Problemas de razonamiento ejemplo 4-2
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Aplicaciones de la derivada 2 G. Edgar Mata Ortiz [email protected] http://licmata-math.blogspot.com
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Aplicaciones de la derivada 2G. Edgar Mata Ortiz
http://licmata-math.blogspot.com
Máximos y mínimos relativosEjemplo 4.2. Proceso de solución iniciando con una aproximación sin cálculo, empleando primero matemáticas básicas y finalmente la derivada.
Enunciado del problema
• Se desea cercar un jardín rectangular con uno de sus lados contra una barda, de modo que ese lado no necesita ser construido.
• Se dispone de material para construir 100 m de cerca.
• ¿Qué dimensiones debe tener el jardín para conseguir el área máxima?
Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho
Longitud
Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho
Longitud
Darle valores al ancho del terreno
Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho
Longitud
Darle valores al ancho del terreno, y con estos, calculamos la longitud
Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Si elegimos un valor para el ancho del terreno, podemos determinar la longitud.Por ejemplo: Si el ancho es de 5 metros, la longitud será de 90 m. (¿puedes ver por qué?)Y el área será: A = longitud por ancho = 90 x 5 = 450
Ancho
Longitud
Darle valores al ancho del terreno, y con estos, calculamos la longitud
Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho
Longitud
Para facilitar el proceso, haremos una tabla en la que se irá cambiando el valor del ancho del terreno y calculando la longitud y el área.
Ancho Longitud Área
5 90 450
10 80 800
Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho
Longitud
Ancho Longitud Área
5 90 450
10 80 800
15 70 1050
20 60 1200
25 50 1250
30 40 1200
35 30 1050
Área máxima
Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho
Longitud
Ancho Longitud Área
5 90 450
10 80 800
15 70 1050
20 60 1200
25 50 1250
30 40 1200
35 30 1050
La solución por ahora es:Ancho = 25Es necesario probar con valores cercanos a 25, para ver si podemos mejorar el área máxima.
Podríamos usar valores como:23, 23.5, 24, 24.5, 25.5, 26, 26.5
Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho
Longitud
Ancho Longitud Área
23 54 1242
23.5 53 1245.5
24 52 1248
24.5 51 1249.5
25 50 1250
25.5 49 1249.5
26 48 1248
26.5 47 1245.5
Área máxima
No fue posible obtener una mejor solución.
Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho
Longitud
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 10 20 30 40 50 60
Áre
a d
el te
rre
no
(y)
Ancho del terreno (x)
La solución es:Ancho = 25Longitud = 50Área = 1250
* La gráfica parece tener la forma de una parábola, sin embargo, no podemos estar seguros hasta conocer su ecuación.
Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Si elegimos un valor (x) para el ancho del terreno, podemos determinar la longitud.Si el ancho es de x metros, la longitud será de 100 – 2x m. Y el área será: A = longitud por ancho = (100 – 2x) x
Ancho
Longitud
Darle valores al ancho del terreno, es una forma de hacerlo variable, en lugar de eso, tomemos su valor como equis (x).
Diagrama
Ecuación del área del terreno en función de su ancho.
A = (100 – 2x) x = 100x – 2x2
Expresándola como función: y = -2x2 + 100x
Es una ecuación cuadrática, podríamos obtener el punto máximo determinando su vértice.
Ancho
Longitud
Tomar el ancho como x nos permite obtener la ecuación.
Aplicando la derivada
Ancho
Longitud
Derivamos e igualamos a cero para obtener el punto máximo.
22 100
4 100
4 100 0
4 100
100
4
25
y x x
dyx
dx
x
x
x
x
La solución es:Ancho = 25Longitud = 50Área = 1250
* Concuerda con la solución aproximada que habíamos obtenido sin cálculo diferencial.
GRACIAS POR SU ATENCIÓN
PBL – Problem Based Learning
Es una técnica consistente en iniciar el tema de interés con un problema que conduzca al alumno a la necesidad de aprender dicho tema.
El objetivo del presente material es abordar el tema de derivadas a partir de un problema.
Dicho problema es irresoluble por métodos analíticos previos al cálculo.
Se muestran soluciones aproximadas logradas mediante estas herramientas y finalmente se plantea la solución mediante máximos y mínimos relativos.
