Problemas de relojes

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  • 8/3/2019 Problemas de relojes

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    I N T R O l J U C C H 1 N :Un relojero medip' extravagante fabricaun reloj que funcionaba a la perfecci6n,pero sus manecillas eran del mismo ta-mario.

    Medir el tiempo que transcurre significautilizar muchos conceptos, como son: lo ssegundos, los minutos, las horas, los dias,las semanas, los meses, los arios, .... etc.Relacionando convenientemente dichosconceptos, y de acuerdo a los insfrumen-tos y forrnas utilizadas para dichas rnedi-ciones, es que desarrollaremos el capitu-la, agrupando a los problemas en 4 par-tes principalmante.

    I.. P R O B L E M A S S O B R E C A M P A N A SEn este grupa de problemasse veran lascasas en las cuales invalucran a relajesque sefialan las horas mediante carnpa-nadas.

    Vearnos elsiguiente esquema:

    Se observa que entre campanada ycampanada hay un intervalo de tiem-po ( t ) constante.

    Segiin el grafica:# de campanadas =4# de intervalas = 3

    Esquema:4 t a . c a m p a n a l i aibk=b~

    ~ t ie rnpo total : 3t

    C o n c l u s i o r r e s :de intervalas = # camp - 1r [ Tiempa} [ # de ] [ ' ~ : : n d e l ] li . total = intervalos x l n t e r v a l o II . . . . . . . : : J

    ~ 326

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    E iemp (o 01Un carnpanario emplea 6 segundas paratocar 4 eampanadas. 2.Cuimta tiempaernpleara para tocar 8 eampanadas?a) 125d) 165

    b) 145'e ) 10 s

    e) 20 s

    Resoluci6n:Analizando en un grafieo tenemos:

    ~ 6"

    t = 7(2") = 14seg .

    Empleara 14 scqundos . lClave: bIOBSERVACION.Aparentemente la respucsta iba a ser 12segundos pero no fue asi ya que el nu-mero de carnpanadas y eltiempaen darcampanadas no son magnitudes directa-, mente proporcionales; es decir no pode-mas indicar que si un carnpanario toea 4carnpanades en 6 segundas, el doble, 8campanadas tocara en 12 segundas.En cambia el tiempo empleado y el nu-mero de intervalos sf son magnitudes di-rectamente proporcionales, entanees po-

    demos indicar el siguiente metoda practi-ca.

    =>x=~=143Emplcara 14 segundos.

    Eiem plo 02Si un campanario toea 10 campanadasen 27 segundos. 2.Cuantas campanadastocara en un minute?a) 20d) 19

    b) 18e ) 21

    c ) 22 ~

    Resoluci6n:Aplicando el metod o p ractice .

    = > x-I = 9 ; ~ Ox-I = 20

    x = 21Tocara 21 campanadas. c ' . . . . . . _ . _ _ . - . - . . ,

    !Clave: e i\ . , , , , , , , . . _ . , " _ ~ _ _ , i .

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    fiemplo 03Un reloj seriala la hora con igual numcrode carnpanadas, si para indicar las 12:00dernoro 22 segundos. GCuim to demeraraen indicar la s 4 :00?a) 7seg.d) 9 seg.

    b) 6 seg. c)4 seg.e) 12 seg.

    Resolucio:

    3x 22 - 6x=-l1=" :. Demerara 6 segundos.

    (Clave: b JE ie m p lo 0 4

    _-Un reloj sefiala la -hora .con el trip le decampanadas con que senalana un reloj

    - n ormal. S i en indicar las 4:00 am . demo-r o44 segundos. G Cuantodemorara enlndicar la s 21 :00?a) 108seg. b) 231 seg. c) 250 s-eg.d) 104seg. e) 110 seg.Resoluci6n:

    . = > x = 26rl44 = 104.. Demerara 104 segundo s. .;---'"iC lave: d!~-,~~I I . R E L A C I O N D E TIEMPOSEn este grupo de problemas dcsarrolla-remos aquellos casos en los que se invo-lu cra n e l tran sc urrir d el tiempo y par con-siguiente tambien al tiempo que faltatranscurrir, ya sea en un dfa,una serna-na,una hora, etc.E s q u e m a

    E ie m p lo 0 5S i son mas de las 3 , pero aun no son las5 y lo s minutes t ranscurr idos desde las 3es la cuarta parte de los minutos que fal-tan p ara la s 5, G que hora es?a) 3 :20d) 3 :24

    b) 4:24e ) 3:36

    c ) 3:44

    Resoluci6n:Del enunc iado:

    ~ 328120 '

  • 8/3/2019 Problemas de relojes

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    Planteando: .x+4x=120

    5x = 120x =24S on las 3 :00 + 24 ' = 3:24

    (Clave: d jEiemp(o 0 6S abiendo que el tiem po transcurrido deldia es excedido en 8 horas por e l tiempoqu e fa lta transcurrir, 2,Q ue hora sera den-tro de 3 horas?. a ) 11 :00 pm .c ) 10 :00 am .e ) 9:00 am .

    b) 8:00 am .d) 11:00 am .

    Resoluci6n:,

    24h= > x+(x+8)=24

    2x = = 16,x=8

    .. S on las 8:00 am . y dentro de 3 horasseran las 11:00 am .

    (Clave: d )

    Ejemp (o 0 7Hace 20 minutos, el tiempo que faltabapara las 4 pm . era el trip le de 1 0 que fa lta -ra para dicha hora pero dentro de 10 mi-n uto s. 2 ,Queh ora e s?

    b) 3 :35e ) 3:32

    a ) 3:30d ) 3:55

    c ) 3:45

    Resoluci6n:

    4 p.m .3x'

    = > 20 + 10 + x = 3xx =15

    .. Hora exacta : 4pm - (10 ' + 15')3 :35 pm .

    Ejemp lo 0 8,-GQue hora es?; para saberlo , basta consum ar la m itad ~el tiem po que falta paralas doce del medio dfa, mas los 2/3 deltiem po transcurrido des de las doce de lanoche.a) 7:12 a.m.c) 9:1 0 a.m .e ) 7:2 0 a.m .

    b) 5:3 0 a.m .d ) 10:30 a.m.

    [ @ 3 2 9

  • 8/3/2019 Problemas de relojes

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    Resoluci6n:Del enunc iado:

    ~~xh . 0 (12- x)h,~~~

    12 de fanoche 12 delmediodfa

    12hPlanteando:12 -x 2X=-.-2-+'3(X)

    6x = 36-3x+4x5x=36

    X = 36 h5 0 = 7h12min 00S on las 7:12 a.m .

    (Clave: a J

    I I I . P R O B L E M A S 8 0 B R EADEUNT0 8 Y ATRAS0 8

    En esta parte veremos aquellos proble-mas que involucren relojes que por unmal fu nc io namie nto se a de la nta n 0 atra-san.

    atraso 0 adelanto~g~

    S i un relojesta atrasado.Hora = [Hora] _ atrasoindicada '.reali

    '. S i un reloj esteadelantado:

    E je m p lo 0 9U n reloj se adelan ta 1 m i'nuto cada 900segundos. S i ahora m arca las '4 :20 y hace8 horas que se adelanta; ccual es la horacorrecta?

    b) 4:12e ) 3:30

    a ) 3:42d ) 3:48

    c ) 3:16

    Resoluci6n:Calculemos e l ade lanto :Adelanto en1 m inx 15 min.~~~~~J

    X .480 m in. ____"';8h i~ ,48 0 min 32 .= > X=-lS-= min

    Hora corr ec ta = 4 :20 - 32 '= 3:48r Clave: d )

    ------------'_muDPara que un relo j defectuoso que sufreadelantos 0 atrasos, vuelva a m arcar lahora correcta, es necesario que acu-mule un adelanto 0 atraso total de:

    12 h < > 720 min.

    ~ 330

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    Consideraciones: La circunferencia de un reloj esta di-vidida en 12 espacios iguales separa-

    fiemp(o II dos par las marcas horarias.Un reloj que se adelanta 7 min. "cada > _ El espacio comprendido entre doshora y otro que se atrasa3 min:'cada' marcas horarias csta dividido en 5 es-hora se sincroni~arr~ iqslO:OOam. Wen- pacios que corresponden a los minu-trode cuantotiernpo como rninirno mar- tos.caran juntos la misrna hera?

    reloj que se atrasa 5 minutos en cadahora, es sincronizado hoy at medio dia(12m). GQue tiempo, como minimo, de-bera transcurrir para que vuelva a marcarla hera correcta?a) 6 diasd) 8 dias

    b) 9 diase) 10 dias

    c) 7 dias

    Resoluci6n:Aplicando regIa de tres simple:

    Atrasa en5min.x... ' 1h.720 min. . x

    = > x = 72~xl = 144h= () d fas

    Debe transcurrir como minimo 6 dfas,

    (Clave: a Jf Para que dos re~;:,~efectuow" (quel! se adelantan 0 atrasan) vue1van a IImarcar la misma hora es necesario queI exista una diferencia entre 1 0 que mar-l can de: ."t 12 h < > 720 min. )

    b) 3 diase) 6 dias

    c) 4 dias)2 diasd) 5 dias

    I Resoluci6n:Note amigo que en una hora habra10min. de diferencia entre 1 0 que mar-can:@f .~ ~0,07,0q~o~p~/ se atrasa ""-2/ se adelanta " '~

    Aplicando regia de tres:Diferencia en

    10' X. 1h720' x

    Dentro de 3 d fas.

    III. M A N E C I L L A S D E L R E L O J

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    12

    3

    6m a r c aJ

    d e l a s 6 :0 0

    Aho ra h allemos la re1aci6 n en tre e1 tiem-po y e1 anqulo barrido para cada m aneci-lla.En una hora el horario debera avanzardesde la rnarca de las 4 hasta la marcade las 5, es decir 30 y el m in utero d ebe-ra dar una vuelta c omp l e t e es decir 3 6 0.

    S e observa que e! angu!o que barreelhorarioes l'a m itad de! tiem po en m inutosy e! rninutero barre un anqulo igua! a.6veces e! tiem po en m inutes.E ie m p (o 1 2C alculeel angulo que form an las m aniU asdel re!oj a las 1:18.

    Resolucion:En un grM ico ten emos:(1:18) C o m o d e s d e l a 1h a n p a s a d o 18 m i n .e n to n c c s e l h o r a r i oh a b a r r i d o l a m i t a d 9

    11

    4

    6entonces: a = 21 + 30 + 18 = 6 9

    Form an un anqulo de 6 9.)'---:----......",

    i C lave: b I,,----~E ie m p !o 1 32.Cua.1 s el m en or anqulo que form an lasrnaneoillas del relo j a las 8:24?a) 72

    .. d ) 118b) 128e ) 108

    Resoluci6n:Como desde las 8:00hasta las 8:24 hanpasado 24 m in., en este tiem po e1 horarioha barrido 12 (la m itad).

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    El menor an gu lo es 108.

    F O R M U lA P A R A H A L L A R E L A N G U L OENTRE LAS MANECILLAS .

    o Cuando el horatio adelanta al m inute-ra.

    12' I H:M I. G > [ ~ ~ 3 0 H - M I6 '

    o Cuanda el rninutero adelanta al hora-rio,12 ., H:MIM"------'11 . I'v'a= , M - 3 0 H6 '

    De los ejemplos anteriores:a) [1:18) H= 1 M= 1802. = > a=VM-30H .. ,( .... 3 a = V(18)-30(1)a = 696e l m in ute ro a de la nta

    milDS610 cuando sean las 12:xH=O;M=x

    b) [8:24)(;), 6

    el horatio adetanta

    E ie m p lo 1 4

    b) 96e ) 99

    M=24

    = > a = 30H-llM2a = 30\8)- ll(24)a = 108

    Resolut ion:[12:48 )

    , l \ . - l . 3We l m in ute ro a de la nta .

    6Cual es el menor angulo que forman lasmanecillas del reloja las 12:48?

    c ) 98

    H=O M=48a =M -30Ha= V(48)-30(0)a = 264

  • 8/3/2019 Problemas de relojes

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    El menor anqulo es:360 - 264 =960

    (Clave: b )E J e m p lo 1 , 5S egun elgr~fico, ~que hora es exacta-mente? 12

    9 3

    6a) 7:24 b) 7:22d ) 7:219/11

    c ) 7:229/4e ) 7:23

    Resolucion:Del grafico son las ~. = > H = 7 ; M =x ; a = = 90

    Aplicando la form ula:a =30H - M90 = 30 (7 ) - 1 2 1 (x)

    24 0 1 1 122 2120

    11~

    I I x = 120x = 24011x = 2111

    Son las 7:21;1

    E ie m p (o 1 6~Que hora indica el grafico?

    a ) 2:51d ) 2:54

    b) 2:52e ) 2:55

    c ) 2:53

    Resolucion:S onlas ~y como desde las2 :00 han pasado xm in uto s, e nto nc esel horario ha ba-rrido ( x / 2 ) O y elminutero 6xo.De l g ra fic o:Para el horario: I+a=30 ..... ;.: . (1)p ara el m inutero:

    6x+ 2a = 3303x + a::; 1650 (2)

    Restando: (2) - (1)3x+ J = 1 6 ) _f+ J =303x-f =1356x-x = 2705x = 270x=54

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    S on las 2:54 ,r--,llave: d I_ ____JE je m p (o 1 'lGQue hora in dica el relo j d e la fig ura?

    12

    3

    a ) 2h 331c ) 2h34te ) 2h 35f

    b) '2h 34l.7d)2h 331-

    Resoluci6n:Del gra fico :

    9

    = > a +t= 30 (1)= > 6x = 180 +2a

    3x = 90 +a (2)

    Sumando (1) y (2):

    t+3x cd20x+6x '" 240

    .. S on las 2:341

    iRAZONE! II """" IU n vendedor de refrescos tiene seis re~1cipientes con capacidades de 15, 16 , I .18, 19, 20 y 3 1 litros respectivamente. IU no de dichos recip ientes se !lena to- italmente solo con juga de naranja y II cada uno de los otros cinco se llcna to- Italrnente solo con chicha morada 0 Icon " lim onacla. D e esta m anera el ven- II dedor tiene el doble de chicha m orada I .I que de limonada. leual esel volumen, I

    ! en litros, del recip iente que contiene el II juga de naranja? " I. Ii II I I- I

    Ia ) 18d ) 31

    b) 16e ) 20

    c ) 15

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    ' ~ ~ EMm tE I campana rio de un relojda tantascarnpanadas como el doble dclnurnerode horas que indica si la hora es par; y sila hera es impar ind ica la hora con igualnumero de campanadas. S i para indicarlas 7 :00demor6 30 segundos ccuantodemerara para indicar las 10 :007a) 45 seg . b) 95 seg . c) 100 segd) 100 seg . e) 90 seg .Reso luc i6n:Aplicandorcqla de tres simple, pero concampanadas ,

    7:0010:00-r=-~2U

    19 x30x =-. -6-= 95 seg .D em era ra 9 5seg un do s.. . I Clave: b I

    t~1{gl~~Ml9~~U n campanario tarda 18 segundos en to-car (4n- 1) campanadas. S i en tre cam -panada ycam p1mada tarde tantos.se-gundos.como la m itadde un numeroquees uno menos que el numero de carnpa-nadas que dio . ~Cuanto tardara en tocarn 2 campanadas, s iel tiempo entre cam -panada y cam panada se dup licara?

    b) 15 seg .e) 18seg .

    c) 9seg .) 17seg.d) 16 seg .Reso luc i6n:H aciendo un esque~a:

    411-2 411-12 3

    211-1 2n-1211-1~~~(4n- 2 1 in tervalos

    18 s eg .

    De l g ra fic o: (4n - 2)(2n -1 ) = 18(2n -1 )(2n -1) = 9

    2n-1 = 3n=2

    iM uy bien! . .. ahora hallemos cuantodemerara en tocar n2 campanadas :

    1 2 r( ( - = 2 06 seg 6 se9' 6 seg~~~

    4

    18 s eg .Tardara 18 segundos

    ~ 336

  • 8/3/2019 Problemas de relojes

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    ~ f M ' ~ ~ M A . ; 2 l 1 1S on mas de las 3 sin ser las 4 de la ma-nana; si hubiera pasado 25 minutos m as,faltarfan para las 5:00 los mism os rninu-tos que pasaron desde las 3 :00 am .hastahace 15 m inutos. 2.Q ue h ora es?a) 3 .55 am . b) 3 :36 am. c) 3 :42 am}d) 3 :45 am . e) 3 :52 am.Resolution:Haciendoun e squema:

    x IS ' 025' x '~~~~3 5

    120 '. x + 15+ 25 + x = 120

    2x=80x=40

    .. S on la s: 3 :00+ 40 ' + 15' = 3 :55 am .1 _ c ! ! ~ ~ ! J

    /J , . , , , , . - , " " , ! i .\ t l l } ! P ~ B ~ ~ l \ t l t Q i I ~ ! tGCada cuan to tiernp o el m in utero y el se-gundero form an un anqulo recto?a ) 30 ~seg. b ) 3029 59 seg.c ) 3q~seg. d ) 30~~seg.e ) 303159 seg.

    Resolution:

    segundos se volvera a formar 900.Hallemosx.

    Del grafico: 6 x = 90 + 0 , 1 x + 905,9x = 180

    x = l~~O =30 ~~

    .. Cada 30 ~~ segundos se forma unangu lo re cto .

    { B 1 f g ~ : [ t l ' t l ~ 1 1 & .S i en este instan te el reloj digital indica lahora exa cta :

    IK~~pn lpero se adelanta 10 segundos cada hora.GDentro de cuanto tiem po volvera a m ar-car la hora exacta?a) 150 dU na de las horas en que dichas agujas d) 36 0 d

    form an 900 es las 12:15:00 y luego de xb) 180 de) 90 d.

    c) 200 d