Problemas de Transporte

Programacion Matematica. Transporte, transbordo y asignacion. 1

Problemas de transporte, transbordo y asignacion.

1. (2o Parcial 03) Considerar el problema de transporte definido por a = (6, 7, 8), b = (6, 9, 4, 2) y

C =

4 1 5 62 8 9 36 1 7 2

. Una posible solucion serıa envıar 6 unidades del primer origen al segundo

destino, 6 unidades del segundo origen al primer destino, 1 unidad del segundo origen al cuarto destino,3 unidades del tercer origen al segundo destino, 4 unidades del tercer origen al tercer destino y 1 unidaddel tercer origen al cuarto destino.

Si es posible, obtener la solucion optima del problema por el metodo simplex partiendo de esta solucion.

2. Una empresa de plasticos posee dos plantas de produccion de bolsas que se transportan a tres fabricasdiferentes de envase. Los costes de transporte por bolsa, los datos de la demanda y disponibilidad sonlos siguientes:

Planta\Fabrica 1 2 3 Oferta1 25 17 23 1732 19 12 18 215

Demanda 92 74 86

Plantear, mediante un modelo de programacion lineal, el problema de encontrar la forma menos costosade realizar el transporte. Despues, resolverlo por el metodo simplex de transporte.

3. Una empresa necesita cubrir una demanda contratada de tres productos A,B y C de 230, 260 y190 unidades semanales, respectivamente. Los productos pueden elaborarse mediante cinco metodosdiferentes, cuyas caracterısticas son las siguientes:

Produccion Ganancia netasemanal unitaria

Metodo A B C1 130 140 210 2552 135 142 208 2563 160 134 212 2584 180 138 209 2605 120 141 214 253

Formular como un modelo de programacion lineal el problema de determinar la produccion por cadametodo que maximice la ganancia neta total. Resolverlo por el metodo simplex de transporte utilizandoel metodo de Russell para obtener una SBF inicial.

4. Una fabrica de piensos compuestos dispone de tres plantas diferentes de fabricacion y cinco almacenespara la distribucion mensual. Las cantidades fabricadas en cada planta son de 60, 80 y 90 t. al mes.Las cantidades mensuales solicitadas por los almacenes son 20, 60, 80, 40 y 10 t., respectivamente. Lamatriz de costes por unidad de transporte es

7 3 2 4 26 5 8 3 43 2 5 7 1

¿Cual es el precio mınimo de transportar la demanda solicitada al mes?

5. Una empresa dispone de tres almacenes desde donde distribuir sus productos a cuatro tiendas. Ladistancia en km desde cada almacen a cada una de las tiendas es


Almacen\Tienda 1 2 3 4 Disponibilidad1 80 130 40 70 1202 110 140 60 100 1703 60 120 80 90 110

Cada tienda necesita 100 productos mensuales. El coste de transporte por producto es de 1000u.m.por embarque mas 5u.m. por km. Resolver por el metodo sımplex de transporte usando metodo de laesquina noroeste y Russell. Comparar ambos resultados.

6. Resolver el siguiente problema de transporte:

1 2 3 4 5 6 Oferta1 5 10 15 8 9 7 302 14 13 10 9 20 21 403 15 11 13 25 8 12 104 9 19 12 8 6 13 100

Demanda 50 20 10 35 15 50

Utilizar Vogel y Russell, y comenzar con la SBF de menor valor para la funcion objetivo.

7. Las tarifas aereas por t. entre siete localidades son las siguientes:

Localidad 1 2 3 4 5 6 71 - 21 50 62 93 77 -2 21 - 17 54 67 - 483 50 17 - 60 98 67 254 62 54 60 - 27 - 385 93 67 98 27 - 47 426 77 - 67 - 47 - 357 - 48 25 38 42 35 -

Cierta empresa debe embarcar un determinado artıculo desde las localidades 1,2,3 hacia las localidades4,5,6,7. Deben enviarse, respectivamente, 70, 80 y 50 t. de las tres primeras localidades y deben recibirse,respectivamente, 30, 60, 50 y 60 t. en las cuatro ultimas. El transporte puede realizarse a traves delocalidades intermedias con un coste igual a la suma de los costes para cada una de las etapas deltrayecto. Determinar el plan optimo de transporte. (Utilizar Vogel)

8. Una empresa de transporte debe enviar desde las localidades A y B, 70 y 80 t. de carga, respectivamente,a las localidades X, Y, Z donde deben recibirse 35, 65 y 50 t., respectivamente. Los embarques puedenrealizarse a traves de puntos intermedios a un coste igual a la suma de los costes de los tramos de laruta que son

A B X Y ZA - 21 56 62 93B 21 - 17 54 67X 50 17 - 60 98Y 62 54 60 - 27Z 93 67 98 27 -

Resolver usando Vogel.

9. Cierta companıa posee un centro comercial en cada una de las ciudades 1, 2 y 3. A cada uno de estoscentros llegan mensualmente 10 camiones que se envıan desde dos centros de distribucion A y B, loscuales disponen de 15 camiones cada uno.


El transporte se realiza por carretera pero como el peso de camiones supera el lımite permitido por lacarretera de acceso desde A hasta la ciudad 3, no hay posibilidad de abastecer el centro comercial dela ciudad 3 desde A.Los costes de transporte, por camion, entre los centros de distribucion y los centros comerciales vienenexpresados en la siguiente tabla:

1 2 3A 5 3 -B 6 3 5 u.m.

a) ¿Como realizar el transporte para que el coste total sea mınimo?b) En la ciudad 2, se instala en periodo experimental un sistema que permite cambiar cada remolque

de camion por un vagon de ferrocarril. Desde 2 hacia 1 y 3 se podra utilizar el transporte porferrocarril. El centro A decide utilizar este sistema experimental. En principio solo lo utilizara elcentro A pues existe la sospecha de que se ocasionaran retrasos en los envıos. Necesitas tener encuenta el coste de transporte por ferrocarril desde 2 hasta 1 y 3 que es de 4 u.m. y 1 u.m. porvagon utilizado, respectivamente.Determinar el numero de camiones y vagones que se envian desde cada centro de distribucion acada ciudad, para que el coste del transporte sea mınimo.

c) Una vez comprobado que los retrasos no son excesivos el centro B decide estudiar la posibilidadde utilizar, junto con A, el transporte por ferrocarril ¿Como se modifica el coste de transporte?

10. La solucion optima para un problema de transporte es la siguiente:

DESTINOS1 2 3 4

1 15 11 30 41 7ORIGENES 2 14 94 51 8 14

3 76 65 7 12 137 15 8 4

a) ¿Cual sera la solucion optima si c14 pasa a ser 4?b) ¿Para que valores de c14 esta solucion seguira siendo optima?

11. Una companıa manufacturadora tiene un ciclo fijo de demanda cuyo periodo es de una semana. Se sabeque el patron de demanda es el siguiente:

Dıa L M X J VUnidades 9 17 2 0 19.

La companıa puede producir 10 unidades/dıa pero no trabaja los miercoles ni los fines de semana.La produccion esta lista para su venta el mismo dıa que se produce y se puede almacenar a lo largode tres dıas (incluyendo sabados y domingos) a un coste de 4$/unidad/dıa. El coste de producciones de 5$/unidad. Las demandas no satisfechas llevan consigo una penalizacion de 3$/unidad los lunessolamente.Se quiere determinar la planificacion de produccion que minimice los costes de fabricacion y los dealmacenamiento. Formular el problema como un problema de transporte y encontrar la solucion optima.

12. Un problema de transporte se caracteriza por la siguiente matriz

D1 D2 D3 D4 D5

O1 14 16 17 12 18 120O2 18 12 21 16 22 190O3 20 15 19 18 19 60O4 17 13 25 20 21 100

80 100 120 110 60


en donde cada uno de los numeros de la matriz representarıa el coste unitario de transporte del origenal destino correspondiente y los demas numeros las disponibilidades y requerimientos en orıgenes ydestinos, respectivamente.

a) Si obligatoriamente hubiera que transportar como mınimo 50 unidades de O1 a D2, 40 de O3 aD1 y 80 de O4 a D3, se pide determinar el programa de transporte optimo.

b) Supuesto que O1 (y solo el) puede actuar como punto de transbordo, resolver nuevamente elproblema. Los costes unitarios de transporte de O2, O3 y O4 a O1 son iguales a 11 en los trescasos.

c) A partir de la solucion optima del apartado a) determinar la solucion optima en el problema dualsi se hubiera planteado como un problema tradicional de programacion lineal.

13. El Distrito Metro es una dependencia que administra la distribucion de agua en una cierta regiongeografica grande. La region es bastante arida, por lo que el distrito debe comprar y traer agua desdefuera de ella. Las fuentes de esta agua importada son los rıos Colombo (R1), Sacron (R2) y Calorie (R3).El distrito revende el agua a los usuarios de la region. Sus clientes principales son los departamentosde aguas de las ciudades de Berdoo (C1), Los Devils (C2), San Go (C3) y Hollyglass (C4).

Es posible hacer llegar agua a cualquiera de estas ciudades desde cualquiera de los tres rıos, con laexcepcion de que no hay forma de abastecer a Hollyglass con agua del rıo Calorie. Sin embargo, dadala distribucion geografica de los acueductos y las ciudades en la region, lo que le cuesta al distrito elabastecimiento depende tanto de la fuente como de la ciudad a la que abastece. En la siguiente tablase dan los costes variables por acre-pie de agua (en dolares) para cada combinacion de rıo y ciudad.

Coste ($/acre-pie) RecursosRıo\Ciudad C1 C2 C3 C4

R1 16 13 22 17 50R2 14 13 19 15 60R3 19 20 23 - 50

Mın. necesario 30 70 0 10solicitado 50 70 30 ∞

En la columna del lado derecho de la tabla se dan las cantidades disponibles en los tres rıos, enunidades de un millon de acres-pie. El distrito se compromete a proporcionar una cantidad mınimapara cumplir con las necesidades esenciales de cada ciudad (con la excepcion de C3, que tiene unafuente independiente de agua); estas necesidades mınimas se muestran en la fila correspondiente de latabla (en millones de acres-pie). La fila de solicitado (tambien en millones de acres-pie) indica que C2no quiere mas agua que la que cubre sus necesidades mınimas, pero C1 comprarıa hasta 20 mas, C3,hasta 30 mas y C4 comprarıa toda la que pudiera obtener.

La administracion desea asignar toda el agua disponible de los tres rıos de manera que por lo menos secumpla con las necesidades mınimas de cada ciudad y que al mismo tiempo se minimice el coste total.Plantear el problema como uno de transporte.

14. Dos factorıas suministran cierto producto a tres tiendas. Las unidades disponibles en cada factorıa son200 y 300 y las unidades demandadas por cada tienda son 100, 200 y 50; respectivamente. Los costesunitarios de transporte son

Factorıa Tienda1 2 1 2 3

Factorıa 1 0 6 7 8 92 6 0 5 4 3

Tienda 1 7 2 0 5 12 1 5 1 0 43 8 9 7 6 0

.


Encontrar el programa optimo de envıo.

15. Considerar el problema de asignacion cuya matriz de costes es la siguiente:

Tecnico\Trabajo 1 2 3 4A 9 6 5 6B 6 8 9 5C 8 7 6 8D 7 7 8 5

Resolverlo por el metodo hungaro.

16. Resolver el problema de asignacion cuya matriz de costes es

10 11 10 5 6 4 3 65 26 14 18 15 10 10 166 22 18 17 15 8 8 122 14 16 16 24 25 12 74 15 19 10 8 14 11 810 22 22 15 28 24 12 308 18 21 18 18 18 14 255 14 21 17 26 9 10 31

17. Considerar el problema de asignar cuatro operadores a cuatro maquinas. Los costes de asignacion enunidades monetarias se dan a continuacion. El operador 1 no puede asignarse a la maquina 3. Tambienel operador 3 no puede asignarse a la maquina 4.

Maquina1 2 3 4

1 5 5 - 22 7 4 2 3

Operador 3 9 3 5 -4 7 2 6 7

a) Encontrar la asignacion optima y dar el coste asociado.

b) Suponer que se tiene disponible una quinta maquina. Sus costes de asignacion respectivos a loscuatro operadores son 2, 1, 2 y 8. La nueva maquina reemplazara a una existente si la sustitucionpuede justificarse economicamente. Reformular el problema como un modelo de asignacion yencontrar la solucion optima indicando el coste asociado ¿Es economico reemplazar una de lasmaquinas? Si es ası, ¿cual de ellas?

18. Un agricultor posee cuatro fincas en las que cultiva en la forma que mejor le parece trigo, melones,tabaco y tomates, con cuya venta obtiene 300000u.m. El agricultor decide implantar el monocultivo ensus fincas pero para poder obtener el mejor resultado contrata a un perito agrıcola, que tras analizarlas fincas le da la siguiente tabla, en donde se reflejan las cosechas maximas (en toneladas) que puededar cada finca de cada uno de los productos.

tabaco melones trigo tomatesA 1.5 8 30 8B 2 6.5 25 10C 1.7 10 20 7.5D 1.4 9 23 9.5


Si al ano siguiente los precios por kg. de los anteriores productos fueron: tomates 10u.m., tabaco 40u.m.,melones 10u.m. y trigo 3u.m., ¿podrıamos afirmar que el experimento le resulto ventajoso? Razona larespuesta

19. Un grupo de 6 hombres y 6 mujeres vive en una isla. Cada uno de los 6 hombres “corteja” a una de las6 mujeres. Al cabo de un cierto tiempo se decide realizar una gran ceremonia durante la cual se casaran6 parejas. Cada una de las mujeres tiene una lista con los nombres de los 6 hombres y en ella listasus preferencias en una escala de 1 a 6 pudiendo eliminar los nombres correspondientes a los hombresque no son de su agrado. La tabla siguiente da las “calificaciones” otorgadas por cada mujer a cadahombre.

Mujer\Hombre 1 2 3 4 5 61 3 - 2 6 5 42 4 4 3 - 5 -3 2 4 - 5 3 64 4 5 6 - 2 35 4 6 2 5 3 -6 5 2 3 1 4 6

a) Si se supone que una medida valida de la felicidad conyugal en la isla viene dada por la suma delos numeros asignados, ¿cual es la asignacion que maximiza la felicidad total de los islenos?

b) En la tabla anterior se observa que cuando hay algun hombre eliminado desaparecen las pun-tuaciones mas bajas. Supongase que en lugar de hacerlo de ese modo se asigna 5 a la primeraeleccion si se elimina un nombre, el cuatro si se eliminan 2, etc. ¿Este problema sera equivalenteal anterior?

20. Un organismo saca a concurso la ejecucion de siete proyectos. Al concurso se presentan siete empresasconstructoras con las ofertas (en 6000 euros) que se detallan en la tabla siguiente:

ProyectoConstructor 1 2 3 4 5 6 7

A 2 4 6 3 5 4 5B 4 3 1 2 4 1 3C 2 1 1 7 1 8 3D 9 2 1 4 5 2 3E 8 6 4 3 2 2 1F 4 4 8 6 4 3 6G 4 3 2 8 7 5 4

Cada empresa puede completar tan solo un unico proyecto. ¿De que manera deben asignarse a losconstructores los proyectos de modo que el coste total de ejecucion de los siete proyectos sea lo menorposible?

21. Maximizar el beneficio que se obtiene al asignar los obreros A,B,C y D a los puestos 1, 2, 3 y 4, siendola matriz de beneficios:

1 2 3 4A 8 5 7 6B 9 1 8 3C 7 3 2 1D 1 6 9 4

Usar el metodo hungaro.

22. (2o Parcial 03) Una empresa dedicada a fabricar un determinado modelo de coche necesita subcon-tratar (a otra u otras empresas) tres componentes C1, C2 y C3 que forman parte de el. Las ofertas de3 fabricantes F1, F2 y F3 arrojan los siguientes costes por unidad de cada tipo de componente:


C1 C2 C3

F1 17 28 6F2 19 50 8F3 14 30 7 .

Ademas F1 podrıa suministrar las tres componentes, F2 solo dispone de las componentes C1 y C2,mientras que F3 solo puede abastecer una de las componentes.

a) Formular matematicamente el problema de a quien debe contratar cada componente para que elcoste total asociado a la operacion sea mınimo.

b) Plantear el problema anterior como uno de asignacion y resolverlo por el metodo hungaro.

c) Justificar los pasos del metodo hungaro.

23. (Sept. 03) Considerar un problema general de asignacion dado por la matriz de costes n× n, C.

a) Demostrar que, si restamos a cada coste, cij , el mınimo coste de su fila, ci∗ = mın{cij/j =

1, . . . , n} (Sea c′ij = cij− ci∗) , y restamos a cada nuevo coste, c′ij , el mınimo coste de su columna,

cj∗′ = mın{c′ij/i = 1, . . . , n} (Sea c′′ij = cij − ci

∗ − cj∗′), entonces el problema de asignacion

resultante es equivalente al de partida.

b) Demostrar que n ceros independientes en el problema de asignacion construido en el apartadoanterior, C ′′ = (c′′ij), proporcionan una solucion optima del problema original.

c) El departamento de control de calidad de una empresa detecta, para sus seis trabajadores (1,2,3,4,5,6),sobre seis tipos de productos manufacturados (A,B, C,D, E, F ), el numero medio de defectos porproducto que aparece en la tabla que se muestra a continuacion:

(Trabajador\ Producto)

3 5 8 3 9 64 7 3 2 1 58 9 3 2 0 56 2 7 3 1 45 6 5 4 3 72 1 3 8 5 4

.

Resolver, por el metodo hungaro, el problema de asignar los trabajadores al control de calidad delos productos de manera que se minimice el numero total medio de defectos. Explicar los pasosseguidos y dar el coste total mınimo ¿Es unica la solucion optima?

24. Una empresa va a lanzar tres nuevos productos que van a a fabricarse en sus cinco plantas instaladasa lo largo del paıs. Los costes unitarios de fabricacion son

Producto\Planta 1 2 3 4 5 Demanda1 29 27 31 26 28 17502 44 46 40 43 45 25003 38 34 - - - 1600

Produccion 2500 1500 2000 1000 2000

a) Se supone que cada planta puede fabricar cualquier combinacion de los tres productos, siempredentro de su capacidad ¿Cual es la produccion optima?

b) Si al revisar la demanda estimada resulta ser ahora de 650, 1000 y 750 unidades, respectivamente,y se decide que cada producto sea asignado a una sola planta y que ninguna planta tenga asignadamas de un producto ¿cual sera la asignacion que minimice el coste total de fabricacion?

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