Ingeniería de Control II 1

PROBLEMAS DE REPASO

Problema 1 Sea el siguiente sistema realimentado:

con G s ATs

( ) =+1

donde el valor nominal de los parámetros A y T es 1 pero ambos pueden

variar con las condiciones de operación en un factor de 2 en cualquier dirección. Se desea encontrar un valor de K que, a pesar de estas variaciones asegure que el error en estado estacionario a entrada escalón no exceda del 10%, manteniendo la constante de tiempo del sistema por debajo de los 0,2 segundos. Problema 2

Para el mismo diagrama de bloques si G s s ss s s

( ) ( )( )( )( )

=+ ++ +

1 32 4

a. ¿De qué tipo es este sistema? b. ¿Cuál es la ganancia del sistema en bucle cerrado? c. Hallar ess a entradas escalón y rampa unitarios

Problema 3

Para el mismo diagrama de bloques si G ss s

( )( )( )

=+ +

11 7

a. ¿Cuánto tardaría en desaparecer casi completamente la parte transitoria de la respuesta si no hubiera realimentación?

b. ¿Cuál es la ecuación característica en bucle cerrado y dónde debe ubicarse el polo dominante del sistema para dividir por dos el tiempo calculado en el apartado a)?

c. ¿Qué valor de K lo logrará? d. ¿Cuál es el error en estado estacionario a entrada escalón unitario?

Problema 4

Sea el mismo sistema realimentado con G ss s

( )( )( )

=+ +

12 10

. Examinar el efecto de la

realimentación: a. Calculando la respuesta escalón unitario para K=7 y K=20. b. Hallando ess en ambos casos a partir de los coeficientes estáticos de error. c. Comparando ambas respuestas en cuanto al tiempo de asentamiento y la

naturaleza de la respuesta. Problema 5

Sea el mismo sistema realimentado con G s ss s

( )( )

=++

13

a. Encontrar el valor de K que hace que la constante de tiempo dominante del sistema sea de 2 segundos. Encontrar asimismo el 2º polo.

R(s) Y(s) G(s) K + -

Ingeniería de Control II 2

b. ¿ess ? a entradas escalón y rampa unitarios. c. Calcular y(t) a entrada escalón unitario

Problema 6

Sea G ss

( ) =−1

2

a. ¿Es un sistema estable?. b. Demostrar que su comportamiento dinámico varía al introducir una

realimentación con ganancia proporcional K. c. Encontrar el valor de K que estabiliza el sistema con constante de tiempo

T=0,1 segundos. d. ¿Cuál es el error en estado estacionario a entrada escalón unitario?

Problema 7

Un sistema realimentado como el de la figura del ejercicio 1 y con G s ss s

( )( )( )

=+

− +2

2 4 sería

inestable sin realimentación. ¿Por qué?. Demostrar que es así y calcular el valor de K para que la constante de tiempo dominante del sistema en lazo cerrado sea 1 segundo Problema 8 Sea el servomotor de la figura:

Se pide: a. Suponer que no existe realimentación de velocidad. Encontrar el valor de K

que hace que el sistema en lazo cerrado tenga un coeficiente de amortiguamiento δ = 0,5. Calcular asimismo el error en estado estacionario a entrada rampa unitaria.

b. Todavía sin realimentación de velocidad calcular el valor de K para que el error en estado estacionario a rampa unitaria sea de 0,1. ¿Cuál es el valor del coeficiente de amortiguamiento en este caso?

c. Introducir realimentación de velocidad con la K obtenida en el apartado anterior. ¿Qué valor de Kg es necesario para obtener un amortiguamiento de valor 0,5?. ¿Cómo es el error en comparación con el del apartado b)?

Problema 9 En la figura se representa un sistema como el del ejercicio 8 para K=10 pero añadiéndole un amplificador de ganancia Ka . Investigar si con esta estructura es posible alcanzar las especificaciones de los problemas anteriores. Es decir, error en estado estacionario a rampa unitaria 0,1 y coeficiente de amortiguamiento 0,5. ¿Qué valores de K, si es que existen, lo hacen posible?

)(sR )(sY

K)1(

1+ss

sKg

+ - -+

Ingeniería de Control II 3

Problema 10 La realimentación de velocidad transitoria que se representa en la figura es una variante de la del problema anterior. Determinar el error en estado estacionario a entrada escalón y rampa y compararlos con los obtenidos con realimentación de velocidad pura.

)(sR )(sY

)1(10+ss

11.0 +ssKg

aK+- -+

Problema 11 El diagrama de bloques de un estabilizador de balanceo de un barco es el representado en la figura. Dado que la dinámica del barco se caracteriza por tener un amortiguamiento bajo, se incluye realimentación de velocidad.

)(sR )(sY

22,05,0

2 ++ ss1K aK

dT

sKg

+- ++-+

)(sR )(sY

)1(10+ss

sKg

aK+- -+

Ingeniería de Control II 4

Se pide: a. Expresar la función de transferencia que asocia el efecto de perturbación

producida por las olas Td con el ángulo de balanceo del barco Y(s). b. Encontrar las ecuaciones que deben satisfacer Ka , K1 y Kg para asegurar un

valor en estado estacionario para y no mayor de 0,1 en respuesta a un escalón unitario en Td y un coeficiente de amortiguamiento de 0,5.

Problema 12

La planta de la figura tiene como función de transferencia 1

1)(+

=s

sG Con objeto de

demostrar que por razones de estabilidad generalmente se diseña control PI en lugar de control con acción I pura si se desea eliminar el error en estado estacionario a entrada escalón, diseñar ambos controladores para conseguir un coeficiente de amortiguamiento de 0,5 y una de las siguientes condiciones:

a. error en estado estacionario a rampa unitaria de 0,25 b. tiempo de asentamiento aproximado de 4 seg.

Suponer;

Control PI : 1( ) 1c pi

G s KT s

= +

Control I : ( ) pc

i

KG s

T s=

Problema 13

Últimamente han adquirido gran importancia las grandes antenas para microondas tanto en radioastronomía como en el rastreo de satélites. Estas antenas están expuestas a momentos de torsión muy grandes debidos a las ráfagas de viento. Concretamente, para una antena de 20 m. de diámetro, los experimentos muestran que un viento de 56 Km/h ejerce una perturbación máxima de 2 voltios a la entrada Td de la amplidina. Otro de los problemas asociado al control de antenas grandes es su resonancia estructural, que se pone de manifiesto en el siguiente modelo para el conjunto antena - motor de mando – amplidina.

1008100)(

2 ++=

sssG

En la siguiente figura se muestra un sistema de control de la antena, en el que el controlador es un amplificador magnético con función de transferencia:

12,0)(

+=

sK

sG ac

Se pide:

a. Determínese la estabilidad del sistema en función de la ganancia Ka del amplificador

R(s) Y(s) G(s) )(sGc+ -

Ingeniería de Control II 5

b. Determínese el error en estado estacionario del sistema en bucle abierto (Ks=0) con R(s)=0, para una ráfaga de viento de 56 Km/h

c. ¿ Existe un valor de Ka que asegure que el sistema en bucle cerrado en las mismas condiciones del apartado c) (R(s)=0 y ráfaga de viento de 56 Km/h) presente un error en estado estacionario por debajo de 2º?. Si existe, calcúlese su valor. Si no existe, calcúlese el mínimo error que puede obtenerse y el correspondiente valor de Ka

AmplificadorMagnético Gc(s)

Antena, motor de mandoY amplidina G(s)

sensorKs =1

+- ++R(s)

Td(s)

θ(s)

Posición(radianes)

Problema 14 Para controlar un sistema G(s), cuya salida y(t) ante entrada escalón de 2 unidades está representada en la figura, se utiliza un captador H(s); dicho captador mide la señal y(t), y su salida, z(t), responde ante entrada escalón según la ecuación )()33()( 1 tuetz t

−−−= . La

señal z(t) se resta de una señal de referencia r(t) y el error actúa sobre un integrador de ganancia K variable, cuya salida x(t) actúa sobre el sistema. Para el sistema realimentado ante entrada r(t) escalón unitario, se pide:

a. Ajustar el valor de K para que el tiempo de establecimiento del sistema de

segundo orden reducido equivalente sea s155,0π

b. Estudiar la validez de la aproximación anterior c. Calcular y(t) en régimen permanente para k=2

Problema 15 La figura muestra el diagrama de bloques del sistema de control de antena del campo de colectores solares. La señal D(s) denota las perturbaciones de las ráfagas de viento que actúan sobre la antena. La función de transferencia de la trayectoria directa )(sGd se utiliza para

eliminar el efecto de D(s) sobre la salida Y(s). Encontrar la función de transferencia 0)(

)(

=RsDsY

.

Determinar la expresión de )(sGd de tal forma que el efecto de D(s) sea eliminado por completo.

)(s G d

105

++

s

s

)5(10+s s

R(s) E(s) Y(s)

D(s)

+ -

- +

+

Ingeniería de Control II 6

Problema 16 En la figura se muestra una posible representación de un sistema de control de velocidad de un automóvil con control integral.

a. si la entrada Vc =0, encontrar la función de transferencia que relaciona la salida v con la perturbación del viento w

b. ¿ Cuál es la respuesta en estado estacionario de v si w es una función rampa y la entrada Vc=0?

c. ¿ De qué tipo es este sistema en relación a cada una de las entradas?

Problema 17 El sistema de la figura representa de forma simplificada el control de temperatura de un proceso. Dado que la temperatura no se mide en el propio tanque de reacción sino en un punto corriente abajo de la trayectoria del fluido, el sistema cuenta con un tiempo de retardo de 0.12 segundos. Se pide determinar la máxima ganancia K, para que el sistema sea estable.

ACTUADOR

Sensor deTemperatura-

Referencia

10100+s

K

5050+s

se 1.0−+

-

RetardoActuadorcalentador

Sensor de Tenperatura-

sm

sk2

3k

1k

1kvc

w

v+

+--

+ e

Ingeniería de Control II 7

Problema 18 Construir el Bode asintótico de las siguientes funciones de transferencia:

a. )2(

4)(1 +=

ssG

b. )1)(4,01(

4)(2 sssG

++=

c. )2)(125,1(

8)(3 ++=

ssssG

Problema 19 Construir el Bode asintótico de las siguientes funciones de transferencia. Para el caso de polos complejos conjugados con amortiguamiento bajo, hallar la curva real calculando el valor de máxima amplitud.

a. )125,0)(2)(15,2(

)6,0(5)(1 ++++

=ssss

ssG

b. )5625,1625,0(

12,3)( 22 ++=

sssssG

c. )1)(8,0)(4,0(

6,1)(3 +++=

ssssG