Problemas de teoria de conjuntos resueltos
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Problemas de Teoría de conjuntos, con respuesta. 5) En una encuesta aplicada a 1000 empleados de un centro comercial sobre el tipo de transporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se obtuvo la siguiente información: 431 empleados utilizan metro. 396 empleados utilizan autobús. 101 empleados utilizan metro y trolebús pero no autobús. 176 empleados no utilizan ninguno de los tres medios considerados. 341 utilizan trolebús. 634 utilizan metro o trolebús. 201 utilizan sólo metro. ¿Cuántos empleados utilizan metro o trolebús pero no autobús? ¿Cuántos empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados? ¿Cuántos empleados utilizan sólo trolebús? ¿Cuántos empleados utilizan metro, trolebús y autobús? Respuesta : 428 empleados utilizan metro o trolebús pero no autobús. 517 empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados. 126 empleados utilizan sólo trolebús. 37 empleados utilizan metro, trolebús y autobús. 1
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En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles} AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul} Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
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Problemas de Teoría de conjuntos, con respuesta.
5) En una encuesta aplicada a 1000 empleados de un centro comercial sobre el tipo
de transporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se obtuvo la siguiente
información:
431 empleados utilizan metro.
396 empleados utilizan autobús.
101 empleados utilizan metro y trolebús pero no autobús.
176 empleados no utilizan ninguno de los tres medios considerados.
341 utilizan trolebús.
634 utilizan metro o trolebús.
201 utilizan sólo metro.
¿Cuántos empleados utilizan metro o trolebús pero no autobús?
¿Cuántos empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte
mencionados?
¿Cuántos empleados utilizan sólo trolebús?
¿Cuántos empleados utilizan metro, trolebús y autobús?
Respuesta: 428 empleados utilizan metro o trolebús pero no autobús.
517 empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados.
126 empleados utilizan sólo trolebús.
37 empleados utilizan metro, trolebús y autobús.
CONJUNTOS E INTERVALOS
1) Sea el conjunto de los números naturales. Dados
a) Define por extensión cada uno de los conjuntos siguientes:
1
b) Determina si cada una de las proposiciones siguientes es falsa o
verdadera:
c) Encuentra lo que se pide:
El número de subconjuntos propios de D.
2) Describe por comprensión cada uno de los conjuntos
siguientes:
3) Describe en palabras lo que establecen las leyes de
Morgan. Ilustra con algunos ejemplos.
4) Identifica las regiones que comprende cada uno de los
conjuntos siguientes en un diagrama de Venn adecuado:
2
CONJUNTOS E INTERVALOS
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN
1) ; ;
es falsa; es verdadera; es falsa; es falsa; es verdadera; es verdadera.
El número de subconjuntos propios de D es 14.
2) , donde es el conjunto de los números enteros.
3) Describe en palabras lo que establecen las leyes de Morgan. Ilustra con algunos ejemplos.
La negación de una conjunción se transforma en una disyunción de negaciones. Refiriéndose al uso del transporte decir que no es cierto que una persona utilice metro y taxi equivale a decir que no utiliza metro o no utiliza taxi.
La negación de una disyunción se transforma en una conjunción de negaciones. Refiriéndose al uso del transporte decir que no es cierto que una persona utilice metro o taxi equivale a decir que no utiliza metro y no utiliza taxi.
4) Sea el siguiente diagrama de Venn:
3
BA
R4
R3R2 R1
: R1, R3, R4; : R4.
Se considera ahora el diagrama de Venn:
B
C
A
R8
R7 R6
R5
R4
R3
R2
R1
: R4, R5, R7; : R2, R3, R4, R5, R6; : R2, R5, R8; : R1, R2, R6.
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4
