Problemas de Olimpiadas Internacionales Resueltos 43
of 4
-
Upload
jhosed-andre-loyola-sanchez -
Category
Documents
-
view
220 -
download
1
Transcript of Problemas de Olimpiadas Internacionales Resueltos 43
-
8/3/2019 Problemas de Olimpiadas Internacionales Resueltos 43
1/4
Olimpiadas InternacionalesProblemas Resueltos N 43 Ao II-2007
_______ _______ ___________________ __
EL CONOCIMI ENTO ES PATRIM ONI O DE LA HUMANI DAD Pg. 1 [email protected]
Encontrar todos los enteros tales que , sea un cuadrado perfecto.
Solucin
Sea = , donde es un nme-
ro positivo. Entonces:
Como 131 es primo, y tambin
y son ambos enteros, y
aadido a esto que 0, entonces que-
dan dos posibilidades:
:
Resolviendo tenemos que
:
Resolviendo tenemos que
As el conjunto ={ }38, 27 , cumplen las
condiciones solicitadas.
La longitud del lado de un cuadrado es . Dos puntos y son tomados en y
tales que el permetro del tringulo es igual a . Hallar el ngulo .
Solucin
Desde que2
1el excrculo
del tringulo opuesto a toca a y en y
respectivamente. Como es perpendicular a
y es perpendicular a , es el excentro, de tal
forma que y son las bisectrices de y
Olimpiadas InternacionalesProblemas Resueltos N 43 Ao II-2007
_______ _______ ________
EL CONOCIMI ENTO ES PATRI MONI O DE LA HUMANIDAD Pg. 2 [email protected]
, respectivamente.
Sea el pie de la perpendicular de a . Desde que = , y
tenemos: = . En forma similar tenemos:
.
En consecuencia: Entonces:
De aqu: 2
1
Probar que todos lo trminos de la secuencia:
107811 110778111 111077781111, , ....
3 3 3, son cubos exactos.
Solucin
Denotamos el trmino de la secuencia como Entonces:
+ + + + + = + +
3 3 2 3 2 1 21 10 10 10 10 10 17.
3 9 9 9
( )31
3 3 2 2 11 10 110 3.10 3.10 127 3
++ + + = + =
Sin hacer uso de tablas, calcular el valor exacto del producto:
2 3 4 5 6 7cos .cos .cos .cos .cos cos .cos
15 15 15 15 15 15 15
= .
So luc in .
Usamos la conocida frmula:
-
8/3/2019 Problemas de Olimpiadas Internacionales Resueltos 43
2/4
Olimpiadas InternacionalesProblemas Resueltos N 43 Ao II-2007
_______ _______ ___________________ __
EL CONOCIMI ENTO ES PATRIM ONI O DE LA HUMANI DAD Pg. 3 [email protected]
=
Tenemos:
=2 3 4 5 6 7
cos .cos .cos .cos .cos cos .cos15 15 15 15 15 15 15
2 4 7 3 6 5cos .cos .cos .cos . cos cos cos
15 15 15 15 15 15 15
=
2 4 8 2cos .cos .cos .cos . cos cos cos
15 15 15 15 5 5 3
=
16 41 1 1 1 115 5. . . .2 16 4 2 12816 4
15 5
= = =
3 3 3
2 2 2 2 2 2 3
+ ++ +
+ + + + + +
Solutions for problems "B", 2000-
Proposed by: Beregszsz-
So luc in .
Probando las inecuaciones:
3
2 2
2 1
3 3
+ +,
3
2 2
2 1
3 3
+ +, y
+ +
. La suma de ellas
resuelve el problema.
Por simetra cclica es suficiente probar la
primera inecuacin. Esta puede ser trans-
formada a , la cual
siempre se cumple.
Sea: ++++= .
Encontrar el valor de .
Olimpiadas InternacionalesProblemas Resueltos N 43 Ao II-2007
_______ _______ ________
EL CONOCIMI ENTO ES PATRI MONI O DE LA HUMANIDAD Pg. 4 [email protected]
So luc in :
++
=
+
Esto es: =
++
=
=
++++++=
++
=
En consecuencia: =+
+
++
Podemos combinar todos estos trminos para obtener:
=++= =
Expresar como una funcin racional de y por ejemplo, encontrarlas polinomiales ( , ) y ( , ) tales que cos( ) = (cos3( ),sin3( )) / (cos3( ),sin3( )).
Solucin
y
( , ) = (1 + 2 ) , ( , ) = (2 + + ) .
La primera puede ser desarrollada como sigue:
De aqu:6 6
2 2 cos sincos .sin3
+= . Tambin tenemos:
-
8/3/2019 Problemas de Olimpiadas Internacionales Resueltos 43
3/4
-
8/3/2019 Problemas de Olimpiadas Internacionales Resueltos 43
4/4
Olimpiadas InternacionalesProblemas Resueltos N 43 Ao II-2007
_______ _______ ___________________ __
EL CONOCIMI ENTO ES PATRIM ONI O DE LA HUMANI DAD Pg. 7 [email protected]
2 2 2
1 1 1 + + ++ +
+ + +
4 4 4 4 4 4 4 2 2 4 2 2 4 2 2+ + =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )0
+ + =
Lo cual demuestra que la desigualdad es verdadera. La igualdad es correcta si y solo si
.
Me sal io fac i l i to e l 43.
Saludos cordia les
Aldo Gi l Cr isstom o
