Problemas Deteccion Modulacion Binaria PROBLEMA 1. QUIZ 3 EERO 2007. UCAB ITEGRATES: Reinaldo May, José Manuel Mejias

Observe las siguientes constelaciones correspondientes a tres modulaciones A, B

y C. Considere el mismo canal y receptor adaptado a cada caso. A B C

RESPUESTA: Sabemos que la probabilidad de error viene determinada por la distancia entre las constelaciones. Entre mayor distancia tengan las constelaciones entre si, menor será la probabilidad de ruido. Como podemos ver en las modulaciones, la modulación A tiene una distancia entre sus constelaciones de 2, la B de √2 y la C de 1. Por lo que en orden la Modulación A tendría menos probabilidad de error que la B y la B menor que la C. Y se ubicarían en el grafico de la siguiente forma:

Pc

Pb Pa

Para el eje horizontal podemos obviar la η puesto que el ruido por ser el mismo canal y el mismo receptor será igual en los tres casos. Con respecto a la energía, sabemos que es la suma de las distancias radiales al cuadrado de cada constelación por su probabilidad.

Ex = dx2 * Px

Entonces:

Ea = (1)2 * (1/2) + (1)2 * (1/2) = 1 Eb = (1)2 * (1/2) + (1)2 * (1/2) = 1

Ec = (1)2 * (1/2) + (0)2 * (1/2) = 1/2 Por lo que:

Pc

Pb Pa

Lo que se puede observar es que la modulación A y B gastan el mismo nivel de Energía pero la B tiene más probabilidad de error que la A. La modulación C a pesar de tener la mayor probabilidad de error es la que menos Energía consume.

PROBLEMA 2. Comunicaciones II. UCAB. Quiz 3. Enero 2007 Integrantes del grupo:Shirlye Mendoza, David Mercado

Se tiene una portadora sinusoidal que es modulada por una señal binaria b(t) polar equiprobable de 1000 bps de forma tal que la potencia de la señal modulada resulta igual a 1250 w. Las formas de onda involucradas en el transmisor son:

tCost

Ats

tCost

Ats

c

b

c

b

ω

ω

2)2()(

2)(

2

1

−=

=

a)Deduzca la base ortonormal adecuada y en base a ésta dibuje la constelación. Para encontrar la base ortonormal, podemos deducirla sin hacer cálculos ya que como conocemos las señales de entrada y estas son sinusoidales, sabemos que la base ortonormal va a tener la misma forma que la señal de entrada pero con un valor de amplitud diferente. Por medio del método de ortogonalización de Gramm-Smith tenemos que: Al hacer el cálculo de la primera base nos resulta lo siguiente:

Para el cálculo de la segunda base como es de esperarse, el resultado es cero.

El numerador queda:

Las señales en función de la base ortonormal encontrada quedan expresadas de la siguiente manera:

La constelación siguiente es un aproximado debido a que no conocemos aun el valor de A.

b) Determine Α, Α, Α, Α, suponga que esta señal modulada se envía por un canal que la atenúa 10 dB y le agrega ruido blanco gaussiano. El receptor es un correlacionador Para determinar el valor de A, primero calculamos la energía total de la constelación. Tomamos en cuenta el dato de la potencia de la señal y el tb y despejamos el valor de la amplitud de la señal sin tomar en cuenta todavía la atenuación que produce el canal.

Ahora la constelación quedaría de la siguiente manera:

Como el canal atenúa la señal, debemos calcular el factor de atenuación y multiplicarlo por los valores originales de la constelación. Como el factor de atenuación esta en dB y los de la constelación en voltios, calculamos la raíz cuadrada del factor de atenuación. PROBLEMA 3: QUIZ 3 Enero 2007 UCAB

Se tiene una portadora sinusoidal que es modulada por una señal binaria b(t) polar equiprobable de 1000 bps de forma tal que la potencia de la señal modulada resulta igual a 1250 w. Las formas de onda involucradas en el transmisor son:

tCost

Ats

tCost

Ats

c

b

c

b

ω

ω

2)2()(

2)(

2

1

−=

=

a) (3 puntos) Deduzca la base ortonormal adecuada y en base a ésta dibuje la constelación.

La base es

tCost

tu c

b

ω2

)(1 =

Con esto su energía resulta unitaria b) (3 puntos) Determine Α

25.1])2([*5.0 22 =+=−+ tbitPAA

A puede ser 1.5 ó 0.5 y en cualquier caso la constelación no cambia Suponga que esta señal modulada se envía por un canal que la atenúa 10 dB y le agrega ruido blanco gaussiano. El receptor es un correlacionador c) (3 puntos) Escriba una expresión de la señal modulada (en el dominio del tiempo) A LA ENTRADA DEL CORRELACIONADOR. Suponga que b(t) es una señal binaria polar que toma valores 1 y -1

tCostbt

x c

b

MOD ω))(5.01(2

10

1+=

Esto toma en cuenta la atenuación de 10 dB que produce el canal. d) (3 puntos) Determine η si se sabe que la probabilidad de error por bit, a la salida del correlacionador es igual a 3.1671x10-5.

Al existir equiprobabilidad entre los “0’’ y “1” lógicos. Se establece la probabilidad de error de la siguiente manera:

Se toma la probabilidad de que cada símbolo se convierta en el otro en base al factor

η2d

Q2

En este caso d=0.474-0.158=0.316

522

e 10x1671.32d

Q2d

Q*2*5.0P −=

η=

η=

Esto implica que:

42d2

=η

De aquí se despeja η=0.0031 PROBLEMA 4: Comunicaciones II. UCAB. Quiz 3. Junio 2007 Realizado por: Trautmanis, Eriks Seguerit, Vanessa Suponga 3 sistemas de comunicaciones digitales denominados A, B y C, cuyas ubicaciones en las curvas de Pe vs. E/η se muestran a continuación

a) ¿Cuál de los tres sistemas es más fuerte frente al ruido? EXPLIQUE b) Si B y C son sistemas casi idénticos (misma modulación, misma potencia, receptor adaptado en ambos, mismo canal), ¿cuál transmite más símbolos por segundo? EXPLIQUE c) Si A y B son sistemas casi idénticos (todo igual menos la potencia de transmisión), ¿aproximadamente en cuantos dB hay que subir o bajar la potencia de transmisión de A para convertirse en B? EXPLIQUE

Respuestas: a) Como se puede observar en la grafica, el sistema con menor Pe (probabilidad de error) es el ¨C¨ por lo tanto es el que posee mayor fortaleza ante el ruido. b) Para poder demostrar que sistema transmite más símbolos por segundo se parte de lo siguiente:

Como se establece que se trabaja en un mismo canal el ruido es el mismo para ambos sistemas con lo que se puede decir lo siguiente

Ahora expresamos cada ecuación en función de su sistema correspondiente

A través de la grafica se nota que la relación energía sobre ruido del sistema ¨C¨ es mayor a la del sistema ¨B¨ por lo podemos decir lo siguiente

Como las potencias y el ruido son iguales en ambos sistemas se obtiene lo siguiente

Como se pide el número de símbolos por segundo debemos expresar la ecuación anterior en función de Fs

Llegamos a la conclusión de que el ¨B¨ es el que transmite más símbolos por segundo c) Para determinar en cuantos Db hay que subir o bajar la potencia de transmisión del sistema ¨A¨ se parte de lo siguiente:

Basándose en la grafica se puede aproximar los valores de la relación energía a ruido de los sistemas de la siguiente manera

Como la relación energía a ruido es expresada en Db se debe hacer lo siguiente

Luego se despeja Ts en ambas ecuaciones

Ahora se procede a igualar las ecuaciones

Dado que el ruido es el mismo queda lo siguiente

Por último se obtiene que

Llegando a la conclusión de que la potencia de transmisión de el sistema ¨A¨ debe incrementarse en 0.5 Db para convertirse en el sistema ¨B¨

PROBLEMA 5: RESUELTO POR ABELIS SALAZAR

DICIEMBRE 2010 SECC 02

A)

B)

C)

Problema 6

En un sistema de transmisión digital modulado, la señal que llega al receptor tiene la

forma:

( )( )A t kTb k kcos ,ω φ φ0 0 90− + = donde o o

La duración de cada símbolo transmitido es Tb y f0 = N/Tb.

Suponiendo ruido blanco gaussiano:

a) Diseñe el receptor óptimo.

b) Encuentre la probabilidad de error en función de λ.

Respuesta

Las funciones que describen los dos tipos de pulsos que se están enviando son:

( )

( ) ( )s t A t

s t A t A t

1 0

0 0 090

=

= + = −

cos

cos sen

ω

ω ωo

Se utiliza la ecuación que define el receptor óptimo

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( )( )[ ]

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]

h tK

s t t s t t

h tK

A T t A T t

T n ento

h tK

A t A t

opt

opt

opt

b b

b

= − − −

= − − − −

=

= − − − − = −

η

ηω ω

ω π

ηω ω

1 0 0 0

0 0

0

0 0

2

cos sen

cos sen

Como nces

AKcos t sen t0 0ηηηη

ωωωω ωωωω

b) Para calcular la probabilidad de error

( )

( )

( )

E A t dt A t dtA T

E A t dtA T

P QE E E E

Q

A T A T A T

P QA T

Tb Tbb

Tbb

e

b b b

eb

= = +

=

= − =

=+ −

=

+ −

=−

∫ ∫

∫

cos cos

sen

ω ω

ω

λ

η

λ

η

λ

η

0 0

0

2

0

2

0

2

02

0

2

1 0 1 0

2 2 2 2

2

1

2

1

22

2

2

2

2

2 22

2

2

1

2

( )

Como E =

A entonces

2Tb

2P = Q

E 1-e

λλλλ

ηηηη

Problema 7

En un sistema de transmisión digital modulado, la señal que llega al receptor tiene la

forma:

( )( )A t kTk bcos ,ω 0 1 2− = donde A k

La duración de cada símbolo transmitido es Tb y f0 = N/Tb

a) Diseñe el receptor óptimo

b) Encuentre la probabilidad de error en función de λ.

Respuesta

a)

( )

( )

s t t

s t t1 0

0 0

2=

=

cos

cos

ω

ω

( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]∏∏

∏

ω

η=

ω−−ω−

η=

π=ω

−ω−−ω

η

=−−−η

=

b0

b00opt

b0

bb0b0

0001opt

Tt

tcosK

Tt

tcostcos2K

th

entonces n2T Como

Tt

tTcostTcos2K

ttsttsK

th

b) Cálculo de la probabilidad de error

( )

( )

==

−=

⋅−+

=

−+=

==

=⋅==

∫

∫

ηλλ

η

η

λ

η

λ

ω

ω

4 1 ;

22

222

2

2

2

2cos

22

14cos2

0101

0

0

0

20

0

21

bb

bb

bb

bTb

bb

Tb

TT

TT

TT

QEEEE

QP

TdttE

TTdttE

e

QP4

5QP ee

Problema 8 Se tiene una portadora sinusoidal que se define en base a una señal binaria b(t) polar equiprobable de potencia 1 watt, de forma tal que la señal modulada y la base ortonormal están expresadas como sigue:

tCostu

tCostbtx

c

cMOD

ω

ω

2000)(

))(5.01(5)(

1 =

−=

a) Determine la constelación de la señal modulada. b) Determine la DEP de la señal modulada y en base a ésta determine la potencia promedio total de la señal modulada Suponga que esta señal modulada se envía por un canal que le agrega ruido blanco gaussiano. El receptor es un correlacionador c) Dibuje el diagrama en bloques de todo el sistema en detalle d) Determine los posibles valores de voltaje a la salida del correlacionador (sin ruido) e) Suponga que el oscilador del correlacionador sufre un cambio de fase de π/4 Determine nuevamente los posibles valores de voltaje a la salida del correlacionador (sin ruido) f) Suponga que la Probabilidad de error por bit para el caso en que el correlacionador no tiene error de fase resulta 3.1671x10-5. Determine cual debería ser la tasa de transmisión (en bps) para que la Probabilidad de error por bit cuando el correlacionador tiene un error en la fase sea la misma. RESPUESTAS

a)

b)

P=2(5)2/4+2(2.5)2/4=15.625 w

c)

+ x ʃ

d) Los valores serían y e)

El primer valor obtenido es: Utilizando la misma ecuación pero con se obtiene el segundo valor

f)

Hay que bajar la velocidad a la mitad

Problema 9: Se tienen dos sistemas de comunicaciones, que usan el mismo canal, cuyas curvas de Pe vs. E/η en dB se muestran. Al sistema A le corresponde la curva sólida y al Sistema B la punteada. En un momento dado el funcionamiento de ambos sistemas se representa por el punto donde se interceptan las dos curvas (E/η cerca de 3.5 dB y la Pe resulta cercana a 10-2)

En ambos sistemas se decide modificar su potencia hasta lograr una Pe cercana a 10-3.

Determine cual de los dos sistemas gastaría mas potencia y además calcule aproximadamente la diferencia de esas potencias en dB RESPUESTA

Para que tenga su

Para que tenga su El caso B gastaría más potencia

dB1)S

Slog(10

6)tS

log(10

7)tS

log(10

A

B

sA

sB

=

≈η

≈η

Restando las dos primeras fórmulas obtenemos la diferencia en dB de la potencia

Problema 10

Un sistema ASK binario utiliza las siguientes señales en presencia de ruido blanco:

=0un para )sen(.

1un para )sen()(

twA

twAtS

c

c

γ en ( 0, tb )

donde 0 ≤ γ ≤ 1. Deduzca una expresión de la probabilidad mínima de error

cuando se usa detector coherente óptimo.

Respuesta

Para el cálculo de la probabilidad de error en un sistema de modulación

digital, con probabilidad de transmitir “1 “ igual a la probabilidad de transmitir

el “ 0 “ y con filtro adaptado, podemos utilizar las siguientes fórmulas:

( )

−+=

−+=

η

λ

λη

2

2

241

21

0101

0101

EEEEQ

EEEEerfcPe

∫=bt

dttStSEE 0

01

01

)()(1

λ

donde S1 ( t ) se refiere a la señal de radiofrecuencia que representa a los “1” y

S0 ( t ), la que representa a los “ 0 “ . En nuestro caso tendremos:

S t A w tc1 ( ) sen ( )= y ( )twAtS csen)(0 λ=

además :

E S t d t

tb

1 12

0

= ∫ ( ) ∫ == 122

12

0 )( EdttSE γγ

λγ

γγ

γ=

⋅⋅ =

⋅

⋅=∫

11

12

1

12

0

1

1E ES t d t

E

E

tb

( )

( )P erfcE

e = − ⋅ +1

2 42 11 2

ηγ γ ==> P erfc

Ee = ⋅ −

1

2 411

ηγ

P QE

e = ⋅ −

1

21

ηγ

con 0 ≤ γ ≤ 1 . La menor probabilidad de error se obtiene cuando el argumento

de la Q(x) sea máximo. Esto ocurrirá a medida que γ tienda a cero.

Problema 11

Una señal FSK de ancho de banda 4rb , utiliza dos señales ortogonales S1 (t) y

S0 (t) de la misma energía . Esto , cuando se detecta mediante un correlacionador,

produce una probabilidad de error por bit Pe =1.59 x 10-4 . Encuentre:

a) La Pe que resultaría, si en vez de detectar con un correlacionador se detecta

con dos filtros pasabanda(detección no coherente).

b) Determine la relación señal a ruido en el receptor.

Respuesta

a)Señales ortogonales ==> λ = 0. Por lo tanto la expresión de la probabilidad de

error cuando se detecta con un correlacionador, se reduce a:

P erfcE

e =12 2η

==> P QE

xe =

= −

η1 59 10 4.

buscando este valor en la tabla de Q(x) llegamos a:

E

η= 3 ,6 ==> E

η= 12,96

Por otro lado la probabilidad de error cuando se utiliza un filtro

pasabanda es:

P ee

E

=−1

22 η ==> 42

96,12

e 10.67,7e21

P −−

==

b) 4

96,12

496,12

1=

=

==

b

b

b

b

t

t

Bt

E

B

tE

S

ηη

Problema 12

Se tiene un sistema de modulación digital FSK binario, donde se conocen las

funciones S1(t) y S0(t) que se utilizan para representar el uno y el cero

respectivamente. El canal sólo le suma ruido blanco gausseano. El receptor que se

usa es coherente. Se pide que, conociendo que se transmite 1 bit cada segundo,

determine:

a) La frecuencia de la portadora

b) El espectro de potencia de la señal.

c) La expresión que permite determinar la probabilidad de error del receptor.

S t C ost

t

tS t C os

t

t

tb b b b

1 0

5 7( ) ( )=

=

π π t

tΠ Π

Respuesta

a) 27 5

ππ

ππ

2 =

f Wt

f Wt

A C

b

B C

b

= + = − =( )Ω Ω

HzffHzff

ff

tf

t

Hzftt

ft

wt

w

bBbA

b

bb

cb

b

cb

cb

c

5,22

5 y 5,3

2

7

2

1

22

31 ;36122

====

==→=→=Ω

=∴==→=→=

ΩΩ

ππ

π

ππ

b) Una señal FSK se puede representar como: S t P w b t ts( ) cos[( ( ) ) ]= +2 0 Ω ,

pero para determinar las propiedades espectrales se expande la ecuación,

utilizando la identidad trigonométrica del coseno de una suma, quedando:

S t P t w t P b t t w ts s( ) cos( ) cos( ) ( ) sen( ) sen( )= ⋅ − ⋅2 20 0Ω Ω

S fp

Esinc t sinc t sinc t sinc t

s

Sb b B b

( ) [

[ ]

= + + +

+ + +

8

82 2 2 2

δ δ δ δ f - f f - f f + f f + f ] +

f - f f - f f + f f + f

A B A B

A B A B

A ptb

s= → = → = =21

2 212

; A = 1 P Es s

S f

sinc t s inc t sin c t sinc tb b b b

( ) [

[ ( ) ( ) ( ) ( )]

= + + +

+ + +

1

161

1 62 2 2 2

δ δ δ δ f - f f - f f + f f + f ] +

f - f f - f f + f f + f

A B A B

A B A B

c)

λ = ∫1 2

21 2

1

0

2E E

S t S t d tt

t

t

b

b

b

( ) ( )sen ( )

=Ω

Ω

λπ

π= = →

sen( )2

20 o rtogonales

==> 2

)( ;0

21

b

t

e

tdttSEEQP

b

==

= ∫η

2121 2(41

21

EEEEerfcPe λη

−+=

==>

=

=

ηη 2

12 Q

tQP b

e

Problema 13

Se transmiten datos NRZ a 300 bps a través de un canal telefónico usando FSK

con frecuencias de transmisión de 2025Hz y 2225 Hz. Suponiendo un ancho de

banda de 800Hz, encuentre la probabilidad de error para recepción coherente si la

relación señal a ruido a la salida es de 8dB.(El ruido es gaussiano, blanco, de

media cero).

Respuesta

S

dB

S

dB linea l

= →

=8 10 0 8 .

SE

t

p

b

= suponiendo que am bos pulsos tienen la m ism a am plitud

gausseano blanco ruido suponiendo 2

2

=

ηB

82.1610.800.300

1 8,0 ==

=→=

⇒

lineal

b

p

b

p

lineal

SBt

E

Bt

E

S

ηη

por otro lado:

; = 200

-0 ,206

f f f

t

t

c c c

b

b

− = + = → =

= → ≈

Ω ΩΩ

Ω

Ω

22025

22225 2125

2

2

π ππ

λ λ

;

sen ( )

P QE

P Q xe

p

e= −

→ ≈ ≈ −

ηλ( ) ( , ) ,1 4 50 3 40 10 6

Problema 14

Un satélite transmite información meteorológica usando PRK a una velocidad de

1.75Mbps. Si η=1.26x10-20 W/Hz y las pérdidas en el trayecto son de 144dB,

determine la mínima potencia transmitida para lograr Pe =10-7. Bajo estas

condiciones, ¿ cuánto cambiaría la probabilidad de error, si el receptor presenta un

error de fase de 30º ?

Respuesta

a) La probabilidad de error para el PRK es:

=

=

ηη

EQ

EerfcPe

2

2

1con E= E1= E2 = potencia recibida x tb

E = SR tb

por otro lado tenemos : atenuaciónSS

RT ==

αα

1;

10 144 1014 4log( ) ,α α= → =dB

P QS t

eR b=

= −2

10 7

η

==>

226 52 73 44

S tS WT b

Tα η⋅

≈ → ≈, ,

b) ( ) ( )P QE

Q Qe =

= ⋅ ≈

226 52 30 19 892 2

ηφcos ( ) , cos ( ) ,

15,5tS2

10tS2

Q bT7bT ≈αη

→=

αη

−

( ) 610.4,35.4 −== QPe

como se ve la probabilidad de error aumenta

Problema 15

En un sistema de modulación digital se conoce la potencia transmitida, las pérdidas

totales y la densidad del ruido blanco gausseano. Se pide determinar la velocidad

de transmisión de manera que la probabilidad de error esté limitada a Pe ≤10-4 .

Haga este problema para:

1. ASK detección coherente

2. ASK detección no coherente

3. PRK

4. FSK no coherente.

Respuesta

ASK coherente: P QE

energ ia prom edio por b ite

p=

≤ =−

η10 4 E p

==> EE S t

S

Sp perd idas en

p

p R bR

T

p

η≥ = = =

−

3 7 10 1 0, ; ; ; dB

==> S

S

rST T

bTE S t

t

tp T

p

b

p

b

p

b

p

= ⋅ → ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤−

− − −

1010

3 710

13 691 10

13 691 0

10 10 10

η η η,

, ,

ASK no coherente:

Pe ≈ > >1

21e

-E

2 ; siem pre que E

p

pηη

42

t10S42

E

10e2

1 10e

2

1b

10

P

Tp

−η−

−η

−

≤≤

−

51,82

10Sr

10

P

Tb

η≤

−⇒

PRK : P QE

e

p=

2

η considerando que no ex iste desfasaje en el recep to r

==> Q

E E E

S tr

S

p p p

T

p

bb

T

p

2 23 7

21 3 69

2 1 013 69

2 1 0

13 69

10 1 0

η η η

η η

≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥

⇒ ≥ ⇒ ≤

−−

1 0

-4 , ,

,,

FSK no coherente = ASK no coherente

Problema 16

Compare los requerimientos de potencia para PRK y FSK no coherente a 300 bps,

η=2x10-14 W/Hz y Pe =10-5.

Respuesta

PRK

P QE E

e =

= ⇒ ≈−2

102

4 255

η η, considerando que no ex iste desfasaje en el recep tor

06,182 ≈η

E

pérdidasexisten no que asumiendo 06,182

≈⇒η

bRtS

Wt

Sb

R

1110.41,5206,18 −==⇒

η

dBmSR 63,72−=

FSK no coherente

51,82

10Sr

10

P

Tb η

≤

−

pérdidasexisten no que asumiendo 82,102

82,1022

1 2 =→−=−⇒=−

ηηη bR

E

e

tSEeP

Wt

Sb

R

102910,182,102 −==

η dBmSR 89,68−=

Por lo tanto se requiere mayor potencia para transmitir en FSK no

coherente, bajo las mismas condiciones de Pe que el PRK.

Problema 17

(COUCH ) Se quiere transmitir datos sobre líneas telefónicas usando BPSK. Se

usan repetidoras regenerativas espaciadas 50 millas. La longitud total es de 600

millas. La línea telefónica se ecualiza entre repetidoras para producir, en la

banda de 300 a 2700 Hz, una relación señal a ruido de 15dB a la entrada de la

repetidora ( Eb / No ) ( ruido gausseano ).

a) Encuentre la mayor tasa de bits que puede transmitirse sin ISI

b) Encuentre la probabilidad de error por bit total.

Respuesta

El ancho de banda ecualizado, y que por lo tanto no tendrá ISI, es 2700- 300 =

2400 Hz.

a) En BPSK BW= 2fb ==> fb = ( BW/2) = 1200 b/s

b) En PSK ( PRK )

P QE

eb=

2

η

En BPSK

señal = 2 P w t b ts csen( ( ))+ ∆ φ

= 2 2P b t w t P w ts c s c( ) sen ( ) cos( ) cos( )∆ ∆φ φ )sen (+

m

m

=

= −

cos(

sen( )

∆

∆

φ

φ

)

1 2

= − +2 1 22p b t m Cos w t p mSen w ts c s c ( ) ( ) ( )

P QE m

eb=

−2 1 2( )η

S

E

t f

Eb

b b

b= =η η 2 2

como 10log(S/N)=15 ==>(Eb/η)=63,24

==>

P Q m P P Q me e to ta l e= − ⇒ = = −12 6 4 9 1 12 12 12 6 4 9 12 2, ( ) , ( )

Problema 18

( CARLSON ) Considere una señal PRK + portadora en la cual:

S t A Cos w t A Cos w tt t

tC c c c

b

b

1

0 5( ) ( ( ) ( ))

.= +

−

α Π

S t A Cos w t A C os w tt t

tC c c c

b

b

0

0 5( ) ( ( ) ( ))

.= − +

−

α Π

Determine la probabilidad de error que se conseguirá, si el canal sólo suma

ruido blanco gausseano y el receptor es óptimo coherente.

Respuesta

( ) ( )

( ) ( )

−Π−=

−Π+=

b

bcc

b

bcc

t

tttwCosAtS

t

tttwCosAtS

5,01)(

5,01)(

0

1

α

α

E

A tE

A t

EE E A t

C b C b

pC b

1

2 2

0

2 2

1 02

1

2

1

2

2

1

2

=+

=−

=+

=+

( ) ( )

( )

α α

α

;

2

λα

2

E EA tC b

1 0

2 1

2=

−( )

P QA t A t

A tec b c b

c b=+

+−

− −

1

2

1

2

1

21

2 2 2 22 2

η

α αα

( ) ( )( )

P QA t

ec b=

2

η se coloca en función de EP quedando:

P QE

eP=

+

2

1 2( )α η

Problema 19

Una señal ASK donde el ‘1’ se representa por:

Π=

bb t

t

t

tCosts

π6)(1 y el ‘0’ con cero

voltios, se transmite por un canal que la contamina con ruido blanco gausseano de tal

densidad que , al usar detector coherente, se produce a la salida una probabilidad de

error por bit de Pe=1,35x10-3.

Si la señal correspondiente al ‘0’ cambia a 0,5 voltios. Determine el nuevo valor de la

probabilidad de error para un nuevo filtro óptimo adaptado a este cambio.

Respuesta

ASK

3

0

1 10.35,1

0)(

6)(

−=

=

Π=

ebbP

ts

t

t

t

tCosts

π

η

λ

σ 2

2)( 0101

20

2 EEEEty

max

−+=

ππ

ππ12

242

121

2

16

00

21 Sen

ttdt

t

tCosdt

t

tCosE bb

T

b

T

b

bb

+=

+== ∫∫

00 010 =⇒= EEE

ησησ 49)(

10.35,14

)(2

02

3.2

02

be

b ttyP

tty==⇒=→= −

Para el otro

441

2

1)(

0

00b

tt

dtEtsb

==→= ∫

0612

6

62

16

2

1

00

01 ==== ∫ ππ

π

π

πλ Sen

t

t

tSen

tdt

t

tCosEE b

t

b

b

t

b

bb

2

279.

2

3

42

3

242)( 0

2

===+

=ηησb

bbt

ttty

( ) ( ) 410.31,165,367,3227 −===

= QQQPe

Problema 20

Un sistema PRK de 106 bits por segundo presenta una probabilidad de error de

10-5 cuando el receptor es un detector coherente. Si el canal por el cual se

transmite esta señal aumenta sus pérdidas en 3dB, ¿cuánto debe cambiar la

velocidad de transmisión (manteniendo todo lo demás constante) para mantener la

misma probabilidad de error?.

Respuesta

Considerando que no existen desfasajes:

P QE E E

e =

= ⇒ ≈ ⇒ =−2

102

4 252

18 065

η η η, ,

por otro lado E S tt

rT

p

b

p

bb

p

= ⇒ = ⇒ =−

− −

1010

18 0610

18 061 0

1 0 1 0

2S 2ST T

η η,

,

Si no existen pérdidas ==> rb =2S T

18 06, η

con 3dB de pérdidas ==> rb =

12 18 06

2S T

, η

Por lo tanto se debe bajar la velocidad a la mitad para mantener la

misma probabilidad de error.