Problemas de TransbordoProblemas de TransbordoProblemas de TransbordoProblemas de Transbordo

MSc. Ing. Julio Rito Vargas III cuatrimestre 2014

CURSO DE PROGRAMACIÓN LINEALCURSO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

El problema de El problema de transbordotransbordo Un problema de transporte permite sólo envíos directamente Un problema de transporte permite sólo envíos directamente desde los puntos de origen a los puntos de demanda. En muchas desde los puntos de origen a los puntos de demanda. En muchas situaciones, sin embargo, existe la posibilidad de hacer envíos a situaciones, sin embargo, existe la posibilidad de hacer envíos a través de puntos intermedios (puntos de transbordo). través de puntos intermedios (puntos de transbordo). En este En este caso se habla de un problema de transbordo. caso se habla de un problema de transbordo.

A continuación veremos como la solución del problema de A continuación veremos como la solución del problema de transbordo puede ser encontrada a través de un problema de transbordo puede ser encontrada a través de un problema de transporte.transporte.

Definiremos los puntos de oferta como aquellos puntos desde Definiremos los puntos de oferta como aquellos puntos desde donde sóolo se puede despachar unidades. Similarmente, un donde sóolo se puede despachar unidades. Similarmente, un punto de demanda es un punto donde sólo se pueden recibir punto de demanda es un punto donde sólo se pueden recibir unidades. Un punto de transbordo es punto que puede recibir y unidades. Un punto de transbordo es punto que puede recibir y enviar unidades a otros puntos. Veamos un ejemplo:enviar unidades a otros puntos. Veamos un ejemplo:

CaracterísticasCaracterísticas

La oferta o suministro en cada origen es limitada.La oferta o suministro en cada origen es limitada. En cada destino la demanda está definida o En cada destino la demanda está definida o

especificada.especificada. El objetivo en el problema de transbordo es El objetivo en el problema de transbordo es

determinar cuantas unidades deberán determinar cuantas unidades deberán embarcarse por cada uno de los arcos de la red, embarcarse por cada uno de los arcos de la red, de manera que todas las demandas-destinos se de manera que todas las demandas-destinos se satisfagan al costo de transporte mínimo posible. satisfagan al costo de transporte mínimo posible.

Ejemplo 1:Ejemplo 1:

Una fábrica posee dos plantas de manufactura, una en Memphis y otra en Denver.

La planta de Memphis puede producir hasta 150 unidades al día, la de Denver hasta 200 unidades al día. Los productos son enviados por avión a Los Angeles y Boston. En ambas ciudades, se requieren 130 unidades diarias. Existe una posibilidad de reducir costos enviando algunos productos en primer lugar a New York o a Chicago y luego a sus destinos finales. Los costos unitarios de cada tramo factible se ilustran en la siguiente tabla:

Tabla de Costos de transporteTabla de Costos de transporte

MemphisMemphis DenverDenver N.Y.N.Y. ChicagoChicago L.A.L.A. BostonBoston

MemphisMemphis 00 -- 88 1313 2525 2828

DenverDenver -- 00 1515 1212 2626 2525

N.Y.N.Y. -- -- 00 66 1616 1717

ChicagoChicago -- -- 66 00 1414 1616

L.A.L.A. -- -- -- -- 00 --

BostonBoston -- -- -- -- -- 00

Hacía

Des

de

La fábrica desea satisfacer la demanda, minimizando el La fábrica desea satisfacer la demanda, minimizando el costo total de envío. En este problemas, Memphis y costo total de envío. En este problemas, Memphis y Denver son puntos de oferta de 150 y 200 unidades Denver son puntos de oferta de 150 y 200 unidades respectivamente. New York y Chicago son puntos de respectivamente. New York y Chicago son puntos de transbordo. Los Angeles y Boston son puntos de transbordo. Los Angeles y Boston son puntos de demanda de 130 unidades cada uno.demanda de 130 unidades cada uno.

Memphis

Denver

NewYork

Chicago

LosAngeles

Boston

150

130

130

200

Solución:Solución: A continuación construiremos un problema de

transporte balanceado a partir del problema de transbordo. Para ello podemos seguir los siguientes pasos (suponiendo que la oferta excede a la demanda):

Paso 1. Si es necesario, se debe agregar un punto de demanda ficticio (con oferta 0 y demanda igual al excedente) para balancear el problema. Los costos de envío al punto ficticio deben ser cero. Sea S la oferta total disponible.

Paso 2. Construir una tabla de transporte siguiendo las siguientes reglas:

Solución:Solución: Incluir una fila por cada punto de oferta y de transbordo.

Incluir una columna por cada punto de demanda y de transbordo.

Cada punto i de oferta debe poseer una oferta igual a su oferta original si. Cada punto de demanda j debe poseer una demanda igual a su demanda original dj .

Cada punto de transbordo debe tener una oferta igual a su oferta original + S y una demanda igual a su demanda original + S. Como de antemano no se conoce la cantidad que transitaría por cada punto de transbordo, la idea es asegurar que no se exceda su capacidad. Se agrega S a la oferta y a la demanda del punto de transbordo para no desbalancear la tabla.

Solución:Solución: En el ejemplo, S = 150+200 = 350. La demanda total es

130+130 = 260. Luego, el punto ficticio debe tener una demanda =90.

Como en el ejemplo los puntos de transbordo no tienen ni demanda ni oferta por sí mismos, la oferta y demanda en la tabla deber ser igual a s.

Una vez planteado la tabla, se pueden emplear los métodos vistos anteriormente para obtener una solución inicial factible y obtener la solución óptima.

Modelo deTransbordoModelo deTransbordo

N.Y.N.Y. ChicagoChicago L.A.L.A. BostonBoston FicticioFicticio OfertaOferta

MemphisMemphis 88 1313 2525 2828 00 150150

DenverDenver 1515 1212 2626 2525 00 200200

N.Y.N.Y. 00 66 1616 1717 00 350350

ChicagoChicago 66 00 1414 1616 00 350350

DemandaDemanda 350350 350350 130130 130130 9090

Solución del problema de transbordo

Análisis de Sensibilidad: Para interpretar la solución, es preciso revisar cuidadosamente

las combinaciones asignadas. De la primera fila, vemos que de Memphis sólo se despacharon 130 unidades a New York del totalde 150 disponibles, el excedente de 20 unidades está asignado al punto artificial. De la segunda fila se desprende que de Denver se enviaron 130 unidades a Boston del total de 200 disponibles, quedando 70 asignadas al punto ficticio. En la tercera fila vemos que se enviaron desde el punto de transbordo en New York 130 unidades a Los Angeles. La asignación de 220 de N.Y. a N.Y. significa que del total de unidades en tránsito, 220 no pasaron por dicho nodo de transbordo, o bien, que no se emplearon 220 unidades de la capacidad del punto. Finalmente, en la cuarta fila, la asignación de 350 del punto de transbordo de Chicago a Chicago representa simplemente que no se empleó el punto de transbordo.

Gráficamente, la solución óptima resulta:

EJEMPLO 2

Dos fábricas de automóviles, P1 y P2, están

conectadas a tres distribuidores, D1, D2 y D3, por

medio de dos centros de tránsito, T1 y T2, de

acuerdo con la red que se muestra en la siguiente diapositiva

Las cantidades de la oferta en las fábricas P1 y P2,

son de 1000 y 1200 automóviles, y las cantidades de la demanda en las distribuidoras

D1, D2 y D3, son de 800, 900 y 500 automóviles.

El costo de envío por automóvil (en decenas de dólares) entre los pares de nodos, se muestra en los eslabones (arcos) de conexión de la red

800

900

500

1200

1000

D3

D2

D1

T1

T2

P1

P2

3

4

425

8

65

39

RED - MODELO DE ASIGNACION

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

Cada vez que se plantea un problema de programación lineal, se procede cumpliendo las siguientes etapas:

1.- Comprensión del problema (lectura en detalle)

2.- Definición de las variables de decisión

3.- Descripción de la función objetivo

4.- Identificación de las restricciones del problema

PROBLEMA PROGRAMACION LINEALSe plantea identificando como variables de decisión a todas las posibilidades de flujos de asignación, a transferir entre los nodos de la red de transbordoSe define como función objetivo la minimización de los costos de transporte asociados al transbordo

Las restricciones corresponden a un balance de transferencia de unidades para cada nodo de la red de asignación, sin olvidar la condición de no negatividad

800

900

500

1200

1000 T1

T2

P1

P2

XP1T1XP1T2

X T2D2X P2T1

XP2T2

X T1D1

XT1D2

XD

1D2

XD

2D3X

T2D3

D2

D1

D3

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

Red para plantear el PPL:

Puntos de transbordo

F.O. Mín Z = 3XP1T1 + 4XP1T2 + 2XP2T1 + 5XP2T2 +

8XT1D1 + 6XT1D2 + 4XT2D2 + 9XT2D3 +

5XD1D2 + 3XD2D3

s.a. : 1000 = XP1T1 + XP1T2

1200 = XP2T1 + XP2T2

XP1T1 + XP2T1 = XT1D1 + XT1D2

XP1T2 + XP2T2 = XT2D2 + XT2D3

XT1D1 = XD1D2 + 800

XT1D2 + XT2D2 + XD1D2 = XD2D3 + 900

XT2D3 + XD2D3 = 500

Xij > 0

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

EJEMPLO DE TRANSBORDOEl transbordo ocurre ya que la cantidad de la oferta de 2200 (1000 + 1200) automóviles en los nodos P1 y P2, requiere

pasar a través de los nodos de transbordo de la red (T1 y T2)

antes de llegar a sus puntos de destino en los nodos D1, D2

y D3 • Nodos puros de Oferta• Nodos de Transbordo• Nodos puros de Demanda

El modelo de transbordo se convierte a un modelo de transporte con seis puntos de origen (P1, P2, T1, T2, D1 y D2)

y cinco de destino (T1, T2, D1, D2 y D3)

P1, P2

D3

T1, T2, D1, D2

NODOS PUROS DE OFERTAY NODOS PUROS DE DEMANDALas cantidades de la oferta y la demanda en los nodos

puros de oferta y puros de demanda, queda:

Oferta en un Nodo puro de Oferta

Demanda en un Nodo puro de Demanda

Oferta Original

Demanda Original

Un nodo puro de oferta no posee amortiguador

Un nodo puro de demanda no posee amortiguador

NODOS DE TRANSBORDO

Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos de transbordo, se establece de acuerdo a:

Oferta en un Nodo de Transbordo

Demanda en un Nodo de Transbordo

Oferta Original

Amorti-guador

Demanda Original

Amorti-guador

+

+

La oferta necesariamente posee un amortiguador, mientras que a veces se encuentra oferta original

La demanda necesariamente posee amortiguador, mientras que en ocasiones hay demanda original

Matriz de transbordo Resuelto como un PPL

SOLUCION

1P

2P

1T

2

1D

2

3D

1000

1200

1000

1200

Origen Transbordo Destino

800

900

500

X2 3D D

Diseño: JRVA

Solución gráfica del modelo

U$ 207,000.00

4

2

8

6

4 3

1

2

53

64

1

4

2

3

100

200

150

150

1 3

6

5

8

1

La red de la figura, muestra las rutas de transporte de los nodos 1 y 2 a los nodos 5 y 6, pasando por los nodos 3 y 4. Se ven, en los arcos respectivos, los costos unitarios de transporte. a.Formule el modelo correspondiente de transbordob.Resuelva el modelo e indique cual es la solución óptima