Problemas de Matem´aticas -...

Problemas de Matematicas

David Jornet, Vicente Montesinos

Indice general

Introduccion V

1. Numeros complejos 1

1.1. Series de numeros complejos. Funciones elementales . . . . . . 2

1.2. Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Formula de Cauchy y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Desarrollo de Taylor y Laurent, ceros, puntos singulares, residuos 11

1.6. Algunas aplicaciones de las funciones complejas . . . . . . . . 13

1.6.1. Algunos corolarios teoricos . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.2. Funciones armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.3. Aplicaciones geometricas. Transformaciones conformes 15

1.6.4. El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.5. Aplicaciones a la electrostatica . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.6. Aplicaciones a hidrodinamica . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.7. Aplicacion del Teorema del Residuo al calculo de inte-grales reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Series de Fourier. Integrales de Fourier 23

2.1. Sistemas ortonormales de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Representacion integral de las sumas parciales de una serie deFourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Condiciones suficientes para la convergencia puntual de unaserie de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Series de Fourier de funciones particulares. . . . . . . . . . . . 27

2.5. El Teorema de Fejer y sus consecuencias. . . . . . . . . . . . . 29

2.6. Aplicaciones del Teorema de Convolucion. . . . . . . . . . . . 30

iii

Indice general

2.7. Transformadas de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8. Teorema de Aproximacion de Weierstrass. . . . . . . . . . . . 322.9. Convergencia uniforme de la serie de Fourier. . . . . . . . . . . 332.10. Integrales de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Ecuaciones en Derivadas Parciales 373.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Operadores Lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3. Modelos matematicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4. Reduccion de EDP’s a forma canonica. . . . . . . . . . . . . . 383.5. Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.1. (*) Un ejemplo debido a Hadamard. . . . . . . . . . . . 393.5.2. El Problema de Cauchy para la ecuacion de ondas ho-

mogenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.3. El Problema de Cauchy con condiciones iniciales y de

contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.4. El Problema de Cauchy para la ecuacion de ondas no

homogenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.5. (*) El metodo de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6. El Metodo de Separacion de Variables . . . . . . . . . . . . . . 423.6.1. El Problema de la Cuerda Vibrante. . . . . . . . . . . . 423.6.2. El Problema de la Conduccion del Calor. . . . . . . . . 433.6.3. La Ecuacion de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6.4. Problemas No Homogeneos. . . . . . . . . . . . . . . . 443.6.5. Transformada de Fourier Finita. . . . . . . . . . . . . . 45

3.7. Problemas de Valores Propios. Aplicacion de las Transfor-madas Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7.1. Sistemas de Sturm-Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . 463.7.2. Funciones Propias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7.3. Sistemas Singulares de Sturm-Liouville. . . . . . . . . . 473.7.4. Funcion de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7.5. Aplicaciones de las Transformadas Integrales. . . . . . 49

iv

Introduccion

La coleccion de problemas que sigue esta adaptada al contenido del cursode Matematicas que se imparte en la Escuela Tecnica Superior de Ingenierosde Telecomunicacion de la Universidad Politecnica de Valencia, y complemen-ta el texto de teorıa titulado Matematicas, de los mismos autores, tambienen la red y en esta misma direccion. La estructura de la coleccion respondepues a la del texto mencionado.

Se proponen los problemas sin incluir su resolucion, aunque en muchoscasos, especialmente si se pide un resultado numerico, este se proporcionacomo ayuda al alumno. Tambien, especialmente en problemas que no sonpuros ejercicios, se sugiere una vıa para resolverlos.

El alumno debe tener en cuenta que este libro de problemas pretendefamiliarizarlo progresivamente con la materia. Ası, es perfectamente posibleque ciertos ejercicios se puedan resolver de forma mas breve acudiendo aresultados teorico que se exponen posteriormente en el desarrollo de la ma-teria. Esto no los hace superfluos. Antes al contrario, intentar resolverlos conlas herramientas disponibles en ese momento, permite entrenar al alumno enesas tecnicas, hace inteligible el resultado teorico posterior y le predispone aaceptarlo como un logro intelectual.

Dentro de cada apartado se ha procurado escalonar la dificultad de losproblemas, de modo que el transito por los mas sencillos, presentados alprincipio, ayude al alumno a atacar los mas difıciles despues, fortaleciendosu autoestima y confianza.

Algunos problemas provienen de otros textos, otros son cosecha de losautores, y algunos han sido sugerencia de varias personas a las que agrade-cemos su ayuda. En particular queremos mencionar al Profesor Miguel Frizy a los alumnos Luis Emilio Garcıa e Ignacio Monterde. Por ultimo, a todoslos alumnos que han pasado por este curso, de los que hemos recibido sug-erencias y que han detectado alguna errata. Hemos marcado con (∗) aquellos

v

problemas que quizas excedan el nivel exigido.En la misma direccion electrnica se encuentra una lista de los examenes

realizados hasta la fecha en esta asignatura, con sus soluciones, lo que com-pleta esta coleccion de problemas e informa al alumno del nivel exigido.

Los autores

vi

Capıtulo 1Numeros complejos

Atencion: los problemas que llevan asterisco son opcionales. Lo son pordos razones: o bien presentan un interes menor o bien una dificultad teoricasuperior a la exigida.

1. Sea z un numero complejo. Probar que Re z = 12(z+z), Im z = 1

2i(z−z).

2. Resolver la ecuacion (1 + i)z = 2 + i. Solucion: 3/2 − (1/2)i.

3. Escribir 2+i1+i

en la forma a + bi. (Sugerencia: observar el ejercicio ante-rior).

4. Dado 0 �= z0 ∈ C, encontrar su reflexion respecto a 1) el origen decoordenadas, 2) el eje real, 3) el eje imaginario, 4) la lınea x − y = 0,5) la lınea x + y = 0.

5. Demostrar que los ceros complejos de un polinomio con coeficientesreales aparecen siempre en forma de pares conjugados. (Sugerencia:Escribir el significado de que un numero complejo z es raız de P , P (z) =0, y tomar conjugados en ambos miembros).

6. Demostrar que dado n ∈ IN , 1+z+z2 + . . .+zn−1 = 1−zn

1−z. (Sugerencia:

Usar la expresion de la suma de una progresion geometrica).

7. Si |α| < 1, demostrar que |z| ≤ 1 si y solamente si | z−α1−αz

| ≤ 1.

8. (*) Si β �= 0, demostrar que∣∣∣∣(α + β)n − αn

β− nαn−1

∣∣∣∣ ≤ (|α| + |β|)n − |α|n|β| − n|α|n−1.

(Sugerencia: Utilizar el desarrollo del binomio de Newton).

1

Numeros complejos

9. Demostrar que |z + 1| > |z − 1| si y solamente si Re z > 0. Demostrarque si Im α > 0 e Im β > 0, entonces∣∣∣∣α − β

α − β

∣∣∣∣ < 1.

Demostrar que dados dos numeros complejos α y β, |1−αβ|2−|α−β|2 =(1 − |α|2)(1 − |β|2).

10. Calcular las raıces cubicas de −i. Solucion: {eθi : θ = π/2, π +π/6, 2π − π/6}.

11. (*)Calcular los valores de (3 − 4i)−3/8 mas proximos al eje imaginario.

12. Si |α| = 1, interpretar geometricamente la transformacion z → α.z.Solucion: Un giro de angulo arg(α).

13. Calcular la imagen de {z = x+iy : 1 ≤ x ≤ 2} mediante la transforma-cion z → z2. Calcular el conjunto de puntos cuya imagen mediante lamisma transformacion es {z = u + iv : 1 < u < 2}. Calcular mediantela misma transformacion la imagen del semiplano superior abierto.

14. Determinar si es posible asignar a la siguiente funcion un valor en z0

que la haga continua en ese punto: g(z) :=z3−z3

0

z−z0, z �= z0. Solucion: Sı,

el valor 3z20 .

1.1. Series de numeros complejos. Funciones

elementales

1. Sea∑∞

n=0 anzn = s(z) para |z| < R, donde R > 0. Entonces

a) Si s(x) ∈ IR, ∀x ∈ IR con |x| < R, demostrar que todos los coefi-cientes an son reales (Sugerencia: proceder por induccion finita).

b) Si s es una funcion par (es decir, si s(z) = s(−z) para todo com-plejo z con |z| < R)), demostrar que an = 0 para todo n impar.(Sugerencia: identificar coeficientes y usar el teorema de unicidad(teorema 13)).

2

1.1 Series de numeros complejos. Funciones elementales

2. Demostrar que si an ≥ 0, n = 0, 1, 2, . . ., y∑∞

n=0 anRn converge para

un R > 0, entonces∑∞

n=0 anzn converge para todo complejo z con

|z| = R. (Sugerencia: Considerar el modulo de la suma de una “cola”;alternativamente, observar que una serie absolutamente convergentees convergente). Mostrar, con un ejemplo, que ello no es cierto si sesuprime la primera hipotesis.

3. (*)Demostrar que∑∞

n=0 zn no es uniformemente convergente en B(0, 1).(Sugerencia: Considerar |sn(z) − s(z)| para valores de z proximos a 1,siendo sn y s una suma parcial y la suma de la serie, respectivamente).

4. Calcular los ceros de las funciones 1+ez, sinh z, cosh z, 1e−ez, 1+i−ez.

Solucion: 1) {(2n+1)πi : n ∈ Z}, 2) {nπi : n ∈ Z}, 3) {(2n+1)(π/2)i :n ∈ Z}, 4) {(−1+2nπi : n ∈ Z}, 5) {(1/2) ln 2+i(π/4+2nπ) : n ∈ Z}.

5. (*)Si a y b son reales, probar que 12(a+ b) es un argumento de eia + eib.

Calcular el modulo. (Sugerencia: multiplicar y dividir por exp(−i(a +b)/2)).

6. Probar que 1−cos zz

→ 0 cuando z → 0 (usar tan solo la expresiondel coseno como serie de potencias). (*)Deducir que n(ωn − 1) → 2πicuando n → ∞, donde ωn := exp(2πi/n). (Sugerencia: Una vez que sesabe que existe el lımite de una expresion compleja, es posible calcularloacercandose a lo largo de una recta paralela al eje real y, por tanto, usarla regla de L’Hopital).

7. Si x ∈ IR y no es un multiplo entero de 2π, probar que

1 + cos x + . . . + cos(n − 1)x = cos1

2(n − 1)x

sin(n/2)x

sin(1/2)x,

sin x + . . . + sin(n − 1)x = sin1

2(n − 1)x

sin(n/2)x

sin(1/2)x.

(Sugerencia: denotar la primera expresion como u(x), la segunda comov(x) y formar la funcion u(x)+ i.v(x), escribiendola como una suma defunciones exponenciales.)

8. Si y �= 0, demostrar que cos(x + iy) es real si y solo si x es un multiploentero de π. Escribir el conjunto de los z para los cuales sin z es real, ydeducir que si tanto cos z como sin z son reales, entonces z es real.

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Numeros complejos

9. Sea f(z) := z sin(1/z) si z �= 0, f(0) = 0. Estudiar la continuidad def en 0. Solucion: No es continua; para verlo aproximarse a cero por eleje real y por el eje imaginario.

10. (*)Dado z, probar que n log0(1 + z/n) esta definida para todo n sufi-cientemente grande y tiende a z cuando n → ∞. Deducir que (1+z/n)n

tiende a ez cuando n → ∞. (Sugerencia: Observar que para n grandela variable no se encuentra en el semieje H0).

11. (*)Demostrar que tan z define una transformacion inyectiva de {z :−π/2 < Re z ≤ π/2} \ {π/2} sobre C \ {i,−i}.

12. (*)Sea f una funcion continua con valores reales definida en el intervaloreal [a, b]. Dado z ∈ C, se define

F (z) :=

∫ b

a

e−ztf(t)dt.

Demostrar que F ′(z) := −∫ b

ate−ztf(t)dt. F se llama la Transformada

de Laplace de f .

13. Sea f una funcion continua con valores reales definida en el cırculo{z : |z| = 1}. Demostrar que existe z en ese cırculo con f(z) = f(−z)(Sugerencia: definir la funcion g(z) := f(z) − f(−z), z ∈ C(0; 1). Sig(z0) �= 0 para cierto punto del cırculo, observar que g(−z0) = −g(z0)y aplicar el teorema del valor intermedio para funciones continuas; seobtiene la conclusion).

1.2. Derivacion

1. Determinar los puntos de C donde las funciones siguientes son deriva-bles: 1) f(x + iy) := x2 + iy2, 2) f(x + iy) := x2 + 2ixy, 3) f(x +iy) := 2xy + i(x + 2

3y3), 4) f(x + iy) := x − iy (Sugerencia: observar

que las funciones involucradas son diferenciables como funciones reales.Comprobar si se verifican o no las ecuaciones de Cauchy-Riemann).Soluciones: 1) La recta x = y. 2) El eje real. 3) Los puntos (−1/2, 0) y(−1/2, 1). 4) En ningun punto.

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1.2 Derivacion

2. Probar que las unicas funciones derivables de la forma f(x + iy) :=u(x)+ iv(y) (donde u y v son funciones reales) son f(x+ iy) := λz + c,donde λ ∈ IR y c ∈ C (Sugerencia: Utilice las ecuaciones de Cauchy-Riemann).

3. (*)Si f es derivable y |f | es constante en B(z0; r), para un cierto z0 ∈ Cy r > 0, probar que f es constante en ese disco (Sugerencia: Escribirla expresion |f(z)|2 en terminos de la parte real u e imaginaria v de fy derivar esta expresion. Utilizar entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann junto con la condicion necesaria y suficiente para que un sis-tema homogeneo tenga solucion no trivial). Demostrar que lo mismoes cierto si se supone que la parte real (o la parte imaginaria) de f esconstante en el disco.

4. Sea f(x + iy) := (1+i)x3−(1−i)y3

x2+y2 , si x + iy �= 0, f(0, 0) = 0. Probar quef satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero no es derivable en(0, 0). (Sugerencia: Para ver que la funcion no es derivable en (0, 0)como funcion de dos variables reales calcular la derivada direccional enese punto en la direccion de la bisectriz).

5. (*) Si λ ∈ IR y χ := λ + i(1 − λ), entonces |χ|2 > 12. Deducir que si

f(z) := z3, entonces no hay ningun punto χ en el segmento [1, i] talque f(i)− f(1) = (i− 1)f ′(χ). Relacionar este ejemplo con el compor-tamiento de las funciones reales (Sugerencia: mas precisamente, conel teorema del valor medio; hacer una representacion geometrica delcomportamiento de χ).

6. Sea u la parte real de una funcion compleja derivable definida en unsubconjunto abierto A de C. Probar que u es armonica (es decir, satis-face la ecuacion de Laplace, aceptando en este momento que existen lasderivadas parciales de segundo orden). (Sugerencia: Utilizar las ecua-ciones de Cauchy-Riemann).

7. Si f(x + iy) := u(x, y) + iv(x, y), demostrar que las curvas

u(x, y) = constante y v(x, y) = constante

son ortogonales en todo punto donde f sea derivable con derivada dis-tinta de 0. Visualizar el resultado utilizando funciones complejas deriva-bles de modo que sea facil obtener representaciones geometricas de las

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Numeros complejos

curvas en cuestion (Sugerencia: calcular, en un punto de interseccion,el producto escalar de los gradientes).

8. (*) Si la parte real de todos los ceros de un polinomio P es negativa,probar que la parte real de todos los ceros de P ′ tambien es negativa.(Sugerencia: Los polinomios que tienen esta propiedad de los ceros sellaman polinomios de Hurwitz y aparecen en la teorıa de la estabilidadde los sistemas mecanicos y electricos. Factorizar en primer lugar elpolinomio: P (z) = an(z − z1)(z − z2) . . . (z − zn). Observar que, paraz �= zk, k = 1, 2, . . . , n,

P ′(z)

P (z)=

1

z − z1

+1

z − z2

+ . . . +1

z − zn

.

Suponer ahora que Re zk < 0, k = 1, 2, . . . , n, pero que Re z ≥ 0.Entonces Re(z − zk) > 0, luego

Re

(1

z − zk

)> 0,

ası que P ′(z)/P (z) tiene parte real positiva y por tanto no es cero.)

9. Dadas dos funciones derivables f y g definidas en un conjunto abiertoconexo G, tales que f(z).g(z) = 0 para todo z ∈ G, demostrar quealguna de las dos funciones es identicamente nula. (Sugerencia: Suponerque en un cierto punto P una de las funciones, digamos g, no es nula.Entonces, calcular las derivadas sucesivas de la funcion producto (quees nula) para obtener que todas las derivadas sucesivas de f en P soncero).

1.3. Integracion

1. Calcular las integrales de las funciones z(z − 1) y Re z a lo largo de lossegmentos 1) [0 → 1 + i], 2) [0 → 1] y 3) [1 → 1 + i]. Soluciones: 1)−2/3 − i/3, 1/2 + i/2, 2) −1/6, 1/2, 3) −1/2 − i/3, i.

2. Sea f(x+iy) = xy. Probar que la integral de f a lo largo del semicırculot → eit, 0 ≤ t ≤ π es 2

3i.

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1.3 Integracion

3. Calcular la integral de la funcion 1/z a lo largo del perımetro del cuadra-do de lado 2 centrado en el origen y recorrido en sentido contrario a lasagujas del reloj. Solucion: 2πi.

4. (*) Sea f(z) :=∑∞

n=0 anzn en |z| < R, donde R > 0. Sea 0 < r < R y

n ∈ IN . Probar que existe z en C(0, r) con∣∣∣∣∫

[0→z]

f

∣∣∣∣ ≥ 1

n|an−1|rn.

(Sugerencia: Construir una serie de potencias (con suma F ) que tengael mismo radio de convergencia que la original y de forma que F ′(z) =f(z), ∀z ∈ B(0; R). Suponer que para cualquier punto z con |z| = r severifique ∣∣∣∣

∫[0→z]

f

∣∣∣∣ <1

n|an−1|rn.

Utilizar el hecho de que |F | alcanza el supremo en C(0; r) y las de-sigualdades de Cauchy para llegar a una contradiccion).

5. Calcular∫

C(0,1)1zdz directamente, cuando se recorre la circunferencia en

sentido positivo. Comparar el resultado con el obtenido en el problema3. Solucion: 2πi. Se obtiene la misma respuesta, lo que era previsiblepor el Teorema de Cauchy.

6. Si φ es una trayectoria cerrada, probar que∫

φzdz es puramente imagi-

nario. (Sugerencia: Escribir la expresion de la parte real de la integral yprobar que es cero observando que el integrando es la derivada de unafuncion).

7. Si f es una funcion par, demostrar que∫

C(0,r)f = 0 para todo r > 0.

(Sugerencia: descomponer la integral en suma de otras dos, una cor-respondiente a la mitad superior de la trayectoria, la otra a la mitadinferior).

8. (*) Demostrar, usando integracion, que la serie

log0(1 + z) =∞∑

n=1

(−1)n−1 zn

n

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Numeros complejos

es tambien valida para z con |z| = 1 y z �= −1 (Sugerencia:

log0(1 + z) =

∫C

dχ

χ,

donde C es el segmento orientado desde 1 a z+1. Denotando u := z/|z|,se obtiene ∫

C

dχ

χ= u

∫ r

0

1

1 + tudt.

Se usa ahora la formula de la suma de una progresion geometrica derazon (−tu) y se obtiene

1

1 + tu= 1 − tu + t2u2 − . . . + (−1)m−1tm−1um−1 +

(−1)mtmum

1 + tu.

Resulta ∫C

dχ

χ= z − z2

2+

z3

3+ . . . + (−1)m−1 zm

m+ Rm,

donde

Rm := (−1)mum+1

∫ r

0

tm

1 + tudt.

Sea d la distancia de 0 a la recta 1+tu, una distancia positiva. Entonces

|Rm| ≤1

d

∫ r

0

tmdt =rm+1

m + 1.1

d

m→∞−→ 0,

incluso cuando r = |z| = 1. Se obtiene la conclusion).

Deducir que∞∑

n=1

(−1)n+1

nsin nt =

1

2t

Para −π < t < π.

9. Calcular∫

C(i,2)ez

(z−1)n , donde n es un entero positivo (Sugerencia: Susti-

tuir adecuadamente la integral por otra alrededor de una circunferenciacentrada en 1. Utilizar ahora la formula de Cauchy que proporciona losvalores de las derivadas de una funcion en un punto mediante inte-grales alrededor de circunferencias centradas en ese punto). Solucion:(2πie)/(n − 1)!.

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1.4 Formula de Cauchy y Aplicaciones

1.4. Formula de Cauchy y Aplicaciones

1. Sea f(x + iy) := x + y, z = x + iy ∈ C. Definir F (z) :=∫

[0→z]f .

Determinar los puntos para los que F es diferenciable. (Sugerencia:La funcion f no es derivable como funcion de variable compleja, yaque toma solo valores reales. Calcular la integral parametrizando latrayectoria y, a continuacion, estudiar la derivabilidad de la funcionresultante. Observar que, al ser f continua, F es derivable en el punto0 como consecuencia de resultados conocidos). Solucion: la funcion Fes solo derivable en el origen.

2. (*) Sea φ una trayectoria suave por tramos, cerrada y contenida enC. Sea f una funcion derivable con valores complejos definida en unconjunto abierto que contiene a la imagen φ∗ de la trayectoria. Si {f(z) :z ∈ φ∗} no corta a {x ∈ IR : x ≤ 0}, demostrar que

∫φ(f ′/f) = 0.

(Sugerencia: estudiar la existencia de una primitiva).

3. Calcular∫

C(0,1)1

(z−a)(z−b)dz, donde (i) |a|, |b| < 1, (ii) |a| < 1, |b| >

1, (iii) |a|, |b| > 1 (Sugerencia: sustituir la trayectoria dada por doscircunferencias de pequeno radio centradas respectivamente en a y enb). Solucion: (i) 0, (ii) (2πi)/(a − b), (iii) 0.

4. Calcular∫

C(0,2)ez

z−1dz y

∫C(0,2)

ez

πi−2zdz (Sugerencia: usar la formula in-

tegral de Cauchy). Soluciones: (1) 2πie, (2) −e(πi)/2πi.

5. Calcular las series de Taylor para las funciones sin(z) y cos(z) desarro-lladas en π/4. (Sugerencia: obtener los coeficientes mediante las formu-las de derivacion). Soluciones:

sin(z) =

√2

2+

√2

2(z − π

4) −

√2

2 · 2!(z − π

4)2 + . . .

cos(z) =

√2

2−

√2

2(z − π

4) −

√2

2 · 2!(z − π

4)2 + . . .

6. Probar que la serie de Taylor de 11−z+z2 en 0 es

∑∞n=0 anz

n, dondea0 = a1 = 1, a2 = 0, y an+3 = −an, n ≥ 0. Calcular el radio deconvergencia. (Sugerencia: identificar coeficientes). Solucion: El radiode convegencia es 1.

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Numeros complejos

7. Calcular∫

C(i,2)ez

(z−1)n dz, donde n es un entero positivo. (Sugerencia:

Usar las expresiones integrales de los coeficientes de Taylor de unafuncion derivable). Solucion: (2πie)/(n − 1)! cuando n �= 0, 0 cuandon = 0.

8. Calcular el orden del cero de cada una de las siguientes funciones en 1:ez−1 − 1, z sin z, z5 − 3z4 + 8z2 − 9z + 3. Solucion: 1) orden 1, 2) 1 noes un cero de la funcion, 3)La descomposicion factorial del polinomioes (z − 1)3(z2 − 3), de donde se deduce que el orden es 3.

9. (*) Sean f y g dos funciones derivables definidas en un conjunto Dabierto y conexo en C. Suponer que f(z).g(z) = 0, ∀z ∈ D. Probar quealguna de las dos funciones es identicamente nula en D (Sugerencia:Todos los conceptos se referiran al conjunto abierto D. Sea A := {z ∈D : f(z) �= 0}. A es un conjunto abierto. Suponemos que no es vacıo.Entonces A �= A, ya que, en otro caso, A serıa simultaneamente abiertoy cerrado en D, lo que no es posible al ser D conexo. Supongamos queA �= D y tomemos z ∈ A \ A. Todo entorno N(z) de z corta tanto aA como al complementario de A. Podemos pues construir una sucesion(zn) en D \A de puntos distintos de z que converge a z. Entonces f escero en cada entorno N(z) de z, lo que contradice que N(z) ∩ A �= ∅.Por tanto se verifica A = D. Como g es necesariamente cero en A, porcontinuidad g es cero en D).

(Una sugerencia alternativa, siguiendo la misma idea, es la siguiente:pruebese que el conjunto de ceros de una funcion derivable que no sonpuntos aislados es simultaneamente un conjunto abierto y cerrado enD. Por tanto, si D es conexo, este conjunto o es vacıo o es todo D.Ahora, si f.g es identicamente cero en D, y si f no es identicamentecero, un cero z0 de f es un punto aislado, por lo que g es cero enB′(z0; r) para cierto r > 0. Por continuidad, g(z0) = 0, por lo que losceros de f forman un subconjunto de los ceros de g. Ahora, la unionde los ceros de f y los de g es todo D, ası que g es identicamente ceroen D).

10

1.5 Desarrollo de Taylor y Laurent, ceros, puntos singulares, residuos

1.5. Desarrollo de Taylor y Laurent, ceros,

puntos singulares, residuos

1. Escribir la serie de Laurent de la funcion f(z) := 1z(z2+1)

en B ′(0; 1)

y en C \ B(0; 1) (Sugerencia: En el primer caso, usar la expresion dela suma de una progresion geometrica ilimitada. En el segundo caso,transformar primero la funcion en otra mediante el cambio de variablew := 1/z y obtener el correspondiente desarrollo en serie para la funcionresultante). Solucion: 1)

∑∞n=0(−1)nz2n−1, 2)

∑∞n=0(−1)nz−2n−3.

2. Si f es una funcion par (impar) que no tiene una singularidad esen-cial en 0, probar que ord(f, 0) es par (impar). (Sugerencia: Identificarcoeficientes).

3. Dar una lista y clasificar las singularidades de las siguientes funciones:

1

z2+

1

z2 + 1,

z

sin z, ez+ 1

z ,1

ez2 − 1

Soluciones: 1) 0 es un polo de orden 2; i, -i son polos de orden 1. 2)0 es una singularidad evitable. Los demas ceros del seno son polos deorden 1. 3) f(z) = exp(z).exp(1/z), por lo que f tiene una singularidadesencial en 0. 4) 0 es un polo de orden 2.

4. (*) Si f tiene una singularidad esencial en z0, demostrar que f 2 tambienla tiene. Si f tiene una singularidad esencial en z0 y es no nula enun entorno de z0, probar que 1/f tiene una singularidad esencial enz0. (Sugerencia: Estudiar el comportamiento de |f | en un entorno delpunto).

5. (*) Si f es derivable en C excepto en un conjunto de puntos aisladosS (sus singularidades aisladas), probar que S ∩ K es finito, si K esun subconjunto compacto de C. Deducir que S es un conjunto finito oinfinito numerable. (Sugerencia: Suponer que en un conjunto compactohaya infinitas singularidades. Por el Teorema de Bolzano-Weierstrassexiste un punto de acumulacion en ese conjunto, que tambien sera unasingularidad, aunque ahora no aislada, lo que produce una contradic-cion. Para la segunda parte, tomar la sucesion creciente de compactosformada por las bolas cerrada centradas en cero y de radio n).

11

Numeros complejos

6. Encontrar el orden de los ceros de cada una de las funciones siguientes:ez−1 − 1, z sin z, z5 − 3z4 + 8z2 − 9z + 3. Solucion: 1) 1 es un cero deorden 1. 2) 0 es un cero de orden 2, pero el resto de ceros son de orden1. 3) La descomposicion factorial del polinomio es (z − 1)3(z2 − 3), dedonde se deduce el resultado.

7. Calcular las series de Taylor de las funciones cos y sin en el punto π4i

a) usando las formulas de adicion para ambas funciones o bien

b) derivando para encontrar los coeficientes.

Soluciones:

sin(z) =

[ ∞∑n=0

(−1)n (z − (π/4)i)2n+1

(2n + 1)!

]cos(

π

4i) +

+

[ ∞∑n=0

(−1)n (z − (π/4)i)2n

(2n)!

]sin(

π

4i)

cos(z) =

[ ∞∑n=0

(−1)n (z − (π/4)i)2n

(2n)!

]cos(

π

4i) −

−[ ∞∑

n=0

(−1)n (z − (π/4)i)2n+1

(2n + 1)!

]sin(

π

4i)

8. Calcular la serie de Taylor para la funcion 11−z+z2 en 0, ası como su

radio de convergencia.

9. Calcular el residuo de las siguientes funciones en los puntos que seindican:

a) f(z) := 11+z2 , z0 = i.

b) f(z) := 1sin z

, z0 = nπ, n entero.

c) f(z) := sin z1−cos z

, z0 = 0.

d) f(z) := z2

(z2+a2)2, a �= 0, z0 = ia.

e) f(z) := 1z2 sin z

, z0 = 0.

12

1.6 Algunas aplicaciones de las funciones complejas

Soluciones: (a) (−i)/2, (b) (−1)n, (c) 2, (d) 1/(4ia), (e) 1/6.

10. Probar que∫

C(0,2)eaz

1+z2 dz = 2πi sin a.

11. Si ord(f, z0) = k > 0 y ord(g, z0) = k + 1, probar que res(fg, z0) =

(k + 1) f (k)(z0)

g(k+1)(z0).

12. Calcular los residuos de las siguientes funciones en los puntos que seindican:

a) eiz

z3+z, z0 = i, z0 = 1.

b) 11−cos z

, z0 = 0.

c) 1(z−1)2(z+1)

, z0 = 1.

d) 1z−sin z

, z0 = 0.

Solucion: (a) −1/(2e), (b) 0, (c) −1/4, (d) 3/10.

13. Suponer que f es derivable en C \ {z1, . . . , zn}, y tiene como serie deLaurent

∑+∞−∞ anz

n en {z : |z| > R}, donde R := max{|zj| : j =1, 2, . . . , n}. Probar que a−1 =

∑nj=1 res(f, zj).

1.6. Algunas aplicaciones de las funciones com-

plejas

1.6.1. Algunos corolarios teoricos

1. Demostrar el Teorema Fundamental del Algebra, es decir, el hecho deque todo polinomio complejo p no constante tiene al menos una raızcompleja (Indicacion: suponer que p no tiene ninguna raız, con lo que1/p es una funcion entera en todo el plano complejo, luego es unaserie de potencias convergente en todo el plano complejo. Probar que1/(p(z).z) tiene lımite 0 cuando z → ∞. Aplicar el Teorema de Liouvilley concluir que 1/p debe ser constante).

2. Demostrar, como consecuencia del resultado anterior, que todo poli-nomio complejo se puede factorizar (de forma unica), es decir,

p(z) = a0(z − z1)n1(z − z2)

n2 . . . (z − zk)nk ,

13

Numeros complejos

donde, por supuesto, n1+ . . .+nk es el grado del polinomio, y z1, . . . , zk

son las raıces del mismo.

1.6.2. Funciones armonicas

1. Sea f : D → C una funcion definida en un conjunto abierto D ⊂C. Suponer que f es derivable en D y sean u y v las partes real eimaginaria, respectivamente, de la funcion f . Probar que tanto u como vson funciones armonicas, es decir, que satisfacen la ecuacion de Laplace:

∂2g

∂x2+

∂2g

∂y2= 0,

en cada punto de D. Las funciones u y v se llaman armonicas conju-gadas. Dada una funcion u : D → IR armonica, desarrollar un meto-do para calcular su armonica conjugada, supuesto que D sea un con-junto abierto y convexo. (Sugerencia: Como ∂u

∂x= ∂v

∂y, integrando re-

specto de x esta ecuacion se obtiene v(x, y) = −∫ x

x0

∂u∂y

(x, y)dx + c(y).

Como se requiere ∂v∂x

= −∂u∂y

, se impone esta condicion y se llega a∫ x

x0(−∂2u

∂y2 )dx =∫ x

x0

∂2u∂x2 dx = ∂u

∂x(x, y) − ∂u

∂x(x0, y). Se obtiene entonces

c(y) y por tanto v(x, y)).

2. Elegir la constante a de modo que la funcion u(x, y) := x3 + axy2 seaarmonica. Entonces, calcular su armonica conjugada. Solucion: a = −3,v(x, y) = 3yx2 − y3 + k, donde k es una constante arbitraria.

3. (*) Sea u : D → R una funcion armonica definida en una region D ⊂ C.Probar que u satisface las siguientes propiedades:

a) Dado cualquier punto (x0, y0) ∈ D, se tiene que u(x0, y0) es elvalor medio de u en cualquier circunferencia centrada en (x0, y0),de radio positivo y contenida en D.

b) Dado cualquier punto (x0, y0) ∈ D, se tiene que u(x0, y0) es elvalor medio de u en cualquier disco centrado en (x0, y0), de radiopositivo y contenido en D.

c) Si u no es constante en D, y si G es un dominio acotado tal queG ∪ δG ⊂ D, donde δG denota la frontera de G, entonces u noposee maximo ni mınimo en G, luego los extremos se alcanzan enδG.

14

1.6.3 Aplicaciones geometricas. Transformaciones conformes

d) Con las condiciones anteriores, si u es constante en δG entonces ues constante en G.

e) Si h es armonica en D y h(x, y) = u(x, y), para todo (x, y) ∈ δG,entonces h = u en G.

1.6.3. Aplicaciones geometricas. Transformaciones con-formes

1. Estudiar la transformacion de Mobius

w = f(z) =i − z

i + z.

2. Demostrar que las dos familias de curvas {u(x, y) = constante} y{v(x, y) = constante}, donde u y v son las partes real e imaginariade una funcion f : D → C derivable, donde D es un subconjuntoabierto de C, son ortogonales.

3. (*) Sea f : D → C una funcion derivable definida en un subconjun-to abierto de C. Supongamos que f ′(z0) �= 0, donde z0 es un ciertopunto de D. Probar que entonces existe un entorno de V de z0 y unentorno W de w0 := f(z0) tales que f(V ) = W y que f restringido aV es inyectiva (Indicacion: utilizar el Teorema de la Funcion Inversadel Calculo Diferencial de funciones de varias variables). Probar queexiste un factor de escala K de modo que las figuras geometricas en Vse transforman en figuras geometricas en W con una distorsion K, yque la transformacion f preserva los angulos.

4. Determinar las imagenes de la circunferencia C(1; 1) y de la recta y = 1bajo las siguientes transformaciones: a) f(z) = 2z, b) f(z) = z+3i−1,c) f(z) = 2iz, d) f(z) = 1/z, e) f(z) = (z + i)/(z − i), f) f(z) = z2.

5. Probar que toda transformacion de Mobius conserva la razon doble decuatro puntos cualesquiera. Como aplicacion, determinar una trans-formacion de Mobius que convierta la circunferencia unidad en el ejeOX.

6. (*) En cada una de las transformaciones siguientes, comprobar que latransformacion es inyectiva en la region dada, calcular su imagen y las

15

Numeros complejos

curvas de nivel u =constante, v =constante, si f(z) = w = (u, v):

w =√

z =√

reiθ/2, −π < θ < π. w =z − i

z + i, |z| < 1

w =1

z, 1 < x < 2. w = ln z, Im z > 0

w = lnz − 1

z + 1, Im z > 0. w = z +

1

z, Im z > 0

w = z − 1

z, |z| > 1.

7. Estudiar las siguientes transformaciones, en particular trazando las cur-vas de nivel u =constante y v =constante para cada una de ellas:

w = z + a. w = a.z

w = az + b. w =az + b

cz + dw = sin z,

donde a, b, c, d son constantes complejas de modo que cz + d �= 0 ybc − ad �= 0.

8. Combinando transformaciones anteriores, determinar una transforma-cion conforme e inyectiva de

a) El cuadrante x > 0, y > 0 sobre la region |w| < 1.

b) El sector 0 < θ < π/3 sobre el cuadrante u > 0, v > 0.

c) El semiplano y > 0 sobre la banda 0 < v < π.

d) La semibanda −π/2 < x < π/2, y > 0 sobre el cuadrante u > 0,v > 0.

e) La region r > 1, 0 < θ < π sobre la banda 0 < v < π.

f ) La banda 1 < x + y < 2 sobre el semiplano v > 0.

g) El semiplano x + y + 1 > 0 sobre el cuadrante u > 0, v > 0.

9. Demostrar que la ecuacion de una circunferencia o de una recta sepuede escribir como

azz + bz + bz + c = 0, a, c real.

16

1.6.4 El problema de Dirichlet

Probar entonces que la transformacion w = 1/z transforma circunfe-rencias o rectas en circunferencias o rectas. (Sugerencia: Toda recta ocircunferencia en el plano puede escribirse como A(x2+y2)+Bx+Cy+D = 0).

10. Probar que la composicion de dos transformaciones de Mobius es delmismo tipo, ası como la inversa.

1.6.4. El problema de Dirichlet

1. Determinar una funcion armonica u(x, y) en la semibanda de la figura1 que tome en la frontera los valores indicados. (Sugerencia: La trans-formacion seno convierte una banda como la dada en un semiplano).

Figura 1.1: La semibanda del problema 1

2. Encontrar una funcion armonica u(x, y) para |z| < 1, que sea 1 enr = 1, α < θ < β, y que sea 0 en el resto de la frontera (ver la figura1.2). (Sugerencia: transladar la circunferencia de modo que este en elsemiplano inferior y pase por cero; la transformacion z → (1/z) laconvierte en una recta; despues, trasladar esa recta al eje real).

3. a) Comprobar que la funcion w = 2 ln z−z2 transforma el semiplanoIm z > 0 de una manera conforme e inyectiva en el plano w menoslas rectas v = 2π, u < −1 y v = 0, u < −1.

b) Encontrar el potencial electrostatico U entre dos placas conden-sadoras idealizadas como dos semiplanos perpendiculares al plano

17

Numeros complejos

Figura 1.2: El cırculo del problema 2

uv a lo largo de las rectas v = a, u < 0 y v = 0, u < 0, si la diferen-cia de potencial entre las dos placas es U0. De otra forma, se tratade resolver el problema con valores en la frontera U(u, a) = U0

para u < 0 y U(u, 0) = 0 para u < 0, U(u, v) armonica en laporcion restante del plano uv.

4. a) Demostrar que la funcion w = z2 transforma la region Im z > 1de una manera conforme e inyectiva sobre la region parabolica

u <v2

4− 1.

b) Se supone un solido idealizado como un cilindro infinito perpendi-cular al plano uv cuyo corte transversal en el plano uv es la regionu ≤ v2. Supongamos que el solido esta en equilibrio termico, contemperaturas T1 mantenidas en la parte de la superficie fronteradonde v > 0 y T2 donde v < 0. Encontrar la distribucion de tem-peratura dentro del solido. Es decir, resolver el siguiente problemacon valores en la frontera: T (u, v) armonica para u < v2 con valo-res en la frontera T (u, v) = T1 para u = v2, v > 0 y T (u, v) = T2

para u = v2, v < 0.

1.6.5. Aplicaciones a la electrostatica

1. Supongamos que tenemos una superficie cilındrica circular constituidapor una hoja delgada de material conductor, de forma que el cilindroesta partido a lo largo de dos generatrices formando dos partes iguales.

18

1.6.6 Aplicaciones a hidrodinamica

Estas partes estan separadas por delgadas bandas de material aislantey usadas como electrodos, uno de los cuales esta unido a tierra (V = 0)y el otro se mantiene a potencial constante (V = V0).

Se quiere calcular el potencial electrico en su interior. Si el cilindro es losuficientemente largo y calculamos dicho potencial en puntos alejadosde los extremos podemos suponer que V solo depende de dos variablex e y.

2. Supongase ahora que tenemos otro cilindro, con potencial constante V0,apoyado sobre un plano infinito de tierra. Se pretende calcular el poten-cial fuera del cilindro. Sugerencia: utilıcese la transformacion conformef(z) = 1/z.

1.6.6. Aplicaciones a hidrodinamica

1. Estudiar el comportamiento de un fluido cuyo potencial de velocidadcomplejo es F (z) = Kz, siendo K una constante real positiva.

2. Estudiar el comportamiento de un fluido plano cuyo potencial de ve-locidad compleja esta dado por la funcion F (z) := z2.

3. Estudiar el flujo representado por la funcion f(z) := log0(z). Determi-nar las lıneas de corriente, las lıneas equipotenciales, la velocidad delflujo en cada punto y el flujo que atraviesa la circunferencia de centro0 y radio r > 0. Solucion: El flujo que atraviesa la circunferencia decentro 0 y radio r es 2π. La velocidad es radial y de modulo 1/r.

4. Lo mismo para la funcion f(z) := α log0(z), donde α ∈ C es unaconstante compleja. Solucion: el movimiento es ahora espiral. El flujoque atraviesa ahora una circunferencia centrada en el origen y de radior es 2πa, siendo a = Re α. La velocidad es tangencial a la trayectoriay de modulo a/r.

5. Estudiar el flujo correspondiente a la funcion potencial complejo F (z) =arc cos h(z).

6. Se supone ahora que existe una fuente con valor 2πc, siendo c ∈ IR unaconstante, situada en el punto a ∈ IR, siendo a > 0, y que se intercalauna pared reflectante en el eje imaginario. Estudiar el comportamiento

19

Numeros complejos

del flujo. (Indicacion: suponer que existe una fuente virtual de la mismaintensidad situada en el punto −a).

7. Flujo alrededor de una circunferencia: (a) Sea f(z) = z+z−1. Demostrarque hay una lınea de corriente formada por el eje OX y la circunferencia|z| = 1. Estudiar el comportamiento de f(z) cuando z → ∞, interpretarel resultado como el potencial complejo de un flujo uniforme que rodeaun obstaculo circular. Dibujar algunas lıneas de corriente. (b) Hallar lavelocidad en los puntos z = eiθ de la circunferencia y demostrar que lavelocidad maxima es el doble de la velocidad original del flujo uniforme.(c) Hallar la presion sobre el contorno de la circunferencia y mostrar,por simetrıa, o por cualquier otro procedimiento, que la fuerza totalresultante sobre la circunferencia es 0. Este fenomeno se llama a vecesla paradoja hidrodinamica. (d) Si se suma a f(z) el termino −ic log z,con c > 0 una constante, demostrar que la circunferencia continua sien-do una lınea de corriente, pero que ahora la resultante de las fuerzasaplicadas sobre el cırculo no es cero, siendo perpendicular a la direcciondel flujo uniforme y cuyo modulo es proporcional a la circulacion.

8. Metodo de Rankine. (a) Suponer que dos familias de curvas, f(x, y) =const y g(x, y) = const sean tales que cada curva f corte exactamente auna curva g, y viceversa. Explicar por que la familia f(x, y)+g(x, y) =const puede obtenerse uniendo los puntos de interseccion. (b) Aplicareste metodo para dibujas las lıneas de corriente asociadas con la funcionf(z) := z+log z, e interpretar el resultado como representacion del flujoen la popa de un barco.

1.6.7. Aplicacion del Teorema del Residuo al calculode integrales reales

1. Verifique que ∫ ∞

−∞

x2

1 + x4dx =

π√2.

2. Verifique que ∫ ∞

−∞

x + 2

(1 + x2)2dx = π.

20

1.6.7 Aplicacion del Teorema del Residuo al calculo de integrales reales

3. Calcular la integral∫ +∞−∞

x2

(x2+a2)2dx, donde a > 0. Asegurar en primer

lugar que esta integral es convergente. Probar que su valor es π2a

. (Indicacion:

Integrar la funcion f(z) := z2

(z2+a2)2en una trayectoria que consista en

un segmento sobre el eje 0X entre −r y r, y una semicircunferencia enel semiplano superior centrada en el origen y de radio r. Hacer tenderdespues r a infinito).

4. Calcular∫ +∞−∞

cos x1+x2 dx y demostrar que es π

e.


x sin x(x2+a2)

dx, donde a > 0. Probar que su valor

es πe−a.

Indicacion: Usar el Lema de Jordan.


sin xx

dx. Probar que su valor es π.

Indicacion: Utilizar una modificacion del Lema de Jordan usando uncuadrado cuya base este en el eje real excepto un pequeno semicırculode modo que el cuadrado contenga al origen de coordenadas.

7. Calcular las siguientes integrales probando que su valor es el que seindica:

a)∫ +∞−∞

11+x4 dx = π√

2.

b)∫ +∞0

x1+x4 dx = π

4.

c)∫ +∞−∞

cos(πx)x2−4x+5

dx = πe−π.

d)∫ +∞−∞

sen(πx)x2−4x+5

dx = 0.

e)∫ +∞−∞

cos πxx2−2x+2

dx = − πeπ .

f )∫ +∞−∞

sin πxx2−2x+2

dx = 0.

g)∫ +∞−∞

x2

(x2+1)(x2+4)dx = π

3.

h)∫ ∞−∞

x+2(1+x2)2

dx = π.

i)∫ +∞−∞

1(1+x2)2

dx = π2.

j )∫ +∞−∞

x3 sin x(1+x2)2

dx = π2e

.

k)∫ +∞−∞

x2−a2

(x2+a2)sin x

xdx = π(2e−a − 1), a > 0.

21

Numeros complejos

l)∫ +∞−∞

cos ax−cos bxx2 dx = π(b − a), a, b ≥ 0.

(Indicacion: Considerar la funcion

f(z) :=eiaz − eibz

z2

e integrarla en un circuito que consista en un rectangulo convertices en (p, 0), (p, p), (−p, p) y (−p, 0), al que se le ha anadidoun pequeno semicırculo para englobar al origen. Hacer p → ∞.)

m)∫ +∞−∞

(sin x

x

)2dx = π.

(Indicacion: Obtener el valor de esta integral como una aplicacionde la anterior, observando que

sin2(x) =1 − cos 2x

2.)

n)∫ 2π

0cos x

a+cos xdx = 2π

(1 − a√

a2−1

), a > 1.

(Indicacion: En primer lugar, observar que la integral pedida no esuna integral impropia. A continuacion, considerar que si γ(t) :=cos t + i sin t, t ∈ [0, 2π], es una parametrizacion de la circunfer-encia C(0; 1), entonces es inmediato que cualquier integral de laforma ∫ 2π

0

f(sin t, cos t)dt

puede convertirse en∫C(0;1)

f

(1

2

(z +

1

z

),

1

2i

(z − 1

z

))1

izdz.)

22

Capıtulo 2Series de Fourier. Integrales de

Fourier

2.1. Sistemas ortonormales de funciones.

1. Se considera el espacio de las funciones medibles de cuadrado integrableen el intervalo [0, 2π]. Este espacio esta dotado de un producto interior

〈f, g〉 :=

∫I

fg,

donde () denota el conjugado complejo. Consecuentemente, hay unanorma definida que es

‖f‖2 := 〈f, f〉1/2.

Considerar la familia de funciones S := {φ0, φ1, φ2, . . .}, donde

φ0(x) :=1√2π

, φ2n−1(x) :=cos nx√

π, φ2n(x) :=

sin nx√π

,

donde n = 1, 2, . . .. Probar que S es un sistema ortonormal de funciones(reales) 1 en cualquier intervalo de longitud 2π.

2. Sea el sistema S := {φ0, φ1, φ2, . . .}, donde

φn(x) :=einx

√2π

=cos nx + i sin nx√

2π, n = 0, 1, 2, . . .

1El siguiente ejercicio proporciona un sistema ortonormal de funciones complejas en unintervalo del mismo tipo.

23

Series de Fourier. Integrales de Fourier

Probar que S es un sistema ortonormal 2 de funciones (complejas) encualquier intervalo de longitud 2π.

3. Este ejercicio describe un metodo importante de obtener, a partir de unconjunto de vectores de un espacio E en el que hay definido un produc-to interior, un conjunto ortonormal de vectores. El metodo se conocecomo Proceso de Ortogonalizacion de Gram-Schmidt: Se proporcionaun conjunto linealmente independinte {v0, v1, v2, . . .} de vectores de E.Sea

u0 :=v0

‖v0‖.

Ahora, sea

u1 :=v1 − 〈v1, u0〉u0

‖v1 − 〈v1, u0〉u0‖Es obvio que este vector es de norma 1 y es ortogonal al anterior. Seaahora

u2 :=v2 − 〈v2, u0〉u0 − 〈v2, u1〉u1

‖v2 − 〈v2, u0〉u0 − 〈v2, u1〉u1‖.

El procedimiento sigue de esta forma 3 .

4. (*) Una aplicacion del anterior procedimiento, cuando se considera elintervalo [−1, 1] y el producto interior

〈f, g〉 =

∫ 1

−1

f(t)g(t)dt,

ası como el sistema de vectores (=funciones) {1, t, t2, . . .}, proporcionalos polinomios

g1(t) = t, g2(t) = t2 − 1

3, g3(t) = t3 − 3

5t, g4(t) = t4 − 6

7t2 +

3

35, . . .

Los polinomios

φn(t) =(2n)!

2n(n!)2gn(t)

2Los sistemas proporcionado en este ejercicio y en el anterior se llaman SistemasTrigonometricos.

3Es sencillo obtener una imagen geometrica del procedimiento: Obtenidos los vectores{u0, u1, . . . , un}, el siguiente vector se obtiene “quitando a vn+1 las componentes queapuntan en las direcciones ya consideradas, y dejando solo la componente en la nuevadireccion”.

24

2.2 Representacion integral de las sumas parciales de una serie de Fourier.

se llaman Polinomios de Legendre. Una definicion alternativa es la si-guiente: Se toma la funcion fn(x) := (x2 − 1)n. Entonces

φ0(x) = 1, φn(x) =1

2n(n!)f (n)

n (x).

Las siguiente propiedades de los polinomios de Legendre son impor-tantes:

a) φ′n(x) = xφ′

n−1(x) + nφn−1(x).

b) φn(x) = xφn−1(x) + x2−1n

φ′n−1(x).

c) (n + 1)φn+1(x) = (2n + 1)xφn(x) − nφn−1(x).

d) φn satisface la ecuacion diferencial[(1 − x2)y′]′ + n(n + 1)y = 0.

e)∫ 1

−1φ2

n(x)dx = 2n−12n+1

∫ 1

−1φ2

n−1(x)dx.

f )∫ 1

−1φ2

n(x)dx = 22n+1

.

5. Utilizando las siguientes formulas

2 cos nx = einx + e−inx, 2i sin nx = einx − e−inx,

expresar la serie de Fourier de una funcion en terminos de exponencialescomplejas y proporcionar expresiones para los coeficientes de Fourierde la expresion resultante.

6. Expresar la serie de Fourier de una funcion periodica de perıodo b− a,digamos f ∈ R[a, b], donde [a, b] es un cierto intervalo, utilizando cam-bios de variable adecuados para reducir el problema al caso estudiado.Dar la expresion de los coeficientes de Fourier en este caso.

2.2. Representacion integral de las sumas par-

ciales de una serie de Fourier.

1. Dado n ∈ IN , la funcion Dn llamada nucleo de Dirichlet, esta definidacomo

Dn(t) :=1

2+

n∑k=1

cos kt.

25


Probar que

Dn(t) =

sin(n+ 12)t

2 sin t/2si t �= 2mπ (m entero),

n + 12

si t = 2mπ (m entero).

(Sugerencia: Escribir la suma de una serie∑n

k=0 eikt observando que se tratade una progresion geometrica).

2.3. Condiciones suficientes para la conver-

gencia puntual de una serie de Fourier.

1. (*) Este ejercicio describe el tipo de funciones que se consideran en lacondicion para la convergencia de la serie de Fourier en un punto, dadapor Jordan: Una funcion f : [a, b] → IR se dice que es de variacionacotada cuando existe M > 0 de modo que, para cualquier particion Pde [a, b], digamos a = x0 < x1 < . . . < xn = b, se tenga

n∑k=1

|f(xk) − f(xk−1)| ≤ M.

Si f es de variacion acotada en [a, b], y si a ≤ x ≤ b, se define Vf (x), lavariacion total de f en [a, x] (una funcion de x), como el numero

sup{n∑

k=1

|f(xk)−f(xk−1)| : P := {a = x0 < x1 < . . . < xn = x}, P ∈ P}

donde P denota el conjunto de todas las particiones de [a, x].

a) Demostrar que Vf es una funcion monotona creciente en [a, b].

b) Demostrar que la funcion Vf−f es, tambien, una funcion monotonacreciente en [a, b].

c) Deducir que toda funcion de variacion acotada en [a, b] es la difer-encia de dos funciones monotonas crecientes en [a, b].

26

2.4 Series de Fourier de funciones particulares.

d) Probar el recıproco: que toda funcion que sea diferencia de dosmonotonas crecientes en [a, b] es una funcion de variacion acota-da en ese intervalo. Probarlo, en primer lugar, para una funcionmonotona creciente. Esto, junto con los apartados anteriores, dauna caracterizacion de las funciones de variacion acotada.

2. (*) Sea g ∈ R[a, δ] para cada numero a tal que 0 < a < δ. Supongamosque g satisfaga una condicion de Lipschitz por la derecha en 0: es decir,que existan dos constantes positivas M y p de modo que

|g(t) − g(0+)| < Mtp, ∀t ∈]0, δ].

Probar que, en ese caso, g verifica la condicion de Dini para la existenciadel lımite de la integral de Dirichlet usada en la teorıa. Notar que, enparticular, si g tiene una derivada por la derecha en 0, en el sentido deque el siguiente lımite exista y sea finito

lımt→0

g(t) − g(0+)

t,

entonces g satisface una condicion de Lipschitz con p = 1, luego severifica la condicion de Dini.

3. Probar, como aplicacion del ejercicio anterior, que si una funcion fdefinida en un intervalo [a, b] es diferenciable en un punto interior x, suserie de Fourier converge a f(x) en ese punto.

2.4. Series de Fourier de funciones particu-

lares.

1. Supongamos que f ∈ R[−π, π] y que es 2π- periodica. Probar que laserie de Fourier generada por f presenta las siguientes formas especialessi se verifican las condiciones enunciadas:

a) Si f(−x) = f(x) cuando 0 < x < π, entonces

a0

2+

∞∑n=1

an cos nx, donde an =2

π

∫ π

0

f(t) cos ntdt.

27


b) Si f(−x) = −f(x) cuando 0 < x < π, entonces

∞∑n=1

bn sin nx, donde bn =2

π

∫ π

0

f(t) sin ntdt.

(Sugerencia: Tanto en este apartado como en el anterior, escribirla integral que define los coeficientes de Fourier como suma de unaintegral en [−π, 0] y otra en [0, π]).

c) En los siguientes ejercicios, establecer la relacion entre S y f .Discutir cuidadosamente la forma de utilizacion de los teoremasde convergencia adecuados 4:

1) f(x) := x, I :=]0, 2π[, S(x) := π − 2∑∞

n=1sin nx

n.

2) f(x) := x2

2, I := [0, 2π], S(x) := πx − π2

3+ 2

∑∞n=1

cos nxn2 .

3) f(x) := π4, I :=]0, π[, S(x) :=

∑∞n=1

sin(2n−1)x2n−1

.

4) f(x) := x, I := [0, π], S(x) := π2− 4

π

∑∞n=1

cos(2n−1)x(2n−1)2

.

5) f(x) := x, I :=] − π, π[, S(x) := 2∑∞

n=1(−1)n−1 sin nx

n.

6) f(x) := x2, I := [−π, π], S(x) := π2

3+ 4

∑∞n=1

(−1)n cos nxn2 .

7) f(x) := x2, I :=]0, 2π[, S(x) := 43π2+4

∑∞n=1

(cos nx

n2 − π sin nxn

).

8) f(x) := cos x, I :=]0, π[, S(x) := 8π

∑∞n=1

n sin 2nx4n2−1

.

9) f(x) := sin x, I :=]0, π[, S(x) := 2π− 4

π

∑∞n=1

cos 2nx4n2−1

.

10) f(x) := x cos x, I :=]−π, π[, S(x) := −12sin x+2

∑∞n=2

(−1)nn sin nxn2−1

.

11) f(x) := x sin x, I := [−π, π], S(x) := 1−12cos x−2

∑∞n=2

(−1)n cos nxn2−1

.

12) f(x) := ln∣∣sin x

2

∣∣, x �= 2kπ, S(x) := − ln 2 −∑∞

n=1cos nx

n.

(Sugerencia: calcular la serie de Fourier de la funcion g(x) :=

f ′(x), obteniendo g ∼∑+∞

k=1 sin kx. Obtener ahora la serie deFourier de f aplicando el Teorema de Integracion.)

13) f(x) := ln∣∣cos x

2

∣∣, x �= 2(k+1)π, S(x) := − ln 2−∑∞

n=1(−1)n cos nx

n.

(Sugerencia: Usar el numero anterior.)

14) f(x) := ln∣∣tan x

2

∣∣, x �= kπ, S(x) := −2∑∞

n=1cos(2n−1)x

2n−1.

(Sugerencia: Usar los dos numeros anteriores.)

4Usar, cuando sea posible, el ejercicio anterior.

28

2.5 El Teorema de Fejer y sus consecuencias.

2. Demostrar que la serie de Fourier asociada a la funcion f(x) := x,x ∈] − 2, 2[, funcion 4-periodica, es

+∞∑k=1

(−1)k+1 4

kπsin

(kxπ

2

).

3. Demostrar que la serie de Fourier compleja∑+∞

k=−∞ ckeikx de la funcion

f(x) := ex, x ∈] − π, π[ tiene como coeficientes

ck =(1 + ik)(−1)k

π(1 + k2)sinh π, k = 0,±1,±2, . . . .

4. Sea g una funcion continua en [0, 1]. Se supone que∫ 1

0tng(t)dt = 0 para

n = 0, 1, 2, . . . Probar que

a)∫ 1

0g(t)2dt =

∫ 1

0g(t) (g(t) − P (t)) dt para cada polinomio P .

b)∫ 1

0g(t)2dt = 0. 5

c) g(t) = 0 para cada t ∈ [0, 1].

2.5. El Teorema de Fejer y sus consecuencias.

1. (*) Un sistema ortonormal S := {φ0, φ1, φ2, . . .} de funciones se diceque es completo cuando toda funcion de cuadrado integrable se puedeaproximar en la norma ‖ ·‖2 por combinaciones lineales de funciones deS. Una de las consecuencias del Teorema de Fejer es que toda funcioncontinua en [0, 2π] y periodica con perıodo 2π es el lımite, en la norma‖·‖2, de la sucesion de sumas parciales de su serie de Fourier (respecto alsistema trigonometrico). Como consecuencia, el sistema trigonometricoes completo.

2. (*) El Teorema de Fejer tiene como consecuencia el Teorema de Aprox-imacion de Weierstrass (toda funcion real y continua definida en unintervalo compacto [a, b] se puede aproximar uniformemente por poli-nomios). Dar los detalles de la prueba.

5Usar el Teorema de Aproximacion de Weierstrass.

29


2.6. Aplicaciones del Teorema de Convolu-

cion.

1. (*) Sea p > 0, q > 0. Entonces se tiene la formula

∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1dx =Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q).

La integral del primer miembro se llama funcion Beta, y se designa porB(p, q). Para probar esta formula se considera

fp(t) :=

{tp−1e−t si t > 0,0 si t ≤ 0.

Entonces fp ∈ L1(IR) e∫ +∞−∞ fp(t)dt =

∫ ∞0

tp−1e−tdt = Γ(p). Si h des-igna la convolucion, h = fp ∗ fq, haciendo u = 0 en la formula deconvolucion, y si p > 1 o bien q > 1, se obtiene

∫ +∞

−∞h(x)dx =

∫ +∞

−∞fp(t)dt

∫ +∞

−∞fq(y)dy = Γ(p)Γ(q).

Ahora, se calcula la integral de la izquierda de otra forma: Dado quetanto fp como fq se anulan en el eje real negativo, se tiene

h(x) =

∫ x

0

fp(t)fq(x − t)dt =

{e−x

∫ x

0tp−1(x − t)q−1dt, si x > 0,

0 si x ≤ 0.

El cambio de variable t = ux proporciona, para x > 0,

h(x) = e−xxp+q−1

∫ 1

0

up−1(1 − u)q−1du = e−xxp+q−1B(p, q).

Por tanto,∫ +∞−∞ h(x)dx = B(p, q)

∫ +∞0

e−xxp+q−1dx = B(p, q)Γ(p + q),lo que prueba, usando lo anterior, la igualdad del enunciado, si p > 1 oq > 1. Para obtener el resultado si p > 0 o q > 0, basta usar la relacionpB(p, q) = (p + q)B(p + 1, q).

30

2.7 Transformadas de Laplace.

2.7. Transformadas de Laplace.

Sea c > 0 de modo que la integral∫ ∞

0e−ct|f(t)|dt exista como integral de

Riemann impropia. Sea z = x + iy, en donde x > c. Probar que la integral

F (z) :=

∫ ∞

0

e−ztf(t)dt

existe como integral de Riemann impropia y como integral de Lebesgue. Lafuncion ası definida se llama Transformada de Laplace de f , y se denota comoL(f). En los ejercicios siguientes se establecen algunas de las propiedades dela transformada de Laplace.

1. En la siguiente tabla se proporcionan algunas transformadas de Laplace.Comprobarlas.

f(t) F (z) =∫ ∞

0e−ztf(t)dt z = x + iy

eαt (z − α)−1 (x > α)cos αt z/(z2 + α2) (x > 0)sin αt α/(z2 + α2) (x > 0)tpeαt Γ(p + 1)/(z − α)p+1 (x > α, p > 0)

2. Probar que la convolucion h = f ∗ g toma la forma

h(t) =

∫ t

0

f(x)g(t − x)dx

cuando f y g se anulan en el eje real negativo. Utilizar el teorema deconvolucion de transformadas de Fourier para demostrar

L(f ∗ g) = L(f).L(g).

3. Suponer que f sea continua en ]0, +∞[. Sea F (z) :=∫ ∞

0e−ztf(t)dt para

z = x + iy, x > c > 0. Si s > c y a > 0, probar que

a) F (s + a) = a∫ ∞

0g(t)e−atdt, donde g(x) =

∫ ∞0

e−stf(t)dt.

b) Si F (s+na) = 0 para n = 0, 1, 2, . . ., entonces f(t) = 0 para t > 0.6

6Indicacion: usar el ejercicio 4 de la seccion 2.4.

31


c) Si h es continua en ]0, +∞[ y si f y h tienen la misma transformadade Laplace, entonces f(t) = h(t) para cada t > 0.

4. Sea F (z) :=∫ ∞

0e−ztf(t)dt para z = x + iy, x > c > 0. Sea t un punto

en el que f satisface una de las condiciones del Teorema de la Integralde Fourier. Probar que, para cada a > c, tenemos

f(t+) + f(t−)

2=

1

2πlım

T→+∞

∫ T

−T

e(a+iv)tF (a + iv)dv.

Esta expresion se llama Formula de Inversion para Tranformadas deLaplace 7.

2.8. Teorema de Aproximacion de Weierstrass.

1. Probar el Teorema de Aproximacion de Weierstrass como aplicacion delos teorema de convergencia de series de Fourier.

Sugerencia: Considerar, sin perdida de generalidad, que f es una fun-cion definida y continua en [−π, π] con f(−π) = f(π). Aproximar funiformemente por una funcion g continua y lineal a trozos. La se-rie de Fourier de g converge uniformemente por un conocido criteriode convergencia. Ası, dado ε > 0 podemos encontrar un polinomiotrigonometrico que aproxima f uniformemente con error < ε. Si sequiere aproximar ahora f uniformemente por polinomios, usar los poli-nomios de Taylor que aproximan las funciones sin y cos observando quela aproximacion es uniforme debido a la acotacion del resto de Taylor.

2. Utilizar el Teorema de Aproximacion de Weierstrass para probar lassiguientes afirmaciones:

a) Si f es continua en [1, +∞[ y si f(x) → a cuando x → +∞, en-tonces f se puede aproximar uniformemente en [1, +∞[ por mediode una funcion g de la forma g(x) := p(1/x), donde p es un poli-nomio.

(Sugerencia: Definir h(x) := f(1/x), x ∈]0, 1]. Probar que hesta bien definida y es continua en ese intervalo. Definir h(0) = a.

7Sea g(t) = e−atf(t) si t ≥ 0, g(t) = 0 si t < 0. Comprobar que g verifica la condicionsuficiente de Dini para la convergencia de la serie de Fourier.

32

2.9 Convergencia uniforme de la serie de Fourier.

Probar que h es ahora continua en [0, 1] y aplicar el Teorema deAproximacion de Weierstrass).

b) Si f es continua en [0, +∞[ y si f(x) → a cuando x → +∞, en-tonces f se puede aproximar uniformemente en [0, +∞[ por mediode una funcion g de la forma g(x) := p(e−x), donde p es un poli-nomio.

(Sugerencia: Definir la funcion h(t) := f(− ln t) si t ∈]0, 1] yh(0) = a. Observar que h es continua en [0, 1] y aplicar el Teoremade Aproximacion de Weierstrass).

2.9. Convergencia uniforme de la serie de Fou-

rier.

1. (*) Sea la serie de Fourier (en forma exponencial) generada por unafuncion f continua en [0, 2π] y periodica de perıodo 2π, precisamente

n=+∞∑n=−∞

αneinx.

Se supone que f es derivable con derivada f ′ ∈ R[0, 2π].

a) Probar que la serie∑n=+∞

n=−∞ n2|αn|2 converge; utilizar entonces

la desigualdad de Cauchy-Schwarz para deducir que∑n=+∞

n=−∞ |αn|converge.

b) Deducir que la serie de Fourier converge uniformemente hacia fen toda la recta real, usando el Criterio M de Weierstrass.

2.10. Integrales de Fourier.

1. Si f satisface las condiciones del Teorema de la Integral de Fourier,probar que:

a) Si f es par, entonces

f(x+) + f(x−)

2=

2

πlım

α→+∞

∫ α

0

cos vx

[∫ +∞

0

f(u) cos vudu

]dv.

33


Si f es impar,

f(x+) + f(x−)

2=

2

πlım

α→+∞

∫ α

0

sin vx

[∫ +∞

0

f(u) sin vudu

]dv.

2. Utilizar el Teorema de la Integral de Fourier para calcular las siguientesintegrales impropias:

a) 2π

∫ +∞0

sin v cos vxv

dv.

(Sugerencia: Hay que encontrar una funcion par f tal que∫ +∞

0

f(u) cos vudu =sin v

v

y aplicar el Teorema de la Integral de Fourier. Basta tomar f :=χ[−1,1], la funcion caracterıstica del intervalo [0, 1]).

b)∫ +∞

0cos axb2+x2 dx.

(Sugerencia: Utilizar el Teorema de la Integral de Fourier para la

funcion f(u) := e−b|u|).

3. Probar que

a) Γ(p).Γ(p)Γ(2p)

= 2∫ 1/2

0xp−1(1 − x)p−1dx.

(Sugerencia: Utilizar el hecho, probado en el ejercicio 1 del aparta-do 2.6,

Γ(p).Γ(q)

Γ(p + q)= B(p, q) :=

∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1dx).

b) Mediante un cambio de variable en el apartado anterior, probarla formula de duplicacion para la funcion Γ:

Γ(2p)Γ(1

2) = 22p−1Γ(p)Γ(p +

1

2).

(Sugerencia: Haciendo p = q se obtiene

Γ2(p)

Γ(2p)=

∫ 1

0

xp−1(1 − x)p−1dx = 2

∫ 1/2

0

xp−1(1 − x)p−1dx.

Se hace ahora x = 12− 1

2

√u).

34

2.10 Integrales de Fourier.

4. Calcular la transformada de Fourier de la funcion f(x) := 1x2+a2 , x ∈ IR,

donde a > 0.

(Sugerencia. Se trata de calcular la integral

1√2π

∫ +∞

−∞

e−iwx

x2 + a2dx.

Considerar la funcion de variable compleja f(z) := e−iwz

z2+a2 y aplicar lastecnicas de integracion usando el Teorema de los Residuos.)

5. Calcular la transformada de Fourier de la funcion f(x) := e−ax2, donde

a > 0.

(Sugerencia. Se trata de calcular, para cierto w ∈ IR, la integral

1√2π

∫ +∞

−∞f(x)e−iwxdx. (2.1)

Considerar la funcion de variable compleja g(z) := f(z)e−iwz. Es de-rivable en todo el plano complejo, por lo que, usando el Teorema deCauchy, el valor de (2.1) se puede obtener integrando a lo largo decualquier recta paralela al eje real. Se elije la recta x+iy con y constanteigual a −w/2a, y se usa que

∫ +∞−∞ e−ax2

dx =√

π/a.)

35

Capıtulo 3Ecuaciones en Derivadas

Parciales

3.1. Conceptos basicos

1. Considerar las siguientes ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Clasi-ficarlas y comprobar que las funciones u(x, y) := (x + y)3 y u(x, y) :=sin(x − y) son soluciones de la ultima:

a) uuxy + ux = y.

b) uxx + 2yuxy + 3xuyy = 4 sin x.

c) (ux)2 + (uy)

2 = 1.

d) uxx − uyy = 0.

2. Resolver

a) uxy = 0, donde u es una funcion de dos variables.

b) uyy = 2, donde u es una funcion de tres variables.

c) ux − uy = 0, donde u es una funcion de dos variables 1. Com-probar que esta ecuacion en derivadas parciales tiene como espa-cio de soluciones un espacio de dimension infinita, por ejemploconsiderando que las funciones (x + y)n, sin n(x + y), cos n(x +y), exp n(x + y) son soluciones, para n = 1, 2, 3, . . .

3. Determinar la solucion general de las siguientes ecuaciones en derivadasparciales:

1Sugerencia: Realizar la transformacion de variables ε = x + y, δ = x − y.

37

Ecuaciones en Derivadas Parciales

a) uyy + u = 0.

b) uxy + ux = 0.

c) uxx−4uxy +3uyy = 0, suponiendo que la solucion puede ser expre-sada en la forma u(x, y) = f(λx + y), donde λ es un parametro.

3.2. Operadores Lineales.

1. Escribir el operador diferencial correspondiente a la ecuacion de Laplace.

2. Lo mismo para la divergencia en coordenadas cartesianas.

3. Calcular la accion de los siguientes operadores sobre una determinadafuncion, ası como la de su composicion.

A :=∂2

∂x2+ x

∂

∂y, B :=

∂2

∂y2− y

∂

∂y.

3.3. Modelos matematicos.

1. Deducir que la ecuacion del movimiento de una “cuerda larga”(es decir,no acotada) es utt = c2uxx − g, donde g es la aceleracion debida a lagravedad.

2. Deducir que la ecuacion de una cuerda vibrante “con frenado”(es decir,una vibracion amortiguada) es utt + aut = c2uxx, donde la “fuerza defrenado.es proporcional a la velocidad y a es una constante.

3. Deducir la ecuacion unidimensional del calor ut = kuxx.

4. Deducir la ecuacion de continuidad ρt + div(ρu) = 0 y la Ecuacion deEuler ρ[ut + (u · grad)u] + grad p = 0 del movimiento en dinamica defluıdos.

3.4. Reduccion de EDP’s a forma canonica.

1. En las siguientes ecuaciones, determinar su tipo y reducirla a formacanonica:

38

3.5 Problema de Cauchy

a) y2uxx − x2uyy = 0.

b) x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0.

c) uxx + x2uyy = 0.

d) 4uxx + 5uxy + uyy + ux + uy = 2.

e) uxx − 4uxy + 4uyy = ey.

f ) uxx + uxy + uyy + ux = 0.

2. En los siguientes ejemplos, encontrar la solucion general:

a) x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0.

b) 4uxx + 5uxy + uyy + ux + uy = 2.

c) 3uxx + 10uxy + 3uyy = 0.

3.5. Problema de Cauchy

3.5.1. (*) Un ejemplo debido a Hadamard.

Sea u una funcion de dos variables x e y. Considerar el siguiente problemade Cauchy:

uxx + uyy = 0,

con las siguientes condiciones:

u(x, 0) = 0,

uy(x, 0) = n−1 sin nx.

1. Comprobar que la solucion viene dada por la funcion

u(x, y) := n−2 sinh ny sin nx.

2. Demostrar que, cuando n → ∞ la funcion n−1 sin nx tiende uniforme-mente a cero.

3. Comprobar que la solucion n−2 sinh ny sin nx no tiende a cero cuandon → ∞, sea y el valor que sea.

4. Se concluye que la solucion no es estable y, por tanto, el problema noesta correctamente planteado en el sentido que se le ha dado a estaexpresion.

39


3.5.2. El Problema de Cauchy para la ecuacion de on-das homogenea.

1. Encontrar la solucion del problema con valores iniciales

utt = c2uxx

u(x, 0) = sin x

ut(x, 0) = cos x

2. Considerar la Formula de D’Alembert de la solucion del Problema deCauchy para la ecuacion de ondas homogenea. Considerar el caso en quela velocidad inicial es cero. Suponer que el desplazamiento inicial f(x) esdiferente de cero en un intervalo ]−b, b[. Estudiar el comportamiento dela solucion. Como caso particular, suponer que f tiene forma triangularpresentando un maximo en 0.

3. Considerar ahora el caso en que el desplazamiento inicial es cero. Tomarcomo velocidad inicial

g(x) :=

{0, si |x| > b,g0, si |x| ≤ b.

Estudiar el comportamiento de la solucion.

3.5.3. El Problema de Cauchy con condiciones inicialesy de contorno.

1. Considerar el problema de la vibracion de una cuerda de longitud lfija en ambos extremos, x = 0 y x = l. La ecuacion que gobierna elmovimiento, y las condiciones iniciales y de contorno, son

utt = c2uxx, 0 < x < l, t > 0,

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l,

ut(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ l,

u(0, t) = p(t), t ≥ 0,

u(l, t) = q(t), t ≥ 0.

Consierar el caso particular cuando f(x) := sin(πx/l) y g(x) := 0 en0 ≤ x ≤ l.

40

3.5.4 El Problema de Cauchy para la ecuacion de ondas no homogenea.

2. Analizar el efecto que las condiciones de contorno tienen sobre la propa-gacion de una onda considerando el caso particular en que g := 0 yf := 0 excepto en un pequeno entorno de un punto (x0, 0), donde existeuna pequena perturbacion. Considerar las ondas directas y reflejadas.

3.5.4. El Problema de Cauchy para la ecuacion de on-das no homogenea.

1. Determinar la solucion de

uxx − uyy = 1

u(x, 0) = sin x

uy(x, 0) = x.

3.5.5. (*) El metodo de Riemann.

1. Determinar la solucion de

wtt + awt + bw = c2wxx

u(x, 0) = f(x)

ut(x, 0) = g(x),

donde f y g son funciones arbitrarias, mediante el Metodo de Riemann2.Para ello:

a) Escribir primero la ecuacion en la forma canonica L[u] = uξη +ku = 0 mediante las transformaciones sucesivas w = ue−at/2 yξ = x + ct, η = x − ct, donde k = (a2 − 4b)/16c2.

b) Determinar la funcion de Riemann v(ξ, η; α, β) que satisface

vξη + kv = 0,

vξ(ξ, β; α, β) = 0,

vη(α, η; α, β) = 0,

v(α, β; α, β) = 1,

2Esta ecuacion en derivadas parciales recibe el nombre de Ecuacion del Telegrafo.

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observando que la EDP precedente es autoadjunta y suponiendoque la funcion de Riemann es de la forma

v(ξ, η; α, β) = F (s)

donde s = (ξ − α)(η − β).

c) Haciendo λ =√

4ks, se obtendra la ecuacion

F ′′(λ) +1

λF ′(λ) + F (λ) = 0,

que es la ecuacion de Bessel de orden 0. La solucion que interesaes

F (λ) = J0(λ),

de modo que la funcion de Riemann resulta

v(ξ, η; α, β) = J0

(√4k(ξ − α)(η − β))

).

3.6. El Metodo de Separacion de Variables

3.6.1. El Problema de la Cuerda Vibrante.

1. Considerar el siguiente problema, que hace referencia a la Ecuacion deOndas Unidimensional:

utt − c2uxx = 0, 0 < x < l, t > 0,

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l,

ut(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ l,

u(0, t) = 0,

u(l, t) = 0.

a) Hacer un esquema del tipo de problema fısico que esta ecuacion ylas condiciones dadas modelizan.

b) Considerar el caso en que

f(x) :=

{ hxa

si 0 ≤ x ≤ a,h(l−x)

l−asi a ≤ x ≤ l.

Dar una interpretacion fısica de las ecuaciones y resolver el prob-lema.

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3.6.2 El Problema de la Conduccion del Calor.

c) Suponer ahora que f es cero, y que

g(x) :=

{ v0

ax si 0 ≤ x ≤ a,

v0(l−x)l−a

si a ≤ x ≤ l.

Dar una interpretacion fısica de las ecuaciones y resolver el prob-lema.

3.6.2. El Problema de la Conduccion del Calor.

1. Considerar el siguiente problema, en relacion con la distribucion de latemperatura en una varilla:

ut = kuxx, 0 < x < l, t > 0,

u(0, t) = 0,

u(l, t) = 0,

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l.

a) Describir el problema fısico que la ecuacion y las condiciones pro-porcionadas describen.

b) Suponer que la distribucion inicial de temperatura es f(x) :=x(l − x) Hacer un esquema de la misma y resolver el problema.

c) Suponer ahora que la temperatura en un extremo de la varilla semantiene constante, es decir

u(l, t) := u0, t ≥ 0.

Resolver el problema usando el metodo de superposicion. Mas pre-cisamente, considerar primero una distribucion inicial de temper-atura f1(x) := uox/l. Obtener la solucion. Ahora, considerar unadistribucion de temperatura f(x) − f1(x), Resolver el problema.La solucion del problema planteado sera la suma de las solucionesobtenidas. Proporcionar los detalles de esta construccion.

3.6.3. La Ecuacion de Laplace.

1. Considerar una distribucion de temperatura estacionaria (estable en eltiempo) en una placa rectangular en la que dos lados estan aislados, un

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tercer lado se mantiene a temperatura cero y la temperatura del ladorestante esta predeterminada como f(x). Se trata de resolver

∇2u = 0, 0 < x < a, 0 < y < b,

u(x, 0) = f(x),

u(x, b) = 0,

ux(0, y) = 0,

ux(a, y) = 0.

2. Considerar la vibracion transversal de una viga. La ecuacion del movimien-to esta gobernada por

utt + a2uxxxx = 0, 0 < x < l, t > 0,

donde u(x, t) es el desplazamiento y a una constante que depende delmaterial. Las condiciones iniciales y de contorno son

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l,

ut(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ l,

u(0, t) = u(l, t) = 0,

uxx(0, t) = uxx(l, t) = 0.

a) Poner en relacion las condiciones dadas con lo que serıa el fenomenofısico.

b) Resolver la ecuacion.

3.6.4. Problemas No Homogeneos.

1. Considerar el siguiente problema:

utt = c2uxx + F (x),

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l,

ut(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ l,

u(0, t) = A, t > 0,

u(l, t) = B, t > 0.

a) Suponer que la solucion puede ser escrita como u(x, t) = v(x, t) +U(x) y resolver el problema.

b) Resolver el siguiente ejemplo particular: F (x) := h, donde h esuna constante, f(x) := 0, g(x) := 0, A = B = 0.

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3.6.5 Transformada de Fourier Finita.

3.6.5. Transformada de Fourier Finita.

1. Se define la transformada seno finita de Fourier FST n(f) de una fun-cion f de la siguiente forma:

FST n(f)(x) :=2

π

∫ π

0

f(x) sin nxdx, n = 1, 2, . . . ,

y la transformada coseno finita de Fourier FCT n(f) de la misma fun-cion como:

FCT n(f)(x) :=2

π

∫ π

0

f(x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, . . .

Demostrar las siguientes propiedades de las transformadas:

Teorema 1 Supongamos que f ′′ existe y es continua a trozos en [0, π].Entonces

FST n(f ′′)(x) =2n

π[f(0) − (−1)nf(π)] − n2FST n(f)(x).

ası como

Teorema 2 Supongamos que f ′′ existe y es continua a trozos en [0, π].Entonces

FCT n(f ′′)(x) =2

π[(−1)nf ′(π) − f ′(0)] − n2FCT n(f)(x).

2. Utilizando las transformadas finitas de Fourier, resolver el problemadel movimiento de una cuerda de longitud π debido a una fuerza queactua sobre ella, estando la cuerda fija en ambos extremos:

utt = c2uxx + f(x, t), 0 < x < π, t > 0,

u(x, 0) = 0,

ut(x, 0) = 0,

u(0, t) = 0,

u(π, t) = 0.

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3. Mediante el uso de las transformadas finitas de Fourier, encontrar lasolucion del siguiente problema, que describe la distribucion de tempe-ratura en una varilla de longitud π. El calor se genera en la varilla arazon de g(x, t) por unidad de tiempo, los extremos estan aislados y ladistribucion original de temperatura esta dada por f(x):

ut = uxx + g(x, t), 0 < x < π, t > 0,

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ π,

ux(0, t) = 0,

ux(π, t) = 0.

4. Una varilla con constante de difusion k contiene un combustible queproduce neutrones por fision. Los extremos son perfectamente reflec-tantes. La distribucion inicial de neutrones es f(x). Encontrar la dis-tribucion de neutrones en cualquier estado posterior. El problema sedescribe usando

ut = kuxx + bu, 0 < x < l, t > 0,

u(x, 0) = f(x),

ux(0, t) = ux(l, t) = 0.

3.7. Problemas de Valores Propios. Aplicacion

de las Transformadas Integrales

3.7.1. Sistemas de Sturm-Liouville.

1. Determinar los valores propios y las funciones propias del sistema deSturm-Liouville

u′′ + λu = 0, 0 ≤ x ≤ π,

u(0) = 0, u′(π) = 0.

2. Dada la ecuacion de Cauchy

x2u′′ + xu′ + λu = 0, 1 ≤ x ≤ e,

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3.7.2 Funciones Propias.

con las condiciones de contorno

u(1) = 0, u(e) = 0,

determinar los valores propios y las correspondientes funciones propias.

3. Resolver el sistema periodico de Sturm-Liouville

u′′ + λu = 0, −π ≤ x ≤ π,

u(−π) = u(π),

u′(−π) = u′(π).

3.7.2. Funciones Propias.

1. Considerar un cable cilındrico de longitud l cuya superficie esta per-fectamente aislada termicamente. El extremo x = 0 se mantiene atemperatura cero mientras el otro extremo radia calor libremente almedio circundante a temperatura cero. Sea f(x) la distribucion inicialde temperatura. La temperatura u(x, t) en cada punto en cada instantesatisface, pues,

ut = kuxx, 0 < x < l, t > 0,

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l,

u(0, t) = 0, t > 0,

hu(l, t) + ux(l, t) = 0, h > 0, t > 0.

Utilizar el Metodo de Separacion de Variables para encontrar una solu-cion.

3.7.3. Sistemas Singulares de Sturm-Liouville.

1. Considerar la vibracion transversal de una membrana circular,que seconsidera centrada en el origen de coordenadas y fija en su borde, parala que se conoce la deformacion inicial sabiendo que la velocidad iniciales cero. Se supone, ademas, que existe simetrıa angular (es decir, loque ocurre en un punto del cırculo es lo mismo, en cada instante, quelo que pasa en cualquier otro punto obtenido girando el primero un

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angulo arbitrario con centro en el origen de coordenadas. Se supone,ademas, que el movimiento del centro esta acotado 3 .

3.7.4. Funcion de Green.

1. Resolver el siguiente problema:

u′′ = −x, 0 < x < 1,

u(0) = 0,

u(1) = 0

usando el metodo de la funcion de Green. Para ello, elegir como funcionG(x, ξ) la siguiente

G(x, ξ) :=

{G1(x, ξ) := (1 − x)ξ si ξ ≤ x ≤ 1,G2(x, ξ) := x(1 − ξ) si 0 ≤ x ≤ ξ.

2. Considerar el problema

u′′ + u = −1, 0 < x <π

2,

u(0) = 0,

u(π

2) = 0,

usando el metodo de la Funcion de Green. Para ello, construir la apropi-ada funcion de Green G(x, ξ).

3Se vio que, en coordenadas cartesianas, el movimiento de la membrana esta gobernadopor la ecuacion en derivadas parciales

utt = c2(uxx + uyy), (x2 + y2) < 1, t > 0,

donde u(x, y, t) representa el desplazamiento vertical de un punto (x, y) del cırculo en elinstante t. Es conveniente considerar el mismo problema ahora en coordenadas polares,aunque en realidad basta considerar, por razones de simetrıa, u como funcion de r y de t.Transformar la EDP para estas variables y exigir las siguientes condiciones:

u(r, 0) = f(r), 0 ≤ r ≤ 1,

ut(r, 0) = 0, 0 ≤ r ≤ 1,

u(1, t) = 0, t ≥ 0,

lımr→0

u(r, t) < +∞.

Utilizar el metodo de separacion de variables.

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3.7.5 Aplicaciones de las Transformadas Integrales.

3.7.5. Aplicaciones de las Transformadas Integrales.

1. Resolver el siguiente Problema de Dirichlet en el semiespacio y > 0:

uxx + uyy = 0, −∞ < x < ∞, y > 0,

u(x, 0) = f(x), −∞ < x < ∞,

u esta acotada cuando y → +∞,

u y ux tienden a 0 cuando |x| → +∞.

2. Encontrar una solucion del siguiente Problema de Neumann en el semi-espacio y > 0:

uxx + uyy = 0, −∞ < x < ∞, y > 0,

uy(x, 0) = g(x), −∞ < x < ∞,

u esta acotada cuando y → +∞,

u y ux tienden a 0 cuando |x| → +∞.

3. Obtener la solucion del siguiente problema de conduccion de calor enuna varilla infinita con condiciones iniciales:

ut − uxx = 0, −∞ < x < ∞, t > 0,

u(x, 0) = f(x), −∞ < x < ∞,

u(x, t) esta acotada .

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