PROBLEMAS

1.1 ¿Difiere la definición de un fluido utilizada en mecánica de la aprendida en física?, ¿En química? Si éste es el caso, explique las diferentes definiciones y por qué piensa que éstas son diferentes o iguales.

1.2 En resistencia de materiales se utilizó un concepto de diagrama de esfuerzo-deformación elástico perfectamente plástico, como se muestra en la figura. ¿Este material satisface la definición de un fluido? Explique.

1.3 ¿Cuál es la representación dimensional de:a) Potenciab) Módulo de elasticidadc) Peso específicod) Velocidad angulare) Energía f) Momento de una fuerzag) Relación de Poissonh) Deformación

1.4 ¿Cuál es la relación entre una unidad de escala de aceleración en USCS (libra-masa-pie-seg) y en SI (kilogramo-metro-segundo)?

1.5 ¿Cuántas unidades de escala de potencia en SI, utilizando newtons, metros y segundos, existen en una unidad de escala en USCS, utilizando libras de fuerza, pies y segundos?

1.6 ¿Es la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea?

a=2dt2

−2V 0

t

Donde a ≡ aceleración d ≡ distancia V0 ≡ velocidad T ≡ tiempo

1.7 La siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea:

F= 4 Ey(1−v2)(Rd2) [(h− y )(h− y2 ) A−A3]

Donde E ≡ módulo de Young

D, y, h ≡ distancias R ≡ relación de distancias F ≡ fuerza¿Cuáles son las dimensiones de A?

1.8 La forma de una gota de líquido colgante se expresa mediante la siguiente ecuación desarrollada utilizando estudios fotográficos de la gota:

T=(γ−γ 0)(de)

2

H

Donde γ ≡ peso específico de la gota del líquido γ0≡ peso específico del vapor alrededor de ella de ≡ diámetro del ecuador de la gota T ≡ tensión superficial, es decir, fuerza por unidad de longitud H ≡ una función determinada experimentalmente

Para que la anterior ecuación sea dimensionalmente homogénea, ¿qué dimensiones debe tener H?

1.9 En el estudio de sólidos elásticos debe resolverse la siguiente ecuación diferencial parcial para el caso de una placa donde las fuerzas del cuerpo son conservativas:

∂4∅∂ x4

+2 ∂4∅∂x2∂ y2

+ ∂4∅∂ y 4

=−(1−v )(∂2V∂ x2 + ∂2V∂ y2 )

Donde ∅= función de esfuerzo v = relación de Poisson V = función escalar cuyo gradiente [¿ V/ ∂ x¿ i + ¿ V/ ∂ x¿ j] es la distribución de fuerza del cuerpo, donde esta fuerza está dada por unidad de volumen.

¿Cuáles deben ser las dimensiones de la función de esfuerzo?

1.10 Convierta el coeficiente de viscosidad µ de sus unidades de dinas, segundos y centímetros (es decir, poises) a unidades de libra-fuerza, segundos y pies.

1.11 ¿Cuáles son las dimensiones de la viscosidad cinemática?; si la viscosidad del agua a 68°F es 2.11x 10-5 lb.s/pie2, ¿cuál es la viscosidad cinemática en estas condiciones? ¿Cuántos Stokes de viscosidad cinemática tiene el agua?

1.12 El agua corre a través de una tubería. El perfil de velocidad en una sección es como se muestra en la figura y matemáticamente está dado por

V= β4 μ ( D

2

4−r2)

Donde β = una constante r = distancia radial desde la línea central V = velocidad en cualquier posición r

¿Cuál es el esfuerzo cortante sobre la pared de la tubería causado por el agua? ¿Cuál es el esfuerzo cortante en una posición r = D/4?; si en el perfil anterior persiste una distancia L a lo largo de la tubería, ¿qué arrastre se induce sobre la tubería por acción del agua en la dirección del flujo a lo largo de esta distancia?

1.13 Una placa grande se mueve con una velocidad V0 por encima de una placa estacionaria sobre una capa de aceite. Si el perfil de velocidades es parabólico y el aceite en contacto con las placas tiene la misma velocidad que éstas, ¿cuál es el esfuerzo cortante causado por el aceite sobre la placa en movimiento? Si se supone un perfil lineal, entonces ¿cuál es el esfuerzo cortante sobre la placa superior?

1.14 Un bloque de 1 kN de peso y 200 mm de lado se desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre una película de aceite con un espesor de 0.0050 mm. Si se utiliza un perfil lineal de velocidades en el aceite, ¿cuál es la velocidad ierminal del bloque? La viscosidad del

aceite es 7 x 10-2 P.

1.15 Un cilindro de 20 Ib de peso se desliza dentro de un tubo lubricado. La holgura entre el

cilindro y el tubo es 0.001 pulg2. Si se observa que el cilindro se desacelera a una tasa de 2 pies/s2 cuando la velocidad es 20 pies/s, ¿cuál es la viscosidad del aceite? El diámetro del cilindro D es 6.00 pulg y la longitud L es 5.00 pulg.

1.16 Un émbolo se mueve a lo largo de un cilindro con una velocidad de 20 pies/s. La película de aceite que separa el émbolo del cilindro tiene una viscosidad de 0.020 lbs/pie 2. ¿Cuál es la fuerza que se requiere para mantener este movimiento?

1.17 Un eje vertical rota dentro de un rodamiento. Se supone que el eje es concéntrico con el cojinete del rodamiento. Una película de aceite de espesor e y viscosidad µ separa el

eje del cojinete. Si el eje rota con una velocidad de ω radianes por segundo y tiene un diámetro D, ¿cuál es el torque friccional que debe superarse a esta velocidad? No tenga en cuenta los efectos centrífugos en los extremos del rodamiento pero suponga un perfil de velocidades lineal. ¿Cuál es la potencia disipada?

1.18 En algunos aparatos de medición eléctrica, el movimiento del mecanismo indicador se atenúa al tener un disco circular que gira (con el indicador) en un tanque de aceite. De esta forma, las rotaciones extrañas se atenúan. ¿Cuál es el torque de atenuamiento para ω = 0.2 rad/s si el aceite tiene una viscosidad de 8 x 10 -3 N.s/m2? Ignore los efectos en el borde exterior de la placa rotante.

1.19 Para el aparato del problema 1.18 desarrolle una expresión para el torque de atenuamiento como función de x (la distancia a la cual se encuentra el plano medio de la placa rotante desde su posición central). Haga esto para una rotación angular de ω = 0.2 rad/s.

1.20 Se hace rotar un cuerpo cónico con una velocidad constante de 10 rad/s. Una película de aceite con una viscosidad de 4.5 x 10 -5 lb.s/pie2 separa el cono del contenedor. El espesor de la película es 0.01 pulg. ¿Qué torque se requiere para mantener este movimiento? El cono tiene un radio de 2 pulg en la base y 4 pulg de altura. Use la suposición de perfil lineal y la ley de viscosidad de Newton.

1.21 Una esfera de radio R rota con una velocidad constante deω rad/s. Una película de aceite separa la esfera rotante de un contenedor esférico estacionario. Deduzca una expresión para el torque resistente en términos de R, ω, µ, y e. Se muestran las coordenadas esféricas.

1.22 Un cazador africano dispara una cerbatana con un dardo envenenado. El cazador mantiene una presión manométrica constante de 5 kPa por detrás del dardo que pesa 1/2 N y tiene un área periférica directamente adyacente a la superficie interna de la cerbatana de 1,500 mm2. La holgura promedio de esta área esférica de 1,500 mm 2 del dardo con respecto a la superficie interna de la cerbatana es 0.01 mm cuando se dispara directamente hacia arriba (a un pájaro en un árbol). ¿Cuál es la velocidad del dardo al salir de la cerbatana cuando se dispara directamente hacia arriba? La superficie interna

de ésta se encuentra seca; el aire y el vapor de la respiración del cazador actúan como fluido lubricante entre el dardo y la cerbatana. Esta mezcla tiene una viscosidad de 3 x 10-5 N.s/m2. Ayuda: exprese dV/dt como V(dV/dx) en la ley de Newton.

1.23 Si el volumen específico v está dado en unidades de volumen por unidad de masa y la densidad ρestá dada en términos de masa por unidad de volumen, ¿cómo se relacionan? Además, si el peso específico γ está dado en unidades de peso por unidad de volumen, ¿cómo se relaciona con las otras cantidades?

1.24 ¿Cuáles son las dimensiones de R, la constante de gas, en la ecuación (1. 10)? Utilizando para el aire un valor de 53.3 para R con unidades en grados Rankine, libras-masa, libras- fuerza y pies, determine el volumen específico del aire a una presión absoluta de 50 lb/pulg2 y una temperatura de 100°F.

1.25 Un gas perfecto se somete a un proceso mediante el cual se duplica su presión y su volumen específico se reduce en dos tercios. Si la temperatura inicial es de 100°F, ¿cuál es la temperatura final en grados Fahrenheit?

1.26 Con el fin de reducir el consumo de gasolina en las ciudades, el departamento de energía del gobierno federal estudia el sistema llamado “transmisión inercial”. En este sistema,

cuando los choferes desean disminuir la velocidad, las ruedas están diseñadas para mover unas bombas que impulsan el aceite hacia un tanque compresor de manera que

se incremente la presión del aire atrapado en el tanque. Por consiguiente, las bombas actúan como frenos. Siempre y cuando la presión en el tanque permanezca por encima

de cierto valor mínimo, el tanque puede suministrar energía a las bombas mencionadas, las cuales actúan como motores para mover las ruedas cuando el chofer desea acelerar. Si no existe suficiente frenado para mantener alta la presión del aire, un motor convencional a gasolina entra para aumentar la presión en el tanque. Se espera que se duplique el número de millas por galón en las ciudades si se implementa este sistema.

Suponga que el volumen inicial de aire dentro del tanque es de 80 L y la temperatura es de 30°C con una presión manométrica de 200 kPa. Como resultado del frenado que ocurre al bajar una colina, el volumen disminuye a 40 L y el aire alcanza una presión manométrica de 500 kPa. ¿Cuál es la temperatura final del aire si existe una pérdida debida a filtraciones de 0.003 kg?

1.27 Para el problema 1.26 suponga que el volumen inicial del aire en el tanque es de 80 L a

una presión de 120 kPa con T = 20°C. El motor de gasolina entra en operación para duplicar la presión en el tanque mientras que el volumen disminuye a 50 L. ¿Cuáles son la temperatura final y la densidad del aire?

1.28 Como podrá recordarse en estudios de química, una libra.mole de gas es el número de libras-masa de gas iguales a su peso molecular M. Para 2 lb-mol de aire con un peso molecular de 29, a una temperatura de 100°F y una presión de 2 atm, ¿cuál es el volumen V? Demuestre que pv = RT puede expresarse como pV = nMRT, donde n es el número de moles.

1.29 La constante de gas R para un gas particular puede determinarse utilizando una constante universal de gas Ru, que tiene un valor constante para todos los gases perfectos, y el peso molecular M del gas particular. Es decir, R = Ru/M.

El valor de Ru en USCS es Ru = 49,700 pies2/(s2)(°R).

Demuestre que para unidades SI se obtiene Ru = 8,310 m2/(s2)(K). ¿Cuál es la constante de gas R para helio, en unidades SI?

1.30 En el ejemplo 1.3, suponga que existen expansiones y compresiones adiabáticas para los gases, es decir, que pv4 = const, con k = 1.4. Esto supone que no existe transferencia de

calor desde afuera. Compare los resultados para la velocidad del pistón. Explique por qué el resultado debe ser mayor o menor que el obtenido para el caso isotermo.

1.31 Cualquier persona que haya caído de barriga en una piscina desde un trampolín alto le dirá que el agua “se siente como concreto”. Explique esto en términos de la alta densidad del agua y el alto módulo de elasticidad volumétrica del agua.

1.32 Para el ejemplo 1.4, calcule el volumen de agua a presión atmosférica que saldría bajo presión a través de una grieta con una presión manométrica de prueba de 10.5 MPa en

el tanque.

1.33 Un tanque de acero de alta presión se encuentra parcialmente lleno con un líquido a una presión de 10 atm. El volumen del líquido es de 1.23200 L. A una presión de 25 atm, el volumen del líquido es igual a 1.23100 L. ¿Cuál es el módulo de elasticidad volumétrica promedio del líquido en el rango de presión dado si la temperatura después de la compresión retorna a su nivel original? ¿Cuál es el coeficiente de compresibilidad?

1.34 Un tanque pesado contiene aceite (A) y agua (B) sobre los cuales la presión del aire varía. Las dimensiones que se muestran en la figura corresponden a aire a presión atmosférica. Si se agrega lentamente aire utilizando una bomba para elevar la presión manométrica

del aire hasta 1 MPa, ¿cuál será el movimiento hacia abajo de la superficie libre de aceite y aire? Tome los valores promedio de los módulos de elasticidad volumétrica de los líquidos. para el rango de presión, como 2.050 MN/m2 para el aceite y 2,075 MN/m2

para el agua. Suponga que en el tanque no cambia el volumen. Ignore las presiones hidrostáticas.

1.35 Para el problema 1.34, suponga que se desarrolla una deformación longitudinal igual a ε = 2.34 x 10-5 en la pared del cilindro y que el diámetro de éste cambia en 0.01% como

resultado del aumento de presión. ¿Cuál será el movimiento de la superficie libre con relación a un círculo sobre la pared del tanque que coincide originalmente con el

extremo superior de la superficie libre? El cambio en volumen para los fluidos del problema 1.34 es -4.45 x 10-5 m3.

1.36 Encuentre el módulo de elasticidad volumétrica para acero con un módulo de Young E de 30 x 106 lb/pulg2 y una relación de Poisson v de 0.3. Para hacerlo, considere un paralelepípedo rectangular infinitesimal de acero dx dy dz bajo presión uniforme ∆ p sin esfuerzo cortante en las superficies. De acuerdo con esto, existirá una deformación normal ε para todos los bordes del paralelepípedo rectangular. Ignorando los productos de deformaciones comparados con la deformación misma, demuestre que el cambio en volumen por unidad de volumen, ∆V /V , es 3 ε . Utilizando la ley de Hooke, demuestre

que A p=−Eε / (1−2 v ). Ahora puede calcular к para el acero. Ayuda: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

1.37 Un tanque esférico de acero de pared delgada con diámetro externo de 1 pie y un espesor de pared de 1/4 pulg se encuentra lleno de agua, con presión atmosférica en la parte superior. Si el esfuerzo de fluencia del acero es de 50,000 lb/pulg2, ¿cuál es el volumen de agua que Quede forzarse dentro de la esfera sin que ocurra fluencia? Calcule este volumen cuando se alcanza la máxima presión en el tanque. El módulo de elasticidad del acero es 30 x 106 lb/pulg2. Considere el cambio en el volumen interno de

la esfera como resultado de la deformación del tanque. Use come valor promedio de к para el agua, en el rango de presiones involucradas, 305,000 lb/pulg2. Ignore los efectos gravitacionales. Ayuda: la fuerza sobre una superficie curva causada por una presión uniforme es igual a la magnitud de la presión multiplicada por el área proyectada sobre

un plano perpendicular a la dirección de la fuerza.

1.38 En el problema 1.37 se inyecta agua dentro del tanque con una presión de 4,442 lb/pulg2. Si posteriormente el agua se libera del tanque, ¿cuál es la masa total de agua que se recolectará a presión atmosférica? El volumen interno deformado del tanque es

de 800.4069 pulg3 cuando la presión manométrica es de 4,442 lb/pulg2.

1.39 Un alambre circular delgado se levanta desde una posición en contacto con agua. ¿Cuál es la fuerza F que se requiere para esta acción, por encima del peso del alambre? El agua forma un ángulo de contacto de 0 grados con los bordes externos e internos del alambre para ciertos metales como el platino. Calcule F para un alambre de platino. Explique cómo puede utilizarse este sistema para medir σ .

1.40 Dos placas de vidrio, paralelas, anchas y limpias, separadas por una distancia d de 1 mm se colocan en agua. ¿Qué tan alto sube el agua debido a la acción de capilaridad lejos de los extremos de las placas? Ayuda: véase la nota de pie de página 14.

1.41 Un tubo de vidrio se sumerge en mercurio. ¿Cuál es la fuerza hacia arriba sobre el vidrio como resultado de los efectos de superficie? Note que el ángulo de contacto es de 50° afuera y adentro. La temperatura es de 20°C.

1.42 Calcule una distancia aproximada d para el mercurio dentro de un tubo capilar de vidrio. La tensión superficial σ para mercurio y aire es 0.465 N/m y el ángulo θ es de 40°. La gravedad específica del mercurio es 13.6. Ayuda: la presión pman por debajo de la superficie libre principal es el peso específico multiplicado por la profundidad por debajo de la superficie. ¿Estos supuestos hacen que la profundidad real d sea mayor o menor que la calculada d?

1.43 Un tanque delgado con un extremo abierto se llena cuidadosa y lentamente con agua a

45°C para obtener la máxima cantidad de agua sin que ocurran desbordes. Si el manómetro mide una presión de 2,943.7 Pa, ¿cuál es el radio de curvatura de la superficie del agua en la parte superior de la superficie y lejos de los extremos? Tome σ = 0.0731 N/m.

1.44 Se vierte agua a 10°C en una región entre cilindros concéntricos hasta que el agua aparece por encima de la parte superior del extremo abierto. Si la presión manométrica medida es 3,970.80 Pa, ¿cuál es la curvatura del agua en la superficie? Utilizando las series de Taylor, calcule la altura h del agua por encima del borde de los cilindros. Suponga que el punto más alto del agua se localiza en el radio medio de los cilindros.

1.45 En mecánica estructural puede determinarse la tasa de torsión α de un eje de cualquier forma utilizando la analogía de película de jabón de Prandtl. Una película de jabón se coloca en un borde agudo con la forma de la frontera exterior de la sección transversal del eje (un rectángulo en este caso). La presión manométrica del aire (Ap) se aumenta por debajo de la película hasta que forma una superficie curva elevada por encima de la frontera. La tasa de torsión a está dada por:

α=M x∆ p4σGV

radianes por unidad de longitud (a)

Donde Mx = torque transmitido por el eje real

G = módulo de esfuerzo cortante del eje real

V = volumen de aire bajo la película de jabón y por encima de la sección transversal formada por el borde agudo.

Para este caso, la presión manométrica ∆p utilizada es de 0.4 lb/pie2. El volumen V es igual al volumen de aire necesario para subir la membrana de agua y se mide durante el experimento, encontrándose que es 0.5 pulg3. El ángulo θ a lo largo del borde de la sección transversal se mide ópticamente y se encuentra que es 30°. Para un torque de 500 pies.lb sobre un eje con G = 10 x 106 lb/pulg2, ¿qué ángulo de torsión predice esta analogía? Véase la ayuda del problema 1.37 concerniente a las presiones sobre superficies curvas. Nótese también que, al igual que el caso de la burbuja, existen dos tensiones superficiales en los extremos de la misma.

1.46 Al usar la analogía de película de jabón de Prandtl (véase el problema 1.45), desea verificarse el mecanismo para medir la presión Ap bajo la película del jabón. De acuerdo con esto, se utiliza una sección transversal circular, para la cual se tiene una teoría exacta, para determinar la tasa de torsión a. La tensión superficial para la película de jabón es 0.1460 N/m y el volumen V bajo la película es igual a 0.001120 m 3. Calcule Ap utilizando las consideraciones de película de jabón y de mecánica de sólidos que aparece en la ecuación (a) del problema 1.45 y la bien conocida fórmula de resistencia de materiales a = Mx/GJ, donde J, el momento polar de área, es πr4/2. Compare los resultados.