Problemas de Mec anica y Ondas II · Problemas de Mec anica y Ondas II Departamento de F sica 19=20...

Problemas de Mecanica y Ondas IIDepartamento de Fısica 19/20

Enrique F. Borja

Cordoba, 2020

Tambien os digo que nadie es mejor o peor

persona por saber hacer estos problemas

Adrian Paenza

Indice general

1. Lagrangianas y Ligaduras 7

1.1. Sistemas Lagrangianos con Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Problemas Teoricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Ligaduras Holonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Problemas de Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10


2. Principio de Hamilton y Ecuaciones de Lagrange 11

2.1. Ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11



2.2. Principio de Accion extremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


2.3. Leyes de Conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


3

4 INDICE GENERAL

2.3.2. Problemas de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Invariancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


3. Mecanica Hamiltoniana 21

3.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21



3.2. Transformaciones Canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25



3.3. Transformaciones Canonicas: Parentesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.1. Problemas de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Oscilaciones Pequenas 31

4.1. Problemas de Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5. Relatividad 35

5.1. Mecanica Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35



Introduccion

5

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Lagrangianas y Ligaduras

1.1. Sistemas Lagrangianos con Ligaduras

1.1.1. Problemas Teoricos

Problema 1

¿Que condicion debemos de exigir a una fuerza externa dependiente de la velocidad para que pueda

ser parte de una Lagrangiana, de modo que las ecuaciones de Euler-Lagrange sigan siendo ciertas?

1.2. Ligaduras Holonomas

1.2.1. Problemas de Aplicacion

Problema 1

Considere un disco rodando en un plano inclinado con rozamiento. El disco no se desliza. Compare

los resultados obtenidos empleando las leyes de Newton con los obtenidos empleando las ecuaciones

7

8 CAPITULO 1. LAGRANGIANAS Y LIGADURAS

de Lagrange. Para ello utilice, coordenadas generalizadas, multiplicadores de Lagrange o fuerzas gene-

ralizadas. El disco tiene un radio R y un momento de inercia I. Tome las coordenadas generalizadas

y y θ, donde y es la distancia recorrida en el plano inclinado y θ el angulo de rotacion del disco.

Problema 2

Observe el sistema de la figura.

Las coordenadas x1 y x2 son las coordenadas generalizadas que son perpendiculares a las fuerzas

normales de ligadura sobre el plano inclinado. La longitud de la cuerda se mantiene constante. Obtenga

las ecuaciones del movimiento.

Problema 3

1.2. LIGADURAS HOLONOMAS 9

Dos masas identicas m estan conectadas por una barra rıgida y sin masa de longitud l El mo-

vimiento esta restringido a que estas masas, tal y como indica la figura, tienen que estar deslizando

en sus respectivos ejes. Tome que la fuerza gravitatoria actua en el sentido negativo el deje y. Co-

mo coordenada generalizada podemos tomar el angulo α. Encuentre y resuelva las ecuaciones del

movimiento.

Problema 4

Consideremos un bloque de masa m que se puede deslizar libremente sobre un plano inclinado sin

rozamiento. El plano inclinado tiene una masa M y puede deslizarse sin rozamiento en la direccion

horizontal. Identifique las ligaduras. Encuentre las ecuaciones del movimiento.

Problema 5

10 CAPITULO 1. LAGRANGIANAS Y LIGADURAS

Una partıcula de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de un eje de masa despreciable

que se encuentra unido rıgidamente por su centro O′ a un disco homogeneo de masa M y de radio

a. El disco se encuentre orientado verticalmente, y puede rotar en torno al eje perpendicular a dicho

plano y que pasa por su centro O. Llamando r a la distancia de la partıcula al punto O′, obtenga

las ecuaciones del movimiento cuando el disco rota con velocidad angular constante por accion de un

motor externo y cuando puee girar libremente alrededor de su centro.

1.3. Multiplicadores de Lagrange


Problema 1

Empleando el metodo de los multiplicadores de Lagrange, determine las ecuaciones de movimiento

y las fuerzas de ligadura para una partıcula de masa m obligada a desplazarse (sin rozamiento) sobre

un cono invertido de semiangulo α por la accion de la gravedad. Interprete fısicamente las fuerzas de

ligadura.

Problema 2

Calcule la reaccion normal que ejerce un plano inclinado sobre una partıcula de masa m que

desliza sobre este por accion de la gravedad, empleando el metodo de los multiplicadores de Lagrange.

Suponga que el movimiento esta contenido en el plano vertical y que el rozamiento es despreciable.

Capıtulo 2

Principio de Hamilton y Ecuaciones

de Lagrange

2.1. Ecuaciones de Euler-Lagrange


Problema 1

Demuestre explıcitamente que las ecuaciones de Euler-Lagrange proporcionan ecuacion del movi-

miento de segundo orden.

Problema 2

Disponemos de dos Lagrangiana, L1 y L2. Al obtener las ecuaciones de movimiento de cada una

de ellas encontramos que son las mismas. Por simplicidad consideremos que tenemos un sistema con

un unico grado de libertad.

11

12 CAPITULO 2. PRINCIPIO DE HAMILTON Y ECUACIONES DE LAGRANGE

¿Podemos probar que eso es lo que ocurrirıa si las Lagrangianas anteriores solo difieren en una

derivada total de una funcion de las coordeandas y el tiempo?

Problema 3

¿Que condicion ha de cumplir la Lagrangiana de un sistema para que podamos resolver las ecua-

ciones del movimiento?

Problema 4

Sea una Lagrangiana para una partıcula que se mueve en el eje X y sometida a un potencial

V = V (x).

¿Como podrıamos obtener la energıa total de esta partıcula a partir de conocer que su Lagrangiana

tiene la forma T − V ?

Generalice el resultado a una situacion con varios grados de libertad y establezca el candidato a

energıa total.

¿Cuando podemos afirmar que ese candidato es realmente la energıa total del sistema?

Problema 5

Derive las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de accion variacional.

Problema 6

El movimiento de una partıcula de masa m viene descrito por la Lagrangiana:

L = eαt/m(T − V ),

donde α es una constante, T la energıa cinetica usual y V una energıa potencial que solo depende de las

coordenadas. Utilice coordenadas cartesianas y encuentre e interprete las ecuaciones del movimiento.

Problema 7

Disponemos de un sistema con dos grados de libertad descrito mediante la Lagrangiana

2.1. ECUACIONES DE EULER-LAGRANGE 13

L =1

2m(ax2 + 2bxy + cy2)− 1

2k(ax2 + 2bxy + cy2),

donde a. b y c son constantes que cumplen que b2 6= ac. Encuentre las ecuaciones del movimiento e

identifique de que sistema fısico se trata.


Problema 1

Tenemos un cuerpo de masa m ensartado en un alambre de forma parabolica y = Ax2. El cuerpo

se desliza por el alambre sin rozamiento. Tenemos un campo gravitatorio de intensidad g dirigido

segun el eje Y . Se pide encontrar las ecuaciones de del movimiento.

Problema 2

Muestre que la Lagrangiana de un pendulo plano cuyo punto de suspension se mueve en una lınea

recta horizontal con velocidad constante es equivalente a la siguiente Lagrangiana:

L =1

2ml2θ2 +mgl cos θ.

Discuta en que situacion fısica, relativa al problema que estamos tratando, tiene sentido la La-

grangiana final.

Problema 3

Tenemos un pendulo simple plano. El soporte del pendulo se mueve verticalmente siguiendo la

ecuacion y = h(t). En este caso h(t) es una funcion dada del tiempo. Muestre que el pendulo se

comporta como un pendulo simple en un campo gravitacional dado por g + h.

Problema 4


Empezamos en un contexto sin gravedad. Disponemos de una masa m unida a un liston rıgido y

de masa despreciable de longitud l. El otro extremo del liston puede pivotar. Por lo tanto el sistema

masa-liston puede oscilar en el plano. Ademas, el pivote rota en el plano con una velocidad angular

ω en una circunferencia de radio R. Demuestre que el sistema se comporta como un pendulo simple

en un campo gravitacional dado por g = Rω2 para todos los valores de l y todas las amplitudes de

oscilacion.

Problema 5

Tenemos un sistema cuya Lagrangiana es:

L =1

2m(R2θ2 +R2Ω2 sin θ2) +mgR cos θ,

donde R y Ω son constantes. Calcule una posible candidata a la energıa del sistema. ¿Es realmente la

energıa total? ¿Que la diferencia?

2.2. Principio de Accion extremal


Problema 1

Derive las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de accion extremal para una La-

grangiana L = L(q, q).

Problema 2 Encuentre las ecuaciones de Euler-Lagrange para una Lagrangiana del tipo L(q, q, q).

2.3. LEYES DE CONSERVACION 15

2.3. Leyes de Conservacion


Problema 1 Considere un sistema conservativo con ligaduras que no dependen explıcitamente del

tiempo (holonomas). Existe una biyeccion de coordenadas:

q → q′(q, t, α)

q′ → q(q, t, α),

donde α es un parametro continuo. Ademas sabemos que la transformacion de coordenadas son conti-

nuamente diferenciables respecto a dicho parametro α. En el caso de α = 0 tenemos la transformacion

identidad.

Con estas condiciones, vamos a exigir que la Lagrangiana del sistema sea invariante bajo la trans-

formacion de coordenadas:

L(q, q, t) ≡ L′(q′, q′, t, α)

Por tanto, estamos pidiendo:

L(q, q, t) = L′(q′, q′, t) ∀α.

Demuestre que:

N∑j=1

∂L

∂qj

∂qj∂α|α=0,

es una constante del movimiento.


Resolucion P1

Tome L′ = L′(q′, q′, t, α) = L(q(q′, t, α), q(q′, q′, t, α, t)).

Calcule ∂L′/∂α. Para hacer esto emplee la regla de la cadena.

Tenga en mente las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Recuerde que estamos pidiendo que la Lagrangiana sea invariante bajo la transformacion. Esto

implica que L′ no puede depender explıcitamente de α.

Si usted encuentra la cantidad I(q, q, t) habra encontrado una cantidad conservada asociada a la

transformacion que depende de forma continua del parametro α. Por lo tanto, una transformacion

continua que deja invariante la Lagrangiana tiene asociada una cantidad conservada. Esto es el

Primer Teorema de Noether.

Problema 2 En este problema estamos en los supuestos del problema anterior pero ahora la

transformacion cambia la Lagrangiana de la siguiente forma:

L′(q′, q′, t, α)→ L(q′, q′.t) +d

dtf(q′, t, α),

donde f(q′, t, α) es una funcion arbitraria diferenciable en todas las variables. Muestre que:

S∑j=1

∂L

∂qj

∂qj(q′, t, α)

∂α|α=0 −

∂

∂αf(q′, t, α)|α=0,

es una cantidad conservada.

Resolucion P2

Problema 3

Una partıcula de masa m esta descrita por una Lagrangiana:

2.3. LEYES DE CONSERVACION 17

L =1

2m(x2 + y2) + z2 − V (x2 + y2, z).

Muestra que L queda invariante bajo una rotacion α alrededor del eje z y encuentra la cantidad

conservada (integral del movimiento) asociada.

Problema 4

Tenemos una Lagrangiana invariante bajo traslaciones de todas las partıculas del sistema en una

direccion arbitraria n. Encuentre la cantidad conservada o integral del movimiento asociada a esta

transformacion.

2.3.2. Problemas de aplicacion

Problema 1 Se una partıcula de masa m descrita por la siguiente Lagrangiana:

L =1

2m(x2 + y2 + z2 − V (x2 + y2, z)).

Demuestre que la Lagrangiana permanece invariante al realizar una rotacion α alrededor del eje z.

Encuentre una cantidad conservada.

Problema 2 Considere una masa m en caıda libre en un campo gravitatorio homogeneo de inten-

sidad g. Muestre que la transformacion de Galileo:

x→ s′ = x+ αt,

tiene una cantidad conservada asociada

Problema 3 Demuestre que para un oscilador armonico de frecuencia angular ω, la funcion:

f(x, x, t) = arctan(ωxx

)− ωt


es una constante del movimiento

Resolucion P3

Problema 4 Escriba la Lagrangiana de una partıcula sujeta a una fuerza central e identifique una

constante del movimiento.

Resolucion P4

Problema 5 Escriba la Lagrangiana de una partıcula que oscila en un plano vertical suspen-

dido desde un punto que se desplaza horizontalmente sin rozamiento. Encuentre una constante del

movimiento.

Resolucion P5

2.4. Invariancias


Problema 1

Demuestre que una funcion de q(t), q(t) y t satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange identica-

mente sı, y solo sı, es la derivada total respecto al tiempo de una funcion que solo depende de las

coordenadas y del tiempo.

Problema 2

Tenemos una partıcula de masa m cuyo movimiento viene descrito por:

L =1

2mz2 −mgz.

Describa el sistema fısico representado por esta Lagrangiana.

2.4. INVARIANCIAS 19

Muestre que la accion es invariante bajo la transformacion z′ = z + α, con α una constante.

¿Que constante del movimiento lleva asociada?

Haga lo mismo para z′ = z + βt con β constante.

Capıtulo 3

Mecanica Hamiltoniana

3.1. Ecuaciones de Hamilton


Problema 1

Dado un Hamiltoniano H(q, p, t) de un sistema, podemos obtener la Lagrangiana del mismo a

partir de la conocida como transformacion negativa de Legendre:

L(q, q, t) =

N∑j=1

pj∂H

∂pj−H.

Obtenga las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Problema 2

Un sistema con un grado de libertad tiene un Hamiltoniano de la forma:

21

22 CAPITULO 3. MECANICA HAMILTONIANA

H(q, p) =p2

2m+A(q)p+B(q),

con A y B funciones de las coordenadas q. Se nos pide encontrar la velocidad y la Lagrangiana.

Problema 3

Sean dos Lagrangianas L′ y L que difieren en una derivada total respecto al tiempo de una funcion

que depende de las coordenadas y el tiempo. Responda a las siguiente preguntas:

¿Que relacion tienen los momentos generalizados que se calculan con dichas Lagrangianas?

¿Que relacion hay entre los Hamiltonianos a los que llegamos a partir de dichas Lagrangianas?

Problema 4

Sea f una funcion de las variables canonicas y f0 su valor en un tiempo t0. Muestre que si el

sistema viene descrito por un Hamiltoniano independiente del tiempo, la funcion f en un tiempo t

viene dada por:

f = f0 + f0, Ht+1

2f0, H, Ht2 +

1

3!f0, H, H, H+ · · ·

Problema 5

Escriba el Hamiltoniano de un oscilador armonico donde aparezca explıcitamente la frecuencia

angular del mismo. Despues defina estas cantidades:

a =

√mω

2

(x+ i

p

mω

)

a† =

√mω

2

(x− i p

mω

).

3.1. ECUACIONES DE HAMILTON 23

Escriba el Hamiltoniano en terminos de a y a†. Calcule los parentesis de Poisson a, a†, a,H y

a†, H.

Escriba las ecuaciones del movimiento para a y a†.

Problema 6 Dado un Hamiltoniano H(q, p, t), describa el procedimiento para obtener la Lagran-

giana correspondiente. Establezca las condiciones que se han de cumplir para que este procedimiento

sea posible.


Problema 1

Obtenga las ecuaciones de Hamilton para una partıcula en un potencial central

Problema 2 Obtenga el Hamiltoniano y las ecuaciones de Hamilton para una Lagrangiana del

tipo:

L =m

2(x2 + y2 + z2)− eϕ(~r, t) +

e

c~r · ~A(~r, t),

donde e y c son constantes.

Problema 3

Una partıcula de masa m desarrolla un movimiento en el plano xy bajo la influencia de la fuerza:

~F = −(α+

β

r

)~r,

donde α y β son constantes positivas.

Emplee coordenadas polares para hacer los siguientes apartados:

Escriba la energıa cinetica y potencial de la partıcula.


Encuentre los momentos asociados a las coordenadas del problema.

Encuentre el Hamiltoniano.

Encuentre dos cantidades conservadas.

Problema 4

La energıa potencial de una partıcula de masa m es:

V (ρ) = V0lnρ

ρ0,

donde ρ0 y V0.

Se pide:

Encontrar el Hamiltoniano.

Derive las ecuaciones de Hamilton.

Encuentre tres cantidades conservadas.

Problema 5

Una partıcula de masa m en tiene un movimiento armonico simple en una dimension. Si en el

tiempo t = 0 la partıcula esta en x0 con momento p0. ¿Cual sera la posicion y el momento en un

tiempo t?

Problema 6

Una partıcula esta sometida a un campo gravitatorio uniforme y esta ligada a la superficie de una

esfera centrada en el origen. El radio de la esfera es r(t) que es una funcion del tiempo. Obtenga el

Hamiltoniano y las ecuaciones del movimiento. ¿Es el Hamiltoniano la energıa total del sistema?

Problema 7

3.2. TRANSFORMACIONES CANONICAS 25

Sea la Lagrangiana:

L =1

2

[x2 −

(ω21 + ω2

2

)x2 + ω2

1ω21x]− Λ

4x4.

Encuentre las ecuaciones del movimiento. Construya el Hamiltoniano y comparelo con el Hamil-

toniano de una partıcula libre, un oscilador armonico y el de una partıcula en un potencial central.

¿Cual es la principal diferencia?

3.2. Transformaciones Canonicas


Problema 1

El parentesis de Poisson entre dos funciones en el espacio de fases A(qa, pa) y B(qa, pa) viene dado

por:

A,B =∂A

∂qa∂B

∂pa− ∂B

∂qa∂A

∂pa.

Dos variables son canonicas si cumplen:

qa, pb = δab .

Dado que las variables de configuracion y los momentos definen el espacio de fases vamos a emplear

una notacion conjunta ξi. Esta ξi ha de entenderse como ξi = qa para i = a = 1, . . . , n y ξi = qb para

i = n+ b, . . . , 2n.

1. Escriba el parentesis de Poisson A,B y el qa, pb en terminos de la nueva notacion.


2. Identifique la matriz simplectica.

3. Escriba la ley de evolucion temporal para ξi.

Problema 2

Una transformacion canonica es una transformacion de las coordenadas del espacio de fases y del

Hamiltoniano de un sistema tal que la evolucion dinamica en las dos representaciones es la misma.

Teniendo en cuenta esta definicion y suponiendo que tenemos unas variables originales (qi, pj)

canonicas. Demuestre que una transformacion canonica preserva la estructura del parentesis de Poisson

y por tanto se cumple que las ecuaciones de Hamilton se preservan bajo transformaciones canonicas.

Problema 3

Demuestre que ante una transformacion canonica de coordenadas des espacio de fases (qi, pi) →

(Qi(q, p), Pi(q, p)) la invariancia de la forma simplectica implica la invariancia del Parentesis de Pois-

son.

Problema 4

Tenemos un sistema con un grado de libertad. Las coordenadas del espacio de fases (q, p) son

canonicas. Cambiemos a las coordenadas (Q,P ) a traves de una transformacion canonica. Demuestre

entonces que la invariancia del parentesis de Poisson condicion para la existencia (local) de una

funcion F que condensa la informacion de la transformacion canonica. Es decir, que PdQ − pdq es

una diferencial exacta de una funcion F .


Problema 1

Determine la transformacion canonica generada por:

3.3. TRANSFORMACIONES CANONICAS: PARENTESIS DE POISSON 27

F2(q, P, t) =

n∑k=1

qkPk.

Problema 2

Encuentre la transformacion canonica generada por:

F1(q,Q, t) =m(q −Q)2

2t.

Una vez obtenidas aplıquela para resolver el movimiento de una partıcula libre en una dimension.

Problema 3

Complete el cambio de variables en el espacio de fases para tener una transformacion canonica

sabiendo que:

P =1

b2(p2 + aq2),

donde a y b son constantes.

Una vez obtenida la transformacion aplıquela para resolver el movimiento de un oscilador armonico

de una dimension.

3.3. Transformaciones Canonicas: Parentesis de Poisson

3.3.1. Problemas de aplicacion

Problema 1

Pruebe que la siguiente transformacion es canonica:

Q1 = p21, Q2 = p22 + q2, P1 = − q12p1

, P2 = p2.


Problema 2

Pruebe que la siguiente transformacion es canonica:

Q =1√2

(q − p) P =1√2

(q + p).

Problema 3

Sea la transformacion:

Q = −p

P = q +Ap2,

donde A es una constante arbitraria.

Demuestre que es una transformacion canonica a traves del parentesis de Poisson y expresando

pdp−PdQ como una diferencial exacta de una funcion F (q,Q). Encuentre luego la funcion generatriz

de tipo-1 de la transformacion.

Usando que F2 = F1 + PQ encuentre la funcion generatriz de tipo-2.

Problema 4

Repita el problema anterior para la transformacion:

Q = q cos θ − p

mωsin θ

P = mωq sin + p cos θ.

Problema 5

Tenemos las variables canonicas (q, p) de un oscilador armonico.

Construya el Hamiltoniano.

3.3. TRANSFORMACIONES CANONICAS: PARENTESIS DE POISSON 29

Tome la transformacion:

Q = q cos θ − p

mωsin θ

P = mωq sin + p cos θ,

y encuentre la forma del nuevo Hamiltoniano K(Q,P, t). Asumiendo que θ = θ(t) demuestre que

podemos elegir un valor de dicha funcion para el cual K = 0.

Con esta eleccion de valor de θ de la evolucion temporal de Q y de P y la de q y p.

Capıtulo 4

Oscilaciones Pequenas

4.1. Problemas de Aplicacion

Problema 1

Un cuerpo de masa m se desliza sin rozamiento a lo largo de un cable rıgido en un plano vertical

en el seno del campo gravitatorio de la Tierra. El cable tiene forma de parabola de ecuacion y = x2/R.

Obtenga la Lagrangiana y discuta su forma.

Problema 2

Un cuerpo de masa m se desliza horizontalmente y sin rozamiento a lo largo de un cable rıgido

horizontal. La masa esta conectada a un punto pivote a traves de un muelle de constante k y longitud

natural l. El punto de pivote esta a una altura a del cable y situado en el punto medio del mismo.

Escriba la Lagrangiana. Encuentre las posiciones de equilibrio y clasifıquelas en los casos l > a y l < a.

Grafique el potencial en los dos casos anteriores y discuta sus mınimos.

31

32 CAPITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

Problema 3

Estudie la estabilidad de la orbita circular de un cuerpo celeste alrededor del Sol.

Problema 4

Estudie la estabilidad de la precesion estacionaria θ = θ0 de un pendulo esferico. Recuerde que un

pendulo esferico es aquel que no esta restrigindo a oscilar en un plano fijo.

Problema 5

Considere el sistema de la figura. Tenemos dos osciladores de igual masa unidos a las paredes a

traves de muelles de constante k. El muelle que acopla los osciladores tiene constante k′. Las longitudes

de reposo de los muelles de los extremos son l y la del central es l′. Si el movimiento tiene lugar en la

direccion horizontal, ¿cuales son las ecuaciones del movimiento? Resuelvalas.

Problema 6

Ligados a una pared tenemos dos osciladores identicos en serie. El movimiento se realiza en la

direccion horizontal. Encuentre los modos normales de vibracion.

Problema 7

Dos pendulo identicos estan acoplados mediante un muelle de masa despreciable. El sistema esta

desarrollando oscilaciones pequenas. Determine los modos normales de vibracion y la solucion de las

ecuaciones de movimiento si, cuando t = 0 solo uno de los pendulos esta desplazado de su posicion de

equilibrio y el movimiento comienza desde el reposo de ambos pendulos.

4.1. PROBLEMAS DE APLICACION 33

Problema 8

Encuentre los modos normales de vibracion de la molecula triatomica lineal y simetrica. Se puede

asumir que los atomos de los extremos son de igual masa m y el central de masa M . Los enlaces se

pueden considerar como muelles de constante k.

Problema 9

Una partıcula se mueve bajo el influencia de un potencial:

V (x) =A

x2− B

x,

donde A y B son constantes. Encuentre la frecuencia de pequenas oscilaciones alerededor del punto

de equilibrio.

34 CAPITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

Capıtulo 5

Relatividad

5.1. Mecanica Relativista


Problema 1

Exponga un motivo por el que las transformaciones de Lorentz han de ser lineales.

Problema 2

Encuentre la transformacion de Lorentz entre dos sistemas de referencia cuya velocidad relativa es

paralela al eje x3 del sistema que consideramos en reposo. Obtenga dicha transformacion en su forma

cartesiana.

Problema 3

La metrica de Minkowski ha de ser invariante bajo transformaciones de Lorentz. Compruebe este

hecho con la transformacion del problema anterior.

35

36 CAPITULO 5. RELATIVIDAD

Problema 4

Muestre que las transformaciones de Lorentz conforman grupo.

Problema 5

¿Cuando podemos decir que dos sucesos son simultaneos en dos sistemas de referencia que tienen

un movimiento relativo de velocidad v?

Problema 6 Extraiga la condicion que nos permite asegurar que no se puede invertir el orden

causal de dos sucesos.

Problema 7

El sistema de referencia S′ se mueve con respecto al sistema S a una velocidad v. Considere dos

sucesos en el origen de S′ separados por un tiempo t′. ¿Que tiempo transcurre para S entre esos

sucesos? Emplee la invariancia del intervalo relativista.

Problema 8

Considere un diagrama de Minkowski (t, x) para el sistema S. Un sistema S′ se mueve a lo largo

de la direccion x de S con velocidad v. Si en S′ hay una regla de longitud 1 situada a lo largo del eje

x′. ¿Que longitud de la regla sera medida por S?


Problema 1

Estudie el movimiento en una dimension de una partıcula relativista sujeta a una fuerza constante.

Problema 2

Los antiprotones se pueden producir en una colision proton-proton de acuerdo con la reaccion:

p+ p→ p+ p+ p+ p,

5.1. MECANICA RELATIVISTA 37

donde p es el proton y p es el antiproton. Si el proton blanco estan en reposo en el sistema laboratorio,

¿cual es el umbral de energıa del proton incidente para que la reaccion sea posible?

38 CAPITULO 5. RELATIVIDAD

Problema 3

La dispersion de rayos X por una lamina de grafito esta causada por la colision de un foton con un

electron. Compton mostro en 1923 que la longitud de onda del foton tras la colision λ′ tenıa la forma:

λ′ = λ+2h

mcsin2

(θ

2

).

Encuentre esta relacion entre la longitud de onda final de foton λ′ y la inicial λ. m es la masa del

electron y θ el angulo entre el el foton incidente y el dispersado.

Problema 4

Una partıcula con energıa E y masa m se aproxima a una partıcula identica en reposo. Se produce

una colision elastica de tal modo que ambas partıculas dispersadas forman un angulo θ con la direccion

incidente. Obtenga θ en terminos de E y m y obtenga sus lımites ultrarrelativistas y no-relativistas.

Problema 5

Una partıcula de masa M y energıa E se desintegra en dos partıculas identicas. En el sistema

laboratorio estas partıculas son emitidas formando un angulo de 90o

y θ respecto de la direccion

incidente. ¿Cuales son las energıas de las partıculas emitidas?

Problema 6

Dos fotones tienen cada uno una energıa E. Colisionan formando un angulo θ entre ellos creando

una partıcula. ¿Que masa tiene dicha partıcula?

Problema 7

Una masa M se mueve a una velocidad v. Esta masa colisiona y se queda pegada a una masa m

mucho menor que la primera. La masa m estaba inicialmente en reposo. ¿Que masa tiene el sistema

resultante?

Problema 8

5.1. MECANICA RELATIVISTA 39

Una partıcula de masa m y energıa E colisiona con una partıcula identica que se encuentra en

reposo. ¿Cual es el umbral de energıa para que el estado final contenga N partıculas de masa m?

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