Captulo I

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Investigacin Operativa Tomo ICaptulo II3.- Les remito un conjunto de problemas seleccionados, de los cuales escogern 5 de ellos con dos variables y resolvern por el mtodo grfico manualmente, otros 3 con dos variables para resolverlos mediante la computadora y finalmente 2 problemas con ms de dos variables que solamente plantearn.PROBLEMAS PROPUESTOS1) 2.3a.5 La seorita Fernanda Erazo es una estudiante emprendedora de primer ao en la Pontificia Universidad Catlica del Ecuador. Comprende que slo el trabajo y nada de diversin hacen de Fernanda una muchacha aburrida. Como resultado, Fernanda quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al da, entre el trabajo y la diversin. Calcula que el juego es dos veces ms divertido que el trabajo. Tambin quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Fernanda comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar ms de cuatro horas al da. Cmo debe distribuir Fernanda su tiempo para maximizar su satisfaccin tanto en el trabajo como en el juego?2) 2.3b.4 Viviana Erazo debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 Viviana puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo por hora. De manera que Viviana quiere basar su decisin acerca de cuntas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor del estrs en el trabajo. Basndose en entrevistas con los empleados actuales, Viviana calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrs son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrs aumenta por hora, ella supone que el estrs total al final de la semana es proporcional al nmero de horas que trabaja en la tienda. Cuntas horas debe trabajar en cada tienda?

3) 2.3c.3 Dos productos se fabrican en un centro de maquinado. Los tiempos de produccin por unidad de los productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos, respectivamente. El tiempo regular total de la mquina es de 2.500 minutos por da. En un da cualquiera, el fabricante vende entre 150 y 200 unidades del producto 1, pero no ms de 45 unidades del producto 2. Se pueden emplear horas extras para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0.50 de dlar por minuto.

a) Suponiendo que las utilidades por unidad de los productos 1 y 2 son. 6.0 y 7.50 dlares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel ptimo de fabricacin para cada producto, as como cualesquiera nmero de horas extra necesarias en el centro.b) Si el costo por minuto de horas extra se incrementa a 1.50 dlares, la compaa debe utilizar horas extras?4) 2.4a.3 La tienda de comestibles B&K vende dos tipos de bebidas no alcohlicas: la marca de sabor de cola A1 y la marca propia de la tienda, B&K de colas, ms econmica. El margen de utilidad en la bebida de cola A1 es de alrededor de 5 centavos de dlar por lata, mientras que la de la bebida de cola B&K suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende ms de 500 latas de ambas bebidas de cola al da. An cuando A1 es una marca ms conocida, los clientes tienden a comprar ms latas de marca B&K, porque considerablemente es ms econmica. Se calcula que la venta de la marca B&K superan a las de la marca A1 en una razn de 2 a 1 por lo menos. Sin embargo, B&K vende, como mnimo, 100 latas de A1 al da.

a) Cuntas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para maximizar su utilidad?

5) 2.4a.6 Electra produce dos tipos de motores elctricos, cada uno en una lnea de ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos lneas son de 600 y 750 motores. El motor tipo 1 emplea 10 unidades de cierto componente electrnico y el motor tipo 2 slo utiliza 8 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 8.000 piezas al da. Las utilidades por motor para los tipos 1 y 2 son de 60 y 40 dlares, respectivamente.

a) Determine la mezcla ptima para la produccin diaria.6) 2.4a.7 Popeye Canning tiene un contrato para recibir 60.000 libras de tomates maduros a 7 centavos de dlar por libra, con las cuales produce jugo de tomate enlatado, as como pasta de tomate. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo requiere una libra de tomates frescos y una lata de pasta slo requiere 1/3 de libra. La participacin de mercado de las compaas se limita a 2.000 cajas de jugo y 6.000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de jugo y de pasta son de 18 y 9 dlares, respectivamente.

a) Desarrolle un programa de produccin ptima para Popeye.

7) 2.4a.8 Deans Furniture Company ensambla dos tipos de gabinetes de cocina de madera precortada: regulares y de lujo. Los gabinetes regulares estn pintados de blanco y los de lujo estn barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad diaria del departamento de ensamble puede producir un mximo de 200 gabinetes regulares y 150 gabinetes de lujo. El barnizado de un gabinete del lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el departamento de pintura /barnizado se dedica nicamente a las unidades de lujo, terminara 180 unidades diarias. La compaa calcula que las utilidades por unidad de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dlares, respectivamente.

a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre el programa de produccin ptima por da.b) Supongamos que, debido a la competencia, las utilidades por unidad de las unidades regulares y de lujo deben reducirse a 80 y 110 dlares, respectivamente. Utilice el anlisis de sensibilidad para determinar si la solucin ptima en (a) se mantiene inalterada o no.

8) 2.4b.4 Show & Sell puede anunciar sus productos en la radio o la televisin locales. El presupuesto para anuncios est limitado a 10.000 dlares al mes. Cada minuto de anuncios por radio cuesta 15 dlares y cada minuto de comerciales por televisin cuesta 300 dlares. A Show & Sell le agrada utilizar los anuncios por radio por lo menos el doble de los anuncios por televisin. Por lo pronto, no es prctico utilizar ms de 400 minutos de anuncios por radio. La experiencia pasada muestra que se calcula que los anuncios por televisin son 25 veces ms efectivos que los de la radio.

a) Determine la asignacin ptima del presupuesto para los anuncios por radio y televisin.

b) Determine el valor por unidad de incrementar el lmite mensual en la publicidad por radio.

c) Si el presupuesto mensual se aumenta a 15.000 dlares, utilice la definicin de valor de la unidad para determinar la medida resultante de la efectividad publicitaria.

9) 2.4b.5 Wyoming Electric Coop. Es propietaria de una planta generadora de energa con turbina de vapor. Debido a que Wyoming es rica en depsitos de carbn, la planta genera vapor con carbn. Sin embargo, esto crea el problema de satisfacer los estndares de emisin. Las regulaciones de la Environmetal Protection Agency (Agencia de Proteccin Ambiental) limitan la descarga de dixido de azufre a 2.000 partes por milln y la descarga de humo de las chimeneas de la plante a 20 libras por hora. La Cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo comn, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por milln) es un promedio ponderado de la proporcin de cada grado empleado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de una tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbn.

Grado de carbnDescarga de azufre en partes por millnDescarga de humo en libras por horaVapor generado en libras por hora

C11 8002.112 000

C22 1000.99 000

a) Determine la proporcin ptima para mezclar los dos grados de carbn.

b) Determine el efecto de relajar el lmite de la descarga de humo 1 libra sobre la cantidad de vapor generado por hora.

10) 4b.8 ChemLabs fabrica dos productos de limpieza para el hogar, A y B procesando dos tipos de materia prima, I y II. El procesamiento de una unidad de materia prima I cuesta 8 dlares y produce 0.5 unidad de solucin A y 0.5 unidad de solucin B. Adems, el procesamiento de una unidad de materia prima II cuesta 5 dlares y produce 0.6 unidad de solucin A y 0.4 unidad de solucin B. La demanda diaria de la solucin A es entre 10 y 15 unidades y la solucin de B es entre 12 y 20 unidades.

a) Encuentre la mezcla ptima de A y B que debe producir ChemLabs.

b) Determine el valor por cambio de unidad en los lmites de la demanda de los productos A y B.

11) 2.2B.6 Ahorros S.A. desea invertir una suma que genere un rendimiento anual mnimo de $10,000. Dispone de dos grupos accionarios: acciones selectas y alta tecnologa, con un rendimiento anual promedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnologa dan ms rendimiento, son ms arriesgadas, y Ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un mximo de 60% del total.

Cul es la cantidad mnima que debe invertir Ahorros en cada grupo de acciones para alcanzar la meta de inversin?12) 3.1-6 La empresa Whitt Window tiene slo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al da. Linda hace 4 marcos de aluminio por da. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por da. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados.

La compaa desea determinar cuntas ventanas de cada tipo producir al da para maximizar la ganancia total.

a) Construya y llene una tabla para este problema, identifique las actividades y los recursos.

RecursoVentanasDisponible

Con marco de maderaCon marco de aluminio

Vidrio6848

Aluminio014

Madera106

Ganancia$60$30

b) Formule un modelo de programacin linealc) Use el mtodo grfico para resolver el modelo.

d) Un nuevo competidor en la ciudad tambin produce ventanas con marco de madera. Esto puede forzar a la compaa a bajar el precio y por ende la ganancia debida a este tipo de ventanas. Cmo cambiara la solucin ptima (si cambia) si la ganancia por ventana de madera disminuye de $60 a $40? Y de $60 a $20?

e) Doug piensa reducir sus horas de trabajo, lo cual reducira el nmero de ventanas de madera que produce por da. (Cmo cambiara la solucin ptima si hace slo 5 marcos diarios?

13) 3.1-7 La Apex Televisin Company debe decidir el nmero de televisores de 27 y 20 in producidos en una de sus fbricas. La investigacin de mercado indica ventas de a lo ms 40 televisores de 27 in y 10 de 20 in cada mes. El nmero mximo de horas-hombre disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 in requiere 20 horas-hombre y uno de 20 in, 10. Cada televisor de 27 in produce una ganancia de $120 y cada uno de 20 in produce $80 de ganancia. Un distribuidor est de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si el nmero no excede el mximo indicado por el estudio de mercado.

a) Formule un modelo de programacin linealb) Use el mtodo grfico para resolver el modelo.

14) 3.1-8 La compaa Worldlight produce dos dispositivos para lmparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes elctricas. La administracin desea determinar cuntas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes elctricas. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes elctricas. La compaa tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes elctricas. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar ms de 60 est fuera de consideracin.

a) Formule un modelo de programacin lineal.

b) Utilice el mtodo grfico para resolver este modelo. (Cul es la ganancia total que resulta?15) 3.1-10 Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hotdogs y pan para hotdogs. Muelen su propia harina para el pan a una tasa mxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de chancho cada lunes. Cada hot-dog requiere 1/4 de libra de producto de chancho. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por ltimo, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hotdog requiere 3 minutos de mano de obra y cada pan de 2 minutos de mano de obra. Cada hotdog proporciona una ganancia de $0.20 y cada pan de $0.10.

Weenies and Buns desea saber cuntos hotdogs y cuntos panes deben producir cada semana para lograr la ganancia ms alta posible.

a) Formule un modelo de programacin lineal.

b) Use el mtodo grfico para resolver el modelo16) Las mquinas A y B pueden fabricar el mismo artculo, la mquina A produce 18 unidades por hora, mientras que la mquina B produce 10 unidades por hora. Se deben producir a lo mucho 600 unidades del artculo trabajando 40 horas semanales por lo menos; sin embargo la mquina B tiene una capacidad mxima de 35 horas semanales. Si el costo de operar la mquina A es de 25 dlares y 20 dlares la mquina B. Determinar cuntas horas por semana debe operar cada mquina para satisfacer las necesidades de produccin a un costo mnimo.

17) Una fbrica elabora dos clases de cerveza Plsener y Club, para lo cual dispone de ingrediente para llenar por lo menos 30 botellas combinadas. Toma 1 hora llenar 20 botellas de la cerveza Plsener y 2 horas llenar 25 botellas de cerveza Club, se dispone a lo mucho de 2 horas. La demanda de la cerveza Plsener se estima en el mercado un total de 22 botellas y a lo mucho 10 botellas de la cerveza Club. Cada botella de Plsener deja una utilidad de 10 centavos y 15 centavos cada botella de la cerveza Club. Cuntas botellas de cada cerveza se deben llenar para alcanzar la mxima ganancia?

18) Una fbrica elabora dos clases de shampoo A y B, para lo cual dispone de ingrediente para llenar a lo mucho 80 botellas combinadas de A y B. Toma 1 hora llenar 10 botellas de A y 4 horas llenar 10 botellas de B, se dispone cuando mucho de 20 horas, la demanda de A se estima a lo ms en 70 botellas. La fbrica est en capacidad de llenar cuando mucho 90 botellas de A o 60 botellas de B. Cada botella de A le deja una utilidad de 80 centavos y 90 centavos la de B. Cuntas botellas de A y B se deben llenar para que la fbrica obtenga Los mayores beneficios?

19) 7.8-17 Costo de mano de obra Una compaa paga a sus trabajadores calificados y semicalificados en su departamento de ensamblado $14 y $8 por hora, respectivamente. En el departamento de embarques, a los empleados se les paga $ 9 por hora y a los aprendices $6 por hora. La compaa requiere al menos de 90 trabajadores en el departamento de ensamblado y al menos 60 empleados en el departamento de embarques. Debido a acuerdos sindicales, deben emplearse al menos el doble de trabajadores semicalificados que de calificados. Tambin, deben contratarse al menos el doble de los empleados de embarques que de aprendices. Resuelva por computadora para determinar el nmero de trabajadores de cada tipo que la compaa debe emplear, de modo que el total de salarios por hora sea mnimo. Cul es el costo mnimo en salarios por hora?20) 7-16 Un candidato a alcalde de un pequeo pueblo asign $40,000 para publicidad de ltimo minuto en los das previos a la eleccin. Se utilizarn dos tipos de anuncios: radio y televisin. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisin, que cuesta $500, afectar a unas 7000 personas. Al planificar la campaa de publicidad, la directora de sta desea llegar a tantas personas como sea posible, y estipul que se deben utilizar, por lo menos, 10 anuncios de cada tipo. Adems, el nmero de anuncios de radio debe ser por lo menos 1.5 del nmero de anuncios de televisin. Cuntos anuncios de cada tipo se debern utilizar? A cuntas personas llegarn?

21) 7-17 La Outdoor Furniture Corporation fabrica dos productos, bancas y mesas de da de campo, que pueden ser usados en jardines de casas y parques. La firma cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (fuerza de mano de obra) y existencias de madera de pino para construir el mobiliario. Durante el siguiente ciclo de produccin, estn disponibles 1200 horas de mano de obra segn un acuerdo con el sindicato. La firma tambin dispone de 3500 pies de madera de pino de buena calidad. Cada banca que Outdoor Furniture produce requiere 4 horas de mano de obra y 10 pies de madera; cada mesa de da de campo, 6 horas de mano de obra y 35 pies de madera. Las bancas terminadas redituarn una ganancia de $20 cada una. Cuntas bancas y mesas de da de campo deber producir Outdoor Furniture para obtener la ganancia mxima posible? Use el mtodo grfico de programacin lineal.22) 7-18 El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de cursos de la escuela para el semestre de otoo. Las demandas de los estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 30 cursos de licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del profesorado tambin dictan que se ofrezcan por lo menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad un promedio de $2500 en salarios de profesores, mientras que cada curso de posgrado cuesta $3000. Cuntos cursos de licenciatura y posgrado debern ser impartidos en el otoo de modo que los salarios de los profesores se mantengan en su mnima expresin?