Problema 1

La empresa Baker fabrica tres tipos de calzado exclusivos para caballero: (1) zapatos, (2) botas y (3) pantuflas. El gerente de producción desea saber cuál es el mejor programa de producción para el mes entrante. Para lograr ese objetivo, debe decidir la mezcla de fabricación de los tres estilos que producirá las mayores utilidades, al mismo tiempo que satisfaga diversos requerimientos financieros y de producción. La tabla siguiente describe la operación de manufactura. Existe una oferta ilimitada de piel para el fabricante; sin embargo, se dispone de un máximo de 1,358 horas de producción durante el siguiente mes. El tiempo de producción cuesta $13 por hora y por cada unidad de piel el costo es de $5.

Producto Horas de tiempo de operación

por par de zapatos

Unidades de piel que se requierenpor par de zapatos

1 3.61 3.352 3.13 5.133 1.98 1.98

La empresa hace todas sus ventas a mayoristas, que le pagan en efectivo toda la mercancía; por lo tanto, la empresa no tiene “cuentas por cobrar”. Los precios de venta por cada para de calzado a los mayoristas son respectivamente de $73, $79 y $61 para los tres estilos. Los costos fijos de la Baker para el siguiente mes de operación son $3,156 y el saldo actual en efectivo de la empresa es de $16,578.

El gerente de producción de la Baker tiene comprometidos los pedidos siguientes para los diferentes estilos: 31 zapatos, 56 botas y 35 pantuflas. Pueden venderse todos los pares que se fabriquen durante el mes, que excedan esos pedidos ya comprometidos. Es decir, el movimiento de la producción es tal que todo el calzado que se fabrique en un mes determinado se distribuye durante el mismo y por ello no existen inventarios.

Planteamiento verbal

El gerente de producción debe decidir qué cantidad de cada estilo de calzado ha de fabricar durante el mes con el objeto de maximizar las utilidades. Aunque la demanda de todos los estilos es ilimitada, hay restricciones sobre la producción.

El gerente debe satisfacer ciertos compromisos de demanda: 31 pares del estilo 1, 56 pares del estilo 2 y 35 pares del estilo 3. Los factores que influyen sobre las utilidades de los respectivos estilos son el tiempo de producción, el costo de fabricación de cada unidad, los costos de materiales por unidad y el precio de venta. Además de las restricciones de demanda, la compañía debe satisfacer una restricción de producción y una financiera. No deben asignarse más de 1,358 horas de tiempo de producción para fabricar los diferentes estilos. De manera similar, todos los costos: de producción, de materiales y fijos deben cubrirse con el efectivo disponible durante el mes. Dado que la piel está disponible en cantidades ilimitadas, no constituye una restricción. Sin embargo, el costo de la piel tiene un impacto sobre el costo total de cada uno de los estilos de calzado.

1

Planteamiento matemático

Variables de decisión

Para plantear el problema en términos matemáticos, se definen las variables de decisión de la manera siguiente: X1 = número de pares de zapatos que deben fabricarse durante el mes.

X2 = número de pares de botas que deben fabricarse durante el mes.

X3 = número de pares de pantuflas que deben fabricarse durante el mes.

Función objetivo

Dado que el objetivo es maximizar las utilidades, la función objetivo debe tener unidades de medición expresadas en dólares. Debido a que la forma general de la función objetivo es:

Z = C1X1 + C2X2 +C3X3

entonces (todos los términos están en dólares):

$ = ($ por par de zapatos) x (pares de zapatos vendidos)

+ ($ por par de botas) x (pares de botas vendidos)

+ ($ por par de pantuflas) x (pares de pantuflas vendidos)

Los cálculos para determinar C1, C2 y C3 son:

Un par (una unidad) de zapatos requiere 3.61 horas de producción y cuesta $13 por hora de tiempo de producción; por lo tanto el costo de producción para los zapatos es:

(3.61 horas por par) x ($13 por hora) = $46.93 por parCada par de zapatos requiere 3.35 unidades de piel y cada unidad de piel cuesta $5; por lo tanto, el costo de los materiales para los zapatos es:

(3.35 unidades de piel por unidad) x ($5 por unidad de piel) = $16.75 por unidad

Si se suman los costos de materiales y los costos de producción, entonces el costo total por unidad de zapatos es:

$46.93 por par + $16.75 por par = 63 por par

Dado que el precio de venta de un par de zapatos es de $71, la contribución a las utilidades de este tipo de calzado es:

C1 = $71 - $63 = $8 por par

Utilizando el mismo procedimiento pueden calcularse los valores para C2 y C3, los cuales se muestran en la tabla siguiente:

Costo producción Costo materiales

2

Horasde

producciónX

Costo porhora de

producción=

Costode

producción

Unidadesde

pielX

Costo porunidad de

piel=

Costode

materiales

C1 3.61 x $13 = $46.93 3.35 x $5 = $16.75C2 3.13 x $13 = $40.69 5.13 x $5 = $25.65C3 1.98 x $13 = $25.74 1.98 x $5 = $9.9

Costo total Utilidades

Costode

producción+

Costode

materiales=

Costototal porunidad

Preciode

venta-

Costototal porunidad

=

Contribucióna

utilidades

C1 $46.93 + $16.75 = $63.68 $73 - $63.68 = $9.32C2 $40.69 + $25.65 = $66.34 $79 - $66.34 = $12.66C3 $25.74 + $9.9 = $35.64 $61 - $35.64 = $25.36

Entonces, la función objetivo para el problema se expresa como:

MAXIMIZAR Z = 9.32X1 + 12.66X2 + 25.36X3

Restricciones:

Antes de poder plantear las restricciones para el problema necesitamos identificar sus coeficientes y determinar sus relaciones con el problema, los recursos y/o los requerimientos.

1. Las unidades de medición del segundo término de una restricción (es decir, el valor que aparece en el lado derecho del signo de igualdad o desigualdad) debe ser siempre igual a las unidades de medición que se utilizaron en el primer término (lado izquierdo) de la restricción.

2. No es necesario que todas las restricciones estén expresadas en las mismas unidades de medición; una restricción puede estar expresada en dólares y una segunda puede estar expresada en horas, así como también una tercera podría estar expresada en unidades.

Veamos la restricción de producción. Dado que se requieren 3.61 horas para fabricar un par de zapatos y X1 es el número de pares de zapatos que deben fabricarse, 3.61X1 es el número total de horas necesarias para fabricar los zapatos. De manera similar, 3.13X2 es el número total de horas necesarias para fabricar las botas y 1.98X3 es el número total de horas que se requieren para fabricar las pantuflas. Puesto que sólo hay disponibles 1,358 horas de tiempo de producción, la restricción sobre este aspecto se expresa como sigue:

3.61X1 + 3.13X2 + 1.98X3 ≤ 1,358

3

La restricción financiera para el problema consiste en que la Baker debe cubrir todos los costos de producción (fijos y variables) para el mes con el efectivo que tiene disponible. Puesto que se incurrirá en $3,156 de costos fijos durante el mes sin importar cuál sea la cantidad que se fabrica, existen disponibles $13,422 (es decir, $16,578 - $3,156) para cubrir los costos variables. Los costos asociados con la producción de zapatos (ver costo total por unidad en la última tabla) son 63.68X1, puesto que cada par de zapatos cuesta $63.68 y X1

es el número de pares de zapatos. Los costos de producción de botas y pantuflas son respectivamente 66.34X2 y 35.64X3. Combinando los términos, la restricción financiera se expresa:

63.68X1 + 66.34X2 + 35.64X3 ≤ 13,422

Las restricciones restantes están asociadas con los pedidos comprometidos. Estas restricciones son fáciles de estructurar porque las unidades de medición son consistentes:

X1 pares de zapatos ≥ 31 pares de zapatos

X2 pares de botas ≥ 56 pares de botas

X3 pares de pantuflas ≥ 35 pares de pantuflas

Reunir todas las restricciones da como resultado el modelo siguiente (no se necesitan condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de demanda para todas las variables).

MAXIMIZAR Z = 9.32X1 + 12.66X2 + 25.36X3

Sujeto a: 3.61X1 + 3.13X2 + 1.98X3 ≤ 1,358

63.68X1 + 66.34X2 + 35.64X3 ≤ 13,422

X1 ≥ 31

X2 ≥ 56

X3 ≥ 35

Problema 2

Una empresa produce los productos A, B, C y D. Cada unidad de producto A requiere 3 horas de torneado, una hora de ensamblado y $13 de inventario. Cada unidad del producto B requiere 1 hora de torneado, 3 horas de ensamble y $5 de inventario. Cada unidad del producto C requiere 3½ horas de torneado, 3½ horas de ensamble y $3 de inventario. Finalmente, cada unidad del producto D requiere 5 horas de torneado, no requiere ensamblarse y $13 de inventario.

La empresa tiene disponibles 119,876 horas de tiempo de torneado y 159,876 horas de tiempo de ensamblaje. Además, no se dispone más que de $987,653 de presupuesto para inventarios.

4

Cada unidad del producto A produce una ganancia de $37 por unidad, el producto B de $18, el producto C de $33 y el producto D de $19. No se pueden vender más de 18,769 unidades del producto A, no más de 15,376 unidades de producto C, pero se puede vender cualquier cantidad de unidades de los productos B y D. Sin embargo, al menos 9,875 unidades de producto D deben producirse y venderse para satisfacer las cláusulas de un contrato.

Formule este problema como uno de programación lineal. El objetivo de la empresa es maximizar las utilidades resultantes de la venta de los 4 productos. No intente resolver el problema.

Considérense todas las unidades en miles.

Sean: (variables de decisión)

X1 = miles de unidades de producto A producido

X2 = miles de unidades de producto B producido

X3 = miles de unidades de producto C producido

X4 = miles de unidades de producto D producido

Función objetivo:

Maximizar: P = 37X1 + 18X2 + 33X3 + 19X4

Sujeto a: 3X1 + 1X2 + 3.5X3 + 5X4 ≤ 119 Restricción de torneado

1X1 + 3X2 + 3.5X3 + 0X4 ≤ 159 Restricción de ensamblado

13X1 + 5X2 + 3X3 + 13X4 ≤ 987 Restricción de inventario

X1 ≤ 18 Demanda del producto A

X3 ≤ 15 Demanda del producto C

X4 ≥ 9 Contrato del producto D

No negatividad: Xi ≥ 0

Problema 3

Una compañía vende dos clases de productos, el A y el B. El precio de venta y los costos incrementales se muestran a continuación:

Producto A Producto BPrecio de venta $71 $51

Costo incremental $35 $15Utilidad incremental $36 $36

5

Los dos productos se producen en el mismo proceso de producción y se venden en dos diferentes mercados. El proceso de producción tiene una capacidad de 29,876 horas de mano de obra. Toma 3 horas producir una unidad de A y una hora producir una unidad de B. Se ha investigado el mercado y los ejecutivos estiman que el máximo número de unidades de A que se pueden vender es de 7,986; el máximo número de B es de 11,986 unidades. Sujetos a esas limitaciones, los productos pueden venderse en cualquier combinación.

Formule el problema como uno de programación lineal, escribiendo las ecuaciones

apropiadas.

Maximizar P = 36A + 36B

Sujeto a: 3A + 1B ≤ 30,000

A ≤ 7,986

B ≤ 11,986

A , B ≥ 0

Problema 4

Una empresa fabrica dos productos A y B. Cada uno de ellos requiere tiempo de 2 máquinas. La primera máquina tiene disponibilidad de 31 horas y la segunda de 19 horas. Cada unidad de producto A requiere 3 horas de tiempo de ambas máquinas. Cada unidad del producto B requiere 3 horas de la primera máquina y 1 hora de la segunda. La utilidad es de $8 por unidad de A y $9 por unidad de B. La empresa puede vender todos los productos A y B que fabrique.

a) formule el problema lineal, asumiendo que el objetivo es maximizar las utilidades.

Formulación:

Sea:X1 = Número de unidades del producto A por fabricar.

X2 = Número de unidades del producto B por fabricar.

P = utilidad

Maximizar P = 8X1 + 9X2

Sujeto a: 3X1 + 3X2 ≤ 31

3X1 + X2 ≤ 19

X1 , X2 ≥ 0

Problema 5

6

Una compañía tiene dos molinos. Las variables de decisión son el número de horas por semana que cada uno opera. El primer molino puede operar un máximo de 51 horas y el segundo un máximo de 71 horas semanales. Cada hora de operación del primer molino produce 3 toneladas de producto terminado; cada hora del segundo molino produce 5 toneladas de producto. La compañía tiene comprometidas con los clientes al menos 175 toneladas de producto terminado. Esto cuesta $19,876 por cada hora de operación del primer molino y $39,876 por hora del segundo; la compañía desea mantener los costos al mínimo posible. Por razones de políticas de la empresa, se desea operar el segundo molino al menos las mismas horas que el primer molino.

Formulación:

Sea:X1 = Horas semanales del primer molino

X2 = Horas semanales del segundo molino

Función objetivo:

Minimizar: C = 19,876X1 + 39,876X2 (miles de $)

Sujeto a:

X1 ≤ 51 (máximo del primer molino)

X2 ≤ 71 (máximo del segundo molino)

3X1 + 5X2 ≥ 175 (necesidades de los clientes en toneladas)

X2 ≥ X1 (política de la empresa)

X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0 (no negatividad)

Problema 6

La compañía AHM tiene una planta que fabrica dos productos X1 y X2. Las contribuciones de los productos a las utilidades son $11 y $13, respectivamente. Los productos pasan a través de tres departamentos de producción en la planta. El tiempo para fabricar cada producto y el tiempo total disponible en los respectivos departamentos de muestran en la tabla siguiente:

Departamento

Horas/hombre de tiempode producción por producto

Total dehoras/hombre

disponibles por mesX1 X2

1 1.9 3.1 1,5132 3.1 1.9 1,5133 1.3 1.3 613

Los administradores de AHM desean determinar la mezcla de producción de los dos productos, que maximice las utilidades. Identifique la función objetivo y las restricciones del problema.

MAXIMIZAR Z = 11X1 + 13X2

7

Sujeto a: 1.9X1 + 3.1X2 ≤ 1,513

3.1X1 + 1.9X2 ≤ 1,513

1.3X1 + 1.3X2 ≤ 613

X1 , X2 ≥ 0

Problema 7

Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 79% de carne y 19% de grasa, y a la tienda le cuesta 79¢ por libra; la carne de cerdo contiene 67% de carne y 35% de grasa, y cuesta 59 ¢ por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra e albondigón, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor del 31%.

Objetivo: minimizar el costo (Z) en centavos, de una libra de albondigón, donde:

Z = 79 veces el número de libras de carne molida de res, más 59 veces el número de libras de carne molida de cerdo empleadas.

Definiciones:

X1 = número de libras de carne molida de res en cada libra de albondigón.

X2 = número de libras de carne molida de cerdo empleadas en cada libra de

albondigón.

El objetivo se expresa como:

minimizar Z = 79X1 + 59X2 (1)

Cada libra de albondigón tendrá 0.19X1 libras de grasa provenientes de la carne de res y 0.35X2 libras de grasa de la carne de cerdo. El contenido total de grasa de una libra de albondigón no debe ser mayor de 0.31 libras. Entonces:

0.19X1 + 0.35X2 ≤ 0.31 (2)

El número de libras de carne de res y de cerdo empleadas en cada libra de albondigón debe sumar 1; entonces:

X1 + X2 =1 (3)

Finalmente, la tienda no puede usar cantidades negativas de ninguna de las carnes, así que hay dos restricciones de no negatividad:

X1 ≥ 0 y X2 ≥ 0

Combinando estas condiciones con (1), (2) y (3) se tiene:

minimizar: Z = 79X1 + 59X2

8

con las condiciones: 0.19X1 + 0.35X2 ≤ 0.31 (4)

X1 + X2 = 1

con: todas las variables no negativas.

Problema 8Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han vendido bien dos modelos, de manera que se limitará a producir estos dos. Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7 horas del tiempo disponible, mientras que el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $120 y $80, respectivamente. ¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta?

Objetivo: Maximizar el ingreso en dólares (Z), donde:

Z = 120 veces el número producido de biombos modelo I, más 80 veces el número producido de biombos modelo II.

Definiciones:

X1 = número a producir de biombos modelo I.

X2 = número a producir de biombos modelo II.

El objetivo se expresa como:

Maximizar: Z = 120X1 + 80X2 (1)

El fabricante está sujeto a una restricción en lo referente a la madera. Como cada modelo I requiere 2 unidades de madera, se les deberán asignar 2X1 unidades; igualmente se deberán asignar 1X2 unidades de madera a los biombos del modelo II. Entonces, la restricción en madera es:

2X1 + X2 ≤ 6 (2)

El fabricante tiene también una restricción en lo que respecta al tiempo. Los biombos modelo I tomarán 7X1 horas y los biombos modelo II 8X2 horas; por lo tanto:

7X1 + 8X2 ≤ 28 (3)

Es obvio que no se pueden fabricar cantidades negativas de uno u otro tipo de biombo, así que dos restricciones de no negatividad son X1 ≥ 0 y X2 ≥ 0. Además, ya que no hay ingresos por concepto de biombos parcialmente terminados, otra condición oculta es que X1

y X2 deben ser enteros. Combinando estas condiciones ocultas con (1), (2) y (3), se obtiene el programa matemático:

Maximizar: Z = 120X1 + 80X2

con las condiciones: 2X1 + X2 ≤ 6 (4)

7X1 + 8X2 ≤ 28

9

con: todas las variables no negativas.

Problema 9

La compañía Minas Universal opera 3 minas en West Virginia. El mineral de cada una se separa, antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las minas así como sus costos diarios de operación son los siguientes:

Mineral de grado altoTon/día

Mineral de grado bajoTon/día

Costo de operación$miles/día

Mina I 4 4 20Mina II 6 4 22Mina

III1 6 18

La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo a fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos de trabajo que garantizan a los trabajadores de las minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que las minas estén abiertas. Determínese el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana, para cumplir su compromiso a un costo total mínimo.

Denótese:

X1 = número de días que operará la mina I

X2 = número de días que operará la mina II

X3 = número de días que operará la mina III

Objetivo: expresado en miles de dólares

minimizar: Z = 20X1 + 22X2 + 18X3 (1)

Demanda:

Mineral de grado alto: 4X1 + 6X2 + X3 ≥ 54 (2)

Mineral de grado bajo: 4X1 + 4X2 + 6X3 ≥ 65 (3)

Como ninguna mina puede operar un número negativo de días, las restricciones de no negatividad son:

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0

Por otro lado, ninguna mina puede operar más de 7 días a la semana, otras 3 restricciones

X1 ≤ 7 X2 ≤ 7 X3 ≤ 7

Finalmente, debido a los contratos laborales, Minas Universal no tiene nada qué ganar al operar una mina parte de un día; en consecuencia:

10

X1 , X2 , X3 → variables enteras

Combinando las restricciones con (1), (2) y (3), se obtiene el programa matemático:

minimizar: Z = 20X1 + 22X2 + 18X3

con las condiciones: 4X1 + 6X2 + X3 ≥ 544X1 + 4X2 + 6X3 ≥ 65 X1 ≤ 7 X2 ≤ 7

X3 ≤ 7 con: todas las variable enteras y no negativas.

Problema 10

Un fabricante está iniciando la última semana de producción de cuatro modelos diferentes de consolas de madera para televisores, clasificadas como I, II, III y IV, cada uno de los cuales debe ensamblarse y después decorarse. Los modelos requieren 4, 5, 3 y 5 horas, respectivamente, para el ensamblado, así como 2, 1.5, 3 y 3 horas para el decorado. Las ganancias por modelo son, respectivamente $7, $7, $6 y $9. El fabricante tiene 30,000 horas disponibles para ensamblar estos productos (750 ensambladores trabajando 40 horas semanales) y 20,000 horas disponibles para decorar (500 decoradores trabajando 40 horas por semana). ¿Cuántas unidades de cada modelo debe producir el fabricante durante esta semana para maximizar la ganancia?. Considérese que todas las unidades pueden venderse.

Denótese:

X1 = número de consolas modelo I producidas

X2 = número de consolas modelo II producidas

X3 = número de consolas modelo III producidas

X4 = número de consolas modelo IV producidas

Objetivo: maximizar la ganancia expresada en dólares

maximizar: Z = 7X1 + 7X2 + 6X3 + 9X4 (1)

Tiempo disponible:

Ensamblado: 4X1 + 5X2 + 3X3 + 5X4 ≤ 30,000 (2)

Decorado : 2X1 + 1.5X2 + 3X3 + 3X4 ≤ 20,000 (3)

Como no se pueden producir cantidades negativas, 4 restricciones de no negatividad son:

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0 X4 ≥ 0

Además, ya que es la última semana de producción, los modelos que estén parcialmente terminados al finalizar la semana, quedarán sin terminar, y por lo tanto no producirán ganancia. Para evitar estas posibilidades, se requiere un valor entero para cada variable. Combinando las condiciones de no negatividad con (1), (2) y (3), se obtiene el programa matemático:

11

maximizar: Z = 7X1 + 7X2 + 6X3 + 9X4

con las condiciones: 4X1 + 5X2 + 3X3 + 5X4 ≤ 30,000

2X1 + 1.5X2 + 3X3 + 3X4 ≤ 20,000

con: todas las variable enteras y no negativas.

Problema 11La Refinería Azteca produce 2 tipos de gasolina sin plomo, regular y extra, los cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en $12 y $14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de petróleo nacional refinado de la Azteca y de petróleo refinado importado, y deben cumplir con las siguientes especificaciones:

Presión máximade vapor

Octanajemínimo

Demanda máximaBarriles/semana

Entregas mínimasBarriles/semana

Regular

23 88 100,000 50,000

Extra 23 93 20,000 5,000

Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes:

Presión de vapor Octanaje Inventario, barriles Costo $/barrilNacional 25 87 40,000 8

Importado 15 98 60,000 15

Presión máximade vapor

Octanajemínimo

Demanda máximaBarriles/semana

Entregas mínimasBarriles/semana

Regular

19 87 98,765 51,367

Extra 19 93 19,876 5,136

Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes:

Presión de vapor Octanaje Inventario, barriles Costo $/barrilNacional 31 87 39,876 9

Importado 19 98 59,876 16

Demanda:

X1 + X2 ≤ 100,000 (demanda máxima de regular) (2)

X3 + X4 ≤ 20,000 (demanda máxima de extra) (3)

X1 + X2 ≥ 50,000 (requerimiento máximo regular) (4)

12

X3 + X4 ≥ 5,000 (requerimiento mínimo de extra) (5)

Disponibilidad:

X1 + X3 ≤ 40,000 (nacional) (6)

X2 +X4 ≤ 60,000 (importado) (7)

Los componentes de una mezcla contribuyen al octanaje general, según sus porcentajes por peso. Entonces, el octanaje de la regular y el requerimiento de que sea de por lo menos 88, lleva a:

87X 1

X1+ X2

+98X2

X1+ X2 ≥ 88

X1 - 10X2 ≤ 0 (Restricción de octanaje de la regular) (8)

Para el octanaje de la extra se tiene:

87X3

X3+ X4

+98X 4

X3+ X4 ≥ 93

6X3 - 5X4 ≤ 0 (restricción de octanaje de la extra) (9)

Asimismo, para la presión de vapor:

25X1

X1+ X2

+15X2

X1+X2 ≤ 23

2X1 - 8X2 ≤ 0 (restricción de presión de la regular) (10)

25X3

X3+ X4

+15X4

X3+X 4 ≤ 23

2X3 - 8X4 ≤ 0 (restricción de presión de la extra) (11)

Combinando de (1) hasta (11) con las cuatro restricciones de no negatividad de las cuatro variables. Se obtiene el programa matemático:

Maximizar: Z = 4X1 - 3X2 + 6X3 - X4

Con las condiciones:

X1 + X2 ≤ 100,000

X3 + X4 ≤ 20,000

X1 + X3 ≤ 40,000

X2 + X4 ≤ 60,000

X1 - 10X2 ≤ 0

6X3 - 5X4 ≤ 0

13

2X1 - 8X2 ≤ 0

X1 + X2 ≥ 50,000

X3 + X4 ≥ 5,000

Con todas las variables no negativas

Problema 12Una excursionista planea salir de campamento. Hay 5 artículos que desea llevar consigo, pero entre todos sobrepasan las 60 lb que considera que puede cargar. Para auxiliarse en la selección, ha asignado un valor a cada artículo en orden ascendente de importancia:

Artículo 1 2 3 4 5Peso (lb) 52 23 35 15 7

Valor100

60 70 15 15

¿Qué artículos deberá llevar para maximizar el valor total, sin sobrepasar la restricción de

peso?

Haciendo que Xi (i = 1, 2, 3, 4, 5) indique la cantidad a llevar del artículo i, se puede plantear el objetivo como:

Maximizar: Z = 100X1 + 60X2 + 70X3 +15X4 +15X5 (1)

Peso: 52X1 + 23X2 + 35X3 +15X4 + 7X5 ≤ 60 (2)

Ya que cada artículo se llevará o no se llevará, cada variable debe ser 1 o 0. Estas condiciones se cumplirán, si se pide que cada variable sea no negativa, no mayor qye 1 y entera. Combinando estas restricciones con (1) y (2), se tiene el programa matemático:

Maximizar: Z = 100X1 + 60X2 + 70X3 +15X4 +15X5

Con las condiciones:

52X1 + 23X2 + 35X3 +15X4 + 7X5 ≤ 60

X1 ≤ 0

X2 ≤ 0

X3 ≤ 0

X4 ≤ 0

X5 ≤ 0

Con todas las variables enteras no negativas.

14

Problema 13

Una tienda de autoservicio que funciona las 24 horas tiene los siguientes requerimientos mínimos para los cajeros:

Periodo 1 2 3 4 5 6Hora del día

(24 horas)3 - 7 7 - 11 11 - 15 15 - 19 19 - 23 23 – 3

Número mínimo 7 20 14 20 10 5

El periodo 1 sigue inmediatamente a continuación del periodo 6. Un cajero trabaja 8 horas consecutivas, empezando al inicio de uno de los seis periodos. Determine qué grupo diario de empleados satisface las necesidades con el mínimo de personal.

Haciendo Xi (i = 1, 2,..., 6) igual al número de cajeros que empiezan a trabajar al inicio del periodo i, se puede plantear el modelo para este problema, mediante el programa matemático:

minimizar: Z = X1 + X2 + X3 +X4 +X5 + X6

con las condiciones: X1 + X6 ≥ 7

X1 + X2 ≥ 20

X2 + X3 ≥ 14

X3 + X4 ≥ 20

X4 + X5 ≥ 10

X5 + X6 ≥ 5

Con todas las variables enteras y no negativas.

15

Problema 14Una tienda de quesos tiene 20 lb de una mezcla de frutas de la estación y 60 lb de un queso caro, con los cuales se prepararán dos tipos de queso para untar, fino y normal, que son populares durante las emana de Navidad. Cada libra del queso fino para untar se compone de 0.2 lb de mezcla de frutas, 0.3 lb del queso caro y 0.5 lb de un queso de relleno, que es barato y del cual se tiene abundante reserva. Debido a las políticas de precios empleadas en el pasado por la tienda, se sabe que la demanda para cada tipo de queso para untar depende de su precio, de la siguiente forma:

D1 = 190 – 25P1 y D2 = 250 – P2

Donde D denota la demanda en libras, P denota el precio en dólares por libra, y los subíndices 1 y 2 se refieren respectivamente al queso para untar fino y normal. ¿Cuántas libras de cada tipo de queso para untar deben prepararse, y qué precios deben establecerse, si se desea maximizar el ingreso y vender totalmente ambos tipos hacia el fin de la semana de Navidad?

Sean X1 las libras de queso fino para untar y X2 las libras de queso normal para untar, que se van a preparar. Si se puede vender todo el producto:

Objetivo: Maximizar: Z = P1X1 + P2X2 (1)

Ahora bien, todo el producto se venderá con seguridad (y nada quedará en existencia), si la producción no excede la demanda; es decir, si X1 ≤ D1 y X2 ≤ D2. Esto da las:

Restricciones:

X1 + 25P1 ≤ 190 y X2 + 50P2 ≤ 250 (2)

Debido a la cantidad de mezcla de frutas de que se dispone:

0.2X1 + 0.2X2 ≤ 20 (3)

y por la cantidad de queso caro disponible:

0.8X1 + 0.3X2 ≤ 60 (4)

No hay restricción en cuanto al queso de relleno, ya que la tienda tiene el que sea necesario. Finalmente, ni el precio ni la producción pueden ser negativos; así que 4

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restricciones de no negatividad son: X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, P1 ≥ 0 y P2 ≥ 0. Combinando estas condiciones con las expresiones del (1) al (4) se obtiene el programa:

Maximizar: Z = P1X1 + P2X2

Con las condiciones: 0.2X1 + 0.2X2 ≤ 20

0.8X1 + 0.3X2 ≤ 60 (5)

X1 + 25P1 ≤ 190

X2 + 50P2 ≤ 250

Con todas las variables no negativas.

El sistema (5) es un programa cuadrático en las variables X1, X2, P1 y P2. Se puede simplificar si se toma en cuenta que para cualquier valor fijo positivo de X1 y X2, la función objetivo aumenta conforme P1 o P2 aumenta. Entonces, para un máximo, P1 o P2

deben ser tales que las restricciones (2) se transformen en ecuaciones:

P1=19025

−X1

25=7 .6−0 .04 X 1

P2=25050

−X2

50=5−0 .02 X2

por lo tanto, P1 y P2 pueden eliminarse de la función objetivo. Se tiene entonces un programa cuadrático en X1 y X2:

Maximizar: Z = (7.6 – 0.04X1)X1 + (5 – 0.02X2)X2

Con las condiciones: 0.2X1 + 0.2X2 ≤ 20 (6)

0.8X1 + 0.3X2 ≤ 60

Con todas las variables no negativas.

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Problema 15

Un fabricante de plásticos tiene en existencia, en una de sus fábricas, 1,200 cajas de envoltura transparente y otras 1,000 cajas en su segunda fábrica. El fabricante tiene órdenes para este producto por parte de 3 diferentes detallistas, en cantidades de 1,000, 700 y 500 cajas, respectivamente. Los costos unitarios de envío (en centavos por caja) de las fábricas a los detallistas son los siguientes:

Detallista 1

Detallista 2 Detallista 3

Fábrica 1 14 13 11Fábrica 2 13 13 12

Determínese una cédula de embarque de costo mínimo, para satisfacer toda la demanda con el inventario actual.

Escribiendo Xij (i = 1,2 ; j = 1,2,3) como el número de cajas que se enviarán de la fábrica i al detallista j, se tiene como objetivo (en centavos):

minimizar: Z = 14X11 + 13X12 +11X13 +13X21 +13X22 +12X23

Ya que las cantidades que se envíen de ls fábricas no pueden exceder las existencias:

X11 + X12 +X13 ≤ 1,200 (envíos de la fábrica 1)

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X21 + X22 + X23 ≤ 1,000 (envíos de la fábrica 2)

Además, las cantidades totales enviadas a los detallistas deben cubrir sus demanda,

entonces:

X11 + X21 ≥ 1,000 (envíos al detallista 1)

X12 + X22 ≥ 700 (envíos al detallista 2)

X13 + X23 ≥ 500 (envíos al detallista 3)

Debido a que la existencia total (1,200 + 1,000) es igual a la demanda total (1,000 + 700 + 500), cada desigualdad de restricción se puede cambiar a una igualdad. Haciendo esto e incluyendo las condiciones de no negatividad de que ningún envío sea negativo y ninguna caja se divida para enviarse, se obtiene el programa matemático:

minimizar: Z = 14X11 + 13X12 +11X13 +13X21 +13X22 +12X23

con las condiciones:

X11 + X12 +X13 = 1,200

X21 + X22 + X23 = 1,000

X11 + X21 = 1,000 (1)

X12 + X22 = 700

X13 + X23 = 500

Con todas las variables enteras y no negativas.

Problema 16La competencia de relevos de 400 metros incluye a 4 diferentes nadadores, quienes nadan sucesivamente 100 metros de dorso, de pecho, de mariposa y libre. Un entrenador tiene 6 nadadores muy veloces, cuyos tiempos esperados en los eventos individuales se dan en la tabla 1-1.

Evento 1

(dorso)

Evento 2(pecho)

Evento 3(mariposa)

Evento 4(libre)

Nadador 1 65 73 63 57Nadador 2 67 70 65 58Nadador 3 68 72 69 55Nadador 4 67 75 70 59

19

Nadador 5 71 69 75 57Nadador 6 69 71 66 59

¿Cómo deberá el entrenador asignar los nadadores a los relevos, a fin de minimizar la suma de sus tiempos?

El objetivo es minimizar el tiempo total, que se denotará Z. Empleando variables de doble subíndice Xij (i = 1, 2, 3, 4,5, 6; j = 1, 2, 3, 4) para designar el número de veces que el nadador i se destinará al evento j, se puede formular así el objetivo:

minimizar: Z = 65X11 + 73X12 + 63X13 + 57X14 + 67X21 + 70X22 + 65X23 +

58X24 + 68X31 + 72X32 + 69X33 + 55X34 + 67X41 + 75X42 + 70X43

+ 59X44 + 71X51 + 69X52 + 75X53 + 57X54 + 69X61 + 71X62 +

66X63 + 59X64

Ya que ningún nadador puede destinarse a más de un evento:

X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 1

X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 1

X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 1

X41 + X42 + X43 + X44 ≤ 1

X51 + X52 + X53 + X54 ≤ 1

X61 + X62 + X63 + X64 ≤ 1

Como para cada evento debe haber un nadador, se tiene también:

X11 + X21 + X31 + X41 + X51 + X61 = 1

X12 + X22 + X32 + X42 + X52 + X62 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 + X53 + X63 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 + X54 + X64 = 1

Estas 10 restricciones, combinadas con el objetivo y las condiciones de no negatividad de cada variable sea entera y no negativa, forman un programa entero.

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Problema 17Una persona tiene $4,000 que desea invertir y se le presentan 3 opciones. Cada opción requiere depósitos en cantidades de $1,000; el inversionista puede colocar todo el dinero entre las 3. Las ganancias esperadas se presentan en la siguiente tabla:

Dólares invertidos

Ganancia de la 0 1,000 2,0003,000

4,000

Oportunidad 1 0 2,000 5,0006,000

7,000

Oportunidad 2 0 1,000 3,0006,000

7,000

Oportunidad 3 0 1,000 4,0005,000

8,000

¿Cuánto dinero deberá invertirse en cada opción para obtener la mayor ganancia total?

El objetivo es maximizar la ganancia total, denotada Z, la cual es la suma de la ganancia de cada una de las opciones. Todas las inversiones tienen la restricción e ser múltiplos enteros de la unidad $1,000. Haciendo que fi(X) (i = 1,2,3) denote la ganancia (en unidades de mil dólares) de la opción i, cuando se invierten en ella X unidades de dinero, se puede cambiar la tabla de ganancias como se muestra en la tabla 1-2:

f x 0 1 2 3 4

f1(X) 0 2 5 6 7f2(X) 0 1 3 6 7f3(X) 0 1 4 5 8

Definiendo Xi (i = 1,2,3) como el número de unidades de dinero invertidas en la opción i, se puede formular el objetivo como:

Maximizar: Z = f1(X1) + f2(X2) + f3(X3) (1)

Ya que la persona tiene sólo 4 unidades de dinero que invertir:

X1 + X2 + X3 ≤ 4 (2)

Agregando a (1) y (2) las condiciones de no negatividad de que X1, X2 y X3 sean enteras no negativas, se obtiene el programa matemático:

Maximizar: Z = f1(X1) + f2(X2) + f3(X3) (3)

con las condiciones: X1 + X2 + X3 ≤ 4

con: todas las variables enteras y no negativas.

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Graficando fi(X) con respecto a X para cada función da una gráfica que no es una línea recta. Por lo tanto, el sistema (3) es un programa no lineal.

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