Problemas de mvilesPara plantear problemas sobre mviles que llevan velocidad

constante se utilizan las frmulas del movimiento rectilneo uniforme:

espacio = velocidad tiempo

1 er casoLos mviles van en sentido contrario.

eAC + eCB = eAB

Dos ciudades A y B distan 300 km entre s. A las 9 de la maana parte de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarn en encontrarse.90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas

2 La hora del encuentro.Se encontraran a las 11 de la maana .

3 La distancia recorrida por cada uno.e = 90 2 = 180 km

AB

e

BC

= 60 2 = 120 km

2 o casoLos mviles van en el mismo sentido.

eAC eBC = e

AB

Dos ciudades A y B distan 180 km entre s. A las 9 de la maana sale de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarn en encontrarse.90t 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas

2 La hora del encuentro.Se encontraran a las 3 de la tarde.

3 La distancia recorrida por cada uno.e = 90 6 = 540 km

AB

e

BC

= 60 6 = 360 km

3 er casoLos mviles parten del mismo punto y con el mismo sentido.

e

1

= e

2

Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas ms tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecucin del primero con una velocidad de 120 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardar en alcanzarlo.90t = 120 (t 3)

90t = 120t 360

30t = 360

t = 12 horas

2 La distancia a la que se produce el encuentro.e = 90 12 = 1080 km

1

Problemas de Grifos

En una hora el primer grifo llena 1/t 1 del depsito.

En una hora el segundo grifo llena 1/t 2 del depsito.

Si existe un desage

En una hora el desage vacia 1/t 3 del depsito.

En una hora los dos grifos juntos habrn llenado:

Sin desage

Con desage

Un grifo tarda en llenar un depsito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo cuatro horas. Cunto tiempo tardarn en llenar los dos grifos juntos el depsito?

En una hora el primer grifo llena 1/3 del depsito.

En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depsito.

En una hora los dos grifos juntos habrn llenado:

7x = 12

x = 12/7 horas

Problemas de Mezclas

C1

1 cantidad. C 1 = x

C2

2 cantidad. C 2 = C m - x

Cm

Cantidad de la mezcla C m = C 1 + C 2

P1

Precio de la 1 cantidad

P2

Precio de la 2 cantidad

Pm

Precio de la mezcla

C1 P1 + C2 P2 = Cm Pm

Tambin podemos poner los datos en una tabla

Cantidad

Precio

Coste

1 sustancia 2 sustancia Mezcla

C1 C2 C1 + C2

P1 P2 P

C1 P1 C2 P2 C1 P1+ C2 P2

C 1 P 1 + C 2 P 2 = (C 1 + C 2 ) P m

Un comerciante tiene dos clases de caf, la primera a 40 el kg y la segunda a 60 el kg.

Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de caf para obtener 60 kilos de mezcla a 50 el kg?

1 clase N de kg Valor x 40 x

2 clase 60 x 60 (60 x)

Total 60 60 50

40x + 60 (60 x) = 60 50

40x + 3600 60x = 3000; 600

60x + 40x = 3000 3600;

20x =

x = 30;

60 30 = 30

Tenemos que mezclar 30 kg de la 1 clase y otros 30 de la 2 clase .

Problemas de Aleaciones

La ley de la aleacin es la relacin entre el peso del metal fino, es decir, ms valioso, y el peso total.

Se

resuelven

del

mismo

modo

que

los

problemas

de

mezclas,

teniendo en cuenta que la ley de la aleacin equivale al precio de la mezcla.

C 1 L 1 + C 2 L 2 = (C 1 + C 2 ) L a

Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. Qu peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?

1 ley N de g Plata x 0.750 x

2 ley 1800 x 0.950 (1800x)

Total 1800 0.900 1800

0.750 x + 0.950 (1 800x) = 0.9 1800

0.750 x + 1 710 0.950x = 1 620

0.750x 0.950x = 1 620 1 710

0.2x = 90

x = 450

1 ley

450 g

2 ley

1350 g

Problemas geomtricos con ecuaciones de primer grado

Halla el valor de los tres ngulos de un tringulo sabiendo que B mide 40 ms que C y que A mide 40 ms que B.

C

x

B

x + 40

A

x + 40 + 40 = x+ 80

x + x + 40 + x+ 80 = 180;

x + x + x = 180 40 80;

3x = 60;

x = 20

C = 20

B = 20 + 40 = 60

A = 60 + 40 = 100

Resolucin de ecuaciones de segundo gradoUna ecuacin de segundo grado es toda expresin de la forma:

ax 2 + bx +c = 0 con a 0.

Se resuelve mediante la siguiente frmula:

Si es a 0La ecuacin tiene dos soluciones, que son nmeros reales distintos.

b 2 4ac = 0La ecuacin tiene una solucin doble.

b 2 4ac < 0La ecuacin no tiene soluciones reales.

Propiedades de las soluciones de la ecuacin de 2 gradoLa suma de las soluciones de una ecuacin de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuacin de segundo grado es igual a:

Ecuacin de 2 grado a partir de sus solucionesSi conocemos las races de una ecuacin, podemos escribir sta como:

Siendo S = x 1 + x 2 y P = x 1 x 2

Escribe una ecuacin de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y 2.

S= 3 2 = 1

P = 3 2 = 6

x2 x + 6 = 0

Factorizacin de un trinomio de segundo gradoa x 2 + bx +c = 0

a (x -x 1 ) (x -x 2 ) = 0

Resmen Ecuaciones de Primer Grado

IgualdadUna igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

IdentidadUna identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.

EcuacinUna ecuacin es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

Los miembros de una ecuacin son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Los trminos son los sumandos que forman los miembros.

Las incgnitas son las letras que aparecen en la ecuacin.

Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

El grado de

una

ecuacin

es

el mayor

de

los

grados

de

los

monomios que forman sus miembros.

Ecuaciones equivalentesDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucin.

Si a los dos miembros de una ecuacin se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuacin es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una ecuacin se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuacin es equivalente a la dada.

Resolucin de ecuaciones de primer gradoEn general para resolver una ecuacin debemos seguir los

siguientes pasos:

1 Quitar parntesis. 2 Quitar denominadores.

3 Agrupar los trminos en x en un miembro y los trminosindependientes en el otro.

4 Reducir los trminos semejantes. 5 Despejar la incgnita.

AplicacionesProblemas sobre mviles

1 er casoLos mviles van en sentido contrario.

e

AB

+ e

BC

= e

AB

2 o casoLos mviles van en el mismo sentido.

e

AC

e

BC

= e

AB

3 er casoLos mviles parten del mismo punto y con el mismo sentido.

e

1

= e

2

Problemas sobre grifos Problemas sobre mezclas Problemas sobre relojesEl ngulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja horaria.

Ecuaciones de 2 gradoUna ecuacin de segundo grado es toda expresin de la forma:

Problemas geomtricos

ax 2 + bx +c = 0 con a 0.

Se resuelve mediante la siguiente frmula:

Si es a 0La ecuacin tiene dos soluciones, que son nmeros reales distintos.

b 2 4ac = 0La ecuacin tiene una solucin doble.

b 2 4ac < 0La ecuacin no tiene soluciones reales.

La suma de las soluciones de una ecuacin de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuacin de segundo grado es igual a:

Si conocemos las races de una ecuacin, podemos escribir sta como:

Siendo S = x 1 + x 2 y P = x 1 x 2

Problemas de Mviles

Dos poblaciones A y B distan 360 Km. Al mismo tiempo sale un coche de A hacia B a una velocidad de 100 km/h y un autobs de B hacia A a una velocidad de 80 km/h. Cunto tiempo trascurre hasta que se encuentran?

El problema es equivalente a que un vehculo se desplace de una ciudad hacia otra a una velocidad de 100 + 80 =180 km/h. El tiempo que tarda en hacer el recorrido ser . Luego tras 2 horas se encontrarn.

Un atleta sale a entrenar a las 10 h. de la maana a una velocidad de 10 km/h. Media hora despus sale en su persecucin otro atleta a una velocidad de 12 km/h. A qu hora alcanza el segundo atleta al primero? Cunta distancia han recorrido?

El segundo atleta se acerca hacia el primero con una velocidad relativa de 12 - 10 = 2

km/h. Durante la media hora el primer atleta ha recorrido 5 km. Luego el problema consiste en ver cuanto tiempo se tarda en hacer 5 km a una velocidad de 2 km/h. . El segundo atleta tarda 2 horas y media y en ese tiempo recorre e=vt = 122.5 = 30 Km

Problemas resueltos de relojes, mviles, grifos y mezclas1Un reloj marca las 3 en punto. A qu hora entre las 3 y las 4 se superpondrn las agujas?

x es el arco que describe la aguja horaria.

(15 + x) es el arco que describe el minutero.

15 + x = 12x

x = 15/11 min

Las agujas se superpondrn a la 3 h 16 min 21 s

Un reloj marca las 2 en punto. A qu hora formarn sus agujas por primera vez un ngulo recto?

Las agujas del reloj forman un ngulo recto a las 2 h 25 min y un poco ms, que llamaremos x.

x es el arco que describe la aguja horaria.

25 + x, es el arco que describe el minutero.

25 + x = 12x

x = 25/11 min

Las agujas del reloj conformarn un ngulo de 90 a las 2h 27 min 16 s.

Dos ciudades A y B distan 300 km entre s. A las 9 de la maana parte de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarn en encontrarse.

90t + 60t = 300

150t = 300

t = 2 horas

2 La hora del encuentro.Se encontraran a las 11 de la maana .

3 La distancia recorrida por cada uno.e = 90 2 = 180 km

AB

e

BC

= 60 2 = 120 km

Dos ciudades A y B distan 180 km entre s. A las 9 de la maana sale de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarn en encontrarse.90t 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas

2 La hora del encuentro.Se encontraran a las 3 de la tarde .

3 La distancia recorrida por cada uno.e = 90 6 = 540 km

AB

e

BC

= 60 6 = 360 km

Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas ms tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecucin del primero con una velocidad de 120 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardar en alcanzarlo.90t = 120 (t 3)

90t = 120t 360

30t = 360

t = 12 horas

2 La distancia a la que se produce el encuentro.e = 90 12 = 1080 km

1

Un camin sale de una ciudad a una velocidad de 40 km/h. Una hora ms tarde sale de la misma ciudad y en la misma direccin y sentido un coche a 60 km/h. Se pide:

1. Tiempo que tardar en alcanzarle.e1 = e2

40t = 60 (t 1)

40t = 60t 60

40t 60t = 60

20t = 60

t = 3h

Como el coche sale una hora ms tarde, el tiempo que tardar en alcanzarlo ser de 2 horas .

2. Distancia al punto de encuentro.e 1 = 40 3 = 120 km .

Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de la maana de los pueblos A y B situados a 130 kilmetros de distancia. El ciclista que sale de A pedalea a una velocidad constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de B, a 20 km/h. A qu dista ncia de A se encontrarn y a qu hora?

30t + 20t = 130

50t = 130

t = 130/50 = 2 h 36 min

Se encuentran a las 11h 36 min

e

AC

= 30 130/50 = 78 km

Un grifo tarda en llenar un depsito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo cuatro horas. Cunto tiempo tardarn en llenar los dos grifos juntos el depsito?

En una hora el primer grifo llena 1/3 del depsito.

En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depsito.

En una hora los dos grifos juntos habrn llenado:

7x = 12

x = 12/7 horas

Un comerciante tiene dos clases de caf, la primera a 40 el kg y la segunda a 60 el kg.

Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de caf para obtener 60 kilos de mezcla a 50 el kg?

1 clase N de kg Valor x 40 x

2 clase 60 x 60 (60 x)

Total 60 60 50

40x + 60 (60 x) = 60 50

40x + 3600 60x = 3000; 600

60x + 40x = 3000 3600;

20x =

x = 30;

60 30 = 30

Tenemos que mezclar 30 kg de la 1 clase y otros 30 de la 2 clase .

Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. Qu peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?

1 ley N de g Plata x 0.750 x

2 ley 1800 x 0.950 (1800x)

Total 1800 0.900 1800

0.750 x + 0.950 (1 800x) = 0.9 1800

0.750 x + 1 710 0.950x = 1 620

0.750x 0.950x = 1 620 1 710

0.2x = 90

x = 450

1 ley

450 g

2 ley

1350 g

Un lingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g. Qu cantidad de cobre puro se habr de aadir para rebajar su ley a 0.900?

Oro N de g Oro puro 6 300 0.950 6 300

Cobre x

Total 6 300 + x 0.900 (6 300 + x)

0.900 (6 300 + x) = 0.950 6 300

5 670 + 0.900x = 5 985

0.900x = 315

x = 315/0.900 = 350

Cobre

350 g