.109.351,72
32 $ 58.109.351,72 $ 639.202,87 $ 711.511,55 $ 72.308,68 $ 58.037.043,04
33 $ 58.037.043,04 $ 638.407,47 $ 711.511,55 $ 73.104,08 $ 57.963.938,97
34 $ 57.963.938,97 $ 637.603,33 $ 711.511,55 $ 73.908,22 $ 57.890.030,75
35 $ 57.890.030,75 $ 636.790,34 $ 711.511,55 $ 74.721,21 $ 57.815.309,54
36 $ 57.815.309,54 $ 635.968,40 $ 711.511,55 $ 75.543,14 $ 57.739.766,39
37 $ 57.739.766,39 $ 635.137,43 $ 711.511,55 $ 76.374,12 $ 57.663.392,27
38 $ 57.663.392,27 $ 634.297,32 $ 711.511,55 $ 77.214,23 $ 57.586.178,04
39 $ 57.586.178,04 $ 633.447,96 $ 711.511,55 $ 78.063,59 $ 57.508.114,45
40 $ 57.508.114,45 $ 632.589,26 $ 711.511,55 $ 78.922,29 $ 57.429.192,16
41 $ 57.429.192,16 $ 631.721,11 $ 711.511,55 $ 79.790,44 $ 57.349.401,72
42 $ 57.349.401,72 $ 630.843,42 $ 711.511,55 $ 80.668,13 $ 57.268.733,59
43 $ 57.268.733,59 $ 629.956,07 $ 711.511,55 $ 81.555,48 $ 57.187.178,11
44 $ 57.187.178,11 $ 629.058,96 $ 711.511,55 $ 82.452,59 $ 57.104.725,52
45 $ 57.104.725,52 $ 628.151,98 $ 711.511,55 $ 83.359,57 $ 57.021.365,95
46 $ 57.021.365,95 $ 627.235,03 $ 711.511,55 $ 84.276,52 $ 56.937.089,43
47 $ 56.937.089,43 $ 626.307,98 $ 711.511,55 $ 85.203,57 $ 56.851.885,86
48 $ 56.851.885,86 $ 625.370,74 $ 711.511,55 $ 86.140,80 $ 56.765.745,06
49 $ 56.765.745,06 $ 624.423,20 $ 711.511,55 $ 87.088,35 $ 56.678.656,71
50 $ 56.678.656,71 $ 623.465,22 $ 711.511,55 $ 88.046,33 $ 56.590.610,38
51 $ 56.590.610,38 $ 622.496,71 $ 711.511,55 $ 89.014,84 $ 56.501.595,54
52 $ 56.501.595,54 $ 621.517,55 $ 711.511,55 $ 89.994,00 $ 56.411.601,55
53 $ 56.411.601,55 $ 620.527,62 $ 711.511,55 $ 90.983,93 $ 56.320.617,61
54 $ 56.320.617,61 $ 619.526,79 $ 711.511,55 $ 91.984,76 $ 56.228.632,86
55 $ 56.228.632,86 $ 618.514,96 $ 711.511,55 $ 92.996,59 $ 56.135.636,27
56 $ 56.135.636,27 $ 617.492,00 $ 711.511,55 $ 94.019,55 $ 56.041.616,72
57 $ 56.041.616,72 $ 616.457,78 $ 711.511,55 $ 95.053,77 $ 55.946.562,96
58 $ 55.946.562,96 $ 615.412,19 $ 711.511,55 $ 96.099,36 $ 55.850.463,60
59 $ 55.850.463,60 $ 614.355,10 $ 711.511,55 $ 97.156,45 $ 55.753.307,15
60 $ 55.753.307,15 $ 613.286,38 $ 711.511,55 $ 98.225,17 $ 55.655.081,98
61 $ 55.655.081,98 $ 612.205,90 $ 711.511,55 $ 99.305,65 $ 55.555.776,33
62 $ 55.555.776,33 $ 611.113,54 $ 711.511,55 $ 100.398,01 $ 55.455.378,32
63 $ 55.455.378,32 $ 610.009,16 $ 711.511,55 $ 101.502,39 $ 55.353.875,93
64 $ 55.353.875,93 $ 608.892,64 $ 711.511,55 $ 102.618,91 $ 55.251.257,02
65 $ 55.251.257,02 $ 607.763,83 $ 711.511,55 $ 103.747,72 $ 55.147.509,30
66 $ 55.147.509,30 $ 606.622,60 $ 711.511,55 $ 104.888,95 $ 55.042.620,35
67 $ 55.042.620,35 $ 605.468,82 $ 711.511,55 $ 106.042,73 $ 54.936.577,62
68 $ 54.936.577,62 $ 604.302,35 $ 711.511,55 $ 107.209,20 $ 54.829.368,43
69 $ 54.829.368,43 $ 603.123,05 $ 711.511,55 $ 108.388,50 $ 54.720.979,93
70 $ 54.720.979,93 $ 601.930,78 $ 711.511,55 $ 109.580,77 $ 54.611.399,16
71 $ 54.611.399,16 $ 600.725,39 $ 711.511,55 $ 110.786,16 $ 54.500.613,00
72 $ 54.500.613,00 $ 599.506,74 $ 711.511,55 $ 112.004,81 $ 54.388.608,20
73 $ 54.388.608,20 $ 598.274,69 $ 711.511,55 $ 113.236,86 $ 54.275.371,34
74 $ 54.275.371,34 $ 597.029,08 $ 711.511,55 $ 114.482,46 $ 54.160.888,87
75 $ 54.160.888,87 $ 595.769,78 $ 711.511,55 $ 115.741,77 $ 54.045.147,10
76 $ 54.045.147,10 $ 594.496,62 $ 711.511,55 $ 117.014,93 $ 53.928.132,17
77 $ 53.928.132,17 $ 593.209,45 $ 711.511,55 $ 118.302,10 $ 53.809.830,08
78 $ 53.809.830,08 $ 591.908,13 $ 711.511,55 $ 119.603,42 $ 53.690.226,66
79 $ 53.690.226,66 $ 590.592,49 $ 711.511,55 $ 120.919,06 $ 53.569.307,60
80 $ 53.569.307,60 $ 589.262,38 $ 711.511,55 $ 122.249,17 $ 53.447.058,44
81 $ 53.447.058,44 $ 587.917,64 $ 711.511,55 $ 123.593,91 $ 53.323.464,53
82 $ 53.323.464,53 $ 586.558,11 $ 711.511,55 $ 124.953,44 $ 53.198.511,09
83 $ 53.198.511,09 $ 585.183,62 $ 711.511,55 $ 126.327,93 $ 53.072.183,16
84 $ 53.072.183,16 $ 583.794,01 $ 711.511,55 $ 127.717,53 $ 52.944.465,63
85 $ 52.944.465,63 $ 582.389,12 $ 711.511,55 $ 129.122,43 $ 52.815.343,20
86 $ 52.815.343,20 $ 580.968,78 $ 711.511,55 $ 130.542,77 $ 52.684.800,43
87 $ 52.684.800,43 $ 579.532,80 $ 711.511,55 $ 131.978,74 $ 52.552.821,68
88 $ 52.552.821,68 $ 578.081,04 $ 711.511,55 $ 133.430,51 $ 52.419.391,17
89 $ 52.419.391,17 $ 576.613,30 $ 711.511,55 $ 134.898,25 $ 52.284.492,92
90 $ 52.284.492,92 $ 575.129,42 $ 711.511,55 $ 136.382,13 $ 52.148.110,80
91 $ 52.148.110,80 $ 573.629,22 $ 711.511,55 $ 137.882,33 $ 52.010.228,47
92 $ 52.010.228,47 $ 572.112,51 $ 711.511,55 $ 139.399,04 $ 51.870.829,43
93 $ 51.870.829,43 $ 570.579,12 $ 711.511,55 $ 140.932,43 $ 51.729.897,01
94 $ 51.729.897,01 $ 569.028,87 $ 711.511,55 $ 142.482,68 $ 51.587.414,32
95 $ 51.587.414,32 $ 567.461,56 $ 711.511,55 $ 144.049,99 $ 51.443.364,33
96 $ 51.443.364,33 $ 565.877,01 $ 711.511,55 $ 145.634,54 $ 51.297.729,79
97 $ 51.297.729,79 $ 564.275,03 $ 711.511,55 $ 147.236,52 $ 51.150.493,27
98 $ 51.150.493,27 $ 562.655,43 $ 711.511,55 $ 148.856,12 $ 51.001.637,15
99 $ 51.001.637,15 $ 561.018,01 $ 711.511,55 $ 150.493,54 $ 50.851.143,60
100 $ 50.851.143,60 $ 559.362,58 $ 711.511,55 $ 152.148,97 $ 50.698.994,63
101 $ 50.698.994,63 $ 557.688,94 $ 711.511,55 $ 153.822,61 $ 50.545.172,03
102 $ 50.545.172,03 $ 555.996,89 $ 711.511,55 $ 155.514,66 $ 50.389.657,37
103 $ 50.389.657,37 $ 554.286,23 $ 711.511,55 $ 157.225,32 $ 50.232.432,05
104 $ 50.232.432,05 $ 552.556,75 $ 711.511,55 $ 158.954,80 $ 50.073.477,25
105 $ 50.073.477,25 $ 550.808,25 $ 711.511,55 $ 160.703,30 $ 49.912.773,96
106 $ 49.912.773,96 $ 549.040,51 $ 711.511,55 $ 162.471,04 $ 49.750.302,92
107 $ 49.750.302,92 $ 547.253,33 $ 711.511,55 $ 164.258,22 $ 49.586.044,70
108 $ 49.586.044,70 $ 545.446,49 $ 711.511,55 $ 166.065,06 $ 49.419.979,64
109 $ 49.419.979,64 $ 543.619,78 $ 711.511,55 $ 167.891,77 $ 49.252.087,87
110 $ 49.252.087,87 $ 541.772,97 $ 711.511,55 $ 169.738,58 $ 49.082.349,29
111 $ 49.082.349,29 $ 539.905,84 $ 711.511,55 $ 171.605,71 $ 48.910.743,58
112 $ 48.910.743,58 $ 538.018,18 $ 711.511,55 $ 173.493,37 $ 48.737.250,21
113 $ 48.737.250,21 $ 536.109,75 $ 711.511,55 $ 175.401,80 $ 48.561.848,41
114 $ 48.561.848,41 $ 534.180,33 $ 711.511,55 $ 177.331,22 $ 48.384.517,20
115 $ 48.384.517,20 $ 532.229,69 $ 711.511,55 $ 179.281,86 $ 48.205.235,34
116 $ 48.205.235,34 $ 530.257,59 $ 711.511,55 $ 181.253,96 $ 48.023.981,38
117 $ 48.023.981,38 $ 528.263,80 $ 711.511,55 $ 183.247,75 $ 47.840.733,62
118 $ 47.840.733,62 $ 526.248,07 $ 711.511,55 $ 185.263,48 $ 47.655.470,14
119 $ 47.655.470,14 $ 524.210,17 $ 711.511,55 $ 187.301,38 $ 47.468.168,77
120 $ 47.468.168,77 $ 522.149,86 $ 711.511,55 $ 189.361,69 $ 47.278.807,07
121 $ 47.278.807,07 $ 520.066,88 $ 711.511,55 $ 191.444,67 $ 47.087.362,40
122 $ 47.087.362,40 $ 517.960,99 $ 711.511,55 $ 193.550,56 $ 46.893.811,84
123 $ 46.893.811,84 $ 515.831,93 $ 711.511,55 $ 195.679,62 $ 46.698.132,22
124 $ 46.698.132,22 $ 513.679,45 $ 711.511,55 $ 197.832,09 $ 46.500.300,12
125 $ 46.500.300,12 $ 511.503,30 $ 711.511,55 $ 200.008,25 $ 46.300.291,88
126 $ 46.300.291,88 $ 509.303,21 $ 711.511,55 $ 202.208,34 $ 46.098.083,54
127 $ 46.098.083,54 $ 507.078,92 $ 711.511,55 $ 204.432,63 $ 45.893.650,91
128 $ 45.893.650,91 $ 504.830,16 $ 711.511,55 $ 206.681,39 $ 45.686.969,52
129 $ 45.686.969,52 $ 502.556,66 $ 711.511,55 $ 208.954,88 $ 45.478.014,63
130 $ 45.478.014,63 $ 500.258,16 $ 711.511,55 $ 211.253,39 $ 45.266.761,25
131 $ 45.266.761,25 $ 497.934,37 $ 711.511,55 $ 213.577,18 $ 45.053.184,07
132 $ 45.053.184,07 $ 495.585,02 $ 711.511,55 $ 215.926,52 $ 44.837.257,55
133 $ 44.837.257,55 $ 493.209,83 $ 711.511,55 $ 218.301,72 $ 44.618.955,83
134 $ 44.618.955,83 $ 490.808,51 $ 711.511,55 $ 220.703,04 $ 44.398.252,79
135 $ 44.398.252,79 $ 488.380,78 $ 711.511,55 $ 223.130,77 $ 44.175.122,03
136 $ 44.175.122,03 $ 485.926,34 $ 711.511,55 $ 225.585,21 $ 43.949.536,82
137 $ 43.949.536,82 $ 483.444,91 $ 711.511,55 $ 228.066,64 $ 43.721.470,17
138 $ 43.721.470,17 $ 480.936,17 $ 711.511,55 $ 230.575,38 $ 43.490.894,80
139 $ 43.490.894,80 $ 478.399,84 $ 711.511,55 $ 233.111,71 $ 43.257.783,09
140 $ 43.257.783,09 $ 475.835,61 $ 711.511,55 $ 235.675,94 $ 43.022.107,16
141 $ 43.022.107,16 $ 473.243,18 $ 711.511,55 $ 238.268,37 $ 42.783.838,78
142 $ 42.783.838,78 $ 470.622,23 $ 711.511,55 $ 240.889,32 $ 42.542.949,46
143 $ 42.542.949,46 $ 467.972,44 $ 711.511,55 $ 243.539,11 $ 42.299.410,36
144 $ 42.299.410,36 $ 465.293,51 $ 711.511,55 $ 246.218,04 $ 42.053.192,32
145 $ 42.053.192,32 $ 462.585,12 $ 711.511,55 $ 248.926,43 $ 41.804.265,89
146 $ 41.804.265,89 $ 459.846,92 $ 711.511,55 $ 251.664,62 $ 41.552.601,26
147 $ 41.552.601,26 $ 457.078,61 $ 711.511,55 $ 254.432,94 $ 41.298.168,33
148 $ 41.298.168,33 $ 454.279,85 $ 711.511,55 $ 257.231,70 $ 41.040.936,63
149 $ 41.040.936,63 $ 451.450,30 $ 711.511,55 $ 260.061,25 $ 40.780.875,38
150 $ 40.780.875,38 $ 448.589,63 $ 711.511,55 $ 262.921,92 $ 40.517.953,46
151 $ 40.517.953,46 $ 445.697,49 $ 711.511,55 $ 265.814,06 $ 40.252.139,40
152 $ 40.252.139,40 $ 442.773,53 $ 711.511,55 $ 268.738,02 $ 39.983.401,39
153 $ 39.983.401,39 $ 439.817,42 $ 711.511,55 $ 271.694,13 $ 39.711.707,25
154 $ 39.711.707,25 $ 436.828,78 $ 711.511,55 $ 274.682,77 $ 39.437.024,48
155 $ 39.437.024,48 $ 433.807,27 $ 711.511,55 $ 277.704,28 $ 39.159.320,20
156 $ 39.159.320,20 $ 430.752,52 $ 711.511,55 $ 280.759,03 $ 38.878.561,18
157 $ 38.878.561,18 $ 427.664,17 $ 711.511,55 $ 283.847,38 $ 38.594.713,80
158 $ 38.594.713,80 $ 424.541,85 $ 711.511,55 $ 286.969,70 $ 38.307.744,10
159 $ 38.307.744,10 $ 421.385,19 $ 711.511,55 $ 290.126,36 $ 38.017.617,74
160 $ 38.017.617,74 $ 418.193,80 $ 711.511,55 $ 293.317,75 $ 37.724.299,98
161 $ 37.724.299,98 $ 414.967,30 $ 711.511,55 $ 296.544,25 $ 37.427.755,73
162 $ 37.427.755,73 $ 411.705,31 $ 711.511,55 $ 299.806,24 $ 37.127.949,50
163 $ 37.127.949,50 $ 408.407,44 $ 711.511,55 $ 303.104,10 $ 36.824.845,39
164 $ 36.824.845,39 $ 405.073,30 $ 711.511,55 $ 306.438,25 $ 36.518.407,14
165 $ 36.518.407,14 $ 401.702,48 $ 711.511,55 $ 309.809,07 $ 36.208.598,07
166 $ 36.208.598,07 $ 398.294,58 $ 711.511,55 $ 313.216,97 $ 35.895.381,10
167 $ 35.895.381,10 $ 394.849,19 $ 711.511,55 $ 316.662,36 $ 35.578.718,75
168 $ 35.578.718,75 $ 391.365,91 $ 711.511,55 $ 320.145,64 $ 35.258.573,10
169 $ 35.258.573,10 $ 387.844,30 $ 711.511,55 $ 323.667,25 $ 34.934.905,86
170 $ 34.934.905,86 $ 384.283,96 $ 711.511,55 $ 327.227,58 $ 34.607.678,27
171 $ 34.607.678,27 $ 380.684,46 $ 711.511,55 $ 330.827,09 $ 34.276.851,18
172 $ 34.276.851,18 $ 377.045,36 $ 711.511,55 $ 334.466,19 $ 33.942.385,00
173 $ 33.942.385,00 $ 373.366,23 $ 711.511,55 $ 338.145,31 $ 33.604.239,68
174 $ 33.604.239,68 $ 369.646,64 $ 711.511,55 $ 341.864,91 $ 33.262.374,77
175 $ 33.262.374,77 $ 365.886,12 $ 711.511,55 $ 345.625,43 $ 32.916.749,34
176 $ 32.916.749,34 $ 362.084,24 $ 711.511,55 $ 349.427,31 $ 32.567.322,04
177 $ 32.567.322,04 $ 358.240,54 $ 711.511,55 $ 353.271,01 $ 32.214.051,03
178 $ 32.214.051,03 $ 354.354,56 $ 711.511,55 $ 357.156,99 $ 31.856.894,04
179 $ 31.856.894,04 $ 350.425,83 $ 711.511,55 $ 361.085,71 $ 31.495.808,33
180 $ 31.495.808,33 $ 346.453,89 $ 711.511,55 $ 365.057,66 $ 31.130.750,67
181 $ 31.130.750,67 $ 342.438,26 $ 711.511,55 $ 369.073,29 $ 30.761.677,38
182 $ 30.761.677,38 $ 338.378,45 $ 711.511,55 $ 373.133,10 $ 30.388.544,28
183 $ 30.388.544,28 $ 334.273,99 $ 711.511,55 $ 377.237,56 $ 30.011.306,72
184 $ 30.011.306,72 $ 330.124,37 $ 711.511,55 $ 381.387,18 $ 29.629.919,54
185 $ 29.629.919,54 $ 325.929,11 $ 711.511,55 $ 385.582,43 $ 29.244.337,11
186 $ 29.244.337,11 $ 321.687,71 $ 711.511,55 $ 389.823,84 $ 28.854.513,27
187 $ 28.854.513,27 $ 317.399,65 $ 711.511,55 $ 394.111,90 $ 28.460.401,36
188 $ 28.460.401,36 $ 313.064,41 $ 711.511,55 $ 398.447,13 $ 28.061.954,23
189 $ 28.061.954,23 $ 308.681,50 $ 711.511,55 $ 402.830,05 $ 27.659.124,18
190 $ 27.659.124,18 $ 304.250,37 $ 711.511,55 $ 407.261,18 $ 27.251.862,99
191 $ 27.251.862,99 $ 299.770,49 $ 711.511,55 $ 411.741,06 $ 26.840.121,94
192 $ 26.840.121,94 $ 295.241,34 $ 711.511,55 $ 416.270,21 $ 26.423.851,73
193 $ 26.423.851,73 $ 290.662,37 $ 711.511,55 $ 420.849,18 $ 26.003.002,55
194 $ 26.003.002,55 $ 286.033,03 $ 711.511,55 $ 425.478,52 $ 25.577.524,03
195 $ 25.577.524,03 $ 281.352,76 $ 711.511,55 $ 430.158,78 $ 25.147.365,24
196 $ 25.147.365,24 $ 276.621,02 $ 711.511,55 $ 434.890,53 $ 24.712.474,71
197 $ 24.712.474,71 $ 271.837,22 $ 711.511,55 $ 439.674,33 $ 24.272.800,38
198 $ 24.272.800,38 $ 267.000,80 $ 711.511,55 $ 444.510,75 $ 23.828.289,64
199 $ 23.828.289,64 $ 262.111,19 $ 711.511,55 $ 449.400,36 $ 23.378.889,27
200 $ 23.378.889,27 $ 257.167,78 $ 711.511,55 $ 454.343,77 $ 22.924.545,51
201 $ 22.924.545,51 $ 252.170,00 $ 711.511,55 $ 459.341,55 $ 22.465.203,96
202 $ 22.465.203,96 $ 247.117,24 $ 711.511,55 $ 464.394,31 $ 22.000.809,65
203 $ 22.000.809,65 $ 242.008,91 $ 711.511,55 $ 469.502,64 $ 21.531.307,01
204 $ 21.531.307,01 $ 236.844,38 $ 711.511,55 $ 474.667,17 $ 21.056.639,84
205 $ 21.056.639,84 $ 231.623,04 $ 711.511,55 $ 479.888,51 $ 20.576.751,33
206 $ 20.576.751,33 $ 226.344,26 $ 711.511,55 $ 485.167,28 $ 20.091.584,04
207 $ 20.091.584,04 $ 221.007,42 $ 711.511,55 $ 490.504,12 $ 19.601.079,92
208 $ 19.601.079,92 $ 215.611,88 $ 711.511,55 $ 495.899,67 $ 19.105.180,25
209 $ 19.105.180,25 $ 210.156,98 $ 711.511,55 $ 501.354,57 $ 18.603.825,68
210 $ 18.603.825,68 $ 204.642,08 $ 711.511,55 $ 506.869,47 $ 18.096.956,21
211 $ 18.096.956,21 $ 199.066,52 $ 711.511,55 $ 512.445,03 $ 17.584.511,18
212 $ 17.584.511,18 $ 193.429,62 $ 711.511,55 $ 518.081,93 $ 17.066.429,26
213 $ 17.066.429,26 $ 187.730,72 $ 711.511,55 $ 523.780,83 $ 16.542.648,43
214 $ 16.542.648,43 $ 181.969,13 $ 711.511,55 $ 529.542,42 $ 16.013.106,01
215 $ 16.013.106,01 $ 176.144,17 $ 711.511,55 $ 535.367,38 $ 15.477.738,63
216 $ 15.477.738,63 $ 170.255,12 $ 711.511,55 $ 541.256,42 $ 14.936.482,20
217 $ 14.936.482,20 $ 164.301,30 $ 711.511,55 $ 547.210,25 $ 14.389.271,96
218 $ 14.389.271,96 $ 158.281,99 $ 711.511,55 $ 553.229,56 $ 13.836.042,40
219 $ 13.836.042,40 $ 152.196,47 $ 711.511,55 $ 559.315,08 $ 13.276.727,32
220 $ 13.276.727,32 $ 146.044,00 $ 711.511,55 $ 565.467,55 $ 12.711.259,77
221 $ 12.711.259,77 $ 139.823,86 $ 711.511,55 $ 571.687,69 $ 12.139.572,08
222 $ 12.139.572,08 $ 133.535,29 $ 711.511,55 $ 577.976,26 $ 11.561.595,82
223 $ 11.561.595,82 $ 127.177,55 $ 711.511,55 $ 584.334,00 $ 10.977.261,83
224 $ 10.977.261,83 $ 120.749,88 $ 711.511,55 $ 590.761,67 $ 10.386.500,16
225 $ 10.386.500,16 $ 114.251,50 $ 711.511,55 $ 597.260,05 $ 9.789.240,11
226 $ 9.789.240,11 $ 107.681,64 $ 711.511,55 $ 603.829,91 $ 9.185.410,20
227 $ 9.185.410,20 $ 101.039,51 $ 711.511,55 $ 610.472,04 $ 8.574.938,16
228 $ 8.574.938,16 $ 94.324,32 $ 711.511,55 $ 617.187,23 $ 7.957.750,94
229 $ 7.957.750,94 $ 87.535,26 $ 711.511,55 $ 623.976,29 $ 7.333.774,65
230 $ 7.333.774,65 $ 80.671,52 $ 711.511,55 $ 630.840,03 $ 6.702.934,62
231 $ 6.702.934,62 $ 73.732,28 $ 711.511,55 $ 637.779,27 $ 6.065.155,35
232 $ 6.065.155,35 $ 66.716,71 $ 711.511,55 $ 644.794,84 $ 5.420.360,51
233 $ 5.420.360,51 $ 59.623,97 $ 711.511,55 $ 651.887,58 $ 4.768.472,93
234 $ 4.768.472,93 $ 52.453,20 $ 711.511,55 $ 659.058,35 $ 4.109.414,58
235 $ 4.109.414,58 $ 45.203,56 $ 711.511,55 $ 666.307,99 $ 3.443.106,59
236 $ 3.443.106,59 $ 37.874,17 $ 711.511,55 $ 673.637,38 $ 2.769.469,21
237 $ 2.769.469,21 $ 30.464,16 $ 711.511,55 $ 681.047,39 $ 2.088.421,82
238 $ 2.088.421,82 $ 22.972,64 $ 711.511,55 $ 688.538,91 $ 1.399.882,92
239 $ 1.399.882,92 $ 15.398,71 $ 711.511,55 $ 696.112,84 $ 703.770,08
240 $ 703.770,08 $ 7.741,47 $ 711.511,55 $ 703.770,08 $ 0,00
b) Cuota creciente $5000 mensual: Gradiente aritmético
60'000.000
0240
A
A+1'200.000
A+10000
A+5000
[
]
[ [
]]
[
]
Luego
Luego en la dirección de celda correspondiente al Cálculo de la Cuota creciente $5000 Mensuales se entra la fórmula de la siguiente manera
=(P-(GA)*(((1+i)^n)-1-n*i)/((i^2)*((1+i)^n)))*(((1+i)^n)*i)/(((1+i)^n)-1) La cual nos dará como resultado el valor de $350.623,46 correspondiente al valor de la cuota que se pagará durante cada uno de los periodos que dure la amortización del crédito. Una vez hecho el cálculo de la cuota procedemos a realizar la tabla de pagos la cual tiene la siguiente forma: Para una mejor ilustración y para verificar los valores de los resultados puede visitar la siguiente página http://albatros.uis.edu.co/cvecino/aritmetico.jsp
Tabla de Pagos
Periodo Saldo Inicial Interés Causado Cuota a Pagar Abono a Capital Saldo Final
0 $ 60.000.000,00
1 $ 60.000.000,00 $ 660.000,00 $ 473.466,18 $(186.533,82) $ 60.186.533,82
1 =F3 =F3*i =Presentacion!$B$16 =D4-C4 =F3-E4
Estas fórmulas se copian hasta la cuota 240, cuyo resultado se expresa en la siguiente tabla:
Periodo Saldo Inicial Interés Causado Cuota a Pagar Abono a Capital Saldo Final
0 $ 60.000.000,00
1 $ 60.000.000,00 $ 660.000,00 $ 473.466,18 $ (186.533,82) $ 60.186.533,82
2 $ 60.186.533,82 $ 662.051,87 $ 475.833,51 $ (186.218,36) $ 60.372.752,18
3 $ 60.372.752,18 $ 664.100,27 $ 478.212,68 $ (185.887,59) $ 60.558.639,77
4 $ 60.558.639,77 $ 666.145,04 $ 480.603,74 $ (185.541,29) $ 60.744.181,06
5 $ 60.744.181,06 $ 668.185,99 $ 483.006,76 $ (185.179,23) $ 60.929.360,29
6 $ 60.929.360,29 $ 670.222,96 $ 485.421,80 $ (184.801,17) $ 61.114.161,45
7 $ 61.114.161,45 $ 672.255,78 $ 487.848,91 $ (184.406,87) $ 61.298.568,32
8 $ 61.298.568,32 $ 674.284,25 $ 490.288,15 $ (183.996,10) $ 61.482.564,43
9 $ 61.482.564,43 $ 676.308,21 $ 492.739,59 $ (183.568,62) $ 61.666.133,04
10 $ 61.666.133,04 $ 678.327,46 $ 495.203,29 $ (183.124,17) $ 61.849.257,22
11 $ 61.849.257,22 $ 680.341,83 $ 497.679,31 $ (182.662,52) $ 62.031.919,74
12 $ 62.031.919,74 $ 682.351,12 $ 500.167,70 $ (182.183,41) $ 62.214.103,15
13 $ 62.214.103,15 $ 684.355,13 $ 502.668,54 $ (181.686,59) $ 62.395.789,75
14 $ 62.395.789,75 $ 686.353,69 $ 505.181,88 $ (181.171,80) $ 62.576.961,55
15 $ 62.576.961,55 $ 688.346,58 $ 507.707,79 $ (180.638,78) $ 62.757.600,34
16 $ 62.757.600,34 $ 690.333,60 $ 510.246,33 $ (180.087,27) $ 62.937.687,61
17 $ 62.937.687,61 $ 692.314,56 $ 512.797,56 $ (179.517,00) $ 63.117.204,61
18 $ 63.117.204,61 $ 694.289,25 $ 515.361,55 $ (178.927,70) $ 63.296.132,31
19 $ 63.296.132,31 $ 696.257,46 $ 517.938,36 $ (178.319,10) $ 63.474.451,40
20 $ 63.474.451,40 $ 698.218,97 $ 520.528,05 $ (177.690,91) $ 63.652.142,32
21 $ 63.652.142,32 $ 700.173,57 $ 523.130,69 $ (177.042,87) $ 63.829.185,19
22 $ 63.829.185,19 $ 702.121,04 $ 525.746,34 $ (176.374,69) $ 64.005.559,88
23 $ 64.005.559,88 $ 704.061,16 $ 528.375,08 $ (175.686,08) $ 64.181.245,97
24 $ 64.181.245,97 $ 705.993,71 $ 531.016,95 $ (174.976,75) $ 64.356.222,72
25 $ 64.356.222,72 $ 707.918,45 $ 533.672,04 $ (174.246,41) $ 64.530.469,13
26 $ 64.530.469,13 $ 709.835,16 $ 536.340,40 $ (173.494,76) $ 64.703.963,90
27 $ 64.703.963,90 $ 711.743,60 $ 539.022,10 $ (172.721,50) $ 64.876.685,40
28 $ 64.876.685,40 $ 713.643,54 $ 541.717,21 $ (171.926,33) $ 65.048.611,73
29 $ 65.048.611,73 $ 715.534,73 $ 544.425,80 $ (171.108,93) $ 65.219.720,66
30 $ 65.219.720,66 $ 717.416,93 $ 547.147,92 $ (170.269,00) $ 65.389.989,67
31 $ 65.389.989,67 $ 719.289,89 $ 549.883,66 $ (169.406,22) $ 65.559.395,89
32 $ 65.559.395,89 $ 721.153,35 $ 552.633,08 $ (168.520,27) $ 65.727.916,16
33 $ 65.727.916,16 $ 723.007,08 $ 555.396,25 $ (167.610,83) $ 65.895.526,99
34 $ 65.895.526,99 $ 724.850,80 $ 558.173,23 $ (166.677,57) $ 66.062.204,56
35 $ 66.062.204,56 $ 726.684,25 $ 560.964,10 $ (165.720,16) $ 66.227.924,71
36 $ 66.227.924,71 $ 728.507,17 $ 563.768,92 $ (164.738,26) $ 66.392.662,97
37 $ 66.392.662,97 $ 730.319,29 $ 566.587,76 $ (163.731,53) $ 66.556.394,50
38 $ 66.556.394,50 $ 732.120,34 $ 569.420,70 $ (162.699,64) $ 66.719.094,14
39 $ 66.719.094,14 $ 733.910,04 $ 572.267,80 $ (161.642,23) $ 66.880.736,38
40 $ 66.880.736,38 $ 735.688,10 $ 575.129,14 $ (160.558,96) $ 67.041.295,34
41 $ 67.041.295,34 $ 737.454,25 $ 578.004,79 $ (159.449,46) $ 67.200.744,80
42 $ 67.200.744,80 $ 739.208,19 $ 580.894,81 $ (158.313,38) $ 67.359.058,18
43 $ 67.359.058,18 $ 740.949,64 $ 583.799,29 $ (157.150,35) $ 67.516.208,53
44 $ 67.516.208,53 $ 742.678,29 $ 586.718,28 $ (155.960,01) $ 67.672.168,55
45 $ 67.672.168,55 $ 744.393,85 $ 589.651,87 $ (154.741,98) $ 67.826.910,53
46 $ 67.826.910,53 $ 746.096,02 $ 592.600,13 $ (153.495,88) $ 67.980.406,41
47 $ 67.980.406,41 $ 747.784,47 $ 595.563,13 $ (152.221,34) $ 68.132.627,75
48 $ 68.132.627,75 $ 749.458,91 $ 598.540,95 $ (150.917,96) $ 68.283.545,70
49 $ 68.283.545,70 $ 751.119,00 $ 601.533,65 $ (149.585,35) $ 68.433.131,05
50 $ 68.433.131,05 $ 752.764,44 $ 604.541,32 $ (148.223,12) $ 68.581.354,17
51 $ 68.581.354,17 $ 754.394,90 $ 607.564,03 $ (146.830,87) $ 68.728.185,04
52 $ 68.728.185,04 $ 756.010,04 $ 610.601,85 $ (145.408,19) $ 68.873.593,23
53 $ 68.873.593,23 $ 757.609,53 $ 613.654,86 $ (143.954,67) $ 69.017.547,90
54 $ 69.017.547,90 $ 759.193,03 $ 616.723,13 $ (142.469,89) $ 69.160.017,79
55 $ 69.160.017,79 $ 760.760,20 $ 619.806,75 $ (140.953,45) $ 69.300.971,24
56 $ 69.300.971,24 $ 762.310,68 $ 622.905,78 $ (139.404,90) $ 69.440.376,14
57 $ 69.440.376,14 $ 763.844,14 $ 626.020,31 $ (137.823,83) $ 69.578.199,97
58 $ 69.578.199,97 $ 765.360,20 $ 629.150,41 $ (136.209,79) $ 69.714.409,76
59 $ 69.714.409,76 $ 766.858,51 $ 632.296,16 $ (134.562,34) $ 69.848.972,10
60 $ 69.848.972,10 $ 768.338,69 $ 635.457,64 $ (132.881,05) $ 69.981.853,15
61 $ 69.981.853,15 $ 769.800,38 $ 638.634,93 $ (131.165,45) $ 70.113.018,60
62 $ 70.113.018,60 $ 771.243,20 $ 641.828,11 $ (129.415,10) $ 70.242.433,70
63 $ 70.242.433,70 $ 772.666,77 $ 645.037,25 $ (127.629,52) $ 70.370.063,22
64 $ 70.370.063,22 $ 774.070,70 $ 648.262,43 $ (125.808,26) $ 70.495.871,48
65 $ 70.495.871,48 $ 775.454,59 $ 651.503,75 $ (123.950,84) $ 70.619.822,32
66 $ 70.619.822,32 $ 776.818,05 $ 654.761,27 $ (122.056,78) $ 70.741.879,10
67 $ 70.741.879,10 $ 778.160,67 $ 658.035,07 $ (120.125,60) $ 70.862.004,70
68 $ 70.862.004,70 $ 779.482,05 $ 661.325,25 $ (118.156,80) $ 70.980.161,50
69 $ 70.980.161,50 $ 780.781,78 $ 664.631,87 $ (116.149,90) $ 71.096.311,41
70 $ 71.096.311,41 $ 782.059,43 $ 667.955,03 $ (114.104,39) $ 71.210.415,80
71 $ 71.210.415,80 $ 783.314,57 $ 671.294,81 $ (112.019,77) $ 71.322.435,57
72 $ 71.322.435,57 $ 784.546,79 $ 674.651,28 $ (109.895,51) $ 71.432.331,07
73 $ 71.432.331,07 $ 785.755,64 $ 678.024,54 $ (107.731,10) $ 71.540.062,18
74 $ 71.540.062,18 $ 786.940,68 $ 681.414,66 $ (105.526,02) $ 71.645.588,20
75 $ 71.645.588,20 $ 788.101,47 $ 684.821,73 $ (103.279,74) $ 71.748.867,94
76 $ 71.748.867,94 $ 789.237,55 $ 688.245,84 $ (100.991,70) $ 71.849.859,64
77 $ 71.849.859,64 $ 790.348,46 $ 691.687,07 $ (98.661,38) $ 71.948.521,03
78 $ 71.948.521,03 $ 791.433,73 $ 695.145,51 $ (96.288,22) $ 72.044.809,25
79 $ 72.044.809,25 $ 792.492,90 $ 698.621,23 $ (93.871,67) $ 72.138.680,92
80 $ 72.138.680,92 $ 793.525,49 $ 702.114,34 $ (91.411,15) $ 72.230.092,07
81 $ 72.230.092,07 $ 794.531,01 $ 705.624,91 $ (88.906,10) $ 72.318.998,17
82 $ 72.318.998,17 $ 795.508,98 $ 709.153,04 $ (86.355,94) $ 72.405.354,11
83 $ 72.405.354,11 $ 796.458,90 $ 712.698,80 $ (83.760,09) $ 72.489.114,20
84 $ 72.489.114,20 $ 797.380,26 $ 716.262,30 $ (81.117,96) $ 72.570.232,16
85 $ 72.570.232,16 $ 798.272,55 $ 719.843,61 $ (78.428,95) $ 72.648.661,11
86 $ 72.648.661,11 $ 799.135,27 $ 723.442,83 $ (75.692,45) $ 72.724.353,55
87 $ 72.724.353,55 $ 799.967,89 $ 727.060,04 $ (72.907,85) $ 72.797.261,40
88 $ 72.797.261,40 $ 800.769,88 $ 730.695,34 $ (70.074,53) $ 72.867.335,94
89 $ 72.867.335,94 $ 801.540,70 $ 734.348,82 $ (67.191,88) $ 72.934.527,81
90 $ 72.934.527,81 $ 802.279,81 $ 738.020,56 $ (64.259,24) $ 72.998.787,06
91 $ 72.998.787,06 $ 802.986,66 $ 741.710,66 $ (61.275,99) $ 73.060.063,05
92 $ 73.060.063,05 $ 803.660,69 $ 745.419,22 $ (58.241,48) $ 73.118.304,53
93 $ 73.118.304,53 $ 804.301,35 $ 749.146,31 $ (55.155,04) $ 73.173.459,56
94 $ 73.173.459,56 $ 804.908,06 $ 752.892,05 $ (52.016,01) $ 73.225.475,57
95 $ 73.225.475,57 $ 805.480,23 $ 756.656,51 $ (48.823,73) $ 73.274.299,30
96 $ 73.274.299,30 $ 806.017,29 $ 760.439,79 $ (45.577,50) $ 73.319.876,80
97 $ 73.319.876,80 $ 806.518,64 $ 764.241,99 $ (42.276,66) $ 73.362.153,46
98 $ 73.362.153,46 $ 806.983,69 $ 768.063,20 $ (38.920,49) $ 73.401.073,95
99 $ 73.401.073,95 $ 807.411,81 $ 771.903,51 $ (35.508,30) $ 73.436.582,26
100 $ 73.436.582,26 $ 807.802,40 $ 775.763,03 $ (32.039,37) $ 73.468.621,63
101 $ 73.468.621,63 $ 808.154,84 $ 779.641,85 $ (28.512,99) $ 73.497.134,62
102 $ 73.497.134,62 $ 808.468,48 $ 783.540,05 $ (24.928,43) $ 73.522.063,05
103 $ 73.522.063,05 $ 808.742,69 $ 787.457,75 $ (21.284,94) $ 73.543.347,99
104 $ 73.543.347,99 $ 808.976,83 $ 791.395,04 $ (17.581,78) $ 73.560.929,77
105 $ 73.560.929,77 $ 809.170,23 $ 795.352,02 $ (13.818,21) $ 73.574.747,98
106 $ 73.574.747,98 $ 809.322,23 $ 799.328,78 $ (9.993,45) $ 73.584.741,43
107 $ 73.584.741,43 $ 809.432,16 $ 803.325,42 $ (6.106,73) $ 73.590.848,16
108 $ 73.590.848,16 $ 809.499,33 $ 807.342,05 $ (2.157,28) $ 73.593.005,44
109 $ 73.593.005,44 $ 809.523,06 $ 811.378,76 $ 1.855,70 $ 73.591.149,74
110 $ 73.591.149,74 $ 809.502,65 $ 815.435,65 $ 5.933,01 $ 73.585.216,73
111 $ 73.585.216,73 $ 809.437,38 $ 819.512,83 $ 10.075,45 $ 73.575.141,29
112 $ 73.575.141,29 $ 809.326,55 $ 823.610,40 $ 14.283,84 $ 73.560.857,44
113 $ 73.560.857,44 $ 809.169,43 $ 827.728,45 $ 18.559,02 $ 73.542.298,43
114 $ 73.542.298,43 $ 808.965,28 $ 831.867,09 $ 22.901,81 $ 73.519.396,62
115 $ 73.519.396,62 $ 808.713,36 $ 836.026,43 $ 27.313,06 $ 73.492.083,56
116 $ 73.492.083,56 $ 808.412,92 $ 840.206,56 $ 31.793,64 $ 73.460.289,92
117 $ 73.460.289,92 $ 808.063,19 $ 844.407,59 $ 36.344,40 $ 73.423.945,52
118 $ 73.423.945,52 $ 807.663,40 $ 848.629,63 $ 40.966,23 $ 73.382.979,29
119 $ 73.382.979,29 $ 807.212,77 $ 852.872,78 $ 45.660,00 $ 73.337.319,28
120 $ 73.337.319,28 $ 806.710,51 $ 857.137,14 $ 50.426,63 $ 73.286.892,65
121 $ 73.286.892,65 $ 806.155,82 $ 861.422,83 $ 55.267,01 $ 73.231.625,65
122 $ 73.231.625,65 $ 805.547,88 $ 865.729,94 $ 60.182,06 $ 73.171.443,59
123 $ 73.171.443,59 $ 804.885,88 $ 870.058,59 $ 65.172,71 $ 73.106.270,88
124 $ 73.106.270,88 $ 804.168,98 $ 874.408,88 $ 70.239,90 $ 73.036.030,97
125 $ 73.036.030,97 $ 803.396,34 $ 878.780,93 $ 75.384,59 $ 72.960.646,38
126 $ 72.960.646,38 $ 802.567,11 $ 883.174,83 $ 80.607,72 $ 72.880.038,66
127 $ 72.880.038,66 $ 801.680,43 $ 887.590,71 $ 85.910,28 $ 72.794.128,38
128 $ 72.794.128,38 $ 800.735,41 $ 892.028,66 $ 91.293,25 $ 72.702.835,13
129 $ 72.702.835,13 $ 799.731,19 $ 896.488,80 $ 96.757,62 $ 72.606.077,52
130 $ 72.606.077,52 $ 798.666,85 $ 900.971,25 $ 102.304,39 $ 72.503.773,12
131 $ 72.503.773,12 $ 797.541,50 $ 905.476,10 $ 107.934,60 $ 72.395.838,52
132 $ 72.395.838,52 $ 796.354,22 $ 910.003,48 $ 113.649,26 $ 72.282.189,26
133 $ 72.282.189,26 $ 795.104,08 $ 914.553,50 $ 119.449,42 $ 72.162.739,84
134 $ 72.162.739,84 $ 793.790,14 $ 919.126,27 $ 125.336,13 $ 72.037.403,71
135 $ 72.037.403,71 $ 792.411,44 $ 923.721,90 $ 131.310,46 $ 71.906.093,25
136 $ 71.906.093,25 $ 790.967,03 $ 928.340,51 $ 137.373,48 $ 71.768.719,77
137 $ 71.768.719,77 $ 789.455,92 $ 932.982,21 $ 143.526,30 $ 71.625.193,47
138 $ 71.625.193,47 $ 787.877,13 $ 937.647,12 $ 149.770,00 $ 71.475.423,47
139 $ 71.475.423,47 $ 786.229,66 $ 942.335,36 $ 156.105,70 $ 71.319.317,77
140 $ 71.319.317,77 $ 784.512,50 $ 947.047,04 $ 162.534,54 $ 71.156.783,23
141 $ 71.156.783,23 $ 782.724,62 $ 951.782,27 $ 169.057,66 $ 70.987.725,58
142 $ 70.987.725,58 $ 780.864,98 $ 956.541,18 $ 175.676,20 $ 70.812.049,38
143 $ 70.812.049,38 $ 778.932,54 $ 961.323,89 $ 182.391,35 $ 70.629.658,03
144 $ 70.629.658,03 $ 776.926,24 $ 966.130,51 $ 189.204,27 $ 70.440.453,76
145 $ 70.440.453,76 $ 774.844,99 $ 970.961,16 $ 196.116,17 $ 70.244.337,59
146 $ 70.244.337,59 $ 772.687,71 $ 975.815,97 $ 203.128,25 $ 70.041.209,34
147 $ 70.041.209,34 $ 770.453,30 $ 980.695,05 $ 210.241,74 $ 69.830.967,59
148 $ 69.830.967,59 $ 768.140,64 $ 985.598,52 $ 217.457,88 $ 69.613.509,72
149 $ 69.613.509,72 $ 765.748,61 $ 990.526,51 $ 224.777,91 $ 69.388.731,81
150 $ 69.388.731,81 $ 763.276,05 $ 995.479,15 $ 232.203,10 $ 69.156.528,71
151 $ 69.156.528,71 $ 760.721,82 $ 1.000.456,54 $ 239.734,73 $ 68.916.793,99
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153 $ 68.669.419,89 $ 755.363,62 $ 1.010.486,12 $ 255.122,50 $ 68.414.297,39
154 $ 68.414.297,39 $ 752.557,27 $ 1.015.538,55 $ 262.981,28 $ 68.151.316,12
155 $ 68.151.316,12 $ 749.664,48 $ 1.020.616,24 $ 270.951,77 $ 67.880.364,35
156 $ 67.880.364,35 $ 746.684,01 $ 1.025.719,32 $ 279.035,32 $ 67.601.329,03
157 $ 67.601.329,03 $ 743.614,62 $ 1.030.847,92 $ 287.233,30 $ 67.314.095,73
158 $ 67.314.095,73 $ 740.455,05 $ 1.036.002,16 $ 295.547,11 $ 67.018.548,63
159 $ 67.018.548,63 $ 737.204,03 $ 1.041.182,17 $ 303.978,14 $ 66.714.570,49
160 $ 66.714.570,49 $ 733.860,28 $ 1.046.388,08 $ 312.527,81 $ 66.402.042,68
161 $ 66.402.042,68 $ 730.422,47 $ 1.051.620,02 $ 321.197,55 $ 66.080.845,13
162 $ 66.080.845,13 $ 726.889,30 $ 1.056.878,12 $ 329.988,83 $ 65.750.856,31
163 $ 65.750.856,31 $ 723.259,42 $ 1.062.162,51 $ 338.903,09 $ 65.411.953,21
164 $ 65.411.953,21 $ 719.531,49 $ 1.067.473,33 $ 347.941,84 $ 65.064.011,37
165 $ 65.064.011,37 $ 715.704,13 $ 1.072.810,69 $ 357.106,57 $ 64.706.904,81
166 $ 64.706.904,81 $ 711.775,95 $ 1.078.174,75 $ 366.398,79 $ 64.340.506,01
167 $ 64.340.506,01 $ 707.745,57 $ 1.083.565,62 $ 375.820,05 $ 63.964.685,96
168 $ 63.964.685,96 $ 703.611,55 $ 1.088.983,45 $ 385.371,90 $ 63.579.314,06
169 $ 63.579.314,06 $ 699.372,45 $ 1.094.428,36 $ 395.055,91 $ 63.184.258,15
170 $ 63.184.258,15 $ 695.026,84 $ 1.099.900,51 $ 404.873,67 $ 62.779.384,48
171 $ 62.779.384,48 $ 690.573,23 $ 1.105.400,01 $ 414.826,78 $ 62.364.557,70
172 $ 62.364.557,70 $ 686.010,13 $ 1.110.927,01 $ 424.916,87 $ 61.939.640,83
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177 $ 60.136.274,81 $ 661.499,02 $ 1.138.979,31 $ 477.480,29 $ 59.658.794,52
178 $ 59.658.794,52 $ 656.246,74 $ 1.144.674,20 $ 488.427,46 $ 59.170.367,06
179 $ 59.170.367,06 $ 650.874,04 $ 1.150.397,58 $ 499.523,54 $ 58.670.843,52
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199 $ 46.860.040,15 $ 515.460,44 $ 1.271.069,19 $ 755.608,75 $ 46.104.431,40
200 $ 46.104.431,40 $ 507.148,75 $ 1.277.424,54 $ 770.275,79 $ 45.334.155,61
201 $ 45.334.155,61 $ 498.675,71 $ 1.283.811,66 $ 785.135,95 $ 44.549.019,65
202 $ 44.549.019,65 $ 490.039,22 $ 1.290.230,72 $ 800.191,50 $ 43.748.828,15
203 $ 43.748.828,15 $ 481.237,11 $ 1.296.681,87 $ 815.444,76 $ 42.933.383,39
204 $ 42.933.383,39 $ 472.267,22 $ 1.303.165,28 $ 830.898,07 $ 42.102.485,32
205 $ 42.102.485,32 $ 463.127,34 $ 1.309.681,11 $ 846.553,77 $ 41.255.931,55
206 $ 41.255.931,55 $ 453.815,25 $ 1.316.229,52 $ 862.414,27 $ 40.393.517,28
207 $ 40.393.517,28 $ 444.328,69 $ 1.322.810,66 $ 878.481,97 $ 39.515.035,31
208 $ 39.515.035,31 $ 434.665,39 $ 1.329.424,72 $ 894.759,33 $ 38.620.275,98
209 $ 38.620.275,98 $ 424.823,04 $ 1.336.071,84 $ 911.248,80 $ 37.709.027,18
210 $ 37.709.027,18 $ 414.799,30 $ 1.342.752,20 $ 927.952,90 $ 36.781.074,28
211 $ 36.781.074,28 $ 404.591,82 $ 1.349.465,96 $ 944.874,14 $ 35.836.200,14
212 $ 35.836.200,14 $ 394.198,20 $ 1.356.213,29 $ 962.015,09 $ 34.874.185,05
213 $ 34.874.185,05 $ 383.616,04 $ 1.362.994,36 $ 979.378,32 $ 33.894.806,73
214 $ 33.894.806,73 $ 372.842,87 $ 1.369.809,33 $ 996.966,45 $ 32.897.840,27
215 $ 32.897.840,27 $ 361.876,24 $ 1.376.658,37 $ 1.014.782,13 $ 31.883.058,14
216 $ 31.883.058,14 $ 350.713,64 $ 1.383.541,67 $ 1.032.828,03 $ 30.850.230,11
217 $ 30.850.230,11 $ 339.352,53 $ 1.390.459,37 $ 1.051.106,84 $ 29.799.123,27
218 $ 29.799.123,27 $ 327.790,36 $ 1.397.411,67 $ 1.069.621,32 $ 28.729.501,96
219 $ 28.729.501,96 $ 316.024,52 $ 1.404.398,73 $ 1.088.374,21 $ 27.641.127,75
220 $ 27.641.127,75 $ 304.052,41 $ 1.411.420,72 $ 1.107.368,32 $ 26.533.759,43
221 $ 26.533.759,43 $ 291.871,35 $ 1.418.477,83 $ 1.126.606,47 $ 25.407.152,96
222 $ 25.407.152,96 $ 279.478,68 $ 1.425.570,22 $ 1.146.091,53 $ 24.261.061,42
223 $ 24.261.061,42 $ 266.871,68 $ 1.432.698,07 $ 1.165.826,39 $ 23.095.235,03
224 $ 23.095.235,03 $ 254.047,59 $ 1.439.861,56 $ 1.185.813,97 $ 21.909.421,06
225 $ 21.909.421,06 $ 241.003,63 $ 1.447.060,87 $ 1.206.057,23 $ 20.703.363,82
226 $ 20.703.363,82 $ 227.737,00 $ 1.454.296,17 $ 1.226.559,17 $ 19.476.804,66
227 $ 19.476.804,66 $ 214.244,85 $ 1.461.567,65 $ 1.247.322,80 $ 18.229.481,86
228 $ 18.229.481,86 $ 200.524,30 $ 1.468.875,49 $ 1.268.351,19 $ 16.961.130,67
229 $ 16.961.130,67 $ 186.572,44 $ 1.476.219,87 $ 1.289.647,43 $ 15.671.483,24
230 $ 15.671.483,24 $ 172.386,32 $ 1.483.600,97 $ 1.311.214,65 $ 14.360.268,59
231 $ 14.360.268,59 $ 157.962,95 $ 1.491.018,97 $ 1.333.056,02 $ 13.027.212,57
232 $ 13.027.212,57 $ 143.299,34 $ 1.498.474,07 $ 1.355.174,73 $ 11.672.037,85
233 $ 11.672.037,85 $ 128.392,42 $ 1.505.966,44 $ 1.377.574,02 $ 10.294.463,83
234 $ 10.294.463,83 $ 113.239,10 $ 1.513.496,27 $ 1.400.257,17 $ 8.894.206,66
235 $ 8.894.206,66 $ 97.836,27 $ 1.521.063,75 $ 1.423.227,48 $ 7.470.979,18
236 $ 7.470.979,18 $ 82.180,77 $ 1.528.669,07 $ 1.446.488,30 $ 6.024.490,89
237 $ 6.024.490,89 $ 66.269,40 $ 1.536.312,41 $ 1.470.043,01 $ 4.554.447,87
238 $ 4.554.447,87 $ 50.098,93 $ 1.543.993,98 $ 1.493.895,05 $ 3.060.552,82
239 $ 3.060.552,82 $ 33.666,08 $ 1.551.713,95 $ 1.518.047,86 $ 1.542.504,96
240 $ 1.542.504,96 $ 16.967,55 $ 1.559.472,51 $ 1.542.504,96 $ 0,00
c) Cuota creciente 0.5% mensual: Gradiente geométrico
60'000.000
0240
Aplicando la fórmula:
[
]
Reemplazando:
[
]
Obteniéndose:
Luego en la dirección de celda correspondiente al Cálculo de la Cuota creciente 0.5% mensual, Gradiente geométrico se entra la fórmula de la siguiente manera
=(P*((1+i)^n*(i-GG)))/((1+i)^n-(1+GG)^n) La cual nos dará como resultado el valor de $473.466,18 correspondiente al valor de la cuota que se pagará durante cada uno de los periodos que dure la amortización del crédito. Una vez hecho el cálculo de la cuota procedemos a realizar la tabla de pagos la cual tiene la siguiente forma: Para una mejor ilustración y para verificar los valores de los resultados puede visitar la siguiente página http://albatros.uis.edu.co/cvecino/geometrico.jsp
Tabla de Pagos
Periodo Saldo Inicial Interés Causado Cuota a Pagar Abono a Capital Saldo Final
0 $ 60.000.000,00
1 $ 60.000.000,00 $ 660.000,00 $473.466,18 $(186.533,82) $ 60.186.533,82
1 =F3 =F3*i =Presentacion!$B$16 =D4-C4 =F3-E4
Estas fórmulas se copian hasta la cuota 240 cuyo resultado se expresa en la siguiente tabla:
Periodo Saldo Inicial Interés Causado Cuota a Pagar Abono a Capital Saldo Final
0 $ 60.000.000,00
1 $ 60.000.000,00 $ 660.000,00 $ 473.466,18 $ (186.533,82) $ 60.186.533,82
2 $ 60.186.533,82 $ 662.051,87 $ 475.833,51 $ (186.218,36) $ 60.372.752,18
3 $ 60.372.752,18 $ 664.100,27 $ 478.212,68 $ (185.887,59) $ 60.558.639,77
4 $ 60.558.639,77 $ 666.145,04 $ 480.603,74 $ (185.541,29) $ 60.744.181,06
5 $ 60.744.181,06 $ 668.185,99 $ 483.006,76 $ (185.179,23) $ 60.929.360,29
6 $ 60.929.360,29 $ 670.222,96 $ 485.421,80 $ (184.801,17) $ 61.114.161,45
7 $ 61.114.161,45 $ 672.255,78 $ 487.848,91 $ (184.406,87) $ 61.298.568,32
8 $ 61.298.568,32 $ 674.284,25 $ 490.288,15 $ (183.996,10) $ 61.482.564,43
9 $ 61.482.564,43 $ 676.308,21 $ 492.739,59 $ (183.568,62) $ 61.666.133,04
10 $ 61.666.133,04 $ 678.327,46 $ 495.203,29 $ (183.124,17) $ 61.849.257,22
11 $ 61.849.257,22 $ 680.341,83 $ 497.679,31 $ (182.662,52) $ 62.031.919,74
12 $ 62.031.919,74 $ 682.351,12 $ 500.167,70 $ (182.183,41) $ 62.214.103,15
13 $ 62.214.103,15 $ 684.355,13 $ 502.668,54 $ (181.686,59) $ 62.395.789,75
14 $ 62.395.789,75 $ 686.353,69 $ 505.181,88 $ (181.171,80) $ 62.576.961,55
15 $ 62.576.961,55 $ 688.346,58 $ 507.707,79 $ (180.638,78) $ 62.757.600,34
16 $ 62.757.600,34 $ 690.333,60 $ 510.246,33 $ (180.087,27) $ 62.937.687,61
17 $ 62.937.687,61 $ 692.314,56 $ 512.797,56 $ (179.517,00) $ 63.117.204,61
18 $ 63.117.204,61 $ 694.289,25 $ 515.361,55 $ (178.927,70) $ 63.296.132,31
19 $ 63.296.132,31 $ 696.257,46 $ 517.938,36 $ (178.319,10) $ 63.474.451,40
20 $ 63.474.451,40 $ 698.218,97 $ 520.528,05 $ (177.690,91) $ 63.652.142,32
21 $ 63.652.142,32 $ 700.173,57 $ 523.130,69 $ (177.042,87) $ 63.829.185,19
22 $ 63.829.185,19 $ 702.121,04 $ 525.746,34 $ (176.374,69) $ 64.005.559,88
23 $ 64.005.559,88 $ 704.061,16 $ 528.375,08 $ (175.686,08) $ 64.181.245,97
24 $ 64.181.245,97 $ 705.993,71 $ 531.016,95 $ (174.976,75) $ 64.356.222,72
25 $ 64.356.222,72 $ 707.918,45 $ 533.672,04 $ (174.246,41) $ 64.530.469,13
26 $ 64.530.469,13 $ 709.835,16 $ 536.340,40 $ (173.494,76) $ 64.703.963,90
27 $ 64.703.963,90 $ 711.743,60 $ 539.022,10 $ (172.721,50) $ 64.876.685,40
28 $ 64.876.685,40 $ 713.643,54 $ 541.717,21 $ (171.926,33) $ 65.048.611,73
29 $ 65.048.611,73 $ 715.534,73 $ 544.425,80 $ (171.108,93) $ 65.219.720,66
30 $ 65.219.720,66 $ 717.416,93 $ 547.147,92 $ (170.269,00) $ 65.389.989,67
31 $ 65.389.989,67 $ 719.289,89 $ 549.883,66 $ (169.406,22) $ 65.559.395,89
32 $ 65.559.395,89 $ 721.153,35 $ 552.633,08 $ (168.520,27) $ 65.727.916,16
33 $ 65.727.916,16 $ 723.007,08 $ 555.396,25 $ (167.610,83) $ 65.895.526,99
34 $ 65.895.526,99 $ 724.850,80 $ 558.173,23 $ (166.677,57) $ 66.062.204,56
35 $ 66.062.204,56 $ 726.684,25 $ 560.964,10 $ (165.720,16) $ 66.227.924,71
36 $ 66.227.924,71 $ 728.507,17 $ 563.768,92 $ (164.738,26) $ 66.392.662,97
37 $ 66.392.662,97 $ 730.319,29 $ 566.587,76 $ (163.731,53) $ 66.556.394,50
38 $ 66.556.394,50 $ 732.120,34 $ 569.420,70 $ (162.699,64) $ 66.719.094,14
39 $ 66.719.094,14 $ 733.910,04 $ 572.267,80 $ (161.642,23) $ 66.880.736,38
40 $ 66.880.736,38 $ 735.688,10 $ 575.129,14 $ (160.558,96) $ 67.041.295,34
41 $ 67.041.295,34 $ 737.454,25 $ 578.004,79 $ (159.449,46) $ 67.200.744,80
42 $ 67.200.744,80 $ 739.208,19 $ 580.894,81 $ (158.313,38) $ 67.359.058,18
43 $ 67.359.058,18 $ 740.949,64 $ 583.799,29 $ (157.150,35) $ 67.516.208,53
44 $ 67.516.208,53 $ 742.678,29 $ 586.718,28 $ (155.960,01) $ 67.672.168,55
45 $ 67.672.168,55 $ 744.393,85 $ 589.651,87 $ (154.741,98) $ 67.826.910,53
46 $ 67.826.910,53 $ 746.096,02 $ 592.600,13 $ (153.495,88) $ 67.980.406,41
47 $ 67.980.406,41 $ 747.784,47 $ 595.563,13 $ (152.221,34) $ 68.132.627,75
48 $ 68.132.627,75 $ 749.458,91 $ 598.540,95 $ (150.917,96) $ 68.283.545,70
49 $ 68.283.545,70 $ 751.119,00 $ 601.533,65 $ (149.585,35) $ 68.433.131,05
50 $ 68.433.131,05 $ 752.764,44 $ 604.541,32 $ (148.223,12) $ 68.581.354,17
51 $ 68.581.354,17 $ 754.394,90 $ 607.564,03 $ (146.830,87) $ 68.728.185,04
52 $ 68.728.185,04 $ 756.010,04 $ 610.601,85 $ (145.408,19) $ 68.873.593,23
53 $ 68.873.593,23 $ 757.609,53 $ 613.654,86 $ (143.954,67) $ 69.017.547,90
54 $ 69.017.547,90 $ 759.193,03 $ 616.723,13 $ (142.469,89) $ 69.160.017,79
55 $ 69.160.017,79 $ 760.760,20 $ 619.806,75 $ (140.953,45) $ 69.300.971,24
56 $ 69.300.971,24 $ 762.310,68 $ 622.905,78 $ (139.404,90) $ 69.440.376,14
57 $ 69.440.376,14 $ 763.844,14 $ 626.020,31 $ (137.823,83) $ 69.578.199,97
58 $ 69.578.199,97 $ 765.360,20 $ 629.150,41 $ (136.209,79) $ 69.714.409,76
59 $ 69.714.409,76 $ 766.858,51 $ 632.296,16 $ (134.562,34) $ 69.848.972,10
60 $ 69.848.972,10 $ 768.338,69 $ 635.457,64 $ (132.881,05) $ 69.981.853,15
61 $ 69.981.853,15 $ 769.800,38 $ 638.634,93 $ (131.165,45) $ 70.113.018,60
62 $ 70.113.018,60 $ 771.243,20 $ 641.828,11 $ (129.415,10) $ 70.242.433,70
63 $ 70.242.433,70 $ 772.666,77 $ 645.037,25 $ (127.629,52) $ 70.370.063,22
64 $ 70.370.063,22 $ 774.070,70 $ 648.262,43 $ (125.808,26) $ 70.495.871,48
65 $ 70.495.871,48 $ 775.454,59 $ 651.503,75 $ (123.950,84) $ 70.619.822,32
66 $ 70.619.822,32 $ 776.818,05 $ 654.761,27 $ (122.056,78) $ 70.741.879,10
67 $ 70.741.879,10 $ 778.160,67 $ 658.035,07 $ (120.125,60) $ 70.862.004,70
68 $ 70.862.004,70 $ 779.482,05 $ 661.325,25 $ (118.156,80) $ 70.980.161,50
69 $ 70.980.161,50 $ 780.781,78 $ 664.631,87 $ (116.149,90) $ 71.096.311,41
70 $ 71.096.311,41 $ 782.059,43 $ 667.955,03 $ (114.104,39) $ 71.210.415,80
71 $ 71.210.415,80 $ 783.314,57 $ 671.294,81 $ (112.019,77) $ 71.322.435,57
72 $ 71.322.435,57 $ 784.546,79 $ 674.651,28 $ (109.895,51) $ 71.432.331,07
73 $ 71.432.331,07 $ 785.755,64 $ 678.024,54 $ (107.731,10) $ 71.540.062,18
74 $ 71.540.062,18 $ 786.940,68 $ 681.414,66 $ (105.526,02) $ 71.645.588,20
75 $ 71.645.588,20 $ 788.101,47 $ 684.821,73 $ (103.279,74) $ 71.748.867,94
76 $ 71.748.867,94 $ 789.237,55 $ 688.245,84 $ (100.991,70) $ 71.849.859,64
77 $ 71.849.859,64 $ 790.348,46 $ 691.687,07 $ (98.661,38) $ 71.948.521,03
78 $ 71.948.521,03 $ 791.433,73 $ 695.145,51 $ (96.288,22) $ 72.044.809,25
79 $ 72.044.809,25 $ 792.492,90 $ 698.621,23 $ (93.871,67) $ 72.138.680,92
80 $ 72.138.680,92 $ 793.525,49 $ 702.114,34 $ (91.411,15) $ 72.230.092,07
81 $ 72.230.092,07 $ 794.531,01 $ 705.624,91 $ (88.906,10) $ 72.318.998,17
82 $ 72.318.998,17 $ 795.508,98 $ 709.153,04 $ (86.355,94) $ 72.405.354,11
83 $ 72.405.354,11 $ 796.458,90 $ 712.698,80 $ (83.760,09) $ 72.489.114,20
84 $ 72.489.114,20 $ 797.380,26 $ 716.262,30 $ (81.117,96) $ 72.570.232,16
85 $ 72.570.232,16 $ 798.272,55 $ 719.843,61 $ (78.428,95) $ 72.648.661,11
86 $ 72.648.661,11 $ 799.135,27 $ 723.442,83 $ (75.692,45) $ 72.724.353,55
87 $ 72.724.353,55 $ 799.967,89 $ 727.060,04 $ (72.907,85) $ 72.797.261,40
88 $ 72.797.261,40 $ 800.769,88 $ 730.695,34 $ (70.074,53) $ 72.867.335,94
89 $ 72.867.335,94 $ 801.540,70 $ 734.348,82 $ (67.191,88) $ 72.934.527,81
90 $ 72.934.527,81 $ 802.279,81 $ 738.020,56 $ (64.259,24) $ 72.998.787,06
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93 $ 73.118.304,53 $ 804.301,35 $ 749.146,31 $ (55.155,04) $ 73.173.459,56
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95 $ 73.225.475,57 $ 805.480,23 $ 756.656,51 $ (48.823,73) $ 73.274.299,30
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97 $ 73.319.876,80 $ 806.518,64 $ 764.241,99 $ (42.276,66) $ 73.362.153,46
98 $ 73.362.153,46 $ 806.983,69 $ 768.063,20 $ (38.920,49) $ 73.401.073,95
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100 $ 73.436.582,26 $ 807.802,40 $ 775.763,03 $ (32.039,37) $ 73.468.621,63
101 $ 73.468.621,63 $ 808.154,84 $ 779.641,85 $ (28.512,99) $ 73.497.134,62
102 $ 73.497.134,62 $ 808.468,48 $ 783.540,05 $ (24.928,43) $ 73.522.063,05
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104 $ 73.543.347,99 $ 808.976,83 $ 791.395,04 $ (17.581,78) $ 73.560.929,77
105 $ 73.560.929,77 $ 809.170,23 $ 795.352,02 $ (13.818,21) $ 73.574.747,98
106 $ 73.574.747,98 $ 809.322,23 $ 799.328,78 $ (9.993,45) $ 73.584.741,43
107 $ 73.584.741,43 $ 809.432,16 $ 803.325,42 $ (6.106,73) $ 73.590.848,16
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109 $ 73.593.005,44 $ 809.523,06 $ 811.378,76 $ 1.855,70 $ 73.591.149,74
110 $ 73.591.149,74 $ 809.502,65 $ 815.435,65 $ 5.933,01 $ 73.585.216,73
111 $ 73.585.216,73 $ 809.437,38 $ 819.512,83 $ 10.075,45 $ 73.575.141,29
112 $ 73.575.141,29 $ 809.326,55 $ 823.610,40 $ 14.283,84 $ 73.560.857,44
113 $ 73.560.857,44 $ 809.169,43 $ 827.728,45 $ 18.559,02 $ 73.542.298,43
114 $ 73.542.298,43 $ 808.965,28 $ 831.867,09 $ 22.901,81 $ 73.519.396,62
115 $ 73.519.396,62 $ 808.713,36 $ 836.026,43 $ 27.313,06 $ 73.492.083,56
116 $ 73.492.083,56 $ 808.412,92 $ 840.206,56 $ 31.793,64 $ 73.460.289,92
117 $ 73.460.289,92 $ 808.063,19 $ 844.407,59 $ 36.344,40 $ 73.423.945,52
118 $ 73.423.945,52 $ 807.663,40 $ 848.629,63 $ 40.966,23 $ 73.382.979,29
119 $ 73.382.979,29 $ 807.212,77 $ 852.872,78 $ 45.660,00 $ 73.337.319,28
120 $ 73.337.319,28 $ 806.710,51 $ 857.137,14 $ 50.426,63 $ 73.286.892,65
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122 $ 73.231.625,65 $ 805.547,88 $ 865.729,94 $ 60.182,06 $ 73.171.443,59
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128 $ 72.794.128,38 $ 800.735,41 $ 892.028,66 $ 91.293,25 $ 72.702.835,13
129 $ 72.702.835,13 $ 799.731,19 $ 896.488,80 $ 96.757,62 $ 72.606.077,52
130 $ 72.606.077,52 $ 798.666,85 $ 900.971,25 $ 102.304,39 $ 72.503.773,12
131 $ 72.503.773,12 $ 797.541,50 $ 905.476,10 $ 107.934,60 $ 72.395.838,52
132 $ 72.395.838,52 $ 796.354,22 $ 910.003,48 $ 113.649,26 $ 72.282.189,26
133 $ 72.282.189,26 $ 795.104,08 $ 914.553,50 $ 119.449,42 $ 72.162.739,84
134 $ 72.162.739,84 $ 793.790,14 $ 919.126,27 $ 125.336,13 $ 72.037.403,71
135 $ 72.037.403,71 $ 792.411,44 $ 923.721,90 $ 131.310,46 $ 71.906.093,25
136 $ 71.906.093,25 $ 790.967,03 $ 928.340,51 $ 137.373,48 $ 71.768.719,77
137 $ 71.768.719,77 $ 789.455,92 $ 932.982,21 $ 143.526,30 $ 71.625.193,47
138 $ 71.625.193,47 $ 787.877,13 $ 937.647,12 $ 149.770,00 $ 71.475.423,47
139 $ 71.475.423,47 $ 786.229,66 $ 942.335,36 $ 156.105,70 $ 71.319.317,77
140 $ 71.319.317,77 $ 784.512,50 $ 947.047,04 $ 162.534,54 $ 71.156.783,23
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142 $ 70.987.725,58 $ 780.864,98 $ 956.541,18 $ 175.676,20 $ 70.812.049,38
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146 $ 70.244.337,59 $ 772.687,71 $ 975.815,97 $ 203.128,25 $ 70.041.209,34
147 $ 70.041.209,34 $ 770.453,30 $ 980.695,05 $ 210.241,74 $ 69.830.967,59
148 $ 69.830.967,59 $ 768.140,64 $ 985.598,52 $ 217.457,88 $ 69.613.509,72
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150 $ 69.388.731,81 $ 763.276,05 $ 995.479,15 $ 232.203,10 $ 69.156.528,71
151 $ 69.156.528,71 $ 760.721,82 $ 1.000.456,54 $ 239.734,73 $ 68.916.793,99
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161 $ 66.402.042,68 $ 730.422,47 $ 1.051.620,02 $ 321.197,55 $ 66.080.845,13
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164 $ 65.411.953,21 $ 719.531,49 $ 1.067.473,33 $ 347.941,84 $ 65.064.011,37
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166 $ 64.706.904,81 $ 711.775,95 $ 1.078.174,75 $ 366.398,79 $ 64.340.506,01
167 $ 64.340.506,01 $ 707.745,57 $ 1.083.565,62 $ 375.820,05 $ 63.964.685,96
168 $ 63.964.685,96 $ 703.611,55 $ 1.088.983,45 $ 385.371,90 $ 63.579.314,06
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170 $ 63.184.258,15 $ 695.026,84 $ 1.099.900,51 $ 404.873,67 $ 62.779.384,48
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174 $ 61.504.495,23 $ 676.549,45 $ 1.122.064,05 $ 445.514,60 $ 61.058.980,63
175 $ 61.058.980,63 $ 671.648,79 $ 1.127.674,37 $ 456.025,59 $ 60.602.955,04
176 $ 60.602.955,04 $ 666.632,51 $ 1.133.312,74 $ 466.680,24 $ 60.136.274,81
177 $ 60.136.274,81 $ 661.499,02 $ 1.138.979,31 $ 477.480,29 $ 59.658.794,52
178 $ 59.658.794,52 $ 656.246,74 $ 1.144.674,20 $ 488.427,46 $ 59.170.367,06
179 $ 59.170.367,06 $ 650.874,04 $ 1.150.397,58 $ 499.523,54 $ 58.670.843,52
180 $ 58.670.843,52 $ 645.379,28 $ 1.156.149,56 $ 510.770,28 $ 58.160.073,23
181 $ 58.160.073,23 $ 639.760,81 $ 1.161.930,31 $ 522.169,51 $ 57.637.903,73
182 $ 57.637.903,73 $ 634.016,94 $ 1.167.739,96 $ 533.723,02 $ 57.104.180,71
183 $ 57.104.180,71 $ 628.145,99 $ 1.173.578,66 $ 545.432,67 $ 56.558.748,03
184 $ 56.558.748,03 $ 622.146,23 $ 1.179.446,56 $ 557.300,33 $ 56.001.447,70
185 $ 56.001.447,70 $ 616.015,92 $ 1.185.343,79 $ 569.327,86 $ 55.432.119,84
186 $ 55.432.119,84 $ 609.753,32 $ 1.191.270,51 $ 581.517,19 $ 54.850.602,65
187 $ 54.850.602,65 $ 603.356,63 $ 1.197.226,86 $ 593.870,23 $ 54.256.732,42
188 $ 54.256.732,42 $ 596.824,06 $ 1.203.212,99 $ 606.388,94 $ 53.650.343,48
189 $ 53.650.343,48 $ 590.153,78 $ 1.209.229,06 $ 619.075,28 $ 53.031.268,20
190 $ 53.031.268,20 $ 583.343,95 $ 1.215.275,20 $ 631.931,25 $ 52.399.336,94
191 $ 52.399.336,94 $ 576.392,71 $ 1.221.351,58 $ 644.958,87 $ 51.754.378,07
192 $ 51.754.378,07 $ 569.298,16 $ 1.227.458,34 $ 658.160,18 $ 51.096.217,89
193 $ 51.096.217,89 $ 562.058,40 $ 1.233.595,63 $ 671.537,23 $ 50.424.680,66
194 $ 50.424.680,66 $ 554.671,49 $ 1.239.763,61 $ 685.092,12 $ 49.739.588,54
195 $ 49.739.588,54 $ 547.135,47 $ 1.245.962,43 $ 698.826,95 $ 49.040.761,58
196 $ 49.040.761,58 $ 539.448,38 $ 1.252.192,24 $ 712.743,86 $ 48.328.017,72
197 $ 48.328.017,72 $ 531.608,19 $ 1.258.453,20 $ 726.845,00 $ 47.601.172,72
198 $ 47.601.172,72 $ 523.612,90 $ 1.264.745,47 $ 741.132,57 $ 46.860.040,15
199 $ 46.860.040,15 $ 515.460,44 $ 1.271.069,19 $ 755.608,75 $ 46.104.431,40
200 $ 46.104.431,40 $ 507.148,75 $ 1.277.424,54 $ 770.275,79 $ 45.334.155,61
201 $ 45.334.155,61 $ 498.675,71 $ 1.283.811,66 $ 785.135,95 $ 44.549.019,65
202 $ 44.549.019,65 $ 490.039,22 $ 1.290.230,72 $ 800.191,50 $ 43.748.828,15
203 $ 43.748.828,15 $ 481.237,11 $ 1.296.681,87 $ 815.444,76 $ 42.933.383,39
204 $ 42.933.383,39 $ 472.267,22 $ 1.303.165,28 $ 830.898,07 $ 42.102.485,32
205 $ 42.102.485,32 $ 463.127,34 $ 1.309.681,11 $ 846.553,77 $ 41.255.931,55
206 $ 41.255.931,55 $ 453.815,25 $ 1.316.229,52 $ 862.414,27 $ 40.393.517,28
207 $ 40.393.517,28 $ 444.328,69 $ 1.322.810,66 $ 878.481,97 $ 39.515.035,31
208 $ 39.515.035,31 $ 434.665,39 $ 1.329.424,72 $ 894.759,33 $ 38.620.275,98
209 $ 38.620.275,98 $ 424.823,04 $ 1.336.071,84 $ 911.248,80 $ 37.709.027,18
210 $ 37.709.027,18 $ 414.799,30 $ 1.342.752,20 $ 927.952,90 $ 36.781.074,28
211 $ 36.781.074,28 $ 404.591,82 $ 1.349.465,96 $ 944.874,14 $ 35.836.200,14
212 $ 35.836.200,14 $ 394.198,20 $ 1.356.213,29 $ 962.015,09 $ 34.874.185,05
213 $ 34.874.185,05 $ 383.616,04 $ 1.362.994,36 $ 979.378,32 $ 33.894.806,73
214 $ 33.894.806,73 $ 372.842,87 $ 1.369.809,33 $ 996.966,45 $ 32.897.840,27
215 $ 32.897.840,27 $ 361.876,24 $ 1.376.658,37 $ 1.014.782,13 $ 31.883.058,14
216 $ 31.883.058,14 $ 350.713,64 $ 1.383.541,67 $ 1.032.828,03 $ 30.850.230,11
217 $ 30.850.230,11 $ 339.352,53 $ 1.390.459,37 $ 1.051.106,84 $ 29.799.123,27
218 $ 29.799.123,27 $ 327.790,36 $ 1.397.411,67 $ 1.069.621,32 $ 28.729.501,96
219 $ 28.729.501,96 $ 316.024,52 $ 1.404.398,73 $ 1.088.374,21 $ 27.641.127,75
220 $ 27.641.127,75 $ 304.052,41 $ 1.411.420,72 $ 1.107.368,32 $ 26.533.759,43
221 $ 26.533.759,43 $ 291.871,35 $ 1.418.477,83 $ 1.126.606,47 $ 25.407.152,96
222 $ 25.407.152,96 $ 279.478,68 $ 1.425.570,22 $ 1.146.091,53 $ 24.261.061,42
223 $ 24.261.061,42 $ 266.871,68 $ 1.432.698,07 $ 1.165.826,39 $ 23.095.235,03
224 $ 23.095.235,03 $ 254.047,59 $ 1.439.861,56 $ 1.185.813,97 $ 21.909.421,06
225 $ 21.909.421,06 $ 241.003,63 $ 1.447.060,87 $ 1.206.057,23 $ 20.703.363,82
226 $ 20.703.363,82 $ 227.737,00 $ 1.454.296,17 $ 1.226.559,17 $ 19.476.804,66
227 $ 19.476.804,66 $ 214.244,85 $ 1.461.567,65 $ 1.247.322,80 $ 18.229.481,86
228 $ 18.229.481,86 $ 200.524,30 $ 1.468.875,49 $ 1.268.351,19 $ 16.961.130,67
229 $ 16.961.130,67 $ 186.572,44 $ 1.476.219,87 $ 1.289.647,43 $ 15.671.483,24
230 $ 15.671.483,24 $ 172.386,32 $ 1.483.600,97 $ 1.311.214,65 $ 14.360.268,59
231 $ 14.360.268,59 $ 157.962,95 $ 1.491.018,97 $ 1.333.056,02 $ 13.027.212,57
232 $ 13.027.212,57 $ 143.299,34 $ 1.498.474,07 $ 1.355.174,73 $ 11.672.037,85
233 $ 11.672.037,85 $ 128.392,42 $ 1.505.966,44 $ 1.377.574,02 $ 10.294.463,83
234 $ 10.294.463,83 $ 113.239,10 $ 1.513.496,27 $ 1.400.257,17 $ 8.894.206,66
235 $ 8.894.206,66 $ 97.836,27 $ 1.521.063,75 $ 1.423.227,48 $ 7.470.979,18
236 $ 7.470.979,18 $ 82.180,77 $ 1.528.669,07 $ 1.446.488,30 $ 6.024.490,89
237 $ 6.024.490,89 $ 66.269,40 $ 1.536.312,41 $ 1.470.043,01 $ 4.554.447,87
238 $ 4.554.447,87 $ 50.098,93 $ 1.543.993,98 $ 1.493.895,05 $ 3.060.552,82
239 $ 3.060.552,82 $ 33.666,08 $ 1.551.713,95 $ 1.518.047,86 $ 1.542.504,96
240 $ 1.542.504,96 $ 16.967,55 $ 1.559.472,51 $ 1.542.504,96 $ 0,00
d) Crecimiento anual 6%: cuota fija Aplicando la formula
[
] [
]
Reemplazando
[
] [
]
Obteniéndose
Luego en la dirección de celda correspondiente al Cálculo de la Crecimiento anual 6%: cuota fija, Gradiente geométrico se entra la fórmula de la siguiente manera
=P*(i/$D$13)*((1+$D$13)^$D$8*($D$13-CA))/((1+$D$13)^$D$8-(1+CA)^$D$8) La cual nos dará como resultado el valor de $491.943,29 correspondiente al valor de la cuota que se pagará durante cada uno de los periodos que dure la amortización del crédito. Una vez hecho el cálculo de la cuota procedemos a realizar la tabla de pagos la cual tiene la siguiente forma: Para una mejor ilustración y para verificar los valores de los resultados puede visitar la siguiente página http://albatros.uis.edu.co/cvecino/escalonador.jsp
Tabla de Pagos
Periodo Saldo Inicial Interés Causado Cuota a Pagar Abono a Capital Saldo Final
0 $ 491.943,29 $ 60.000.000,00
1 $ 60.000.000,00 $ 660.000,00 $491.943,29 $(168.056,71) $ 60.168.056,71
1 =F3 =F3*i =Presentacion!$B$17 =D4-C4 =F3-E4
Estas fórmulas se copian hasta la cuota 240, sin embargo para las cuotas 13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97, 109, 121, 133, 145, 157, 169, 181, 193, 205, 217, 229, la cuota cambia por sufrir el incremento anual del 6% por tanto la fórmula será la celda anterior correspondiente a la pasada cuota multiplicada por 1 + la tasa de interés del 6% así:
=D15*(1+CA)
Luego todos los valores de la cuota se repiten hasta completar nuevamente el año en donde nuevamente se repite la formula anterior, generando la siguiente tabla:
Periodo Saldo Inicial Interés Causado Cuota a Pagar Abono a Capital Saldo Final
0 $ 491.943,29 $ 60.000.000,00
1 $ 60.000.000,00 $ 660.000,00 $ 491.943,29 $ (168.056,71) $ 60.168.056,71
2 $ 60.168.056,71 $ 661.848,62 $ 491.943,29 $ (169.905,33) $ 60.337.962,04
3 $ 60.337.962,04 $ 663.717,58 $ 491.943,29 $ (171.774,29) $ 60.509.736,33
4 $ 60.509.736,33 $ 665.607,10 $ 491.943,29 $ (173.663,81) $ 60.683.400,14
5 $ 60.683.400,14 $ 667.517,40 $ 491.943,29 $ (175.574,11) $ 60.858.974,25
6 $ 60.858.974,25 $ 669.448,72 $ 491.943,29 $ (177.505,43) $ 61.036.479,68
7 $ 61.036.479,68 $ 671.401,28 $ 491.943,29 $ (179.457,99) $ 61.215.937,67
8 $ 61.215.937,67 $ 673.375,31 $ 491.943,29 $ (181.432,02) $ 61.397.369,69
9 $ 61.397.369,69 $ 675.371,07 $ 491.943,29 $ (183.427,78) $ 61.580.797,47
10 $ 61.580.797,47 $ 677.388,77 $ 491.943,29 $ (185.445,48) $ 61.766.242,95
11 $ 61.766.242,95 $ 679.428,67 $ 491.943,29 $ (187.485,38) $ 61.953.728,33
12 $ 61.953.728,33 $ 681.491,01 $ 491.943,29 $ (189.547,72) $ 62.143.276,05
13 $ 62.143.276,05 $ 683.576,04 $ 521.459,89 $ (162.116,15) $ 62.305.392,20
14 $ 62.305.392,20 $ 685.359,31 $ 521.459,89 $ (163.899,43) $ 62.469.291,62
15 $ 62.469.291,62 $ 687.162,21 $ 521.459,89 $ (165.702,32) $ 62.634.993,94
16 $ 62.634.993,94 $ 688.984,93 $ 521.459,89 $ (167.525,05) $ 62.802.518,99
17 $ 62.802.518,99 $ 690.827,71 $ 521.459,89 $ (169.367,82) $ 62.971.886,81
18 $ 62.971.886,81 $ 692.690,75 $ 521.459,89 $ (171.230,87) $ 63.143.117,68
19 $ 63.143.117,68 $ 694.574,29 $ 521.459,89 $ (173.114,41) $ 63.316.232,08
20 $ 63.316.232,08 $ 696.478,55 $ 521.459,89 $ (175.018,66) $ 63.491.250,75
21 $ 63.491.250,75 $ 698.403,76 $ 521.459,89 $ (176.943,87) $ 63.668.194,62
22 $ 63.668.194,62 $ 700.350,14 $ 521.459,89 $ (178.890,25) $ 63.847.084,87
23 $ 63.847.084,87 $ 702.317,93 $ 521.459,89 $ (180.858,05) $ 64.027.942,91
24 $ 64.027.942,91 $ 704.307,37 $ 521.459,89 $ (182.847,48) $ 64.210.790,40
25 $ 64.210.790,40 $ 706.318,69 $ 552.747,48 $ (153.571,21) $ 64.364.361,61
26 $ 64.364.361,61 $ 708.007,98 $ 552.747,48 $ (155.260,50) $ 64.519.622,11
27 $ 64.519.622,11 $ 709.715,84 $ 552.747,48 $ (156.968,36) $ 64.676.590,47
28 $ 64.676.590,47 $ 711.442,50 $ 552.747,48 $ (158.695,01) $ 64.835.285,48
29 $ 64.835.285,48 $ 713.188,14 $ 552.747,48 $ (160.440,66) $ 64.995.726,14
30 $ 64.995.726,14 $ 714.952,99 $ 552.747,48 $ (162.205,51) $ 65.157.931,65
31 $ 65.157.931,65 $ 716.737,25 $ 552.747,48 $ (163.989,77) $ 65.321.921,41
32 $ 65.321.921,41 $ 718.541,14 $ 552.747,48 $ (165.793,65) $ 65.487.715,07
33 $ 65.487.715,07 $ 720.364,87 $ 552.747,48 $ (167.617,38) $ 65.655.332,45
34 $ 65.655.332,45 $ 722.208,66 $ 552.747,48 $ (169.461,18) $ 65.824.793,63
35 $ 65.824.793,63 $ 724.072,73 $ 552.747,48 $ (171.325,25) $ 65.996.118,88
36 $ 65.996.118,88 $ 725.957,31 $ 552.747,48 $ (173.209,83) $ 66.169.328,70
37 $ 66.169.328,70 $ 727.862,62 $ 585.912,33 $ (141.950,29) $ 66.311.278,99
38 $ 66.311.278,99 $ 729.424,07 $ 585.912,33 $ (143.511,74) $ 66.454.790,73
39 $ 66.454.790,73 $ 731.002,70 $ 585.912,33 $ (145.090,37) $ 66.599.881,09
40 $ 66.599.881,09 $ 732.598,69 $ 585.912,33 $ (146.686,36) $ 66.746.567,46
41 $ 66.746.567,46 $ 734.212,24 $ 585.912,33 $ (148.299,91) $ 66.894.867,37
42 $ 66.894.867,37 $ 735.843,54 $ 585.912,33 $ (149.931,21) $ 67.044.798,58
43 $ 67.044.798,58 $ 737.492,78 $ 585.912,33 $ (151.580,45) $ 67.196.379,03
44 $ 67.196.379,03 $ 739.160,17 $ 585.912,33 $ (153.247,84) $ 67.349.626,87
45 $ 67.349.626,87 $ 740.845,90 $ 585.912,33 $ (154.933,57) $ 67.504.560,44
46 $ 67.504.560,44 $ 742.550,16 $ 585.912,33 $ (156.637,83) $ 67.661.198,27
47 $ 67.661.198,27 $ 744.273,18 $ 585.912,33 $ (158.360,85) $ 67.819.559,12
48 $ 67.819.559,12 $ 746.015,15 $ 585.912,33 $ (160.102,82) $ 67.979.661,94
49 $ 67.979.661,94 $ 747.776,28 $ 621.067,07 $ (126.709,21) $ 68.106.371,15
50 $ 68.106.371,15 $ 749.170,08 $ 621.067,07 $ (128.103,01) $ 68.234.474,17
51 $ 68.234.474,17 $ 750.579,22 $ 621.067,07 $ (129.512,15) $ 68.363.986,31
52 $ 68.363.986,31 $ 752.003,85 $ 621.067,07 $ (130.936,78) $ 68.494.923,09
53 $ 68.494.923,09 $ 753.444,15 $ 621.067,07 $ (132.377,08) $ 68.627.300,17
54 $ 68.627.300,17 $ 754.900,30 $ 621.067,07 $ (133.833,23) $ 68.761.133,41
55 $ 68.761.133,41 $ 756.372,47 $ 621.067,07 $ (135.305,40) $ 68.896.438,80
56 $ 68.896.438,80 $ 757.860,83 $ 621.067,07 $ (136.793,76) $ 69.033.232,56
57 $ 69.033.232,56 $ 759.365,56 $ 621.067,07 $ (138.298,49) $ 69.171.531,05
58 $ 69.171.531,05 $ 760.886,84 $ 621.067,07 $ (139.819,77) $ 69.311.350,82
59 $ 69.311.350,82 $ 762.424,86 $ 621.067,07 $ (141.357,79) $ 69.452.708,61
60 $ 69.452.708,61 $ 763.979,79 $ 621.067,07 $ (142.912,72) $ 69.595.621,33
61 $ 69.595.621,33 $ 765.551,83 $ 658.331,09 $ (107.220,74) $ 69.702.842,07
62 $ 69.702.842,07 $ 766.731,26 $ 658.331,09 $ (108.400,17) $ 69.811.242,24
63 $ 69.811.242,24 $ 767.923,66 $ 658.331,09 $ (109.592,57) $ 69.920.834,81
64 $ 69.920.834,81 $ 769.129,18 $ 658.331,09 $ (110.798,09) $ 70.031.632,90
65 $ 70.031.632,90 $ 770.347,96 $ 658.331,09 $ (112.016,87) $ 70.143.649,77
66 $ 70.143.649,77 $ 771.580,15 $ 658.331,09 $ (113.249,05) $ 70.256.898,82
67 $ 70.256.898,82 $ 772.825,89 $ 658.331,09 $ (114.494,79) $ 70.371.393,61
68 $ 70.371.393,61 $ 774.085,33 $ 658.331,09 $ (115.754,24) $ 70.487.147,85
69 $ 70.487.147,85 $ 775.358,63 $ 658.331,09 $ (117.027,53) $ 70.604.175,38
70 $ 70.604.175,38 $ 776.645,93 $ 658.331,09 $ (118.314,83) $ 70.722.490,22
71 $ 70.722.490,22 $ 777.947,39 $ 658.331,09 $ (119.616,30) $ 70.842.106,51
72 $ 70.842.106,51 $ 779.263,17 $ 658.331,09 $ (120.932,08) $ 70.963.038,59
73 $ 70.963.038,59 $ 780.593,42 $ 697.830,96 $ (82.762,46) $ 71.045.801,06
74 $ 71.045.801,06 $ 781.503,81 $ 697.830,96 $ (83.672,85) $ 71.129.473,91
75 $ 71.129.473,91 $ 782.424,21 $ 697.830,96 $ (84.593,25) $ 71.214.067,16
76 $ 71.214.067,16 $ 783.354,74 $ 697.830,96 $ (85.523,78) $ 71.299.590,94
77 $ 71.299.590,94 $ 784.295,50 $ 697.830,96 $ (86.464,54) $ 71.386.055,48
78 $ 71.386.055,48 $ 785.246,61 $ 697.830,96 $ (87.415,65) $ 71.473.471,13
79 $ 71.473.471,13 $ 786.208,18 $ 697.830,96 $ (88.377,22) $ 71.561.848,35
80 $ 71.561.848,35 $ 787.180,33 $ 697.830,96 $ (89.349,37) $ 71.651.197,72
81 $ 71.651.197,72 $ 788.163,17 $ 697.830,96 $ (90.332,21) $ 71.741.529,94
82 $ 71.741.529,94 $ 789.156,83 $ 697.830,96 $ (91.325,87) $ 71.832.855,81
83 $ 71.832.855,81 $ 790.161,41 $ 697.830,96 $ (92.330,45) $ 71.925.186,26
84 $ 71.925.186,26 $ 791.177,05 $ 697.830,96 $ (93.346,09) $ 72.018.532,35
85 $ 72.018.532,35 $ 792.203,86 $ 739.700,82 $ (52.503,04) $ 72.071.035,39
86 $ 72.071.035,39 $ 792.781,39 $ 739.700,82 $ (53.080,57) $ 72.124.115,96
87 $ 72.124.115,96 $ 793.365,28 $ 739.700,82 $ (53.664,46) $ 72.177.780,42
88 $ 72.177.780,42 $ 793.955,58 $ 739.700,82 $ (54.254,77) $ 72.232.035,18
89 $ 72.232.035,18 $ 794.552,39 $ 739.700,82 $ (54.851,57) $ 72.286.886,75
90 $ 72.286.886,75 $ 795.155,75 $ 739.700,82 $ (55.454,94) $ 72.342.341,69
91 $ 72.342.341,69 $ 795.765,76 $ 739.700,82 $ (56.064,94) $ 72.398.406,63
92 $ 72.398.406,63 $ 796.382,47 $ 739.700,82 $ (56.681,66) $ 72.455.088,29
93 $ 72.455.088,29 $ 797.005,97 $ 739.700,82 $ (57.305,15) $ 72.512.393,44
94 $ 72.512.393,44 $ 797.636,33 $ 739.700,82 $ (57.935,51) $ 72.570.328,95
95 $ 72.570.328,95 $ 798.273,62 $ 739.700,82 $ (58.572,80) $ 72.628.901,75
96 $ 72.628.901,75 $ 798.917,92 $ 739.700,82 $ (59.217,10) $ 72.688.118,85
97 $ 72.688.118,85 $ 799.569,31 $ 784.082,87 $ (15.486,44) $ 72.703.605,29
98 $ 72.703.605,29 $ 799.739,66 $ 784.082,87 $ (15.656,79) $ 72.719.262,09
99 $ 72.719.262,09 $ 799.911,88 $ 784.082,87 $ (15.829,02) $ 72.735.091,10
100 $ 72.735.091,10 $ 800.086,00 $ 784.082,87 $ (16.003,14) $ 72.751.094,24
101 $ 72.751.094,24 $ 800.262,04 $ 784.082,87 $ (16.179,17) $ 72.767.273,41
102 $ 72.767.273,41 $ 800.440,01 $ 784.082,87 $ (16.357,14) $ 72.783.630,55
103 $ 72.783.630,55 $ 800.619,94 $ 784.082,87 $ (16.537,07) $ 72.800.167,62
104 $ 72.800.167,62 $ 800.801,84 $ 784.082,87 $ (16.718,98) $ 72.816.886,59
105 $ 72.816.886,59 $ 800.985,75 $ 784.082,87 $ (16.902,89) $ 72.833.789,48
106 $ 72.833.789,48 $ 801.171,68 $ 784.082,87 $ (17.088,82) $ 72.850.878,30
107 $ 72.850.878,30 $ 801.359,66 $ 784.082,87 $ (17.276,79) $ 72.868.155,09
108 $ 72.868.155,09 $ 801.549,71 $ 784.082,87 $ (17.466,84) $ 72.885.621,93
109 $ 72.885.621,93 $ 801.741,84 $ 831.127,84 $ 29.386,00 $ 72.856.235,93
110 $ 72.856.235,93 $ 801.418,60 $ 831.127,84 $ 29.709,24 $ 72.826.526,69
111 $ 72.826.526,69 $ 801.091,79 $ 831.127,84 $ 30.036,05 $ 72.796.490,65
112 $ 72.796.490,65 $ 800.761,40 $ 831.127,84 $ 30.366,44 $ 72.766.124,20
113 $ 72.766.124,20 $ 800.427,37 $ 831.127,84 $ 30.700,47 $ 72.735.423,73
114 $ 72.735.423,73 $ 800.089,66 $ 831.127,84 $ 31.038,18 $ 72.704.385,55
115 $ 72.704.385,55 $ 799.748,24 $ 831.127,84 $ 31.379,60 $ 72.673.005,96
116 $ 72.673.005,96 $ 799.403,07 $ 831.127,84 $ 31.724,77 $ 72.641.281,18
117 $ 72.641.281,18 $ 799.054,09 $ 831.127,84 $ 32.073,75 $ 72.609.207,44
118 $ 72.609.207,44 $ 798.701,28 $ 831.127,84 $ 32.426,56 $ 72.576.780,88
119 $ 72.576.780,88 $ 798.344,59 $ 831.127,84 $ 32.783,25 $ 72.543.997,63
120 $ 72.543.997,63 $ 797.983,97 $ 831.127,84 $ 33.143,86 $ 72.510.853,77
121 $ 72.510.853,77 $ 797.619,39 $ 880.995,51 $ 83.376,12 $ 72.427.477,65
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123 $ 72.343.184,39 $ 795.775,03 $ 880.995,51 $ 85.220,48 $ 72.257.963,91
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125 $ 72.171.806,01 $ 793.889,87 $ 880.995,51 $ 87.105,64 $ 72.084.700,36
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132 $ 71.541.572,13 $ 786.957,29 $ 880.995,51 $ 94.038,22 $ 71.447.533,91
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146 $ 69.336.192,90 $ 762.698,12 $ 989.886,55 $ 227.188,43 $ 69.109.004,47
147 $ 69.109.004,47 $ 760.199,05 $ 989.886,55 $ 229.687,50 $ 68.879.316,96
148 $ 68.879.316,96 $ 757.672,49 $ 989.886,55 $ 232.214,07 $ 68.647.102,90
149 $ 68.647.102,90 $ 755.118,13 $ 989.886,55 $ 234.768,42 $ 68.412.334,48
150 $ 68.412.334,48 $ 752.535,68 $ 989.886,55 $ 237.350,87 $ 68.174.983,60
151 $ 68.174.983,60 $ 749.924,82 $ 989.886,55 $ 239.961,73 $ 67.935.021,87
152 $ 67.935.021,87 $ 747.285,24 $ 989.886,55 $ 242.601,31 $ 67.692.420,55
153 $ 67.692.420,55 $ 744.616,63 $ 989.886,55 $ 245.269,93 $ 67.447.150,62
154 $ 67.447.150,62 $ 741.918,66 $ 989.886,55 $ 247.967,90 $ 67.199.182,73
155 $ 67.199.182,73 $ 739.191,01 $ 989.886,55 $ 250.695,54 $ 66.948.487,18
156 $ 66.948.487,18 $ 736.433,36 $ 989.886,55 $ 253.453,19 $ 66.695.033,99
157 $ 66.695.033,99 $ 733.645,37 $ 1.049.279,75 $ 315.634,37 $ 66.379.399,62
158 $ 66.379.399,62 $ 730.173,40 $ 1.049.279,75 $ 319.106,35 $ 66.060.293,26
159 $ 66.060.293,26 $ 726.663,23 $ 1.049.279,75 $ 322.616,52 $ 65.737.676,74
160 $ 65.737.676,74 $ 723.114,44 $ 1.049.279,75 $ 326.165,30 $ 65.411.511,44
161 $ 65.411.511,44 $ 719.526,63 $ 1.049.279,75 $ 329.753,12 $ 65.081.758,32
162 $ 65.081.758,32 $ 715.899,34 $ 1.049.279,75 $ 333.380,41 $ 64.748.377,91
163 $ 64.748.377,91 $ 712.232,16 $ 1.049.279,75 $ 337.047,59 $ 64.411.330,32
164 $ 64.411.330,32 $ 708.524,63 $ 1.049.279,75 $ 340.755,11 $ 64.070.575,21
165 $ 64.070.575,21 $ 704.776,33 $ 1.049.279,75 $ 344.503,42 $ 63.726.071,79
166 $ 63.726.071,79 $ 700.986,79 $ 1.049.279,75 $ 348.292,96 $ 63.377.778,83
167 $ 63.377.778,83 $ 697.155,57 $ 1.049.279,75 $ 352.124,18 $ 63.025.654,65
168 $ 63.025.654,65 $ 693.282,20 $ 1.049.279,75 $ 355.997,55 $ 62.669.657,11
169 $ 62.669.657,11 $ 689.366,23 $ 1.112.236,53 $ 422.870,30 $ 62.246.786,80
170 $ 62.246.786,80 $ 684.714,65 $ 1.112.236,53 $ 427.521,88 $ 61.819.264,92
171 $ 61.819.264,92 $ 680.011,91 $ 1.112.236,53 $ 432.224,62 $ 61.387.040,31
172 $ 61.387.040,31 $ 675.257,44 $ 1.112.236,53 $ 436.979,09 $ 60.950.061,22
173 $ 60.950.061,22 $ 670.450,67 $ 1.112.236,53 $ 441.785,86 $ 60.508.275,36
174 $ 60.508.275,36 $ 665.591,03 $ 1.112.236,53 $ 446.645,50 $ 60.061.629,86
175 $ 60.061.629,86 $ 660.677,93 $ 1.112.236,53 $ 451.558,60 $ 59.610.071,25
176 $ 59.610.071,25 $ 655.710,78 $ 1.112.236,53 $ 456.525,75 $ 59.153.545,50
177 $ 59.153.545,50 $ 650.689,00 $ 1.112.236,53 $ 461.547,53 $ 58.691.997,97
178 $ 58.691.997,97 $ 645.611,98 $ 1.112.236,53 $ 466.624,55 $ 58.225.373,42
179 $ 58.225.373,42 $ 640.479,11 $ 1.112.236,53 $ 471.757,42 $ 57.753.615,99
180 $ 57.753.615,99 $ 635.289,78 $ 1.112.236,53 $ 476.946,76 $ 57.276.669,24
181 $ 57.276.669,24 $ 630.043,36 $ 1.178.970,72 $ 548.927,36 $ 56.727.741,88
182 $ 56.727.741,88 $ 624.005,16 $ 1.178.970,72 $ 554.965,56 $ 56.172.776,31
183 $ 56.172.776,31 $ 617.900,54 $ 1.178.970,72 $ 561.070,18 $ 55.611.706,13
184 $ 55.611.706,13 $ 611.728,77 $ 1.178.970,72 $ 567.241,96 $ 55.044.464,17
185 $ 55.044.464,17 $ 605.489,11 $ 1.178.970,72 $ 573.481,62 $ 54.470.982,55
186 $ 54.470.982,55 $ 599.180,81 $ 1.178.970,72 $ 579.789,92 $ 53.891.192,64
187 $ 53.891.192,64 $ 592.803,12 $ 1.178.970,72 $ 586.167,60 $ 53.305.025,03
188 $ 53.305.025,03 $ 586.355,28 $ 1.178.970,72 $ 592.615,45 $ 52.712.409,58
189 $ 52.712.409,58 $ 579.836,51 $ 1.178.970,72 $ 599.134,22 $ 52.113.275,37
190 $ 52.113.275,37 $ 573.246,03 $ 1.178.970,72 $ 605.724,69 $ 51.507.550,67
191 $ 51.507.550,67 $ 566.583,06 $ 1.178.970,72 $ 612.387,67 $ 50.895.163,00
192 $ 50.895.163,00 $ 559.846,79 $ 1.178.970,72 $ 619.123,93 $ 50.276.039,07
193 $ 50.276.039,07 $ 553.036,43 $ 1.249.708,97 $ 696.672,54 $ 49.579.366,54
194 $ 49.579.366,54 $ 545.373,03 $ 1.249.708,97 $ 704.335,94 $ 48.875.030,60
195 $ 48.875.030,60 $ 537.625,34 $ 1.249.708,97 $ 712.083,63 $ 48.162.946,97
196 $ 48.162.946,97 $ 529.792,42 $ 1.249.708,97 $ 719.916,55 $ 47.443.030,42
197 $ 47.443.030,42 $ 521.873,33 $ 1.249.708,97 $ 727.835,63 $ 46.715.194,79
198 $ 46.715.194,79 $ 513.867,14 $ 1.249.708,97 $ 735.841,82 $ 45.979.352,96
199 $ 45.979.352,96 $ 505.772,88 $ 1.249.708,97 $ 743.936,08 $ 45.235.416,88
200 $ 45.235.416,88 $ 497.589,59 $ 1.249.708,97 $ 752.119,38 $ 44.483.297,49
201 $ 44.483.297,49 $ 489.316,27 $ 1.249.708,97 $ 760.392,69 $ 43.722.904,80
202 $ 43.722.904,80 $ 480.951,95 $ 1.249.708,97 $ 768.757,01 $ 42.954.147,78
203 $ 42.954.147,78 $ 472.495,63 $ 1.249.708,97 $ 777.213,34 $ 42.176.934,44
204 $ 42.176.934,44 $ 463.946,28 $ 1.249.708,97 $ 785.762,69 $ 41.391.171,75
205 $ 41.391.171,75 $ 455.302,89 $ 1.324.691,51 $ 869.388,62 $ 40.521.783,14
206 $ 40.521.783,14 $ 445.739,61 $ 1.324.691,51 $ 878.951,89 $ 39.642.831,25
207 $ 39.642.831,25 $ 436.071,14 $ 1.324.691,51 $ 888.620,36 $ 38.754.210,89
208 $ 38.754.210,89 $ 426.296,32 $ 1.324.691,51 $ 898.395,19 $ 37.855.815,70
209 $ 37.855.815,70 $ 416.413,97 $ 1.324.691,51 $ 908.277,53 $ 36.947.538,17
210 $ 36.947.538,17 $ 406.422,92 $ 1.324.691,51 $ 918.268,59 $ 36.029.269,58
211 $ 36.029.269,58 $ 396.321,97 $ 1.324.691,51 $ 928.369,54 $ 35.100.900,04
212 $ 35.100.900,04 $ 386.109,90 $ 1.324.691,51 $ 938.581,60 $ 34.162.318,44
213 $ 34.162.318,44 $ 375.785,50 $ 1.324.691,51 $ 948.906,00 $ 33.213.412,43
214 $ 33.213.412,43 $ 365.347,54 $ 1.324.691,51 $ 959.343,97 $ 32.254.068,47
215 $ 32.254.068,47 $ 354.794,75 $ 1.324.691,51 $ 969.896,75 $ 31.284.171,71
216 $ 31.284.171,71 $ 344.125,89 $ 1.324.691,51 $ 980.565,62 $ 30.303.606,10
217 $ 30.303.606,10 $ 333.339,67 $ 1.404.173,00 $ 1.070.833,33 $ 29.232.772,77
218 $ 29.232.772,77 $ 321.560,50 $ 1.404.173,00 $ 1.082.612,50 $ 28.150.160,27
219 $ 28.150.160,27 $ 309.651,76 $ 1.404.173,00 $ 1.094.521,23 $ 27.055.639,04
220 $ 27.055.639,04 $ 297.612,03 $ 1.404.173,00 $ 1.106.560,97 $ 25.949.078,07
221 $ 25.949.078,07 $ 285.439,86 $ 1.404.173,00 $ 1.118.733,14 $ 24.830.344,94
222 $ 24.830.344,94 $ 273.133,79 $ 1.404.173,00 $ 1.131.039,20 $ 23.699.305,74
223 $ 23.699.305,74 $ 260.692,36 $ 1.404.173,00 $ 1.143.480,63 $ 22.555.825,10
224 $ 22.555.825,10 $ 248.114,08 $ 1.404.173,00 $ 1.156.058,92 $ 21.399.766,18
225 $ 21.399.766,18 $ 235.397,43 $ 1.404.173,00 $ 1.168.775,57 $ 20.230.990,62
226 $ 20.230.990,62 $ 222.540,90 $ 1.404.173,00 $ 1.181.632,10 $ 19.049.358,52
227 $ 19.049.358,52 $ 209.542,94 $ 1.404.173,00 $ 1.194.630,05 $ 17.854.728,46
228 $ 17.854.728,46 $ 196.402,01 $ 1.404.173,00 $ 1.207.770,98 $ 16.646.957,48
229 $ 16.646.957,48 $ 183.116,53 $ 1.488.423,38 $ 1.305.306,84 $ 15.341.650,64
230 $ 15.341.650,64 $ 168.758,16 $ 1.488.423,38 $ 1.319.665,22 $ 14.021.985,42
231 $ 14.021.985,42 $ 154.241,84 $ 1.488.423,38 $ 1.334.181,54 $ 12.687.803,88
232 $ 12.687.803,88 $ 139.565,84 $ 1.488.423,38 $ 1.348.857,53 $ 11.338.946,35
233 $ 11.338.946,35 $ 124.728,41 $ 1.488.423,38 $ 1.363.694,97 $ 9.975.251,39
234 $ 9.975.251,39 $ 109.727,77 $ 1.488.423,38 $ 1.378.695,61 $ 8.596.555,78
235 $ 8.596.555,78 $ 94.562,11 $ 1.488.423,38 $ 1.393.861,26 $ 7.202.694,51
236 $ 7.202.694,51 $ 79.229,64 $ 1.488.423,38 $ 1.409.193,74 $ 5.793.500,78
237 $ 5.793.500,78 $ 63.728,51 $ 1.488.423,38 $ 1.424.694,87 $ 4.368.805,91
238 $ 4.368.805,91 $ 48.056,87 $ 1.488.423,38 $ 1.440.366,51 $ 2.928.439,40
239 $ 2.928.439,40 $ 32.212,83 $ 1.488.423,38 $ 1.456.210,54 $ 1.472.228,86
240 $ 1.472.228,86 $ 16.194,52 $ 1.488.423,38 $ 1.472.228,86 $ 0,00
EJERCICIO 2.4.10
Su empresa recibe un préstamo a corto plazo (dos años) que deberá ser cancelado mediante cuotas trimestrales fijas. Si el préstamo es de $10.000.000 y la tasa de interés es del 3% trimestral, determine el valor de la cuota a pagar. De acuerdo a lo anterior, si la modalidad del pago se mantuviera a dos años con cuotas fijas trimestrales vencidas y en lugar de aumentar en el segundo año tuviéramos unas cuotas extraordinarias al final de cada semestre por valor de $140.000, ¿cuál sería el valor de las cuotas a pagar?
P=10'000.000
A
04
i=3%
8
140.000
Resolviendo:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Se obtiene:
TABLA DE DATOS
Ítem Valor Variable
Préstamo $10.000.000 P
Plazo años 2
Periodos trimestrales 8 n
Interés trimestral 3% i
Cuota extraordinaria 140.000 CE
Interés semestral 6.09% is
Periodos semestrales 4 m
Para la realización del presente ejercicio utilizaremos la hoja electrónica de calculo Excel de Microsoft; en las direcciones de celda A1, a la A7 se ubicarán las etiquetas Préstamo, Interés, Periodos trimestrales, periodos semestrales, Cuota, Interés semestral, y Cuota extraordinaria respectivamente; y en las direcciones de celda B1, a B8 los valores respectivos para el desarrollo del ejercicio. Para una mejor comprensión de las fórmulas se da nombre a las celdas en donde irán los datos variables que intervienen en la solución del problema planteado descritos en la tabla anterior de la siguiente forma: Utilizando la barra de menús se ubica en el menú de Fórmulas y en el botón Asignar nombre a un rango se entra por la opción Definir nombre.
Se hace igual para dar nombre a todas las variables que intervienen en el cálculo de la cuota. En la dirección de celda B5 correspondiente al valor de la cuota se digitará la siguiente fórmula correspondiente al cálculo del valor de la cuota:
=(P-(CE*(((1+is)^m)-1)/(is*((1+is)^m))))*(i*((1+i)^n))/(((1+i)^n)-1) Para una mejor ilustración y para verificar los valores de los resultados puede visitar la siguiente página http://albatros.uis.edu.co/cvecino/anualidades.jsp
Botón Agregar nombre a un rango
Barra de Menús Formulas
En este sitio se le asigna el nombre a la variable
En este espacio se busca la dirección de celda en donde se va a ubicar el monto del préstamo.
Una vez se tiene calculado el valor de la cuota procedemos a construir la tabla de pagos de la siguiente forma para los periodos 1 y 2, utilizando las fórmulas que aparecen resaltadas con color rojo:
Tabla de Pagos para el Cálculo de un Préstamo utilizando Cuota Fija
Periodo Saldo Inicial Interés Causado Cuota a Pagar Abono a Capital Saldo Final
0 $ 10.000.000,00
1 $ 10.000.000,00 $ 300.000,00 $ 1.355.598,37 $ 1.055.598,37 $ 8.944.401,63
1 =F3 =F3*i =C4+E4 =CC-C4 =F3-E4
2 $ 8.944.401,63 $ 268.332,05 $ 1.495.598,37 $ 1.087.266,32 $ 7.717.135,31
1 =F3 =F3*i =C5+E5+CE =CC-C4 =F4-E5-CE
Una vez se tienen las fórmulas se procede a copiar las dos filas que contienen las fórmulas hasta la fila 11 para cubrir los ocho periodos que contempla el ejercicio. Tenga en cuenta que las fórmulas para la cuota a pagar y para el saldo son diferentes en los periodos pares, que es en donde se suceden las cuotas extraordinarias. Adicionalmente se puede hacer una gráfico con estos valores de la tabla, simplemente señalando las celdas correspondientes a la tabla de amortización y seleccionando “Insertar un gráfico de líneas”. Teniendo en cuenta que el rango de valores de los Saldos, tanto inicial como final, es muy superior al rango de valores de los intereses, las cuotas y los abonos a capital, es conveniente seleccionar estas series y mediante la opción “dar formato a la serie de datos”, la cual se accede con el botón derecho del mouse, escoger para ellas el “eje secundario” en las “opciones de serie”. El gráfico quedará de la siguiente manera:
EJERCICIO 2.10.9
Industriales de Santander Ltda. decide construir un fondo para reemplazar equipos de acuerdo a las proyecciones de la misma. Los depósitos se harán por un periodo de tres años y tendrán un rendimiento del 1,5%, se podrá depositar al final de cada mes un monto que inicialmente es de $1`000.000, el segundo mes es de $990.000 y el tercer mes es de $980.000 y así sucesivamente hasta depositar en el mes sólo $650.000. ¿Cuál será el saldo acumulado al cabo de los tres años?
1 6 12 18 24 30 36
1`000.000
650.000
F=?
F= 1`000.000(F/A;1,5%;36)-10.000(F/G;1,5%;36)
[
] [
]
[
] [
]
TABLA DE DATOS Ítem Valor Variable
Anualidad $1.000.000 A
Tasa de Interés 1,50% i
Gradiente $ 10.000,00 G
Periodos 36 n
Valor Futuro $ 47.275.969,21 VF
Gradiente Aritmético $7.517.312,80 VFG
Para realizar el presente ejercicio utilizaremos la hoja electrónica de calculo Excel de Microsoft; en las direcciones de celda A1, a la A7 se colocarán las etiquetas Anualidad, Tasa de Interés, Gradiente, Periodos, Valor Futuro, y Gradiente Aritmético, respectivamente, y en las direcciones de celda B1, a B4 los valores respectivos para el desarrollo del ejercicio. Para una mejor comprensión de las fórmulas se da nombre a las celdas en donde irán los datos variables que intervienen en la solución del problema planteado descrito en la tabla anterior de la siguiente forma: Utilizando la barra de menús se ubica en el menú de formulas y en el botón Asignar nombre a un rango se entra por la opción Definir nombre.
Se hace igual para dar nombre a todas las variables que intervienen en el cálculo de la cuota. En la dirección de celda B5 correspondiente al valor del interés del periodo mensual se digitará la siguiente fórmula correspondiente al cálculo de la tasa de interés por meses:
=A*(((1+i)^n)-1)/i Una vez se tiene calculado el valor futuro proyectado calculamos el valor futuro del gradiente utilizando la siguiente fórmula:
=G*(((1+i)^n)-1-(n*i))/(i^2)
Botón Agregar nombre a un rango
Barra de Menús Formulas
En este sitio se le asigna el nombre a la variable
En este espacio se busca la dirección de celda en donde se va a ubicar el monto del préstamo.
Para tener como resultado final la resta con la resta de los valores el resultado de acuerdo a la siguiente fórmula:
=VF+VFG Para una mejor ilustración y para verificar los valores de los resultados puede visitar la siguiente página http://albatros.uis.edu.co/cvecino/anualidades.jsp y http://albatros.uis.edu.co/cvecino/aritmetico.jsp Una vez terminadas las fórmulas de la entrada de datos procedemos a construir la tabla de pagos la cual se hará de la siguiente forma para el periodo 1, utilizando las fórmulas que aparecen resaltadas con color rojo:
Tabla de pagos
Periodo Saldo Inicial Interés Causado Cuota a Pagar Abono a Capital Saldo Final
0 $ 0,00
1 $ 0,00 $ - $ 1.000.000,00 $ 1.000.000,00 $ 1.000.000,00
1 =F3 =F3*i =A-(G*A3) =D5+C5 =F3+E4
Una vez se tienen las fórmulas se procede a copiar la fila que contienen las fórmulas hasta la fila 39 para cubrir los 36 periodos que contempla el ejercicio. Adicionalmente se puede hacer una gráfico con estos valores de la tabla, simplemente señalando las celdas correspondientes a la tabla de amortización y seleccionando “Insertar un gráfico de líneas”. Teniendo en cuenta que el rango de valores de los saldos, tanto inicial como final, es muy superior al rango de valores de los intereses, las cuotas y los abonos a capital, es conveniente seleccionar estas series y mediante la opción “dar formato a la serie de datos”, a la cual se accede con el botón derecho del mouse, seleccionar para ellas el “eje secundario” en las “opciones de serie”. El gráfico quedará de la siguiente manera:
EJERCICIO 4-4-8
Una empresa requiere tecnificar su sistema productivo para enfrentar la apertura económica y para ello va a importar una nueva máquina fabricada en Estados Unidos y con un valor de adquisición de US$ 20.000. El proveedor está dispuesto a financiar la máquina con un interés del 9% M.V. y un plazo de dos años con pagos uniformes (incluyendo capital e intereses) cada uno al final de cada mes. Si la tasa de cambio hoy es de $2.900 por dólar y se espera una devaluación anual de 19,5618%. Determine el saldo de la deuda en dólares y pesos al cabo de seis meses.
1 2
US$20.000
3 22 23 24
A=?
Solución: Hallamos el interés del periodo mensual: 9 % M.V. = 9/12 = 0.75% mensual Calculamos la devaluación mensual:
⁄
⁄
Se calcula el valor de la anualidad utilizando el programa Excel de Microsoft:
TABLA DE Datos
Para la realización del presente ejercicio utilizaremos la hoja electrónica de cálculo Excel de Microsoft; en las direcciones de celda A1, a la A9 se colocarán las etiquetas Valor de la máquina en U$, Plazo en años, Plazo en meses, Interés MV, Interés del periodo mensual, Tasa de cambio, Devaluación anual, Devaluación mensual, y Anualidad respectivamente, y en las direcciones de celda B1, a B9 los valores respectivos para el desarrollo del ejercicio.
Ítem Valor Variable
Valor de la Máquina en U$ $ 20.000 P
Plazo en Años 2 n
Plazo en Meses 24 iMV
Interés MV 9%
Interés del Perido Mensual 0,75% i
Tasa de Cambio $2.900,00 TR
Devaluación Anual 19,56% DA
Devaluación Mensual 1,50% ii
Anualidad $ 913,69 A
Para una mejor comprensión de las fórmulas se da nombre a las celdas en donde irán los datos variables que intervienen en la solución del problema planteado descritos en la tabla anterior de la siguiente forma: Utilizando la barra de menús se ubica en el menú de Fórmulas y en el botón Asignar nombre a un rango se entra por la opción Definir Nombre.
Se hace igual para dar nombre a todas las variables que intervienen en el cálculo de la cuota. En la dirección de celda B5 correspondiente al valor del Interés del periodo mensual se digitará la siguiente fórmula correspondiente al cálculo de la tasa de interés pos meses:
Botón Agregar nombre a un rango
Barra de Menús Formulas
En este sitio se le asigna el nombre a la variable
En este espacio se busca la dirección de celda en donde se va a ubicar el monto del préstamo.
=iMV/12 Luego hallaremos la devaluación mensual utilizando la siguiente fórmula:
=((1+DA)^(1/12))-1 Luego hallamos el valor de la anualidad utilizando la función PAGO de Excel:
=PAGO(i;n;P)*-1 Para una mejor ilustración y para verificar los valores de los resultados puede visitar la siguiente página http://albatros.uis.edu.co/cvecino/anualidades.jsp y http://albatros.uis.edu.co/cvecino/compuesto.jsp Una vez terminadas las fórmulas de la entrada de datos procedemos a construir la tabla de pagos la cual se hará de la siguiente forma para el periodo 1, utilizando las fórmulas que aparecen resaltadas con color rojo:
Tabla de pagos para el cálculo de un préstamo utilizando cuota fija
Periodo Saldo Inicial Interés
Causado Cuota a Pagar Abono a Capital Saldo Final Saldo Final en Pesos
0 $ 20.000,00 $ 58.000.000,00
1 $ 20.000,00 $ 150,00 $ 913,69 $ 763,69 $ 19.236,31 $ 56.622.063,55
1 =F3 =F3*i =C4+E4 =A-C4 =F3-E4 =F5*TR*((1+ii)^A5)
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
6 $ 16.123,82 $ 120,93 $ 913,69 $ 792,77 $ 15.331,05 $ 48.614.537,21
Una vez se tienen las fórmulas se procede a copiar la fila que contiene las fórmulas hasta la fila 27 para cubrir los 24 periodos que contempla el ejercicio. Se resalta la fila correspondiente al periodo sexto en donde se determina el saldo de la deuda en dólares y pesos al cabo de seis meses. Adicionalmente se puede hacer una gráfico con estos valores de la tabla, simplemente señalando las celdas correspondientes a la tabla de amortización y seleccionando “Insertar un gráfico de líneas”. Teniendo en cuenta que el rango de valores de los saldos, tanto inicial como final, es muy superior al rango de valores de los intereses, las cuotas y los abonos a capital, es conveniente seleccionar estas series y mediante la opción “dar formato a la serie de
datos”, a la cual se accede con el click derecho del mouse, seleccionar para ellas el “eje secundario” en las “opciones de serie”. El gráfico quedará de la siguiente manera: