Problemas de Termodinámica: Trabajo de Frontera y Análisis de energía en sistemas cerrados.
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1 Problemas de Termodin´ amica: Sustancias Puras y sus Propiedades. Miguel L. Toledano. Resumen—Este documento tiene como objetivo explicar el desarrollo para la soluci´ on de problemas de termodin´ amica relacionados con el an´ alisis de energ´ ıa de sistemas cerrados. Se aplicar´ a la relaci´ on de balance de energ´ ıa de sistemas que no tienen que ver con ning´ un flujo m´ asico que cruce sus fronteras; es decir, sistemas cerrados. Abstract—The main purpose of this documet is to explain the development and solution for the problems presented in the second test of thermodynamic’s course at University La Salle. I. PROCESO POLITR ´ OPICO DE UN GAS IDEAL Mon´ oxido de carbono contenido en un dispositivo de cilindro-´ embolo se comprime de 0.8 m 3 a 0.5 m 3 . Durante el proceso, la presi´ on y el volumen se relacionan mediante la funci´ on: P = aV -3 , donde a=7kPa m 9 . Soluci´ on: Para la resoluci´ on de este primer problema resulta importante conocer la relaci´ on matem´ atica que experimenta este dispositivo. Figura 1. Dispositivo Cilindro ´ Embolo. Ahora, solo nos queda realizar una sustituci´ on de la formula con los datos proporcionados por el problema. W = -a 1 V2 2 - 1 V1 2 ( 1kJ 1 kPa·m 3 ) W = - ( 7 kPa · m 9 ) 1 (0.5m 3 ) 2 - 1 (0.8m 3 ) 2 ( 1kJ 1 kPa·m 3 ) W = -17.0625kJ Soluci´ on: 17.0625kJ (trabajo de compresi´ on en el dispositivo cilindro-´ embolo) II. TIEMPO DE CALENTAMIENTO EL ´ ECTRICO EN UN PROCESO ISOB ´ ARICO. En un dispositivo de cilindro-´ embolo bien aislado hay 1.5 kg de agua l´ ıquida saturada, con una presi´ on de 150 kPa. Dentro del dispositivo hay una resistencia ´ electrica por la cual pasan 9 volts y una corriente de 3 ampares. Determine el tiempo necesario para que el agua llegue a una temperatura de 250 o C. Soluci´ on: Para poder determinar el tiempo de calentamiento b´ asicamente usaremos una sola f´ ormula: p 0 = Δ U t (1) F´ ısicamente, ya tenemos el valor de p 0 ya que corresponde al producto del voltaje y el amperaje: p 0 = VA =9 · 3 = 27W . As´ ı que en realidad el procedimiento principal para este problema es realizar la diferencia de energ´ ıa interna del agua, para el caso de U 1 esto es cas´ ı inmediato ya que por la referencia del problema solo tenemos que usar el valor de U f @150kPa todo tal como lo muestra la figura: Figura 2. Dispositivo Cilindro ´ Embolo sujeto a una Resistencia El´ ectrica. Para el caso de U 2 no resulta tan sencillo ya que hay que recurrir a una interpolaci´ on dentro de los valores de la tabla A-6 de agua en estado de vapor sobrecalentado, ya que se encontrar´ a en esa fase al momento de incrementar a T 2 =250 o C.
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Resumen—Este documento tiene como objetivo explicar eldesarrollo para la solución de problemas de termodinámicarelacionados con el análisis de energía de sistemas cerrados. Seaplicará la relación de balance de energía de sistemas que notienen que ver con ningún flujo másico que cruce sus fronteras;es decir, sistemas cerrados.Abstract—The main purpose of this documet is to explainthe development and solution for the problems presented in thesecond test of thermodynamic’s course at University La Salle.
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Problemas de Termodinamica: Sustancias Puras ysus Propiedades.
Miguel L. Toledano.
Resumen—Este documento tiene como objetivo explicar eldesarrollo para la solucion de problemas de termodinamicarelacionados con el analisis de energıa de sistemas cerrados. Seaplicara la relacion de balance de energıa de sistemas que notienen que ver con ningun flujo masico que cruce sus fronteras;es decir, sistemas cerrados.
Abstract—The main purpose of this documet is to explainthe development and solution for the problems presented in thesecond test of thermodynamic’s course at University La Salle.
I. PROCESO POLITROPICO DE UN GAS IDEAL
Monoxido de carbono contenido en un dispositivo decilindro-embolo se comprime de 0.8 m3 a 0.5 m3. Duranteel proceso, la presion y el volumen se relacionan mediante lafuncion: P = aV −3, donde a=7kPa m9.
Solucion:Para la resolucion de este primer problema resulta importanteconocer la relacion matematica que experimenta estedispositivo.
Figura 1. Dispositivo Cilindro Embolo.
Ahora, solo nos queda realizar una sustitucion de laformula con los datos proporcionados por el problema.W = −a
(1
V22 − 1
V12
) (1kJ
1 kPa·m3
)W = −
(7 kPa ·m9
) (1
(0.5m3)2− 1
(0.8m3)2
) (1kJ
1 kPa·m3
)W = −17.0625kJSolucion: 17.0625kJ (trabajo de compresion en eldispositivo cilindro-embolo)
II. TIEMPO DE CALENTAMIENTO ELECTRICO EN UNPROCESO ISOBARICO.
En un dispositivo de cilindro-embolo bien aislado hay 1.5 kgde agua lıquida saturada, con una presion de 150 kPa. Dentrodel dispositivo hay una resistencia electrica por la cual pasan
9 volts y una corriente de 3 ampares. Determine el tiemponecesario para que el agua llegue a una temperatura de 250oC.Solucion:Para poder determinar el tiempo de calentamiento basicamenteusaremos una sola formula:
p′
=∆U
t(1)
Fısicamente, ya tenemos el valor de p′
ya que corresponde alproducto del voltaje y el amperaje: p
′= V A = 9 · 3 = 27W .
Ası que en realidad el procedimiento principal para esteproblema es realizar la diferencia de energıa interna del agua,para el caso de U1 esto es cası inmediato ya que por lareferencia del problema solo tenemos que usar el valor deUf@150kPa todo tal como lo muestra la figura:
Figura 2. Dispositivo Cilindro Embolo sujeto a una Resistencia Electrica.
Para el caso de U2 no resulta tan sencillo ya que hay querecurrir a una interpolacion dentro de los valores de la tablaA-6 de agua en estado de vapor sobrecalentado, ya que seencontrara en esa fase al momento de incrementar a T2=250oC.
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Figura 3. Obtencion de energıa interna final.
Es importante notar que en la imagen anterior buscamosuna congruencia en las unidades de la potencia, esto nossera util para el paso final (Despeje de t en (1)). Al aplicarla interpolacion (cuya tecnica se describe en el sitio webproporcionado en las fuentes de consulta de este documento)obtenemos: U2 = [email protected] = 2732.65kJ
kg . Entoncessolo nos queda realizar las sustituciones pertinentes:∆U = (M)
(U2 − U1
)∆U = (1.5 kg) (2732.65 − 466.97) kJ
kg∆U = 3398.52kJDespejamos t en (1):
t =∆U
p′ (2)
y sustituimos con los valores previamente obtenidos:
t =
(3398.52kJ0.027 kJ
kg
)(1 h3600s
)= 34.96h ≈ 35h
Solucion: 35 horas
III. TRABAJO Y TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNPROCESO POLITROPICO DE UN GAS IDEAL
Un dispositivo de cilindro-embolo contiene 1.25 kg dedioxido de carbono inicialmente a 110kPa y 37 oC. Despuesse comprime el gas en un proceso politropico cuyo grado depolitropıa es de 1.35 hasta que el volumen se reduce a lamitad. Determine el trabajo efectuado y la transferencia decalor en este proceso:Solucion:
Figura 4. Condiciones iniciales y finales del problema.
Ahora que tenemos conocimiento de las condiciones ini-ciales del problema es importante saber que para obtener latransferencia de energıa es necesario tener el valor del trabajoefectuado por el dispositivo ya que en un proceso isobaricocomo este, la ecuacion que rige la transferencia de calor es lasiguiente :
Q = W + ∆U (3)
Figura 5. Condiciones para obtener W.
Calculos (Es importante saber que para que haya congruen-cia en las formulas de gases ideales se maneje T en unidadesK):V1 =
M ·RCO2·T
P = 0.66576m3
V2 = 12V1 = 0.33288m3
W = P (V2−V1)1−n′ = −104.62 kJ
Ahora para obtener ∆U hay que usar otra formula queunicamente tiene validez para procesos isobaricos:
∆U = M · CvCo2 · ∆T (4)
Donde CvCo2 es 0.657 kJkg·K
Pero tambien necesitamos obetner T2 ya que la formula alcontener ∆T nos lo demanda, para ello usamos la mismaformula que usamos para V1 solo que ahora despejamos T2
para V2:T2 = P ·V2
M ·Rco2
T2 = 155.07K A continuacion sustituimos para obtener∆U y Q:∆U = (1.25kg)(155.07K − 310.15K)(0.657 kJ
kg·K )∆U = −127.36 kJQ = −104.6194 kJ − 127.36 kJQ = −231.97 kJQ ≈ −232 kJSolucion: W= 104.6194 kJ (trabajo de compresion) y Q=232 kJ (perdida de calor)
IV. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UN RECIPIENTERIGIDO.
Un recipiente rıgido de 50 litros contiene inicialmente vaporhumedo de R134a, a 10oC, con una calidad de 0.9. Luegose calienta la mezcla hasta que la temperatura llega a 80 oC.
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Determinar la transferencia de calor producida en este proceso.Solucion:Para la solucion de este problema recurrimos a la formulapara obtener Q en un proceso isometrico (donde el volumendel contenedor es constante):
Q = M(U2 − U1
)(5)
Figura 6. Condiciones para obtener M.
Tal como se muestra en la figura, lo primero que tenemosque encontrar para la resolucion de este problema es lamas, esto debido a que ya tenemos la cantidad pertinentede variables (volumen inicial V1 y calidad ”x”) para poderlaobtener.
M =V1
V1
(6)
Obener masa:V1 = 50L
(1m3
1000L
)V1 = 0.05m3
V1 = Vf@10oC (1 − x) + Vg@10oC · xV1 = 0.044542m3
kg
M = V1
V1= 1.122536 kg
Figura 7. Condiciones para obtener U1.
De manera similar podemos obtener U1 usando la calidadx y los valores proporcinados por la tabla A-11 con respecto
a la energıa interna a T1=10oCU1 = Uf@10oC + Vfg@10oC · xU1 = 218.604kJ
kgA continuacion la siguiente imagen nos describe el motivo porel cual es necesario recurrir a las tablas de vapor sobrecalen-tado del refrigerante para obtener U2:
Figura 8. Condiciones para obtener U2.
Despues de interpolar obtenemos U2 = 292.71kJkg , ahora
sustituimos los valores obtenidos en la formula (5):Q = M
(U2 − U1
)Q = (1.122536 kg) [292.71 − 218.6] kJ
kgQ = 83.19 kJSolucion: 83.2 kJTodas las tablas de vapor y procedimientos pueden consultarseen:
REFERENCIAS
[1] Yunes A Cengel y Michael A. Boles, Thermodynamics An EngineeringApproach. Mc Graw-Hill, New York, 7th edition, 2011.
[2] http://wwwprof.uniandes.edu.co/ gprieto/classes/compufis/interpolacion.pdf,4.1 Interpolacion lineal.
