Problemas de ModeJización

1. Un problema común a diversas industrias es el de las pérdidas asociadas al corte de rollos

de papel, tela, planchas metálicas etc., para poder cumplimentar los pedidos de los clientes.

Este problema deriva del hecho que normalmente las fábricas producen rollos de de anchura

estándar (p.ej. 100 pulgadas) y longitud fija (p.ej. 500 pies). Los clientes requieren a menudo

rollos de menor anchura para sus usos. Los rollos se cortan en una máquina cuyas cuchillas

pueden fijarse a cualquier combinación de anchuras, siempre que la anchura de la combinación

no exceda la del rollo. Así, el problema se convierte en el de asignar los pedidos de manera que:

a) El número total de rollos estándar usados para satisfacer los pedidos sea mínimo, o bien

b) Se minimice la pérdida total, siendo la pérdida la parte de un rollo no usada al ser su

anchura menor que cualquier medida pedida, así como el número de rollos cortados que

sobran respecto al número de rollos (de cierta anchura) pedidos.

Suponiendo que una fábrica de papel de periódico que fabrica rollos están dar de 100", debe

satisfacer un pedido de 75 rollos de 24", 50 rollos de 40" y 110 rollos de 32", formular el

problema como uno de programación entera, para las dos funciones objetivo anteriores.

Sugerencia: enumerar las posibilidades de conar un rollo de anchura 100" en rollos de

anchuras 24",40" Y32". Definir como variable de decisión Xia la i-ésima forma de efectuar elcorte

2. En el congreso de los diputados hay n comités. El j-ésimo comité tiene Vj vacantes

j=l,...,n. Hay m diputados para cubrir las vacantes (m$Lvj). Pij es la preferencia del diputado

i por una vacante del comité j (i=l,...,m; j=1 ,n). Cada vacante debe cubrirse por un

diputado pero cada diputado puede cubrir, como máximo, vacantes en dos comités. Hay tres

tipos de comités: exclusivos, semiexclusivos y no exclusivos. Si un diputado cubre una vacante

en un comité exclusivo, no puede cubrir ninguna otra, pero si cubre una vacante en uno

semiexc1usivoy otra en otro comité, el otro debe ser no exclusivo.-,Formular este problema corno uno de programación entera sometido a las condiciones dadas

que maximice las preferencias. ¿Cúal sería la formulación en el ejemplo numérico siguiente?Diputado Agricultura Ba.nc4 EduC3Ción Autonomías Judicial Ciencia Interior COITeas1 O 1 O 1/2 O O O 1/22 1/3 O O 1 O O O 13 O O O O O O O O4 O O O 1 1/2 O O O5 O O O 1 O O 1/2 O6 O O O 1/2 1 1/3 O O7 O O O 1 1/2 O O 1/38 O O O O O O O O9 O O O 1 O O O O10 O 1 O O O O O O11 O O O 1 O O O O12 1/2 O O O O O O O13 1/3 1/2 O 1 1 O O O#vacantes 5 3 1 1 1 2 1 1Tipo Semiex Semiex Semiex Ex Semiex Semiex Noex Noex

1

3. Plantear el siguiente problema de programaciónmatemática:

Una compañía minera desea planificar sus operaciones de laboreo de manera que le permita

controlar el grado de plomo que va a los molinos en cada turno. Las minas tienen 15 túneles

que han de ser tratados entre los tres turnos de cada día. El porcentaje de plomo y las toneladas

de mineral que pueden explotarse por turno en cada tunel son:

Tunel 1 2%Plomo 2 5Tm min 540 520

38

480

420

600

525

580

6 74 8

575 555

810

540

9 1012 18

530 535

1112

585

124

530

13 142 1

510 500

153

620

En cada turno.se han de trabajar 5 túneles y la combinación de mineral que ha de producir el

turno debe contener, como mínimo un 8% de plomo. ¿Qué túneles se trabajan en cada turno?

4. Plantear el siguiente problema: Al realizar el plan de inversiones los responsables de una

empresa deben decidir entre 5 proyectos, para los que han estimado las siguientes cifras de

inversión e ingresos actualizados en millones de piS:Proyecto A B C D EInversión 10 20 10 50 30

Ingresos 13 27 14 60 40

Hallar el plan que maximiza el beneficio total, considerando que sólo se pueden invertir 60

millones y que:1) Los proyectos A y C son incompaúbles

2) Si se invierte en A y B no puede invertirse en E3) Si se invierte en D ó E. no puede inverúrse ni en A ni en B4) Si se invierte en C debe invertirse en E

5. Durante la construcción de una presa han de transportarse grandes cantidades de grava apta

para la producción de hormigón desde los depósitos hasta la planta de fabricación de hormigón

aheja a la presa. La tabla proporciona las cantidades estimadas y los costes de producción y

transporte de la grava desde las ubicaciones de los depósitos hasta la planta de fabricación.Ubicacióndeldepósito Canúdad(m3) coste/m3

A 8000 380 pts.B 16000 540 pts.C 8000 340 pts.D 6000 480. pIS.

En la construcción de la presa se utilizan tres tipos de hormigón en las cantidades que se

indican, que se obtienen mezclando los distintos tipos de grava con cemento y otras

componentes según los límites especificados y los costes que da la tabla:

Tipo de hormigón Límites1 (A+B)S50%. C~10%. D sin limite

2 (A+B)S60%, C~lO%. (C+D)S(A+B)3 .Q20%. (C+D)?1/2(A+B)

coste/m3580

500650

Requerimiento (rn3)6000

15000

8000

FormuJar el problema como un problema lineal, cuyo objetivo es la minimización de los costes

de transporte y producción de las cantidades requeridas de los diferentes tipos de hormigón.

2

6. El presidente de la Tim Burr Company desea emplear de la mejor forma posible los recursos

madereros en una de sus áreas forestales. En esta zona hay un aserradero y un molino de

contrachapado; por tanto, la madera de los árboles puede convertirse en tablas de madera o

madera contrachapada. Una tabla de madera vendible de 1000 pies cuadrados requiere 1000

pies cuadrados de pícea y 4000 pies cuadrados de abetO; 1000 pies cuadrados de madera

contrachapada requieren 2000 pies cuadrados de pícea y 4000 pies cuadrados de abeto. En la

zona hay 32000 pies cuadrados de pícea y 72000 pies cuadrados de abeto. El departamento de

ventas exige que, en este periodo, se produzcan 5000 pies cuadrados de tablas de madera y

12000 pies cuadrados de contrachapada. Las contribuciones al beneficio son de 45$ por 1000

pies cuadrados de tablas de madera y 60$ por 1000 pies cuadrados de madera contrachapada.

Sean T y C las cantidades (en miles de pies cuadrados) de tablas de madera y madera

contrachapada producidas respectivamente. Formular el problema como un modelo lineal.

7. El gerente de una planta de la Compañía de Acero Jericho debe decidir cuantas libras de

acero puro Xl y cuantas libras de chatarra X2deben utilizarse en una aleación que se funde para

uno de sus clientes. El coste por libra del acero puro es de 3 y el de la chatarra es de 6 (que es

superior porque primero deben eliminarse todas las impurezas). El pedido del cliente es de 5

libras, a pesar de que estaría dispuesto a aceptar una producción mayor si la Compañía Jericho

se lo exige. Se dispone de 4 libras de acero puro y de 7 de cbatarra. La proporción de chatarra

con respecto al acero puro no debe superar los 7/8. En la planta sólo disponen de 18 horas para

realizar este pedido; en el proceso total, cada libra de acero puro requiere 3 horas mientras que

cada libra de chatarrarequiere sólo 2 horas. Formular el problema como un modelo lineal.

8. El ayuntamiento de la ciudad en la que está ubicada la Compañía Química Fowlayer, le ha

exigido que instale y utilice mecanismos para evitar la polución. La compañía comercializa dos

productOs;para cada uno de ellos el proceso de manufactura produce una cantidad excesiva de

gases irritantes y partículas (sólidos que flotan en el aire). La tabla sigúiente muestra la emisión

diaria, en libras, de cada polucionante por cada 1000 galones de producto producido:

Tipo de polucionante Libras de Polucioname emitido

Por 1000 galones de producto 1 Por 1000 galones de produclo 2Gas GM 24 36Gas SD 8 12

Particulas 100 50

La compañía no puede emitir más de Gl, G2 YPl libras de gas GM, gas SD y partículas,

respectivamente. El beneficio por cada 1000 galones de los productos 1 y 2 obtenidos por día

son Pl y P2 respectivamente. El encargado de producción, ha aprobado la instalación de dos

mecanismos antipolutivos. El primero de ellos elimina 75% del gas GM, 50% del gas SD y

90% de las partículas, independientemente del producto que se esté fabricando. El segundo,

elimina 33% del gas GM, nada del gas SD y 80% de las partículas en el producto 1, y 25% de

CM, nada de SD y 60% de las partículas en el producto 2. El primer mecanismo reduce el

beneficio por miles de galones producidos diariamente en q, independientemente del produclo;

3

análogamente, el segundo mecanismo reduce el beneficio en C2 por cada 1000 galones

producidos diariamente, independientemente del producto. Las necesidades comerciales

requieren que se produzcan por lo menos Rl miles de galones diariamente del producto 1 y R2

miles de galones diarios del producto 2. Si las variables de decisión son:Xl: DÚlesde galones del producto 1 obtenidos diariamente sin utilizar ningún mecanismo antipolutivo

xII: miles de galones del producto 1 obtenidos diariamente utilizando el primer mecanismo antipolutivox12: DÚlesde galones del productO 1 obtenidos diariamente utilizanto el segundo mecanismo antipolutivo.

Análogamente. para el producto 2 se defineen x2, x21 YX22.

Formular un modelo de optimización apropiado.

9. Una economista de la compañía publicitaria, Flag-Poole Advertising Company, opina que

puede conocer la forma óptima de distribuir los dólares invertidos en publicidad de un cliente

mediante un programa lineal. Basta con identificar las audiencias a las que quiere dirigirse el

cliente- tales corno adolescentes, parejas recién casadas, tercera edad, etc. Sea i el índice que

representa la i-ésima audiencia. El cliente debe especificar el nivel de exposición que desea paracada audiencia i, Ei. Entonces se evalua en función de su efectividad cada uno de los medios

publicitarios (tales como un anuncio en televisión, un anuncio en color en un suplemento

dominical, etc.). Sea j el rndice que representa el j-ésirno -mediopublicitario, y aij la efectividadevaluada de invertir un dolar para la i-ésima audiencia en el j-ésimo medio. Cada variable de

decisión se designa por Xj,que representa la cantidad tOtal de dólares que se invierten en el

medio publicitario j durante una campaña de promoción. El objetivo del cliente es minimizar el

gastOtOtalpublicitario, manteniendo sus niveles deseados de exposición. Suponiendo que hay

4 audiencias y 5 medios publicitarios, escribir el modelo lineal que se describe anteriormente.

10. La Best Tasties Corporation hace cuatro tipos de cereales para el desayuno; Noisies,

Soggies, Bursties y Reposies. Cada uno de ellos es un compuesto de ingredientes (granos,

vitaminas, azucar y conservantes). Sea i el índice que representa al i-ésimo ingrediente

i=I,...,l. Sea aNila cantidad del ingrediente i en una libra de Noisies, y similarmente aSi, aBi Y

aRi las cantidades para los otros tres cereales. Supongamos que Mi es la máxima cantidad

disponible el próximo mes del ingrediente i para la producción de los cereales. La contribución

al beneficio de una libra de Noisies se representa por PN,y similarmente las contribuciones al

beneficio de los otros cereales se representan por PS, PB y PRoSean xN, xs, xB YXRlas libras

de cada cereal que se van a producir el próximo mes. Por lo menos deben producirse 15000

libras de Noisies, así corno 130000 libras de Soggies, 45000 libras de Bursties y 600000 libras

de Reposies. Escribir un programa lineal para obtener un esquema de planificación de la

producción óptimo.

11. La compañía Turned-On Transistor Radio Company, fabrica tres modelos de radio, A, B Y

C, cuyas contribuciones al beneficio son de 16,30 Y50 respectivamente. La demanda mínima

semana] de] modelo A es de 20 unidades, 120 unidades para el modelo B y 60 para el C.

.Cada tipo de radio requiere una cierta cantidad de tiempo para la fabricación de componentes,

montaje y embalaje. Específicamente, doce unidades del modelo A requieren 3 horas de

~,

fabricación,4 horas de montaje y 1 hora de embalaje. Los tiempos correspondientes para una

docena de unidades del modelo B son 3.5, 5 Y 1.5, Ypara una docena de unidades del modelo

C son 5, 8 Y3. La semana próxima la compañía dispondrá de 120 horas de fabricación, 160

horas de montaje y 48 horas de tiempo de embalaje. Formular un programa lineal para obtener

un esquema de planificación de la producción óptimo.

12. Antes de que termine la cosecha la compañía Fickle-Pickle debe efectuar los pedidos de

compra de pepinos a cada uno de los N productores. El producto se envía posteriormente a M

plantas de producción en las que se transforma en encurtidos. Actualmente se conoce la

variación esperada en el tamaño de los pepinos comprados a cada uno de los granjeros. Hay D

clases de pepinos (medidos en términos de los tamaños de sus diametros). La i-ésima planta de

producción requiere Rik bushels. de pepinos de diámetro k, donde i=l,...,M y k=l,...,D. Sea

Xjel número de bushels que se compran al cultivador j, y Uj el máximo número de bushels

disponibles del cultivador j. Sea Pjkla fracción de un bushel comprado al granjero j que tienenpepinos de diametro k. (P.ej. si P34=0,5, entonces la mitad de cada bushel comprado al

cultivador 3 pertenece a la clase de diametro 4). Por tanto, Pj~O y LPjk=l, tornando la suma en

k. El coste por bushel de pepinos comprado al cultivador j es Cjy el coste de transporte por

bushel comprado al cultivador j hasta la planta i es Cji.Hay que hotar que, en general, cualquier

esquema de pedidos hará que la compañía adquiera más pepinos de determinados tamaños que

los que en realidad requiere. Supongamos que después de su encargo, los pepinos se ordenan

por su tamaño en el lugar de cultivo y los bushels de pepinos de cualquier tamaño con una

proporción superior a la requerida se destruyen "in situ" sin ningún coste adicional. Formular

un modelo de optimización apropiado que indique cúantos bushels deben comprarse a cada

cultivador y qué tamaños deben tener los pepinos que deben transportarse a cada planta.

.Bushel: Medida de áridos correspondiente a 36,36 litros.

13. La gerente de la Boilen Oil Company desea encontrar las proporciones óptimas de dos

posibles procesos de mezclado. En el proceso 1, un input de un barril de aceite crudo A y 3

barriles de aceite crudo B produce un output de 50 galones de gasolina X y 20 galones de

gasolina Y. En el proceso 2, un input de 4 barriles de aceite crudo A y 2 barriles de aceite crudo

Bproduce un output de 30 galones de gasolina X y 80 galones de gasolina Y. Sean Xl y X2los

números de barriles que se decide utilizar en el proceso 1 y 2 respectivamente. La cantidad

máxima disponible de Acite Crudo A es de 120 barriles y 180 barriles de Aceite Crudo B. El

departamento de ventas exige que se produzcan por 10menos 2800 galones de Gasolina X y

2200 galones de Gasolina Y. Los beneficios unitarios de los Procesos 1 y 2 son pl y p2

respectivamente. Formular este problema de mezclas corno un problema de program.aciónlineal.

14. La encargada de High Tail Airflight Company, compañía que opera desde un terminal

central dispone de 8 aviones de tipo 1, 15 aviones de tipo 2 y 11 aviones de tipo 3 disponibles

para los vuelos de hoy. Las capacidades de tonelaje (en miles de toneladas) son de 45 para el.

5

tipo l. 7 para el tipó 2 y 5 para el tipo 3. La encargada decide enviar aviones a las ciudades A y

B. Los tonelajes necesarios (en miles de toneladas) son de 20 para la ciudad A y 28 en la ciudad

B; si se proporcionan aviones con un exceso de tonelaje sobre el requerido ello no supone

ningún coste extra. Un avión puede volar una única vez por día. El coste de enviar un avión

desde el termina]hasta cada ciudades el siguiente:

. Tipo1 Tipo2 Tipo3CiudadA 23 lS 1.4QudadB 58 20 3,8

Sean xI. x2 Yx3las variables que denotan el núniero de aviones de cada tipo que se envían a la

ciudad A. y. similarmente. YI. Y2.Y3los aviones enviados a la ciudad B.

Formular un modelo lineal para resolver este problema de itineratios.

15. La Glassey-Staire Television Network desea establecer precios competitivos para sus

tiempos publicitarios. Lo que sigue es una versión simplificada del problema. Supongamos que

hay tres tipos de periodos publicitarios: tarde-noche. entre-semana y SábadolDomingo-tarde

(antes de las 6 p.m.). Sean PI. P2 YP3los precios por minuto en cada uno de los periodos.

respectivamente. La compañía vende bloques de tiempo a K grandes compañías publicitarias

que tienen un efecto imponante en los precios que se fijan. Se sabe que la compañía k desea

adquirir un lote que constiste en aIk, a2k Ya3k minutos en los 3 periodos publicitarios y está

dispuesta a pagar Ak dólares por todo el lote. La compañía también vende tiempo a publicitarios

menores y piensa que, si los precios son adecuados para los K grandes publicitarios, en total

puede vender MI, M2 YM3 minutos de tarde-noche, entre-semana y Sábado/Domingo-tarde,

respectivamente. Formular este problema como un modelo de programación lineal.

16. La ciudad de Shlepping. Massachusetts, tiene tres distritos educativos; en cada uno de

ellos, la proporción de estudiantes residentes blancos y negros es diferente. El Consejo

Educativo (CE) local quiere definir un plan de asignación de estudiantes a los distintos distritOs

que, en la medida de 10posible, establezca las mismas proporciones raciales en sus colegios.

Entre los planes alternativos posibles, el CE elegirá uno que minimice el coste total de

transpone. El CE ha contratado a un consultor para diseñar un plan y ha establecido que la

proporción (o fracción) de estudiantes blancos en los colegios de los distritos no debería

diferenciarse en más de 0.1 de la proporción de estudiantes blancos en toda la ciudad. (Por

ejemplo. si la proporción de estudiantes blancos en toda la ciudad es de 0.73. entonces. la

proporción de estudiantes blancos en cada distrito debe estar entre 0.63 y 0.83). A partir de

estadísticas publicadas, se sabe que la cantidad de residentes en edad escolar negros y blancos

en los Distritos 1.2 Y3 son nl.bl; n2. b2 ; Yn3. b3; respectivamente. El máximo número de

estudiantes que pueden ubicarse en los Distritos 1.2 Y3 son NI, N2 YN3, respectivamente. El

coste de transporte desde el distrito i hasta el distrito j por estudiante es CijoSupongamos que las

variables de decisión Xij,Yij(i:;1!:j)representan las cantidades de estudiantes negros y blancos.

respectivamente. que deben transladarse desde el distrito i hasta el distrito j. Formular un

.modelo de optimización adecuado para diseñar un buen plan.

,...

17. Problema Trim. La compañía papelera Fine.Webb Paper Company produce rollos de papel

de una anchura estándar de 68 pulgadas. (Cada rollo tiene una longitud fija). Los clientes de la

compañía, sin embargo, encargan rollos de anchuras menores (y la misma longitud fija que los

rollos fabricados). Los pedidos de hoy son de 110 rollos de 22" de ancho, 120 rollos de 20" de

ancho y 80 rollos de 12" de ancho. Estas anchuras inferiores se obtienen conando los rollos de

anchura estándar. Por ejemplo, la compañía puede decidir conar un rollo en dos rollos cada uno

de 22" de ancho y un rollo de 20" de ancho; esto deja un recorte de desperdicio de 4" de ancho

del rollo de 68". El encargado de la planificación de la producción desea realizar los pedidos dehoy minimizando los recortes residuales totales.

a) Encontrar todas las formas posibles de conar un rollo de 68" de ancho en combinaciones

de rollos de 22", 20" Y 12". Se acaba de ilustrar una combinación de este tipo. Calcular

la pérdida residual para cada combinación. Etiquetar las combinaciones 1, 2, 3,... Y

definir Xicomo el número de rollos que deben conarse según el i.ésimo patrón.

b) Formular el problema como un modelo de programación lineal. (Hay que tener en cuenta

que cualquier cantidad de rollos más pequeños obtenidos por encima de la demanda del

cliente, debe considerarse también como una pérdida).

c) Demostrar que la función objetivo también puede escribirse como mili 68(Xl+X2+...).

18. Resolver las cuestiones del problema 17, suponiendo que la anchura del rollo producido es

de 100" y que los pedidos de hoy son 110 rollos de 25" de ancho, 120 rollos de 30" de ancho y

80 rollos de 35" de ancho. (Ahora el coeficiente en el apartado c) ya no es 68).

19. Resolver las cuestiones del problema 17 suponiendo q~e la anchura del rollo producido esde 200" y que los pedidos de hoy son de 110 ro11osde 30" de ancho, 120 ra110sde 55" de

ancho y 80 rollos de 65" de ancho. (Ahora el coeficiente en el apartado c) ya no es 68).

20. La gerente de la Ay.by.Night Airline, debe decidir las cantidades de jet fuel que deben

comprarse a tres posibles vendedores. La compañía reposta sus aviones regulannente en los

cuatro aeropuertos desde los que sirve. Las cantidades que pueden distribuir las compañías de

aceites el próximo mes son: 275000 galones la Oil Company 1; 550000 galones la Oíl Company

2; y 660000 galones la Oil Company 3. Las cantidades que necesita la compañía aérea son:

110000 galones en el aeropuerto 1, 220000 galones en el aeropuerto 2 y 330000 galones en el

aeropuerto 3 y 440000 galones en el aeropuerto 4. Cuando se añaden los costes de transporte a

los precios netos de venta por galón, el coste combinado por galón para el jet fuel de cada uno

de los posibles vendedores distribuyendo a un aeropuerto específico son los siguientes:

Compañía1 Compañía2Aeropuerto1 10 7Aeropuerto2 10 11Aeropuerto3 9 12Aeropuerto4 11 13

Formular el problema de decisión como un programa lineal.

Compañía 381449

7

17. Problema Trim. La compañía papelera Fine-Webb Paper Company produce rollos de papel

de una anchura estándar de 68 pulgadas. (Cada rollo tiene una longitud fija). Los clientes de la

compañía, sin embargo, encargan rollos de anchuras menores (y la misma longitud fija que los

rollos fabricados). Los pedidos de hoy son de 110 rollos de 22" de ancho, 120 rollos de 20" deancho y 80 rollos de 12" de ancho. Estas anchuras inferiores se obúenen cortando los rollos de

anchura estándar. Por ejemplo, la compañía puede decidir conar un rollo en dos rollos cada uno

de 22" de ancho y un rollo de 20" de ancho; esto deja un recorte de desperdicio de 4" de ancho

del rollo de 68". El encargado de la planificación de la producción desea realizar los pedidos dehoy minimizando los recortes residuales totales.

a) Encontrar todas las formas posibles de cortar un rollo de 68" de ancho en combinaciones

de rollos de 22", 20" Y 12". Se acaba de ilustrar una combinación de este tipo. Calcular

la pérdida residual para cada combinación. Etiquetar las combinaciones 1, 2, 3,... Y

definir Xicomo el número de rollos que deben conarse según el i-ésimo patrón.

b) Formular el problema como un modelo de programación lineal. (Hay que tener en cuenta

que cualquier cantidad de rollos más pequeños obtenidos por encima de la demanda del

cliente, debe considerarse también como una pérdida).

c) Demostrar que la función objetivo también puede escribirse como mm 68(Xl+X2+...).

18. Resolver las cuestiones del problema 17, suponiendo que la anchura del rollo producido es

de 100" y que los pedidos de hoy son 110 rollos de 25" de ancho, 120 rollos de 30" de ancho y

80 rollos de 35" de ancho. (Ahora el coeficiente en el apartado c) ya no es 68).

19. Resolver las cuestiones del problema 17 suponiendo que,la anchura del rollo producido esde 200" y que los pedidos de hoy son de 110 rollos de 30" de ancho, 120 rollos de 55" de

ancho y 80 rollos de 65" de ancho. (Ahora el coeficiente en el apartado c) ya no es 68).

20. La gerente de la Fly-by-Night Airline, debe decidir las cantidades de jet fuel que deben

comprarse a tres posibles vendedores. La compañía reposta sus aviones regularmente en los

cuatro aeropuertos desde los que sirve. Las cantidades que pueden distribuir las compañías de

aceites el próximo mes son: 275000 galones la Gil Company 1; 550000 galones la Oíl Company

2; y 660000 galones la Gil Company 3. Las cantidades que necesita la compañía aérea son:

110000 galones en el aeropuerto 1,220000 galones en el aeropuerto 2 y 330000 galones en el

aeropuerto 3 y 440000 galones en el aeropuerto 4. Cuando se añaden los costes de transporte a

los precios netos de venta por galón, el coste combinado por galón para el jet fuel de cada uno

de los posibles vendedores distribuyendo a un aeropuerto específico son los siguientes:

Compañía1 Compañía2Aeropuerto1 10 7Aeropuerto2 10 11Aeropuerto3 9 12Aeropuerto4 11 13

Formular el problema de decisión como un programa lineal.

Compañía 381449

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21. La Seymour Rayes Manufacturing Company tiene tres plantas de producción en las que

produce una componente pequeña para un producto industrial y luego lo distribuye a 5

distribuidores a un precio fijo de distribución de 2.50$ por unidad. Las previsiones de ventas

indican que las distribuciones mensuales serán de 2700 unidades al distribuidor 1, 2700

unidades al distribuidor 2, 9000 unidades al distribuidor 3, 4500 unidades al distribuidor 4 y

3600 unidades al distribuidor 5. Las capacidades de producción mensuales son de 4500 en la

planta 1,9000 en la planta 2 y 11250 en la planta 3. Los costes netos de producción por unidad

son de 2$ en la planta 1, 1$ en la planta 2 y 1,8$ en la planta 3. Los costes de transporte (en

dólares) al distribuir una unidad desde cada planta a cada distribuidor son los siguientes:Distr.l Distr.2 Distr.3 Distr.4 Distr.5

Planta1 0,05 0,07 0,11 0,15 0,16Planta2 0,08 0.06 0.10 0.12 0,15Planta3 0.10 0.09 0,09 0.10 0,16

Formular un problema lineal que indique las cantidades de producción óptimas en cada planta, y

que indique cuantas componentes deben repartirse desde cada planta a cada distribuidor.

22. La Faye Stout Rayon Company ha introducido una nueva fibra sintética de acetato que ha

sustituido muchas de sus ventas actuales de rayon. La gran demanda resultante para la fibra

sintética junto con las dificultades de producción en la planta hacen que, cuando el cliente lo

permita, la compañía realice cambios en la fibra distribuida. Por tanto, es posible que un cliente

que haya realizado un pedido de fibra 3, en realidad reciba parte del pedido en fibra 5, cuando el

cliente 10 acepte y la compañía Stout no disponga de fibra 3. Incluso con estos cambios, la

producción de la compañía no permite satisfacer todas las d~mandas de los clientes para ciertostipos de fibras. Para cada una de las fibras de las que no se dispone de cantidades suficientes, la

compañía quiere satisfacer la misma proporción del pedido de cada cliente. (En otras palabras, si

los pedidos totales de la fibra k son de 150000 libras y la compañía sólo dispone de 100000

libras de fibras para estos pedidos, cada uno de los clientes que ha pedido fibra k recibirá

únicamente 2/3 del pedido de fibra k realizado; además la cantidad recibida estará formada por

fibra k y sustitutos permitidos). Además, en caso de falta de producto, la compañía intenta

distribuir a cada cliente la misma parte proporcional correspondiente de la fibra que en realidad

encargó. (Por ejemplo, si cuando se han pedido 150000 libras de fibra k, sólo se dispone de

50000 libras de fibra k, entonces cada cliente recibe aproximadamente 1/3 de su pedido en fibra

k. Los 2/3 de su pedido restantes pueden llegar- o no- a distribuirse con alguno de los sustitutos

permitidos). Supongamos que el número de fibras producidas es de 10 y que hay 70 clientes.

Sea Xijkla cantidad de fibra k que se distribuyen al cliente i, para satisfacer su pedido qij de fibra

j, donde i=1,2,...70, j=1,2,...1O y k=1,2,...1O. Cuando j;ék, se está distribuyendo un producto

sustituto. La cantidad disponible de fibra j es de Aj libras. El coste por libra de distribuir fiora k

al cliente i que pidió fibra j es Cijk(este coste puede incluir una penalización por la sustitución; si

el cliente i no permite la sustitución de la fibra k por fibra j, este coste puede fijarse a un valor

arbitrariamente grande). Sea Xjla fracción de pedido de cada cliente de fibra j que realmente se

distribuye (con fibra j y sustitutos permitidos). Para cada cliente i, sea d¡jel coste de penalización

8

por libra de fibra j pedida pero no distribuida (ni con fibra j ni con ninguno de los sustitutos

permitidos). Finalmente, exigimos que cada cliente reciba al menos el 95%, pero no más del

105% de la parte proporcional que le correspondería de cada fibra pedida que no puede suplirse

por completo. Formular un modelo adecuado de optimización.

23. El departamento de policía de Kleen City necesita diariamente los siguientes policías:

Bandahoraria Pmodo #Mínimode policíasnecesarios en el periodo

2-6 1 226-10 2 55

10-14 3 8814-18 4 11018-22 5 4422-2 6 33

Debemos considerar el periodo 1 como el que sigue inmediatamente al periodo 6.

Cada persona trabaja 8 horas consecutivas. Sea Xlel número de policías que empiezan a trabajar

en el periodo t cada día. El departamento de policía ha contratado los servicios de un experto

europeo para obtener un esquema diario que utilice el menor número de policías, cumpliendo

los requerimientos anteriores. Formular un modelo lineal par3:encontrar el esquema óptimo.

24. Hacia el 435 A.c. Esparta decidió formar tropas de reserva para complementar su ejercito

en activo. Por tanto, podían alistarse nuevos guerreros para periodos de 1, 2, 3 ó 4 años. Sean

XIt, X2ltX3tYX4tel númerode guerrerosalistadosen el año t, t=1,2,3,4años respectivamente.Los costes asociados son cIt, C2l,C3tYC4lrespectivamente. Se estableció, que cada año t debía

haber un número mínimo de guerreros en la reserva de Rl; Rl variaba cada año. Como general

espanano, tu podrías encontrar la política de alistamiento óptima, para los próximos 10 años

mediante un programa lineal. Para mayor simplicidad, toma t=1 para d~notar el año 435 AC.

25. El Haut DamWater System comprende varias presas, embalses, afluentes. Uno de ellos,

el embalse Gaul Dam se utiliza para recreo (natación, esquí acuatico, canóas, etc.). Es

importante mantener la profundidad media de este embalse dentro de unos márgenes prefijados,

que varían mensualmente. La jefe de sección del departamento de aguas es responsable de la

decisión mensual sobre cúanto agua se debe verter desde la presa de Haut Dam hasta el embalse

Gaul Dam. Los ingenieros de su departamento han estimado una tasa alta de filtración y

evaporación en Gaul Dam; corno la cantidad de lluvia puede considerarse despreciable, el nivel

de agua en Gaul Dam debe mantenerse mediante vertidos desde Haut Dam. Supongamos que en

el departamento de aguas se desea hacer una planificación para los próximos 20 meses. ~uranteel mes t, sea Xlla variable que denota la profundidad media del embalse, antes de aumentarla

con el agua de la presa; x}=25. Sea Ylla variable que denota el número de pies que se dedde

añadir a la profundidad media en el mes t; es decir, un valor positivo para Ytindica una decisión

de aumentar la profundidad del embalse con agua de la presa. Sean Lt YUt los límites inferior y

supl;rior prefijados, respectivamente, para la profundidad media del embalse después del

vertido de agua el mes t Supongamos que xt+l es 0.75 de la profundidad media del embalse

después del incremento de agua en el mes t . Suponiendo que el coste de incrementar la

profundidad del embalse en el mes t es de Ct por pie, formular un modelo apropiado de

optimización.

26. El jefe de personal de la Feedmen-Speedmen Airline Company debe decidir cuantas

nuevas azafatas deben contratarse y formar en los próximos 6 meses. Las necesidades

expresadas en términos de número de horas de vuelo de azafatas necesitadas son 8000 en

enero, 9000 en febrero, 7000 en marzo, 10000 en abril, 9000 en mayo y 11000 en junio. Antes

de poder asignar una azafata a un vuelo es necesario formarla durante un mes; por tanto una

azafata debe contratarse por 10menos un mes antes de que realmente se le necesite. Tambiéndurante el curso de formación se necesitan 100 horas de supervisión por personal

experimentado con 10que en esos periodos se dispone de 100 horas menos para el servicio

regular de vuelos. Cada azafata con experiencia puede trabajar hasta 150 horas al mes, y la

compañía dispondrá a p~cipio de enero de 60 azafatas experimentadas. Si el tiempo disponible

de azafatas experimentadasexcede las necesidades de vuelos y de formación de un mes, durante

ese mes las azafatas trabajan menos horas y nadie queda despedido. Al final de cada mes,

aproximadamente el 10% de las azafatas experimentadas deja el trabajo por distintos motivos.

Una azafata experimentada cuesta a la compañía 850$ por ~es y una en formación 450$ al mes

en salarios y otros conceptos. Formular este problema de contratación como un programa

lineal. Sea Xtel número de azafatas que empiezan su formación en el mes t, donde xo=62

Definir las variables de decisión adicionales que sean necesarias.

27. Formular un modelo de programación para la situación siguiente:

Un centro de recuperación recoge cuatro tipos de residuos sólidos para su reciclaje y, después

de tratarlos, los mezcla en distintas cantidades para producir tres tipos de producto utilizable.

Aunque hay una cierta flexibilidad en las combinaciones que intervienen en la mezcla de cada

producto, los estándares de calidad especifican unos límites máximo y mínimo en los

porcentajes (en peso) de algunos de los materiales permitidos en cada mezcla. Estas

especificaciones,junto con el coste de la mezcla y el precio de venta, son las siguientes:Material1 Material2 Material3 Coste/kgmezcla Precioventalkg

MezclaA nomás30% nomenos40% nomás50% 300 850MezclaB nomás50% nomenos10% - 250 700MezclaC nomás70% - - 200 550

El centro de recuperación recoge sus residuos sólidos de fuentes regulares que le permiten

mantener un régimen de producción estable para el tratamiento de estos materiales. La tabla

siguiente da las cantidades disponiblespara la recogida y tratamiento de cada tipo de material:. Material Kg/semanadisponibles Costedel tratamiento

1 3000 3002 2000 600

3 4000 4004 1000 500

10

Por otra parte, compromisos previamente adquiridos obligan a producir al menos 3000 Kg de

mezcla A, 4000 de la By 1000 de la e, pero exigencias de la tecnología empleada no permiten

que producir la mezcla A en una cantidad mayor del doble de la cantidad de mezcla B

producida.

El problema de la compañía es determinar qué cantidad de cada mezcla ha de producir y su

composición exacta, de manera que maximice el beneficio neto semanal.Solución: .

Xir Kg de material j por semana para producir la mezcla i, i=A,B,C. j=l,2.3,4

4

1: Xijj=l

i=Ai=Ai=A

Cantid<KIde mezcla A producidaCantidad de mezcla B producidaCantidad de mezcla C producida

C

1: Xiji=A

j=lj=2j=3j=4

Cantidad de material 1 producidaCantidad de material 1 producidaCantidad de material 1 producidaCantidad de material 1 producida

C

Función objetivo:z= ~lrecio de ventaporkg. dela mezclai x cantidadtotal (enkg) de la mezclai

C1:costeporkg.de lamezclai x cantidadtotal (enkg) de la mezclaii=A4

1:coste por kg. del tratamientOdel material j x cantidad tOtaldel material j tratada (en kg)j=I

2;::850 (XAI + xA2 + xA3 + XA4)+ 700 (xB1 + xB2 + xB3 + XB4) + 550 (XCI + xC2 + xC3 + X(4)

-300 (XAI + XA2+ xA3 + XA4)-250 (xB1 + xB2 + xB3 + xB4) -.200 (XCI + xC2 + xC3 + xC4)-300 (XAI + XBI + XCI) -600 (XA2+ XB2+ xC2) -400 (XA3+ xB3 + xC3) -500 (XA4+ XB4+ xC4)

'Zi= 250 XA1 - 50 XA2+ 150 xA3 + 50 XA4+ 150 XB1 -150 xB2 + 50 xB3 -50 XB4 + 50 xCI -250 xC2 .50 xC3 . 150 xC4

Restricciones por limitación de recursosMaterial 1: xAI + xBI + xCI ~ 3000

Malerial2: xA2 + xB2 + xC2 ~ 2000Material 3: xA3 + xB3 + xC3 ~ 4000Material 4: xA4 + xB4 + XC4 ~ 1000

Restricciones por estándares de calidadMezcla A:.

XAl ~ 0.3 (XAI + XA2+ XA3+ XA4)

xA2 ~ 0,4 (XAI + xA2 + xA3 + XA4)

xA3 ~ 0.5 (XAl + XA2+ XA3+ xA4)

Mezcla B:

XBl ~ 0.5 (xBl + XB2+ xB3 + xB4)

XB2~ 0.1 (XBl + xB2 + xB3 + XB4)

MezclaC: xCI ~ 0.7 (XCI + xC2 + xC3 + XC4)

Restricciones por condiciones tecnológicasxAI + xA2 + xA3 + xA4

~2

XCI + xC2 + xC3 + xC4

1 1

28. Una versión simplificada del problema de localización de plantas es:

Min L L Cij Xij + L fi Yiie 1 je J ie 1

Sujeto a

(1) L Xij =dj. 'v'je J, J={ 1,2,...,n} Centros de consumo cuyas demandas han de ser satisfechasiel

(2) L Xij -Yi ( Ldj) S O, ie 1 = {1 ,2,...,m} Conjunto de almacenes

je J je J

Xij~, 'v'ie 1, 'v'je J Xij cantidad SumiIÚStradaal centro j desde el almacen i

I se abre el almacen de la localización potencial i

Yi=

o no se abre el almacen en ¡

Esta versión corresponde al llamado problema "sin capacidades" ya que los almacenes no están

sometidos a ninguna restricción de capacidad, lo que supone admitir implícitamente que ésta

p~~:~ ser lo suficientemente grande como ¡:araque un único almacén satisfaga la demanda total

(':"dj) y aprovisione a todos los clientes. Cijes el coste por unidad de surtir el centro j desde el

almacén i y f¡es el coste de la decisión de abrir un almacén en la localización potencial i.

Las resnicciones (1) garantizan la satisfacción de la demanda de cada centro y (2) impiden que

se intemc aprovisionar un centro desde un almacén no abierto ya que Yi=O=> xij=O'v'j.

a) Este modelo supone un único producto y una etapa de distribución: almacén-centro de

consumo. ¿Cómo se modificaría el modelo si hubiese dos etapas: fábrica-almacén,

almacén-centro de consumo y hubiese L productos diferentes? (Sugerencia: Sea X¡jkllacantidad del producto 1,enviada desde la fábrica i a través del almacén k al centro j)

b) ¿Y si las fábricas y los almacenes tienen límites superior e inferior para sus capacidades

de produccióny almacenamiento?

c) ¿y si no se admite un fraccionamiento de los pedidos a los almacenes de manera que la

demanda del centro j ha de ser satisfecha desde un único almacén?

d) ¿Cómo se introducirían en el modelo condiciones del tipo:

1) Los centros del subconjunto lId no pueden ser servidos desde los almacenes lId

2) Si i,j,r son aprovisionados desde k entonces 1,s y t han de serIo desde otro almacén

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