Aplicaciones: (Ecuacin Lineal.)Docente: Francisco Arias Dominguez

MEZCLAAlgunos procesos se componen de partes que se pueden imaginar como un tanque al cual entra y

del cual sale una corriente de un udo portador de una o varias sustancias disueltas. El proceso totaltiene lugar debido a la interaccin, es decir, a los intercambios de udo de las sustancias entre s y conel exterior.

Trabajaremos con los siguientes supuestos:N Una solucin con una concentracin de entrada C1 (masa/volumen) de cierta sustancia Y entra

al tanque que puede contener Y y otras sustancias a una razn de entrada A (vol/tiempo), que seinterpreta como un caudal de entrada.N La mezcla es agitada instantneamente dentro del tanque de forma que en cada punto del tanque

la concentracin es la misma. A continuacin lamezcla sale del tanque a una razn B (vol/tiempo), que se interpreta como un caudal de salida.La pregunta que se quiere responder es: Cul es la cantidad Q = Q(t) de la sustancia Y en el

tanque, en cada instante?Formulacin: Sean

Q = Q(t) : cantidad de sustancia Y en el instante t,

V = V (t) : volumen total de la mezcla en el tanque en el instante t,

C = C(t) : concentracin de Y en el tanque en el instante t.

Ahora, consideremos un tanque de mezcla que inicialmente contiene V0 galones de la sustanciaY . Otra solucin Y est entrando en el tanque a una tasa A gal=min; en este ujo de entrada laconcentracin de la sustancia Y es C1 lb=gal. Cuando la solucin se mezcla bien en el tanque, se extraea una tasa de B gal=min.

1

El ujo de salida, es

C(t) =Q(t)

V (t):

Ahora, comodV

dt= AB

entonces,dV = (ABdt) , V (t) = (AB)t+ C

y como V (0) = V0, se tiene

V (t) = (AB)t+ V0 (1)

Necesitamos una ecuacin para saber la cantidad de soluto en cada instante, pero la velocidad a queQ(t) cambia ser una tasa neta de

dQ

dt= (Velocidad de entrada) (Velocidad de salida) = Rentrada Rsalida. (2)

Pero:Rentrada = (tasa de entrada)(concentracin) = A C1

y

Rsalida = (tasa de salida)(concentracin) = B C(t) = B Q(t)V (t)

:

Luego (2) nos quedadQ

dt= A C1 B Q(t)

V (t)

odQ

dt+

B

V (t)Q(t) = A C1 (Ecuacin lineal)

donde,V (t) = (AB)t+ V0:

Ejemplo:Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviacin gal) de agua salada en la cual estn disueltos 5 lb

de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3 lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto yla mezcla bien agitada sale a la misma tasa. Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo. Cuanta sal est presente despus de 10 min? Cuanta sal est presente despus de un tiempo largo?Formulacin Matemtica:Sea Q el nmero de libras de sal en el tanque despus de t minutos. Luego dQ

dtes la tasa de cambio

de esta cantidad de sal en el tiempo, y esta dada por:

dQ

dt= Rentrada Rsalida.

Puesto que entran 2 gal/min. conteniendo 3 lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entrapor minuto es:

Rentrada = 2 gal=min: 3 lb:=gal = 6 lb:=min:2

Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay Q libras de sal en cualquier tiempot, la concentracin de sal al tiempo t es Q libras por 10 gal. La cantidad de sal que sale por minuto es,por tanto,

Rsalida =Q lb

10 gal 2 gal=min: = 2 Q lb

10 min=

Q lb

5 min:

Puesto que inicialmente hay 5 lb. de sal, tenemos queQ = 5 en t = 0. As, la formulacin matemticacompleta es: 8

3) Una sala con un volumen de 32 metros cbicos est inicialmente llena de aire libre de monxidode carbono (CO). A partir del tiempo t = 0 entra a la sala aire con humo de cigarrillo a razn de 0; 002m3=min con un 4% de CO. El aire se mezcla rpidamente en la sala y sale a la misma razn de 0; 002m3=min.a) Cunto tardar la concentracin de CO en la sala en alcanzar el nivel del 0; 0012%, peligrosa

para seres humanos?b) Si la situacin persistiera, qu pasara cuando t!1?Respuesta: (a) En t = 4; 8 minutos la concentracin de CO ser del 0; 0012%. (b) Si t ! 1

entonces c(t)! 4%.4) Un tanque contiene inicialmente agua pura. Salmuera que contiene 2 libras da sal/gal. entra al

tanque a una velocidad de 4 gal./min. Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera sale a una velocidadde 3 gal./min.Si la concentracin alcanza el 90% de su valor mximo en 30 minutos, calcular los galones de agua quehaban inicialmente en el tanquue.

5) Un tanque contiene 500 galones de salmuera. Al tanque uye salmuera que contiene 2 libras de salpor galn, a razn de 5 galones por minuto y la mezcla bien homogenizada, sale a razn de 10 galonespor minuto. Si la cantidad mxima de sal en el tanque se obtiene a los 20 minutos. Cual era la cantidadde sal inicial en el tanque?

6) Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 12libra de

sal/galn de salmuera uye al interior del tanque a una rapidez de 2 galones /min. y la mezcla bienhomogenizada sale del tanque con la misma velocidad. Despus de 10 minutos el proceso se detiene yse introduce al tanque agua pura con una rapidez de 2 galones/min, abandonando el tanque a la mismavelocidad. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han pasado un total de 20 minutos.

7) Un tanque contiene 50 litros de agua. Al tanque entra salmuera que contiene k gramos de sal porlitro, a razn de 1:5 litros por minuto. La mezcla bien homogenizada, sale del tanque a razn de un litropor minuto. Si la concentracin es 20 grano por litro al cabo de 20 minutos. Hallar el valor de k

8) A un tanque que contena 400 litros de agua pura se bombea una solucin de agua-sal que contiene0:05 kg de sal por litro, a una razn de 8 litros por minuto. La mezcla homogeneizada sale con la mismarapidez. El proceso se interrumpe al cabo de 50 minutos y a continuacin se bombea agua pura a lamisma razn de 8 litros por minuto (la mezcla sigue saliendo a la misma velocidad). Determine:a) La cantidad de sal en el tanque al cabo de los primeros 50 minutos.b) La cantidad de sal al cabo de 100 minutos.c) Esboce la grca de la solucin.Respuesta: La cantidad de sal en el tanque al cabo de 50 minutos es 20(1 e1) y la cantidad de

sal al cabo de 100 minutos es 20e1(1 e1).9) Considrese un tramo del Ro Cauca desde un punto antes de Cali (digamos el Paso de la Balsa)

hasta un punto despus de Cali (digamos la Laguna de Sonso) como un tanque con un volumen de 60millones de metros cbicos en el cual hay una concentracin de contaminantes (detergentes y txicosde uso domstico, desechos industriales, etc.) del 0; 00001%. Supngase que a partir de t = 0 hayuna entrada de 1200 m3=seg con una concentracin de contaminantes del 0; 001% y que hay una salidade igual cantidad de agua bien mezclada. Cul ser la concentracin de contaminantes despus deltiempo t? Cunto tardar la concentracin en elevarse al 0; 0001%? Si las condiciones persistieran,qu pasara cuando t ! 1? Respuesta: La concentracin es c(t) = 107(100 99e0;00002t). Ent = 4765; 51 la concentracin ser del 0; 0001%. Si t!1 entonces c(t)! 0; 001%.10) Una fbrica est situada cerca de un ro con caudal constante de 1000m3=seg que vierte sus aguas

por la nica entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fbrica empez afuncionar el 10 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por da, de 4 a 6 de la maana y de 4

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a 6 de la tarde, bombea contaminantes al ro a razn de 1 m3=seg. Suponga que el lago tiene una salidade 1000 m3=seg de agua bien mezclada. Esboce la grca de la solucin y determine la concentracinde contaminantes en el lago despus de: un da, un mes (30 das), un ao (365 das). Respuesta:Suponiendo una contaminacin constante (que promedie los dos bombeos diarios de contaminacin)tenemos: La concentracin en un da es 0; 0014%, en un mes 0; 012% y en un ao 0; 146%.11) Una solucin de salmuera de sal uye a razn constante 6L/min. hacia el interior de un depsito

que inicialmente contiene 50L de solucin de salmuera en la cual se disolvieron 5kg de sal. La solucincontenida en el depsito se mantiene bien agitada y uye hacia el exterior con la misma rapidez. Sila concentracin de sal en la salmuera que entra en el depsito es de 0; 5kg=L, determinar la cantidadpresente en el depsito al cabo de t minutos. Cundo alcanzar la concentracin de sal en el depsitoel valor de 0; 3kg=L?. Respuesta: Q(t) = 25 20e3t=25, t = 25 ln 2

3.

12) Una solucin de salmuera de sal uye a razn constante 4L/min. hacia el interior de un depsitoque inicialmente contiene 100L de agua. La solucin contenida en el depsito se mantiene bien agitaday uye hacia el exterior a razn de 3L=min. Si la concentracin de sal en la salmuera que entraen el depsito es de 0; 2kg=L, determinar la cantidad presente en el depsito al cabo de t minutos.En qu momento la concentracin de sal contenida en el depsito ser de 0; 1kg=L?. Respuesta:Q(t) = 0; 2(100 + t) 2107

(100+t)3, t = 100( 4

p2 1).

13) Un gran depsito esta lleno con 500L de agua pura. Una salmuera que contiene 2 gramosde sal por litro se bombea al interior a razn de 5L=min.; la solucin adecuadamente mezclada sebombea hacia fuera con la misma rapidez. Hallar el nmero de gramos de sal que hay en el depsitoen un instante cualquiera. Resolver este mismo problema suponiendo que la solucin se extrae conuna rapidez de 10L=min., y calcular cunto tiempo pasar para que se vace el depsito. Respuesta:Q(t) = 1000 1000et=100, en el otro caso Q(t) = 10(100 t) 0; 1(100 t)2, t = 100min.14) Una alberca cuyo volumen es de 10:000L contiene agua con el 0; 01% de cloro. Empezando en

t = 0, desde la ciudad se bombea agua que contiene 0; 001% de cloro, hacia el interior de la alberca a raznde 5L=min., y el agua de la alberca uye hacia el exterior a la misma velocidad. Cul es el porcentaje decloro en la alberca al cabo de 1 hora? Cundo tendr el agua de la alberca 0; 002% de cloro? Respuesta:Q(t) = 0; 1 + 0; 9et=2000, Q(60) = 0; 9731) 0; 0097%, t = 2000 ln 9 = 4394; 45min.= 73; 24 horas.15) El aire del interior de un pequeo cuarto con dimensiones 1288m3, contiene 3% de monxido

de carbono (CO). En t = 0, se sopla aire fresco que no contiene CO, hacia el interior del cuarto a razonde 100 m3=min. Si el aire del cuarto sale al exterior a travs de una abertura a la misma velocidad,cunto tendr el aire del interior del cuarto 0; 01% de CO?. Respuesta: Q(t) = 23; 04e25t=192,t = 43; 805min :16) La corriente sangunea lleva un medicamento hacia el interior de un rgano a razn de 3 cm3=seg:,

y sale de l a la misma velocidad. El rgano tiene un volumen lquido de 125 cm3. Si la concentracindel medicamento en la sangre que entra en el rgano es de 0; 2 gr./cm3, cul es la concentracin delmedicamento en el rgano en el instante t si inicialmente no haba vestigio alguno del medicamento?Cundo la concentracin del medicamento en el rgano ser de 0; 1 gr./cm3? Respuesta: Q(t) =25 25e3t=125, t = 28; 8811 segundos.17) Un teatro de dimensiones 10 30 50 m3, contiene al salir el pblico 0; 1% por volumen de

CO2. Se sopla aire fresco a razn de 500 m3=min y el sistema de aire acondicionado lo extrae a lamisma velocidad. Si el aire atmosfrico tiene un contenido de CO2 del 0; 04% por volumen y el lmitesaludable es de 0; 05% por volumen. En que tiempo podr entrar el pblico?.18) Queremos inyectar un medicamento en un rgano humano. Supongamos que el volumen de

circulacin sangunea del rgano es 150 cm3 y que se inyectan 1 cm3=min : de agua destilada con 0; 3mgr=cm3 de concentracin de medicamento. La sangre entra al rgano a la misma razn que sale. Si en elinstante inicial no hay presencia del medicamento. En qu momento la concentracin del medicamentoen el rgano ser de 0; 05 mgr=cm3?. Respuesta: Q(t) = 4545et=150, t = 150 ln(37; 5=45) minutos.

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19) Una solucin de cido ntrico uye a razn constante de 6 Lts/min. hacia el interior de ungran tanque que inicialmente contiene 200 litros de una solucin del mismo cido al 0; 5%. La solucincontenida en el tanque se mantiene uniformemente distribuida y sale del tanque a razn de 8 Lts/min.Si la solucin que entra al tanque es del 20% de cido ntrico, determinar la cantidad de este cidopresente en el tanque al cabo de t minutos. En qu momento el % de cido contenido en el tanque serde 10%? Respuesta: Q(t) = 0; 4(100 t) 39(1 t

100)4, t = 19; 9573min..

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