PROBLEMAS DE MAQUINAS ELÉCTRICAS III

MAQUINAS ELÉCTRICAS III EE225

HEBERTH ALFREDO MAMANI HERRERA UNI - FIEE

SOLUCIONARIO DE LA PRIMERA PRACTICA CALIFICA 2009-I

Maquinas eléctricas III, columna vertebral de la especialidad.

PROBLEMA 1: Una maquina generalizada de conmutador se conecta y es impulsada por un motor primo a una velocidad constante de 540 RPM si en t=o, se aplica al devanado D una tensión continua de 600 voltios, tenemos los siguientes datos.

1.0 0.25 1.5r rqa q sdr L h G H= Ω = =

Obtener las expresiones de las corrientes y torque electromagnético.

, ,s rd q ei i T

Planteamos las ecuaciones en el devanado del rotor, la expresión de torque electromagnético.

. .

r r r r r rs s rr r r rs r sq q q q q qq q qd m d qd m d

rs s se qd q q

V r i L pi M pi G w i G w i

T G i i

= + + − −

=

Donde notamos que la corriente en el devanado estatorico en el eje Q es cero. Tenemos finalmente. Usando la transformada de laplace llegamos reemplazando los datos del problema a:

254.446( )

(1 0.25 )( 6)rqI s

s s s=

+ +

600( )

(1200 200 )sdi t

s s=

+, Resolviendo con

la transformada inversa.

( 4 ) 6

6

( ) 127.23 84.8. 42.41

( ) 0.5(1 )

r t tq

s td

i t e e

i t e

− −

−

= − + +

= −

. .rs s se qd q qT G i i=

Graficando las soluciones.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45CORRIENTE EN LA ARMADURA

TIEMPO

CO

RR

IEN

TE

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5CORRIENTE EN EL DEVANADO ESTATORICO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

0

5

10

15

20

25

30

35TORQUE ELECTROMAGNETICO

PROBLEMA 2: Para estudiar el proceso transitorio de conexión de la tensión Vf, al devanado de excitación (f), al generador síncrono con el devanado amortiguador (D,Q), estando el estator (d,q) sin carga se utiliza la máquina de conmutador.



200 30 0.5

0.08 1.2

1.2 1.0

s s s sf f d q

s s rs rsd q qf qd

rs ss rs rsdf fd dd qq

r L H r r

L L H G G H

M M M H M H

= Ω = = = Ω

= = = =

= = = =

Si el rotor de la maquina es impulsado a 1500RPM y en t=0, se cierra el interruptor

de campo se pide calcular , ,s s sf q di i i ,

comentar resultados. Planteando las ecuaciones en los devanados estatoricos y rotoricos.

r r r r r rs s rr r r rs r sq q q q q qq q qd m d qd m d

s s s s s sr rq q q q q qq q

f f f f f fr rd d d d d dq q

V r i L pi M pi G w i G w i

V r i L pi M pi

V r i L pi M pi

= + + − −

= + +

= + +

2

( )(0.5 0.08 )

1.2( )

(0.5 0.08 )

48(0.5 0.08 )( )

(0.960 31 100)

rqs

q

fs dd

fd

i si s

s

sii s

s

si s

s s s

−=

+−=

++=+ +

Resolviendo tenemos:

( 36.4 ) 28.6

( 28.6 ) 36.3

( ) 0.115 0.124 0.24

( ) 2.39 2.39

f t td

s t td

i t e e

i t e e

− −

− −

= − − +

= −

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24CORRIENTE DE CAMPO

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25CORRIENTE EN EL ESTATOR

OJO, sobre los devanados amortiguadores.

Un motor síncrono carece de un par de arranque; para conseguir ponerlo en marcha por sí mismo, se le añade un devanado en jaula de ardilla, denominado devanado amortiguador, ubicado en las expansiones polares del rotor.

PROBLEMAS ADICIONALES

PROBLEMA 1

Un motor SHUNT tiene una resistencia de 5Ω en serie con la armadura, el motor se alimenta con una carga continua de 230 V, impulsa una carga de torque constante de 5.5 N-M con momento de inercia J=1.8 Kg/m², si la corriente de excitación esta ajustada en 1 Amperio, y se tiene los siguientes parametros:

20.5 0.8

0.0133

rsqdG H J Kg m

D Nms

= = −

=

CALCULAR:

a) La velocidad y la corriente de armadura del motor.

b) Si se rompe el acople entre el motor y la carga, obtener la evolucion en el tiempo de la velocidad y la corriente de armadura del motor.

c) Los valores finales de la corriente de armadura y la velocidad.



Solucion (a)

Planteamos las ecuaciones del motor tipo shunt en el devando rotorico y la ecuación electromecánica.

r r r r r rs r sq q q q q qd m d

rrm

e load total m

V E i r L pi G w i

dwT T J Dw

dt

= = + +

− = +

Procedemos a reemplazar los datos del problema, para el caso 1.

230 (5 1) 0.5

0.5 5.5 2.6 0.0133

r r rq q m

rr rmq m

V E i w

dwi w

dt

= = = + +

− = +

Para resolver esta ecuacion usaremos la transformada de laplace, luego procedemos a despejar las variables y le aplicamos la transformada inversa, resultando.

248.63 /

17.61

rm

rm

w rad s

i Amp

=

=

Solución (b)

Nos piden la corriente y la velocidad cuando ocurre el desacople con la carga, para esto en la ecuación electromecánica reemplazamos el torque de carga igual a cero. Para ver como varía la corriente


rrm

e total m

V E i r L pi G w i

dwT J Dw

dt

= = + +

= +

Reemplazando en forma de laplace

0.5 0.8( 248.6) 0.0133

2306 0.5

r r rm m m

r rm m

i sw w

i ws

= − +

= +

Desarrollando y sacando la inversa de laplace tenemos:

(0.0687. )

(0.0687* )

( ) 9.25 8.35.

( ) 348.51 99.8.

r tq

r tm

i t e

w t e

−

−

= +

= −

Mostramos como varia la corriente en la armadura una vez desconectada la carga, se observa pues que sufre un decremento desde 17.61 amperios hasta 9.25 Amperios.

0 50 100 1509

10

11

12

13

14

15

16

17

18CORRIENTE DE ARMADURA

TIEMPO (s)

I (a

mpe

rios)

Pasaremos también a mostrar como varia la velocidad en el rotor en la figura de abajo. Al perder carga el motor se embala como se muestra en la grafica.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200240

260

280

300

320

340

360VELOCIDAD

tiempo (s)

velo

cida

d an

gula

r (r

ad/s

)

PROBLEMA 2

Un motor de excitación independiente de 5HP, esta acoplado con una carga de 0.6 Kg/m2 de inercia cuyo torque puede

representarse por T=0.10rmw y el motor es

arrancado por una Resistencia de 3.4Ω enserie con la armadura para limites de arranque, aplicándose 240 V DC a la armadura con la corriente de excitación igual a 1 A, se pide.



a) rmi , su máximo valor e instantaneo

que produce.

b) La velocidad del motor.

c) Los valores finales de la corriente de armadura y la velocidad del motor.

d) Si después de llegar al régimen final dado por C, la resistencia de arranque súbitamente se C.C. repetir los pasos a, b y c.

SOLUCIÓN (a)

Planteamos las ecuaciones del motor tipo shunt en el devando rotorico y la ecuacion electromecánica.

0.5 (1.2 0.35)

240(4 0.012 ) 1.8

r rq m

r rq m

i s w

i s ws

= +

= + +

Para resolver esta ecuacion usaremos la transformada de laplace, luego procedemos a despejar las variables y le aplicamos la transformada inversa, resultando.

(7.19. ) (326.4. )

(326.4* ) (7.19. )

( ) 2.48 60.10 62.59

( ) 12.78 0.287 13.07

r t tq

r t tm

i t e e

w t e e

− −

− −

= + −

= + −

Pasando a graficar estas ecuaciones. De la grafica de la corriente de armadura se observa que presenta una característica máxima en 56.36 A.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-10

0

10

20

30

40

50

60CORRIENTE DE ARMADURA

TIEMPO (s)

CO

RR

IEN

TE

(A

mp)

Grafica de la velocidad angular de la maquina.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

0

2

4

6

8

10

12

14VELOCIDAD ANGULAR

TIEMPO (s)

Wm

(ra

d/s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-10

0

10

20

30

40

50

60CORRIENTE VS VELOCIDAD

TIEMPO

AM

PE

RIO

Sra

d/s



SOLUCIONARIO DE LA SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA 2009-I

PROBLEMA 1: se tiene un generador de excitación independiente que tiene una carga resistiva de 23.35 OHM conectada a su armadura e impulsado a 1000 RPM, si en t=0, se aplica 130V de corriente continua al devanado de excitación, se pide:

a) las ecuaciones diferenciales del sistema para t>0.

b) la corriente de excitación en función del tiempo.

c) la evaluación ene le tiempo de la corriente de carga.

d) los valores finales de la corriente y tensión de carga.

2.38 130 46.8

1.65 0af f f

a a

G H r L H

r L

= = Ω =

= Ω =


s s s s sd d d d d

V r i L pi G w i

V r i L pi

= + −

= +

Reemplazando los datos y usando la transformada de laplace tenemos:

130( )

(130 46.8 )

1296.01( )

(130 46.8 )

sd

rq

i ss s

i ss s

=+

=+

Sacando la transformada inversa de laplace tenemos:

2.76

2.76

( ) 9.969 9.969

( ) (1 )

r tq

s td

i t e

i t e

−

−

= −

= −

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1CORRIENTE DE CAMPO

PROBLEMA 2: Para arrancar un motor de excitación independiente que esta acoplado mecánicamente con una carga puramente inercial de 5.27 Kg-m2 se usa un reóstato de arranque de dos escalones. Estos escalones se van cortocircuitando de modo que durante la aceleración del motor, la corriente de armadura tenga un máximo de 80 y un mínimo de 50 amperios respectivamente, los parámetros del motor son:

2

1.98 130 46.8

0.4 0 0.0132 0.73

af f f

a a m m

G H r L H

r L D N ms J Kgm

= = Ω =

= Ω = = − =

Si la corriente de excitación de 1 amperio, se pide:



a) El valor del reóstato a utilizar.

b) la corriente de armadura y la velocidad del motor en función del tiempo para t>0 y antes de la conmutación del primer escalón.

c) el tiempo t1 al producirse la conmutación del primer escalón de resistencia R1.

d) la velocidad en el instante que se conmuta R1.

e) los valores de R1 y R2.

f) la velocidad y la corriente del motor al final del transitorio, después de la conmutación de R2.

Solución a)

. .


rs s sme mec m qd q q

V r i L pi G w i

dwT T J Dw G i i

dt

= + +

− = + =

Donde el torque mecánico es cero ya que la carga es puramente inercial. Planteando y reemplazando los valores llegamos a:

240 (0.4 ) 1.98

1.98 6 0.0132

r rq x m

rr rmq m

i R w

dwi w

dt

= + +

= +

En el arranque la velocidad es igual a cero, por lo tanto tenemos.

240 80(0.4 )

2.16x

x

R

R

= += Ω

Solución b).

240(3) 1.98

1.98 (6 0.0132)

26.4

( 0.22)

80( 0.0022)

( 0.22)

r rq m

r rq m

rm

rq

i ws

i s w

ws s

si

s s

= +

= +

=++=+

Resolviendo estas ecuaciones tenemos:

0.22

0.222

( ) 8 79.2

( ) 120(1 )

r tq

r tq

i t e

w t e

−

−

= +

= −

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

80


0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

100

120VELOCIDAD DEL ROTOR

Solución c)

0.2250 8 79.2 2.16te t s−= + =

Solución d)

( 2.16) 45.45 /rqw t rad s= =

Solución e)

2 1

240 80(0.4 ) 1.98*45.45

1.475 0.684xR

R R

= + += Ω = Ω



Solución f)

240(0.4 1.475) 1.98*

(1.98) 6( 45.45) 0.0132

r rq m

r r rq m m

i ws

i sw w

= + +

= − =

Resolviendo tenemos:

0.35

45.45( 0.92)

( 0.356)

80( 0.0.00352)

( 0.356)

50 0.803 79.19 1.35

( 1.35 ) 73.85 /

rm

rq

t

rq

sw

s s

si

s s

e t s

w t s rad s

−

+=+

+=+

= + =

= =

Finalmente.

( ) 0.802

( ) 120.45

rq

rq

i t

w t

= ∞ =

= ∞ =

LA MAQUINA GENERALIZADA

En una maquina de C.C. los valores que aparecen en las ecuaciones son reales, y en una maquina síncrona la V e I correspondientes al inductor son reales mas no en el inducido son ficticios producto de las transformaciones, usaremos las transformaciones para reducir las variables.

MULTIPLICACIÓN MATRICIAL

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

e Z i Z i Z i

e Z i Z i Z i

e Z i Z i Z i

= + += + += + +

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

e Z Z Z i

e Z Z Z i

e Z Z Z i

=

[ ] [ ][ ]e Z i= …………..(1)

Veamos un ejemplo, transformaremos las

variables ' '1 2 3 1 2, ,i i i en otras i i .

[ ] [ ] ' antiguanuevai C i =

' '1 11 1 12 2

' '2 21 1 22 2

' '3 31 1 32 2

i C i C i

i C i C i

i C i C i

= +

= +

= +

Reemplazando en (1)

[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ]

'e Z C i

K Z C

=

=

2) transformación de la matriz impedancia

Si tenemos:

[ ] [ ][ ]' ' 'e Z i=

Donde:

111 12 13

221 22 23

3

'

'

eB B Be

eB B Be

e

=

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ][ ]

'

' '

antigua nuevae B e

e B Z C i

=

=

Donde:

[ ] [ ][ ][ ]'Z B Z C=

INVARIANCIA DE LA POTENCIA

Para que se cumpla lo anterior la matriz C y

B deben ser [ ] [ ]TB C= para que la

potencia sea invariante.

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2

' '

' ' ' 'D DP K ei K e i

e i e i e i e i e i

= =

+ + = +∑ ∑

[ ][ ][ ] [ ][ ][ ]' ..............(1)e C i B e i=

(1) cumple para [ ] [ ]TB C=

Entonces:

[ ] [ ][ ] [ ]'antigua nueva

TZ C Z C=



SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL 2009-I

PROBLEMA 1

Para el generador DC cuyo esquema se muestra en la figura, se conecta un devanado en serie con la armadura. El generador es accionado a una velocidad constante wr y se alimenta al campo con una tensión Vf.

a) Representar la maquina con el modelo d-q.

b) Escribir las ecuaciones de equilibrio eléctrico en forma matricial.

c) Explicar el efecto de la bobina serie.

PROBLEMA 2

Se tiene un motor DC de 10 HP, 100V , conexión excitación independiente con Ra=0.5Ω, La=0.1H, Gaf=1H, D=0.1, J=2.0, el motor acciona una carga de par constante, se ajusta la tensión del campo tal que If=2A, y la armadura se conecta a una fuente de 100V, el motor gira a 450RPM.

a) Determinar la ia(t).

b) Si se desconecta la tensión de armadura. Obtener la expresión de W(t). Considerar que la carga TL permanece en el eje del motor.

c) Si en lugar de desconectar la tensión de armadura se desconecta la carga TL: determinar la expresión W(t).

r r r r r rs rq q q q q qq m fV r i L pi G iω= + +

100 (0.5 0.1 ) 450 *230

100 94.24(0.5 0.1 )

rq

rq

i s

i ss s

π= + +

= + +

a)

5

5.7518.28

(0.1 0.5)

( ) 11.5 11.5

rq L

r tq

i Ts s

i t e

= =+

= −

b) Desconectamos V=100, TL=cte.

0 (0.5 0.1 ) *2r rq m

re L m

i s

dwT T J D

dt

ω

ω

= + +

− = +………..(1)

18.28 2( (0))r r re m m mT s Dω ω ω− = − +

2 18.28 2( 47.2) 0.1 .......(2)r r rq m mi sω ω− = − +

De (1) y (2)

2

( ) 2

759.6( )

5.05 20.2537.98( 5)

5.05 20.25

rq

r s

ss s

s

s sω

−=+ +

+=+ +

Entonces tenemos:

2.5 2.52( ) 37.98 cos(3.72 ) 25.23 (3.72 )t t

r t e t e sen tω − −= +

c)

100 (0.5 0.1 ) 2

2 2( 47.2) 0.1

r rq m

r r rq m m

i s

i s

ω

ω ω

= + +

= − +

2

2

47.12( 5 21.22)( )

( 5.05 20.25)rm

s sw s

s s s

+ +=+ +

2.52 2.52( ) 2.26 cos(3.72 ) 2.16 (3.72 ) 49.38t t

r t e t e sen tω − −′= − +

PROBLEMA 3

Se tiene un motor de excitación independiente de 10HP, 110VDC, con los siguientes parámetros: Ra=0.5 Ω, La=0.1, Rf=150 Ω, Gaf=1H, D=0.1, J=2.0.

a) Determinar la corriente que absorbe la armadura.

b) Determinar el par de carga y el par por friccion.

c) Si la tensión de armadura se incrementa a 120VDC, encontrar la Ia(t), wr(t).



PROBLEMA 4

Considerando la maquina primitiva de 4 polos, escribir las expresiones y dibujar la distribución de corriente del devanado estatorico de eje directo de 4 polos, asimismo indicar la expresión de campo magnético en el entrehierro.

5) Explicar el procedimiento para encontrar los parámetros de inducción estacionaria para la maquina dq de dos polos.

6) Explicar el proceso de generación de tensión por rotación de la maquina dq, explique que significa las inductancias rotacionales.

7) Explique el procedimiento para determinar las inductancias rotacionales de una maquina de corriente continua.

TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA 2009-I

PROBLEMA 1

La maquina síncrona de la figura conectada en Y es impulsada a la velocidad síncrona. Los contactos C1 y C2 estan abiertos y la excitatriz esta generando una tensión Vf.

a) si en t=0, se cierra el interruptor C1, se pide calcular la corriente de excitación y la tensión en bornes del generador (considerar el devanado amortiguador).

b) Una vez que el generador esta operando en vacio, siendo If la corriente estacionaria de excitación, escriba las ecuaciones para dimensionar el reóstato de supresión Rsup, si se desea suprimir la corriente If en t=1 segundo, (para este caso no considerar el devanado amortiguador).

PROBLEMA 2

La maquina síncrona tiene los parámetros siguientes:

a) Obtener la evolución en el tiempo de las corrientes, asi como la componente estacionaria de las tensiones inducidas en los devanados A, B, C.

b) Si los devanados rotoricos D y Q estuvieran en circuito abierto, explicar cómo transcurre el transitorio en el devanado f, comparando con el obtenido en (a), (comparar las corrientes).



SOLUCIONARIO DE LA CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA 2009-I

PROBLEMA 1

Se tiene una maquina síncrona de rotor cilíndrico de 11KV, 60Hz, el devanado de armadura esta conectada en estrella a una barra infinita de 11KV.

Ra=1.0Ω Xs=12.0Ω

a) Si la maquina esta operando como motor absorbe una corriente de línea de 100A con factor de potencia de 0.8 en retrazo. Determinar la tensión inducida por fase.

b) que debería ajustarse en la maquina síncrona y en que porcentaje para que se genere igual corriente y factor de potencia. Determinar el valor del ángulo de carga.

a) cuando actúa como motor

100 37ºf a sV E r I jX I

I

= − + +

= ∠ −

11

3

kdonde V por fase=

( ) ( )11100 37º 12 100 37º

3f

kV E j= = − + ∠ − + ∠ −

( )5.621 170.8º

9.19ºfE

δ= ∠

=

b) cuando actúa como generador

Reemplazando datos

( ) ( )11100 37º 12 100 37º

3f

kE j= + ∠ − + ∠ −

( )7.209 7.15º

7.15ºfE

δ= ∠

=

PROBLEMA 2

Se tiene una maquina síncrona trifásica de 20 MVA, de 13.8 kV, 60 Hz donde Xd=0.85 p.u y Xq=0.6 el generador esta conectado a una barra infinita y entrega 10 MVA con fdp=0.85 en retraso. Determinar el angulo de potencia y la tensión de excitación Ef y dibujar el diagrama fasorial.



De la expresiones de potencia

2 1 12

2f

d q d

E V VP sen sen

X X Xδ δ

= + −

2 21 1 1 1cos cos2

2 2f

d q d q d

E V V VQ

X X X X Xδ δ

= + − − +

Reemplazando los datos

0.425 0.204 2

0.263 cos 0.204cos 2f

f

E sen sen

E

δ δδ δ

= +

= +

1.268

17.49

12.52º

f

f

E pu

E V

δ

=

=

=

b) si se reduce lentamente la excitación hasta que el generador alcance su limite de estabilidad estatica, determinar el angulo de potencia y la excitación.

El par máximo que se puede aplicar lentamente sin perder el sincronismo es cuando el angulo delta es 90º.

0.425 90º0.85

0.3612

fe

d

f

f

E VT sen

X

Esen

E

δω

=

=

=

Reducimos la excitación a 0.3612pu.

PROBLEMA 3

Se tiene un motor síncrono y acciona una carga que requiere par nominal. Los datos de la maquina son: 100 MVA, trifásico, 13.8 kV, 60 Hz, Xd=1.2p.u, X’d=0.4p.u, X’’d=0.25p.u, T’d=1.2s, T’’d=0.025s, Ta=0.15s.

La corriente de campo es ajustado tal que la maquina trabaja con fdp unitario, determinar el par de carga adicional que se puede añadir súbitamente sin perder el sincronismo.

PROBLEMA 4

Un motor de inducción bifásico, con 8 polos, 20 HP, 220 V, 60 Hz, tiene los siguientes parámetros, para el circuito equivalente aproximado correspondiente a una fase (referida todos al estator):

Rs=0.25Ω Xm=37Ω Xs=1.00Ω

Rh+e=4.63Ω a2Rr=0.20Ω x2Rr=1.2Ω

Para cada una de las conexiones que se citan abajo, deducir el circuito equivalente aproximado, por fase. Hallar los valores de los parámetros, y excitaciones de tensión. Suponer que la velocidad del motor es de 840 rpm. Calcular la corriente de línea en cada una de las fases del estator, la potencia total desarrollada y el par total generado.

a) Una de las fases del estator recibe la tensión nominal a la frecuencia nominal, mientras que la otra se encuentra en cortocircuito.

b) la misma conexión que el apartado anterior, excepto que la segunda fase se encuentra ahora en circuito abierto obteniéndose entonces un funcionamiento con una sola fase.

Solución

Sabemos que:

110v

4.63

0.25

0.25

0.201.2j

2.799

-0.0965

j 1.2j0.20

j

110v

2

sI +

2

rI +

CIRCUITO EQUIVALENTE - UNA FASE CC



( )

( )

1..................

21

..................2

s s sd q

s s sd q

V V jV

V V jV

α

β

+

−

= +

= −

Si una fase esta en Corto circuito, entonces

0, 220s sq dV V V= =

, reemplazando tenemos:

( )

( )

1220 0 110

2 2

1220 0 110

2 2

ss

ss

VV j V

VV j V

++

−−

= + ⇒ =

= − ⇒ =

37794.25 0.066

4

840 87.9630

s

r

rad sω

πω

= = ⇒ =

= =

110 110 110

4.63 37 0.25 0.20 1.2 2.7992

sI

j j j+ = + +

+ + + +

(50.55 21.6º )2

(60.59 58.8º )2

s

s

I

I

+

−

= ∠ −

= ∠ −

2 2

2 222 2

r r

etotal r r

I IP a R a R+ −

= −

,

( )

( )

28.03 34.1º2

49.3 80.8º2

r

r

I

I

+

−

= ∠ −

= ∠ −

Reemplazando tenemos:

a)

3929.16

44.66

etotaletotal etotal

r

etotal

PP W T

T N m

ω= =

= −

b) una fase en circuito abierto:

220v

4.63

0.25

0.25

0.201.2j

2.799

-0.0965

jIq/2

I1

I2

1.2j0.20

j

1 1 1

2 2 2

1 2

....2 4.63 37 0.25 0.20 1.2 2.799

....2 4.63 37 0.25 0.20 1.2 0.0965

220................

I V V V

j j j

I V V V

j j j

V V

ϕ

ϕ

α

β

θ

= + ++ + + +

= + ++ + + −

+ =

Resolviendo las ecuaciones tendremos:

( )( )( )

1

2

126.7 16.71º

105.4 20.16º

116.16 38.4

V

V

Iϕ

= ∠ −

= ∠

= ∠ −

( ) ( )1 232.2 50.8 47.3 60.7I I= ∠ − = ∠ −

( ) ( )

( ) ( )

2 22 21 2

2 2

2

2 32.2 2.799 47.3 0.0965

etotal r r

etotal

P I a R I a R

P

= −

= −

5372.43

961.08etotal

etotal

P W

T N m

== −



SOLUCIONARIO DEL EXAMEN FINAL 2009-I

PROBLEMA 1

Se tiene generador síncrono de 20 MVA, de 12.5 kV, 60 Hz donde Xd=1.4 p.u y Xq=0.8 el generador esta conectado a una barra infinita y entrega 15 MVA con fdp=0.85 inductivo.

a) Determinar el angulo de potencia y la tensión de excitación.

b) Determinar el minimo valor de la tensión de excitación Ef en p.u para mantener en sincronismo mientras entrega potencia nominal a una barra infinita.

cosd

q

a d d q q

I Isen

I I

E r I V jI X jI X

φφ

==

= + + +

( )q d

f q d d q

I I I

E V jX I jI X X

= −

= + + −

15( 31.78º ) 0.637 0.39420

S j= ∠ = +

2 1 12

2f

d q d

E V VP sen sen

X X Xδ δ

= + −

2 21 1 1 1cos cos2

2 2f

d q d q d

E V V VQ

X X X X Xδ δ

= + − − +

Reemplazando valores:

1 10.637 0.5 2

1.4 0.8 1.4fE

sen senδ δ = + −

1 1 1 10.394 cos 0.5 cos 2 0.5

1.4 0.8 1.4 0.8 1.4fE

δ δ = + − − +

Resolviendo las dos ecuaciones tenemos:

a)

21.188º

1.745fE pu

δ ==

b) Para simplificar los cálculos aproximaremos la máquina de polos salientes a una de polos lisos, reemplazando la reactancia síncrona como:

1.12

d qs

X XX

+= ≈

0.6371.1

fEsenδ=

El límite de estabilidad permanente se obtiene cuando delta es igual a 90º.

0.637 90º1.1

fEsen=

min 0.707fE =

La excitación disminuye en 59.8%



PROBLEMA 2

Se tiene un motor síncrono y acciona una carga que requiere par nominal. Los datos de la maquina son: 20 MVA, trifásico, 13.8 kV, 60 Hz, Xd=1.2p.u, X’d=0.4p.u, X’’d=0.25p.u, T’d=1.2s, T’’d=0.025s, Ta=0.15s.

La corriente de campo es ajustado tal que la maquina trabaja con fdp unitario, determinar el par de carga adicional que se puede añadir súbitamente sin perder el sincronismo.

Hallamos el par nominal

(1 0º ) 1.0f dV E jX I I V pu= − + = ∠ =

1 1.2(1 0º )fE j= − + ∠

º

1.562*150.1 1

1.2

f

d

E VP sen

X

P sen

δ=

= =

La maquina estaba con par nominal y se añadió súbitamente un TL, entonces el rotor desacelera y el angulo de potencia tiende a incrementar para que no pierda sincronismo.

A=B

Pero tenemos como dato los valores de la reactancia subtransitoria, es en este periodo de tiempo donde se obtienen un par máximo y es este valor el que usaremos para el cálculo.

'' ''''

ºf

d

E VT P sen

Xδ= =

'' '' 1*1º 4

0.25T P sen senδ δ= = =

Por igualdad de areas:

1

1

1

1 1

50.19

2

1 1

50.14 ( ) 4

180

4 4 ( 2 )

sen sen d

sen d sen

δ

π δ

δ

πδ δ δ δ

δ δ δ π δ−

− − =

− −

∫

∫

Resolviendo la ecuación obtenemos:

1 69.5ºδ =

'' ''''

1*1º 69.65º

0.25f

d

E VT P sen sen

Xδ= = =

''

min

3.7504

1.0no al

T pu

T pu

==

Entonces el par adicional que se puede adicionar sin perder el sincronismo es:

''min

2.7504adicional no al

adicional

T T T

T pu

= −=

PROBLEMA 3

Un motor de inducción bifásico, con 8 polos, 20 HP, 220 V, 60 Hz, tiene los siguientes parámetros, para el circuito equivalente aproximado correspondiente a una fase (referida todos al estator):

Rs=0.25Ω Xm=37Ω Xs=1.00Ω

Rh+e=4.63Ω a2Rr=0.20Ω x2Rr=1.2Ω



Para cada una de las conexiones que se citan abajo, deducir el circuito equivalente aproximado, por fase. Hallar los valores de los parámetros, y excitaciones de tensión. Suponer que la velocidad del motor es de 840 rpm. Calcular la corriente de línea en cada una de las fases del estator, la potencia total desarrollada y el par total generado.

a) Una de las fases del estator recibe la tensión nominal a la frecuencia nominal, mientras que la otra se encuentra en cortocircuito.

b) la misma conexión que el apartado anterior, excepto que la segunda fase se encuentra ahora en circuito abierto obteniéndose entonces un funcionamiento con una sola fase.

Solución

Sabemos que:

110v

4.63

0.25

0.25

0.201.2j

2.799

-0.0965

j 1.2j0.20

j

110v

2

sI +

2

rI +

CIRCUITO EQUIVALENTE - UNA FASE CC

( )

( )

1..................

21

..................2

s s sd q

s s sd q

V V jV

V V jV

α

β

+

−

= +

= −

Si una fase esta en Corto circuito, entonces

0, 220s sq dV V V= = , reemplazando

tenemos:

( )

( )

1220 0 110

2 2

1220 0 110

2 2

ss

ss

VV j V

VV j V

++

−−

= + ⇒ =

= − ⇒ =

37794.25 0.066

4

840 87.9630

s

r

rad sω

πω

= = ⇒ =

= =

110 110 110

4.63 37 0.25 0.20 1.2 2.7992

sI

j j j+ = + +

+ + + +

(50.55 21.6º )2

(60.59 58.8º )2

s

s

I

I

+

−

= ∠ −

= ∠ −

2 2

2 222 2

r r

etotal r r

I IP a R a R+ −

= −

,

( )

( )

28.03 34.1º2

49.3 80.8º2

r

r

I

I

+

−

= ∠ −

= ∠ −

Reemplazando tenemos:

a)

3929.16

44.66

etotaletotal etotal

r

etotal

PP W T

T N m

ω= =

= −

b) una fase en circuito abierto:

220v

4.63

0.25

0.25

0.201.2j

2.799

-0.0965

jIq/2

I1

I2

1.2j0.20

j



1 1 1

2 2 2

1 2

....2 4.63 37 0.25 0.20 1.2 2.799

....2 4.63 37 0.25 0.20 1.2 0.0965

220................

I V V V

j j j

I V V V

j j j

V V

ϕ

ϕ

α

β

θ

= + ++ + + +

= + ++ + + −

+ =

Resolviendo las ecuaciones tendremos:

( )( )( )

1

2

126.7 16.71º

105.4 20.16º

116.16 38.4

V

V

Iϕ

= ∠ −

= ∠

= ∠ −

( ) ( )1 232.2 50.8 47.3 60.7I I= ∠ − = ∠ −

( ) ( )

( ) ( )

2 22 21 2

2 2

2

2 32.2 2.799 47.3 0.0965

etotal r r

etotal

P I a R I a R

P

= −

= −

5372.43

961.08etotal

etotal

P W

T N m

== −

PROBLEMA 4

Hacer un resumen en forma ordenada y concisa relacionado al cortocircuito trifásico de la maquina síncrona, indicando modela miento, ecuaciones de equilibrio, método numérico de solución, resultados y conclusiones.

La ecuación para la maquina síncrona es:

0 0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0*

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

d MF MD d

dq q MQ q

FDQ MF F R F F

MD R D D D

MQ Q Q D

d

q

F

D

Q

L i r

L K K i r

V L K i rdV K L M i rdt

K M L i r

K L i r

i

i

i

i

i

i

=− −

00 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

q Q d

d F D q

MF F R F

MD R D D

MQ Q Q

i

L KM i

L KM KM i

K L M i

K M L i

K L i

ω ωω ω ω

− − −

−

Haciendo arreglos lo expresamos como:

0 0

0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

d q Q d

q d F D q

F MF F R F

D MD R D D

Q MQ Q Q

d MF MD

q MQ

MF F R

MD R D

V r i

V r L KM i

V L r KM KM i

V K r M i

V K M r i

V K r i

L

L K K

L K

K L M

K M L

ω ωω ω ω

− − −

= − −

−

0

0 0

d

q

F

D

MQ Q Q

i

i

ididt

i

K L i

PROBLEMA 5

a) Para la máquina de polos salientes, explicar que representa Ld y Lq.

b) En qué casos se utiliza maquinas síncronas de rotor cilíndrico y de rotor de polos salientes.

Las maquinas de rotor cilíndrico se usan para bajas potencias y altas velocidades característicos de una central térmica, en cambio las de polos salientes se usan mayormente en las centrales hidroeléctricas ya que tienen bajas velocidades y altas potencias de generación.



c) Explique brevemente el criterio de igualdad de areas para predecir el límite de estabilidad transitoria de la maquina síncrona. ¿Qué parámetros de la maquina son necesarios?

d) Explique un método para determinar la constante de tiempo y reactancia transitoria y su transitoria de la maquina síncrona.

Uno de los métodos es mediante el cortocircuito trifásico, se lleva la grafica a escala logarítmica y se miden los parámetros de reactancias transitoria, subtransitoria.

e) Explique cómo utilizaría la maquina síncrona para la compensación reactiva en un sistema de potencia.

CORTOCIRCUITO TRIFÁSICO BALANCEADO

Asumiremos la maquina síncrona sin carga y con las siguientes condiciones:

0

0(0 ) (0 ) (0 )0

dq abc

d q

i Pi

i i i+ + +

=

= = =

En la corriente de campo

(0 )F

FF

Vi

r+ =

Para un corto circuito balanceado, en las terminales de la maquina.

0 0

0

0a b c

dq abc d q

V V V

V PV V V V

= = == ⇒ = = =

Podemos expresar las ecuaciones de la siguiente manera:

0 0

0 0 0 0

0 0 0 00

0

0 0 0 00

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

dq Qd

FFF

DD

qD F Dq

QD

d F D d

F F R F

D R D D

q Q q

Q Q Q

ir L kMV

irV

ir

iL KM KM rV

ir

L kM KM i

KM L M id

KM M L idt

L kM i

kM L i

ω ω

ω ω ω

− = −

−

PROBLEMAS DE MAQUINAS ELÉCTRICAS III

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